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MATEMATICA – INGRESO 2016- ACTIVIDADES RESUELTAS

UNIDAD Nº 1: Lógica proposicional

Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo

Ejercicio nº 1:

a) Es proposición simple.

b) No es proposición (depende del significado de x)

c) No es proposición

d) Es proposición simple.

e) Es proposición compuesta.

p: 7 es un nº impar, q: el doble de 7 es un nº par.

qp

f) No es proposición.

g) Es proposición compuesta

p: 2+4=6

q: 6 es múltiplo de 3

qp

h) Es proposición compuesta.

p: 27 es un nº par

q: 27 es múltiplo de 3

qp

i) Es proposición simple

Ejercicio nº 2:

a) p: V

q: F

b) b1. qp : 12 es divisible por 3 y es un número primo. Falso.

2

b2. qp : 12 es divisible por 3 o es un número primo. Verdadero.

b3. qp : 12 es divisible por 3 y no es primo. Verdadero.

b4. qp : 12 es divisible por 3 o no es primo. Verdadero.

b5. qp : 12 no es divisible por 3 o no es primo. Verdadero.

Ejercicio nº 3:

a) p: un nº es divisible por 5

q: un nº termina en 0

qp : Si un nº es divisible por 5 entonces termina en 0. Falso.

b) p: x = 3

q: 92 x

qp : si x = 3 entonces 92 x . Verdadero.

c) p: el nº es menor que dos

q: el nº es negativo

qp : si un nº es menor que dos entonces es negativo. Falso.

d) p: 42 x

q: x = 2

qp : si 42 x entonces x=2. Falso.

e) p: un polígono es un paralelogramo.

q: un polígono es un rectángulo.

qp :si un polígono es un paralelogramo entonces es un rectángulo. Falso.

f) p: un número es divisible por 9

q: un número es divisible por 3

qp : Si un número es divisible por 9 entonces es divisible por 3. Verdadero.

3

Ejercicio nº 4:

a) qp : Si un número es menor que cero entonces es menor que 4. Verdadero

Recíproca: Si un número es menor que 4 entonces es menor que cero. Falsa

Contraria: Si un número es mayor o igual a 0 entonces es mayor o igual que 4. Falso.

Contrarrecíproca: Si un número es mayor o igual que 4 entonces es mayor o igual que 0.

Verdadero.

No puede transformarse en bicondicional verdadera.

b) qp : Si x = 1 entonces 3x-1 = 2. Verdadero

Recíproca: si 3x-1 = 2 entonces x = 1. Verdadero.

Contraria: Si x ≠ 1 entonces 3x-1 ≠ 2. Verdadero

Contrarrecíproca: Si 3x-1 ≠ 2 entonces x ≠ 1. Verdadero

Puede transformarse en una bicondicional verdadera.

c) qp : Si un número es múltiplo de 4 entonces es par. Verdadero.

Recíproca: Si un número es par entonces es múltiplo de 4. Falso.

Contraria: Si un número no es múltiplo de 4 entonces no es par. Falso.

Contrarrecíproca: Si un número no es par entonces no es múltiplo de 4. Verdadero.

No puede transformarse en una bicondicional verdadera.

Ejercicio nº 5:

a) qp : Si un número es par entonces es divisible por 2. Verdadero

pq : Si un número es divisible por 2 entonces es par. Verdadero

qp es verdadera.

b) qp es verdadera.

c) qp es falsa

d) qp es falsa

e) qp es verdadera

4

f) qp es falsa

g) qp es verdadera

Ejercicios pag 9 ( cuantificadores)

1) a) Falso, ya que por ejemplo: 3 ≠ -3

b) Verdadero, ya que por ejemplo: x = 2Z, 5.2 = 2.2+6 y 10 = 10

c) Verdadero. En efecto, si Zn y Zm ,

)2(224)12).(2( nnmnnmmn

Considerando: Zkknnm ,2

Resulta: kmn 2)12).(2( es par.

d) Falso. En efecto:

