matematica ingreso 2009

Facultad de Agronomía y Veterinaria

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INTRODUCCIÓN

Todo alumno interesado en las Ciencias Agropecuarias muestra afinidad con asignaturas relacionadas con biología, fisiología, morfología, anatomía, patología, maquinarias agrícolas, producción vegetal o animal. Sin embargo, al comienzo de esta nueva etapa de formación y crecimiento, la pregunta más frecuente es Matemática, ¿Por qué?, ¿Para qué? si yo quiero estudiar Medicina Veterinaria o Ingeniería Agronómica.

El objetivo de este material es satisfacer esta inquietud pensando en que la transmisión de los conocimientos básicos de la asignatura debe hacerse a través de situaciones aplicadas y contextualizadas a las Ciencias Agropecuarias aumentando el interés y la motivación para así de esta manera comprender la necesidad de adquirir dichos conocimientos.

En este material, cada concepto matemático es explicado y ejemplificado a través de situaciones contextualizadas que introduce al alumno en problemas que encontrará a lo largo de su vida académica y profesional. Esto se ha logrado por la experiencia adquirida en estos últimos años participando en proyectos de articulación curricular con el Nivel Medio e interactuando con docentes de distintas asignaturas de la Facultad de Agronomía y Veterinaria donde se utiliza la matemática como una herramienta fundamental. Pretendemos que este módulo sirva como una guía de estudios que permita reflexionar, analizar, discutir resultados e incorporar conceptos sin reemplazar los libros de texto.


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ÍNDICE ANALÍTICO INTRODUCCIÓN 2 CAPITULO I: NÚMEROS 1.1- Números Naturales: Propiedades. 5 1.2- Números Enteros: Propiedades. 5 1.3- Números Racionales: Propiedades. 6 1.4- Números Irracionales: Definición. 7 1.5- Números Reales: Propiedades. 8 1.6- Operaciones en R: Multiplicación, Regla de los Signos, Propiedades;

Potenciación, Potencia de Exponente Natural, Potencia de Exponente Negativo, Propiedades; Radicación, Propiedades.

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1.7- Notación Científica. 14 1.8- Ejercicios de Aplicación. 14 CAPITULO II: RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMERICA 2.1- Razón Entre dos Números. 17 2.2- Proporción Numérica. 17 2.3- Magnitudes Directamente Proporcionales. 17 2.4- Regla de Tres Simple Directa. 18 2.5- Porcentaje. 20 2.6- Ejercicios de Aplicación. 21 CAPITULO III: ECUACIONES 3.1- El Misterio de las Ecuaciones. 23 3.2- Definición. 23 3.3- Resolución de Ecuaciones. 24 3.4- Tipos de Ecuaciones. 26 3.5- Sistema de Ecuaciones. 27 3.6- Resolución de Ecuaciones Racionales. 28 3.7- Ejercicios de Aplicación. 29 CAPITULO IV: UNIDADES 4.1- Sistema de Unidades. 34 4.2- El Patrón de Longitud. 35 4.3- El Patrón de Masa. 35 4.4- El Patrón de Tiempo. 35 4.5- Introducción al Análisis Dimensional. 37 4.6- Cambios de Unidades. 38 4.7- Ejercicios de Aplicación. 41


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CAPITULO V: FUNCIONES 5.1- Introducción. 43 5.2- Funciones: Definición. 44 5.3- Funciones Numéricas: Definición. 45 5.4- Representación Grafica de Funciones. 47 5.5- Clasificación para Funciones Reales: Funciones Crecientes y Decrecientes;

Funciones Pares e Impares. 49

5.6- Función Lineal. 50 5.7- Función Cuadrática. 53 5.8- Ejercicios de Aplicación. 69 BIBLIOGRAFÌA 62


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CAPITULO I: NÚMEROS 1.1- NÚMEROS NATURALES Fue el primer conjunto numérico que se conoció y se lo utilizó fundamentalmente para contar. Se lo identifica con N

N = 0, 1, 2, 3, 4,........... PROPIEDADES 1.- N es un conjunto formado por infinitos elementos 2.- N es un conjunto totalmente ordenado. Es decir, dados dos números naturales, se puede establecer exactamente cual es el mayor y cual es el menor. O sea, si a y b son números naturales distintos, entonces:

a < b o b < a 3.- N tiene primer elemento, pero no tiene último elemento. Cualquiera sea el número natural que se elija, siempre es posible hallar su siguiente; basta con sumar uno al número elegido. Pero no siempre es posible hallar su anterior; el cero, por ejemplo, tiene siguiente pero no tiene anterior. Por eso el cero es el primer elemento del conjunto. 4.- N es en conjunto discreto. Es decir, entre dos números naturales hay un número finito de números naturales. 5.- La suma de dos números naturales es un número natural. 6.- El producto de dos números naturales es un número natural. 1.2- NÚMEROS ENTEROS El conjunto N no basta para resolver todos los problemas que se plantean a diario ¿Cómo haríamos para resolver la ecuación: x + 6 = 2? Para ello se crearon los números enteros y se los identifica con Z

Z = ......., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...... PROPIEDADES 1.- Z es un conjunto formado por infinitos elementos. 2.- Z es un conjunto totalmente ordenado. 3.- Z no tiene primer elemento ni último elemento. Es decir, todo número entero tiene su anterior y su siguiente. 4.- Z es un conjunto discreto. 5.- La suma de dos números enteros, es un número entero. 6.- El producto de dos números enteros, es un número entero. 7.- Todo número entero a tiene su opuesto b, tal que:

a + b = b + a = 0


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1.3- NÚMEROS RACIONALES Los números fraccionarios se inventaron como respuesta a la necesidad de expresar partes de la unidad, en especial, cuando se realizaban mediciones. Por este motivo, tuvieron un desarrollo apreciablemente anterior al de los números enteros. Los enteros y las fracciones positivas y negativas forman el conjunto de los números racionales. Este conjunto se indica por Q. Los números racionales se pueden escribir como fracción o como expresiones decimales. Por ej:

53 se puede escribir como se puede escribir como6,0 71,2

100271

Dentro de las expresiones decimales, podemos encontrar las exactas y las periódicas. Por ej:

75,043

= (expresión decimal exacta)

31,0152 )

= (expresión decimal periódica)

En las expresiones decimales periódicas, hay infinitas cifras decimales a la derecha de la coma, que aparecen con determinada periodicidad (estas cifras se indican dibujándolas debajo de un arco). Resumiendo: Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como el cociente o razón de dos números enteros. De allí su nombre. La única condición es que el denominador sea distinto de cero. PROPIEDADES 1.- Q es un conjunto formado por infinitos elementos. 2.- Q es un conjunto totalmente ordenado. 3.- Q no tiene primer elemento ni último elemento. 4.- Entre dos números racionales existen infinitos racionales. Por eso se dice que es un conjunto denso. Como consecuencia de esto, no tiene sentido hablar del anterior y del posterior de un número racional.


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SIMPLIFIQUEMOS NÚMERO RACIONALES Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con los términos más sencillos. Esto lo podés hacer cuando numerador y denominador se pueden dividir por un mismo número:

603 =

201 ;

1215 =

45 ;

120180 =

23

Para que te resulte más fácil es conveniente que simplifiques dos fracciones en varios pasos:

120180 =

1218 =

69 =

Cuando una fracción no se puede simplificar más, se dice que es irreducible. Son fracciones irreducibles, por ejemplo:

45 ;

201 ;

23 ;

2017 ;

1516

Para ordenar números enteros o por ejemplo números decimales se usa la recta numérica. Si querés comparar dos expresiones decimales, es necesario que las mismas tengan la misma cantidad de números después de la coma. Para comparar 0,5 y 0,04. Como 0,5 = 0,50 entonces comparo 0,50 > 0,04 y luego contesto 0,5 > 0,04. Si quiero comparar 9,12 y 9,135 entonces: 9,12 = 9,120 luego comparo 9,120 < 9,135 y contesto: 9,12 < 9,135 Si quiero comparar 0,00135 y 0,005 entonces:

0,005 = 0,00500 luego comparo 0,00135 < 0,00500 y contesto: 0,00135 < 0,005 1.4- NÚMEROS IRRACIONALES Los números irracionales son aquellos que no pueden escribirse como el cociente o razón de dos números enteros. Se caracterizan porque a la derecha de la coma decimal, poseen infinitas cifras decimales no periódicas. A este conjunto se lo indica por I. Son números irracionales las raíces de números naturales que no son enteras, π (la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia), el número e (la base de los logaritmos naturales), la raíz cuadrada de 2, etc.


