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Direccin General de Cultura y Educacin
Direccin de Educacin Superior
INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACION DOCENTE Y
TCNICA nro. 127
CIUDAD DEL ACUERDO Red Federal Formacin Docente Continua nro. a1 - 000127
Plaza 23 de noviembre. 2900 - San Nicols (Buenos Aires)
Tel. 03461 - 425348 / 424137 - fax 03461 422140
Profesorado de Tercer Ciclo y de la Educacin Polimodal
En MATEMTICA Plan res. 13259/99
CURSO INTRODUCTORIO
2012
Los cuatro pasos para alcanzar la meta: planificar con cuidado, organizar con fe,
proceder con seguridad y proseguir con constancia.
William Arthur Ward
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2
Has elegido ser docente en Matemtica.
Desde hoy comienzas a prepararte para ser un educador crtico, reflexivo y con una
slida formacin curricular, sociopoltica y epistemolgica para entender el papel de la
Matemtica en la educacin y en el mundo.
Por esta razn, se ofrece el Curso de Ingreso, pretendiendo recuperar un conjunto de
contenidos bsicos para la comprensin de las materias que desarrollars durante el
ao 2012.
Como apoyatura al mismo, en lo referente a Matemtica, contars con un material
organizado en mdulos. Es el que has obtenido en este momento; se llama
Introductorio, porque cuenta con temas desarrollados en su gran mayora durante la
escuela secundaria, que es oportuno recordar.
Es indispensable:
Leerlo detenidamente.
Disponer del tiempo suficiente para comprometerse con el aprendizaje.
Desarrollar todas las actividades propuestas, confrontando y reflexionando los
resultados.
Recuerda que:
Se aprende no slo de una manera intelectual sino tambin afectiva y emocional.
Se aprende haciendo, relacionando y evaluando lo que haces.
Es fundamental tener confianza en tus posibilidades y actuar con honestidad en la
presentacin de tus producciones.
PROFESORADO EN MATEMTICA
ISFD N 127 Ciudad del Acuerdo
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3
Contenidos
CONJUNTOS NUMRICOS Pag. 4
EL LENGUAJE ALGEBRAICO. Pag. 26
GEOMETRA. Pag. 35
AMPLIAMOS NOCIONES DE LGEBRA.... Pag. 56
METODOLOGA DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS. Pag. 62
Bibliografa
Diseo Curricular para la Educacin General Bsica y Nivel Polimodal. Direccin
General de Cultura y Educacin de la Provincia de Buenos Aires.
Colera Jimnez, J. Miguel de Guzmn. Matemticas 1, Bachillerato. Ed. Anaya.
Barcelona, Espaa.
Guzmn Martha Elena. Matemtica, Curso Introductorio.UNR. Rosario.
Miguel de Guzmn. Aventuras Matemticas. Edit. Labor. Barcelona. Espaa.
Pablo Kaczor y otros. Matemtica 8, EGB. Ed. Santillana. Buenos Aires. Argentina.
Rodrguez J. y otros. Razonamiento Matemtico. Thomson Editores. Mxico.
Rosa Ferragina y Graciela Rey Lorenzo. Mirada al infinito. Ed. LRP. Buenos Aires.
Argentina.
Zapico Irene y otros. Matemtica. Ed. Santillana. Buenos Aires. Argentina.
Olimpada Matemtica Argentina. Resolucin de Problemas. OMA Argentina.
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4
CONJUNTOS NUMRICOS
Nmeros naturales
Los nmeros naturales son, como sabes, 1, 2, 3,..., 10, 11, ..., 100, 101, ... infinitos. Al conjunto de todos ellos
se le denomina N . Estn ordenados. Esto nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:
El origen de la recta, como sabes, es el nmero 0 .
Los nmeros naturales se pueden sumar y multiplicar, y el resultado de esas operaciones es, tambin, un
nmero natural. Sin embargo no ocurre lo mismo con la resta y con la divisin.
Propiedades de la suma y de la multiplicacin
La suma y el producto de nmeros naturales son asociativas, conmutativas y tienen elemento neutro.
Adems, el producto es distributivo respecto de la suma.
PROPIEDAD SUMA PRODUCTO
Asociativa cbacba cbacba
Conmutativa abba abba
Existencia de elemento neutro Es el 0, porque aa 0 Es el 1, porque aa 1
Distributividad del producto
respecto de la suma cabacba
Ejemplos y reglas prcticas
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa, podemos efectuar largas sumas con facilidad,
modificando el orden y asociando los sumandos segn convenga:
117177030701730
(Observemos que 30+70 es 100 y procedemos mentalmente como se ha descrito arriba.)
La propiedad distributiva permite, segn convenga, realizar diversas estrategias:
Sacar factor comn: 29371694371637937437
Agrupar trminos semejantes:
zyxzyxyzxyx 91114974113791143
Romper parntesis: 222 208125424345234 xxxxxx
-
5
Jerarqua de operaciones y uso de parntesis
Recuerda que en las expresiones cba y cba la multiplicacin se ejecuta antes que la suma.
Cuando queremos dar prioridad a la suma hemos de indicarlo con un parntesis:
cba o cba
RESUELVE
Pon un ejemplo numrico de cada una de las propiedades anteriores y comprueba que se cumple la
igualdad en cada uno de esos casos concretos.
Divisin
La idea de divisin de nmeros naturales es la de reparto. La divisin 100:5=20, se interpreta como un
reparto de 100 elementos (dividendo) entre 5 partes (divisor), de manera que a cada parte corresponden
20 (cociente). Cuando con el reparto acabamos con todos los elementos disponibles, como es este caso, la
divisin se llama exacta. Cuando no es posible un reparto exacto y sobran algunos elementos, la divisin
se llama entera. En ella, adems de un cociente, se obtiene un resto.
Por ejemplo, al repartir 100 entre 7, obtenemos de cociente 14 (a cada parte le corresponden 14 elementos)
y de resto 2 (quedan 2 elementos sin repartir).
Potenciacin
Como sabes, una potencia de nmeros naturales es, en definitiva, una multiplicacin reiterada. Por
ejemplo, 777774 . Con slo esa referencia se obtienen las propiedades de las potencias, que
dejamos como ejercicios.
Radicacin
Ya conoces el significado de las races cuadradas, cbicas, cuartas, etc.:
416 porque 1642
51253 porque 12553
...
Vistas as, las races se utilizan para expresar, de otro modo, resultados conseguidos con las potencias.
Cuando un nmero no es un cuadrado exacto su raz cuadrada carece de sentido si nos movemos dentro
de los nmeros naturales, anlogamente diramos de las races cbicas, cuartas, etc.
EJERCICIOS
11.. Observa:
-
6
nm
nmnm
nm aaaaaaaaaaaa
veces veces veces
.........
Justifica , por mtodos similares al anterior, las igualdades:
nnn baba
nmnm aa
22.. Quita parntesis y reduce:
aa)) 43x
bb)) 23a
cc)) 4xyz
dd)) 322 ba
ee)) xxxx 3333
ff)) aaa 5223
33.. Calcula:
aa)) 332 523
bb)) 232
cc)) 3 3375
dd)) 652
ee)) 232
ff)) 6 1000000
Nmeros enteros
Una importante deficiencia de los nmeros naturales es que no podemos restar ni dividir con ellos, salvo en
algunos casos. Por esta razn se define el conjunto de los nmeros enteros. Este conjunto se representa por Z y,
como sabes, incluye a los naturales y a sus negativos. Con ellos, adems de sumar y multiplicar, podemos
restar con la seguridad de que el resultado siempre ser un nmero entero.
Los nmeros enteros se pueden representar sobre una recta del siguiente modo:
Esta forma de representarlos en la recta supone el siguiente criterio de ordenacin:
Los naturales (el cero y los enteros positivos) ya estaban ordenados.
Todos los nmeros naturales son mayores que los enteros negativos.
Si un nmero natural, a , es menor que otro, b , entonces a es mayor que b .
Valor absoluto de un nmero entero
El valor absoluto de un nmero es la magnitud del mismo si prescindimos de su signo.
Se escribe as, x , y se define del siguiente modo:
El valor absoluto de un nmero natural es l mismo: 00,55, aa
El valor absoluto de un nmero negativo es su opuesto: 2727, bb
Grficamente, la idea de valor absoluto de un nmero es la de su distancia al cero.
-
7
RESUELVE:
11.. Calcula:
aa)) 3
bb)) 1135
cc)) 1135
dd)) 92030
22.. Pon un ejemplo de cada una de las propiedades anteriores, usando nmeros enteros y comprobando que, en
cada caso, se cumple la igualdad.
Propiedades de las operaciones con nmeros enteros
El conjunto de los nmeros enteros se ha construido de tal modo que se conserven todas las propiedades de los
nmeros naturales y, adems, tengan una nueva:
Todo nmero entero tiene un opuesto que, sumado con l, da 0: 0 aa . Esta propiedad es la que hace que la
resta sea siempre posible entre enteros, pues restar un nmero es sumar su opuesto: baba .
Resumamos todas las propiedades de las operaciones de los enteros:
PROPIEDAD SUMA PRODUCTO
Asociativa cbacba cbacba
Conmutativa abba abba
Elemento neutro Es el 0, pues aa 0 Es el 1, pues aa 1
Elemento simtrico El opuesto de a es a pues
0 aa No tiene
Distributiva del producto
respecto de la suma cabacba
Reglas prcticas para operar con nmeros enteros
Recordemos algunas reglas para operar con nmeros negativos:
Para sumar nmeros positivos y negativos, agrupamos unos y otros, restamos los resultados y ponemos el
signo del que tenga mayor valor absoluto. Por ejemplo:
8332517115357171153157317151157
Si un parntesis va precedido del signo menos, se puede suprimir cambiando el signo de todos los
sumandos que haya dentro. Por ejemplo:
23645311138331161348533116134853
Para multiplicar nmeros enteros, recordemos la regla de los signos:
-
8
Signos que se multiplican Signo del resultado Ejemplo
3575
- 155353
- 124343
- - 427676
Nmeros racionales
Nmeros fraccionarios
Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. De aqu surge la idea de nmero fraccionario: la mitad, la
quinta parte, la milsima parte... de la unidad. Las fracciones son las expresiones numricas de los nmeros
fraccionarios.
Son nmeros fraccionarios: ;...1000
145;
100
1;
7
4;
5
3;
5
1;
2
1
En todas estas fracciones el numerador es menor que el denominador y, por tanto, son partes de la unidad.
Tambin son fraccionarios los nmeros ;...5
34
5
23;
2
13
2
7
Cada uno de ellos se compone de varias unidades enteras ms una fraccin de la unidad.