1, xNx

e) Verdadero. Un rectángulo es un cuadrilátero con pares de lados opuestos iguales y con

todos sus ángulos interiores rectos. Como todos los cuadrados cumplen con estas

condiciones, resulta que también son rectángulos.

f) Falso ya que, por ejemplo, un rectángulo cuya base mide 4 cm y su altura 2 cm no es un

cuadrado (ya que no tiene todos sus lados iguales)

2) a) i) )(/ xqZx

ii) )()(/ xqxpZx

iii) )()(, xrxqZx

iv) )()(/ xrxqZx

v) )()(/ xrxqZx

b) i) Verdadero, pues por ejemplo 2 es un entero par

ii) Verdadero, pues por ejemplo 2 es un entero positivo par.

iii) Falso, por ejemplo, 20 es un entero par y es divisible por 5.

iv) Falso, todos los múltiplos de 10 son enteros pares y divisibles por 5.

v) Verdadero. 50 es un entero par y es divisible por 5.

5

Unidad Nº 2: Conjuntos numéricos – Operaciones

Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo

1) Existen infinitas soluciones. Ej. de números racionales mayores que 2 y

menores que 6 : 3,2 ; 2,125; 25

51. Ej. de números irracionales mayores que

2 y menores que 6 : 2,12345…;2,010010001…;2,445446447…

2) Existen infinitas soluciones. Por ej.:

3,21234567…;3,201472543…;3,201020304…

3) 1,3<1,333333<3

4<1,41< 2 <1,42<1,732< 3

4) …

5)

a) a7

b) a

6

c) a20

11

d) -10 3 a

e) a37

f) 35 729a

a) bcda .

b) d

cba

c) b

cda

d) cb

da

e) cbda .

f) cb

da

g) 2b

cda

h) b

cda

6

i) bcda

j) bcda .

k) cda 2

l) 2)( cb

da

6)

a) 6

9

40

60

150

225

2

3

b) 60

16

225

60

150

40

15

4

c) 28

196

60

420

150

1050

2

14

d) 150

625

72

300

150

625

6

25

e) 12

16

75

60

150

200

3

4

7)

11

41

13

393

5

7

4

5

6

70

4

31

5

7

3

5

143

286

8)

a) 60

109

b) 3

1

c) 80

571

d) 78

223

9)

a) 3

52

3

4.

2

13

b) 3

82

3

4).

2

13( ó

3

8)2

3

4.(

2

13

c) 3

7)2

3

4).(

2

13(

d) 12

67

4

25

3

10).5

5

2( 1

e) 276

175)

4

25

3

10.()5

5

2( 1

7

f) 60

59)

4

25

3

10.(5

5

2 1

10)

a) 3

1

b) 56

61

c) 4

1

11)

a) 5.5.553

b) )2).(2).(2).(2).(2()2( 5

c) 3

2.

3

2.

3

2.

3

2)

3

2( 4

d) 3.3.3.3.3.33.3.3)3( 22232

e) )2

).(2

()2

( 2 xx

xx

xx

12)

a) 4)5

3(

b) 33 )1( x

c) 5)3(

13)

a) 2352 2

b) 9)52( 2

c) 4

15

8

3)

2

3( 3

d) 8

111

8

3

2

33

14)

a) 4

9

b) 32

81

c) 1

8

15)

a) 2

4.16

b

a

b) 2.4

729

x

c) )1.(9 2 x

16) 3. Si, baba

17)

a) 3 44 ..2 yx

b) ba

9

c) 61..

