1 1. LA DERIVADA1.2 INCREMENTOS Y TASAS DEFINICIN: Sea X una variable con un primer valor X1 y un segundo valor X2. Entonces elcambioenelvalordeX,queesX2X1,sedenominaincrementodeXysedenota X A . NOTA 1: Usamos la letraA(delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier variable. Es decir:x ADenota el cambio de la variable xp ADenota el cambio de la variable p q ADenota el cambio de la variable q NOTA 2: Sea( ) y f x =una variable que depende dex-Si 1x x =entonces( )1 1y f x = y -Si 2x x =entonces( )2 2y f x =Luego, el incremento de y es:( ) ( )2 12 1 y y yf x f xA = = EJEMPLO 1 El volumen de ventas de gasolina de cierta estacin de servicio depende del precio por litro. Si pes el precio por litro en pesos, se encuentra que el volumen de venta que (en litros por da) est dado por:( ) 500 150 q p = Calcule el incremento en el volumen de ventas que corresponde a un incremento en el precio de $150 a $130 por litro.SOLUCINAqu, p es la variable independiente, q es funcin de q Vemos:Primer valor de p esp1 = 120 Segundo valor de p es p2 = 130 Luego el incremento de p es:2 2 1130 120 10 p p p A = = =Los valores correspondientes de q son los siguientes( )1500 150 120 15000 q = =( )2500 150 130 10000 q = =En consecuencia, el incremento de q est dado por2 1 10000 15000 5000q q q A = = = Observamosqueelvolumendeventasdecreceen5000litrospordasielpreciose incrementa de $120 a $ 130Resolvamoslaecuacin 2 1x x x A = ,para 2x ;tenemos 2 1x x x = + A ,ycomo ( ) ( )2 1y f x f x A = Tenemos:( ) ( )1 1y f x x f x A = +A Dado que 1xpuede ser cualquier valor de x, podemos escribir:( ) ( ) y f x x f x A = + A En forma alternativa, dado que( ) f x y = , podemos escribir ( ) y y f x x + A = + AConsideremos la grfica de la funcin( ) y f x = 1y2yy A--( )2 2, Qx y( ) y f x =( )1 1, Px y1x2xx A3 ( )1 1, Px y y ( )2 2, Qx y estnsobrelagrficade ( ) y f x = .Adems,x A esel incremento horizontal de P a Q yy Aes el incremento vertical de P a Q.NOTA: Vemos en la grfica quex A ,y Ason positivos, pero puede darse los casos que x A ,y Ao ambos sean negativos y any Apuede ser cero.EJEMPLO 2 Dada ( )2f x x = , calculesi1y0, 2 y x x A = A =SOLUCINSustituyendo los valores de x yx Aen la formula dey A , tenemos( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2 1 0, 2 1 1, 2 1 1, 2 1 1, 44 1 0, 44y f x x f xf ff fA = + A = + = = = = Observamos que un cambio de 0,2 en el valor de x da como resultado un cambio en y de 0,44.Realizar la Grfica EJEMPLO 3 Dado( )2f x x = , determiney Acuando1 x =para cualquier incrementox ASOLUCIN( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )2 222 1 1 1 1 1 2 1 2y f x x f xf x fxx xx xA = + A = + A = + A = + A + A = A + A 4 1.3 TASA DE CAMBIODEFINICION:Latasadecambiopromediodeunafuncinfsobreunintervaloxax x + A sedefineporlarazn/ y x A A .Estoes,latasadecambiopromediodeycon respecto a x es: ( ) ( ) f x x f xyx x+ A A =A A Grficamente ( ) ( ) ( ) , , Px f x Qx x + A . Entonces( ) ( ) y f x x f x A = + A Es la elevacin yx Aes el recorrido de P a Q. Pordefinicindelapendiente,decimosque yxAAeslapendientedelsegmentoPQ. As, la tasa de cambio promedio de y con respecto a x est dada por:( ) ( ) f x x f xyx x+ A A =A A Que no es otra cosa que la pendiente de la secante PQ EJEMPLO 4 (COSTO, INGRESO Y UTILIDADES) Unfabricantedeproductosqumicoadviertequeelcostoporsemanadeproducirx toneladas