Asimismo, son fraccionarios los nmeros representados por fracciones negativas.
Los nmeros fraccionarios complementan a los enteros, dando lugar, entre todos a los nmeros racionales.
El conjunto de los nmeros racionales
El conjunto formado por los nmeros enteros y todos los fraccionarios se llama conjunto de los nmeros
racionales y se designa por Q .
Todos los nmeros racionales se pueden expresar como fracciones, es decir, como cociente de dos nmeros
enteros: los fraccionarios ya vienen dados as, y los enteros pueden ponerse con denominador unidad.
Ahora bien, cada nmero racional puede expresarse mediante muchas (infinitas) fracciones: ...15
9
10
6
5
3
De ah, la necesidad de establecer un cierto criterio que permita reconocer cundo dos fracciones representan el
mismo nmero racional.
Simplificacin de fracciones
Si el numerador y el denominador de una fraccin se pueden dividir por un mismo nmero, al hacerlo, diremos
que hemos simplificado o reducido la fraccin. La nueva fraccin que se obtiene se dice que es equivalente a la
primera, pues ambas representan al mismo nmero racional.
-
9
Ejemplos:
3
2
4500
3000;
3
2
6
4
12
8;
5
3
25
15
Cuando una fraccin no se puede reducir ms, diremos que es una fraccin irreducible.
Por ejemplo, las fracciones 3
2,
5
3 y
3
2 son irreducibles.
Se dice que dos fracciones son equivalentes cuando se simplifican dando lugar a la misma fraccin
irreducible, que tomaremos como expresin habitual del correspondiente nmero racional.
Por ejemplo, como 5
3
25
15 y
5
3
105
63
, las fracciones
25
15 y
105
63
son equivalentes, y representan el mismo
nmero racional que, habitualmente, designaremos mediante la fraccin 5
3.
Comparacin de fracciones
Si dos fracciones tienen distinto denominador son difciles de comparar. Por eso, para comparar fracciones las
reducimos a comn denominador, es decir, buscamos fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que
tengan el mismo denominador. Este denominador comn debe ser un mltiplo comn de los denominadores de
partida, preferiblemente el mnimo comn mltiplo (MCM) de ellos.
Por ejemplo, comparemos 5
4,
6
5 y
4
3. El MCM de los denominadores es 60. Por tanto, buscamos tres fracciones
equivalentes a las dadas y cuyo denominador sea 60:
60
45
154
153
4
3154:60
60
48
125
124
5
4125:60
60
50
106
105
6
5106:60
Ahora que tienen el mismo denominador, basta comparar los numeradores:
4
3
5
4
6
5
RESUELVE
11.. Compara mentalmente cada pareja de racionales:
aa)) 4
3 y
3
4
bb)) 8
6 y
8
7
cc)) 1 y 5
6
dd)) 5
3 y
10
6
ee)) 3 y 2
11
22.. Ordena de mayor a menor:
18
13;
4
3;
9
5;
6
4;
12
7
-
10
Representacin en la recta
Los nmeros fraccionarios pueden ser representados en la recta junto a los enteros:
De este modo se tendran todos los nmeros racionales. stos se aglomeran en la recta de tal manera que, entre
cada dos de ellos, hay otros infinitos.
Pero, a pesar de tal aglomeracin, en la recta an caben infinitos nmeros no racionales.
RESUELVE
Cules son los nmeros racionales cba ,, y d representados en las siguientes construcciones?
Suma de nmeros racionales
Recordemos que los nmeros racionales se pueden representar mediante fracciones. Sumar fracciones con el
mismo denominador es tarea sumamente fcil: se suman sus numeradores y se mantiene el denominador.
Para sumar fracciones con distinto denominador tendremos que transformarlas en otras equivalentes con el
mismo denominador. Por ejemplo:
60
143
60
504845
60
50
60
48
60
45
6
5
5
4
4
3
3
23
3
21
3
2
1
7
3
27
3
2
Puesto que, una vez reducidas a comn denominador, la suma de fracciones se limita a la suma de sus
numeradores (nmeros enteros), las propiedades de suma de nmeros racionales son las mismas que las de la
suma de enteros.
RESUELVE
Enuncia las propiedades de la suma de nmeros racionales y comprubalas en algunos casos concretos.
Producto de nmeros racionales
La tercera parte de la cuarta parte de algo es su doceava parte: 12
1
4
1
3
1
Razonando de forma anloga, podemos ver que 12
10
43
52
4
5
3
2
-
11
El producto de dos fracciones es otra fraccin cuyo denominador es el producto de sus denominadores y cuyo
numerador es el producto de sus numeradores: db
ca
d
c
b
a
.
El producto de nmeros racionales tiene todas las propiedades del producto de nmeros enteros y una nueva:
Todo nmero racional, b
a, salvo el 0, tiene un inverso
a
b, tal que:
1a
b
b
a
La existencia de inverso permite dividir fracciones: cb
da
c
d
b
a
d
c
b
a
:
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda.
RESUELVE
11.. Enuncia las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva, aplicndolas a nmeros fraccionarios y
comprubalas en algunos casos concretos.
22.. Identifica y nombra las propiedades que se aplican al efectuar las siguientes simplificaciones:
85
2
1
20
5
2
7
30
3
14
7
30
5
2
3
14
33.. Calcula:
aa)) 3
7
3
114
bb)) 8
467
4
3
cc))
9
5
6
2
3
7
dd)) 8
1
4
1
2
1
ee))
3
1
2
11
ff))
4
1
3
21
2
5
44.. Calcula:
aa)) 2
5
5
3
3
2
bb))
14
3
14
3
2
1
cc))
5
6
3
42
3
1
5
33
55.. Calcula:
aa)) La mitad de 8
7.
bb)) La tercera parte de 5
9.
cc)) La mitad de la quinta parte de 4 .
dd)) El triple de la mitad de 3
2.
-
66.. Calcula mentalmente:
aa)) Los dos quintos de 400.
bb)) El nmero cuyo dos quintos son 160.
cc)) Los tres sptimos de 140.
dd)) El nmero cuyos cinco sextos son 25.
77.. Expresa en forma de fraccin de hora:
aa)) 15 minutos
bb)) 20 minutos
cc)) 10 minutos
dd)) 1 minuto
ee)) 120 segundos
ff)) 1 segundo
88.. En un depsito, el lunes, haba 3000 litros de agua y estaba lleno. El martes se gast 6
1 del depsito. El
mircoles se sacaron 1250 litros. Qu fraccin queda?
Potenciacin
Ahora que el cociente de dos nmeros enteros, b
a, tiene sentido como nmero racional, podemos ampliar las
propiedades de las potencias cuando el exponente es un nmero natural positivo.
Propiedades de las potencias de exponente natural positivo
Si m y n son nmeros naturales distintos de cero, se cumple que:
11.. nmnm aaa
22.. nnn baba
33.. nmnm aa
44.. Si m>n, nm
n
m
aa
a
55.. n
nn
b
a
b
a
Consecuencias de la propiedad 4
Si la propiedad 4 anterior fuera vlida, no slo cuando m>n, sino tambin cuando m n, se tendran los
siguientes resultados:
Si m=n, entonces 0aa
a
a mmm
m
y como 1m
m
a
a, sera 10 a
nn
nnaa
a
a
a
001
Estos dos resultados nos servirn para definir potencias de exponente entero.
-
13
Potencias de exponente entero
Si 0a y n es un nmero entero, definimos na as:
Si n>0,
vecesnn aaaa
...
n
n
aa
1
Si n=0, 10 a
Propiedades
Si m y n son nmeros enteros cualesquiera, se cumplen las propiedades 1, 2, 3 y 5 que tenan las potencias de
exponente natural positivo y, adems:
4. nm
n
m
aa
a
6.
nn
a
b
b
a
Productos notables
Se suelen llamar de este modo a las siguientes relaciones:
222 2 bababa (cuadrado de una suma)
222 2 bababa (cuadrado de una diferencia)
22 bababa (suma por diferencia)
Seguramente ya las conoces desde hace algunos aos. Sin embargo, aparecen con tanta frecuencia en clculos
numricos y algebraicos que te conviene dominar su uso.
Ejemplos
aaa 693 22
aaa 693 22
933 2 aaa
2
32
2
32
2
32
4
94
2
22 xxxx (Hemos empezado por identificar la diferencia de dos
cuadrados)
-
14
22
22
510
5102
5104
25100
bbbb
b (Hemos identificado la suma de dos cuadrados y
observamos que el tercer sumando es, efectivamente, el doble del producto de ellos)
No debes aplicar estas relaciones cuando la operacin que hay dentro del parntesis se puede realizar. Por
ejemplo:
1441257 22
9
49
3
7
32
222 xx
xx
RESUELVE
11.. Suprime parntesis:
aa))
2
2
b
a
bb))
2
3
21
cc)) 223 yx
dd))
2
1
32
1
3
xx
22.. Descompn en factores:
aa)) 22 9124 baba
bb)) 2
2 12x
x
cc)) 116
9 2
x
dd)) 4
1
25
9 2
a
33.. Simplifica:
aa)) bcb
acab
714
5102
bb)) 22
22
2 yxyx
yx
cc)) 62424
3122
2
aa
a
dd)) m
m
1510
94 2
Recordamos lo fundamental
Utilidad de los nmeros
Los nmeros sirven para contar (enteros), para expresar medidas (racionales) y para operar, calcular con ellos
(todos). Por ello, conviene conoce sus propiedades.
Debido a las propiedades asociativa y conmutativa, podemos efectuar con facilidad largas sumas o largos
productos, modificando el orden y asociando, segn convenga los sumandos o factores.
-
15
La propiedad distributiva permite:
Sacar factor comn: 7701170114221711421121117
Romper parntesis: 222 208125424345234 xxxxxx
La existencia de nmeros negativos permite restar en todos los casos: baba
La existencia de nmeros fraccionarios permite dividir en todos los casos, salvo por el cero.
n
mnm :
c
d
b
a
d
c
b
a:
La representacin de los nmeros sobre la recta propicia que nos hagamos ideas claras sobre sus valores
relativos. Grficamente, el valor absoluto de un nmero es su distancia al cero.