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1.5- NÚMEROS REALES Es el conjunto formado por los números racionales e irracionales. A este conjunto se lo indica por “R”. N Naturales Z Enteros Naturales Q Negativos Racionales Números R Fraccionarios Reales I Irracionales PROPIEDADES 1.- R es un conjunto formado por infinitos elementos 2.- R no tiene primer ni último elemento 3.- R es un conjunto denso 4.- R es un conjunto totalmente ordenado 1.6- OPERACIONES EN “R”` MULTIPLICACION

44444 344444 21vecesb

a ............... a a a a a.b +++++=

Los números a y b se denominan factores, y el resultado, producto. Por ej:

43421veces4

3 3 3 3 3.4 +++=

veces2

5 5 2.5 +=


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REGLA DE LOS SIGNOS

si se multiplican dos factores positivos o dos factores negativos, el producto es positivo si se multiplican dos factores de signos distintos, el producto es negativo

PROPIEDADES 1.- Conmutativa:

a.b = b.a Por ej: 3.4 = 4.3 = 12 2.- La multiplicación es distributiva respecto de la suma y la resta:

a.(b + c) = a.b + a.c

a.(b – c) = a.b – a.c Por ej: 3.(4 + 5) = 3.4 + 3.5 3.9 = 12 + 15 27 = 27 4.(5 – 3) = 4.5 – 4.3 4.2 = 20 –12 8 = 8 POTENCIACIÓN

444 3444 21vecesn

n a ................. a . a .a. a a =

Al número a se lo denomina base y al número n, exponente. Al resultado, se lo denomina potencia. Por ej:

veces3

2.2.2 2 3 = veces2

2 5.5 5 =

POTENCIA DE EXPONENTE NATURAL

si el exponente es un número par, la potencia es positiva si el exponente es un número impar, la potencia lleva el signo de la base


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Por ej: 32 = 9 33 = 27 (-5)2 = 25 (-2)3 = -8 POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

n

nnn

ab

ab

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

Por ej:

916

34

34

43

2

222==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

PROPIEDADES 1.- La potencia primera de un número es ese mismo número

a1 =a Por ej:

51 = 5 , 71 = 7 2.- La potencia cero de cualquier número (distinto de cero), es igual a uno

a0 = 1 (a≠ 0) Por ej:

50 = 1 (-7)0 = 1 3.- La potencia no es distributiva respecto de la suma y la resta

(a + b)n ≠ an + bn

(a – b) n ≠ an – bn

Por ej:

(3 + 5 )2 ≠ 32 + 52

82 ≠ 9 + 25 64 ≠ 34 (3 - 5 )2 ≠ 32 - 52

(-2)2 ≠ 9 - 25 4 ≠ -16


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4.- La potencia es distributiva respecto de la multiplicación y la división:

(a.b)n = an.bn

(a:b)n = an:bn

Por ej:

(3.4)2 = 32.42

122 = 9.16

144 = 144

(6:3)2 = 62:32

22 = 36:9

4 = 4

5.- El producto de dos o más potencias de igual base es otra potencia de la misma base donde el exponente resulta de la suma de los exponentes de los factores

ax.ay = a(x+y)

Por ej:

23.24 = 2(3+4) = 27

6.- El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base donde el exponente resulta de la resta de los exponentes del dividendo y del divisor

ax:ay = a(x-y)

Por ej:

25:22 = 2(5-2) = 23

7.- Potencia de otra potencia. El resultado es otra potencia de la misma base donde el exponente resulta de la multiplicación de los exponentes

(ax)y = a x.y

Por ej:

(22)3 = 2 2..3 = 26


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RADICACIÓN

ran =

La expresión anterior se lee “la raíz enésima de a es r”, donde n se llama índice, a radicando y r raíz. El símbolo se llama radical. Aquí se deben diferenciar los casos en que n es par o impar: Para n par y a ≥ 0: arra nn =⇒= Para n impar: arra nn =⇒= Por ej: 392 =

283 =

283 −=− PROPIEDADES 1.- La radicación no es distributiva respecto de la suma y la resta:

nnn baba +=/+

nnn baba −=/− Por ej:

754325

169169

=/

+=/

+=/+

4861064

3610036100

=/

−=/

−=/−

2.- La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división

nnn baba ⋅=⋅

nnn baba ÷=÷


13

Por ej:

663236

9494

=⋅=

⋅=⋅

225104

2510025100

=÷=

÷=÷

3.- Raíces sucesivas

mnn m xx ⋅= Por ej:

22648

646463

233 2

==

= ⋅

4.- Raíz de exponente racional

nmn m xx =

Por ej:

232 3 44 =

5.- Simplificación de radicales:

si n es impar: xxx nnn n ==

Por ej:

( ) 222 333 3 −=−=−

si n es par: xxn n = Por ej:

3332 =−=−


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1.7- NOTACIÓN CIENTIFICA La notación científica es una forma de expresar números que resulta muy conveniente cuando se necesita manipular números muy grandes o muy pequeños. Consiste en expresar al número como un producto entre un número decimal, cuyo valor absoluto sea mayor o igual a uno y menor que diez, y una potencia de diez. Por ej:

700 = 7.102 0,0005 = 5.10-4

5600 = 5,6.103 0,0921 = 9,21.10-2

¿Qué es la notación científica? Para definir con total claridad lo que esto significa consideremos el siguiente ejemplo: La población de cierto microorganismo en un determinado medio de cultivo es de 6.000.000.000. Veamos si encontramos una forma más abreviada para expresar este valor. Si te fijás, verás que 6.000.000.000 es lo mismo que multiplicar 6 por 1.000.000.000, entonces, 6.000.000.000 = 6 1.000.000.000 = 6 10 10 10 10 10 10 10 10 10 = 6 109 este resultado se lee: “seis por diez a la nueve” Otro ejemplo sería: ¿Sabías que el tiempo que tarda la luz en atravesar el vidrio de una ventana es de 0,000000000013 segundos?

0,000000000013 = == 121013

000100000000013 13 . 10-12 = 1,3 .10. 10-12 = 1,3 . 10-11

A esta manera de escribir los números se la llama notación científica. Un número está expresado en notación científica cuando se lo escribe de forma: p . 10 k, donde p es un número decimal, cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10, y k es un número entero. 1.8- EJERCICIOS DE APLICACIÓN Ejercicio N°1: Aplicando las propiedades correspondientes, halla:

a) =3 729 e) 4 64 =

b) =3 5 30x f) =8116

c) =⋅− 55 216 g) =⋅ 312

d) =−343

85

h) =−21

411


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Ejercicio N°2: Expresa el radical que corresponda:

a) =21

8 b) =32

5

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

23

41 d) =2

149

e) =43

2 f) =53

4 Ejercicio N°3: Expresa como potencia

a) =5 27 b) =4x c) =3 7 d) =3 5

e) =9x f) =−3 125 Ejercicio N°4: Calcular las siguientes potencias

a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− 21

254 b) ( ) =− 2

1121

c) ( ) =− − 31

125 d) ( ) =− 32

8

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− 23

41 f) ( ) =− − 5

232

Ejercicio N°5: Aplica propiedades para resolver los siguientes ejercicios:

a) =⋅⋅⋅ − 3333 5222

1 b) =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− 4114

3

94

94

94

c) =⋅⋅ −− bbb 232

d) ( ) ( ) =−÷− − 51

54

44

e) =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 5

42

132 f) ( )[ ] =− − 2

1425

g) =÷− 5

35

2xx h)

51

51 2/3-1- =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛


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Ejercicio N°6: Resuelve:

a) ( ) =−+ −−5

232

328 b) ( ) =÷ 32638 ba

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− 52

32

24332

278 d) ( ) =÷ 3

29664 ba

Ejercicio N°7: Resuelve aplicando las propiedades correspondientes:

a) =3 64 b) =⋅⋅ 1025

c) =4 64 d) =3 10 30x

e) =8116 f) =÷ 33 49

71

g) =⋅− 55 216 h) =−343

85

i) =−21

411

Ejercicio N°8: Escribe en notación científica los siguientes números: a) 7980000000 = b) 0,00000000259 = c) 0,00000007 = d) 7000000000000 = e) 5789000 = f) 0,00015 = g) 5800 = h) 79 . 10-10 = i) 135 . 1010 = Ejercicio N°9: Resuelve los siguientes cálculos y expresa los resultados en notación científica: a) b) =⋅⋅⋅ 58 103101,2 ( ) ( ) =⋅÷⋅ 79 102108 c) ( ) ( ) =⋅÷⋅⋅⋅ 374 10151051012,3 d) =⋅+⋅÷⋅ 379 107,1106,2102,5


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CAPITULO II: RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA 2.1- RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS:

La razón entre dos números a y b es el cociente ba , por ejemplo la razón entre 10 y 2 es 5,

ya que 52

10= y la razón entre los números 0,15 y 0,3 es

21

30,015,0

=

2.2- PROPORCIÓN NUMÉRICA: Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que

entre c y d, es decir dc

ba

= , esto se lee de la siguiente manera: “a es a b como c es a d”.

Por ejemplo, los números 2;5 y 8;20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es

la misma que la razón entre 8 y 20, es decir 208

52

=

En la proporción dc

ba

= hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman

medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es:

“En toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios”.

Así en la proporción anterior 208

52

= se cumple que el producto de los extremos da 2 . 20

= 40 y el producto de los medios da 5 . 8 = 40

EN GENERAL: cbdadc

ba

⋅=⋅⇒=

2.3- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESSi dos magnitudes son tales que a doble, triple ... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.


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Ejemplo 1:

Una bolsa de fertilizante (urea) pesa 20 Kg ¿Cuánto pesan 2 bolsas?

Un cargamento a granel de urea pesa 520 Kg ¿Cuántas bolsas se podrán llenar?

Número de bolsas

1 2 3 ... 26 ...

Peso en Kg. 20 40 60 ... 520 ...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que ...

603

402

201

===

Las magnitudes número de bolsas y peso en Kg son directamente proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de bolsas a Kg es 20.

2.4- REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA La regla de tres es una operación que consiste en encontrar el cuarto término de una proporción, a la que solo se le conocen tres términos.

Puede ser simple cuando solamente intervienen en ella dos variables o compuesta cuando intervienen tres o más variables.

Toda regla de tres presenta una incógnita y una hipótesis. La hipótesis está constituida por los datos del problema que se conocen y la incógnita por el dato que se busca. De acuerdo a la relación con la incógnita, puede ser directa cuando los aumentos en una variable provocan aumento en la otra variable o inversa cuando los aumentos en una variable provocan disminución en la otra variable.

Ejemplo 2:

Determine el % MS (materia seca) y de Humedad de un forraje, cuya alícuota de MV (materia verde) fue de 250 g Se colocó en estufa obteniéndose un peso de la alícuota de 63 g de MS.

250 g---------- 100%

63 g ---------- %2,25%10025063

=⋅=x

% de MS = 25,2 %

% de Humedad = 100 – 25,2 = 74,8 %


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Ejemplo 3:

Un estudiante debe llegar a un campo para realizar una actividad práctica. Para ello debe recorrer un trayecto de 85 Km. asfaltados y otro de 35 Km. de tierra.

Si éste en camino asfaltado viaja a 120 Km/h y en camino de tierra lo hace a 90 Km/h, ¿cuánto tardará en llegar al campo?

Primero calcularemos el tiempo para recorrer los 85 kilómetros de asfalto y luego el tiempo para recorrer los 35 kilómetros de tierra.

