Ing. En Sistemas Computacionales

Estructura de Datos

Unidad V Estructuras no linealesestáticas y dinámicas.

(Árboles y grafos)

Ing. Néstor Alejandro Carrillo López

ArbolesUn árbol es un conjunto finito de nodos:

1. Si la colección es vacía, se dice que el árbol es vacio

2. En caso contrario, un árbol A consiste de un nodo especial llamado raíz y n (sub)arboles no vacios T1,T2,…,Tn. La raíz de A se conecta con la raíz de cada Ti por un arco dirigido.

Relaciones entre nodosTodo nodo nj, exceptuando el raíz, esta

conectado exclusivamente a otro nodo nk

donde:• nj es el padre de nk (Ej., B es el padre de E)

• nk es uno de los hijos de nj (Ej., E es un hijo de B)

• Nodos con el mismo padre son “hermanos” (Ej., B , C y D)

• Nodos sin hijos son llamados “hojas” (Ej., G)

Árboles binarios

• Un árbol binario es unárbol en el cual cadanodo puede tener comomáximo dos hijos

• Un árbol binario sedefine como:– un árbol vacio, o– un nodo raíz con unsubárbol izquierdo y unsubárbol derecho

Representación en Memoria

Hay dos formas tradicionales de representar unárbol binario en memoria:

• Por medio de datos tipo punteros tambiénconocidos como variables dinámicas o listas.

• Por medio de arreglos(estáticas).

Sin embargo, la más utilizada es la primera, puestoque es la más natural para tratar este tipo deestructuras.

Representación en Memoria

• Los nodos del árbol binario seránrepresentados como registros que contendráncomo mínimo tres campos. En un campo sealmacenará la información del nodo. Los dosrestantes se utilizarán para apuntar al subárbolizquierdo y derecho del subárbol en cuestión.

• Cada nodo se representa gráficamente de lasiguiente manera:

Declaración de árbol binario• Se definirá el árbol con un dato de tipo objecto (puede ser cualquier

otra tipo de datos) y dos hijos: izquierdo (izq) y derecho (der). Para representar los enlaces con los hijos se utilizan punteros. El árbol vacío se representará con un puntero nulo.

• La clase nodo binario puede declarar de la siguiente manera:

Class NodoB{ Object dato; NodoB izq;NodoB der;

NodoB (){ this (null);} NodoB ( Object o ) { this(o,null,null);}NodoB(Object o, NodoB i, NodoB d) {dato=0; izq=i; der=d;}

}

Declaración de árbol binario• Se definirá el árbol con un dato de tipo objecto (puede ser cualquier otra tipo de datos)

y dos hijos: izquierdo (izq) y derecho (der). Para representar los enlaces con los hijos se utilizan punteros. El árbol vacío se representará con un puntero nulo.

• La clase nodo binario puede declarar de la siguiente manera:

public class NodoBinario {//atributosObject dato;NodoBinario izquierdo;NodoBinario derecho;

//constructorespublic NodoBinario() { this(null); }

public NodoBinario(Object elDato){ this( elDato, null, null); }

public NodoBinario(Object elDato, NodoBinario menor, NodoBinario mayor){ dato=elDato; izquierdo=menor; derecho=mayor; }

Operaciones básicas en arboles

• Crear un árbol vacio

• Verificar si el árbol esta vacio

• Insertar un nodo

• Eliminar un nodo

• Recorrer un árbol

Recorridos de arboles

• Procedimientos que visitan todos los nodos de un árbol efectuando una acción sobre cada uno.

• Existen dos formas posibles de recorrer un árbol no vacio

Amplitud: el proceso se realiza horizontalmente desde la raíz a todos sus hijos, luego a los hijos de sus hijos y así sucesivamente

Profundidad: se sigue un camino desde la raíz a través de un hijo antes de proseguir al siguiente hijo

Ejemplo de recorrido en amplitud

Recorridos en profundidad

• Existen tres formas posibles de recorrer en profundidad un árbol no vacio, según cuando la raíz sea visitada

Recorrido Características

Pre orden se visita la raíz;se recorre el subárbol izquierdo;se recorre el subárbol derecho;

inorden se recorre el subárbol izquierdo;se visita la raíz;se recorre el subárbol derecho;

Post-orden se recorre el subárbol izquierdo;se recorre el subárbol derecho;se visita la raíz;

Recorridos en profundidad

• Pre orden

se visita la raíz;

se recorre el subárbol izquierdo;

se recorre el subárbol derecho;