2

1 ba

d) 10132 ).(

8

243yx

e) 62

5

.512 x

y

f) 6

10

32

)5( x

18)

a) ).(22 222 yxxx

b) 52

3).(

2 y

xyx

y

yx

c) 3

3232

2

).().(

2

5 babbaa

19)

a) 15

7

15

31

15

14

9..

ba

b) 4

36

37

4

15

..2

yx

c) 6

7

6

11

3

2

..3 ba

20)

a) 2

.23

x

x

9

b) x

x

9

26

c) 1a

d)

6

3 2 122

x

xx =

x

xxx

6 5

22 = 6 522

xxxx

x

e) 5 2

5 4 2

x

x =

x

xxx 5 35 2 2

f) x

xx 44 3 .3

21)

a) 3

b) No existe solución

c) Idem b.

d) Idem b.

e) 0

f) 2

1

g) -2

h) 1

i) 0

j) 3

k) -2

l) 3

22)

a) 1

b) 0

c) -1

d) 2

23) 0log 2 a 10 a

0log 2 a 1a

0log 2 a 1a

1log 2 a 2a

10

24)

a) 0,991…

b) 1,991…

c) 2,991…

d) 3,991…

e) 0,916…

f) 3,219…

g) 5,521…

h) 7,824…

25)

a) 1

b) -4

c) 1

d) -1

26)

a) 8

b) 1

c) 18

d) 6

27)

a) 4,169…

b) 4,191…

c) -1,397…

28) 7308,3log 2 x

8654,1log 4 x

29)

a)

5

)9.(.log

226 yxyxa

b)

)1.(.8log 22

1

4 xx

30) 0

31)

a) 0

b) 5

c) 2

d) 1log2 ba

11

UNIDAD Nº 3: Ecuaciones - Inecuaciones

Ejercicios resueltos / Resultados. Gentiliza: Manuel Mansilla, Micaela Galante,

Lucía Caraballo

I) 1) y = -3 2) x = 40 3) x = -15 4) y = -117/13 5) y = 40 6) x = 7 7) y = 2 8) x = 4 9) a = 18/5 10) x = 17/6 11) y = 45/2 12) x = 3/2

13) 14) x = 0

15)

16) 17) w = 0

18)

19) 20) t = 1

21)

II) a) x1 = 3 x2 = 2

b) p1 = (5-√21)/2 p2 = (5+√21)/2

c) y1 = 2 y2 = 1/3

d)

e) i1 = 0 i2 = 4

f) b1 = -8 b2 = 8

g)

h) x1 = -1 x2 = 1

i) x1 = 3 x2 = 5

j) j = -5

k)

l)

m) x1 = -2 x2 = 2

n) x = 4/7

o) x = 0

22) Si lo resolvemos como : 80=10(3t+2) t = 2 Si lo resolvemos como : 80=10(3t-2) t=10/3 23) y = 50/9 24) a = 3

25) x = -2 x = 5

26) t = 3 t = 7

27) y = 4/3 y = ¼

28) m = 0 m = 8

29) x = 3/2 x = 2/3

30) x = 0 x = 1 x = 2

29) a = 3 a = -4/7 31) x = 4

32) x = 0 x = 3 33) x = 2

34) x = 0 x = 1

35) x = 0 x = 2 36) x = 0 37) x = 0

38)

39) - {0, 1}

40)

12

III) a) x = 2

b) x = 0 x = 2

c) x = 3

d) x = -1/4

e) x = -5

f) x = -1 x = 1

g) x = -3/7

h) x = 1

i) x = 0 x = ln 2

V) a) distancia de la tierra a Marte: 77.200.000

b) punto de fusión del Plomo: 336,73

c) precio original de la compra: 744

d) Se encontraron a las 13:33

e) precio original del T.V: 500

f)[M]=(F.r2)/(G.m) Unidades: [m]=kg; [r]= m; [M]= kg; [F]=N; [G]=Nm2/kg2

g) h=V/(π.r2) Unidades: [h]=metros; [r2]= metros2; [V]=metros3

VI) a) si es solución

b) no es solución

c) no es solución

d) si es solución

e) si es solución

f) si es solución

g) no es solución

h) si es solución

VIII) a) S =

b) S = (5;9)

c) S = (-∞;5] U [9;+ ∞)

d) S = (-1;1) U (3;5)

