INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA

MECÁNICA Y ELÉCTRICA.

MÉXICO, D.F. 2013

APLICACIÓN DE ARQUITECTURAS DE CONTROL

CONSIDERANDO LOS EFECTOS DEL RETARDO EN EL

MODELO MATEMÁTICO DE UN REACTOR DE AGITACIÓN

CONTINUA.

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN

CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN

P R E S E N T A N

LOZANO HERNÁNDEZ YAIR RODRÍGUEZ FRAGOSO SANDRA EDITH

A S E S O R E S

DR. VELÁZQUEZ VELÁZQUEZ JUAN EDUARDO M EN C. VELÁZQUEZ CUEVAS RUBÉN

i

Agradecimientos

Lozano Hernández Yair:

Agradezco a mis padres Irma Hernández Daniel y Agripino Lozano Santiago por haberme

acompañado y guiado a lo largo de mi carrera, ser mi fortaleza en los momentos de debilidad

y brindarme una vida llena de aprendizajes, experiencias y sobre todo felicidad.

Llevare conmigo los valores que me han inculcado, no olvidare la oportunidad que me

brindaron de tener una excelente educación en el transcurso de mi vida sin importar los

grandes esfuerzos y retos que tuvimos que superar y sobre todo por ser un ejemplo de vida

a seguir ya que me enseñaron la importancia del trabajo y la dedicación para cumplir con

nuestras metas.

Solo me queda decir gracias por imaginarme grande cuando no lo era y por los sacrificios

que tuvimos que pasar, los cuales hoy se ven reflejados con la culminación de esta etapa de

mi vida, hoy puedo decir que hemos llegado a la meta, soy ¡ingeniero!

Gracias al M. en C Rubén Velázquez Cuevas y al Dr. Juan Eduardo Velázquez Velázquez

por todo el apoyo brindado a lo largo de este trabajo, gracias por compartir su conocimiento

conmigo ya que solo no fueron parte de este trabajo, ya que ambos fueron parte de mi

formación académica. Gracias por permitirme trabajar con ustedes, por su dedicación y

paciencia, así como ser un ejemplo a seguir.

A Laura Alejandra Godínez Luna, por apoyarme y estar a mi lado durante todos los años de

mi formación, por el apoyo y comprensión brindado, incluso cuando me encontraba de mal

humor a causa de la escuela. A mis amigos por todos los momentos que pasamos juntos,

por las tareas que juntos realizamos, por confiar y creer en mí y haber hecho de mi etapa

universitaria un trayecto de vivencias que nunca olvidaré.

A mis tantos roomies: Tomas, Omar, Felipe, por ser parte significativa de mi vida, y por haber

hecho el papel de una familia verdadera en todo momento, gracias por su apoyo,

comprensión y sobre todo amistad.

A Sandra por haber sido una excelente compañera de tesis y amiga, por haberme tenido la

paciencia necesaria y por motivación a seguir adelante en los momentos de desesperación.

ii

Agradecimientos

Rodríguez Fragoso Sandra Edith:

Quiero agradecer a mis padres Carlos Rodríguez Fragoso y Lourdes Fragoso Maya por su

apoyo, comprensión y paciencia durante todos estos años, gracias a ustedes he logrado

formar el camino que me ha llevado a la culminación de los estudio de mi carrera profesional

y así también obtener mi título por medio de la realización de esta tesis.

Agradezco a mis hermanos Salma Rodríguez y Edgar Rodríguez que han estado conmigo y

sé que siempre contaré con su apoyo incondicional al igual que el de mis padres.

En general quiero agradecer a mi familia la cual ha sido el pilar más importante de mi vida y

por estar conmigo día a día lo cual ha sido una gran motivación para poder alcanzar mis

metas.

También agradezco a todos mis amigos de la carrera con quienes compartí muchos

momentos de diversión, felicidad, tristeza y locuras, que me apoyaron y me dieron ánimos en

aquellas conversaciones en las que hablábamos de nuestras convicciones en el tiempo que

pasamos juntos durante el transcurso de nuestros estudios.

Quiero agradecer a Gustavo Morales por estar conmigo y brindarme su apoyo en el último

esfuerzo para poder terminar esta tesis.

Quiero agradecer a Yair Lozano Hernández por su compañerismo y amistad, que a pesar de

todo nunca nos dimos por vencidos y logramos terminar nuestro trabajo de tesis; también a

mis asesores el M. en C. Rubén Velázquez Cuevas y a el Dr. Juan Eduardo Velázquez

Velázquez, quienes fueron mis profesores durante la carrera y además me brindaron

consejos y enseñanzas.

iii

Resumen

En el interior de este trabajo se describen algunas características y aspectos de los reactores

químicos, tales como: clasificación, aplicaciones, variables que interfieren, se define el

concepto y tipos de reacciones químicas, al igual que balances de materia y energía.

Se describe el significado de la interpretación matemática de la dinámica del sistema, las

propiedades que debe de cumplir como la controlabilidad, observabilidad y la linealidad las

cuales son indispensables para la realización de un controlador por retroalimentación de

estados. También se encuentran los conceptos de retardo, y la importancia de su

consideración al momento de diseñar un controlador para un sistema en específico.

Así mismo se hace una descripción más específica del reactor de agitación continua, y del

proceso dónde se utiliza este tipo de reactor, para este trabajo se eligió un proceso de

saponificación para la obtención de jabón líquido.

Partiendo de la descripción del sistema se realiza el balance de materia y energía con el fin

de obtener las ecuaciones representativas de la dinámica del sistema (modelo matemático),

al igual que su representación en variables de estado.

A partir del modelo matemático se describe un análisis de las respuestas del sistema a

través del software Matlab-Simulink

Se explica el proceso de linealización del modelo matemático del sistema, con el fin de

realizar un control con una matriz de ganancias k, un control en cascada y control por

relación; en los cuales, en algunos casos se considera los efectos del retardo en la salida de

la temperatura del reactor lo que lleva a la aplicación del Predictor de Smith. Por último se

realiza una comparación entre las simulaciones obtenidas en cada uno de los casos.

iv

Índice general

Objetivos .......................................................................................................................... xiii

Antecedentes ................................................................................................................... xiv

Justificación ..................................................................................................................... xvi

Capítulo 1: Marco teórico. .................................................................................................. 1

1.1. Conceptos generales de los reactores. ....................................................................... 2

1.1.1. Reacción química ................................................................................................. 2

1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas. ...................................................... 2

1.1.2. Reactor Químico .................................................................................................. 3

1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento. ............................................................................ 4

1.1.2.2. Tipos de reactores. ........................................................................................ 4

1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción. ............................................ 7

1.2. El modelado matemático de procesos químicos ....................................................... 12

1.2.1. Espacio de estados. ........................................................................................... 13

1.2.2. Controlabilidad y observabilidad. ........................................................................ 14

1.3. Sistemas lineales y no lineales. ................................................................................ 15

1.3.1 Método de linealización de Taylor. ...................................................................... 15

1.4. Retardos, conceptos básicos. ................................................................................... 16

Capítulo 2: Modelado matemático de un reactor de agitación continúa. .............................. 18

2.1. Reactor de agitación continúa. .................................................................................. 19

2.1.1. Descripción de la planta. .................................................................................... 20

2.1.1.1. Descripción de la reacción química. ............................................................ 22

2.1.2.1. Balance de masa. ........................................................................................ 22

2.1.2.2. Balance de energía. .................................................................................... 24

2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado. ............................ 28

2.1.3.1. Simulación del modelo matemático del sistema del CSTR con un diagrama de

bloques en Simulink e identificación de las respuestas obtenidas. ........................... 30

v

Capítulo 3: linealización y retroalimentación de estados. .................................................... 42

3.1. Linealización del modelo matemático. ....................................................................... 43

Comparación entre el sistema lineal y el no lineal. ........................................................... 50

3.2. Determinación de la controlabilidad. ......................................................................... 51

3.2.1. Comando ctrb. .................................................................................................... 52

3.2.2. Comando ctrbf. ................................................................................................... 52

3.2.3. Separación de la parte controlable del sistema de la no controlable. .................. 54

3.3. Matriz de retroalimentación K. ................................................................................... 55

3.3.1. Ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables de

estado……………………………………………………………………………………..…….56

3.3.2. Determinación de la matriz de retroalimentación. ............................................... 57

3.3.2.1. Comando place. .......................................................................................... 57

3.3.2.2. Matriz de retroalimentación. ......................................................................... 58

3.4. Métodos de solución para sistema con retardo. ........................................................ 60

3.4.1. Aproximación de Padé. ...................................................................................... 60

3.4.2. Predictor de Smith. ............................................................................................ 62

3.4.3. Aplicación del predictor de Smith. ...................................................................... 65

Capítulo 4: Arquitecturas de control. ................................................................................ 68

4.1. DTI del proceso a controlar. ..................................................................................... 69

4.2 Estrategia de control por relación. .............................................................................. 70

4.2.1. Implementación del control por relación. ............................................................ 70

4.3. Control en cascada. .................................................................................................. 71

4.3.1. Aplicación de control en cascada. ...................................................................... 72

Capítulo 5: Conclusiones. .................................................................................................. 79

5.1. Comparación de la respuesta del sistema lineal y del no lineal ................................. 79

5.2. Matriz k y control en cascada para sistema lineal sin retardo. ................................... 79

5.3. Matriz k y control en cascada para sistema lineal con retardo. .................................. 80

5.4. Predictor de Smith. ................................................................................................... 80

5.5. Sistema no lineal. ...................................................................................................... 81

5.6. Conclusión general. .................................................................................................. 81

vi

Anexos ............................................................................................................................. 84

Anexo 1: programa en matlab para la linealización de la matriz A. .................................. 84

Anexo 2: programa en matlab para la linealización de la matriz B. .................................. 87

Anexo 3: obtención de la retroalimentación de estados. .................................................. 89

Referencias ....................................................................................................................... 90

vii

Índice de Figuras

Capítulo I

figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho

fuidizado, d) De transporte neumático. ................................................................................... 6

figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo. .................... 7

figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores............................................. 8

figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas ............................. 8

figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica). ....... 9

figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica). ..... 9

figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o mas

fases). ................................................................................................................................... 10

figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida,

Gas-liquido. .......................................................................................................................... 10

figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas...................... 11

figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y

electroquímicas. .................................................................................................................... 11

figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas. ... 12

figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados........... 14

figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material. .................................................... 17

Capítulo II

Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado......................................... 20

Figura 2. 2. Esquema de la planta ........................................................................................ 21

Figura 2. 3. Diagrama de bloques del CSTR. ........................................................................ 32

Figura 2. 4. Diagrama de conexiones internas. ..................................................................... 33

Figura 2. 5 Diagrama de bloques de CA, estado . ............................................................ 34

Figura 2. 6.Diagrama a bloques CB, estado . ................................................................... 35

Figura 2. 7.Diagrama a bloques CC, estado . ................................................................... 35

Figura 2. 8. Diagrama a bloques CD, estado . .................................................................. 36

Figura 2. 9. Respuesta de las concentraciones CA, CB, CC y CD ........................................ 37

Figura 2. 10. Diagrama a bloques T, estado . ................................................................... 38

Figura 2. 11. Diagrama a bloques Tr, estado . .................................................................. 38

Figura 2. 12. Respuesta de temperatura en el reactor y temperatura en el enchaquetado. .. 39

Figura 2. 13. Diagrama a bloques Ph, estado . ................................................................. 40

Figura 2. 14. Respuesta del nivel de pH dentro del reactor ................................................... 40

viii

Capítulo III

Figura 3. 1. Matrices representativas del sistema linealizado. ............................................... 47

Figura 3. 2. Diagrama en simulink del sistema linealizado. ................................................... 48

Figura 3. 3. Respuesta lineal de las concentraciones A, B, C y D. ........................................ 48

Figura 3. 4. Respuesta de la temperatura en el reactor y repuesta en el enchaquetado. ...... 49

Figura 3. 5. Respuesta del pH dentro del reactor. ................................................................. 49

Figura 3. 6. Comparación entre sistema linealizado y sistema no lineal. ............................... 50

Figura 3. 7. Diagrama empleado para comparar respuesta lineal y no lineal. ....................... 51

Figura 3. 8. Matriz de controlabilidad del sistema obtenida con el comando ctrb. ................. 52

Figura 3. 9. Matrices obtenidas con el comando ctrbf. .......................................................... 53

Figura 3. 10. Matriz de transformación y matriz Q obtenidas con el comando ctrbf. .............. 54

Figura 3. 11. Matriz Ac y Bc que representan los estados controlables................................. 54

Figura 3. 12. Sistema de control dado por su modelo en espacio de estados. ...................... 55

Figura 3. 13. Matriz Kbar ...................................................................................................... 58

Figura 3. 14. Matriz Kbar con columna de ceros. .................................................................. 58

Figura 3. 15. Matriz K. ........................................................................................................... 58

Figura 3. 16. Raíces del sistema original .............................................................................. 59

Figura 3. 17. Raíces del sistema considerando una ganancia K. .......................................... 59

Figura 3. 18. Respuesta en lazo cerrado .............................................................................. 60

Figura 3. 19. Regulador convencional de bucle cerrado ....................................................... 61

Figura 3. 20. Predictor de Smith. Lazo de control. ................................................................ 62

Figura 3. 21. Medición imposible en el proceso físico. .......................................................... 63

Figura 3. 22. Control de lazo abierto ..................................................................................... 63

Figura 3. 23. Control de lazo cerrado .................................................................................... 64

Figura 3. 24. Diagrama del Predictor de Smith. ..................................................................... 65

Figura 3. 25. Nivel de pH dentro del reactor. ......................................................................... 66

Figura 3. 26. Respuesta de la temperatura dentro del reactor y del enchaquetado ............... 66

Figura 3. 27. Comportamiento de las concentraciones A, B, C, D. ........................................ 67

Capítulo IV

Figura 4. 1. Diagrama de tubería e instrumentación de el proceso de saponificación. .......... 69

Figura 4. 2. Control por relación. ........................................................................................... 71

Figura 4. 3. Control en cascada. ........................................................................................... 72

Figura 4. 4. Control en cascada ............................................................................................ 73

Figura 4. 5. Controlador esclavo PID2 .................................................................................. 73

Figura 4. 6. Controlador maestro PID. .................................................................................. 74

Figura 4. 7. Control por relación y control en cascada. ......................................................... 74

Figura 4. 8. Aplicación de control por relación y control en cascada. .................................... 75

Figura 4. 9. Control en cascada en combinación con predictor de Smith. ............................. 76

Figura 4. 10. Sistema sin retardo. ......................................................................................... 76

Figura 4. 11. Sistema con retardo. ........................................................................................ 77

ix

Figura 4. 12. Respuesta de control en cascada con predictor de Smith. ............................... 77

Capítulo V

Figura 5. 1. Control en cascada, por relación y predictor de Smith aplicado al sistema no

lineal. .................................................................................................................................... 81

Figura 5. 2. Control en cascada con presencia de retardo .................................................... 83

Figura 5. 3. Control en cascada con predictor de smith. ....................................................... 83

x

Índice de Tablas

Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas. ..... xv

Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores .... 3

xi

Glosario

Álcali: Hidróxido metálico muy soluble en el agua, que se comporta como una base fuerte.

Alcalino: De álcali o que tiene álcali.

Analítico: Cuando se aplica las leyes físicas y químicas correspondientes a cada

componente del sistema, que en conjunto forman una estructura o función matemática.

Ácidos: Sustancia que en disolución aumenta la concentración de iones de hidrógeno y se

combina con las bases para formar las sales.

Acuoso: Abundante en agua.

Automático: Que funciona en todo o en parte por sí solo.

Base: Cualquier sustancia que en disolución acuosa aporta iones OH− al medio.

Catalizador: Sustancia que está presente en una reacción química en contacto físico con los

reactivos, y acelera, induce o propicia dicha reacción sin actuar en la misma.

Concentración: Magnitud que expresa la cantidad de una sustancia por unidad de volumen.

Coeficiente: Cantidad de moles de partículas

CSTR: De sus siglas en inglés, continuous stirred-tank reactor, Reactor continúo tipo tanque

agitado.

Disolución: Son mezclas homogéneas de sustancias en iguales o distintos estados de

agregación.

Enzima: Son moléculas proteicas que catalizan reacciones químicas

Experimental: Consiste en la identificación de los parámetros, mediante el análisis de datos

de entrada y salida, estimando valores posibles que se ajusten al sistema.

Flujo de calor transferido por convección: Es una de las tres formas de transferencia de

calor y se caracteriza porque se produce por intermedio de un fluido (líquido o gas) que

transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce

únicamente por medio de materiales fluidos.

Flujo de calor por conducción a través de un sólido: Es en el que existe un gradiente de

temperatura.