Que la velocidad sea de 120 Km/h significa que en una hora recorre 120 Km, o dicho de otro modo, para transitar los 120 Km. son necesarios una hora, si en lugar de 120 Km. el estudiante tiene que hacer sólo 85 Km., se puede plantear una sencilla regla de tres simple:

hX

Km1h

Km120 85=

solo queda despejar la incógnita de esta ecuación, Si te animaste, debiste hacer un planteo como el que sigue:

KmhKmX

120185 ⋅

= donde , o lo que es equivalente hX 708,0= min48,42=X

?85

1120=−−−−

−−−−XKmhKm

donde , o lo que es equivalente hX 708,0= min48,42=X

Y ahora seguramente te ánimas a calcular el tiempo que te insumiría hacer los restantes 35 Km. de camino de tierra a 90 Km/h,

Entonces tus cálculos te tienen que haber dado como sigue:

?35190

=−−−−−−−−

XKmhKm

donde o lo que es equivalente hX 38,0=

?38,0min601

=−−−−−−−−

Xhh

donde . minX 8,22=

Ejemplo 4:

La producción de materia verde de un campo en la zona de Río Cuarto es de aproximadamente 42.500 kilogramos por hectárea y por año.

El porcentaje de agua de esa materia verde es de un 81,5 %, ¿Calcular los kilos de materia seca (MS) presente en ella?


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Interpretemos qué significa que la materia verde tenga un 81,5 % de agua, esto quiere decir que por cada 100 Kg de materia verde tenemos 81,5 Kg de agua y 18,5 Kg de materia seca.

Como nos piden los kilogramos de materia seca por hectárea y por año caemos de nuevo en una regla de tres:

?%5,18

500.42%001=−−−−

−−−−X

Kg

donde MS, este valor corresponde a la producción de materia seca de la pradera.

KgX 5,7862=

Ejemplo 5:

En un lote destinado a la siembra de maíz se realiza un análisis de suelo que tiene en tantos resultados una deficiencia de fósforo, para ello un ingeniero agrónomo aconseja fertilizar poniendo 20 kilogramos de fósforo por hectárea, si el lote posee una superficie de 84 hectárea, ¿Cuántos kilogramos tendrá que poner el lote?

?84

201=−−−−

−−−−Xha

fósforodeKgha

donde de fósforo. KgX 1680=

2.5- PORCENTAJE

En casi todas las asignaturas que curses a lo largo de estos años vas a tener que trabajar con porcentajes pero entonces ¿Qué es porcentaje?

En líneas generales podemos decir que porcentaje “es una parte de un todo”, por ejemplo:

Si vos tenés una pizza de 8 porciones y te comes 2 porciones, te estás comiendo el 25 % de tu pizza.

Es muy común que los porcentajes se representen en diferentes formas gráficas acá te mostramos una de ellas Diagrama de Torta:

Trabajar con porcentajes implica simplemente resolver una regla de tres. Te presentamos algunos conceptos básicos.


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Ejemplo 6:

Un cabañero tiene 180 vacas de la raza Hereford y quedan preñadas 140, el índice de preñez es el porcentaje de animales que quedaron preñados respecto del total de animales que fueron servidas y viene dado por:

?140%001180

=−−−−−−−−

XVacasVacas

%7,77=X

Mientras que para calcular el índice de parición se procede de forma similar a la anterior, pero ahora es el porcentaje de animales vivos nacidos respecto del total que nacieron, con lo que:

?130

%001140=−−−−

−−−−XTerneros

Terneros

éste será el índice de parición. %85,92=X 2.6- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio N°1:

Se necesita comprar herbicida, para pasar en un lote con yuyo colorado, el producto comercial está formulado al 42,5 % v/v, esto quiere decir que por cada 100 ml de solución (herbicida) tenemos 42,5 ml del principio activo (soluto). Además se sabe que el volumen de principio activo recomendado a emplear es de 0,9 litro por hectárea, si el lote tiene 90 hectáreas ¿cuántos litros de herbicida se necesitarían?

Ejercicio N°2:

Las dimensiones de un lote son de 1x103 por 1x103 m o de 1Km por 1 Km, si la cantidad de surcos a sembrar es de 1923 y por cada pasada del tractor se siembran 14 surcos ¿Podrías calcular cuántas veces tiene que pasar el tractor para cubrir todo el lote?.

Ejercicio N°3:

¿Cuál es el tiempo que demora en realizar una pasada el tractor del ejercicio anterior si sabemos que este avanza a 4,5 Km/h y la longitud de cada pasada (el largo del lote) es de 1 Km?

Ejercicio N°4:

Un veterinario tiene que vacunar un grupo de 5 novillos, que poseen problemas respiratorios, de 90 Kg de peso vivo cada uno. Para ello vacuna con un antibiótico de la


22

marca Nuflor, las dosis recomendadas son dos con un intervalo de 48 horas y el volumen es de 1 ml por cada 15 Kg de peso vivo. ¿Cuántas dosis tiene que poner el veterinario? Si el frasco viene en una presentación de 100 ml, ¿Cuantos debo comprar?.

Ejercicio N°5:

Si tenemos un potrero de 20 metros por 36 metros, y se necesita alambrarlo con 5 hilos ¿Cuantos metros de alambre debemos compra? Tener en cuenta que el lote tiene una tranquera de 4 metros de largo.

Ejercicio N°6:

Para saber la capacidad de un tanque australiano se aplica la siguiente formula:

4/)( 22 alturadiametroaguadelalturaradioltVolumen ⋅⋅=⋅⋅= ππ

Si queremos tener un tanque con una capacidad de 10.900 litros y un diámetro es de 3,74 metros, ¿Qué altura deberá tener?

Ejercicio N°7:

Cuando la mosca de los cuernos comienza a afectar a los vacunos, los veterinarios recomiendan vacunar con una dosis de 10 centímetros cúbicos por cabeza. Si el bidón en el cual viene este antiparásito es de 1,5 litros y se tiene una población de 2149 vacunos ¿Cuantos bidones se tendrán que comprar?

Ejercicio N°8:

En relación al ejercicio anterior; si se gastan 925 cm3 del antiparásito ¿Cuál es el porcentaje que queda en el bidón?


23

CAPITULO III: ECUACIONES

3.1- EL MISTERIO DE LAS ECUACIONES Antes de hablar de ecuaciones necesitamos identificar el concepto de igualdad. Llamamos igualdad a elementos que tienen el mismo significado, como podemos ver en los siguientes ejemplos:

49)1(10523 −=−⋅−−=+

En cada igualdad hay 2 miembros separados por el signo =

• Primer miembro: en el primer ejemplo es 3 + 2; en el segundo, )1(105 −⋅−−

• Segundo miembro: en el segundo, 9 - 4. Ahora que conocemos las igualdades, podremos desarrollar el concepto o la definición de ecuación.

3.2- DEFINICIÓN Los métodos para resolver ecuaciones datan de los tiempos de los babilonios (2000 a.C.). La forma que tenemos de enunciar que dos cantidades o expresiones son iguales es mediante una ecuación (o igualdad). Podemos entonces definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"), en la que intervienen una o más letras llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad

Por ej. 2x - 3 = x + 5 que se denomina ecuación en x

Por ejemplo:

5 + x = 12

La x representa al número que sumado con 5 tiene como suma al 12. Para saber cuál es el término que falta, en este caso aplicamos la operación inversa: sustracción.

x = 12 - 5

x = 7

En esta ecuación el valor de x es 7, porque 5 + 7 = 12.

http://soko.com.ar/matem/matematica/polinomio.htm


24

• Observamos que este enunciado tiene dos partes o expresiones separadas por el signo =, una en el lado izquierdo (LI), y otra en el lado derecho (LD).

• Es una expresión de igualdad con una variable, la x.

• La solución, o raíz, de la ecuación es un número a que produce una expresión cierta al sustituirlo por la x, es decir a satisface la ecuación.

• Llamamos ecuaciones equivalentes a un conjunto de ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones.

• Resolver una ecuación consiste en hallar todas las soluciones de dicha ecuación.

• Una ecuación algebraica en x contiene sólo expresiones algebraicas como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras.

• Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuación se denomina identidad, por ej. x2+2x+1 = (x+1)2.

Si hay números que no sean solución, la expresión se llama simplemente

ecuación, por ej. 5x-10 = 2x+8.

• Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

3.3- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

¨Generalmente, para resolver ecuaciones, elaboramos una lista de ecuaciones equivalentes (cada una más sencilla que la precedente), terminando con una ecuación cuya solución podemos hallar con facilidad¨.

- Podemos sumar o restar la misma expresión en ambos lados de la ecuación.

- Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que representa un número real distinto de cero.


25

MÉTODO :

- Eliminamos paréntesis - Eliminamos denominadores - Agrupamos términos semejantes - Despejamos la variable - Comprobamos la solución

Si hay, eliminamos todos los niveles de paréntesis que aparezcan comenzando por el más interno, resolviendo las operaciones indicadas.

Si hay, eliminamos todos los denominadores multiplicando por el m.c.m.(de los denominadores) ambos lados de la ecuación.

Agrupamos las expresiones con la variable en un lado (generalmente el izquierdo) y las expresiones numéricas en el otro lado.

Despejamos la variable, obteniendo así la solución.

Comprobamos si la solución satisface la ecuación propuesta, es decir si aparece una identidad verdadera.

Si una ecuación contiene expresiones racionales, a menudo eliminamos denominadores multiplicando ambos lados por el m.c.m. de estas expresiones. Si multiplicamos ambos lados por una expresión que es igual a cero para algún valor de x, quizá la ecuación resultante no equivalga a la original.