Potencias
Las potencias de exponente entero se definen as:
Si n>0,
vecesnn aaaa
...
n
n
aa
1
Si n=0, 10 a
Propiedades de las potencias:
11.. nmnm aaa
22.. nnn baba
33.. nmnm aa
44.. nm
n
m
aa
a
55.. n
nn
b
a
b
a
66..
nn
a
b
b
a
Igualdades notables. Resultan muy tiles las siguientes:
222 2 bababa
222 2 bababa
22 bababa
EJERCICIOS DEL TEMA
11.. Calcula:
aa)) 46364235
bb)) 19241163
-
16
cc)) 72643285
dd)) 5858347
22.. Elimina parntesis y simplifica:
aa)) 4532
bb)) 35 3:3
cc)) 4
2
3
6
dd)) 324 4:22
ee))
cabbca
3
22
ff))
432
ab
abab
33.. Calcula:
aa)) 42
bb)) 42
cc)) 32
dd)) 32
ee)) 32
ff)) 161
gg)) 171
44.. Expresa en forma de potencia la relacin existente entre los nmeros o las letras que aparecen en cada
expresin:
aa)) 822833
bb)) 531255
cc)) 440966
dd)) ba 3
ee)) mb 4 3
ff)) 43 2 kba
55.. Simplifica:
aa)) 3 38a
bb)) 3 68a
cc)) 464a
dd)) 4 464a
66.. Calcula mentalmente:
aa)) 3
4 de 21
bb)) 2
5 de 10
cc)) 10
3 de 1 milln
dd)) 20
7 de cien mil
77.. Reduce a una sola fraccin cada una de estas expresiones:
aa)) 16
1
8
1
4
1
2
1
bb))
1
5
2
4
32
4
1
5
3
cc))
4
1
3
1
2
1
4
3
3
11
dd))
20
3
3
2
2
1
4
31
3
1
5
3
-
88.. Reduce:
aa)) 3
2
3
3
bb))
42
2
3
3
2
cc))
23
4
1:
2
1
dd))
32
5
2:
5
2
ee))
23
223
96
432
ff))
23
2
1
99.. Expresa con una sola fraccin irreducible:
aa)) 4
3
2
2
bb)) 12
cc)) 6
2
a
a
dd)) 63
42
yx
yx
ee)) 4a
ff)) 21 yx
gg)) 222 ba
hh)) 2123 ba
1100.. Reduce a un solo nmero racional:
aa))
2
3
1
bb))
2
3
1
cc))
2
3
1
dd))
2
5
2
ee))
5
5
1
2
1
ff))
55
5
1
2
1
gg))
32
3
2
3
2
hh))
32
2
1
1111.. Calcula:
aa))
6
7:
3
5
9
8
4
3
bb))
14
3
2
17
13
:
8
1
2
1
4
38
1
2
11
1122..
aa)) Qu fraccin equivale al 12%?
bb)) Por qu fraccin has de multiplicar para aumentar el 50%?
cc)) Por qu fraccin has de multiplicar para disminuir un 20%?
1133.. Separa en cada fraccin la parte entera, como en el ejemplo: 2
11
2
3
aa)) 3
5 bb))
3
7 cc))
5
45
-
18
dd)) 5
48 ee))
10
93 ff))
621
2437
1144.. Representa en la recta numrica: 10
3;
5
6;
2
1;
4
3;
5
2
Nmeros racionales y nmeros decimales
Un nmero que venga dado mediante una expresin decimal, puede ser racional (es decir, puede ponerse como
cociente de nmeros enteros) o puede no serlo. Resulta interesante averiguar cules son los decimales racionales
y cmo encontrar su expresin fraccionaria. Es lo que haremos en este apartado.
Expresin decimal de los nmeros fraccionarios
En muchas ocasiones convendr expresar un nmero fraccionario en forma decimal. Como sabes, es muy fcil,
pues basta dividir el numerador entre el denominador. Veamos algunos casos:
...4625,280
197 Resultado decimal exacto.
...666666,33
11 Hay una cifra decimal que se repite indefinidamente. Se llama nmero decimal peridico
y se expresa as: 6,3
. La cifra que se repite se llama perodo.
81,7...818181,711
86 . El perodo consta de dos cifras.
183,1...318181818,166
87 . La parte decimal tiene alguna cifra que no se repite. Este tipo de nmeros se
llaman peridicos mixtos.
Reflexionemos sobre las siguientes conclusiones:
Si en una fraccin irreducible la descomposicin del denominador en factores primos slo tiene los factores 2
y 5, la expresin decimal correspondiente es exacta, pues podremos convertir el denominador en una
potencia de 10, sin ms que multiplicarlo por el nmero adecuado. Ejemplo:
4625,210000
24625
10
125197
52
5197
52
197
80
197444
3
4
.
Si en una fraccin irreducible el denominador tiene factores distintos de 2 5. la expresin decimal
correspondiente no es exacta. Entonces, con seguridad, ser peridica. Ejemplo: 428571,07
3
Todo nmero racional puede expresarse como nmero decimal exacto o peridico.
-
19
Los decimales, exactos o peridicos, pueden expresarse en forma de fraccin
Expresar en forma de fraccin un nmero decimal exacto, es muy fcil. Basta con saber interpretarlo
correctamente.
Ejemplos:
10
44,0
1000
7395395,7
100000
81400814,0
Expresamos 7,0
en forma de fraccin:
...777,710
...777,0
N
N Restando:
9
779710 NNNN
Hemos obtenido, pues, que 9
77,0
Expresamos 804,3 en forma de fraccin:
...804804,38041000
...804804804,3
N
N Restando:
999
38013801999338041000 NNNN
Hemos obtenido, pues, que 999
3801804,3
En este caso, para obtener un nmero con el mismo perodo que N , hemos tenido que multiplicarlo por 1000.
Expresamos 31004,0 en forma de fraccin:
...313131,4311000100
...313131,41000
N
N
99000
42731004,0
99000
4274279900044311000100000 NNNN
Conclusin: La estrategia que hemos seguido ha sido la misma en todos los casos. A partir del nmero dado
hemos conseguido dos decimales peridicos puros con el mismo perodo. Al restarlos, se obtiene un nmero
entero.
Tanto los decimales exactos como los peridicos, pueden ponerse en forma de fraccin. Es decir, son nmeros
racionales.
Decimales no peridicos
El nmero decimal 37,51551555155551... no es ni exacto ni peridico. No se puede poner en forma de fraccin y,
por tanto, no es un nmero racional.
Eso ocurre con las expresiones decimales de ,3,2 y otros muchos nmeros.
-
20
EJERCICIOS
11.. Clasifica los siguientes nmeros racionales en decimales exactos y decimales peridicos (Intenta dar la
respuesta antes de efectuar la divisin)
aa)) 3
1
bb)) 5
2
cc)) 4
3
dd)) 8
5
ee)) 6
7
ff)) 10
23
gg)) 5
13
hh)) 9
4
22.. Calcula mentalmente el nmero decimal equivalente a cada fraccin:
aa)) 2
1
bb)) 4
3
cc)) 4
1
dd)) 5
1
ee)) 5
2
ff)) 5
3
33.. Qu condicin ha de cumplir una fraccin para que pueda transformarse en un decimal exacto?Y para que
genere un decimal peridico?
44.. Qu nmero decimal corresponde a cada uno de los siguientes porcentajes?
aa)) 25%
bb)) 12%
cc)) 9%
dd)) 90%
ee)) 52,3%
ff)) 132%
55.. Cules de estos nmeros pueden expresarse como fracciones?
aa)) 0,24
bb)) 58,3
cc)) 100,0
dd)) 3,030030003...
66.. Expresa en forma de fraccin:
aa)) 8,25
bb)) 4,25
cc)) 25,4
dd)) 704,3
ee)) 152,0
ff)) 15223,1
77.. Calcula:
aa)) 2,03,04,0
bb)) 76,170,3
cc)) 84,151,2
dd)) 5,06,0
ee)) 14,0:12,2
88.. Una persona hace una media de 17 inspiraciones por minuto y en cada inspiracin lleva 35,0
litros de aire a
los pulmones. Qu volumen de aire ha entrado en sus pulmones al cabo de un da?
99.. En la banda municipal de msica, el 6,16
% de los miembros son trompetas y el 2,22
% son tambores.
Adems, se sabe que el nmero de msicos no llega a 40, aunque sobrepasa los 30. Cuntas personas
forman la banda?
-
21
El nmero real
Con lo que ya sabes...
A continuacin te damos una lista de nmeros para que los distribuyas en los conjuntos QZN ,, que ya
conoces. Observa que un mismo nmero puede estar en ms de uno de los conjuntos. Para orientarte en la tarea,
hemos situado los cuatro primeros nmeros. Contina con los restantes.
9
5;;31,7;81;3;
4
24;
4
24;
4
7;
4
3;2;31,0;11;4
Naturales 4N ...
Enteros 11;4 Z ...
Racionales 31,0;11;4 Q ...
No racionales 2 ...
Sita nuevamente los nmeros anteriores en los mismos conjuntos. Ahora te damos esos conjuntos
representados grficamente, de modo que se vea la relacin que hay entre ellos. Tambin aqu hemos colocado
los cuatro primeros nmeros en los lugares que corresponde.
Hagamos un diagrama que nos permita recordar y entender..
Enteros
Fraccionarios (racionales no
enteros)
Naturales
Enteros no naturales
?
Racionales
No racionales
81;4
24;4;0
4
24;11
9
5;31,7;
4
3;31,0
;3;2
-
22
Cada ampliacin del campo numrico nos permiti establecer un nuevo conjunto que engloba los nuevos
nmeros con los antiguos. Ahora haremos otro tanto: los racionales y los no racionales formarn un nico
conjunto, a cuyos elementos llamaremos nmeros reales. Todos ellos tienen en comn que pueden ser
expresados en notacin decimal y que al ser representados sobre la recta, la llenan por completo.
Los nmeros reales
El conjunto formado por los nmeros racionales y los irracionales se llama conjunto de nmeros reales y se
designa por R . Es decir, tanto los racionales como los irracionales son nmeros reales.
Con los nmeros reales podemos realizar las mismas operaciones que hacamos con los racionales: sumar, restar,
multiplicar, dividir (salvo por el cero) y estas operaciones tienen las mismas propiedades dentro de R que las
que tenan en Q .
Con los nmeros reales podemos extraer races de cualquier ndice (salvo races de ndice par de nmeros
negativos) y el resultado sigue siendo un nmero real. Eso no ocurra con los nmeros racionales.
Pero la principal mejora que aportan los reales es que llenan la recta. Veamos lo que esto significa.
La recta real
Sabemos que los nmeros racionales se sitan en la recta de tal manera que en cada tramo de sta, por pequeo
que sea, hay infinitos. Sin embargo, y aunque parezca extrao, hay huecos que son llenados por los nmeros
irracionales.