Hidrolisis: El desdoblamiento de un compuesto químico por la acción del agua, de las

grasas y los aceites

xii

Lejía: Hipoclorito sódico

Lipídica: Perteneciente o relativo a los lípidos

Mol: El mol o molécula gramo es la unidad básica del Sistema Internacional de Unidades

que mide la cantidad de sustancia; se representa con el símbolo mol.

Movimientos espaciales: son los desplazamientos de un lugar a otro.

Operación unitaria: Es una parte indivisible de cualquier proceso de transformación donde

hay un intercambio de energía, sea físico, químico o de naturaleza biológica, de una materia

prima en otro producto de características diferentes.

Reactantes: Elementos, moléculas o iones que intervienen en una reacción química y dan

lugar a los respectivos productos.

Reactivo: Toda sustancia que interactúa con otra en una reacción química.

Rendimiento: Grado en el que se producen las reacciones que originan el producto.

Saponificación: Según Levenspiel (1998), la saponificación consiste en una hidrólisis

alcalina de la preparación lipídica (con KOH o NaOH). Los lípidos derivados de ácidos

grasos (ácidos monocarboxílicos de cadena larga) dan lugar a sales alcalinas (jabones) y

alcohol, que son fácilmente extraíbles en medio acuoso.

Tiempo de residencia: Los elementos de fluido en la corriente de entrada al reactor tienen

una probabilidad P1 de permanecer en el reactor durante un tiempo T1, una probabilidad P2

de permanecer un tiempo T2, y así sucesivamente; esto da origen a una distribución de

tiempos de residencia, que tiene una influencia directa en la conversión y selectividad

obtenidas en un reactor.

xiii

Objetivos

Objetivo general.

Implementar arquitecturas y algoritmos de control, para controlar la temperatura y el nivel de

pH en el interior de un reactor de agitación continua, considerando los efectos del retardo.

Objetivos particulares.

Mantener las condiciones de temperatura y pH constantes dentro del reactor en

304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente

Analizar la respuesta de un reactor de agitación continua bajo las influencias del

retardo en las salidas de la temperatura del reactor.

Analizar el desempeño de controladores diseñados bajo las consideraciones del

retardo.

xiv

Antecedentes

En primer lugar se tiene que en 2005 en la Pontificia Universidad Católica del Perú se realizó

una tesis para obtener el título de Maestro en ingeniería en control y automatización,

llamada “Diseño de un neurocontrolador dinámico aplicado a un reactor químico continuo”

por Henry A. Mendiburu Díaz, cuyo objetivo principal fue el diseño y análisis de varios

sistemas de control aplicados a un reactor químico continuo (CSTR). En este trabajo se

puede observar las diferentes tipos de respuestas que un reactor químico de este tipo puede

tener bajo las influencias de un control PID y de un control por medio de redes neuronales,

en base a los resultados se concluye cual es el controlador más conveniente. Otro de los

objetivos de este trabajo es brindar conocimiento acerca de los reactores químicos.

Se revisó el artículo “Modelación, simulación y control de un reactor exotérmico por lotes,

utilizando Matlab-Simulink”, que fue publicado en la Revista Redalyc Vol. 10, No. 2. 7-12,

2003, por Aida Pérez R, Eliana Peña, Pascual Aljibes. D. Los fines de este trabajo es el

estudio de un reactor por lotes exotérmico a partir de su modelo matemático aplicando

diferentes combinaciones del algoritmo de un PID considerando perturbaciones y así

observar las variantes en la respuesta, con el fin de reducir los subproductos en el proceso.

Se concluyó que el uso de software como Matlab-simulink facilita el análisis del modelo

matemático del sistema, respecto al control, y se determinó en que porcentaje de conversión

del el reactante se obtenían menos subproductos.

Eliana Peña T. (2008) el cual estudió un reactor tipo tanque continuamente agitado (CSTR) a

partir de su modelo matemático en variables de espacio de estado. Posteriormente, se utiliza

el modelo no lineal para realizar unas pruebas de lazo abierto del sistema y por último se

diseña su sistema de control predictivo por modelo (MPC), el cual se compara con una

estrategia de control proporcional. Para ambos lazos de control se utilizó el modelo lineal

representado a través de variables de estado.

En lo que respecta al control de reactores biológicos usando técnicas de control, tenemos

que Bequette Wayne (1991) realizó una revisión teórica e histórica sobre estrategias de

control no lineal, por otro lado Jagadeesh Chandra A.P (2010) el cual diseña un control de

temperatura y pH el cual es implementado en Labview, mientras que S.Srinivasan (2010) en

el cual se diseña un controlador PI el cual controla la cinética que tiene la ecuación de

Monod.

Jesús Fausto López Manzanarez (2003) presentó una tesis llamada “Regulación de

Reactores Químicos con Esquema de Control Proporcional Integral No Lineal” en el cual

aborda el problema de la regulación de reactores químicos continuos por medio de un

esquema de control proporcional integral no lineal (NPI).

xv

Cinda Luz Sandoval Torres (2012) realizaron un trabajo de tesis llamado “Laboratorio Virtual

de Procesos”, en este trabajo se desarrolló un laboratorio virtual que involucra las disciplinas

de control de procesos y la simulación de plantas completas, para ello se utilizó Labview.

Para ilustrar más los antecedentes históricos sobre control de procesos químicos usando

técnicas de control, se muestra la tabla 1, la cual es tomada de la referencia [19]:

Tabla 1. 1. Control de procesos químicos mediante la utilización de diferentes técnicas.

Reactores bioquímicos Bequette (1990) Brengel y Seider (1989) Henson y Seborg (1990) Kravaris (1988)

Reactores químicos Adebekun y Schork (1989) Aluko (1988) Álvarez et al. (1989) Bartusiak et al. (1989)

Destilación Alsop y Edgar (1990) Castro et al. (1987) Lu y Holt (1990)

Nivel Cheung y Luyben (1980) Rugh (1987) Shunta y Fehervari (1976)

pH Jayadeva et al. (1990) Parrish y Brosilow (1988) Wright y Kravaris (1991)

Sistemas con Tiempo Muerto Bequette (1990)

Contracción de la Variable Manipulada Bequette (1990) Patwardhan et al. (1990) Sistu y Bequette (1990)

.

Para la parte de retardos y estrategias de control se tiene el trabajo de tesis realizado por

Pedro José García Gil (2007), titulada “Sistemas dinámicos con retardos temporales” en la

cual se han propuesto diferentes variaciones del esquema original del Predictor de Smith,

denominadas genéricamente Compensadores de Tiempo Muerto (DTC).

xvi

Justificación

Durante los últimos años, el control de los dispositivos que involucran alguna reacción

química ha sido un problema importante que requiere de una amplia atención, muchos

procesos actuales carecen de un funcionamiento ideal o deseado. La falta de un sistema de

control que cumpla con los requerimientos deseados se debe en gran parte al modelado de

dicho sistema, ya que un modelo matemático que se obtenga de un sistema jamás podrá

igualar a la realidad, debido a que se encuentra presente una incertidumbre (retardos,

perturbaciones etc.).

El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado

en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera

aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación,

complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión,

temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede

ocasionar el fracaso de la planta.

Teniendo en cuenta los puntos antes mencionados, se han realizado un gran número de

trabajos de control para reactores CSTR, siempre aplicando diferentes tipos de estrategias

con el fin de alcanzar los mejores resultados de acuerdo a los objetivos de su control,

algunos de ellos están referenciados en este trabajo.

La importancia de la aplicación de dichas estrategias radica en que una gran cantidad de

productos consumidos por la sociedad son llevados a cabo por este tipo de reactores

químicos. Como es sabido, las variaciones mínimas presentes en las reacciones químicas

pueden llevar a la obtención de productos o subproductos no esperados en cantidad y forma,

por lo tanto, es de suma importancia mantener un control en las variables influyentes del

proceso en el reactor químico; las perturbaciones, variaciones, desviaciones deben de ser

mínimas, la consideración de los retardos en este tipo de sistema nos pueden llevar a la

obtención de mejores resultados. Al aplicar una estrategia de control mucho más efectiva, se

influyen en aspectos como: cantidad aplicada de los reactantes, mejor aprovechamiento de

energías, por ejemplo, en el calor aplicado a la reacción, etc., lo que traería principalmente

un ahorro de tiempo y dinero.

Por otro parte, las perturbaciones, variaciones, desviaciones son características de los

procesos, por eso, al realizar el trabajo fue importante preguntarse ¿es necesario conocer

los efectos del retardo en los sistemas?, todos los procesos químicos presentan retardos, es

cierto también que no todos requieren un esquema de control que considere sus efectos,

también es sabido que unos son evidentemente menos afectado que otros. Haciendo estas

consideraciones, los procesos químicos en los que se evidenciaría las ventajas de los

esquemas de control considerando los efectos del retardo serían aquéllos en los cuales los

retardos tuvieran una mayor presencia, y por ende un esquema de control básico no

estabilizaría al sistema en el punto de operación deseado.

xvii

En el párrafo anterior se menciona la importancia del retardo, si es tan importante ¿Por qué

no se considera en el diseño de estrategias de control?, la respuesta está en que su

representación matemática implica tratar con ecuaciones diferenciales en diferencias, las

cuales son más complejas de manejar que las ecuaciones diferenciales ordinarias, la

diferencia de tratar con estas ecuaciones se explicara posteriormente en el capítulo 2.

Como se ha mencionado en el inicio de este punto, los retardos están presentes en todos los

sistemas, el problema es que difícilmente se puede conocer el valor de ellos, para ello es

necesario emplear diferentes estrategias de control, entre las cuales se pueden mencionar el

predictor de Smith, la cual permite tratar sistemas con retardos, cada una desde un punto de

vista diferente.

Por ello, en este trabajo de tesis se pretende demostrar los efectos que tienen los retardos

en un sistema, así como la aplicación del Predictor de Smith, el cual es utilizado para tratar

este tipo de fenómenos, para poder llevar acabo esta demostración es necesario comparar

dicha estrategia con estrategias que son utilizadas habitualmente.

Por último, se tiene que los valores asignados a cada una de las variables utilizadas en esta

tesis se encuentran basados en los resultados de los trabajos antes mencionados, por lo

cual este trabajo tiene un alcance de simulación y análisis de respuestas.

1

Capítulo 1: Marco teórico.

En el interior de este capítulo se encuentran las bases de la investigación

desarrollada.

Por ello, se describen algunas características y aspectos de los reactores,

entre las cuales resaltan: clasificación, aplicaciones, importancia, variables

que interfieren, balances de materia y energía, etc.

Para poder realizar el control de un sistema se requiere de la interpretación

matemática que describa su comportamiento, la representación matemática

sistema se pueden dar de tres formas: ecuaciones diferenciales, función de

transferencia y ecuaciones de estado.

La mayoría de los procesos químicos presentan un comportamiento no

lineal, por tal motivo es indispensable conocer la forma de trabajar con

sistemas de este tipo y el método de linealización que se puede aplicar.

Para poder realizar el control de un sistema es necesario determinar la

controlabilidad de dicho sistema, ambos términos son descritos en el interior

de este capítulo.

Por último, se encuentran conceptos importantes como son: definición de

un retardo, operador del retardo, comportamiento de un retardo y métodos

de control utilizados en sistemas con retardos.

2

1.1. Conceptos generales de los reactores.

1.1.1. Reacción química

Una reacción química es una operación unitaria; es decir, redistribuye los átomos de las

moléculas que forman a los compuestos reactantes para obtener nuevas moléculas.

La química se encarga del estudio de estas reacciones químicas se basa principalmente en

su estructura, propiedades, cambios físicos y energéticos que tienen lugar, y la velocidad con

que se forman los productos.

La cinética química trata principalmente del estudio de la velocidad, considerando todos los

factores que influyen sobre ella y explicando la causa de la magnitud de esa velocidad de

reacción, mide las velocidades de las reacciones químicas con el fin de encontrar las

ecuaciones que relacionen la velocidad de una reacción con las variables experimentales.

Esta herramienta permite profundizar en la naturaleza de los sistemas reaccionantes,

comprender cómo se forman y se rompen los enlaces químicos y estimar sus energías y

estabilidades. La fuerza relativa de los enlaces químicos y la estructura molecular de los

compuestos se pueden investigar con esta herramienta, es posible obtener un método para

el estudio del transporte de calor y materia, y sugiere métodos para tratar fenómenos de

velocidad en otros campos [11].

1.1.1.1. Clasificación de las reacciones químicas.

La clasificación de las reacciones químicas puede ser muy variada, por ejemplo puede ser

por el número y tipo de fases implicadas, lo que da sistemas homogéneos y heterogéneos.

Una reacción es homogénea si se efectúa en una sola fase, es decir, tanto los reactivos

como los productos se encuentran en un mismo estado físico. Una reacción es heterogénea

con al menos la presencia de dos fases o estados físicos en la reacción.

En la gran mayoría de los procesos se tiene como objetivo obtener un determinado producto,

pero es prácticamente imposible prescindir de los subproductos o en el peor de los casos

residuos, a esto se le llama reacción múltiple.

En las reacciones simples solo se necesita una expresión cinética para definir el

comportamiento. En las reacciones múltiples, se necesita más de una ecuación cinética.

Por otro lado se tienen a las reacciones químicas muy rápidas, que en otras palabras son la

combustión de un gas, puede no existir homogeneidad en la composición o en la

3

temperatura, por consiguiente, no tienen una sola fase, ya que una fase implica uniformidad

en la temperatura, la presión y la composición.

También se tienen las reacciones catalíticas, su velocidad está alterada por la presencia de

catalizadores, estos no necesitan estar presentes en grandes cantidades; los catalizadores

actúan, en cierto modo, como mediadores, retardando o acelerando la reacción y a la vez

pueden o no sufrir pequeñas variaciones, en la Tabla 1.2 se muestran ejemplos de

reacciones químicas catalizadas y no catalizadas, homogéneas y heterogéneas [11].

Tabla 1. 2 Clasificación de las reacciones químicas empleadas en el diseño de reactores

No catalizadas Catalizadas

Homogéneas

La mayor parte de las reacciones en

fase gaseosa.

La mayor parte de las

reacciones en fase liquida.

Reacciones rápidas tales como la

combustión de una llama.

Reacciones en sistemas

coloidales.

Reacciones con enzimas

microbiológicas.

Heterogéneas Combustión del carbón tostado de

minerales.

Ataque de solidos por ácidos.

Absorción gas-liquido con reacción.

Reducción de minerales de hierro a

hierro y acero.

Síntesis del amoniaco.

Oxidación de amoniaco para dar

ácido nítrico.

Cracking del petróleo.

Oxidación de a .

1.1.2. Reactor Químico

Un reactor químico puede definirse básicamente como el lugar físico en donde las

reacciones químicas se llevan a cabo [10].

Es una unidad de proceso diseñada para llevar a cabo una o varias reacciones químicas.

Esta definición generalmente implica un sistema bien delimitado, casi siempre un recipiente

cerrado, con líneas de entrada y salida claramente especificadas y un estricto algoritmo de

control.

El éxito de una planta química, viene daba básicamente por el reactor químico involucrado

en el proceso, es por eso que al hablar de reactores químicos también se considera

aspectos como: el equipo auxiliar, reactantes en las entradas, costos de operación,

complejidad de una planta, condiciones de la reacción, variables manejadas como: presión,

temperatura, niveles, concentraciones, etc. La falla de cualquiera de estos aspectos puede

producir el fracaso de la planta.

4

1.1.2.1. Ecuación de Rendimiento.

Según [10], es aquella expresión matemática que relaciona la salida con la entrada en un

reactor químico, para diversas cinéticas y diferentes modelos de contacto. El modelo de

contacto se refiere a como los materiales circulan a través del reactor y se contactan entre

ellos, el tiempo de mezclado, y las condiciones y características de la incorporación de

material. La cinética habla de que tan rápido ocurren las reacciones químicas y el equilibrio

dentro del reactor.

Todos los factores mencionados previamente están condicionados por dos ecuaciones:

balance de masa y balance de energía.

El balance de masa está dado por la relación:

El balance de energía está dado por la relación:

1.1.2.2. Tipos de reactores.

El tipo de reactor dependerá de las necesidades de una situación concreta.

Clasificación según criterios de:

Continuidad

o Reactores continuos.

o Reactores discontinuos.

o Reactores semicontinuos.

Geometría

o Reactores tubulares. Reactores cilíndricos con longitud (L) ampliamente

superior al diámetro (D). Se usan fundamentalmente en procesos continuos,

con flujo axial.

o Reactores tipo tanque. Reactores en los que no predomina ninguna dimensión

(L y D son del mismo orden de magnitud). Uso en procesos continuos y

discontinuos.