34

12124

75265276

=

=

=⋅+=⋅−⋅+⋅=−⋅

x

x

xxx

xx

121

11289626

9181224863224

)36()34()43()28(22

−=

−=⋅+−=⋅−⋅

−⋅+⋅−⋅=−⋅−⋅+⋅

−⋅⋅+⋅=+⋅⋅−⋅

x

xxx

xxxxxx

xxxx

validaNoxx

xx

xx

xxx

xxx

x

→==⋅

+−=⋅

−⋅−

+−⋅=−⋅−⋅

−+=

−⋅

242

6)2(3

)2(2

6)2(1)2(2

32

612

3

1117

1711124201093

)62(2)42(5)3(32

23

542

3

=

−=⋅−+⋅=+⋅−+⋅

+⋅=−⋅⋅−+⋅−

=+

−−⋅

x

xxxx

xxxxxx


26

¡¡¡cuidado!!!!!! No se permite la división por cero, x=2no es una solución, por tanto la ecuacióndada no tiene soluciones.

El m.c.m. es (2x-4)(x+3), luego los números 2 y -3 si aparecen en la solución no serían válidos, pero no es el caso.

3.4- TIPOS DE ECUACIONES

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

A las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se las llama lineales.

5x + 7 = 3 (es lineal).

(x – 5)2 + 3 = x2 – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0).

A las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax2 + bx + c = 0, se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x2+5x+3, ó (x – 2)2 + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos).

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como

312 =−⋅ x Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

15

12

11

2 −=

++

− xxx En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2x = 8

En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): Log (x + 1) = 10.

http://soko.com.ar/matem/matematica/logaritmos.htm


27

3.5- SISTEMA DE ECUACIONES: Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen elevadas a la potencia 1 (sin exponentes).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.

Para resolver el sistema

⎩⎨⎧

=+⋅=⋅−⋅104

1652yx

yx

por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación:

xy ⋅−= 410 (ahora se sustituye su valor en la primera) 16)410(52 =⋅−⋅−⋅ xx

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

3226666221620502 =⇒=⇒=⋅⇒=⋅+−⋅ xxxxx

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

y = 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2

Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar x ó y en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y de esa manera poder hallar el valor de y)


28

2224444226420220

2202064)10(2)516(44

102516

410

2516

−=⇒−=⇒−=⋅⇒−=⋅+⋅⇒

⇒⋅−=⋅+⇒−⋅=⋅+⋅⇒−

=⋅+

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=

⋅+=

yyyyy

yyyyyyyx

yx

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x y se obtiene la solución x = 3, y = – 2.

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

3.6- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES RACIONALES:

En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factorizar siempre el denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una ecuación común.

Pongamos un ejemplo:

15

12

11

2 −=

++

− xxx Factorizando:

Como no se repite ningún binomio en la suma, tomamos ambos como "común denominador". Se opera igual que en una suma de fracciones, se divide por cada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador.

)1()1( +⋅− xx

Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal.

Se despeja x.


29

23663

21535221

5)1(2)1()1()1(

5)1()1(

)1(2)1(1)1()1(

51

21

11

51

21

12

==

=⋅+−=⋅

=−⋅++=−⋅++

+⋅−=

+⋅−−⋅++⋅

+⋅−=

++

−

−=

++

−

xx

xx

xxxx

xxxxxx

xxxx

xxx

3.7- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio Nº 1: Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones lineales. a) 3.x + 2 = 7 b) x + 3 = x + 3 c) – x + 5 = 0 d) x + 7 – 3.x = 2.x +1 e) x + 3 – 5 = x f) 5.x = 6 Ejercicio Nº 2: Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 35

2.4+=

− xx

b) ( ) 145

23−⋅=

−⋅ xx

c) 4

523

2 −⋅=

− xx

d) ( )534

32 −⋅=−

− xx

e) 3214

3+⋅=−

− xx


30

f) 21234

=+−+xxx

g) 14

13

2=

−−

⋅ xx

h) 52

324

13=

+⋅+

−⋅ xx

i) 12

36

15

42−

−=

−−

−⋅ xxx

j) 73

45

2+⋅

=− xx

k) 521

621

−=−⋅ x

l) 01

1

1

11

32

2=

−+

+−

+−

+ xx

x

xx

m) xx

xxx

⋅−⋅+

=−⋅

−+⋅−⋅

2121

14

101212

2

Ejercicio Nº 3: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

a) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+⋅=⋅−⋅144

032yx

yx

b) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−⋅

=⋅+⋅

62

541

32

yx

yx

c)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−⋅=−

−+

−=−

++

xyyx

xyx

33

77

5

16

410

1

d)

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅+⋅

−⋅+

−=+⋅

+⋅−⋅

45

425

32

37

33

432

yxyx

yxyx

Ejercicio Nº 4: El triplo de un número es igual al número aumentado en 8. Hallar el número.


31

Ejercicio Nº 5: Cuatro veces un número es igual al número aumentado en 30. Hallar el número.

Ejercicio Nº 6: En un gallinero hay gallinas y conejos. ¿Cuántos animales hay de cada clase si hay 144

patas y 50 cabezas?

Ejercicio Nº 7: Un estanciero vendió los 5/7 de su tropilla de caballos; en seguida compró 12; teniendo

entonces 48 caballos menos que al principio. ¿Cuántos tenía antes de la primera venta?

Ejercicio Nº 8:

La capacidad efectiva (Ce) de una maquinaria agrícola, que es el tiempo que tardara una

maquina en trabajar una superficie exacta y conocida, cuya ecuación es la siguiente:

1,0)/()()/( ⋅⋅⋅= rhorakmvmahorahaCe Donde a = ancho efectivo (ancho realmente cubierto por cada pasada), v = velocidad, r =

coeficiente de tiempo efectivo, 0,1 coeficiente para adecuar unidades.

Si v =1 m/s, Ce = 4,8 y a = 6 m. ¿Cuál será el valor del coeficiente de tiempo efectivo?

Ejercicio Nº 9:

Uno de los insectos defoliadores más importantes es la oruga lagarta, se alimenta de plantas

de sombra, de bosque y de árboles frutales. Una persona vive en un área en la que oruga se

ha convertido en un problema y desea rociar los árboles de su propiedad antes de que

ocurra una mayor defolación. Necesita 128 onzas de una solución compuesta de 3 partes de

insecticida A y 1 parte de insecticida B. Después de preparada la solución se mezcla con

agua. ¿Cuántas onzas de cada insecticida deben ser usadas?

Ejercicio Nº 10:

Existen varias reglas para determinar las dosis de medicina para terneros especificadas las

de los novillos. Tales reglas pueden basarse en el peso, la altura a la cruz, etc. Si A= edad


32

del ternero (años) , D= dosis para novillo y C= dosis para terneros (en años), ¿a que edad la

dosis para terneros es la misma usando estas reglas? A continuación se presentan dos reglas

para el cálculo

12Re DACYoungdegla ⋅

=

DACCovulinigdegla ⋅+

=24

1Re

Ejercicio Nº 11:

El perímetro de un lote rectangular que va a ser alambrado es de 200 pies y su largo es 3

veces el ancho. ¿Determine las dimensiones del lote?

Ejercicio Nº 12:

Para regular su temperatura en relación con el calor ambiental, las ovejas aumentan su

ritmo respiratorio r (por minuto) cuando la longitud de la lana l (en centímetros) disminuye.

Supongamos que una oveja con una longitud de lana de 2 cm tiene un ritmo (promedio)

respiratorio de 160, y aquellas con una longitud de lana de 4 cm tienen un ritmo respiratorio

de 125. Supongamos que ``r`` y ``l`` están relacionadas linealmente (a) determine el ritmo

respiratorio de una oveja con una longitud de lana de 1 cm y (b) determine la longitud de la

lana si el ritmo respiratorio es de 105.

Ayuda: 242125160160,

42125160

⋅−−

−=−−

=∆∆

+⋅∆∆

= BxydondeBl

xyr

Ejercicio Nº 13:

En una granja de 1000 acres se siembra maíz y soja. El costo por acre para cultivar maíz es

de U$U 65 y para la soja de U$U 45. Si el presupuesto disponible es de U$U 54.325 y hay

que utilizar todo el terreno ¿cuántos acres se deben asignar a cada cultivo?


33

Ejercicio Nº 14:

Un aspersor que rocía agua con un patrón circular es colocado en el centro de un terreno

cuadrado con área de 1250 pies2. ¿Cuál es el radio más pequeño que puede usarse si el

campo debe estar totalmente contenido dentro del circulo?, ¿Cuál es la superficie de más

que estoy fulmigando?

Ayuda: calculo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo (cateto más largo)

222 bahip +=


CAPITULO IV: UNIDADES “Cuando se puede medir aquello de que se habla y expresarlo en números se sabe algo acerca de ello; pero nuestro saber es deficiente e insatisfactorio mientras no seamos capaces de expresarlo en números, lo otro puede significar el comienzo del conocimiento, pero nuestros conceptos apenas habrán avanzado en el camino de la Ciencia...”

Lord Kelvin.

4.1- SISTEMAS DE UNIDADES

Llamamos magnitud a cualquier propiedad física susceptible de ser cuantificada objetivamente en el proceso de medición.

Medir es comparar una magnitud con otra de su misma especie que se toma como unidad. En toda medición intervienen necesariamente dos partes: el sistema que queremos medir y el aparato de medida. Es importante reconocer que por mucho cuidado que pongamos en realizar una medida, nunca obtendremos el valor exacto de una magnitud, por ello todas las medidas están afectadas por un error.

En la XIV Conferencia General del Comité Internacional de Pesas y Medidas (1971) se decidió adoptar un conjunto de magnitudes fundamentales (aquellas magnitudes que no pueden ser definidas o expresadas a partir de otras) de tal manera que todas las demás, llamadas magnitudes derivadas, pudieran expresarse en función de las primeras. Además se adoptaron también las unidades correspondientes a cada una de las magnitudes fundamentales, este proceso dio origen a lo que conocemos como Sistema Internacional, abreviadamente SI (del francés Système International d’Unités).

El SI fue adoptado en casi todos los países salvo los de lengua inglesa, donde se utilizan por norma las unidades británicas. Cabe aclarar que en el trabajo científico se emplean en todo el mundo unidades del SI aunque es necesario a veces realizar el pasaje de un sistema a otro, este mecanismo será descrito oportunamente en este capítulo.