Vamos a situar algunos irracionales sobre la recta numrica.
Aqu mostramos un mtodo exacto para situar los nmeros del tipo n .
En este caso estamos considerando un tringulo de catetos 1n y 1, en el que la hipotenusa se puede obtener
por el Teorema de Pitgoras:
nnn 1111 22 Con la ayuda de un comps lo situamos en la recta real.
Aunque no seamos capaces de representar exactamente, por mtodos geomtricos, la mayor parte de los
nmeros irracionales, la representacin aproximada a partir de su expresin decimal ser siempre factible y
suficiente para nuestras necesidades.
Cada punto de la recta corresponde a un nmero racional o a un nmero irracional. Por eso, en adelante, a la
recta numrica la llamaremos recta real.
-
23
Aproximacin decimal de un nmero real
Es fcil situar, sobre la recta real, los nmeros enteros y los decimales exactos. Por ejemplo, para representar el
nmero 3,47 procederemos del siguiente modo:
Si el nmero es irracional, habra que repetir este proceso infinitas veces para situarlo exactamente en su sitio.
Si slo lo efectuamos 2 o 3 veces, habremos aproximado el nmero hasta la segunda o tercera cifra decimal.
Veamos algunos pasos para situar con ms precisin cada vez el nmero irracional: ...414,12
El nmero 2 est situado en el tramo sealado al final. Es la centsima parte del segmento 1,4-1,5. por lo
tanto, en la recta inicial, sera ms fino que un trazo hecho con lpiz.
Parece, pues, una buena aproximacin. Pero si quisiramos ms, podramos seguir hasta donde deseramos.
RESUELVE
11.. Clasifica estos nmeros en los diferentes sectores del diagrama y coloca en las etiquetas los smbolos
QZN ,, y R .
...010203,1;1;5;1;21
;18;48,2;2;5;9
11
;1;3
1;4;0;
;2;23,7;2;4
3;3
4
-
24
22.. Cuntos nmeros racionales hay entre 8,0
y 9,0
? Pon ejemplos y razona tu respuesta.
33..
aa)) Escribe un nmero racional mayor que 1.
bb)) Escribe otro racional mayor que 1 pero menor que el anterior.
cc)) Escribe ms nmeros racionales, cada vez menores, pero siempre mayores que 1.
dd)) Trata de buscar el menor nmero racional que sea mayor que 1.
ee)) Qu conclusiones sacas de todo el trabajo anterior?
ff)) Repite el proceso buscando nmeros irracionales.
-
25
AhoraUN TIEMPO DE DISTRACCIN
11.. En la primera casilla del tablero est escrito 201 y en la novena, 2550.
Completar con nmeros las casillas vacas del tablero de modo que en cada casilla, a partir de la tercera,
cada nmero sea igual a la suma de los nmeros de las dos casillas anteriores.
22.. En un rectngulo MPQR, cuyos lados miden 24 cm y 10 cm, se traza la diagonal MQ y, desde P y desde R,
las perpendiculares a esa diagonal. Llamamos A y B a las intersecciones de las perpendiculares con MQ.
Qu longitud tiene el segmento AB?
33.. Un agricultor debe echar un balde de agua a cada uno de los 20 rboles colocados en fila (lnea recta), a lo
largo de un camino. Entre cada uno hay 6 metros, y el primero se encuentra a 12 metros de la canilla. Si lleva
un balde por vez, riega un rbol y vuelve a llenarlo, qu distancia habr recorrido hasta regar todos los
rboles y dejar el balde junto a la canilla?
44.. Sea ABC un tringulo equiltero y D el punto exterior al tringulo tal que el ngulo CAD= 30 y el ngulo
ADC = 90. Sea E en el lado BC tal que el ngulo CAE = 15. Las rectas DC y AE se cortan en F. Si AB = 4,
calcular la longitud del segmento AF.
55.. En el tablero de la figura quedan 6 casillas vacas. Escribir en cada una de esas 6 casillas un nmero entero
distinto de cero de modo que, una vez completo, el tablero sea un cuadrado mgico multiplicativo, es decir,
al multiplicar los tres nmeros de cada lnea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo
resultado.
9 5
1
201
2550
-
26
EL LENGUAJE ALGEBRAICO
Asocia cada uno de los enunciados con la expresin algebraica que le corresponde:
ENUNCIADOS EXPRESIONES
a) El cuadrado de la suma de dos nmeros es igual a la suma de sus
cuadrados ms el doble de su producto. 11.. 1,1, nnn
b) El producto de dos potencias de la misma base es igual a otra potencia que
tiene la misma base que las anteriores y cuyo exponente es igual a la suma
de los exponentes de las potencias que se multiplican.
22.. 853
zyx
c) Un nmero entero, el anterior y el siguiente. 33.. hrV2
d) Dos nmeros pares consecutivos. 44.. 3321 nnn
e) La suma de tres enteros consecutivos es 33. 55.. abbaba 2222
f) Las edades de dos hermanos difieren en 6 aos y el ao prximo el
hermano mayor tendr el doble de aos que el menor. 66.. tve
g) Las cantidades que se llevan tres socios son proporcionales a 3, 5 y 8. 77.. nmnm aaa
h) El espacio recorrido por un mvil es igual a su velocidad por el tiempo que
esta en movimiento. 88..
121
6
yx
yx
i) El volumen de un cilindro es igual al producto de por el cuadrado del
radio de su base y por su altura. 99.. 22,2 nn
El lgebra y el lenguaje algebraico
El lgebra consiste en el manejo de relaciones numricas en las que una o ms cantidades son desconocidas.
Estas cantidades se llaman incgnitas, variables o indeterminadas, segn los casos, y se representan por letras.
Al traducir al lenguaje algebraico los trminos de un cierto problema, se obtienen expresiones algebraicas, como
las que se han visto en la pgina de la izquierda.
Las igualdades en las que intervienen expresiones algebraicas son frecuentes. Las hay de distintos tipos, que
revisamos a continuacin.
Identidades
La expresin abbaba 2222 ya nos resulta conocida, pues la hemos usado con frecuencia. Es una
igualdad cierta cualesquiera que sean los valores que tomen a y b . Por eso es una identidad. Tambin es una
identidad la igualdad nmnm aaa .
-
27
Comprobemos la primera identidad para 7,3 ba
1004249973273
1001073
22
22
Se cumple que 7327373 222
Ecuaciones
La expresin 3321 nnn slo es cierta para 10n , pero no para otros valores de n . Es una
ecuacin cuya solucin es 10n .
En lugar de leerla as: 21 nnn es igual a 33, la deberamos leer de este modo: Cul es el valor
de n para el cual 21 nnn es igual a 33?
La solucin de la ecuacin, 10n , es la respuesta a dicha pregunta.
Frmulas
La igualdad tve que relaciona tres magnitudes fsicas (espacio, velocidad, tiempo), sabemos que es cierta
porque nos lo asegura la fsica. Desde un punto de vista algebraico, es una ecuacin que liga tres variables. Si
conociramos el valor de dos de ellas, podramos averiguar el de la tercera.
Nosotros conocemos y utilizamos muchas frmulas de este tipo que provienen de otras ciencias, sobre todo de la
geometra.
ECUACIONES
Ecuaciones de primer grado. Resolucin
Una ecuacin de primer grado es una expresin del tipo 0bax , siendo 0a o bien es una expresin ms
compleja en la que, despus de simplificar, se llega a la anterior. El rasgo fundamental de este tipo de ecuaciones
es que la x slo aparece elevada a la primera potencia. Por ejemplo:
43;42
5;053 xxx son de primer grado
xx
xxx 832
;143;832
no son de primer grado
EJERCICIOS
11.. Para cada una de estas ecuaciones, escribe otra equivalente sin denominadores y, despus, resuelve:
a) 105
2
15
xx
x
b) 4
1
4
3
842
xxxx
-
28
c) 9
412
3
1
9
32
xxxx
d)
12
25
6
145
2
53
4
23
xxx
22.. Recuerda que dbcbadcba ; quita denominadores y resuelve:
a) xx 323324
b) 63
2
x
x
c) 35
465
x
x
d) 9
13
2
1
3
xxx
33.. Resuelve:
a) 119
74
6
73
4
1
xxx
x
b)
52
1
8
1422
xxx
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuacin de segundo grado, es:
,02 cbxax siendo 0a
Para resolver esta ecuacin hemos de despejar la x , lo cual no parece una tarea nada fcil. Hay ocasiones, sin
embargo, en que las ecuaciones de segundo grado se nos presentan de modo que se pueden resolver con mucha
facilidad. Observa sta:
451253 22 xx 325
725
xx
xx
Como ves, no se ha necesitado ninguna frmula, ningn tratamiento especfico, sino, simplemente, aplicar las
reglas conocidas y proceder con sentido comn. El nico paso algo novedoso ha sido el siguiente: si el
cuadrado de un nmero es 4, entonces este nmero puede ser 2 o 2.
Forma general de las soluciones de una ecuacin de segundo grado
Como ya hemos dicho, no es fcil despejar la x en una ecuacin de segundo grado que tenga todos sus
trminos.
La solucin general de la ecuacin ,02 cbxax siendo 0a , es:
-
29
a
acbbx
2
42
Este doble signo que precede a la raz significa que puede haber dos soluciones cuyas expresiones son :
a
acbbx
2
42
1
;
a
acbbx
2
42
2
Estas dos soluciones pueden reducirse a una o a ninguna, segn los casos.
Nmero de soluciones
La expresin acb 42 se llama discriminante de la ecuacin. Segn sea su signo, la ecuacin tendr dos,
una o ninguna soluciones.
Si 0 , la ecuacin tiene 2 soluciones: a
bx
21
,
a
bx
22
Si 0 , la ecuacin tiene 1 solucin: a
bx
2
. Se dice que es una solucin doble.
Si 0 , la expresin no tiene sentido real. La ecuacin no tiene solucin.
Ejemplos
Veamos un ejemplo de cada uno de los casos que se acaban de describir:
2
15
2
242550652 xxx
3
2
3
1
18
6
18
363660169 2
xxx
10
117
10
604970375 2
xxx No tiene soluciones reales.