Tipo de flujo

o Reactores de flujo ideal. El flujo en el reactor responde a uno de los dos

extremos ideales:

5

flujo de mezcla perfecta: mezcla instantánea y en todo el reactor, lo

que supone una homogeneidad de propiedades (composición,

temperatura, etc.) en todo el volumen del mismo.

flujo pistón: mezcla nula entre los diferentes elementos de volumen en

la dirección del flujo, lo que supone la existencia de perfiles en el valor

de las propiedades en esa dirección.

o Reactores de flujo no ideal. El flujo de sustancias se aleja de los

comportamientos ideales indicados, de forma que se crean corrientes

internas, zonas estancas, gradientes de concentración, de temperatura, etc.

La determinación de la distribución de tiempos de residencia será clave para

el cálculo de la eficacia del reactor.

Características térmicas

o Reactores isotermos. Presentan igual temperatura en todo su volumen de

reacción y para todo tiempo.

o Reactores adiabáticos. No tienen transferencia de calor con su entorno. El

calor generado o consumido en la reacción produce perfiles longitudinales o

temporales de temperatura.

o Reactores no isotermos no adiabáticos. Presentan transmisión de calor con el

entorno. Los perfiles en cada punto del reactor (o para cada tiempo, en caso

de discontinuos) dependen del balance energético entre calor generado y

calor evacuado (para reacciones exotérmicas) o calor consumido y captado

(en endotérmicas).

Presión de trabajo

o Reactores de baja presión. Presión de trabajo inferior a aproximadamente 10

atmósferas. Comportamiento ideal de las fases fluidas. No requerimientos

especiales.

o Reactores de alta presión. Presiones superiores a aproximadamente 10

atmósferas. Comportamiento no ideal de los fluidos. Necesarias medidas

adicionales de seguridad: espesor del material de construcción, discos de

ruptura, válvulas de seguridad, etc. [13].

Carácter de la reacción

o Reactores catalíticos. La velocidad con la que se aproxima al equilibrio la

reacción química que se lleva a cabo en ellos está aumentada mediante el

uso de un catalizador en la misma fase o en diferente fase que éstos.

o Reactores no catalíticos. No intervienen sustancias catalíticamente activas.

6

Fases que intervienen

o Reactores homogéneos. Una sola fase. Normalmente reacciones entre gases

(en reactores tubulares) o entre líquidos miscibles (en reactores tipo tanque).

o Reactores heterogéneos. Intervienen varias fases en el proceso.

Habitualmente por el uso de un catalizador sólido. Según el número de fases y

su naturaleza:

Reactores bifásicos sólido-fluido, S-G o S-L (sólido-gas o sólido-

líquido).

o De lecho fijo: Figura 1.1. a). El sólido constituye un lecho

empaquetado de partículas que es atravesado por el fluido.

o De lecho móvil: Figura 1.1. b). Una corriente de sólido es

alimentada en continuo y otra extraída del reactor (sólido residual

o catalizador desactivado). Según dirección y sentido relativo de

las corrientes de sólido y fluido, se tiene lecho móvil en

contracorriente, en corrientes paralelas o en corrientes cruzadas.

o De lecho fluidizado: Figura 1.1 c). La velocidad superficial de

ascenso del gas en el lecho ( ) es mayor que la velocidad de

mínima fluidización ( ) de las partículas sólidas y éstas se

mueven en el de forma semejante a las moléculas de un fluido. El

flujo de gas es próximo a un flujo pistón si no excede en mucho

el valor , cuánto más grande es ese exceso sufre más

retroalimentación de la mezcla. La transferencia de calor en el

lecho es muy buena y presenta la gran ventaja de su

isotermicidad.

o De transporte neumático o tipo riser: Figura 1.1 d). la velocidad

es mayor que la velocidad terminal del sólido ( ), éste es

arrastrado con la corriente de gases. El lecho presenta

elevadísima porosidad [14].

a) b) c) d)

figura1. 1 Reactor bifásico solido-fluido. a) De lecho firme. b) De lecho móvil. c) De lecho fuidizado, d) De transporte neumático.

7

Reactores bifásicos fluido-fluido, G-L o L-L (gas-líquido o líquido-

líquido entre líquidos inmiscibles)

o Tipo torres de pulverización: Figura 1.2 a). El líquido forma una

fase dispersa de gotas que caen por gravedad y se ponen en

contacto con la corriente de gas (en contracorriente o corrientes

paralelas) como fase continua. Diversas variantes: torres de

relleno, de etapas, de platos, etc.

o Tipo tanques de borboteo: Figura 1.2 b). Es el gas la fase

dispersa en burbujas a través del líquido que constituye la fase

continua.

a) b)

figura1. 2 Reactores bifásicos fluido-fluido. a) de pulverización. b) de borboteo.

Reactores trifásicos gas-líquido-sólido, G-L-S. Habitualmente en

reacciones entre un reactivo en fase gas y otro en fase líquida con un

sólido como catalizador.

o Tipo reactores de barros o slurry: el sólido son partículas muy

finas en suspensión.

o Tipo lecho escurrido o trickle bed: el sólido, en partículas

mayores, forma lecho un lecho fijo [13].

1.1.3. Algunas aplicaciones según sea el tipo de reacción.

De la Figura 1.3 a la Figura 1.11, se muestra una lista que incluye el tipo de reactor que se utiliza para desarrollar determinado tipo de reacción, así como algunos ejemplos de aplicaciones en la industria química (desarrollado en base a la clasificación de [15]).

8

figura1. 3. Algunos tipos de reacciones presentes en reactores.

.

figura1. 4. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas.

9

figura1. 5. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (exotérmica).

figura1. 6. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase gas (endotérmica).

10

figura1. 7. Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción fase liquida (una o más fases).

figura1. 8 . Ejemplo de aplicación de reactores con una reacción catalizada: Fase liquida, Gas-liquido.

11

figura1. 9. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones no catalizadas.

figura1. 10. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones electrotérmicas y electroquímicas.

12

figura1. 11. Ejemplo de aplicación de reactores con reacciones aeróbicas y anaeróbicas.

1.2. El modelado matemático de procesos químicos

Un modelo matemático de un sistema es un conjunto de ecuaciones que representan la

dinámica del sistema, este modelo no es único, un sistema puede representarse de formas

diferentes y esto dependerá de la perspectiva.

El modelado macroscópico de procesos ha demostrado ser eficaz para resolver muchos

problemas en los proceso químicos, estos modelos son capaces de describir el

funcionamiento del sistema, pero el control que se hace actualmente a estos procesos sigue

siendo deficiente debido a la falta de precisión que se tiene al realizar dichos modelos. Se

sabe que en los modelos obtenidos, van involucrados aspectos inherentes tales como son:

los retardos del tipo no-lineales (sistemas que no cumplen con el principio de superposición y

en los cuales se encuentra inmerso uno o varios retardos), modelos matemáticos con

grandes problemas de linealidad, el mal entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo

real de monitoreo, fallas en las mediciones en línea de las variables del proceso, falta de

aparatos y sensores fiables en línea, etc.

Dadas las crecientes expectativas de los procesos químicos industriales, el control de estos

procesos considerando al retardo es de importancia práctica. El controlador se obtiene a

partir de la(s) función(s) de transferencia. La única información requerida sobre el proceso

13

son las medidas de las variables de estado y su grado relativo. Cabe mencionar que si para

el proceso de análisis no hay variables accesibles de estado, éstos serán estimados

utilizando un observador adecuadamente de estado.

Es bien sabido que un modelo por más complejo que sea nunca podrá igualar la realidad, la

consideración de los retardos es de vital importancia para poder desarrollar un modelo más

preciso y exacto, que se aproxime más a la realidad, por ende es mucho mejor considerar un

sistema con retardo a uno que lo ignore.

1.2.1. Espacio de estados.

El estado de un sistema es el conjunto de variables llamadas variables de estado, que en

conjunto con las funciones de entrada y las ecuaciones que describen la dinámica del

sistema, nos permiten predecir las salidas y estados futuros.

Un sistema moderno complejo posee múltiples entradas y múltiples salidas, las cuales tiene

una relación relativamente complicada, esta relación es simplificada con su representación

en espacio de estados.

La teoría del control convencional se basa en relaciones entrada-salida, o funciones de

transferencia, la teoría del control moderna se basa en la descripción de las ecuaciones de

un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en

una ecuación diferencial vectorial de primer orden.

El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los

sistemas de ecuaciones.

La representación de un sistema en espacio de estados se muestra a continuación:

(1.1) (1.2)

xvector de estado de dimensión n AMatriz nxn uvector de control de dimensiones r BMatriz de nxr yvector de salida de dimensiones n CMatriz de mxn DMatriz de mxr

Los estados de un sistema también pueden ser representados en diagrama de bloques como

se muestra en la Figura 1.12.

14

figura1. 12. Representación gráfica en diagrama de bloques del espacio de estados.

1.2.2. Controlabilidad y observabilidad.

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad que son de suma

importancia para el diseño de controladores en espacio de estados, estos conceptos

determinan la existencia del controlador, en otras palabras, el sistema debe ser de estado

completamente controlable para el diseño de su controlador, y completamente observable en

caso de realizar un observador.

Controlabilidad

Un sistema representado en espacio de estados, como se muestra en las ecuaciones 1.1,

1.2 es controlable en t=t0 (t =tiempo, t0=tiempo inicial), si es posible construir una señal de

control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier estado final (t1) en un

intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Si todos los estados son controlables, se dice que el

sistema es de estado completamente controlable.

Observabilidad

Sea en sistema no forzado descrito por

(1.3) (1.4)

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir

de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Un sistema es

completamente observable si todas las transiciones del estado afectan eventualmente a

todos los elementos del vector de salida.

15

1.3. Sistemas lineales y no lineales.

La linealidad de las ecuaciones matemáticas representativas de un sistema, se refiere a que su comportamiento se presenta siempre dentro de un margen de operación acotado. Cuando se desea conocer el comportamiento de un sistema fuera de ese margen, el simplemente no posee condiciones de linealidad, por lo tanto se obtiene es un modelo matemático no lineal.

Como se sabe, la propiedad de linealidad satisface el principio de superposición. Es decir,

una función ( ) es lineal si y solo si dados ( ) ( ) constantes &

( ) ( ) respectivamente [19], entonces la siguiente ecuación se cumple:

( ) ( ) ( )

1.3.1 Método de linealización de Taylor.

Sea el sistema dinámico no lineal definido mediante la ecuación 1.5.

( ) (1.5)

El comportamiento de dicha función se puede aproximar mediante la serie de Taylor

siguiente [19]:

( ) ∑

( )( )

(1.6)

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( ) (1.7)

El método de linealización por Taylor consiste en truncar la serie hasta , utilizando sólo

los primeros dos términos de la serie y despreciando el resto (llamados términos de Orden

Superior). Adicionalmente, si se considera que el punto fijo es igual a un punto de

equilibrio , entonces ( ) ( ) . Por lo tanto:

( ) ( )

( )( ) (

( ))

( )

Definiendo:

(

( ))

( )

La proximidad lineal se define en la siguiente ecuación:

( )

16

Nota: La aproximación lineal puede hacerse en un punto tal que ( ) , en cuyo

caso se considera que las condiciones iniciales no son cero [19].

Para este caso es posible hacer la aproximación lineal con condiciones iniciales igual a cero

y posteriormente, extrapolar los resultados obtenidos hacia las condiciones iniciales (lo que

significa simplemente un desplazamiento de los ejes). Es decir, si las condiciones iniciales se

definen como ( ) entonces se tiene la siguiente ecuación

1.4. Retardos, conceptos básicos.

Los reactores químicos son un ejemplo típico de procesos que exhiben comportamientos no

lineales y que presentan fenómenos de retardo en su dinámica. Los retardos en el tiempo se

originan no solamente por el tiempo que se requiere para que los reactivos involucrados en

el proceso de conversión química generen los productos demandados en el proceso

químico, sino que también se suscitan por los actuadores, sensores y redes de comunicación

involucradas en la implementación práctica de estrategias de control de retroalimentación,

por ejemplo; sistemas de control en cuyos lazos hay sensores como cámaras, columnas de

destilación, procesos de secado de papel, plantas de reciclado, procesos de refinación,

sistemas tele operados etc.

A pesar del conocimiento de que una de la característica es la no linealidad inherente del

proceso, cabe mencionar que existen diversos factores entre los cuales se tienen; el mal

entendimiento de la dinámica, retardos en el tiempo real de monitoreo, fallas en las

mediciones en línea de las variables químicas o simplemente falta de instrumentación

adecuada para el proceso, tradicionalmente en los procesos industriales se utilizan técnicas

de diseño de control como lo es la implementación de un controlador PID (proporcional,

integral, derivativo) entre otras técnicas de control tradicional.

Los retardos temporales pueden ser intrínsecos a los procesos a controlar, como pueden ser

procesos químicos, biológicos, columnas de destilación, procesos con intercambio térmico,

etc., o bien se pueden introducir en el sistema de control por el propio diseño del mismo

(tiempo de computo del algoritmo de control, sistemas distribuidos, control remoto, redes de

comunicaciones, retardos introducidos por los sensores y/o actuadores, etc.).

Los retardos están siempre presentes en los sistemas físicos. Afortunadamente, en muchos

de ellos, éstos son pequeños al compararlos con las dinámicas del sistema y por lo tanto se

pueden asumir cero. Sin embargo, los sistemas que se caracterizan por el transporte de

materiales (p.ej., minería, biología, etc.), tienen retardos apreciables, esto se puede observar

en la Figura.1.13; en algunos casos son mayores a las constantes de tiempo de la dinámica

del sistema. Los sistemas eléctricos no están exentos de esta característica por la velocidad

finita de la luz. Este es el caso de los sistemas de transmisión de energía eléctrica en donde

el transporte se realiza en distancias del orden de los varios cientos de kilómetros.

17

figura1. 13. Sistema con retardo – transporte de material.

En general, las prestaciones de los sistemas de control son muy sensibles a todos estos

retardos, incluso más que a otros parámetros del modelo. De hecho, un sistema de control

en lazo cerrado puede llegar a estabilizarse como consecuencia de los mismos. La principal

limitación de los sistemas con retardos en el lazo de control se deriva del decremento en la

fase de los mismos, lo cual conduce a una inestabilidad del lazo de control a ganancias

relativamente menores, la presencia de esos retardos implica una limitación en la magnitud

de la acción de control.

Por contra, en algunas aplicaciones de control, introducir retardos en el proceso puede que

no presente ningún problema, e incluso puede contribuir a mejorar la respuesta en lazo

cerrado. Los retardos, también se pueden introducir en el modelo del sistema para modelar

procesos de orden elevado por otros de menor orden con retardos.

De forma general, los sistemas de control pueden contener retardos no solamente en la

entrada y/o salida del sistema, sino también en los estados.

Mayores problemas aparecen cuando tratamos con sistemas multivariables con múltiples

retardos, donde la dificultad de la interacción entre los diferentes lazos de control se ve

agravada por la presencia de los mismos.

La presencia de retardos de tiempo o temporales también complica el análisis teórico del

diseño del lazo de control, dado que estos son descritos por expresiones matemáticas más

complejas, respecto al uso normal en control lineal de ecuaciones diferenciales lineales

ordinarias. Este es el principal motivo por el cual el diseño de controladores para sistemas

con retardos temporales es considerablemente más complejo en comparación con sistemas

sin retardos.

Existen muchos sistemas de control que tienen un atraso de tiempo dentro del lazo cerrado

del sistema que afecta su estabilidad. Un tiempo de retardo es el intervalo de tiempo entre el

comienzo de un suceso a un punto del sistema y la acción que resulta en otro punto del

sistema.

18

Capítulo 2: Modelado matemático de un

reactor de agitación continúa.

En este capítulo se explica la forma de obtener el modelo matemático

de un reactor de agitación continua, el cual presenta una dinámica no

lineal y requiere de un método de linealización, de esta forma se puede

obtener un modelo en variables de estado que permita desarrollar

estrategias de control que cumplan con el objetivo de esta tesis.

Algunos valores (constantes químicas, condiciones iniciales, etc.) han

sido tomados de trabajos relacionados a este tipo de temas, los cuales

son mencionados dentro de los antecedentes de este trabajo. Cabe

destacar que el énfasis de este trabajo está ligado a la aplicación de

estrategias de control.

Para poder realizar el modelo matemático de un reactor, es

indispensable conocer la reacción que se lleva a cabo, las variables que

se encuentran presentes en el proceso, así como las señales de control,

balances de energía y de materia, etc., en este caso se tomó como

ejemplo una reacción de saponificación para la elaboración de jabón; es

importante mencionar que el objetivo de esta tesis no va enfocado a la

elaboración de jabón, pero es indispensable tener una reacción para

poder diseñar la estrategia a aplicar.