A continuación se muestran las magnitudes fundamentales junto a sus unidades básicas en el sistema Internacional:

Longi

Masa

Tiemp

Intens

Temp

Cantid

Magnitud Unidad Símbolo unidad Símbolo dimensión

tud metro m L

kilogramo Kg M

o segundo s T

idad eléctrica amperio A A

eratura kelvin K K

ad de sustancia mol mol S

34

Tabla Nº1: Magnitudes Fundamentales del Sistema Internacional


35

4.2- EL PATRÓN DE LONGITUD:

El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299.792.458 de segundo. El resto del sistema métrico se puede derivar simplemente del metro, las áreas se miden en metros cuadrados, los volúmenes se miden en metros cúbicos, etc. El litro es una medida métrica de volumen de uso común. Equivale a la capacidad de una décima de un metro cúbico. Hay por consiguiente 1000 litros en un metro cúbico.

4.3- EL PATRÓN DE MASA:

El kilogramo (Kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. La verdadera norma de peso está representada por el peso de una barra de una aleación de iridio y platino que se conserva en París. Los pesos se definen tomando un volumen unitario y llenándolo con agua. Un metro cúbico de agua es igual a una tonelada métrica. Un centímetro cúbico de agua es igual a un gramo. Un decímetro cúbico de agua es equivalente a un kilogramo. Un litro de agua es equivalente a un kilogramo, puesto que el volumen de un litro es un decímetro cúbico.

4.4- EL PATRÓN DE TIEMPO: El segundo (s) es el tiempo ocupado por 9.192.631.770 vibraciones de la radiación (de una longitud de onda específica) emitida por un átomo de cesio. Además de las unidades básicas existen lo que se denomina “Unidades SI derivadas” se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.

TABLAS

A continuación se muestran tablas con las unidades derivadas y su representación en el sistema internacional

Magnitud Nombre Símbolo Superficie Metro cuadrado m2

Volumen Metro cúbico m3

Velocidad Metro por segundo m/s Aceleración Metro por segundo cuadrado m/s2

Masa en volumen Kilogramo por metro cúbico Kg/m3

Velocidad angular Radián por segundo Rad/s Aceleración angular Radián por segundo cuadrado Rad/s2

Tabla Nº2: Magnitudes Derivadas del Sistema Internacional

http://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos5/volfi/volfi.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/problemadelagua/problemadelagua.shtml


Tabla No 3: Las unidades del sistema internacional derivadas con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en otras unidades SI

Expresión en unidades SI básicas

Frecuencia Hertz Hz s-1

Fuerza Newton N m·Kg·s-2

Presión Pascal Pa N·m-2 m-1·Kg·s-2

Energía, trabajo, cantidad de calor Joule J N·m m2·Kg·s-2

Potencia Watt W J·s-1 m2·Kg·s-3

Cantidad de electricidad carga eléctrica

Coulomb C s·A

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

Volt V W·A-1 m2·Kg·s-3·A-1

Resistencia eléctrica Ohm Ω V·A-1 m2·Kg·s-3·A-2

Capacidad eléctrica Farad F C·V-1 m-2·Kg-1·s4·A2

Flujo magnético Weber Wb V·s m2·Kg·s-2·A-1

Inducción magnética Tesla T Wb·m-2 Kg·s-2·A-1

Inductancia Henry H Wb·A-1 m2·Kg s-2·A-2

Tabla Nº3: Magnitudes Derivadas del Sistema Internacional con Nombres Propios.

Los prefijos, como kilo, deci, etc., se usan mucho en el sistema métrico. Un prefijo indica la multiplicación o división de la unidad básica por 10 ó uno de sus múltiplos, 100, 1000, etc. Los prefijos utilizados se describen en la siguiente tabla:

x

x

T

Aumentativos Diminutivos

x 10 Deca da x 10-1 Deci d

x 102 Hecto h x 10-2 Centi c

x 103 Kilo K x 10-3 Mili m

x 106 Mega M x 10-6 Micro µ

x 109 Giga G x 10-9 Nano N

1012 Tera T x 10-12 Pico P

1015 Peta P x 10-15 Femto F

36

abla Nº4: Prefijos del Sistema Internacional.


4.4- INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL. Asociada con cada cantidad medida hay una dimensión, como lo muestra la tabla Nº1. Toda ecuación debe ser dimensionalmente compatible, es decir, las dimensiones en ambos lados de la ecuación deben ser las mismas. La atención a las dimensiones puede a menudo evitar que se cometan errores al escribir las ecuaciones. Como ejemplo, consideremos que se dispone de la siguiente ecuación para calcular la

superficie de un potrero: 2ll

ll 2321 +=S

La representación esquemática del mismo puede verse en la figura Nº1:

ll

Si los lados (l) estápodríamos expresar:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ]22

2

22

2

21

mm

LS

LLS

LmS

S

=

↓↓

=

+=

==

+⋅=l

ll

Esto está de acuerdo c

Si la ecuación hubie

dimensional sería de u

37

1

l2

l3

1

l2

l3

Figura No 1

n en metros y debido a que la dimensión correspondiente es L

232

LLL ⋅+⋅

⋅ l

on las unidades de superficie expresadas en la tabla N° 2.

se estado escrita de la siguiente manera: 2l

ll 321 +⋅=S el análisis

tilidad para poner en evidencia el error, esto es:


[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ]444 3444 21

ERROR

mmm

LLS

LLLmS

S

+=

↓↓

+=

+⋅==

+⋅=

22

2

2

321 2

lll

4.6- CAMBIO DE UNIDADES Existen dos formas de trabajar con el cambio de unidades, la primera de ella utiliza la regla de tres y en la segunda se recurre al hecho de que cualquier cantidad puede ser multiplicada por 1 sin que ésta cambie su valor. Explicaremos a continuación esta segunda forma de trabajo. Supongamos que un animal corre a una velocidad de 45 km/h y se desea convertir este valor a m/min, veamos como es posible efectuar este cambio. Como y además kmm 11000 = min601 =h podemos plantear:

minh

mkm

hmkVelocidad

601

1100045= notar que 1

11000

=km

m y que 1min60

1=

h

con lo que: minmVelocidad 750=

Aunque por lo general utilizamos unidades del SI, en ocasiones necesitamos cambiar unidades de éste al sistema de unidades británicas o viceversa, para ello se debe disponer de una “Tabla de Conversión de Unidades”. A continuación se adjuntan las principales tablas de conversión de unidades:

LONGITUD

1 cen1 m

1 kiló1 pulg

1 pi1 mill

Centímetro Metro Kilómetro Pulgada (in) Pie (ft) Milla (mi) tímetro = 1 10-2 10-5 0,3937 3,281x10-2 6,214x10-6

etro = 100 1 10-3 39,37 3,281 6,214x10-4

metro = 105 1.000 1 3,937x104 3281 0,6214 ada (in) = 2,540 2,540x10-2 2,540x10-5 1 8,333x10-2 1,578x10-5

e (ft) = 30,48 0,3048 3,048x10-4 12 1 1,894x10-4

a (mi) = 1,609x105 1.609 1,609 6,336x104 5.280 1

38

Tabla Nº5: Tabla de conversión para longitud.


MASA

1 gra1 kilog

1 onz1 lib

1 tonel

1

1 kilog

1 J1 ca

1 kilow

11 centím

1 libr

1 libra-p1 cabal

1 caloría1

gramo kilogramo Onza (oz) Libra (lb) Tonelada (ton) mo = 1 0,001 3,527x10-2 2,205x10-3 1,102x10-6

ramo = 1.000 1 35,27 2,205 3,125x10-5

a = 28,35 2,835x10-2 1 6,250x10-2 1,830x10-30

ra = 453,6 0,4536 16 1 0,0005 ada = 1x106 1000 3,527x104 2.205 1

Tabla Nº6: Tabla de conversión para masa.

Tab

1 dinNewram

ouloat

atmetro

01 paa po

ie polo d por wa

FUERZA

dina Newton (N) 1 kilogramo-fuerza (kgf) a = 1 10-5 1,020x10-6

ton = 105 1 0,1020 o-fuerza = 9,807x105 9,807 1

Tabla Nº7: Tabla de conversión para fuerza.

ENERGÍA, TRABAJO, CALOR

Joule (J) Caloría (cal) Kilowatt-hora (kW.h) le = 1 0,2389 2,778x10-7

ría = 4,186 1 1,163x10-6

t-hora = 3,6x106 8,6x105 1

la Nº8: Tabla de conversión para energía, trabajo y calor.

PRESIÓN

Atmósfera (atm)

Centímetro de mercurio (cm Hg)

Pascal Libra por pulgada2 (lb/in2)

ósfera = 1 76 1,013x105 2.116 de mercurio a

°C = 1,316x10-2 1 1333 27,85

scal = 9,869x10-6 7,501x10-4 1 2,089x10-2

r pulgada2 = 6,805x10-2 5,171 6,895x103 1
Tabla Nº9: Tabla de conversión para presión
POTENCIA

Libra-pie por segundo(ft.lb/s)

Caballo de fuerza(hp)

Caloría por segundo (cal/s)

Watt (W) (W=N.m/s)

r segundo = 1 1,818x10-3 0,3239 1,356 e fuerza = 550 1 178,1 745,7 segundo = 3,088 5,615x10-3 1 4,186 tt = 0,7376 1,341x10-3 0,2389 1

39

Tabla Nº10: Tabla de conversión para potencia.


40

TEMPERATURA

328,1 +°=° CF donde °F = Grados Fahrenheit y °C = Grados Celsius

)32(555,0 −°=° FC

donde °K = Grados Kelvin15,273+°=° CK

Tabla Nº11: Tabla de conversión para temperatura.

UNIDADES AGRARIAS DE USO CORRIENTE: 1 hectárea (ha) = 10.000 m2

100 hectáreas = 1 km2

1 quintal = 100 kg 1 hectárea = 2,471 acres = 107.640 pies 1 cm2 = 0,00155 pulgadas2

1 pie2 = 929 cm2 = 144 pulgadas2

1 kg/cm2 = 14,223 libras/pulgadas2

1 atmósfera = 1,033 kg/cm2

1 m3 = 1.000 litros 1 legua = 5 km

Tabla Nº12: Tabla de unidades agrarias comunes.