EJERCICIOS
11..
aa)) 92 x
bb)) 092 x
cc)) 1822 x
dd)) 01822 x
ee)) 02052 x
ff)) 06372 x
gg)) 030032 x
hh)) 052 x
ii)) 396112 x
jj)) 90400102 x
kk)) 45 2 x
ll)) 1253 2 x
mm)) 01253 2 x
nn)) 05052 2 x
oo)) 06327 2 x
pp)) 020115 2 x
qq)) 100262 2 x
rr)) 5120325 2 x
-
30
ss)) 023 xx tt)) 0153 xx
22.. Resuelve aplicando la frmula:
aa)) 0562 xx
bb)) 0652 xx
cc)) 01562 xx
dd)) 0342 xx
ee)) 01442 xx
ff)) 012 xx
33.. Calcula los valores que ha de tomar m para que la ecuacin 062 mxx tenga:
aa)) Dos soluciones distintas.
bb)) Por soluciones los valores 4x y 2x .
cc)) Dos soluciones iguales.
dd)) Dos soluciones que no sean nmeros reales.
44.. Averigua las soluciones reales, si existen:
aa)) 022 xx
bb)) 0122 xx
cc)) 0222 xx
dd)) 0762 xx
ee)) 0762 xx
ff)) 01062 xx
55.. Resuelve las ecuaciones:
aa)) 0213152 xx
bb)) 071522 xx
cc)) 02082 xx
dd)) 065182 xx
ee)) 02,03102 xx
ff)) 012,52 xx
gg)) 03
5
3
22 xx
hh)) 012
1
23
2 2
xx
ii)) 06332 xx
66.. Reduce y resuelve:
aa)) 53245 xx
bb)) 4
205
2
32
xxx
cc)) 3
212
18 2 xx
x
dd))
5
1
2
3
4
9
5
2222
xxx
77.. El producto de un nmero entero por su siguiente, es 272. Calcular dicho nmero.
Otros tipos de ecuaciones
Hay ecuaciones que, sin ser de primer ni de segundo grado, se pueden resolver utilizando inteligentemente los
recursos que ya tenemos. Veamos los tipos ms frecuentes:
Ecuaciones bicuadradas 04 cbxax
Son ecuaciones de 4 grado sin trminos de grado impar. Para resolverlas hacemos zx 2 y, por tanto,
24 zx , obteniendo una ecuacin de 2 grado cuya incgnita, ahora, es z : 04 cbzaz . Una vez resuelta,
-
31
se obtienen los correspondientes calores de x . Por cada valor positivo de z habr dos valores de x , pues
zxzx 2 .
Ejemplo:
0910 24 xx . Hacemos zx 2 , 24 zx y obtenemos 09102 zz
Resolucin:
2
810
2
3610010
z
399 xz
111 xz
Ecuaciones con radicales
Ocasionalmente nos encontramos con ecuaciones en las que la x se encuentra bajo una raz cuadrada. Para
resolver este tipo de ecuaciones, suele convenir eliminar la raz aislndola primero en un miembro y, despus,
elevando ambos miembros al cuadrado. Pero, atencin!, en este proceso de elevar al cuadrado aunque se
conservan todas las soluciones, pueden introducirse soluciones nuevas que, naturalmente, hay que rechazar. Por
eso, en este tipo de ecuaciones, es fundamental comprobar todas las soluciones.
Ejemplos:
11.. 044123213213222cuadrado al elevando xxxxxxxxx
22
16164
x (solucin doble)
Comprobacin: 2111322 . La solucin es vlida.
22.. 787163274324732 cuadrado al elevando xxxxxxx
0228116764676527826 22cuadrado al elevando xxxxxxx
114,2 21 xx
Comprobacin:
vlidaNo .41115711431142;114
Vlida .43172322;2
2
1
x
x
Ecuaciones con la x en el denominador
Los denominadores algebraicos, al igual que los numricos, se suprimen multiplicando por el producto de todos
ellos o, mejor, por su mnimo comn mltiplo. La ecuacin a la que as se llega puede ser de las que sabemos
resolver.
En el proceso de multiplicar por expresiones polinmicas pueden aparecer soluciones falsas. Por lo tanto,
siempre que lo hagamos, deberemos comprobar todas las soluciones obtenidas.
-
32
Ejemplo:
5
43
10
24036119012195126126
2612662
16
222
2por miembros dos los mosmultiplica
xxxxxxxx
xxxxxx
x
x
xx
Comprobadas sobre la ecuacin inicial se ve que ambas soluciones son vlidas.
Ecuaciones que se presentan descompuestas en factores 0.........
Para que un producto sea igual a 0, es suficiente que lo sea alguno de sus factores. Por tanto, una ecuacin de
este tipo se puede resolver fcilmente siempre que cada parntesis d lugar a una ecuacin que sepamos
resolver.
Ejemplo
2
5052
404
202
05242
xx
xx
xx
xxx . Soluciones: 2
5,4,2 .
EJERCICIOS
11.. Resuelve:
aa)) 075324 xx
bb)) 091024 xx
cc)) 020924 xx
dd)) 254 xx
ee)) xx 2
ff)) 2532 xx
gg)) 31
2
1
x
x
x
x
hh)) 2
3
32
5
x
x
x
ii)) 4
3112
xx
jj)) 02
121
xxxx
kk)) 0292 xx
ll)) 02 xxx
22.. Resuelve:
aa)) 3512753 xxx
bb)) 42352232 xxxx
cc))
xxx
38253
21
dd)) 253
1
2
13
x
xx
33.. Resuelve:
-
aa)) 14
13
14
16
7
53
xx
bb)) 10
203
5
6
2
34 xx
cc))
7
13
4
125
xx
dd))
18
211
6
2
9
12
6
4 xxxx
44.. Resuelve:
aa))
9
115
27
85
33
47
xxxx
bb)) 9
5534
3
23
3
23
2
xxx
cc)) 13
32
3
1
5
5
xxx
55.. Resuelve sin utilizar frmulas:
aa)) 012552 x
bb)) 0123 2 x
cc)) 01822 x
dd)) 050025 2 x
ee))
5114
232
x
ff)) 04253 xx
gg)) 0232 xx
hh)) 0552 xx
ii)) 0342 2 xxx
66.. Resuelve:
aa)) 019142 xx
bb)) 012345236 2 xxx
cc)) 0162 2
xxxx
dd))
4
2743
2
6
5
123 22
xxxxxx
ee))
72234
52
xxx
xx
ff)) 01821823 xxx
gg)) 0101124 xx
hh)) 0121124 xx
ii)) 13
321
x
xxx
jj)) 9
6
3
2
3 2
xx
x
x
x
kk)) 1132 xx
ll)) 2
51
1
1
x
x
-
34
AhoraUN TIEMPO DE DISTRACCIN
11.. En un abanico abierto, la distancia entre los extremos de dos varillas consecutivas es 5 cm. Teniendo en
cuenta que consta de 13 varillas, cul es la longitud de cada varilla, suponiendo que el abanico abierto
abarca 180?
22.. Una escuela tiene 688 alumnos de los cuales exactamente la mitad son mujeres. El da del primer partido de
Argentina en el mundial de ftbol muchos alumnos faltaron a la escuela. Si la diferencia entre el nmero de
varones que faltaron y el nmero de mujeres que fueron a la escuela es 123, calcular la cantidad de alumnos
que faltaron ese da.
33.. Con un trozo rectangular de cartn, que es 4 cm ms largo que ancho, se construye una caja sin tapa, de
volumen 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Qu
dimensiones tena el cartn?
44.. Hacer la lista de todos los enteros positivos de tres o ms dgitos tales que cada par de dgitos consecutivos
sea un nmero de dos dgitos que es cuadrado perfecto. Por ejemplo, 164 es un nmero de la lista, porque
2416 y 2864 , pero 1645 no est en la lista porque 45 no es un cuadrado perfecto y 381 no est en la
lista porque 38 no es un cuadrado perfecto.
55.. Nico viaja de A hacia B y, por la misma ruta rectilnea, Gonzalo viaja de B hacia A. Salen a la misma hora y
los dos van a velocidades constantes. Cuando se cruzan, la distancia recorrida por Nico es igual a la
distancia recorrida por Gonzalo ms 7
1 de la distancia entre A y B. Desde que se cruzan hasta llegar a B,
Nico tard 9 minutos. Calcular cunto tiempo utiliz Gonzalo para ir desde B hasta A.
-
35
GEOMETRIA
Rectas
Paralelas: son coplanares y no se cortan.
Secantes o concurrentes: son coplanares y se cortan en un punto.
Perpendiculares: son secantes y se cortan formando cuatro ngulos rectos.
Alabeadas: no son coplanares, no son paralelas, no son concurrentes.
Mediatriz de un segmento
Es la recta perpendicular que corta el segmento en su punto medio.
Al construir la mediatriz, los arcos trazados deben ser mayores que la mitad de la longitud del segmento (de lo
contrario no se cortarn).
ngulos
-
36
Construccin de un ngulo igual a otro
Bisectriz de un ngulo
Es la semirrecta que tiene por origen el vrtice del ngulo al que divide en dos partes iguales.
Clasificacin de los ngulos
Complementarios
La suma de sus amplitudes es 90.
Suplementarios
La suma de sus amplitudes es 180.
Consecutivos
Tienen slo un lado en comn.
Adyacentes
Son suplementarios y consecutivos a la vez.
-
37
Opuestos por el vrtice
Son iguales y sus lados son semirrectas opuestas.
Formados entre paralelas cortadas por una transversal
1 y 5 , 2 y 6 , 3 y 7 , 4 y 8 son correspondientes.
Los ngulos correspondientes son iguales.
1 y 8 , 2 y 7 son conjugados externos.
4 y 5 , 3 y 6 son conjugados internos.
Los ngulos conjugados son suplementarios.
1 y 7 , 2 y 8 son alternos externos.
3 y 5 , 4 y 6 son alternos internos.
Los ngulos alternos son iguales.
ACTIVIDADES
11.. Completen con siempre, a veces o nunca, segn corresponda:
aa)) Dos rectas paralelas...............................................son coplanares.
bb)) Dos rectas secantes............................................... son perpendiculares.
cc)) Dos rectas coplanares...............................................son paralelas.
dd)) Dos rectas alabeadas...............................................se cortan.
22.. Indiquen cmo sern los segmentos ab y mn al construir cada cubo.
aa)) ab y mn son ................................................
-
38
bb)) ab y mn son ................................................
cc)) ab y mn son ................................................
33.. Tracen las mediatrices de los segmentos ab , bc y ac . Observen que se cortan en un solo punto.
44.. Dividan el segmento pq en cuatro partes iguales trazando mediatrices.
55.. Tomen una hoja y dibujen un segmento de extremos a y b. Tracen la mediatriz del segmento. Plieguen
despus el papel de tal manera que el punto a se superponga con el punto b. Al desplegar el papel observen
que el doblez marcado coincide con la mediatriz que trazaron.
66.. Tracen con regla y comps las bisectrices de los ngulos CBA ,, , y comprueben que las tres se cortan en un
solo punto.