También se contempla la presencia de retardos, los cuales se pueden

apreciar al llevar a cabo la simulación del sistema no lineal.

Al final de este capítulo se puede observar la simulación de la dinámica

del sistema sin ninguna estrategia de control aplicada.

19

2.1. Reactor de agitación continúa.

Este reactor también es conocido por sus siglas en inglés CSTR que significa Continuous

Stirred Tank Reactor.

La agitación continua llevada a cabo dentro del tanque, tiene el objetivo de alcanzar una

buena mezcla de los reactantes, y asegurar que se use todo el volumen del reactor y así

evitar espacios muertos. Se habla de mezcla perfecta si el tiempo de circulación de los

reactantes dentro del reactor es de una centésima del tiempo promedio que le toma al mismo

elemento para entrar y salir del reactor [16].

Características:

La reacción química se desarrolla en un sistema cerrado.

Los reactantes se añaden continuamente y la mezcla reactiva se extrae en forma

continua.

Operan en régimen estable.

Que la mezcla reactiva este bien agitada se logra haciendo que la presión, la composición y

la temperatura sean las mismas en cualquier parte del reactor.

Ventajas de este tipo de reactores son las siguientes:

Su costo de operación es bajo comparado con el de los reactores por lotes.

Su operación es continua.

Se facilita el control automático de la producción.

Se tiene una sola temperatura en el sistema de reacción.

Desventajas de este tipo de reactores son las siguientes:

Su costo inicial es alto.

Para tiempos de residencia muy altos su tamaño también será alto.

En general son menos eficientes que un reactor tubular.

Las partes principales de este tipo de reactor son. Figura 2.1.

El sistema de agitación.

Las tuberías de alimentación de reactantes.

Las tuberías de descarga de productos.

El recipiente o tanque.

La camisa de enfriamiento y/o calentamiento.

20

Figura 2. 1. Esquema de un reactor continúo tipo tanque agitado.

Las suposiciones principales que se hacen respecto a este tipo de reactor son las siguientes:

La mezcla reaccionante tiene las mismas propiedades en todos los puntos del

reactor.

El flujo de salida tiene las mismas propiedades que la mezcla reaccionante en el

interior del reactor.

El flujo de alimentación alcanza instantáneamente las propiedades de la mezcla

reaccionante.

Estas suposiciones implican que la alimentación se mezcle con el contenido del reactor en

un intervalo de tiempo mucho más corto que el tiempo promedio de residencia dentro del

reactor del flujo que pasa a través de este [16].

Con fines de lograr los objetivos de las tesis se ha decidido tomar como referencia un reactor

químico de agitación continua, al cual ya se le han aplicado diferentes estrategias de control

[17].

2.1.1. Descripción de la planta.

Componentes de la planta:

Reactor: Es un reactor continuo tipo tanque agitado, el cual cuenta con dos ductos:

entrada y salida de materiales. Cuenta con un sistema de control que le permite

mantener una agitación uniforme y casi perfecta y un sistema de control que abre una

válvula de drenaje cuando detecta que el nivel del tanque es superior al deseado.

21

Camisa de Refrigeración: Es un sistema de enfriamiento basado en tubos para

intercambiar calor. Cuenta con un tanque para almacenar el líquido refrigerante y una

bomba para hacerlo circular. El líquido refrigerante a usar será el agua.

Tanques de almacenamiento: Estos tanques permiten almacenar los materiales que

entran al reactor, dicho material es impulsado mediante electrobombas. También se

cuenta con un tanque para almacenar el material producido.

La siguiente figura 2.2. Ilustra estos componentes:

Figura 2. 2. Esquema de la planta

Variables sensadas:

Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , )

Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , )

Concentración de los materiales que entran al reactor ( , )

Concentración de los materiales que salen del reactor ( , )

Temperatura en el interior del reactor ( )

Nivel de pH en el interior del reactor ( )

Flujo del líquido refrigerante ( )

Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( )

Temperatura del líquido refrigerante en la salida ( )

Variables manipuladas (actuadores):

Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ).

Flujo del líquido refrigerante ( ).

22

Se pueden presentar perturbaciones en:

Temperatura de los materiales que entran al reactor ( , ).

Temperatura del refrigerante en la entrada de la camisa ( ).

2.1.1.1. Descripción de la reacción química.

En el interior del reactor químico se desarrollará una reacción de saponificación, de acetato

de etilo ( COO ) con hidróxido de sodio (NaOH), la cual produce acetato de sodio

(C COONa) y etanol (C2 OH). Esta reacción es ligeramente exotérmica.

Para que la reacción transcurra normalmente, se debe procurar mantener la temperatura y

pH constantes dentro del reactor (304.5°K (±8.5°K) y 12 (±0.5) respectivamente). Estos

valores dependen de la receta utilizada, conforme a la calidad de producto requerido.

Una de las principales aplicaciones de este tipo de reacciones es para la fabricación de

jabones. Los jabones son sales alcalinas de los ácidos grasos producidos por un proceso de

saponificación (el proceso inverso a la saponificación es la esterificación).

La saponificación puede ser efectuada con sosa (NaOH), para este caso se obtendrán

jabones de sodio, que son sólidos y ampliamente usados en el hogar. Para obtener jabones

líquidos, en necesario hacer la saponificación con potasa (KOH), el jabón debe reposar unas

semanas para que consiga una textura adecuada y pueda ser envasado y comercializado.

El índice de saponificación es el parámetro que indica la cantidad de éster (acetato)

necesario para saponificar un mol de lejía o álcali (KOH o NaOH) que se esté utilizando, si

se intenta saponificar con cantidades mayores o menores de éster según sea lo requerido,

es claro que el resultado obtenido no será el esperado.

COO

2.1.2.1. Balance de masa.

La expresión general del balance de masa para un material X es la siguiente:

23

Dónde:

Volumen del tanque Concentración de material X a la entrada Concentración de material X a la salida Velocidad de flujo molar de X a la entrada

Velocidad de flujo molar a la salida

Velocidad de generación o transformación

Si la temperatura, actividad catalítica, concentración, y demás parámetros asumidos son

válidos y uniformes, entonces se cumplirá que:

La velocidad de reacción ( ) se define como la velocidad de formación o de desaparición de

moles del material , transformados por cada unidad de tiempo y por cada una unidad de

volumen.

Para este caso, la reacción sigue la ecuación de segundo orden, por tanto:

Ecuación de Arrhenius:

La cual se resolverá según [18]

Donde:

Velocidad de reacción

Constante de velocidad

Factor estérico

Frecuencia de colisiones

Energía de activación

Constante de Botzmann

Temperatura

24

Se sabe que el volumen de la masa reaccionante al interior del tanque es constante,

entonces tanto el flujo de entrada como el flujo de salida serán iguales, por lo que el balance

global de las masas será:

El balance de masas para el hidróxido de sodio (A) es el siguiente:

(2.1)

El balance de masas para el acetato de etilo (B) es el siguiente:

(2.2)

El balance de masas para el acetato de sodio (C) es el siguiente:

(2.3)

El balance de masas para el etanol (D) es el siguiente:

(2.4)

2.1.2.2. Balance de energía.

Según [10], el balance de energía en un reactor CSTR de volumen constante esta dado por

la siguiente expresión:

∑( ) ∑( ) ∑( )

∑( )

Subdividiendo cada termino:

∑( )

∑( )

∑( )

( )

25

∑( )

(

Los términos correspondientes a

se obtienen de la ecuaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4).

Cuando la superficie de un sólido está en contacto con un fluido que se encuentra a diferente

temperatura, se da una transferencia de calor por convección, y puede expresarse mediante

la ley de Newton de enfriamiento:

( )

El flujo de calor transferido por convección.

Coeficiente de transferencia de calor por convección

Temperatura en el reactor a la salida

Temperatura de la superficie de la pared el contacto con el fluido

Temperatura del fluido en un punto alejado de la pared.

En el caso que existe un gradiente de temperatura, el flujo de calor por conducción a través

de un sólido, viene dado por la ley de Fourier de la conducción:

Conductividad térmica del material

Área a través de la que se produce la conducción

El gradiente de temperatura en la dirección de propagación del calor.

En el caso de conducción unidimensional, en régimen estacionario, a través de una pared

plana, de conductividad térmica constante y uniforme y en la que se mantiene una

temperatura constante y uniforme en cada una de las caras de la pared, la transferencia de

calor por conducción viene dada por:

( )

Espesor de la pared M

Diferencia de temperaturas entre la cara de

la pared más caliente y la cara más fría, de

forma que >

26

El flujo de energía térmica q se realiza mediante una combinación de los mecanismos de

conducción y convección

Para cada uno de los mecanismos de transmisión de calor analizados, por analogía eléctrica

con la ley de Ohm, podemos definir una resistencia térmica, esto facilita el estudio de

sistemas de transmisión compuestos.

Para la conducción:

Para la convección:

Al realizar un análisis correspondiente, se obtiene el valor de una resistencia equivalente ,

y el coeficiente global de transferencia de calor corresponde a:

Donde U es el coeficiente global de transferencia de calor, y según [16] se puede asumir

constante:

La transferencia de calor global por unidad de tiempo, según [12] puede expresarse como:

( )

Temperatura en el refrigerante a la salida Temperatura en el reactor a la salida

Operando algebraicamente y simplificando se obtiene que el balance de energía, que

expresa el comportamiento dinámico de la temperatura dentro del reactor, queda reducido a

la siguiente expresión:

( )

( ) ( ) ( )

Capacidad calorífica:

Generalizando la Capacidad Calorífica del material X se encuentra a partir de la siguiente

ecuación, los coeficientes para cada material, fueron obtenidos a partir de [21].

27

Las entalpías se agrupan en un solo término:

( ) ∫ ( )

El coeficiente ( ) representa la parte de la integral que es constante, es decir la

sumatoria de las capacidades caloríficas para una temperatura de referencia ( ).

Donde:

Coeficiente de trasferencia de calor

Superficie o área para la transferencia de calor

Temperatura en el reactor a la salida

Temperatura del material A en la entrada Temperatura del material B en la entrada Temperatura en el refrigerante a la salida Capacidad calorífica general

Capacidad calorífica del material X

Densidad del líquido en el tanque Entalpías de formación del material

Calor desarrollado en la reacción

El comportamiento dinámico para la temperatura de la camisa de refrigeración según

referencia [21] está dado por la expresión:

( ) ( )

Donde:

Temperatura del refrigerante a la salida Temperatura del refrigerante a la entrada

Flujo del líquido refrigerante

Calor especifico del refrigerante

Volumen de la camisa de refrigeración Densidad del refrigerante

También es necesario conocer el valor del PH, este valor puede ser medido

experimentalmente por un sensor, pero en este caso de simulación, se hará una

aproximación mediante la expresión:

28

( )

( ) Donde:

Valor de pH dentro del reactor.

Valor de pH del material A.

Valor de pH del material B.

Variable auxiliar para determinar el pH.

Como se mencionó al inicio de este capítulo, debido a que no se conocen los valores del

retardo que existen en esta reacción, los valores de dichos retardos han sido acotados a los

valores de las perturbaciones antes mencionadas, Temperatura de los materiales que entran

al reactor ( , ), Flujo de los materiales reactantes que entran al reactor ( , ) y flujo

del líquido refrigerante ( ).

La presencia de los retardos puede ser causada por las válvulas que controlan el flujo de los

materiales, el tiempo en que la temperatura del refrigerante actúa, la dinámica de la reacción,

los instrumentos de medición, etc.

2.1.3. Modelo matemático del reactor continuo tipo tanque agitado.

Como ya se mencionó anteriormente: un modelo matemático de un sistema es un conjunto

de ecuaciones que representan la dinámica del sistema, este modelo no es único, un

sistema puede representarse de formas diferentes y esto dependerá de la perspectiva.

Existen diferentes métodos para obtener este modelo matemático, ya sea el método analítico

o el método experimental.

Es necesario conocer el comportamiento del proceso en el cual está involucrado el reactor,

conocer el tipo de reacción y realizar los respectivos balances de masa y energía.

El modelo matemático del presente reactor continuo tipo tanque agitado, se basa en los

balances de masa y energía de proceso, los cuales han sido llevados a ecuaciones

diferenciales, (basado en el trabajo de Hernández y Borregales, 2001, así como en el libro

[17]).

Se han hecho suposiciones con el fin de simplificar el modelo:

La agitación es perfecta, por tanto la concentración, presión, y temperatura son

iguales en cualquier punto del tanque, así como en la corriente de salida.

29

El volumen del reactor es constante.

Las propiedades de los compuestos no varían con la temperatura.

No hay pérdidas de calor hacia el ambiente.

No se considera como objeto de control el sistema de agitación, ni el sistema de

control de nivel del tanque.

La concentración y temperatura de los materiales al interior del reactor son las

mismas a las de los productos que están saliendo del reactor.

El flujo de salida de productos es igual al flujo de entrada de material reactante.

No se ha considerado las dinámicas no lineales de los sensores y actuadores.

Las ecuaciones representativas o modelo matemático de acuerdo a los cálculos realizados

en la tesis [16] son las siguientes:

( )

( ) ( )

(2.1)

( )

( ) ( )

(2.2)

( )

(2.3)

( )

(2.4)

( ( ) )

( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )

(2.5)

( ) ( ( )) ( ( ) ( ))

(2.6)

( ( ) ( ) ( ) )

(2.7)

Definiendo:

; ; ; ; ; ;

Además

( ). Al sustituir en las variables previamente

definidas se tiene como resultado las siguientes ecuaciones que representan el

comportamiento de un reactor de agitación continua.

(

( ) ) (

)

(2.8)

(

( ) ) (

)

(2.9)

30

( ) (

)

(2.10)

( ) (

)

(2.11)

[ ( )

( ) ( ) ((

) ) ]

(2.12)

[ ( ) ( )]

(2.13)

[ ( ) (

) ]

(2.14)

Se puede observar que las ecuaciones presentadas son del tipo no lineales, los sistemas

lineales no existen en la práctica.

Las características físicas del reactor, condiciones iniciales de simulación y perturbaciones,

son similares a las del reactor utilizado por Hernández y Borregales (2001). Los coeficientes

de las constantes químicas (tales como capacidad calorífica, densidad, etc.) han sido

tomadas de “Tablas y gráficas para: Termodinámica I, Termodinámica II, y Termodinámica

general” (PUCP-1986), y de [21].

2.1.3.1. Simulación del modelo matemático del sistema del CSTR con un diagrama de

bloques en Simulink e identificación de las respuestas obtenidas.

A continuación se muestran las condiciones iniciales con las cuales se llevo a cabo la

simulación de reactor de agitación continua.

Constantes

Ex = 2407.2

Energía activación y Const. Botzmann

Ko = 63380 Fact.Esterico * Frec.Coliciones

V = 7.9

Volumen del tanque

Vr = 8

Volumen de la camisa de refrigeración

A = 24

Superficie o área para la transferencia de calor

31

Cpr = 4.19 Calor especifico del refrigerante (agua)

dr = 1000 Densidad del refrigerante (agua)

dL = 76 Densidad del líquido en el tanque

pHA = 13.3

Valor de pH del material A

pHB = 7.10

Valor de pH del material B

CpA = 3.26 Capacidad calorífica del material A

CpB = 2.02 Capacidad calorífica del material B

CpC = 2.51 Capacidad calorífica del material C

CpD = 3.76 Capacidad calorífica del material D

Basándonos en el trabajo de [16] y considerando que no se cuenta con el valor del flujo

molar a la entrada tanto del reactivo A y B, tenemos que la condición inicial de las

concentraciones A y B a la entrada son iguales a 0.2 mol.

Como es sabido, en un sistema siempre se cuenta con perturbaciones que complican que se

pueda llevar a cabo una implementación correcta de una arquitectura de control que permita

obtener los parámetros deseados.

Inicialización de variables

CA = 0.08 Concentración de material A a la salida CB = 0.08 Concentración de material B a la salida

CC = 0.09 Concentración de material C a la salida

CD = 0.15 Concentración de material D a la salida T = 306 Temperatura en el reactor a la salida Tr = 300 Temperatura en el refrigerante a la salida

Ph = 0.01 Variable auxiliar para determinar el pH CiA = 0.2 Concentración de material A a la entrada CiB = 0.2 Concentración de material B a la entrada Tir = 306 Temperatura del refrigerante a la entrada

FiA = 0.01268 Velocidad de flujo molar de A a la entrada

FiB = 0.01037 Velocidad de flujo molar de B a la entrada

TiA = 300 Temperatura del material A en la entrada

32

TiB = 300 Temperatura del material B en la entrada Fr = 0.4768 Flujo del líquido refrigerante

Para poder emplear una simulación que permita observar el comportamiento no lineal del

modelo matemático del reactor, es necesario elaborar un diagrama de simulación analógica,

el cual permite realizar una especie de diagrama de bloques mediante el cual se puede

simular la respuesta del sistema en Simulink, los pasos para realizar dicho diagrama son los

siguientes [22]:

1. Se despeja la salida con la derivada de orden más alta.

2. Aplicar tantas integrales como el orden de la derivada más alta.

3. Construir el diagrama de simulación analógica.

Diagrama de bloques en Simulink

El modelo que se implemento es el que se muestra en las ecuaciones 2.3.