A continuación se ejemplifica su uso:

Un Ingeniero Agrónomo debe sembrar un lote de 100 ha con alfalfa, éste sabe que la densidad de siembra de la misma es de 1,838 x10-3 lb/ft2. ¿Cuántos kilogramos de semillas debe comprar?

Solución:

( )( )

haKg

ft

lbx

ham

m

tfbl

Kg

tf

blxft

lbx

ham

m

ftlb

Kg

ft

lbxft

lbx

73,8910838,1

1000.10

0929,0

1205,21

10838,110838,1

1000.10

3048,0

1205,21

10838,110838,1

23

2

2

2

23

23

2

2

2

23

23

=

=

=

−

−−

−−

Para 100 ha nos da un total de 8973 Kg de semillas.


41

4.7- EJERCICIOS DE APLICACION

Ejercicio Nº 1:

La potencia necesaria para que un colibrí pueda revolotear viene dada por la siguiente expresión:

A

wPρ2

3=

donde:

P = potencia en Kg m2/s3

w = Peso del pájaro.

ρ = Densidad del aire en Kg/m3.

A = Área barrida por las alas del animal en m2.

a) ¿En qué unidades debe estar expresado el peso del animal para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?

Ejercicio Nº 2:

La temperatura aproximada T de la piel en términos de la temperatura Te del medio ambiente está dada por la siguiente ecuación:

)20(27,08,32 −+= eTT

donde ambas temperaturas están expresadas en grados centígrados.

a) ¿Que términos de la ecuación debería modificar si se tiene el valor de la temperatura ambiente en °K?

b) ¿El primer término del segundo miembro es adimensional, o tiene unidades?, en caso de tenerlas especifíquelas.

Ejercicio Nº 3:

Suponga que un indicador radioactivo, como un tinte colorante, se inyecta instantáneamente al corazón de un animal en el tiempo t = 0 y se mezcla de manera uniforme con la sangre dentro del corazón. Sea C0 la concentración inicial del indicador en el corazón y suponga que el corazón tiene un volumen constante V. Conforme sangre fresca fluye al corazón suponga que la mezcla diluida (de sangre e indicador) sale a una razón constante positiva r. La concentración C(t) del indicador en el corazón en el tiempo t está dada por la siguiente ecuación:


42

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−= V

tr

eCtC 0)(

a) ¿El término ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Vtr

e deberá tener unidades? Justifique con los cálculos que considere necesarios.

b) Si está expresada en µg/l, ¿qué unidades tendrá ? 0C )(tC

c) ¿Podría expresar en g/m)(tC 3 si tiene las mismas unidades que en el inciso b?, ¿cómo quedaría la ecuación anterior?

0C

Ejercicio Nº 4:

En un estudio sobre plantas arraigadas en cierta región geográfica, se determinó que en terrenos de tamaño A (en metros cuadrados), el número promedio de especies encontradas fue S y viene dado por: AS 224,3=a) ¿Qué unidades tiene la constante 3,224? b) ¿Cuántas plantas se encontrarán en 0,10 ha? c) Si se ha encontrado un total de 8064 plantas, ¿cuántos acres se habrán estudiado?


43

CAPÍTULO V: FUNCIONES.

En este tema se retomará el concepto de función que se incorporó en el secundario para luego profundizar sobre algunas funciones de utilidad en las Ciencias Agropecuarias. 5.1- INTRODUCCIÓNPensemos en dos conjuntos, el conjunto A y el conjunto B, donde algunos elementos del conjunto A se “relacionan” con elementos del conjunto B. Esta situación se esquematiza en la siguiente figura:

A BR

A BR

Figura Nº 1: Representación esquemática de una relación. Cuando necesitamos “vincular ó relacionar” elementos de dos conjuntos surge la idea de Relación. Como las flechas “parten” del conjunto A y “llegan” a B, estos conjuntos se llaman partida y llegada de la relación respectivamente. Observemos que pueden existir elementos del conjunto A que no están relacionados con ningún elemento de B. Entonces el conjunto de los elementos de la partida que están asociados a algunos de la llegada, forman un subconjunto que se denomina Dominio de la relación. Así como hemos agrupado los elementos que son “partida” de alguna flecha, agrupamos los elementos que son llegada o “punta” de alguna flecha en el conjunto B para formar el subconjunto de la llegada llamado Imagen de la relación. Formalizando: Una relación R de A en B hace corresponder a elementos del primer conjunto, elementos del segundo conjunto. El dominio y la imagen de la relación quedan definidos por comprensión de la siguiente manera: Dom (R) = x∈ A / existe y ∈ B∧ x R y Img (R)= y∈ B / existe x ∈ A ∧ x R y


44

Esto se lee: el dominio de la relación está formado por x que pertenece al conjunto A, tal que existe un y que pertenece al conjunto B y x está relacionado por la relación R con el elemento y (del mismo modo se lee imagen de R). Si ahora consideramos la siguiente figura:

A Bf

A Bf

Figura Nº 2: Representación esquemática de una función. En este caso vemos que el dominio de esta relación coincide con el conjunto de partida, es decir de todos los elementos de la partida salen flechas. Vemos además, que de cada elemento de la partida sale una sola flecha. Concentraremos nuestra atención en estas relaciones particulares que tienen un nombre especial, el de “FUNCIÓN”. 5.2- DEFINICION DE FUNCIÓN Una función de A en B es una relación que asocia a cada elemento de A uno y solo uno de B, llamado su imagen. En síntesis: De cada elemento de la partida salen flechas. De cada elemento de la partida sale una sola flecha. En base a la definición, los siguientes diagramas representan funciones.

1

3

2

4

1

3

22

4

Figura Nº 3: Representación esquemática de diferentes funciones.


45

A continuación damos expresiones en lenguaje coloquial y la correspondiente notación en lenguaje simbólico: 1) “f es una función de A en B” ⇒ f: A→B 2) “ f hace corresponder al x ∈ A, el y ∈ B” ⇒ f: x→y 3) “ y es la imagen por f de x” ⇒ y = f(x) 5.3- FUNCIONES NUMÉRICAS Veremos ahora algunas funciones particulares, las funciones numéricas, aquellas donde su dominio e imagen están compuestos por números. Ejemplo 1: La población de vacas en un establecimiento ganadero según los años, a esta situación la podemos expresar mediante tablas:

Año N° de Vacas 2000 180 2001 150 2002 200 2003 180

Tabla Nº1: Población de vacas. Ejemplo 2: La producción de leche en un tambo. Esta puede variar según la hacienda y también según la época del año por lo tanto podemos tener así distintas funciones.

N° de Vacas Cantidad promedio de Leche diaria ( lt/día)

15 300 20 400

Tabla Nº2: Población de vacas versus producción de leche.

Mes

Producción promedio De leche diaria de una vaca

(lt/ día) 1 20 2 23 3 21 4 19 5 20


46

6 18 7 17 8 22 9 23 10 19 11 20 12 17

Tabla N3: Producción de leche versus meses del año.

Como vemos en estos ejemplos las funciones van desde un conjunto de números (Reales o Complejos) a otro conjunto también formado por números (Reales o Complejos). A estas funciones que relacionan conjunto de números las llamaremos “funciones numéricas”, esto es: DEFINICIÓN: Una función numérica es una regla que asocia a cada número del primer conjunto uno y solo uno del segundo conjunto. Ejemplo 3: Si el conjunto A es igual al conjunto B y es igual al conjunto de los números naturales (o sea A = B = Naturales) y la regla que asocia a ambos conjuntos es “a un número del primer conjunto le asignamos su triplo”. La representación es la siguiente:

1

2

3

x

.

.

.

A 3

6

9

y =3x

..

.

B1

2

3

x

.

.

A

.

3

6

9

y =3x

..

.

B

Figura Nº4: Representación esquemática de una función numérica. Vemos que es imposible completar los diagramas pues el conjunto de los números naturales tiene infinitos elementos, por lo tanto es necesario especificar para un x genérico cual es el y que le corresponde: f: x→3x ó f (x) =3x ó y =3x


47

Observamos que y depende de x, por lo cual usualmente a x se la llama variable independiente y a y variable dependiente. En general suele darse solo la regla que asocia a un número x del dominio, uno de la llegada, expresada mediante una ecuación sin especificar el dominio. En este caso, el dominio se debe tomar como el mayor conjunto donde, dado x, podamos resolver las operaciones indicadas. Ejemplo 4:

1) Si ó ⇒ Dom(f)= todos los números reales

23)( 32 xxf x −= 23 32 xxy −=

2) Si 52)( −= xf x ó 52 −= xy ⇒ Dom(f)= x ∈ Reales / 2x-5≥ 0 o Dom(f)= x ∈ Reales / x≥ 5/2

ya que 2x-5 puede resolverse siempre, pero la 52 −x existe solo si 2x-3≥ 0 (no podemos resolver la raíz cuadrada de un número negativo ya que el resultado sería un número complejo, no un número real). 5.4- REPRESENTACIÓN GRÁFICA Si consideramos ahora la función real dada por el siguiente diagrama:

⇔ o 2

)( xf x = 2xy =

11/

1

1/2

π/2

2

4

π2/4

4

A B

11/

1

1/2

π/2

2

4

π2/4

4

A B

Figura Nº 5: Representación esquemática de 2xy =

Vemos que la relación , permite vincular un par de números, que es el par que verifica la ecuación. Así, para cada x del dominio, tenemos el valor de y que le corresponde al calcular el cuadrado.

2xy =

Podemos indicar los pares: (1;1), (1/2 ; 1/4), (π/2 ; π2/4), (2 ; 4) escribiendo como primer elemento uno del dominio y como segundo su imagen. Estos pares se denominan pares ordenados y los elementos que lo forman, sus coordenadas. DEFINICIÓN: Un par ordenado es una dupla de elementos, denotado por (a;b), tal que (a;b) = (c;d) si y solo si a=c y b=d.