f) S = (-1;5) – {2}

IV) a) x = 20

b) x = 3

c) x = 2

d) x = 4

e) x = 1/9

f) x = (1/4)1/3

g) x = 7

h) x = √(20/3)

hbis) x = 0 x = -36/25

i)

j) x = 10 x = 101/9

k) x = 1/100 x = 100

VII) a) S = [3;+∞)

b) S = (-1/2;+∞)

c) S =

d) S = [1/2;+∞)

e) S = (1;2)

f) S = (-∞;-1) U (1; +∞)

h) S = [-1; +∞)

i) S = (-2;5)

j) S = (-∞;-2)

k) S = (-2;5)

l) S = (-∞;-2] U [4;6]

m) S = (1;2)

n) S = (-∞;-2) U [2; +∞)

13

IX) a)

A=(3,9)=E3(6) ={x ε IR / 36 x }

B=(-1,3)= E2(1) ={x ε IR / 21 x }

C=(0,4)= E2(2) ={x ε IR / 22 x }

b)

A=(-3;7)

B=L

C=P

D=O

E=N

F=N

G=(-3;7)

H=P

X) a) S = (-∞;-1/3) U (5/3; +∞)

b) S = - {-3}

c) S =

d) S = (-∞;-1/4] U [3/4;+ ∞)

e) S =

f) S = [-1/2; 3)

g) S = [-1; 4]

h) S = (-1/5;1)

i) S = [-11;3]

j) S = [0;3]

k) S = (-6;-2)

l) S =

m) S = {2/3}

n) S =

o) S = (1/4; 1/2)

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Unidad Nº 4: Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Ejercicios resueltos / Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo

1) No son soluciones del sistema: )0;0(),0;2(),1;1(

Es solución del sistema: )1,1(

2)

i. No son soluciones del sistema: )1;4( ,

2

1;

2

1

Son soluciones del sistema: )6;9(),0;0(),2;3(

ii. El sistema es compatible determinado.

3) No son soluciones del sistema:

2

9;

2

1;0,

2

3;

2

1;2,0;0;0

Es solución del sistema: 1;0;1

4)

a) 2;1S

El sistema es compatible determinado.

b)

2

5/),(

xyxyxS

El sistema es compatible indeterminado.

c) S

El sistema es incompatible.

d) 4;3;6 S


e) 0;1;0S


f) S


g)

2

1,

2

1,:),,( 3 xzyxzyxS


h) 4;10 S


i) S

15


j) 0;0;0S


k) uvuvuS /),(


l) S


5)

a)

i. 2

ii. Sistema compatible determinado

5,1(S

b)

i. 1

ii. Sistema compatible determinado

)1,0,1(S

c)

i. No existe tal que (1,-2) sea solución del sistema

d)

i. 2

ii. Sistema compatible indeterminado

1/),( xyxyxS

Problemas:

1) El largo del rectángulo es de 14 cm y el ancho de 10 cm.

2) La fracción es 5

2.

3) Julio tiene 10 años y Pedro tiene 15 años.

La respuesta es correcta si el ejercicio se considera como: Julio tiene la

mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de 5 años y Pedro tiene la mitad

de las dos edades más cinco.

Si consideramos: Julio tiene la mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de

5 años y Pedro tiene la mitad de las dos edades, más cinco. La respuesta

sería: Julio tiene 15 años y Pedro tiene 20 años.

4) El número es 34.

5) El largo es de 5 cm y el ancho de 3 cm.