Recorridos en profundidad

• Recorrido inorden

se recorre el subárbol izquierdo;

se visita la raíz;

se recorre el subárbol derecho;

Recorridos en profundidad• Post-orden

se recorre el subárbol izquierdo;

se recorre el subárbol derecho;

se visita la raíz;

Carga (Nodo)• 1. leer información (INFO)• 2. Hacer NODO^.INFO <- INFO• 3. Escribir “Existe nodo por la izquierda?”• 4. Leer respuesta• 5. Si respuesta es afirmativa• entonces• CREA (OTRO) {Crear un nuevo nodo}• Hacer NODO^.IZQ<-OTRO• Regresar a CARGA con NODO^.IZQ• {Llamada recursiva}• si no• Hacer NODO^.IZQ<-Null• 6. {Fin del condicional del paso 5}• 7. Escribir “Existe nodo por derecha?”• 8. Leer respuesta• 9. Si respuesta es afirmativa• entonces• CREA (OTRO) {Crea un nuevo nodo}• Hacer NODO^.DER <-OTRO• Regresar a CARGAR con NODO^.DER• {Llamada recursiva}• si no• Hacer NODO^.DER<- Null• 10. {Fin de condicional del paso 9}•

Algoritmo de preordenPREORDEN(NODO){El algoritmo realiza el recorrido preorden en un árbol binario.

NODO es un dato de tipo puntero }{INFO, IZQ Y DER son campos del registro nodo. INFO es una

variable de tipo carácter. IZQ y DER son variables de tipo puntero}

1. Si NODO <> Null entoncesvisitar el NODO {Escribir NODO^.INFO}

Regresar a PREORDEN con NODO^.IZQ{Llamada recursiva a PREORDEN con la rama izquierda del nodo en cuestión}Regresar a PREORDEN con NODO^.DER{Llamada recursiva a PREORDEN con la rama derecha del nodo en cuestión}

2. {Fin de condicional del paso 1}

INORDEN (NODO){El algoritmo realiza el recorrido inorden en un árbol binario.

NODO es un registro de tipo puntero}{INFO, IZQ y DER son campos del registro nodo. INFO es una

variable de tipo carácter. IZQ y DER son variables de tipo puntero}

1. Si NODO <> Null entoncesRegresar a INORDEN con NODO^.IZQ

{Llamada recursiva a INORDEN con la rama izquierda del nodo en cuestion}Visitar el NODO {Escribir NODO^.INFO}Regresar a INORDEN con NODO^.DER{Llamada recursiva a INORDEN con la rama derecha del nodo en cuestión}

2. {Fin de condicional del paso 1}

POSTORDEN(NODO){El algoritmo realiza el recorrido postorden en un árbol binario. NODO es

un dato de tipo puntero}{INFO, IZQ y DER son campos del registro nodo. INFO es una variable de

tipo carácter IZQ y DER son variables de tipo puntero}1. Si NODO<>Null entonces

Regresa POSTORDEN con NODO^.IZQ{Llamada recursiva a POSTORDEN con la rama izquierda del nodo en cuestión}

Regresar a POSTORDEN con NODO^.DER{Llamada recursiva a POSTORDEN con la rama derecha del nodo en

cuestion}

Visitar el NODO {Escribir NODO^.INFO}2. {Fin de condicional del paso 1}

Grafos• Un grafo G es un par (V,E), tal que:

V: conjunto de nodos

E: conjunto de arcos conectando a los nodos en V

Un arco e = (u,v) es un par de nodos

Grafos dirigidos y no dirigidos

• Dirigido (o Digrafo)

Cada linea tiene una direcciona su sucesor

Note que <vi, vj> ≠ <vj, vi>

• No dirigido

Las lineas no tienen direccion

Note <vi, vj> = <vj, vi>。

Operaciones en grafos

• Considere un grafo G y dos nodos x y y

-añade(G, x,y): añade en G un arco de x a y, si no existe

- borra(G, x,y): suprime un arco de x a y, si existe

- adyacente(G, x,y): verifica si hay un arco de x a y en G

- vecinos(G, x): lista todos los nodos y tal que hay un arco entre x y y

Operaciones en grafos

• En los grafos que tienen valores asociados a sus arcos, también se tienen:

- asigna_valor(G, x,y,v): asigna el valor asociado al arco (x,y) a v.

-obtener_valor(G, x,y): regresa el valor asociado al arco (x,y).