48

Para representar gráficamente una función se toma un sistema de ejes cartesianos ortogonales (dos rectas que se cortan formando 4 ángulos iguales, graduados en unidades no necesariamente iguales). El punto de intersección es el origen del sistema y las flechas indican el sentido positivo de los ejes. En el eje horizontal llamado eje de las x ó eje de las abscisas, se ubican los puntos del dominio y en la recta vertical, llamada eje de las y ó eje de las ordenadas, los elementos de la imagen. Luego el par (a;b) corresponderá al punto del plano que se obtiene al intersecar la recta vertical que pasa por a y la recta horizontal que pasa por b.

Figura Nº 6: Representación de un par ordenado. x

y

a

b(a;b)

x

y

a

b(a;b)

Notar que estos dos ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario.

x

y

1er Cuadrante

3er Cuadrante

2do Cuadrante

4to Cuadrante

x

y

1er Cuadrante

3er Cuadrante

2do Cuadrante

4to Cuadrante

Figura Nº 7: Cuadrantes de un plano cartesiano. Ejemplo 5: Teniendo un gráfico ¿Cómo sabemos si corresponde o no a una función? La respuesta se obtiene trazando una recta vertical, si ésta corta al gráfico mas de una vez entonces no representa una función ya que para un mismo valor de x tendíamos más de un valor de y. En la figura Nº 8 se dan diferentes representaciones donde algunas de ellas corresponden a funciones y otras no. Ahora, ¿Cuales de los siguientes gráficos corresponden a una función?


49

Figura Nº 8: Gráficos de relaciones y funciones.

x

y1

x

y2

x

y3

x

y4

x

y1

x

y1

x

y2

x

y3

x

y3

x

y4

x

y4

5.5- CLASIFICACIÓN PARA FUNCIONES REALES

Funciones crecientes y decrecientes. Decimos que f(x) es una función creciente cuando, para un a < b se verifica que f(a) <f(b).

Figura Nº 9: Representación de una función creciente.

x

y

ba

f (a)

f (b)

x

y

ba

f (a)

f (b)

Y decimos que f(x) es una función decreciente cuando, para un a < b se verifica que f(a) > f(b).

Figura Nº 10: Representación de una función decreciente. x

y

ba

f (a)f (b)

x

y

ba

f (a)f (b)


50

Funciones pares e impares. Decimos que f(x) es una función par si para todo x que pertenece al dominio se verifica que

f(x) = f(-x).

Función par

y

x- x

f ( )

f ( - x)

x

y

x- x

f (x) f ( - x)

Figura Nº 11: Representación de una función par.

Y decimos que f(x) es una función impar si para todo x que pertenece al dominio se verifica que f(x) = -f(-x).

Algunas funciones que se utilizan frecuentemente en las Ciencias Agropecuarias: 5.6- LA FUNCIÓN LINEAL Si se sabe que un pollo para consumo pesa 2,100 kg. ¿Cuántos pollos se deben comprar si se quiere tener en total 10,5 kg.? El problema podría plantearse con una regla de tres, cuyo resultado obvio sería 5 pollos. Pero si ahora si se compran por ejemplo 8 pollos, 9 pollos, 10 pollos, etc. y se desea saber cuantos kilogramos se tiene sería muy poco práctico plantear una regla de tres para cada situación. Una solución más simple es encontrar la función que relacione la cantidad de pollos con los kg. Si recordamos lo que ya vimos sobre pares ordenados, podemos graficar los datos de este problema de la siguiente forma:

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Cantidad de pollos

Peso

tota

l de

pollo

s (k

g)

Figura Nº 12: Peso total vs. Cantidad de pollos.


51

La línea que une estos puntos será la función que vos estás buscando y tendrá la forma y = mx, las ecuaciones de esta forma representan rectas que pasan por el origen, ya que si no se compra ningún pollo la cantidad de kg. es cero, significa que la función lineal en este caso pasa por el punto (0;0). Así si es necesario saber cuantos kg. se tiene se traza una recta vertical, por ejemplo por 8 pollos, hasta cortar la gráfica y desde allí se traza una recta horizontal y se obtienen los kg. deseados, o sea 16,8 kg.

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Cantidad de pollos

Peso

tota

l de

pollo

s (k

g)

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Cantidad de pollos

Peso

tota

l de

pollo

s (k

g)

Figura Nº 13: Peso total vs. Cantidad de pollos para un valor particular de x. Si ahora el peso de cada pollo fuera mayor ¿Cómo sería la recta? Si se analiza el gráfico se vería que ésta sería más vertical, esto se debe a que en nuestro caso en la ecuación, y = m x, “m” me da la inclinación o “pendiente” de la recta y representa el peso promedio de cada pollo. Podemos pensar ahora en independizarnos del gráfico, como ya sabemos que la función que une estos dos puntos es: y = m x o sea x 2,100 y ⋅= vemos que sin hacer el gráfico ni regla de tres, podemos saber los kg. que tenemos solamente reemplazando la cantidad de pollos en x. Por ejemplo si x =12 pollos:

12 2,100 y ⋅= ⇒ kg. 25,2 y = Este sencillo ejemplo ilustra claramente la utilidad de trabajar con funciones. Cuando estudiamos algún fenómeno relacionado con la Ingeniería Agronómica o con la Medicina Veterinaria, contar con la función que lo describe significa disponer de una herramienta poderosísima para predecir o pronosticar que va a ocurrir. En general las ecuaciones de la forma, y = mx +b, representan rectas. La inclinación de estas rectas viene dada por su pendiente “m”. Para valores positivos de m, la recta es creciente, y tanto más inclinada cuanto mayor es el valor de m. Para valores negativos de m, la recta es decreciente, y tanto más inclinada cuanto mayor sea m en valor absoluto. El corte de la recta con el eje y (cuando x = 0) viene dado por el valor de la “ordenada al origen”, “b”. Cuando la recta pasa por el origen de coordenadas el valor de b es cero y la ecuación es de la forma y = mx.


52

La representación gráfica de esta función es:

y

Figura Nº 14: Representación de dos funciones lineales. Ejemplo 6: Como se vio en el capítulo de unidades, las escalas de temperatura Centígrada y Fahrenheit cumplen las siguientes relaciones:

Fusión Hielo

Ebullición Agua

º C 0 100

º F 32 212 Tabla Nº 4: Puntos de fusión y ebullición del agua a presión atmosférica. Si llamamos x a la temperatura °C e y a la temperatura en °F, los puntos ( x;y) que tenemos para este ejemplo son x1= 0°C e y1=32°F o sea (0;32) y x2= 100°C e y2=212°F o sea ( 100; 212). Representando gráficamente estos pares ordenados tenemos:

Relación entre escalas termométricas,

050

100150200250

0 20 40 60 80 100 120

Temperatura en °C

Tem

pera

tura

en

°F

Figura Nº 15: ºC vs. ºF.

m

y = m x

y = m x +b

b

x

y y = m x +b

y = m x b

m

x


53

Como vemos, podemos unir estos puntos por medio de una recta, por lo tanto la función que relaciona estas dos temperaturas es una función lineal de la forma y = mx+b. Ahora explicaremos como encontrar los valores de m y b para armar la ecuación. Se dijo que la pendiente daba la inclinación de la recta (la variación en y con respecto a la variación en x.), esto es:

8,1010032212

12

12 =−−

=−−

=∆∆

=xxyy

xym

y la ordenada al origen es b =32, ya que es el corte con el eje de las y (o sea cuando x =0). ⇒ y = mx +b ∴ y = 1,8 x + 32 ∴ °F = 1,8 °C + 32 La utilidad de esta expresión es que podemos obtener el valor de la temperatura en °F para cualquier valor de temperatura en °C. 5.7- LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Analice el siguiente ejemplo: Se necesita averiguar el área de un corral cuadrado sabiendo que tiene 2 metros de cada lado. La solución es inmediata: Área = lado por lado A= l l = l⇒ 2 ⇒ A1 = 22 = 4, ¿Y si tuviera 3m de lado? ¿4m de lado?, etc. En este caso se podría calcular: A2 = 32 =9 A3 = 42 = 16 Si se analizan los resultados obtenidos se podría pensar que ahora, para cualquier medida del corral tendríamos: y = x2

graficando los datos del ejemplo:

05

1015202530

0 1 2 3 4 5 6

Longitud de cada lado (m)

Area

del

cor

ral (

m2 )

Figura Nº 16: Área del corral vs. longitud del lado.


54

Evidentemente, a estos puntos ya no los podemos unir con una recta, la línea que los une tendrá una forma particular llamada “parábola” que es la representación gráfica de la función cuadrática. Definición: Una función f (x) es una función cuadrática si y solo si, se puede expresar en la forma: f(x) = ax2+bx+c , en donde a, b y c son constantes y a ≠ o La gráfica de una función cuadrática queda determinada por los valores que toman los parámetros (a, b y c) y es simétrica respecto de un eje llamado “eje de simetría”. Vamos a analizar ahora como es dicha gráfica con respecto a cada uno de los parámetros:

Primer caso: análisis del parámetro “a” Si consideramos la función y = x2, con unos pocos valores obtenidos de la tabla, daremos su gráfica:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x2 9 4 1 0 1 4 9

Tabla Nº 6: Efecto del parámetro “a” para y= x2.

02468

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

a=1

Figura Nº 17: Gráfico de la función y=x2. Si ahora consideramos y = 2 x2, tenemos:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2 x2 18 8 2 0 2 8 18

Tabla Nº 7: Efecto del parámetro “a” para y= 2x2.


55

0

5

10

15

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

ya=2

Figura Nº 18: Gráfico de la función y=2x2. Por último podríamos considerar y = -2 x2 en cuyo caso el gráfico sería:

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

a=-2

Figura Nº 19: Gráfico de la función y=-2x2. Si ahora superponemos las tres gráficas obtenemos:

-20

-10

0

10

20

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

a=2

a=1

a=-2

Figura Nº 20: Gráfico de las funciones y=x2, y=2 x2 e y =-2 x2.