Figura 2. 3. Diagrama de bloques del CSTR.

Esta simulación permite modificar tanto las variables de control como las perturbaciones en

la entrada, esto es con el fin de poder observar el comportamiento del reactor en cada uno

de sus estados. El osciloscopio en la Figura. 2.3, muestra la respuesta que se tiene de las

concentraciones, ya sea en la de las entradas (CA, CB) o salidas (CC, CD), se muestra la

temperatura del reactor y la temperatura de la camisa, por último, se tiene el comportamiento

del pH.

Conexiones internas del diagrama de bloques.

A continuación se observa la respuesta del sistema a perturbaciones constantes, por lo tanto

no se consideran los retardos.

33

La dependencia de cada uno de los estados del sistema se puede observar en la figura. 2.4.

La cual muestra cada una de las conexiones que existe entre cada uno de los estado,

mediante este diagrama y con la interpretación adecuada de las ecuaciones 2.1 a 2.4, se

observa que la variable del pH no ejerce ninguna acción sobre los demás estados del

sistema.

Figura 2. 4. Diagrama de conexiones internas.

En la Figura 2.4. Se observan los bloques que representan a cada una de las ecuaciones de

estado, cada bloque es el equivalente a una ecuación de estado no lineal, de igual forma, se

muestra la entrada de perturbaciones, las cuales se pueden presentar en un instante de

tiempo distinto de cero.

Los diagramas empleados para CA, CB, CC, CD, T, Tr, pH. Son los mostrados en las

Figuras 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 2.9, 2.9, 2.10 y 2.11, respectivamente.

34

Estado

Este estado corresponde a y se representa en la ecuación 2.8, su representación grafica

en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.5.

Figura 2. 5 Diagrama de bloques de CA, estado .

Se observa que depende de CB y T, así como del cambio de CA, por tal motivo es fácil

apreciar que se trata de un sistema no lineal, dado que no depende únicamente de la

variación de CA.

La función del integrador es obtener el valor de CA ( ), ya que como se observa en las

ecuaciones 2.1 a 2.7, los estados son la derivada de cada variable que no tiene un valor fijo,

por lo cual al integrar esta derivada, se obtiene el valor resultante de cada variable.

Estado

Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.9, su representación grafica

en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.6.

35

Figura 2. 6.Diagrama a bloques CB, estado .

La dependencia de es similar a la que se tiene en el caso de .

Estado

Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.10, su representación

grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.7.

Figura 2. 7.Diagrama a bloques CC, estado .

Para este caso se observa que la influencia de CA, CB y T por lo cual la linealidad de la

respuesta se pierde.

Estado

Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.11, su representación

grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.8.

36

Figura 2. 8. Diagrama a bloques CD, estado .

La estructura es similar a la de la figura 2.7, solo difiere en CD con respecto a que se

tiene en la figura 2.7.

Graficas de las respuestas de las concentraciones CA, CB, CC, CD

Hasta este punto solo se tiene la estructura en diagrama de Simulink de las concentraciones

que se encuentran dentro del reactor, por lo cual es posible simular y visualizar la respuesta

que tiene el sistema, los valores de las variables utilizadas son los que se mencionan al

inicio de este capítulo.

Al analizar las gráficas de las concentraciones CA, CB, CC, CD en la Figura 2.9. Obtenidas

de las simulaciones con respecto a las concentraciones, se tiene que la concentración CA

reacciona de forma similar a la concentración CB, esto se debe a que como se observo en la

parte del modelado, las ecuaciones que describen el comportamiento de estas variables son

similares, e incluso ambas tienen la misma dependencia. Además, las condiciones iniciales

que se implementan en esta simulación son las mismas para ambas concentraciones, para

poder observar un comportamiento diferente, basta con solo modificar las condiciones

iniciales de alguna de las concentraciones.

37

Figura 2. 9. Respuesta de las concentraciones CA, CB, CC y CD

El mismo comportamiento se tiene para las concentraciones CC y CD, en donde, la

respuesta de ambas concentraciones se dan en un tiempo de 25 minutos, mientras que para

las concentraciones CA y CB el tiempo de establecimiento es de 13 minutos.

Estado .

Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.12, su representación grafica

en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.10, la salida de este diagrama representa la

temperatura dentro del reactor, la cual depende de los valores de las ecuaciones 2.8 A 2.14,

que corresponden a la concentración A (CA), concentración B (CB), concentración C (CC),

concentración D (CD), temperatura del reactor (T) y temperatura del enchaquetado (Tr), es

por ello que resulta complejo el poder controlar esta variable.

38

Figura 2. 10. Diagrama a bloques T, estado .

Estado

Este estado corresponde a , y se representa en la ecuación 2.13, su representación

grafica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.11, aquí se muestra que la

temperatura del enchaquetado solo depende de la temperatura del reactor, esto es correcto,

ya que no se lleva a cabo ningún tipo de reacción dentro del enchaquetado, lo único que

sucede es un intercambio de temperatura entre la chaqueta y el reactor.

Figura 2. 11. Diagrama a bloques Tr, estado .

Graficas de las respuestas de las temperaturas T y Tr.

En la figura 2.3 se observa la temperatura del reactor y la temperatura del enchaquetado.

39

Figura 2. 12. Respuesta de temperatura en el reactor y temperatura en el enchaquetado.

Tal como se observa en la figura 2.12, el comportamiento de la temperatura dentro del

reactor tiende a disminuir hasta un valor de 303.6 grados K, mientras que la temperatura Tr

se estabiliza en un valor de 305.9 grados K, los tiempos en que las temperaturas T y Tr se

estabilizan son 26 y 16 minutos respectivamente.

Estado

Este estado corresponde al , y se representa en la ecuación 2.14, su representación

gráfica en Simulink es la que se muestra en la Figura 2.13, se observa que el pH depende de

X1, X2, X5, por ello el comportamiento de esta variable no es lineal.

40

.

Figura 2. 13. Diagrama a bloques Ph, estado .

Grafica de la respuesta de PH

La respuesta de esta variable es la mostrada en la figura 2.14.

Figura 2. 14. Respuesta del nivel de pH dentro del reactor

El comportamiento que se tiene en la salida del diagrama mostrado en la figura 2.14 es la

salida del pH, esta variable se estabiliza en un valor aproximado de 12, en un tiempo de 20

minutos.

Cabe mencionar que cada uno de los estados que se han analizado anteriormente son el

equivalente a un sistema de primer orden, por lo tanto, se tienen 7 sistemas de primer orden,

los cuales dependen entre sí.

41

Al inicio de este capítulo se mencionaron las especificaciones que debe de cumplir la

reacción para poder llevarse a cabo, entre las cuales se explico que la temperatura dentro

del reactor debe mantenerse en un intervalo de 304.5 grados K, lo cual como se observo en

la figura 2.12 no se cumple para este sistema ya que la temperatura alcanzada por el

reactor es menor a la requerida.

En el caso del pH se cumple con el nivel deseado, por lo tanto es necesario implementar una

estrategia que permita mantener al pH dentro de ese margen. Debido a las respuestas

obtenidas del sistema, se observa que es necesario implementar una estrategia de control

que permita obtener los resultados requeridos para que la reacción se lleve a cabo dentro del

reactor.

42

Capítulo 3: Linealización y

retroalimentación de estados.

En el capítulo 2 se habló del problema de linealidad con que cuenta el

reactor de agitación continua, por ello, en este capítulo se encuentra

desarrollado el proceso de linealización del modelo matemático, de esta

forma se logra obtener la representación lineal del sistema en espacios

de estados, con el fin de poder aplicar una estrategia de control, la cual

pueda ser comparada con una estrategia enfocada al efecto de los

retardos presentes en este sistema.

Se aplicó una retroalimentación de estados en la cual se debe de

garantizar la estabilidad del sistema, para ello es necesario comprobar

si el sistema es completamente controlable.

Por último, en este capítulo se muestran la aplicación de la estrategia

del Predictor de Smith para el tratamiento de retardos presentes en un

sistema.

Todos los puntos mencionados anteriormente son simulaciones.

43

3.1. Linealización del modelo matemático.

Con el fin de desarrollar el diseño de un controlador de retroalimentación de estados, es

necesario pasar de un sistema no linealidad a uno lineal, para ello se lleva a cabo la

implementación de un método de linealización que permita facilitar la representación del

sistema.

El método utilizado es el de matrices Jacobianas, las cuales nos permitirán obtener las

matrices de estado del sistema linealizado, pero para ello se requiere conocer los puntos de

equilibrio (punto de operación del sistema) [19]. Estos puntos se obtienen igualando las

ecuaciones 3.1 a 3.7 a cero para posteriormente resolver el sistema y encontrar los valores

de las variables del sistema.

(

( ) ) (

) =0

(3.1)

(

( ) ) (

) =0

(3.2)

( ) (

) =0

(3.3)

( ) (

) =0

(3.4)

[ ( )

( ) ( ) ((

) ) ]=0

(3.5)

[ ( ) ( )]=0

(3.6)

[ ( ) (

) ]=0

(3.7)

Al resolver el sistema de ecuaciones se logra encontrar el punto de equilibrio. El punto de

equilibrio tiene la característica primordial de que la función o ecuación que describe el

comportamiento de un sistema ( ) evaluado en dicho punto es igual a cero (conocido

también como solución del sistema) ( ) . Para el caso de los sistemas lineales este

punto de equilibrio es único, para la relación de salida/entrada es el origen { } { },

dependiendo del número de componentes de . Sin embargo, para el caso de los sistemas

no lineales les es posible que también exista un único punto de equilibrio, pero también se

puede dar el caso en que existan dos o más, un número infinito, o bien que no existan

puntos de equilibrio.

44

Por lo tanto, definiendo el punto de operación nominal como:

{ } { ( ) ( )}

{[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]

}

{[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]

}

Es decir:

[ ]

[

]

Como se menciona anteriormente, es necesario realizar la representación en espacio de

estados del sistema, para ello se calcula el Jacobiano de cada función, la estructura del

Jacobiano es la siguiente [19]:

Se toma como el punto nominal fijo o condiciones iniciales del sistema. Linealizando las

ecuaciones alrededor del punto de condiciones iniciales se tienen:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Se tiene que [ ] [ ]

y la expresión no lineal es:

( ) [

( )

( )

( )

]

Donde y tienen y componentes respectivamente. Por lo tanto, la aproximación lineal

de Taylor alrededor del estado estacionario ( ) (

) esta dada por:

( ) ( )

( )( )

( )( )

Entonces, para ( ) ( ) ( ) y omitiendo los términos de orden

superior, se tiene:

( )

( )

( )

45

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

[

]

[

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

[

]

Donde:

[ ] [ ] [ ]

Finalmente, definiendo;

[

]

{ } { }

{ } ;

[

] [

]

46

[

]

{ } { }

Al aplicar este método de linealización, se obtendrá una matriz de dimensiones 7*7, lo cual

únicamente vuelve el diseño del controlador más complejo, tal y como se menciono en el

capítulo 2.

Para poder linealizar el sistema es necesario realizar una serie de derivadas parciales, de las

cuales la mayoría presentan un mayor grado de complejidad, por ello, se elaboraron

programas en Matlab los cuales fueron los encargados de obtener los valores de las

matrices A y B.

Las matrices resultantes del sistema linealizado son los mostrados en la figura 3.1.

Hasta este punto ya se tiene el sistema linealizado, y es posible observar el comportamiento

que se tiene del sistema, para ello se hace uso de SIMULINK, en el cual se evaluara la

respuesta del sistema, el diagrama que se realiza es el mostrado en la figura 3.2.

47

Figura 3. 1. Matrices representativas del sistema linealizado.

48

Figura 3. 2. Diagrama en simulink del sistema linealizado.

Las respuestas del sistema linealizado se pueden observar el las Figura 3.3, 3.4 y 3.5.

Figura 3. 3. Respuesta lineal de las concentraciones A, B, C y D.

Se observa que respuesta del sistema lineal es similar a la del no lineal, la diferencia radica

en la concentración B, la cual tiene una respuesta negativa, cabe mencionar que las

variables que nos interesan controlar son la temperatura y el pH.

49

La respuesta de la temperatura en el reactor y la temperatura del enchaquetado es la

mostrada en la Figura 3.4.

Figura 3. 4. Respuesta de la temperatura en el reactor y repuesta en el enchaquetado.

Al observar la respuesta de T y Tr, se llega a la conclusión de que las respuesta del sistema

lineal y no lineal en cuanto a la temperatura T, son similares, ambas se encuentran alrededor

de los 300 grados K, por lo cual se tiene que implementar una estrategia que permita el

control de la temperatura, lo cual no es tan sencillo debido a que la temperatura T depende

de la temperatura Tr.

En lo que corresponde a la temperatura en el enchaquetado, el valor en el que se estabiliza

es de 0.064 grados menor a la del sistema no lineal, así como también, se puede apreciar

un sobre impulso en los primeros 200s de la simulación.

Por ultimo se analiza la respuesta del pH observa en la figura 3.5.

Figura 3. 5. Respuesta del pH dentro del reactor.

Tal como se observa en la figura anterior, la respuesta del sistema lineal es similar a la que

se obtiene del sistema no lineal, pero con una respuesta de amplitud menor.

Hasta este punto ya se cuenta con el modelo matemático linealizado del reactor de agitación

continua.

50

Comparación entre el sistema lineal y el no lineal.

Para poder evaluar si el sistema linealizado puede o no servir para tomarlo como referencia

del sistema no lineal, es primordial observar la diferencia que existe entre el sistema lineal y

no lineal, dicha diferencia deber ser mínima para poder implementar una estrategia de

control que ayude a cumplir con el objetivo fijado en este trabajo. La respuesta obtenida es la

mostrada en la figura 3.26.

Figura 3. 6. Comparación entre sistema linealizado y sistema no lineal.

51

El diagrama de la simulación empleada para la comparación de ambos sistemas es el

mostrado en la figura 3.27.

Figura 3. 7. Diagrama empleado para comparar respuesta lineal y no lineal.

Al analizar la respuesta mostrada en la figura 3.26 se observa que en la temperatura T,

existe una diferencia de 1.598 grados K, mientras que en el pH se tiene un diferencia de -

0.00592, ambos rangos de error son aceptables, por ello se pueden implementar estrategias

de control en el sistema linealizado.

3.2. Determinación de la controlabilidad.

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad que son de suma

importancia para el diseño de controladores en espacio de estados, estos conceptos

determinan la existencia del controlador, en otras palabras, el sistema debe ser de estado

completamente controlable para el diseño de su controlador.

El sistema es completamente controlable si y solo si los vectores (3.8) son linealmente

independientes, o la matriz nxn es de rango n. Esta matriz es conocida como matriz de

controlabilidad

[ ] (3.8)

Un sistema representado en espacio de estados, es controlable en t=t0, si es posible

construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a cualquier

estado final en un intervalo de tiempo finito t0<= t<= t1. Si todos los estados son controlables,

se dice que el sistema es de estado completamente controlable.

52

3.2.1. Comando ctrb.

Esta función en Matlab nos regresa la matriz de controlabilidad (co) del modelo en espacio

de estados, y su sintaxis es la siguiente:

co = ctrb(A,B)

Figura 3. 8. Matriz de controlabilidad del sistema obtenida con el comando ctrb.

3.2.2. Comando ctrbf.

En caso de que el sistema no sea completamente controlable, se pueden separar los

estados que no son controlables de los que si son. Como es sabido, para hacer un

controlador en espacio de estados es necesario que el sistema sea completamente, por lo

tanto al el utilizar en comando ctrbf se pueden separar los estados controlables en una

matriz.

La sintaxis de este comando es la siguiente:

[ABAR, BBAR, CBAR, T, Q] = ctrbf(A, B, C)

Aplicando el comando se obtiene la siguiente forma:

| | | |

| | | |

| |

| |

[ | ]

53

En donde:

Ac es matriz controlable.

Bc es matriz controlable.

Cc(sI-Ac)Bc = C(sI-A)B.

k es un vector de longitud n que contiene el numero de estados controlables identificados

en cada iteración del algoritmo.

Figura 3. 9. Matrices obtenidas con el comando ctrbf.

54

T matriz de transformación, la cual modifica las matrices de los estados para obtener una nueva

representación de estado completamente controlable.