de cierto fertilizante est dado por( ) 20000 40 Cx x = +dlares y el ingreso obtenidoporlaventadeXtoneladasestdadopor( )2100 0, 01 I x x x = .La compaaactualmenteproduce3100toneladasporsemana,peroestconsiderando incrementarlaproduccina3200toneladasporsemana.Calculelosincrementos 0 PQ y Ax A1x x =2x x x = + Axy( ) y f x =2y y y = + Ay A1y y =5 resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad. Determine la tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.SOLUCIONEl primer valor de x = 3100 y el segundo3200 x x +A =Luego ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 23200 310020000 40 3200 20000 40 3100148000 1440004000 3200 3100 100 3200 0, 01 3200 100 3100 0, 01 3100 217600 213900 3700C Cx x CxC CI I x x I xI IA = + A = = + +(( = =A = + A = ((= = = Vemosqueloscostosseincrementanen$4000bajoelincrementodadoenla produccin, mientras que los ingresos se incrementan en $3700 La utilidad, est dada por:( ) ( ) ( )( )22 100 0, 01 20000 40 60 0, 01 20000U x I x Cxx x xx x= = += En consecuencia, el incremento en la utilidad cuando x cambia de 3100 a 3200 es:( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 23200 3100 60 3200 0, 01 3200 20000 60 3100 0, 01 3100 20000 69600 69900 300U U U A = (= = =

Vemos que la utilidad decrece en $300 La tasa de cambio promedio de la utilidad por tonelada extra es:3003100UxA = = A, donde3200 3100 100 x A = =6 As que la utilidad decrece en promedio de $3 por tonelada bajo el incremento dado en la produccin UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA DE ADMINISTRACIN DE EMPRESAS MATEMATICAS II TALLER N 1 I. Determine los incrementos de las siguientes funcionespara los intervalos dados1) ( ) 2 7;3,0, 2 f x x x x = + = A =2) ( )24;1,22xg x x xx= = A = 3)( )25002000 ;2, 11pt t tt= + = A =+ 4)( )2;af x x x x xx= + + AII. Calcule la tasa de cambio promedio de cada funcin en el intervalo dado5)( ) 3 7 ; 2, 0, 5 f x x x x = = A =6)( )29;2, 0, 53xg x x xx= = A = 7) ( ) 4 ; 5, 1, 24 f t t t t = + = A =8)( )3; agt t t t a a h = + = +III. Resuelva cada uno de los siguientes problemas9) Un fabricante descubre que el costo de producir x artculos est dado por3 20.001 0.3 40 1000 C x x x = + +Determine el incremento en el costo cuando el nmero de unidades se incrementa de 50a60.Calculeelcostopromedioporunidadadicionaldeincrementoenla produccin de 50 a 60 unidades.10)Conrespectoalafuncin decostodelejercicio18,calculeelcosto promediopor unidad adicional en incremento de la produccin de 90 a 100 unidades7 11) Cuando el precio de cierto artculo esigual a p , el nmero de artculos que pueden venderse por semana (esto es, la demanda) est dado por la formula 10001xp=+ Determine el incremento de la demanda cuando el precio se incrementa de $1 a 2.25 12) En el caso de la funcin de demanda del ejercicio 11, determine el incremento en elingresobrutocuandoelpreciodelartculoseincrementade$4a$6.25. (Observacin:ingreso=xp).Calculeelincrementopromedioenelingresototalpor dlar de incremento en el precio que ocurre con este incremento en p.13)Duranteelperiodode1950a1970elproductonacionalbrutodeciertopasse encontrabadadoporlaformula 25 0.1 0.01 I x = + + enmilesdemillonesdedlares. (Aqu la variable xse usa para medir aos, con x = 0 correspondiente a 1950 y x = 20 a 1970). Determine el crecimiento promedio del PNB por ao entre 1955 y 1960. 