56

Vemos que: a) Si a >0 , la parábola tiene ramas hacia arriba y la función y = ax2 toma el menor valor

(valor mínimo) en el origen. b) Si a < 0 , la parábola tiene ramas hacia abajo y la función toma el mayor valor ( valor

máximo) en el origen. Estos mínimos y máximos se toman sobre el “eje de simetría” de la parábola (de ecuación x = 0) en un punto llamado vértice.

c) El coeficiente del término cuadrático “ a”, produce:

Cierre de las ramas de la parábola hacia el eje y , si

⎜a ⎢> 1 por ejemplo si: a > 1 ⇒ a x2 > x2 y si a < -1 ⇒ a x2 < - x2

Apertura de las ramas hacia el eje x, si ⎜a ⎢< 1 por ejemplo si: 0 < a < 1 ⇒ a x2 > x2 y si -1 < a < 0 ⇒ -x2 < a x2 < 0

Segundo caso: análisis del parámetro “c”.

Si consideramos la función y = ax2+c, vemos que el valor de y se obtiene sumándole c al valor obtenido por la función y = ax2, lo que produce un desplazamiento de esta parábola en sentido vertical, hacia arriba o hacia abajo según si c > 0 ó c< 0.

-20

-10

0

10

20

30

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

y=2 x2y=2x2+10

y=2x2-10

Figura Nº 21: Efecto del parámetro “c”. Realiza el gráfico de la función cuadrática y = ax2+c Si a < 0 y c >0 y si a< 0 y c <0


57

Tercer caso: analizamos el parámetro “b”.

Hasta ahora en las ecuaciones consideradas no hay término lineal o sea que b = 0 y el eje de simetría de la parábola coincide con el eje y. Nos preguntamos ahora ¿Qué sucede si el parámetro b ≠ 0 ? Consideremos la siguiente función: y = x2 -2 x, graficándola tendríamos:

-2-101234

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

y

y=x2-2 x

b=-2

Figura Nº 22: Efecto del parámetro “b”. En este caso el eje de simetría no es el eje y. En el gráfico anterior vemos que el vértice se encuentra en el punto de coordenadas (1;-1). Así es que nos interesa encontrar cuál es la ecuación de la parábola con vértice en ( xv;yv) y eje de simetría distinto del eje y. Por medio del planteo de ecuaciones matemáticas, que no desarrollaremos, se llega a que una parábola cuya función cuadrática es y = ax2+bx+c, tiene por coordenadas del vértice los siguientes valores:

a

bxv 2−=

a

baca

bcaxcy vv 44

4

222 −

=−=−=

Para la última función considerada, y = x2 -2 x, existen dos valores de x para los cuales la función toma el valor cero o sea y = 0, estos puntos (0 y 2) son los puntos de corte de la parábola con el eje de las x. Que la parábola y = ax2+bx+c corte al eje x significa que existen valores de x que hacen que la ecuación se iguale a cero, es decir: a x2 + b x + c =0 esto se expresa diciendo que los valores de x son la solución a dicha ecuación de segundo grado. La fórmula para el cálculo de los valores de x que hacen que y = 0 viene dada por:


58

a

acbbx2

42 −±−=

a través de ésta obtenemos los de x1 y x2 que son los puntos de corte de la parábola con el eje de las abscisas. Es interesante analizar por donde va a pasar la parábola mirando solamente los valores que toma el discriminante (llamamos discriminante a ): acb 42 −=∆

1) Si el discriminante > 0, la parábola corta al eje x en dos puntos. 2) Si el discriminante = 0, la parábola corta al eje x en un solo punto. 3) Si el discriminante < 0, la parábola no corta al eje x.

La utilidad que tienen todas estas herramientas es que se puede analizar la forma que tendrá una función cuadrática cualquiera y graficarla solamente con estos puntos particulares que hemos visto, sin necesidad de realizar punto a punto la tabla correspondiente. Ejemplo 7 Dada la siguiente función cuadrática: y = x2-2x+2 Calcular: 1) ¿Hacia donde van las ramas de la parábola? 2) ¿Dónde está el vértice de la parábola? 3) ¿Cuál es el corte con el eje x? 4) ¿Cuál es el corte con el eje y? 5) ¿La parábola alcanza un valor máximo ó un mínimo? Solución: 1) En esta parábola , tenemos que: a = 1 ; b =-2 ; c =2 Como a >0, la parábola tiene ramas hacia arriba.

2) ( ) 1122

=×−−

=vx y ( ) ( ) 12121 2 =+−=vy

3) Para saber cuando la parábola corta al eje x, entonces y =0 calculamos:

( ) ( )

242

1221422 2 −±

=⋅

⋅⋅−−±−−=x


59

vemos que el discriminante es menor que cero, por lo tanto la parábola nunca corta al eje x. 4) De la misma manera que el inciso anterior, para determinar cuando la parábola corta al

eje y, entonces x=0, y de la ecuación: y = 0-0+2 =2 Como la parábola tiene ramas que abren hacia arriba, entonces ésta tiene un mínimo. El valor mínimo es yv =1 Con todos estos puntos ahora estamos en condiciones de ver la forma aproximada que tendrá el gráfico de la parábola.

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

y=x2-2x+2

Eje de simetría

0

5

10

15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

y=x2-2x+2

Eje de simetría

Figura Nº 23: Gráfico ejemplo Nº 7.

5.8- EJERCICIOS DE APLICACION Función lineal Ejercicio N°1: ¿Cuál es la función que relaciona los litros de leche diarios producidos en función del número de vacas del establecimiento, teniendo presente la siguiente tabla de datos:

Nº de vacas Cantidad promedio de leche diaria (lt/día)

150 3.000 200 4.000 250 5.000 300 6.000

Tabla Nº 5: Cantidad de leche obtenida vs. cantidad de vacas.


60

Ejercicio N° 2: Grafique cada una de las siguientes rectas, decir además cuál es la pendiente y cuál es la ordenada en el origen.

a) y = 5x – 2 b) y = 2x c) 2y = -6x + 2 d) y = 3

Ejercicio N° 3: La energía del alimento consumido por un animal es el factor determinante para el tiempo de sobrevivencia en inedia grave, pero bajo ciertas condiciones el calor puede prolongar la vida en la inedia. La siguiente figura muestra el efecto de la temperatura ambiente en el tiempo de sobrevivencia en ratas en inedia grave (con agua solamente) a la edad aproximada de 100 días.

02468

10121416

15 20 25 30 35 40

Temperatura ambiente (°C)

Tie

mpo

de

sobr

evid

a (d

ías)

Figura Nº 15: Tiempo de sobrevida vs. Temperatura ambiente. a) ¿Cuál es la ecuación que relaciona el tiempo de sobrevivencia en función de la

temperatura ambiente en el intervalo [20;30] ? b) Si el objetivo es prolongar la vida del animal ¿Convendrá aumentar la temperatura de

30 °C hasta 35 °C? ¿Por qué? Ejercicio N° 4: El aire mantenido en la cavidad bucal de la anguila eléctrica pierde O2 oxígeno gradualmente según éste va siendo utilizado por el pez. La siguiente tabla muestra los valores obtenidos de la presión parcial de O2 medida en mm Hg (PO2) para diferentes valores del tiempo entre respiraciones en segundos (t) durante la realización de un experimento:

PO 2 t 110 10 100 20 90 30 80 40 70 50

Encontrar la ecuación para la presión parcial de oxígeno en función del tiempo entre respiraciones.

Tabla Nº 6: Presión parcial de oxigeno vs. tiempo.


Función cuadrática Ejercicio Nº 5: Graficar cada una de las siguientes funciones cuadráticas indicando el valor de “a”,”b” y “c”, decir además si poseen un valor máximo o un valor mínimo y dar ese valor: 32 −= xy

a) 2)3( 2 +−= xyb) 732 +−= xxy

c) xxy 82 +=d) 64 2 −+−= xxy

e) 2xy −=

Ejercicio Nº 6: En un medio caliente, la temperatura del cuerpo de un animal puede aumentar, pero seguir regulándose a este nivel superior. Este fenómeno se denomina hipertermia controlada. Cuando se introdujeron cerdos en un recinto con la temperatura del aire de 32,2 °C su temperatura corporal desde los 120 minutos hasta los 210 minutos evolucionó según la siguiente función: Te = 0,0003 ti2 - 0,0912 ti + 30,788 donde: Te = Temperatura rectal (°C) ti = Tiempo de exposición (min.). Obtener la grafica de dicha función. Ejercicio Nº 7: La siguiente gráfica muestra la evolución de la contrdel sapo Bufo marinus. Obtenga los datos necesariosla ecuación cuadrática que ajuste tales datos.

Contracción isotónica del músculosapo Bufo marinus.

00,20,40,60,8

1

0 10 20 30 40 50 60

Dis

tanc

ia d

e

ac

orta

mie

nto

(cm

)

Figura Nº 24: Distancia de acortamiento muscu

61

acción isotónica del músculo sartorius de manera tal que le permita escribir

Sartorius del

70 80 90

Fuerza (g)

lar vs. fuerza aplicada.


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BIBLIOGRAFÍA:

Matemática 1 – COU; Autores: J. M. Martinez-Mediano, Cuadra López Rafael, Jiménez Villanueva J.L.; Editorial: Mc Graw-Hill, Año 1996.

Matemática 2 – COU; Autores: Fernado Garjo, Delgado Miguel, Tabuenca Jaime; Editorial: Mc Graw-Hill, Año 1995.

Matemática Básica para las Ciencias de la Vida; Autores: Bocco Mónica; Editorial: Trianfar, Año 2001.

Matemática para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida; Autores: Ernest F. Haeussler J.R., Paúl Richard S.; Editorial: Prentice Hall, Año 1997, Octava edición.

Cálculo; Autores: Larson, Hostetler, Edwards; Editorial: Mc Graw-Hill, Año 2001, Sexta edición, Volumen 1.

Física; Autores: Resnick-Holliday, Kane; Editorial: Cecsa, Año 1997, Cuarta edición, Volumen 1.


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matematica ingreso 2009

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