Figura 3. 10. Matriz de transformación y matriz Q obtenidas con el comando ctrbf.

3.2.3. Separación de la parte controlable del sistema de la no controlable.

Como ya se mencionó anteriormente, las matrices Ac y Bc son aquellas que son

completamente controlables, por lo tanto para separarlas de las matrices ABAR Y BBAR, se

desarrolló la siguiente sintaxis:

Ac=ABAR(2:7,2:7)

Bc=BBAR(2:7,1:3)

Figura 3. 11. Matriz Ac y Bc que representan los estados controlables.

55

3.3. Matriz de retroalimentación K.

El modelado en espacio de estados es principalmente para sistemas MIMO, se tendrá que

las funciones de transferencia representativas del sistema se obtienen de la siguiente

expresión.

( ) [ ( ) ] ( ) (3.9)

En donde:

IMatriz identidad.

A, B, C, D Matrices de la representación en espacio de estados.

El término ( ) nos ayuda a determinar la ecuación del sistema que es la misma para

todas las funciones de transferencia. Esto se obtiene a partir de la ecuación 3.10.

( ) (3.10)

Los auto valores de A proporcionan la solución de la ecuación obtenida, y estos resultados

representan los polos del sistema.

Dado un sistema de control dado por su modelo en espacio de estados como se muestra en

la Figura 3.10.

Figura 3. 12. Sistema de control dado por su modelo en espacio de estados.

En donde:

UEs la entrada al sistema.

RSeñal de referencia.

KEs el vector de retroalimentación de los estados (1 ganancia porcada estado).

En forma general podemos observar que:

( ) ( ) ( ) (3.11)

56

Si ( ) se tendrá un sistema de seguimiento cuyo vector K nos lleva a que el sistema

adopte los estados impuestos por la referencia r.

Si ( ) se tendrá un controlador, cuyo vector K, se escoge para cumplir cierto desempeño

deseado, esto significa que hablamos que hablamos de un controlador cuya finalidad es la

de llevar al sistema desde un estado inicial hasta un estado deseado en tiempo finito.

Podemos observar que

( ) ( ) (3.12)

El objetivo del diseño es el de obtener el vector K para obtener un comportamiento deseado

en lazo cerrado, sustituyendo (3.12) en (1.1) podemos obtener

( ) ( ) (3.13)

Al cerrar el lazo la matriz A original, se transforma en , por lo tanto, la ecuación del

sistema en lazo cerrado es

( ( )) (3.14)

Por lo tanto los auto valores son los polos en lazo cerrado.

3.3.1. Ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables

de estado.

Esta combinación lineal la podemos expresar con el siguiente producto de vectores:

[ ] [

]

(3.15)

Se puede observar en la ecuación 3.15, si tenemos un sistema de orden n, el vector de

incógnitas K será de n componentes. Por ser un sistema de orden n, se puede escoger la

posición de n auto valores.

La ecuación 3.15 debe sustituirse en la ley de retroalimentación del estado del sistema de la

ecuación 3.13.

57

Por lo tanto ahora con la retroalimentación de estados el sistema pasa a ser un sistema

autónomo, cuya dinámica está regida por los auto valores de la matriz ( ); o sea los

lugares del plano s que cumple con siguiente la ecuación característica 3.14, posteriormente

se procede a obtener los valores de los polos en lazo cerrado resolviendo esta misma

ecuación. Esta ecuación origina un polinomio mónico de grado n. Escogiendo los nuevos

autovalores del sistema en , dá origen también a un polinomio mónico de

grado n el cual se llamará ( ):

( ) ( )( ) ( ) (3.16) Igualando los coeficientes de los polinomios en la ecuación (3.16) y (3.14), obtendremos n

ecuaciones con n incógnitas (los elementos del vector K), y así, resolviendo el sistema,

podremos obtener el vector de ganancias K de retroalimentación.

Si el sistema considerado un sistema como (1.1) y (1.2) con entradas, la ganancia de

realimentación de estados tendrá elementos; es decir, hay un “exceso” de grados de

libertad, ya que en principio sólo necesitamos ganancias para asignar auto valores a lazo

cerrado del sistema. En el caso de una sola entrada, existe una única solución para una

dada configuración de auto valores a lazo cerrado elegidos. En el caso multi entrada la

ganancia que de los autos valores a lazo cerrado elegidos no es única.

3.3.2. Determinación de la matriz de retroalimentación.

3.3.2.1. Comando place.

Este comando determinara la matriz K para una retroalimentación de estados, su sintaxis es la siguiente:

Kbar= place(Ac,Bc,P) En donde: Kbar son los eigen valores de A-B*K acercado a la variable P PPolinomio característico deseado Para este caso se utilizo el siguiente polinomio P=[-1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1]; El resultado de obtenido se observa en la figura 3.11.

58

Figura 3. 13. Matriz Kbar

3.3.2.2. Matriz de retroalimentación.

Se aprecia que la matriz Kbar es de una dimensión de 6*3, la cual esta diseñada en base a

las matrices ABAR, BBAR, CBAR, por lo cual esta ganancia esta creada para dichas

matrices. Es necesario obtener una matriz de ganancia K que permita estabilizar al modelo

representado en las ecuaciones 2.8 a 2.14, el cual su matriz presenta dimensiones de 7*7,

por ello es necesario agregar ceros a la matriz Kbar para la parte no controlable de la matriz

del modelo matemático, lo cual se observa en la Figura 3.12.

Figura 3. 14. Matriz Kbar con columna de ceros.

La matriz KBAR está diseñada para el control de ABAR, BBAR, CBAR, para ello es

necesario calcular una matriz K que permita controlar al sistema original, dicha matriz se

obtiene multiplicando por la matriz KBAR por la matriz de transformación T del sistema

separado, dando como resultado la matriz K que se observa en la Figura 3.13.

Figura 3. 15. Matriz K.

59

Finalmente, se pueden comprobar las raíces deseadas y la no controlable mediante el comando ROOTS. Haciendo el análisis de las raíces del sistema sin la retroalimentación de estados, se puede observar que en el sistema se tienen raíces complejas conjugadas, lo que indica que el sistema presenta oscilaciones, las raíces complejas conjugadas se aprecian en la Figura 3.14.

Figura 3. 16. Raíces del sistema original

A diferencia de la figura 3.14, al aplicar la retroalimentación de estados se obtienen las

raíces que se aprecian en la Figura 3.15:

Figura 3. 17. Raíces del sistema considerando una ganancia K.

En la Figura 3.16 se muestra la respuesta a condiciones iniciales del sistema en lazo cerrado

y se observa que el sistema retroalimentado tiene un tiempo de transitorio

considerablemente menor.

60

Figura 3. 18. Respuesta en lazo cerrado

3.4. Métodos de solución para sistema con retardo.

3.4.1. Aproximación de Padé.

Pade, nos permite aproximar el término exponencial el cual corresponde al retardo o tiempo

muerto. Existen dos aproximaciones, Padé de primer orden y Padé de segundo orden, que

se encuentran basadas en las series de Taylor [8].

Considerando el esquema de la figura 3.17, donde K(s) puede representar cualquier

regulador convencional, se obtiene la siguiente expresión de lazo cerrado:

( )

( ) ( )

( ) ( )

61

Figura 3. 19. Regulador convencional de bucle cerrado

Si se de desea realizar un diseño analítico del regulador K(s), el denominador de la

expresión debe ser una expresión racional (numero finito de ceros y polos), por contra la

presencia de un retardo convierte dicha expresión en una de naturaleza irracional (numero

infinito de polos).

Una posible solución consiste en realizar una aproximación del retardo por una expresión

racional. Esta idea da lugar a la técnica de aproximación de Padé. La técnica de Padé se

utiliza para la aproximación de un retardo por una función de transferencia racional. Esta

aproximación puede ser utilizada, tanto en la fase de análisis como de diseño del sistema en

lazo cerrado [8].

Dado que esta aproximación convierte un modelo con retardo a un expresión racional libre

de retardo, es posible aplicar tanto los métodos de análisis como de diseño sobre sistemas

libres de retardo.

Es conocido que la expansión, según Taylor del término es:

| |

( )

( )

( )

( )

A partir de esta expresión, se define la aproximación de Padé como:

( )

( )

Donde: representa el orden de aproximación de la misma.

Por ejemplo, usando la aproximación de Padé de primer orden:

La expresión ( ) también se puede representar como:

62

( ) ( )

De forma que, tanto el diseño del regulador K(s), como el análisis del sistema en lazo

cerrado podrán realizarse sobre un modelo libre de retardo. Destacar sin embargo, que esta

aproximación no es valida para retardos elevados, y que la misma puede ser causa de unas

bajas prestaciones e incluso de inestabilidad.

Concluir por tanto que los reguladores convencionales, como el PID, pueden ser empleados

cuando el sistema presenta retardos no muy elevados con respecto a la constante de tiempo

dominante del sistema, pero si el proceso incorpora retardos de tiempo significativos se

obtendrá un rendimiento pobre o incluso puede darse la inestabilidad del sistema. En estos

casos, es conveniente usar algún tipo de esquema de compensación del retardo.

3.4.2. Predictor de Smith.

Esta estrategia asume que el retardo puede representarse tanto en la entrada del proceso

como en la salida.

Suponiendo que todos los retardos de los sistemas se sitúan en la entrada y/o salida del

proceso y que su magnitud es conocida, la función de transferencia del mismo se puede

representar como:

( ) ( )

Cuya representación en diagrama de bloques admite la descomposición de la figura 3.18,

donde se puede observar que la variable ( ) tendrá los valores de ( ), con instantes de

tiempo de retraso.

Figura 3. 20. Predictor de Smith. Lazo de control.

Dado que un retardo no provoca ningún cambio de magnitud, si se pudiera obtener el valor

de la variable en el punto ( ), y realimentar esta sobre el proceso, tal y como se muestra

en la figura 3.19, se podría realizar el diseño del controlador sin consideración del retardo.

63

Pero evidentemente, esta variable es inaccesible, solo es posible disponer de la medida de

la salida ( ).

Como solución a este problema, se plantea la posibilidad de obtener los valores de ( ), a

través de una predicción de los mismos. Si bien, en principio esto solo será posible si se

dispone de un modelo del proceso [8].

Figura 3. 21. Medición imposible en el proceso físico.

( ) ( )

A partir de un modelo del proceso sin retardo, si se aplica la acción de control, se obtiene la

predicción de la salida sin retardo ( ) ( ) ( ) lo que permite realizar una predicción de

los valores de la salida, con instantes de tiempo de adelanto sobre la salida del proceso

real.

Si se representa esta idea, se observa que se está realizando un control en lazo abierto, con

lo cual no se estarían aprovechando las ventajas de los sistemas realimentados, figura 3.20.

Figura 3. 22. Control de lazo abierto

Para incorporar la medida de la variable controlada, y obtener en consecuencia un sistema

realimentado, se plantea la estructura de la figura 3.21, donde la variable controlada ( ) se

compara con la predicción retrasada instantes de tiempo ( ) de tal forma, que las

posibles discrepancias o perturbaciones entre el modelo y el proceso real se realimentan

sobre el sistema de control como un factor corrector sobre las discrepancias en la predicción

[8].

64

Figura 3. 23. Control de lazo cerrado

La realización de este tipo de control requiere un modelo, y al igual que en todos los diseños,

cuanto más preciso sea el modelo, mejor será la predicción.

Limitaciones del Predictor de Smith:

A partir del esquema de la figura, se obtienen las siguientes expresiones:

( ) ( ) ( )

( )( ( ) ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( )

( )( ( ) ( ) ( ) )

Donde ( ) representa el proceso real, ( ) cualquier controlador, y los bloques

( ) el modelo del proceso libre de retardo y el modelo del retardo respectivamente.

Como es habitual cuando se derivan las formulas de ajuste del controlador, se asume que el

modelo es una perfecta representación del proceso real ( ) = ( ) entonces la

expresión se puede rescribir como:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

( ) ( )

( ) ( )) ( ) ( )

A partir de la expresión de la ecuación, se puede observar que el controlador ( ) se puede

diseñar sin consideración del retardo. Notar que la expresión del retardo no aparece en el

denominador de la f.d.t. en lazo cerrado.

Es importante destacar que el Predictor de Smith tiene algunas limitaciones, entre otras, es

muy sensible a perturbaciones, no es viable para el tratamiento de retardos en los estados,

presenta problemas de rechazo de perturbaciones en procesos con acción integral y sobre

todo no puede utilizarse en sistemas con polos inestables.

65

3.4.3. Aplicación del predictor de Smith.

Como se menciono anteriormente, la aplicación del Predictor de Smith requiere que el valor

del retardo sea muy pequeño, por ello para poder observar el comportamiento de un reactor

de agitación continua, se ha colocado un retardo en la salida de la temperatura del modelo

obtenido en el capítulo 2.

Una vez aplicado el retardo a la salida del sistema, se puede diseñar una K, para este caso

se utilizara la K obtenida en la retroalimentación de estados ya que el retardo no aparece en

el denominador de la función de transferencia. La colocación del retardo en la salida es el

equivalente a tener un retardo en la medición de las variables, es decir retardos en sensores

o transmisores

En la figura 3.22 se muestra el esquema del predictor de Smith que se desarrollo para el

reactor de agitación continua.

Figura 3. 24. Diagrama del Predictor de Smith.

En la figura anterior se observa el sistema sin la presencia de retardo, el cual esta

multiplicado por un retardo, el cual tiene la función de adelantar la respuesta del sistema, es

decir; después un determinado tiempo la respuesta que se tiene en el sistema sin retardo

debe de ser igual a la respuesta que se tiene en el sistema con retardo, esta es la razón por

la cual se tiene un punto suma entre el sistema con retardo y el sistema sin retardo.

También se observa que para este caso las referencias (setpoint) son iguales a cero, dichas

referencias son compradas con la respuesta del sistema sin retardo, de esta forma se

obtiene la magnitud del error, el cual es compensado por una ganancia K, la cual es la

encargada de controlar al sistema no lineal.

66

Por último la salida de la comparación del sistema retardado con el sistema sin retardo se

encuentra un filtro pasa bajas el cual se encarga de atenuar las frecuencias altas,

permitiendo el paso de las frecuencias bajas, la salida de este filtro se suma con la respuesta

del sistema sin retardo.

La respuesta del predictor de Smith es la que se aprecia en la figura 3.23, 3.24, 3.25. en las

cuales se observa que todas las respuestas se estabilizan en un valor igual a cero, a

excepción de las variables a controlar, esto es correcto ya que como se indico en la figura

3.22 los puntos de referencia utilizados son igual a cero.

Figura 3. 25. Nivel de pH dentro del reactor.

Figura 3. 26. Respuesta de la temperatura dentro del reactor y del enchaquetado

67

Figura 3. 27. Comportamiento de las concentraciones A, B, C, D.

Al analizar la respuesta de las variables que interesa controlar se llega a el valor deseado,

pero con oscilaciones constantes provocadas por la presencia del retardo en la temperatura,

el sistema de control junto con el predictor de Smith no solucionan el problema del todo

dado que el sistema es complejo y el hecho de variar cualquiera de las entradas, provoca la

variación de todo el modelo, además de que la presencia de la temperatura T se encuentra

presente en todas las variables de estado, por ello la presencia de un retardo afecta a todas

las variables de estado.

68

Capítulo 4: Arquitecturas de control.

En el capítulo 3 se diseño una retroalimentación de estados, la cual es

una aplicación de la teoría de control moderno, por ello, en el interior de

este capítulo se lleva a cabo la implementación de estrategias de control

clásico (P, I, D), el propósito es demostrar la respuesta que tienen los

algoritmos de control clásicos.

La aplicación de las estrategias de control clásico mencionadas

anteriormente, serán aplicadas junto con 2 arquitecturas de control,

cada una de ellas se encarga de controlar por separado las variables

que se han fijado para este trabajo.

Dado que la temperatura T depende de la temperatura Tr, se plantea al

igual que en capitulo anterior la presencia de un tiempo muerto en la

temperatura, es decir; la variación de T con respecto a Tr no se lleva a

cabo en el mismo instante.

Por último se muestra una combinación del predictor de Smith con un

control en cascada, el cual no solo se encarga de controlar la

temperatura T, sino que también de rechazar la presencia del retardo en

la temperatura.

69

4.1. DTI del proceso a controlar.

Para poder comprender las estrategias de control a emplear, es necesario realizar un

diagrama de tubería e instrumentación, en el cual se aprecien los lazos de control y los

actuadores que en el proceso intervienen. El DTI para este proceso es el mostrado en la

figura 4.1.

Figura 4. 1. Diagrama de tubería e instrumentación de el proceso de saponificación.