8 INTERPRETACIN GEOMETRICA DE LA DERIVADAR SiPYQ son los dos puntos( ) ( ), x f xy( ) ( ), x x f x x + A + Asobre la grafica de( ) y f x = , entonces, la razn( ) ( ) f x x f xyx x+ A A =A A Representa la pendiente del segmento rectilneoPQ. A medida quex Ase hace ms y ms pequeo, el puntoQ Se aproxima cada vez ms aP y el segmento secantePQ est cada vez ms cerca de ser tangente. Cuando0 x A , la pendiente de la secantePQ se aproxima a la pendiente de la lnea tangente enP . As que 0limxy dyx dxA A =A Representa la pendiente de la lnea tangente a( ) y f x =en el punto( ) ( ), Px f x . EJEMPLO Calcular la pendiente de la tangente y la ecuacin de la lnea tangente a la curvay x =en el punto( ) 4, 2 . Solucin Tenemos que: y x =y y x x x + A = + A As que y x x xx xA + A =A A Multiplicando tanto al numerador como al denominador porx x x + A + , tenemos: PQ y Ax A1x x = xy( ) y f x =2y y y = + Ay A1y y =2x x x = + A9 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )2 2 1 x x x x x xyxx x x xx x xx x x xx x xx x xx x x x+ A + A +A =AA + A ++ A =A + A ++ A = =+ A +A + A + En consecuencia 0 01lim lim1

1

2x xdy ydx x x x xx xxA A A= =A + A +=+= Vemos que ( )12f xx= . Cuando4 x =( )1 1 44 2 4f = = .Por tanto, la pendiente de la tangente ay x =cuando4 x =es 14. Por otro lado, la ecuacin de la lnea tangente, usamos la frmula punto-pendiente ( )1 1y y mx x = con pendiente 14m =y( ) ( )1 1, 4, 2 x y = . Obtenemos ( )12 44114y xy x = = + Que es la ecuacin requerida. EJEMPLOCalcule/ dy dxpara la ecuacin cubica 3 2y Ax Bx Cx D = + + +En donde A, B, C y D son cuatro constantes. SolucinReemplazando x por x x + A , encontramos que ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 23 2 2 3 3 2y y Ax x Bx x Cx x DAx x x x x x B x x x x Cx x D+ A = + A + + A + + A + ((= + A + A + A + + A + A + + A + Si ahora restamos la expresin dada de y, llegamos a que 10 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 23 2 23 22 3 22 3 3 2

3 3 2y y y yAx x x x x x B x x x xCx x D Ax Bx Cx DA x x x x x B x x x C xA = + A ((= + A + A + A + + A + A + + A + + + + ((= A + A + A + A + A + A Por consiguiente,( ) ( )223 3 2yA x x x x B x x CxA (= + A + A + + A + A Haciendo quex A tienda a cero, observamos que los tres trminos de la derecha que incluyen ax A como factor tendern a cero en el lmite. Los trminos restantes dan el resultado siguiente. 20lim 3 2xdy yAx Bx Cdx xA A= = + +A (1) A partir del resultado de este ejemplo, es posible obtener de nuevo algunos de los resultados de los ejemplos anteriores. Por ejemplo, si hacemos0, 2, 3 y1 A B C D = = = = , la funcin cbica del ejemplo se convierte en 3 2 20 2 3 1 2 3 1 y x x x x x = + + + = + + .De la ecuacin (1), tenemos:( ) ( )2 23 2 3 0 2 2 3 4 3dyAx Bx C x x xdx = + + = + += + EJERCICIOS Calcule las derivadas de las funciones siguientes con respecto a las variables independientes segn el caso.1.( ) 2 5 f x x = 2.( ) 2 5 f x x = 3.( )2f x x =4.( )21 f u u u = ++5.( )27 3 hx x = 6.( )11g xx=+ 7. ( ) ( )2( ); b 1 / a x y x y y = = +8. Calcule/ dy dx : si (a)( )23 2 ;b 3 7 y x y x = = +9. Encuentre/ dx dy si:( ) ( ) ( )2;1 / a x y b x y y = = +10. Determine( ) ( ) ' 2 5 2 f si f x x =11. Encuentre( ) ( )2' 3 3 F si Ft t t = 12. Calcule( ) ( )2' 0si7 h h y y y = +Determine la pendiente de la tangente a las grficas de las funciones siguientes en los puntos indicados. Encuentre la ecuacin de la lnea tangente en cada caso.13. 