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Unidad N°5 – Polinomios

Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Julieta Fina y Lucía Caraballo

1) p(x) Coeficiente principal: 7

Termino independiente: -5/2

Grado: 5

q(x) Coeficiente principal: 2

Termino independiente: 3/2

Grado: 4

r(x) Coeficiente principal: 3

Termino independiente: -3/7

Grado: 3

s(x) Coeficiente principal: -1

Termino independiente: 4/5

Grado: 6

2) a) a=3 b=-3 c=5 d=-5

b) no existen valores para p(x)

c) a=2 b=-1 c=-1 d=0

3) a) p(x) + q(x) = x5 + 6x4 + 4x2 +4x– 2

b) 1/2p(x) + 3/2q(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 6x2 + 5x – 7

c) q(x) – s(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 1

d) p(x) + q(x) + r(x) = x5 + 6x4 + 3x3 + 6x -5

e) q(x) + s(x) – r(x) = -2x5 + 4x4 + 10x2 + x + 6

f) p(x) + r(x) + 2s(x) = 8x4 + 12x

17

g) r(x) + q(x) + s(x) + p(x) = 8x4 + 3x3 + 2x2 + 9x – 1

h) 3r(x) – s(x) + q(x) = 12x3 – 10x2 + 3x – 10

i) p(x) + 2s(x) = 8x4 – 3x3 + 4x2 + 10x + 3

4) a) 8x8 – 12x7 + 8x6 – 12x5 + 8x4 – 22x3 + 23x2 – 22x + 15

b) –3x9 + 6x8 + x7 – x6 + x5 + 5x4 + 2x3 + 3x2

c)–x7 + 5x6 – x5 – x4 + 2x3 – x2 – 3

d) x4 + 2x3 + x2 – 1

5)

a) c(x)=2x ; r(x)= -4x3-3x2+4x-3

b) c(x)=-5/3 ;

c) c(x)=0; r(x)=5x3-3x2+2x-3

d) ; r(x)=0 ; p(x) es divisible por q(x)

e) c(x)=3x2-x-2; r(x)=0 ; p(x) es divisible por q(x)

f) c(x)=-2x4+3x2-x; r(x)=0; p(x) es divisible por q(x)

6) a) c(x) = 3x4 + 6x3 + 8x2 + 15x + 32 r(x) = 61

b) c(x) = -5x3 + 3x2 – 3x + 5 r(x) = -4

c) c(x) = 5x2 + 12x + 38 r(x) = 111

d) c(x) = -x4 + x3 r(x) = 0

e) c(x) = 6x4 – 14x3 + 15x2 – 24x + 53 r(x) = -108

f) c(x) = 2x2 + 5x + 2 r(x) = 0

g) c(x) = -2x2 + 8 r(x) = 0

7) a) k = -11

18

b) k = 4

c) k = 9

8) a) 2 es raíz

b) 1 es raíz

c) 0, 1 y -3 son raíces

9) La raíz 2 tiene multiplicidad 3 y la otra raíz es 1.

El polinomio podría escribirse p(x) = (x-2)3(x-1)

10) a) -2 (x-1)(x+2)(x-2)(x-1/2)

b) ¼ (x-1)2(x-2)(x+2)(x+3)

c) x(x-1)(x+1)(x-2)

11)

a) p(x)=-2(x-2)(x+1/2)3(x-4)

b) p(x)=-1/5(x-3/2)(x+5)(x2+4)

c) p(x)=x/4(x-2)2(x+1)

d) p(x)=x/4 (x+2)(x-1)3

12) a) p(x) = 2(x-1/2)(x+2)(x-3)

b) p(x) = (x-2)(x+3)(x2+x+1)

c) p(x) = 4 (x+1)(x-1/2)2

d) p(x) = 3(x-2)(x+2)(x+1/3)

e) p(x) = 3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x+2/3)

f) p(x) = (x-1/3)(3x2 + 3x + 3)

19

13) a) x2 + 2x + 1 = (x+1)2

b) (2x)2 – 4x + 1 = (2x-1)2

c) x4 – 6x2 + 9 = (x2 – 3)2

d) 22 12122 xxx

14) a) (x+1)2 + 4

b) 3(x-2)2 -10

c) (3x + 2)2 – 5

15) a) 13 – (x+2)2

b) 5/4 – (2x – ½)2

c) 14 – (x+3)2

16) a) (x + 1)3

b) (x - 2)3

c) (2x – 1)3

d) (x + 2/3)3

Hay que corregir el signo en el cuadernillo para que quede: x3+2x2+4/3x+8/27

17) a) (x-3)(x+3)

b) (4-x)(4+x)

c) (x2-5)(x2+5)

d) (5-2x)(5+2x)

e) (3x-1/2)(3x+1/2)

f) (

20

Unidad 5 bis – Expresiones algebraicas fraccionarias

Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Martina Lazzaro

ACTIVIDAD 1

a) ; si x≠3

b) x ; si x≠-1

c) ; si x≠7; x≠0

d) ; si x≠-2

ACTIVIDAD 2

a)

b)