-
39
77.. Indiquen si esta afirmacin es verdadera o falsa:
Trazando suficiente nmero de bisectrices es posible dividir un ngulo en 16 partes iguales.
................................................................................................................................. ...............................
88.. La recta A es la mediatriz de cierto segmento ab . En el dibujo nos muestran la posicin del punto a . Hallen
la ubicacin del punto b usando escuadra y comps.
99.. Construyan un ngulo de 2230 usando slo regla y comps. (Ayuda: 2230 es la cuarta parte de 90).
1100..
aa)) Tracen la bisectriz del ngulo A .
bb)) Construyan con regla y comps, un ngulo que sea igual a A y que no sea su opuesto por el vrtice.
1111.. Cuando un rayo de luz se refleja sobre un espejo, el ngulo de incidencia y el de reflexin son iguales.
Nos dicen que 27 A . Calculen las amplitudes de DCB ,, .
1122.. Nos dicen que C y B son ngulos conjugados internos entre paralelas; nos dicen, adems, que
''10'067 A . Cunto mide B ?
1133..
aa)) Marquen con un arco verde el ngulo opuesto por el vrtice a A , y llmenlo B . Marquen con un arco
azul el ngulo correspondiente de A , y llmenlo C .
-
40
bb)) Si sabemos que ''15'22144 CBA , cuntos miden BA , y C ?
1144.. Nos dicen que 163 DB . Calculen las amplitudes de CBA ,, y D .
TRINGULOS
Clasificacin
Segn sus lados.
Segn sus ngulos.
Ejes de simetra
Al doblar una figura por su eje de simetra, ambas mitades coinciden.
-
41
Suma de los ngulos interiores
180
Alturas
Las rectas que contienen las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas
Las medianas se cortan en un punto, llamado baricentro.
La distancia desde el baricentro a cada vrtice es 3
2 de la longitud de esa mediana.
Mediatrices
Las mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro.
Bisectrices
Las bisectrices de un tringulo se cortan en un punto llamado incentro.
-
42
Criterios de igualdad de tringulos
Un par de lados y el ngulo comprendido, respectivamente iguales LAL
Un lado y los ngulos adyacentes a l, respectivamente iguales ALA
Tres lados respectivamente iguales LLL
Observacin
RESUELVE
11.. Uno de los ngulos interiores de un tringulo rectngulo mide 34223. Cunto miden los otros ngulos
interiores?
22.. Hallen las medidas de ,,
-
43
10
102
203
x
x
x
33.. Sabemos que dos de los ngulos interiores de un tringulo miden 45 y 50, respectivamente. Podemos
asegurar que el tringulo es acutngulo? Justifiquen su respuesta.
44.. Observen el dibujo y calculen el valor del ngulo .
55.. Dibujen tres tringulos: uno acutngulo, otro rectngulo y el tercero obtusngulo, luego ubiquen el
ortocentro de cada uno.
En uno de los tres casos podemos identificar el ortocentro a simple vista, sin trazar ninguna de las alturas.
En cul de los tres casos ocurre esto?
66.. Sobre casa uno de los lados de un tringulo cualquiera
abc construyan un tringulo equiltero (los tres
tringulos equilteros pueden estar dirigidos hacia el interior o hacia el exterior del tringulo
abc ).
Ubiquen luego el ortocentro de cada uno de los tres tringulos construidos y nanlos por medio de
segmentos.
No importa que tringulo haya sido el
abc , el ltimo tringulo dibujado es siempre del mismo tipo.
Extrado de M. Gardner,
Circo matemtico, Alianza Editorial.
Cap. 5: Los elegantes tringulos.
Cmo clasifican el tringulo obtenido? Sugerencia: comparen sus lados.
77.. Dos matemticos franceses publicaron en 1821 este teorema:
Tomemos un tringulo cualquiera y marquemos en l los siguientes nueve puntos:
1. Los puntos medios de sus tres lados.
2. Los puntos donde las tres alturas cortan los lados.
3. Los puntos medios de los segmentos que unen cada vrtice con el ortocentro.
Estos nueve puntos siempre estarn ubicados en una misma circunferencia.
Extrado de M. Gardner,
-
44
Circo matemtico, Alianza Editorial.
Cap. 5: Los elegantes tringulos.
Verifquenlo haciendo la construccin. Pista: busquen el circuncentro del tringulo que tiene por vrtice tres de los
nueve puntos hallados.
Polgonos
Un polgono est formado por una poligonal simple y cerrada, junto con la regin del plano que delimita.
Polgono convexo
Cada vez que elegimos dos puntos pertenecientes a la figura, el segmento que los une est totalmente contenido
en ella.
Polgono cncavo
Es posible encontrar dos puntos pertenecientes a l, tales que, al trazar el segmento que los une, una parte de
ste queda en el exterior de la figura.
Cuadrilteros
Paralelogramos
Tienen dos pares de lados paralelos. Pertenecen a este grupo el paralelogramo propiamente dicho, el rombo, el
rectngulo y el cuadrado.
Rombo: tiene cuatro lados iguales
-
45
Rectngulo: Tiene sus cuatro ngulos interiores rectos.
Cuadrado: Es rombo y rectngulo a la vez: tiene sus cuatro ngulos interiores rectos y sus cuatro lados
iguales.
No paralelogramos
Trapecio: Tiene un par de lados paralelos, llamados bases del trapecio.
Trapecio issceles: Los ngulos adyacentes a cada base son iguales entre s y los lados no paralelos,
tambin.
Trapecio rectngulo: tiene dos ngulos interiores rectos.
Romboide: Tiene dos pares de lados iguales, pero ningn par de lados paralelos.
Trapezoide: No tiene ningn par de lados paralelos.
-
46
SAI y SAE de un polgono convexo
Cuando se triangula un polgono convexo de n lados, se obtienen (n-2) tringulos.
En cada vrtice de un polgono convexo, el ngulo exterior y el interior suman 180.
Polgono regular
Es aquel con sus lados y ngulos interiores iguales entre s.
Circunferencia y crculo
En el plano, todos los puntos que estn a igual distancia de otro fijo, llamado centro, forman la
circunferencia.
Un crculo est formado por una circunferencia y la regin del plano delimitada por ella.
RESUELVE
11..
aa)) Construyan un rectngulo cuyas diagonales midan 5 cm. Es nico?
-
47
bb)) Construyan un cuadrado cuyas diagonales midan 5 cm. Es nico?
22.. Indiquen si cada afirmacin es verdadera o falsa. Ejemplifiquen o den un contraejemplo (un ejemplo donde
se muestre la falsedad de la afirmacin), segn corresponda:
aa)) En todo paralelogramo las diagonales se cortan en un punto que es el punto medio de cada una de ellas.
bb)) En todo rectngulo las diagonales son perpendiculares.
cc)) Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
dd)) Las diagonales de un rectngulo son iguales.
ee)) En todos los rombos las diagonales estn incluidas en las bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.
ff)) Las diagonales de un rombo son iguales.
33.. La base media de un cuadriltero convexo es el segmento cuyos extremos son los puntos medios de los
lados opuestos.
En el paralelogramo abcd , mn y
pq son las bases medias y
cumplen:
dabcpq
cdabmn
////
////
En el trapecio abcd , la base media
mn cumple dos propiedades:
2
////
cdabmn
cdabmn
En el romboide abcd , las bases
medias mn y pq cumplen:
pqmn
El smbolo // se lee: igual y paralelo.
Calculen la base media en cada caso:
aa)) bb))
44..
aa)) Justifiquen que en un trapecio issceles los ngulos desiguales son suplementarios.
bb)) Hallen la medida de todos los ngulos interiores del siguiente trapecio issceles.
-
48
55.. Qu forma debe tener una baldosa para poder cubrir con ellas una superficie plana? ste es un problema
que ha captado la atencin de muchos matemticos. A tales cubrimiento se los conoce con el nombre de
teselados
No todos los polgonos permiten cubrir una superficie plana. Por ejemplo, con pentgonos regulares no se
puede realizar un teselado.
Con qu polgonos regulares se puede hacer un teselado?
66.. En el rombo 552,35, xababcd . Hallen las medidas de todos los ngulos interiores.
77.. Indiquen verdadero o falso segn corresponda y justifiquen.
aa)) Algunos rectngulos son cuadrados.
bb)) Todo cuadrado es un rombo.
cc)) Todo rombo es un cuadrado.
dd)) Algunos rectngulos son rombos.
88.. Cada ngulo exterior de cierto polgono regular mide 18. Cuntos lados tiene el polgono?
Cuerpos polidricos y redondos
Cuerpos polidricos
Tienen todas sus caras planas.
Los prismas tienen dos bases poligonales iguales y caras laterales que son paralelogramos.
Las pirmides tienen una base poligonal y caras laterales triangulares.
-
49
Cuerpos redondos
Los puntos en la superficie de una esfera estn a igual distancia (radio) de su centro.
Los cilindros tienen dos bases iguales.
Los conos tienen una base y un vrtice.
Poliedros regulares
Son aquellos cuyas caras son polgonos regulares iguales y en cada vrtice concurre el mismo nmero de caras.
Existen slo cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Permetro de figuras planas
Permetro de tringulos y cuadrilteros
Tringulo Rectngulo Paralelogramo Romboide Rombo
321 lllP 212 llP lP 4
Permetros de polgonos regulares
Si el polgono regular tiene n lados de longitud l, entonces lnP
Permetro del crculo
Es la longitud de la circunferencia de dimetro d: dP
-
50
reas de figuras planas
reas de tringulos y cuadrilteros
Tringulo Rectngulo y paralelogramo
2
abA
abA
Cuadrado Trapecio Rombo y romboide
2lA 2
21 abbA
2
21 ddA
rea de polgonos regulares
Si el polgono regular tiene permetro P y apotema ap, entonces: 2
apPA
rea del crculo, de la corona y del sector regular
-
51
Si el crculo es de radio r, entonces: 2rA
Si los crculos de la corona circular tienen radios R y r , entonces 22 rRA
Si la longitud de arco del sector circular de radio r es L, entonces: 2
LrA
Teorema de Pitgoras
En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
RESUELVE
11.. Marquen con una cruz la (las) opcin (es) correcta (s).
Un prisma regular:
Todas sus caras hexagonales.
Dos bases y seis caras laterales.
Seis caras.
Ochos caras.
Las caras que son paralelogramos, iguales.
22.. Analicen la veracidad de las siguientes afirmaciones. En caso de ser falsas, muestren un ejemplo de por qu
lo son.
aa)) Todos los cubos son prismas
bb)) Todos los prismas son cubos
33.. Rodeen con color el dibujo que representa un cono oblicuo.