23 4en 2 y x x = =11 14. ( )1en 3 f x xx= =15. 1 en 1xy xx+= =16. ( )1en 21xf x xx+= = 17. El volumen de las ventas de un disco fonogrfico particular est dado como una funcin del tiempotpor la frmula ( )210000 2000 200 St t t = + En dondetse mide en semanas y S es el nmero de discos vendidos por semana. Determine la tasa en que S cambia cuando:a)0 t =b)4 t =c)8 t =18. Durante una reaccin qumica en la cual una sustancia A se descompone, la masa (en granos) de A restante en un tiempo detest dada por( )219 34mt t t = + . Encuentre( ) ' m te intrprete esta cantidad. Evale( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ' 0 , 6y' 6 m m m m . 12 DERIVADASDE FUNCIONES ELEVADAS A UNA POTENCIA TEOREMA 1 a) La derivada de una funcin constante es cero b) Siy x = , entonces1dydx =c) Si 2y x = , entonces2dyxdx =d) Si 3y x = , entonces 23dyxdx = EJERCICIO Demostrar el teorema anterior EJEMPLO Hallar la derivada de las siguientes funciones a)6 y =b) 34y =SOLUCIN a) ( ) 60ddx=b) ( )340ddx= TEOREMA 2 Si ny x = , entonces 1 ndynxdx=(FMULA DE LA POTENCIA) EJERCICIO Demostrar el teorema 2 EJEMPLO ( ) ( )( )( )( )( )() ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )7 7 1 63 3 112 2 2321 112 22 2 1 32 31 1 1 0 02 2 17 73 3 2 21 1 1 2 21 22 21 1porque12da x x xdxdb y y ydyd dc t tdt dt td dd u u udu u du ud de x x x x xdx dxdf x xdx = == =| | = = = |\ .| | = = = = |\ .= = = = == 13 TEOREMA 3 Si( ) u xes una funcin diferenciable dexyces una constante, entonces ( ) d cuducdx dx=Esto es, la derivada del producto de una constante y una funcin dexes igual al producto de la constante y la derivada de la funcin. EJEMPLOS a) ( ) ( )( )1 1n nn nd cx d xc c nx ncxdx dx = = =b) ( ) ( ) ( )1 1 224 44 4 4 1.d d dt t tdx t dx dx t | | = = = = |\ . c) ( )( ) ( )1 1 1 12 2 2 212 2 2 2.2d d du u u u udx dx dx = = = = TEOREMA 4 Si( ) u xy( ) v xson dos funciones diferenciables dex , entonces ( )d du dvu vdx dx dx+ = +En otras palabras, la derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones. EJEMPLO Calcule dydx si 2y x x = +SOLUCIN ( )( )122121 22dy d dx xdx dx dxx x= += + NOTA Este teorema puede extenderse de inmediato a la suma de cualquier nmero de funciones y tambin a diferencias entre funciones, es decir: ( )( )d du dvu vdx dx dxd du dv dwu v wdx dx dx dx = + = + Etctera. EJEMPLO Determine la derivada de 4 33 5 7 2 y x x x = + +SOLUCIN 14 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )4 34 33 2 03 23 5 7 2 3 5 7 2 3 4 5 3 7 1. 0 12 15 7dy dx x xdx dxd d d dx x xdx dx dx dxx x xx x= + += + += + += + Porque 01 x = UNIVERSIDAD DE CARTAGENA PROGRAMA DE ADMINISTRACIN DE EMPRESAS TALLER N 2 I. Derive las siguientes expresiones a) 3 32 2 y yy y| | | | + + ||\ . \ .b) ( ) ( )2 221 1 x xx+ + c) 771 77 7 x xx x+ + + + d) 3322 xx+II. Determine la ecuacin de la lnea tangente a la grafica de las funciones siguientes en los puntos indicados. a)( ) ( )23 4en1, 2 f x x x = + b)( ) ( )221en1, 2 f x xx= + c)( )2en2 f x xx= = d)( )331en1 f x x xx= =III. Encuentre todos los puntos en la grfica de 23 7 y x x = +donde la recta es paralela a la recta4 0 x y + = . IV. Encuentre todos los puntos en la grfica de( )35 2 f x x x = +donde la recta tangente es perpendicular a la recta7 4 0 x y + + = . 