En la figura 4.1 se observa que se requiere de 2 lazos de control:

1. Control de temperatura.

2. Control de pH.

Sin embargo, para el pH se requiere una estrategia más compleja que la de un lazo cerrado

común. Ya que como se planteo en los objetivos, se requiere mantener un pH constante

suministrando una relación Base/Acido constante, este problema se puede resolver mediante

una estrategia de control por relación, para este caso se puede aplicar únicamente control

por relación en lazo abierto.

Para la parte de control de temperatura es posible utilizar un lazo cerrado, sin embargo (y

como se explicara posteriormente) considerando los efectos del retardo en la transferencia

de temperatura, es necesaria una estrategia de control adicional para el control de dicha

variable, esto se logra mediante la aplicación de un predictor de Smith combinado con un

control en cascada.

70

4.2 Estrategia de control por relación.

Como su nombre lo indica el control por relación mantiene constante la relación de dos o

más flujos. Estos procesos incluyen: mezcla de gasolina, proporción de reactivos para un

reactor químico, la mezcla de una corriente fría con una caliente para obtener una

determinada temperatura en una mezcla en particular, etc.

Por lo general se tiene una línea de flujo de un fluido libre y sobre esta se mide la cantidad

del fluido existente en velocidad o volumen, este valor se envía a un controlador que

contiene un factor multiplicador o un divisor, cuya señal actúa sobre la válvula de control de

otra línea con flujo proporcional al valor censado (flujo controlado).

El flujo libre se llama variable independiente y el flujo controlado se llama flujo dependiente.

Para este tipo de estrategia de control, es muy importante tomar las siguientes

consideraciones:

1. Ambas señales deben tener las mismas unidades.

2. Ambas señales deben estar linealizadas o en forma cuadrática.

3. El rango de los controladores deben ser compatibles con las señales recibidas de

un 0% a un 100%.

4. Tomar en cuenta que en la medición de fluidos la linealidad se pierde en los

extremos de la medición.

5. Las características de los fluidos deben ser muy similares.

4.2.1. Implementación del control por relación.

Para la implementación de un control por relación se debe medir un flujo y multiplicarlo o

dividirlo por la razón o relación que se desea para obtener el flujo que se requiere de la

corriente B.

Para el caso planteado en este trabajo se observa que el pH del sistema no lineal, se

estabiliza en un valor de 12.07, por lo cual lo único que se debe de realizar es garantizar que

sin importar la variación del flujo A, el resultado del pH se mantenga en 12.

Para ello se llevo a cabo el siguiente planteamiento:

Una concentración del reactivo A igual a 0.2, se tiene un pH de 13.3.

Una concentración del reactivo B igual a 0.2, se tiene un pH de 7.1.

71

Dado que la cantidad de concentración es la misma, y la concentración depende de los flojos

de ambos reactivos, se puede obtener la relación que existe entre ambos flujos, con esto, se

logra mantener el pH en un valor aproximado a 12.

La estructura del control por relación es la mostrada en la figura 4.2.

Figura 4. 2. Control por relación.

en la figura 4.2 se observa como la entrada U1 es multiplicada por un valor constante de

0.0387, mientras que la entrada U2 depende del valor obtenido de la operación realizada en

la entrada uno, pero para mantener la relación mencionada anteriormente es necesario

multiplicarla por

, de esta forma se garantiza la relación de suministro que permita que el

pH se mantenga en un valor de 12.

4.3. Control en cascada.

Arquitectura de control que utiliza dos o más instrumentos de medición y control para

manipular un solo elemento final de control y así reducir las perturbaciones mas importantes

antes de que se propaguen por todo el sistema, manteniendo la variable controlada dentro

del valor deseado.

El control en cascada es esencialmente un control en lazo cerrado anidado con uno o más

lazos de control, en esta arquitectura, la salida del primer controlador es el set point del

siguiente controlador. En la figura 4.3. Se observa el esquema de un control e n cascada.

72

Figura 4. 3. Control en cascada.

Criterios de diseño.

Cuando el controlador en lazo cerrado no provee el desempeño deseado.

Cuando la dinámica del sistema es lenta a perturbaciones.

Cuando se dispone de una variable intermedia que afecte directamente, a la variable

controlada y esta debe ser más rápida.

La implementación de esta arquitectura de control debe ser económicamente

aceptable.

Sintonización de un controlador.

El ajuste de los controladores es de manera secuencial

El controlador secundario es ajustado primero y el método de sintonización depende

del sistema.

Cuando el controlador secundario ha sido ajustado, puede ajustarse en controlador

primario.

4.3.1. Aplicación de control en cascada.

En el interior de este trabajo se ha mencionado la dependía que existe entre la temperatura

del reactor y la temperatura de la chaqueta, por lo cual el control en cascada permite diseñar

un controlador que actué de manera más rápida en la temperatura del reactor.

La estructura del control en cascada empleado para este trabajo es la mostrada en la figura

4.4.

73

Figura 4. 4. Control en cascada

En la figura 4.4 se muestra la arquitectura del control en cascada aplicado al reactor de

agitación continua. Se observar que ambos controladores son de tipo PID, la sintonización

utilizada es Ziegler Nichols. La sintonización del controlador primario o maestro se lleva a

cabo en función de la sintonización secundario o esclavo, ya que la salida del controlador

maestro representa el set point del controlador esclavo, es por esta razón que la

sintonización de esta arquitectura se vuelve compleja.

El controlador secundario o esclavo es una arquitectura PID, en la figura 4.5 se muestra el

diagrama en simulink del controlador PID aplicado en el controlador esclavo.

Figura 4. 5. Controlador esclavo PID2

El valor obtenido para la ganancia integral es de , para la acción derivativa se tiene un

valor de 0.1, mientras que para la acción proporcional se tiene un valor igual a 10, la función

del filtro mostrado en la acción derivativa es garantizar el paso de valores pequeños, es

decir, rechaza la presencia de frecuencias altas.

Para el controlador maestro se utiliza el controlador mostrado en la figura 4.6.

74

Figura 4. 6. Controlador maestro PID.

El valor obtenido para la ganancia integral es de , para la acción derivativa se tiene un

valor de 0.1, mientras que para la acción proporcional se tiene un valor igual a 2.

Para poder realizar la comparación entre el controlador aplicado en el capítulo 3 y las

estrategias de control realizadas en este capítulo, es necesario realizar la simulación de

ambas estrategias, para ello se desarrollo un diagrama en simulink, el cual se muestra en la

figura 4.7.

Figura 4. 7. Control por relación y control en cascada.

En la figura 4.7 se observa la aplicación de un control en cascada para la temperatura del

reactor, así como también la aplicación de un control por relación encargado de controlar el

nivel de pH. La respuesta obtenida por estas estrategias control el a mostrada en figura 4.8.

75

Figura 4. 8. Aplicación de control por relación y control en cascada.

Hasta este punto únicamente se ha considerado el empleo de estrategias de control

aplicadas a un reactor de agitación continua, pero sin considerar los efectos del retardo, por

ello es necesario emplear una combinación de un control en cascada en conjunto con un

predictor de Smith.

76

La estructura del diagrama utilizado es la mostrada en la figura 4.9.

Figura 4. 9. Control en cascada en combinación con predictor de Smith.

La estructura del predictor de Smith es igual a la descrita en el capítulo 3, el controlador

utilizado es el mismo que se utilizo como controlador maestro en el diseño del controlador en

cascada. Para la parte sistema sin retardo se tiene el diagrama mostrado en la figura 4.10.

Figura 4. 10. Sistema sin retardo.

En la figura 4.10 se observa que el control por relación forma parte del nuevo modelo sin

retardo, de igual manera, el controlador esclavo utilizado en el control en cascada se incluye

en el nuevo modelo sin retardo.

El sistema con retardo es el mostrado en la figura 4.11

77

Figura 4. 11. Sistema con retardo.

Tal como se observa en la figura 4.11 el retardo está presente en la temperatura del reactor.

La respuesta obtenida con la implementación del control en cascada en conjunto con el

predictor de Smith es la mostrada en la figura 4.12.

Figura 4. 12. Respuesta de control en cascada con predictor de Smith.

78

En la figura 4.12 se muestra que la temperatura del reactor se estabiliza en un valor de

303.64 grados K, mientras que el pH se mantiene en un valor de 12.0147, los tiempos de

estabilización que se tienen son de 15 minutos y 11 minutos respectivamente.

Hasta este punto únicamente se han aplicado las diferentes estrategias de control al sistema

linealizado, por lo cual es necesario aplicar estas estrategias al sistema de control no lineal,

para de esta forma determinar la importancia de considerar los efectos que tiene la presencia

de un retardo en un sistema.

79

Capítulo 5: Conclusiones.

5.1. Comparación de la respuesta del sistema lineal y del no lineal

Comenzando con el análisis de la comparación de las salidas de las concentraciones

y de las temperaturas del sistema lineal y del no lineal, se observa que la diferencia

entre las respuestas de ambos sistemas no es muy grande, si no valores muy

pequeños, los cuales se tiene una diferencia de 0.1, por lo tanto se concluye que la

linealización fue aplicada correctamente y por consiguiente se puede pudieron

diseñar e implementar diferentes arquitecturas de control.

5.2. Matriz k y control en cascada para sistema lineal sin retardo.

Para el cálculo de una ganancia K (para cada estado), basándose en los método de

ackerman para la retroalimentación de estados, se observa que la temperatura se

estabiliza en valores (301 Kelvin) muy cercanos al valor deseado (304.5 Kelvin). La

temperatura Tr se estabiliza en un valor cercano a 312.6, este valor en donde se

estabilice no es de suma importancia debido a que el objetivo de la chaqueta (Tr) el

lograr que T, la temperatura del tanque, llegue al valor deseado, en este caso, la

variación es de 3 grados.

Por otro lado el Ph no se estabiliza en el valor deseado, su valor en la simulación es

de 2.5, el cual es muy alejado de 12 (valor deseado), por lo tanto esta matriz K no

sirve para en control del pH. El tiempo de establecimiento fue de aproximadamente

100 segundos.

A diferencia del control con la matriz K, el control en cascada tiene un tiempo de

establecimiento es de 2000 segundos, por lo tanto al aplicar una matriz K, el tiempo

de establecimiento es mas rápido.

El pH se estabiliza casi exactamente en el valor deseado de 12 con un valor de

12.05, pero en un tiempo mayor, mientras que la temperatura se estabiliza en un

valor de 304.05, que es igual un valor muy cercado al deseado (304).

80

5.3. Matriz k y control en cascada para sistema lineal con retardo.

Al aplicar un retardo en la salida de la temperatura del reactor de 0.01 en el control

con la matriz K, el establecimiento de la temperatura del reactor nunca se ve

afectado, ya que esta se estabiliza en un valor de 303.2 en un tiempo de 80

segundos. Se da un sobre impulso de 5 °C aproximadamente y baja hasta 275 °C.

El pH no se estabiliza en el valor deseado (12), oscila entre 2.4 y 2.8.

Al aplicar un retardo en la salida de la temperatura de 0.01 en el control en cascada,

el establecimiento de la temperatura se da en un valor de 300 Kelvin, teniendo una

pérdida de casi 4 grados aproximadamente, pero su tiempo de establecimiento (1500

segundos) es menor que en el caso del control en cascada sin retardo.

El pH no se ve afectado por el retardo en la temperatura, este se sigue estableciendo

en un valor de 12 aproximadamente, esto se logra gracias a que el control del pH se

realiza mediante un control por relación en lazo abierto, el cual no depende de la

temperatura T.

5.4. Predictor de Smith.

Tal como se observa en las respuestas mostradas en los capítulos 3 y 4, al combinar

una ganancia de estados con un predictor de Smith, la temperatura T obtenida es de

302.25 grados K, mientras como para el pH se tiene una gran perdida, es decir, se

requiere mantener el pH en un valor igual a 12, lo cual no se logra.

La implementación de un control en cascada en conjunto con un predictor de Smith

permite obtener a la salida una temperatura de 303.82 grados K, lo cual es mas

cercano punto deseado (304.5). en lo que concierne al pH, se observa que se tiene

un valor de 12.08, este resultado se obtiene gracias a que se aplican 2 diferentes

estrategias de control, las cuales son las encargadas de controlar cada una de las

variables por separado.

81

5.5. Sistema no lineal.

Tal y como se mencionó en el capítulo 4, el controlador propuesto para la temperatura

(control en cascada) tiene un mejor funcionamiento en comparación con la aplicación de una

ganancia de estados, es por ello, que se implemento dicho control al sistema no lineal, para

de esta forma observar si el control diseñado para el sistema linealizado funciona en el

sistema no lineal. Los resultados obtenidos son similares a los que se obtuvieron el sistema

lineal, la diferencia radica en que en la temperatura se tiene un decremento en los primeros

135 segundos de 45 grados K, mientras que para el sistema lineal únicamente se tiene un

decremento de 8 grados K, por tal motivo, el tiempo en que se estabiliza el sistema lineal es

menor al que se tiene en el sistema no lineal. Lo mismo sucede al aplicar un retardo en la

salida del sistema no lineal, y al aplicar un predictor de Smith en el sistema no lineal. Los

resultados de la implementación del controlador en el sistema no lineal se muestran en la

figura 5.1.

Figura 5. 1. Control en cascada, por relación y predictor de Smith aplicado al sistema no lineal.

5.6. Conclusión general.

En el trabajo realizado se lograron implementar varias estrategias de control entre las cuales

se encuentran, control en cascada, control por relación, lazo cerrado, en las cuales se

observaron diferentes respuestas, las cuales nos llevaron a seleccionar la que mas se

acoplara a los requerimientos de control especificados en el capítulo 2. Las estrategias

seleccionadas o que más se adecuaron fue en control en cascada el cual se encarga de

controlar la temperatura dentro del reactor.

82

El control en cascada permite alcanzar los puntos de referencia deseados con un error de +-

1 grado, pero con un tiempo mayor al que se tiene al aplicar una ganancia de estados. Para

el control de pH utilizo un control por relación, el cual mantiene el valor del pH constante y

muy cercano al valor deseado. De esta forma se cumple con el objetivo fijado en el modelo.

Respecto al retardo presente en la temperatura, se observo que es de vital importancia

poder reducir los efectos que este tiene en el sistema, ya que como se observa en el modelo

matemático planteado en el capítulo 2, la mayoría de los estados dependen de la

temperatura del reactor, y es por ello que todo el sistema se ve afectado por este fenómeno,

además de que se trata de un reactor químico en el cual se requiere una gran exactitud en

los valores utilizados en el proceso.

Uno de los objetivos planteados en este trabajo es analizar el comportamiento de

controladores y/o estrategias de control bajo las influencias del retardo, para ello se introdujo

un retardo de 0.01 en las estrategias de control, de lo cual se concluye que el control en

cascada en aplicado en este trabajo fue aplicado correctamente dado que al aplicar un

retardo en temperatura del reactor se observa que el comportamiento de Tr aumenta en el

intervalo en que está presente el retardo, al desaparecer el retardo, la temperatura Tr

comienza a bajar hasta estabilizarse, es por ello que se requiere aplicar un predictor de

Smith para evitar la presencia de retardos.

En la figura 5.1 se observan la respuesta que se tiene al tener la presencia de un retardo en

un control en cascada, la cual tiene un retardo igual a 1, por consiguiente la temperatura en

la camisa de refrigeración comienza aumentar y se detiene hasta que el efecto del retardo

desaparece.

Debido al problema planteado en el párrafo anterior, es necesario emplear un predictor de

Smith en conjunto con el control en cascada, la respuesta de este sistema se observa en la

figura 5.2, de la cual se concluye que el predcitor de Smith es de gran importancia para el

manejo de sistemas con retardo, ya que a diferencia del control por cascada normal, a pesar

de existe un retardo presente en T, la temperatura Tr se mantiene constante a diferencia del

control en cascada sin predictor de Smith.

83

Figura 5. 2. Control en cascada con presencia de retardo

Figura 5. 3. Control en cascada con predictor de smith.