15

69

xx

x; si x≠-5; x≠-2

c)

ACTIVIDAD 3

a) ; si x≠2

b) ; si x≠-1

21

ACTIVIDAD 4

1.

a) ; si x≠-3 y x≠-2

b) ; si x≠3

c) ; si x≠3

2.

a) ; si≠-3, x≠2, x≠-2

b) ; si x≠-1, x≠-2

c) 1 ; si x≠1, x≠-4

ACTIVIDAD 5

a) ; si x≠-2 y x≠3

b) -1 ; si x≠2 y x≠-2

c) ; si x≠2

d) ; si x≠1

22

ACTIVIDAD 6

a)

b) ; si x≠-1

c) ; si x≠-2

d) ; si x≠-3

e)

f) ; si x≠-1/2 y x≠1/2

g) ; si x≠0 y x≠1

23

UNIDAD N° 6 – Trigonometría

Ejercicios resueltos/resultados. Gentileza: Guillermo Tocchetti y Lucía Caraballo

1)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

3)

a)

2)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

24

b)

c)

d)

4

3

x

ytg

25

e)

f)

g)

h) No se ven los datos en el cuadernillo

26

4) a) cuadrante IV

b) cuadrante III

c) cuadrante I

5)

Ángulos complementarios:

Ángulos suplementarios:

6)a)

4

132

4

2

4

32

2

1

2

2

2

3

2

2

6sin

4cos

6cos

4sin

64sin

b)

4

132

4

2

4

32

2

1

2

2

2

3

2

2

6sin

4sin

6cos

4cos

64cos

c)

3

2

13

13

2

3

2

1

2

4

132

4

132

6cos

6sin

2

12cos

12sin

22

d)

e)

d) cuadrante I

e) cuadrante II

f) cuadrante IV

27

f)

g)

h)

i)

j)

22sin

sin4

sincos4

cos

sin4

coscos4

sin

4

52sin

4cos

4sin

4

5cos

4

5sin2

4

3tan

2111

2

2

2

2

1100

02

2)1(

2

2

02

2)1(

2

2

2sin2cos

2cos2sin

sin4

sincos4

cos

sin4

coscos4

sin

6 bis)

a) 0,718 b) 0,330 c) 0,017 d) 0,017 e) 0 f) 0,983 g) 0 h) 1 i) -0,707 j) 1 k) 0 l) 1 m) No existe n) 0 o) 0,866

7)

a) 0,5

b) 0,707

c) -1

d) 0,916 e) -0,583 f) 0,5 g) -0,986 h) 0,021 i) 0,035 j) 0 k) 0 l) 0

28

8)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

El ángulo pertenece al cuarto cuadrante, ya que:

El ángulo pertenece al primer cuadrante, ya que:

29

El ángulo pertenece al primer cuadrante, ya que:

El ángulo pertenece al segundo cuadrante, ya que:

Finalmente, el ángulo mide 90° ya que los dos ángulos individuales son del primer

cuadrante y se obtiene:

9)

a)

b)

No se cumple ya que:

c)

d)

e)

30

tan

cos

sin

sinsincoscos

sincoscossin

sinsincoscos

sincos

f)

= 1

g)

h)

1sincossin2sincoscos

sincossin2sincostan)2sin()2cos( 2222222 xxxxx

x

xxxxxxxx

i)

matematica ingreso 2016- actividades … · ... lógica proposicional ejercicios resueltos ... no...

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