15 ANALISIS MARGINAL INTRODUCCIN La derivada tiene varias aplicaciones en la administracin y la economa en la construccin en lo que denominamos tasas marginales. COSTO MARGINAL Es el valor lmite del costo promedio por artculo extra cuando este nmero de artculo extra tiende a cero. As, podemos pensar del costo marginal como el costo promedio por artculo extra cuando se efecta un cambio muy pequeo en la cantidad producida. Esto es: cos argc dcto m inalx dxA= =A EJEMPLO Suponga que el fabricante de cierto artculo descubre que a fin de producirxde estos artculos a la semana, el costo total en dlares est dado por( )2200 0.03 c x x = +Si el fabricante considera cambiar la tasa de produccin de( ) 100100 a x + Aunidades por semana, en dondex Arepresenta el incremento en la produccin semanal. El costo es: ( )( )( )222200 0.03 100200 0.03 10000 200500 6 0.03c c xx xx x+ A = + + A (= + + A + A = + A + A Por lo que el incremento en el costo est dado por ( )( )( )2222 500 6 0.03 200 0.03 300 6 0.03 0.03c c c cx x xx x xA = + A = + A + A = + A + A En consecuencia, el costo promedio por artculo de las unidades extras es( )2300 0.036 0.03c xxx x xA = + + A A A A Determine el costo promedio por artculo cuando la produccin se pasa de 100 a 150 por semana. Observamos que50 x A = , con lo cual ( )( )20.03 1003006 0.03 5050 506 6 1.5 6 7.5cxA = + + A= ++ = Conclusin: El costo promedio de los 50 artculos adicionales es de $7.5 por cada uno. EJEMPLO En el caso de la funcin de costo( )3 20.001 0.3 40 1000 c x x x x = + + , determine el costo marginal como una funcin dex . Evale el costo marginal cuando la produccin est dada por a)50 x = b)100 x =c)150 x = 16 SOLUCIN ( ) ( )( ) ( ) ( )3 222' 0.001 0.3 40 1000 0.001 3 0.3 2 40 1 0 0.003 0.6 40dc x x x xdxx xx x= + += + += + Luego a) Si50 x = , el costo marginal es ( ) ( )( ) ( )( )2' 50 0.003 50 0.6 50 407.5 30 40 17.5c = += + = b) Si100 x = , el costo marginal es( ) ( )( ) ( )( )2' 0.003 100 0.6 100 40 30 60 40 10c x = += + = c) Si150 x = , el costo marginal est dada por ( ) ( )( ) ( )( )2' 150 0.003 150 0.6 150 4067.5 90 40 17.5c = += + = Conclusin: El costo de producir el artculo 51 es de $17.5, el artculo 101 tiene un costo de $10 y el artculo 151 cuesta $17.5. Observamos que el costo marginal decrece a medida que la produccin se incremente de 50 a 100 unidades y luego se incrementa de nuevo cuando la produccin aumenta de 100 a 150. Este tipo de comportamiento es bastante frecuente en el costo marginal. COSTO PROMEDIO El costo promedio de producirxartculos se definecomo el costo total( ) c x , dividido entre el nmero de artculos producidos. ( )cosc xto promediox= NOTA El costo promedio se denota por ( ) c x . EJEMPLO En el caso de la funcin de costo( )21000 10 0.1 Cx x x = + + , el costo marginal es ( ) ' 10 0.2 C x x = + . El costo promedio de producirxartculos es( )( ) 100010 0.1CxCx xx x= = + + Estas dos funciones son bastante distintas. 17 INGRESO Y UTILIDAD MARGINALES INGRESO MARGINAL Si ( ) I xdenota el ingreso en pesos por la venta dexartculos, definimos el ingreso marginal como la derivada ( ) ' I x . ( )0arg ' limxIingreso m inal I xxA A= =A El ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artculo adicional vendido, cuando ocurre un incremento muy pequeo en el nmero de artculos vendidos. Esto es, la tasa con la que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. EJEMPLO Si la funcin de ingreso est dada por ( )210 0.01 Rx x x = en dondexes el nmero de artculos vendidos, determine el ingreso marginal. Evale el ingreso marginal cuando200 x = .Necesitamos evaluar( ) ' R x . Dado que( ) Rxes una combinacin de potencias dex , podemos usar la frmula para las potencias, obteniendo el resultado.