84

Anexos

Anexo 1: programa en matlab para la linealización de la matriz A.

syms X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

FiA=0.01268;%Velocidad de flujo molar de A a la entrada [lit/seg]

FiB=0.01037;%Velocidad de flujo molar de B a la entrada [lit/seg]

CiA=0.2;%Concentración de material A a la entrada [mol]

CiB=0.2;%Concentración de material B a la entrada [mol]

F=(FiA+FiB)/2;%Velocidad de flujo molar a la salida [lit/seg]

A=24;%Superficie o área para la transferencia de calor [m^2]

U=19.19/A; %Coeficiente de transferencia de calor [J/(°K*seg*m2)]

CpA=3.26; %Capacidad calorífica del material A [kJ/(Kg*°K)]

CpB=2.02;%Capacidad calorífica del material B [kJ/(Kg*°K)]

CpC=2.51;%Capacidad calorífica del material C [kJ/(Kg*°K)]

CpD=3.76;%Capacidad calorífica del material D [kJ/(Kg*°K)]

TiA=300;%Temperatura del material A en la entrada [°K]

TiB=300;%Temperatura del material B en la entrada [°K]

TiR=306;%Temperatura del refrigerante a la entrada [°K]

Vr=8;%Volumen de la camisa de refrigeración [m^3]

Cp = X1*CpA + X2*CpB + X3*CpC + X4*CpD; %Capacidad calorífica general

CpR=4.19;%Calor especifico del refrigerante (agua) [kJ/(Kg*°K)]

Fr=0.4768;%Flujo del líquido refrigerante [lit/seg]

hr = (CpC + CpD - CpA - CpB) ;%Entalpia relativa para una Tref de 300°K

Tref=300;

DELTAH= (hr +((CpC+CpD-CpA-CpB)*(X5-Tref)));%Calor desarrollado en la reacción

(entalpias) [kJ/C]

DENSIDADL=76; %Densidad del liquido en el tanque [Kg/m3]

DENSIDADR=1000;%Densidad del refrigerante (agua) [Kg/m3]

pHA=13.3;%Valor de pH del material A

pHB=7.10;%Valor de pH del material B

K=63380*exp(-2407.2/X5);%K Constante de velocidad [moln/(seg*m3)]

V=7.9;%Volumen del tanque [m^3]

%////////////////////////////////1FUNCION///////////////////////////%

f1=((FiA*CiA)-(F*X1)-(K*X1*X2*V))/V;

F1=diff(f1, X1);

F2=diff(f1, X2);

F3=diff(f1, X3);

F4=diff(f1, X4);

F5=diff(f1, X5);

F6=diff(f1, X6);

F7=diff(f1, X7);

%////////////////////////////////2FUNCION///////////////////////////%

f2=((FiB*CiB)-(F*X2)-(K*X1*X2*V))/V;

F8=diff(f2, X1);

F9=diff(f2, X2);

F10=diff(f2, X3);

F11=diff(f2, X4);

F12=diff(f2, X5);

F13=diff(f2, X6);

F14=diff(f2, X7);

85

%////////////////////////////////3FUNCION///////////////////////////%

f3=((-F*X3)+(K*X1*X2*V))/V;

F15=diff(f3, X1);

F16=diff(f3, X2);

F17=diff(f3, X3);

F18=diff(f3, X4);

F19=diff(f3, X5);

F20=diff(f3, X6);

F21=diff(f3, X7);

%////////////////////////////////4FUNCION///////////////////////////%

f4=((-F*X4)+(K*X1*X2*V))/V;

F22=diff(f4, X1);

F23=diff(f4, X2);

F24=diff(f4, X3);

F25=diff(f4, X4);

F26=diff(f4, X5);

F27=diff(f4, X6);

F28=diff(f4, X7);

%////////////////////////////////5FUNCION///////////////////////////%

f5=((((U*A*(X6-X5))/(V*DENSIDADL)))- (FiA*CiA*CpA*(X5-TiA)) -( FiB*CiB*CpB*(X5-

TiB))+(DELTAH*(K*X1*X2)*V))/(V*Cp);

F29=diff(f5, X1);

F30=diff(f5, X2);

F31=diff(f5, X3);

F32=diff(f5, X4);

F33=diff(f5, X5);

F34=diff(f5, X6);

F35=diff(f5, X7);

%////////////////////////////////6FUNCION///////////////////////////%

f6=((Fr*DENSIDADR*CpR*(TiR-X6))+(U*A*(X5-X6)))/(Vr*DENSIDADR*CpR);

F36=diff(f6, X1);

F37=diff(f6, X2);

F38=diff(f6, X3);

F39=diff(f6, X4);

F40=diff(f6, X5);

F41=diff(f6, X6);

F42=diff(f6, X7);

%////////////////////////////////7FUNCION///////////////////////////%

f7=((FiA*pHA)+(FiB*pHB)-(2*F*X7)-(K*X1*X2))/V;

F43=diff(f7, X1);

F44=diff(f7, X2);

F45=diff(f7, X3);

F46=diff(f7, X4);

F47=diff(f7, X5);

F48=diff(f7, X6);

F49=diff(f7, X7);

X1=0.03825; %valor de la concetracion de CA

X2=0.000322; %valor de la concetracion de CB

86

X3=0.1791; %concetracion a la salida CC

X4=0.18234; %concetracion a la salida CD

X5=304.5646; %temperatura en el reactor

X6=305.9863; %temperatura en el refrigerante

X7=10.4686; %ph

A(1,1)=eval(F1);

A(1,2)= eval(F2);

A(1,3)= eval(F3);

A(1,4)= eval(F4);

A(1,5)= eval(F5);

A(1,6)= eval(F6);

A(1,7)= eval(F7);

A(2,1)= eval(F8);

A(2,2)= eval(F9);

A(2,3)= eval(F10);

A(2,4)= eval(F11);

A(2,5)= eval(F12);

A(2,6)= eval(F13);

A(2,7)= eval(F14);

A(3,1)= eval(F15);

A(3,2)= eval(F16);

A(3,3)= eval(F17);

A(3,4)= eval(F18);

A(3,5)= eval(F19);

A(3,6)= eval(F20);

A(3,7)= eval(F21);

A(4,1)= eval(F22);

A(4,2)= eval(F23);

A(4,3)= eval(F24);

A(4,4)= eval(F25);

A(4,5)= eval(F26);

A(4,6)= eval(F27);

A(4,7)= eval(F28);

A(5,1)= eval(F29);

A(5,2)= eval(F30);

A(5,3)= eval(F31);

A(5,4)= eval(F32);

A(5,5)= eval(F33);

A(5,6)= eval(F34);

A(5,7)= eval(F35);

A(6,1)= eval(F36);

A(6,2)= eval(F37);

A(6,3)= eval(F38);

A(6,4)= eval(F39);

A(6,5)= eval(F40);

A(6,6)= eval(F41);

A(6,7)= eval(F42);

A(7,1)= eval(F43);

A(7,2)= eval(F44);

A(7,3)= eval(F45);

A(7,4)= eval(F46);

A(7,5)= eval(F47);

A(7,6)= eval(F48);

A(7,7)= eval(F49);

A

87

Anexo 2: programa en matlab para la linealización de la matriz B.

X1=0.03825; %valor de la concetracion de CA

X2=0.000322; %valor de la concetracion de CB

X3=0.1791; %concetracion a la salida CC

X4=0.18234; %concetracion a la salida CD

X5=304.5646; %temperatura en el reactor

X6=305.9863; %temperatura en el refrigerante

X7=10.4686; %ph

FiA=0.01268;%Velocidad de flujo molar de A a la entrada [lit/seg]

FiB=0.01037;%Velocidad de flujo molar de B a la entrada [lit/seg]

F=(FiA+FiB)/2;%Velocidad de flujo molar a la salida [lit/seg]

A=24;%Superficie o área para la transferencia de calor [m^2]

U=19.19/A; %Coeficiente de transferencia de calor [J/(°K*seg*m2)]

CpA=3.26; %Capacidad calorífica del material A [kJ/(Kg*°K)]

CpB=2.02;%Capacidad calorífica del material B [kJ/(Kg*°K)]

CpC=2.51;%Capacidad calorífica del material C [kJ/(Kg*°K)]

CpD=3.76;%Capacidad calorífica del material D [kJ/(Kg*°K)]

TiA=300;%Temperatura del material A en la entrada [°K]

TiB=300;%Temperatura del material B en la entrada [°K]

Vr=8;%Volumen de la camisa de refrigeración [m^3]

Cp = X1*CpA + X2*CpB + X3*CpC + X4*CpD; %Capacidad calorífica general

CpR=4.19;%Calor especifico del refrigerante (agua) [kJ/(Kg*°K)]

Fr=0.4768;%Flujo del líquido refrigerante [lit/seg]

hr = (CpC + CpD - CpA - CpB) ;%Entalpia relativa para una Tref de 300°K

Tref=300;

DELTAH= (hr +((CpC+CpD-CpA-CpB)*(X5-Tref)));%Calor desarrollado en la reacción

(entalpias) [kJ/C]

DENSIDADL=76; %Densidad del liquido en el tanque [Kg/m3]

DENSIDADR=1000;%Densidad del refrigerante (agua) [Kg/m3]

pHA=13.3;%Valor de pH del material A

pHB=7.10;%Valor de pH del material B

K=63380*exp(-2407.2/X5);%K Constante de velocidad [moln/(seg*m3)]

V=7.9;%Volumen del tanque [m^3]

%////////////////////////////////1FUNCION///////////////////////////%

f1=((FiA*CiA)-(F*X1)-(K*X1*X2*V))/V;

F1=diff(f1, CiA);

F2=diff(f1, CiB);

F3=diff(f1, TiR);

%////////////////////////////////2FUNCION///////////////////////////%

f2=((FiB*CiB)-(F*X2)-(K*X1*X2*V))/V;

F4=diff(f2, CiA);

F5=diff(f2, CiB);

F6=diff(f2, TiR);

%////////////////////////////////3FUNCION///////////////////////////%

f3=((-F*X3)+(K*X1*X2*V))/V;

F7=diff(f3, CiA);

F8=diff(f3, CiB);

F9=diff(f3, TiR);

%////////////////////////////////4FUNCION///////////////////////////%

88

f4=((-F*X4)+(K*X1*X2*V))/V;

F10=diff(f4, CiA);

F11=diff(f4, CiB);

F12=diff(f4, TiR);

%////////////////////////////////5FUNCION///////////////////////////%

f5=((((U*A*(X6-X5))/(V*DENSIDADL)))- (FiA*CiA*CpA*(X5-TiA)) -( FiB*CiB*CpB*(X5-

TiB))+(DELTAH*(K*X1*X2)*V))/(V*Cp);

F13=diff(f5, CiA);

F14=diff(f5, CiB);

F15=diff(f5, TiR);

%////////////////////////////////6FUNCION///////////////////////////%

f6=((Fr*DENSIDADR*CpR*(TiR-X6))+(U*A*(X5-X6)))/(Vr*DENSIDADR*CpR);

F16=diff(f6, CiA);

F17=diff(f6, CiB);

F18=diff(f6, TiR);

%////////////////////////////////7FUNCION///////////////////////////%

f7=((FiA*pHA)+(FiB*pHB)-(2*F*X7)-(K*X1*X2))/V;

F19=diff(f7, CiA);

F20=diff(f7, CiB);

F21=diff(f7, TiR);

CiA=0.2;%Concentración de material A a la entrada [mol]

CiB=0.2;%Concentración de material B a la entrada [mol]

TiR=306;%Temperatura del refrigerante a la entrada [°K]

B(1,1)= eval(F1);

B(1,2)= eval(F2);

B(1,3)= eval(F3);

B(2,1)= eval(F4);

B(2,2)= eval(F5);

B(2,3)= eval(F6);

B(3,1)= eval(F7);

B(3,2)= eval(F8);

B(3,3)= eval(F9);

B(4,1)= eval(F10);

B(4,2)= eval(F11);

B(4,3)= eval(F12);

B(5,1)= eval(F13);

B(5,2)= eval(F14);

B(5,3)= eval(F15);

B(6,1)= eval(F16);

B(6,2)= eval(F17);

B(6,3)= eval(F18);

B(7,1)= eval(F19);

B(7,2)= eval(F20);

B(7,3)= eval(F21);

B

89

Anexo 3: obtención de la retroalimentación de estados. %-----------------------------ECUACIONES DE ESTADO---------------------

A =[-0.0090 -0.8954 0 0 -0.0000 0 0;

-0.0075 -0.8969 0 0 -0.0000 0 0;

0.0075 0.8954 -0.0015 0 0.0000 0 0;

0.0075 0.8954 0 -0.0015 0.0000 0 0;

0.0327 3.9133 -0.0002 -0.0003 -0.0042 0.0032 0;

0 0 0 0 0.0006 -0.0602 0;

-0.0010 -0.1133 0 0 -0.0000 0 -0.0029;]

B = [ 0.0016 0 0;

0 0.0013 0;

0 0 0;

0 0 0;

-0.0189 -0.0096 0;

0 0 0.0596;

0 0 0;]

C=eye(7); D=zeros(7,3);

SIS=ss(A,B,C,D);

% Después se determina la matriz de controlabilidad del sistema y se

% verifica su rango.

Mc=ctrb(A,B)

rank(Mc)

[ABAR,BBAR,CBAR,T,Q]=ctrbf(A,B,C)

% es posible diseñar una matriz de ganancias para los 6

% estados controlables, definiendo:

Ac=ABAR(2:7,2:7)

Bc=BBAR(2:7,:)

Cc=CBAR(:,2:7)

Pc=[-1 -0.9 -0.7 -0.5 -0.3 -0.1];

Kbar=place(Ac,Bc,Pc)

% se obtiene la matriz de ganancias del

% sistema original (no separado) multiplicando por la matriz de

% transformación T del sistema separado.

KBAR=[ zeros(3,1) Kbar ]

K=KBAR*T

roots(poly(A))

roots(poly(A-B*K))

X0=[0.08, 0.08, 0.09, 0.15, 306, 300, 0.01]';

SISc=ss(A-B*K,D,C,D)

subplot(1,2,1)

initial(SIS,X0)

title('Lazo abierto')

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

grid

subplot(1,2,2)

initial(SISc,X0)

title('Lazo cerrado')

xlabel('Tiempo (seg)')

ylabel('Amplitud')

grid

90

Referencias [1] V. Kolmanovskii., “introduction to the theory and applications of functional differential

equations”. Kluwer Academic Publishers, 1999. [2] Richard Bellman., “differential-difference equations”. Academic Press INC. (London)

LTD, 1963 [3] Michel B. Cutlip, Mordechai Shacham,. “resolución de problemas en ingeniería

química y bioquímica con POLYMATH, EXCEL y MATLAB”, segunda edición. Prentice Hall, 2008

[4] Rodriguez Verduzco Jose Luis., “análisis de los efectos de los tiempos de retardo en el funcionamiento de un control retroalimentado”, tesis para obtener el grado de maestro en ciencias, 2004.

[5] J. Santos, A. Martínez., “interfaz grafica computacional para análisis de estabilidad robusta de cuasipolinomios retardados”. Facultad de ingeniería mecánica eléctrica, universidad veracruzana, 2009.

[6] P. Muthamilselvi, T. Karunanithi., “direct digital control of bioreactor systems”. Sadguru publications Udaipur (India), J. Chem. Sci.: 8(5), 2010, S22-S30

[7] M. Isabel Neria, Aguilar Lopez Ricardo., “Tracking Trajertories in a continuous anaerobic bioreactor employing a nonlinear prportional controller”. International journal of chemical reactor engieneering, volumen 5, 2007, article A73

[8] Garcia Gil Pedro Jose., “sistemas dinámicos con retardos temporales”, tesis doctoral, Universidad politécnica de Valencia, Departamento de ingenieria de sistemas y automática, 2007.

[9] S. Srinivasan, T. Karunanithi., “designo on PI controller for Bioreactors for Maximum Production Rate”. International journal of ChemTech Research, vol. 2, No. 3, July 2010

[10] J. M. Smith., “ingeniería de la cinética”. McGRAW-HILL, 1991 [11] Warren L. McCabe., “operaciones unitarias en ingeniería química”, 4ta edición,

McGRAW-HILL, 1991 [12] Froment gf and Bischoff kb., “Chemical reactor analysis and design”. 2nd edition,

1990 [13] Ullmann’s., “Reactor types and their industrial applications”. Encyclopedia of

Chemistry, vol. B4, VCH 1992. [14] Santamaría, J., Braña, P., “Análisis y reducción de riesgos en la industria química”.

Maphre, Madrid 1994 [15] Westerterp, “reactores multifuncionales”. Chemical Engineering Science, 47 (9-

11). pp 2195-2206. ISSN 0009-2509 [16] Henry a. Mendiburu Díaz., Diseño de un Neurocontrolador Dinámico (DBP) aplicado

a un Reactor Químico Continuo (CSTR), tesis de maestría, pontifica universidad católica de Peru., 2005.

[17] Luyben, W.L., “Process modeling, simulation, and control for chemical engineers”, 1990

[18] Henry,C., Simancas,D. “Modelaje y simulación de un reactor químico”. Proyecto de

Grado. Universidad Simón Bolívar. Venezuela. (1996) [19] katsuhiko Ogata., “ingeniería de control moderna”., 4ta edición., 2003. [20] Jesús Fausto López Manzanarez., Tesis de Maestría Titulada: “Regulación de

Reactores Químicos con Esquema de Control Proporcional Integral No Lineal” UAM Iztapalapa Cd. de México, D. F., México 2003

[21] http://isaw.isa.cie.uva.es/ecosimjava/reactor