-
52
44..
aa)) Con una frmula de no ms de tres sumandos, expresen el permetro de un trapecio issceles como el de
la figura.
bb)) Calculen el permetro del trapecio sabiendo que 1l mide 6 cm y es el doble de 2l , mientras que 3l es el
promedio de aquellos lados.
55..
aa)) En la cuadrcula se han superpuesto un paralelogramo y un tringulo. Considerando que cada
cuadradito de la cuadrcula mide 25 2cm , calculen el rea de cada figura.
bb)) Dibujen en la cuadrcula un rectngulo de igual rea el paralelogramo y el tringulo.
66.. Un polgono regular de 380 mm de permetro tiene lados de 0,038 m. Indiquen el nmero de lados del
polgono, y su nombre.
77.. La figura fue construida con dos sogas iguales de 78,5 cm de longitud. Con una de las sogas se hizo el
contorno de la cara; con la otra, los ojos y la boca.
aa)) Calculen el dimetro del contorno circular de la cara.
bb)) Si el radio del contorno semicircular que forma la boca es de 7,64 cm, averigen el dimetro de cada uno
de los ojos iguales.
-
53
88..
aa)) Calculen el rea del rombo.
bb)) Averigen la longitud de la diagonal mayor 1d , y verifiquen el resultado del tem a) con la frmula del
rea para rombos y romboides: 2
21 ddA
99.. Un disco compacto de 12 cm de dimetro tiene, en su centro, un agujero circular de 47,1 mm de permetro.
Calculen la superficie de una cara del disco.
1100.. La figura representa el desarrollo de un prisma. Calculen las longitudes de a,b,c y d.
1111..
aa)) Calculen los permetros de las figuras.
bb)) Calculen las reas de las figuras.
1122.. Calculen la longitud aproximada de la diagonal de un cubo cuya arista mide 5 cm.
-
54
1133.. Calculen la apotema y el rea del hexgono regular.
1144.. Calculen el rea del cilindro.
-
55
Ahora UN TIEMPO DE DISTRACCIN..
11.. Determinar cul es la mayor cantidad de nmeros consecutivos de 7 dgitos que no contiene ningn nmero
capica.
22.. Sea ABCD un trapecio de bases AD y BC, AD mayor que BC, y lados no paralelos AB y CD. Si se sabe que el
rea del trapecio ABCD es igual al triple del rea del tringulo ABC, calcular el cociente ABCreaABDrea
.
33.. Distribuir los nmeros 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, uno en cada una de las casillas de un tablero de
4x4 de tal forma que la suma de los nmeros ubicados en cada una de las cuatro filas, de las cuatro columnas
y de las dos diagonales sea un nmero primo.
44.. Decidir si es posible ordenar los nmeros enteros desde 1 hasta 2004 inclusive, de manera tal que la suma
de 10 nmeros consecutivos sea siempre mltiplo de 10.
55.. Alan y Luca, que viven en la misma calle, salen en el mismo instante, cada uno de su casa hacia la del otro,
caminando a velocidades constantes (pero no necesariamente iguales) hasta que se encuentran en un punto
C. Si Alan hubiese salido 30 minutos antes, se habran encontrado 2 km ms cerca de la casa de Luca que el
punto C. Si, en cambio, Luca hubiese salido 30 minutos antes, se habran encontrado a cierta distancia x ms
cerca de la casa de Alan que el punto C. Calcular el valor de x.
-
56
AMPLIAMOS NOCIONES DE LGEBRA
Las expresiones algebraicas como P (x) = x3 + 5 x2 + 12x + 8 se denominan polinomios en una
indeterminada. En este caso la indeterminada o variable est indicada con la letra x, pero cualquier letra puede
identificarla.
Cada uno de los sumandos de un polinomio se llama monomio. Los monomios son casos especiales
de polinomios. A los polinomios formados por dos monomios se los llama binomios, a los que estn formados
por tres monomios trinomios, y as sucesivamente.
El mayor exponente de la indeterminada cuyo coeficiente sea distinto de cero, es el grado del
polinomio: gr [ P ( x ) ]
Si el exponente de la indeterminada no es un nmero natural, la expresin algebraica no es un polinomio.
Por ejemplo:
P1 (x) = 7 x2 + 3 x5 2 x3 + 4 gr [ P1 ( x ) ] = 5
P2 ( x ) = 0, 32 x4 gr [ P2 ( x ) ] = 4
P3 ( x ) = 5 gr [ P3 ( x ) ] = 0
EJERCITACIN:
1 Seala cules de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios e indica el grado de stos.
P1 = x5 x7 P2 = - 0,2x + 0,8 x3 P3 = 4/3 3x + 3 x3
P4 = 4/9 P5 = 1x P6 = ( x 1 ) 2 x
2 P ( x ) = x3 + 3 x2 x + 1 y P ( x ) + Q ( x ) = 2 x2 3 . Averigu Q ( x )
3 Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o no:
A) Es posible sumar dos polinomios de distinto grado. B) La suma de dos polinomios de grado 3 es siempre un polinomio de grado 3. C) El producto de un nmero real distinto de cero por un polinomio de grado 5 es un polinomio de grado
5. D) Si se multiplica un polinomio P ( x ) por ( -1 ), se obtiene otro polinomio opuesto al primero tal que
sumado al primero, da por resultado el polinomio nulo.
-
57
REGLA DE RUFFINI
La regla de Ruffini es un procedimiento que permite dividir dos polinomios, siempre que el divisor
tenga la forma ( x a ).
Por ejemplo, en la divisin ( -2 x3 + 5 x2 4 x + 2 ) : ( x 3 ) podemos calcular los coeficientes del polinomio
cociente mediante la siguiente disposicin:
- 2 5 -4 2
3 -6 -3 -21
-2 -1 -7 -19 Resto
El cociente de la divisin es : - 2 x2 x 7 y el resto es ( - 19 )
EJERCITACIN:
1 Halla el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini:
a) ( x3 + 3 ) : ( x 1 ) b) ( x3 + 2 x x2 + 2 ) : ( x 2/3 )
c) ( 5 x4 3 x + 2 x2 + 6 ) : ( x 2 )
TEOREMA DEL RESTO
A veces interesa conocer slo el resto de la divisin, no el cociente
P ( x ) : ( x a ) = C ( x ) y R es el resto P ( x ) = ( x a ) . C ( x ) + R
Si x = a P ( a ) = ( a a ) . C ( x ) + R P ( a ) = R
Es decir, podemos obtener el resto de la divisin, reemplazando x por a. Por ejemplo en el caso anterior en el que
aplicamos la regla de Ruffini:
-
58
( - 2 x3 + 5 x2 4 x + 2 ) : ( x 3 ) si calculamos P ( 3 ) = - 19 que es el resto.
EJERCITACIN:
1 Hallar los cocientes y verificar el resto aplicando el Teorema del resto:
a) ( 5 x3 3 x2 + 4 x 1 ) : ( x 3 ) b) ( 6 x 3 x2 + 4 ) : ( x + 1 )
c) ( 5 x3 + 2 ) : ( x 2 ) d) ( 4 x5 1 ) : ( x + 5 )
2 Para aplicar el Teorema del resto, es necesario que el polinomio dividendo est ordenado y completo?
Comparar tu respuesta con las de tus compaeros de grupo.
3 Hallar en cada caso que P ( x ) sea el dividendo y Q ( x ) el divisor:
P ( x ) Q ( x ) Resto
X2 + x - 1 X 2
X2 3 x - 3 X - 7
X3 - 9 X - 3
4 Encontrar el valor de k para que al dividir x4 5 x + k por ( x 1 ) d resto 0.
RACES DE UN POLINOMIO
Hagamos una investigacin sobre el valor numrico de un polinomio. El resultado del producto de las
expresiones ( x 5 ) y ( x 3 ) es el polinomio P ( x ) = x2 8 x + 15.
A) Verificar esta afirmacin. B) Analizar el valor numrico de esas expresiones completando la siguiente tabla. Sacar conclusiones:
x x - 3 x - 5 (x 5) (x 3 ) X2 8 x + 15
- 2
- 1
0
1
2
3
4
-
59
5
6
C) Qu valores de x hacen que x2 8 x + 15 sea cero? D) Si te informan que x2 7x + 12 = ( x 4 ) . ( x 3 ), puedes decir, sin hacer clculos cul es el valor de x para el cual x2 7x + 12 = 0?
LAS RACES DE UN POLINOMIO P ( x ) son los valores de la indeterminada X que hacen que el polinomio se
anule.
Si p ( x ) = x2 2x + 1 y hacemos x = 1, entonces p ( 1 ) = 12 2.1+ 1=0
Como p( 1 ) = 0, entonces x = 1 es raz del polinomio. En otras palabras, el polinomio x2 2x +1 es divisible por
( x 1) , porque si efectuamos la divisin entre ambos , el resto de la divisin es cero y resulta, aplicando Ruffini:
( X2 2x +1 ) : ( x 1 ) = x 1 x2 2x + 1 = ( x 1 ) 2
Se dice que el polinomio p ( x ) = x2 2x + 1 queda factorizado.
( expresado como producto de factores) como ( x 1 ) 2
FACTORIZACIN DE POLINOMIOS
En algunos casos para determinar las races de un polinomio es suficiente con resolver una
ecuacin. Por ejemplo, hallar las races del polinomio p( x) = x5 32.
Como interesan los valores de x que hacen p( x ) = 0, entonces:
x5 32 = 0 x5= 32 x = 5 32 x = 2. 2 resulta ser una raz de
x5 32, entonces x5 32 es divisible por x 2. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene como cociente:
X4 + 2 x3 + 4 x2 + 8 x + 16
Y x5 32 = ( x4 + 2 x3 + 4 x2 + 8 x + 16 ) . ( x 2 )
( Aplica la regla de Ruffini para verificar el resultado)
Los ejemplos siguientes te orientarn en la comprensin de la problemtica del factoreo y en la resolucin de la
ejercitacin.
EJEMPLO N1: Vamos a factorizar p ( x ) = x2 25
Para ello es necesario encontrar las races de ese polinomio, lo que quiere decir que hay que identificar los
valores de la variable x que hacen que p ( x ) = x2 25 = 0
Buscamos esos valores de x: x2 25 = 0 x2 = 25 Las races son x1 = 5 y x2 = - 5 . Se puede decir que los
ceros o races de p ( x ) son 5 y 5.
