MATEMTICA BSICA

Ing. Jessica Estrada Camacho sje@upnorte.edu.pe

REGLAS

Llegar temprano a clases

Presentar sus prcticas

Venir con ganas de aprender

Estudiar

Practicar

Aprobar el curso

Al finalizar el curso el estudiante resuelve problemas aplicativos, utilizando

como herramientas las ecuaciones e

inecuaciones en general, matrices,

sistemas de ecuaciones lineales,

relaciones en R2 y geometra analtica

(La recta y las cnicas) e interpretando

los resultados.

Logros del Curso

Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas aplicados a la ingeniera y gestin empresarial sobre inecuaciones polinmicas y racionales, ecuaciones exponenciales y logartmicas, aplicando propiedades y criterios de solucin, con criterio.

Logros de la Unidad

EJEMPLO DE T1

EE(40%) + PC(20%) + PD(20%) + PC(20%)

EE= 20

20*0.2 = 4 PC= 20

20*0.4= 8

PD= 20 20*0.4= 4

PC= 4 4

Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio de venta unitario de $.18 y un costo unitario de $.13. Si los costos fijos mensuales son $.30 000, determine el nmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

Cmo resolver el siguiente problema?

Logro de la Sesin

Al finalizar la sesin el estudiante resuelve ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado y problemas del contexto real relacionados a la gestin empresarial, haciendo uso de la teora de inecuaciones lineales y cuadrticas; de forma correcta.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Desigualdad:

Una desigualdad es una relacin entre dos

expresiones numricas, en la cul una de ellas puede

ser mayor, menor o mayor igual, menor o igual que la

otra cantidad.

Por ejemplo:

6 > 4

3 < 7

-8 -5

4 0 <

En General

Dado a y b, dos nmeros reales, se cumple SLO una alternativa:

Relacin de orden en los Reales Sean a y b dos nmeros reales cualquiera, se establece

la relacin de orden:

a b

a b a b

a b a menor que b a mayor que b

a menor igual que b a mayor igual que b

b mayor que a b menor que a

b mayor igual que a b menor igual que a

PROPIEDADES DE LA RELACIN DE ORDEN EN LOS NMEROS REALES

Dados los nmeros reales a, b y c, la relacin de orden satisface las siguientes propiedades: 1) Si a < b entonces a + c < b + c Ejemplo: x + 2 < 3 implica (x + 2)+ (-2) < 3 + (- 2) luego: x < 1 2) Si a < b y c > 0, entonces c.a < c.b (prevalece el sentido de la desigualdad al multiplicar por un nmero

positivo) Ejemplo:

1 1

3 5 3 53 3

5

3

x x

x

24/03/2014

3) Si a < b y c < 0, entonces c.a > c.b (se invierte el sentido de la desigualdad al multiplicar a la

desigualdad por un nmero negativo) Ejemplo:

3 5

1 13 5

3 3

5

3

x

x

x

2 2

4)

1 15)0

1 16) 0

7)0

Si a b b c a c

a ba b

a ba b

a b a b

24/03/2014

INTERVALO

Los intervalos son subconjuntos de los nmeros reales que se

Pueden representar grficamente en la recta numrica por un

trazo o una semirrecta.

Desigualdad Notacin Grfica

a < x < b

[ a ; b ] x

[ a ; b [ x

] a ; b ] x

] a ; b [ x

a

b

a

b

a

b

a

b

Intervalos

Nota ; ; ;a b a b a b

a x b

a x b

a x b

Desigualdad Notacin Grfica

[ a ; [ x

]- ; a] x

a

a

a

a

a ; [ x ]

]- ; a[ x

ax

ax

ax

ax

EJEMPLOS DE INTERVALOS

Representemos los siguientes intervalos: 1. 2. [-1;7] 3.

Escribe en notacin conjuntista los intervalos presentados:

Una inecuacin lineal en variable x, es la desigualdad que se puede

reducir a:

ax + b < c

donde a, b y c son nmeros reales. a 0

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Pasos a seguir para resolver una inecuacin lineal:

Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible, utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de agrupacin y mediante la combinacin de trminos semejantes.

Utilice la propiedad de la adicin de la desigualdad para expresarla convenientemente; los trminos que tengan variables queden a un lado y los trminos independientes estn al otro lado.

Use la propiedad de la multiplicacin para llegar a la desigualdad de la forma x < k.

Se sugiere representar grficamente la solucin y escribir el intervalo correspondiente, como conjunto solucin.

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Resolver: Solucin. algebraicamente grficamente

1332

xx

63 1 3 2

2 2

5 4

4

5

x x xx

x

x

4. : ,

5C S x

EJERCICIOS RESUELTOS

2) Resolver: Solucin. algebraicamte grficamente

44212 x

12 2 4 4

8 2 8

4 4

x

x

x

. . 4;4C S

SOLUCIN DEL PROBLEMA APLICATIVO

Sea q : # de jarras producidas o vendidas. p : precio de venta unitario.

Costo variable CV=13q Costo Total: C=CV+CF C=13q+30 000 Ingreso total: I=p.q I=18q

Por datos se obtiene: p=18 Costo unitario : Cu=13 Costo fijo: CF=30 000

Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio de venta unitario de $.18 y un costo unitario de $.13. Si los costos fijos mensuales son $.30 000, determine el nmero mnimo de jarras que deben

venderse para que la empresa tenga utilidades.