( ) ( )( ) ( )( )2' 10 0.0110 1 0.01 2 10 0.02dI x x xdxx x= = = Esto nos da el ingreso marginal cuando se vende un nmero arbitrario x de artculos. Si 200 x = , obtenemos un ingreso marginal de( ) ( )( ) ' 200 10 0.02 200 10 4 6 I = = =As que, cuando se venden 200 artculos, cualquier incremento pequeo en las ventas provoca un aumento en los ingresos de $6 por artculo. La funcin de ingreso puede escribirse en la forma( ) I x xp =En donde p es el precio por artculo y x es el nmero de artculos vendidos. Mientras ms artculos pueda vender la empresa, ms bajo puede fijar el precio, entre ms alto se fije el precio, en general, menor ser el volumen de las ventas. EJEMPLODetermine el ingreso marginal cuando300 x =si la ecuacin de demanda es 1000 100 x p = Solucin En primer trmino debemos escribir la ecuacin de demanda en tal forma que expresamos a p como una funcin de x. 100 100010 0.01p xp x= = As la funcin de ingreso est dada por: ( ) ( )210 0.01 10 0.01I x xp x xx x= = = Observemos que esta funcin de ingreso es la misma que la del ejemplo anterior, de modo que podemos usar el resultado del ingreso marginal: ( ) ' 10 0.02 I x x = 18 Cuando el volumen de ventas es 300, el ingreso marginal est dado por ( ) ( )( ) ' 300 10 0.02 300 10 6 4 I = = =La utilidad de que una empresa obtiene est dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la funcin de ingreso es ( ) I x cuando se venden x artculos y si la funcin de costo es ( ) Cxal producirse esos mismos artculos, entonces la utilidadobtenida por producir y vender x artculos est dada por( ) ( ) ( ) Ux I x Cx = . La derivada ( ) ' U xse denomina Utilidad Marginal. Representa la utilidad adicional por artculo si la produccin sufre un pequeo incremento. EJEMPLO La ecuacin de demanda de cierto artculo es 0.1 80 p x + =y la funcin de costo es ( ) 5000 20 c x x = + . Calcule la utilidad marginal cuando se producen y venden 150 unidades y 400 unidades. SOLUCIN La funcin de ingreso est dada por( ) ( )280 0.180 0.1I x xp x xx x= = = Luego la utilidad generada por la produccin y venta dexartculos est dada por( ) ( ) ( )( ) ( )22 80 0.1 5000 20 60 0.1 5000U x I x Cxx x xx x= = += La utilidad marginal, est dada por ( ) ( )2' 60 0.1 500060 0.2dU x x xdxx= = Si150 x =( ) ( )( ) ' 60 0.2 150 30 U x = =Cuando se producen 150 artculos, la utilidad extra por artculo por artculo adicional cuando la produccin se incrementa en una pequea cantidad es $30. Si400 x =( ) ( )( ) ' 400 60 0.2 400 20 U = = Si se producen 400 unidades, un pequeo incremento en la produccin da como resultado una prdida de $20 por unidad adicional. EJERCICIOS 1. Calcule el costo marginal de las funciones de costo siguientes. a)( ) ( )6 3 3 210 3x10 36 2000 c x x x x = + + b)( )3 20.0001 0.9 20 1200 c x x x x = + +2. Calcule el ingreso marginal de las funciones de ingreso siguientes. a)( )525 0.01 I x x x = b)( ) ( )( )3100 log5 1 I x x x = +3. Si la ecuacin de demanda es4 100 x p + = , calcule el ingreso marginal. 19 4. Si la ecuacin de demanda es10 x p + = , calcule el ingreso marginal.