-
60
Tambin quiere decir que p( x ) es divisible por ( x 5 ) y por ( x + 5 )
X2 25 = ( x 5 ) . ( x + 5 )
EJEMPLO N2 : Factorizar Q ( x ) = x3 + 27
X3 + 27 = 0 x3 = - 27 x = 3 27 x = - 3 . Esto quiere decir que Q ( x ) es divisible por ( x + 3 ).
Al aplicar Ruffini para hacer la divisin resulta
Q ( x ) = ( x + 3 ) . ( x2 3x +9 ).
Ahora hay que buscar las races enteras de N ( x ) = x2 3x + 9 . Las races enteras de un polinomio deben ser
divisores del trmino independiente; ninguno de los divisores de 9 es raz de N ( x ) lo que significa que este
ltimo polinomio no tiene races enteras. Al ser un polinomio de grado 2 completo, es posible aplicar la
resolvente para calcular sus races.
Recordamos que se puede calcular las races de ax2 + bx + c = 0 del siguiente modo: x1 = a
acbb
2
42 y
x2 = a
acbb
2
42
Pero en este ejemplo no lo hacemos porque los resultados son nmeros complejos, por lo tanto, trabajando con
reales resulta:
Q ( x ) = ( x + 3 ) ( x2 3x + 9 )
EJEMPLO N3: B ( x ) = 2 x2 4x 30 = 2 . ( x2 2x 15 )
B ( x ) = 2 . C ( x )
Calculamos las races de C ( x ) aplicando la resolvente y resultan x1 = 5 y x2 = - 3 por lo tanto
B ( x ) = 2 ( x 5) ( x + 3 )
EJEMPLO N4: D ( x ) = x3 6 x2 + 11 x 6
Buscamos las races enteras entre los divisores de 6 .
1 resulta ser raz ya que D ( 1 ) = 0.
Efectuamos la divisin: ( x3 6 x2 + 11x 6 ) : ( x 1 ) = x2 5x +6
X3 6 x2 + 11x 6 = ( x 1 ) . ( x2 5 x + 6 )
Buscamos ahora las races de x2 5x + 6 x1 = 3 y x2 = 2
Entonces: x2 5x + 6 = ( x 3 ) ( x 2 )
D ( x ) = ( x 1 ) ( x 3 ) ( x 2 )
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A veces es conveniente recordar la factorizacin de algunas expresiones especiales:
Trinomio Cuadrado Perfecto: x2 + 2ax + a2 = ( x + a ) 2
Diferencia de cuadrados: x2 a2 = ( x a ) ( x + a )
Cuatrinomio cubo perfecto: x3 + 3 a x2 + 3 a2 x + a3 = ( x + a ) 3
EJERCITACIN:
1 Factorizar: A) x2 + 6 x + 9 B) x2 + x
C) x3 + 3 x2 + 2 x D) x3 25 x E) x3 + 4 x2 + x 6
2 Hallar Q ( x ) en cada caso:
A) x2 2 x 15 = ( x 5 ) . Q ( x ) B) x5 + 2 x4 3 x3 = x3 . ( x 1 ) . Q ( x )
3 Buscar en cada caso por lo menos un polinomio que tenga los factores indicados :
A) ( x 1 ) y ( x + 2 ) B) 5 ; ( x 4 ) ; ( x 2 ) y ( x + 2 )
4 Las ganancias de dos fabricantes de chocolates estn dadas por: P(x) = - 0,1 x3 + 1,5 x2 + 10 x y Q (x) = ( x 10 )2 + 100 Donde x es, en miles, la cantidad de kg que fabrican y la ganancia est en miles de pesos. A) Cunto debe fabricar cada uno para obtener la misma ganancia? B) Con qu produccin la ganancia obtenida por el primero duplica la del segundo? 5 En un taller se fabrican cajas de bombones, con tapa, en forma de prismas de base cuadrada. El lado de la base mide le triple de la altura. A) Si el volumen es 243 cm3, cunto mide la altura? B) Tambin se fabrican cajas, con las mismas proporciones, de 1 125 cm3 de volumen. Cul es, en este caso, la medida de la altura? C) Qu modelo matemtico utilizaron para resolver este problema? 6 Una pileta de natacin tiene la forma de un prisma recto de base rectangular. Si el largo es igual a (x+5) m ; el ancho es ( x 5 ) m y la profundidad es de ( x 16) m, hallen la expresin polinmica del volumen en funcin de x. Cul ser el volumen si x toma el valor de 20 m? Si el volumen de la pileta es de 400 m3, cul es el valor de x? 7 Calculen el valor de k para que: A) P (x) = x8 k x4 + 1 sea divisible por Q (x) = x + 1 B) P (x) = ( k x + 4 )2 sea divisible por Q (x) = x k
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METODOLOGA DE RESOLUCIN DE
PROBLEMAS
Un profesor de matemtica tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los
alumnos en operaciones rutinarias, matar en ellos el inters, impedir su desarrollo intelectual y acabar
desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos
plantendoles problemas adecuados a sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas
estimulantes, podr despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos
para ello.
COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS G.POLYA
El modelo consiste en cuatro pasos:
1 Comprender el problema.
Significa determinar de qu trata, cul es la informacin que se te ha dado y cul te piden. Debes
reconocer los datos pertinentes para llegar a la solucin y detectar aquellos que no lo sean. Adems en este paso
es clave que determines si los datos que te dan son suficientes para resolverlo.
2 Desarrollar un plan
Este paso se refiere a identificar la estrategia o estrategias que puedes usar al resolver un problema.
Recuerda que puede no haber un plan nico de resolucin.
3 Llevar a cabo el plan.
Ejecutar el plan trazado anteriormente para determinar la solucin del problema.
4 Verificar
Revisar, discutir, comprobar que la solucin hallada es la correcta.
RESOLVEMOS ALGUNOS PROBLEMAS:
1) En un campeonato de ajedrez, cada maestro debi jugar exactamente una vez con cada uno de sus adversarios. Si en total se jugaron 45 partidas ( y la cantidad de maestros es un nmero par). Cul es el nmero de maestros que particip del campeonato?
2) Se tiene un cao de forma cilndrica de 12 metros de largo, su seccin es una circunferencia de 4 m de longitud. Una soga rodea al cilindro dando 4 vueltas exactas al mismo. Calcular el largo de la soga.
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3) Doa Josefa toma caf con leche en el desayuno: se sirve una taza con de caf y de leche. Cuando tom la mitad de la taza, vuelve a llenar la taza con caf. Repite la misma operacin otras 3 veces. Qu proporciones de leche y de caf tiene la ltima taza que se sirvi?
4) Un automvil viaja a 80 km/h y es pasado por una camioneta que a los 6 segundos se encuentra a 44m ms adelante que el auto. A qu velocidad va la camioneta?
5) Un automovilista parte de su casa que est en el mojn que indica el km 70 de una ruta; cuando pasa por el mojn del km13 su cuentakilmetros marca 123270. A la vuelta pasa por el mojn del km 42 cuando su cuentakilmetros marca 123355. Cuntos kilmetros recorri en su viaje hasta volver a su casa?
6) Este problema cuenta con varios pasos: A) Dibujar un cuadrado formado por 5 cuadraditos de lado Cuntos cuadraditos hay en el borde del cuadrado?; B) Cuntos cuadraditos habr en el borde de un cuadrado de 37 cuadraditos de lado? ; C) Encontrar una frmula que permita calcular el nmero de cuadraditos del borde de un cuadrado de n cuadraditos de lado.
7) Dada la siguiente serie de puntos:
8) Cuntos puntos hay en la figura que se encuentra en el sptimo lugar?; B) Cuntos en la figura que ocupa el lugar 50?; C) Cuntos puntitos tiene la figura que se encuentra en la posicin n?; D) Habr algn tringulo formado por 70 puntitos?
9) Probar que la suma de los cubos de tres nmeros enteros consecutivos es divisible por nueve.
10) Si un mago triplica cierto nmero de fichas, luego retira 5 y quedan 28cuntas fichas tena al
principio? a. Luego toma un cofre lleno de monedas y hace desaparecer la mitad de ellas, a continuacin
regala una moneda a cada uno de los 83 espectadores. En el cofre queda un cuarto de las monedas que haba inicialmente.
b. Con cuntas contaba al comienzo? c. Para terminar su presentacin, pregunta a una dama del pblico si sabe, con exactitud, cunto
dinero tiene en su billetera, incluyendo las monedas. La seora contesta que s; no obstante, el mago le pide que no lo diga, que reste 20 a la cantidad de dinero que tiene, luego lo divida por cinco y le haga saber el resultado. La espectadora le dice: diez pesos y veinticinco centavos. Cunto dinero tena en su billetera?
11) Para hacer una torre de naipes de 1 piso se usan 2 naipes, para hacerla de 2 pisos se usan 7 naipes, para
hacerla de 3 pisos se usan 15 naipes. Cuntos naipes hay que usar para hacer una torre de 100 pisos?
12) Exprese el nmero 10 empleando cinco nueves. Indique por lo menos dos procedimientos.
13) Tres amigos juntaron sus dineros e imaginaron una cadena Cyber-ham, donde usted puede saborear una jugosa hamburguesa mientras navega por Internet. Deduzca de cul local se hizo cargo cada socio, qu actividad desarrolla y qu porcentaje aport cada uno de ellos. Se sabe: a) Joaqun no es actor. b) El que menos aport administra el local de Rosario. c) Sebastin ( que no aport el 40%) administra la casa de Santa Fe.
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d) El pintor est a cargo de la filial de Crdoba. e) Juan Jos puso ms capital que el msico. f) El capital se constituy en 25%, 35% y 40%.
TE ATREVES A DESCUBRIR EL SECRETO DEL MAGO? Dijo el mago: presentar un truco aritmtico, con el ruego de que descubran el secreto que encierra. Que cualquiera de los presentes, usted mismo, escriba en un papel un nmero de tres cifras, sin que yo lo vea. - El nmero puede tener ceros? - No pongo limitacin alguna. Cualquier nmero de tres cifras, el que deseen. - Ya lo he escrito. Qu ms? - A continuacin de ese mismo nmero, escrbalo otra vez, y obtendr un nmero de seis cifras. - Dele el papel al compaero ms alejado de m, y que este ltimo divida por 7 la cantidad obtenida. - Qu fcil es decir divdalo por 7! A lo mejor no se divide exactamente. - No se apure; se divide sin dejar residuo. - No sabe usted qu nmero es y asegura que se divide exactamente. - Haga primero la divisin y luego hablaremos. - Ha tenido usted la suerte de que se dividiera. - Entregue el cociente a su vec