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3 PolinomiosEl Álgebra, la parte de las Matemáticas de la que los polinomios son la base, nació con los árabes en Bagdad en el siglo IX. La palabra árabe “álgebra” alude al hábil manejo de los cálculos con signos, similar a la maestría de los autores del intricado arte decorativo árabe.

MATEMÁTICAS 3.º ESOUnidad 3: Polinomios

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Enlace a una historia de la Matemática árabe

Enlace a la Casa de la Sabiduría de Bagdad y la ciencia islámica


Árabes y matemáticas


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Esquema de contenidos

Polinomios

Monomios

Concepto

Monomios semejantes Polinomios

ConceptosGrado Valor numérico Operaciones con polinomios

Suma y resta

Multiplicación

División

Fracciones algebraicas

Simplificación

Igualdades notables

Cuadrado de una suma

Cuadrado de una diferencia

Suma por diferencia


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División de polinomios

La división de polinomios es una operación que se asemeja a la división entera. Una vez obtenido el primer monomio del cociente, el proceso o algoritmo se repite en cada paso.

Divide 3 x4 + 7 x3+ 2 x – 4 entre x2 + 3 x – 1.

Para que pueda realizarse la división, el grado del dividendo debe ser mayor que el

del divisor.


SIGUIENTE


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Disponemos los polinomios dividendo y divisor, dejando huecos en el dividendo cuando

falte una potencia.

3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 Dividimos el primer monomio del dividendo

por el primero del divisor y el resultado es el

primero del cociente.


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 Multiplicamos ese monomio por todo el divisor y el resultado,

cambiado de signo, se pone bajo el dividendo.

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x Se repite el proceso hasta que el polinomio resultante del dividendo

sea de grado menor que el del divisor.

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x

Que no se te olvide cambiar el signo….

– 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9


SIGUIENTE


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3 x 4 + 7 x 3 + 2 x – 4 x 2 + 3 x – 1

3 x 2 – 2x + 9 – 3 x 4 – 9 x 3 + 3 x 2

– 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x – 4

+ 2 x 3 + 6 x 2 – 2 x

9 x 2 – 4 – 9 x 2 – 27x + 9

– 27x + 5

Puesto que el grado del polinomio resultante es

menor que el del divisor, la división ha terminado.

Resultado:

Cociente: 3 x 2 – 2x + 9

Resto: – 27x + 5



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Identidades notables: Cuadrado de una suma

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura:

En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).


SIGUIENTE


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Identidades notables: Cuadrado de una suma

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

Uno de los errores más frecuentes es considerar que la expresión (a + b)2 y la expresión a2 + b2 son iguales. Pero esto es falso. Para ello basta que observes la figura:

En ella se observa que el cuadrado de (a + b), el cuadrado grande es mayor que la suma de los cuadrados de a (en rojo y de b (en verde).

La expresión correcta es:

Lo puedes ver en la figura y podrás verlo mejor en la imagen dinámica a la que accedes haciendo clic en el enlace siguiente:

Cuadrado suma



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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b)2, llamada cuadrado de la diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2


SIGUIENTE


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Identidades notables: Cuadrado de una diferencia

La expresión (a – b) 2 llamada cuadrado de una diferencia se desarrolla, al quitar paréntesis, así:

(a – b)2 = a2 – 2 a b + b2

Lo podrás ver bien si accedes, haciendo clic en el enlace siguiente, a la imagen dinámica correspondiente:

Cuadrado diferencia



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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)


SIGUIENTE


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Identidades notables: Diferencia de cuadrados

La expresión a2 – b2 es la resta de los cuadrados de dos cantidades. Equivale al producto (a + b) por (a – b). Es decir:

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

Puedes comprobar esta identidad en la imagen que sigue al enlace:

Diferencia de cuadrados



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Sacar factor común y simplificar fracciones

Las fracciones algebraicas son cocientes indicados de dos polinomios. Como ocurre en las fracciones numéricas, a veces es posible simplificarlas, y otras, no.

Simplifica, si es posible, las fracciones algebraicas siguientes:

a) b) x

5xx2 1x

1yxxy


SIGUIENTE


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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

5xx

x5xx

x5x 222

ó 5xx

)5x(xx

5xx2


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

Vamos a simplificar de dos maneras, una correcta y otra incorrecta. Tú has de elegir la correcta y señalar dónde se produce el error en la incorrecta.

5xx

x5xx

x5x 222

ó 5xx

)5x(xx

5xx2

La correcta es la expresión de la derecha, en la que hemos simplificado un factor de TODO el numerador. En la primera, x sólo ha sido eliminado en un sumando.

Basta con que hagas las pruebas de las dos divisiones para certificarlo:

x (x2 + 5) = x3 + 5 x ≠ x 2 + 5 x x (x + 5) = x 2 + 5 x


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

5xx

x5xx

x5x 222

5xx

)5x(xx

5xx2

MALBIENa) ó


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

5xx

x5xx

x5x 222

5xx

)5x(xx

5xx2

MALBIEN

En el caso b), no podemos simplificar tal y como está. Se puede sacar factor común a x en el numerador a los dos primeros sumandos:

a) ó


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

5xx

x5xx

x5x 222

5xx

)5x(xx

5xx2

MALBIEN


x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1

y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):

a) ó


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

5xx

x5xx

x5x 222

5xx

)5x(xx

5xx2

MALBIEN


x y + x + y + 1 = x (y + 1 ) + y +1

y, curiosamente, se puede ahora sacar factor común a (y + 1):

a) ó

x y + x + y + 1 = x · (y + 1 ) + y +1 = (x + 1) · (y +1)

Se va a poder simplificar la fracción del caso b):


SIGUIENTE



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a) b) x

5xx2 1x

1yxxy

5xx

x5xx

x5x 222

5xx

)5x(xx

5xx2

MALBIENa) ó

1y1x

)1y()1x(1x

1y)1y(x1x

1yxxy

b)




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Enlaces de interés

Actividades de la BBCActividades y Diccionario

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Actividad: Moquetas de superficies variables

Aparecen aquí diversas situaciones en las que, al enmoquetar el suelo de una habitación, surgen expresiones polinómicas.

Para conocerlo, sigue este enlace.

Dirección: http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/telech/MOQUETTES.PDF


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