Agrupe los trminos lineales a un lado de la inecuacin y los trminos independientes al otro.

Reducimos los trminos semejantes en el primer lado de la inecuacin.

Para despejar q, multiplicamos a ambos por 1/5.

Una empresa obtiene utilidades, cuando sus Ingresos totales son mayores que sus costos totales. Es decir: I > C

Tenemos que resolver la inecuacin:

18 13 30000

18 13 30000

5 30000

1 1( ) ( )300005 5

6000

q q

q q

q

q

q

Es decir: Para que la empresa obtenga utilidades debe producir y vender como mnimo 6001 jarras de vidrio al mes.

Qu tipo de problemas cotidianos se podran resolver aplicando inecuaciones de primer grado?

Qu dificultades se presentaron en la resolucin de ejercicios?,

Qu he aprendido en esta sesin?

METACOGNICIN

PRACTIQUEMOS:

1. Resolver -4(x+2) + 5 > 5 2x

2. Resolver 4(x - 5) + 3 3 4x + (2 - x)

Ejemplos:

1. Resolver -4(x+2) + 5 > 5 2x -4x -8 +5 > 5 2x -4x -3 > 5 2x -4x + 2x > 5 + 3 -2x > 8 x < -4

-4

C.S. = -, -4

2. Resolver 4(x - 5) + 3 3 4x + (2 - x) 4x 20 + 3 3 4x + 2 x 4x 17 5 5x 4x + 5x 5 + 17 9x 22 x 22/9

22/9

C.S. = [22/9, +

APLICACIONES

Una fabrica de polos produce q prendas con un costo de mano de obra de S/ 0.8 por unidad y un costo de material de S/. 0.6 por unidad. Los costos fijos constantes de la planta son de S/. 3000. Si cada polo se vende a S/. 7.50 Cuntas prendas como mnimo deben venderse para que la compaa tenga utilidades?

CT = 1.4q + 3000

Costo total:

Costo variable

Costo fijo: 3000

Mano de obra: 0.80

Material: 0.60 1.4 q

Precio : 7.50 Ingreso: 7.50 q

I = 7.5 q

Se sabe que: U = I - CT

Se necesita tener utilidades : U > 0

U > 0

7.5 q - (1.4q + 3000) > 0

7.5 q 1.4 q 3000 > 0

6.1 q -3000 > 0

q > 491. 8

La fbrica debe vender como mnimo 492 polos, para obtener utilidades.

RESPUESTA

Resolver las siguientes inecuaciones lineales: 1. 4x + 1 21 2. 3k 1 > 20 3. -4x < 16 4. 5.

3 26 3

5 10x x

3 24 1

2 4

x x

RESOLVER:

Ejemplo 1 Resolver la inecuacin:2( 2) 3( 3)

56

x x

Ejemplo 2. Resolver la inecuacin: 2 1

3( ) ( 3) 23 2

x x x

Ejemplo 3. Dada la inecuacin: 3 5 3 1x x

Ejemplo 4 Resolver la inecuacin: 3 2 3 7 3x x x

Una inecuacin cuadrtica es aquella expresin que se reduce a cualquiera de las cuatro formas siguientes:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c 0

ax2 + bx + c 0

a, b c son nmeros reales y a es diferente

de cero

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Pasos a seguir para resolver una inecuacin de segundo grado: ax2+bx +c > 0 (

Discriminante positivo >

entonces hay dos valores reales diferentes que anula al trinomio , es decir el polinomio es factorizable. Para factorizar se puede utilizar el aspa simple la formula general. Formula general:

Luego se resuelve las desigualdades aplicando el criterio de los puntos crticos.

EJEMPLO

1. Resolver: 22 1 0x x

Solucin:

Solucin:

1. Resolver: 23 5 2 0x x

Solucin:

Discriminante cero =

El polinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Es decir tiene una solucin real doble

EJEMPLO

Sea2( ) 6 9p x x x ,

Discriminante negativo <

no tiene solucin real(no hay puntos de corte con el eje X). Por lo tanto, el signo del trinomio es el mismo que el del coeficiente a.

EJEMPLO

Sea 2( ) 4 2 3P x x x , su 0

APLICACIONES

Un supermercado se encuentra con grandes existencias de carne de res que deben vender rpidamente. El gerente sabe que si la carne se ofrece a p soles por kilo, vender q kilos, con q = 1000 20p. Qu precio mnimo deber fijar con el fin de obtener ingresos de por lo menos S/. 12000?

p: precio

q: cantidad en kilos q = 1000 - 20p

Se necesita que el ingreso sea de por lo menos 12000 I 12000

Se sabe que I = p.q

p(1000 20p) 12000

20p2 1000p + 12000 0

(p - 30)(p - 20) =0

20 30 + - +

Respuesta: Debe fijar un precio de S/. 20 como mnimo por kilo de carne.

Resolver las siguientes inecuaciones cuadrticas: 1. x2 5x + 6 > 0 2. x2 6x + 9 < 0 3. x2 + x +1 0 4. x2 + x -2 < 0 5. x2 + 4x + 4 > 0 6. x2 + x + 3 0

1. Haeussler, Ernest; Richard Paul. Matemtica para

administracin y economa.

2. Miller; Heeren; Hornsby. Matemtica:

Razonamiento y aplicaciones.

Bibliografa