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Instituto Tecnologico Autonomo deMexico

Cuaderno de Ejercicios de Matematicas I

Departamento Academico de Matematicas

Mexico Octubre 2020

Prefacio

Las matematicas son un parte integral de la formacion academica de losestudiantes de Administracion, Economıa y Ciencias Sociales. Cada vez seaprecia mas la necesidad de mejorar el nivel de las tecnicas cuantitativas, asıcomo de que los estudiantes de estas disciplinas sean capaces de plantear,resolver e interpretar los problemas con los que se enfrentan.

Dos objetivos de este cuaderno son: (1) reunir una serie de ejerciciosque exhiban la utilidad de la derivada y la integral con un enfasis a susaplicaciones en la ciencias sociales, (2) servir como apoyo para el curso deMatematicas I (MAT-11100) del ITAM.

Este cuaderno consta de cuatro capıtulos de ejercicios y cuatro apendices.El primero (A) contiene las soluciones de los ejercicios propuestos, el segundo(B) es un repaso de los conceptos basicos necesarios para el curso, el tercerapendice (C) es un resumen de las manera de manejar lımites, mientras que elapendice (D) contiene ejercicios adicionales sobre funciones trigonometricas,apliaciones financieras de la integral definida, y el uso tablas de integrales,temas que antes eran parte integral del temario pero por tiempo se han dejadocomo optativos.

Nos hemos basado en una version anterior compilada por el Dr. GuillermoGrabinsky. Agradezco las sugerencias y correcciones recibidas de los colegasque imparten el curso, en especial de la Profesora Lysette Felix Felix, quepropuso varios ejercicios adicionales y el apoyo editorial de Naomi YanitAlvarez Garcıa.

Edgar Possani Espinosa

Coordinador del Curso de Matematicas I

Ciudad de Mexico, Octubre 2020.

Indice general

1. LA DERIVADA 7

1.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. La derivada (Reglas de diferenciacion.Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5. La derivada como razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Analisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . 27

2. OPTIMIZACION Y BOSQUEJO DE GRAFICAS 33

2.1. Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Concavidad y puntos de inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4. Graficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Aplicaciones de maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6. Analisis incremental. Aproximacion por diferenciales. . . . . . 46

2.7. Aproximacion de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.8. Diferenciacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.9. Diferenciacion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.10. Elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. INTEGRACION 59

3.1. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2. Aplicaciones de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.4. Metodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3

4 INDICE GENERAL

4. LA INTEGRAL DEFINIDA 694.1. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2. Area bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3. Area entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4. Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 714.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A. SOLUCIONES 77A.1. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.1.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77A.1.2. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79A.1.3. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82A.1.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . 85A.1.5. La derivada como razon de cambio . . . . . . . . . . . 87A.1.6. Analisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logarıtmicas . . 90

A.2. Optimizacion y bosquejo de graficas . . . . . . . . . . . . . . 93A.2.1. Limites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.2.2. Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . 93A.2.3. Concavidad y puntos de inflexion. . . . . . . . . . . . . 93A.2.4. Graficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2.5. Aplicaciones de maximos y mınimos . . . . . . . . . . . 123A.2.6. Analisis incremental. Aproximacion por diferenciales. . 126A.2.7. Aproximacion de segundo orden . . . . . . . . . . . . 127A.2.8. Diferenciacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.2.9. Diferenciacion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . 128A.2.10.Elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . 129

A.3. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.3.1. Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130A.3.2. Aplicaciones de la integral indefinida . . . . . . . . . . 131A.3.3. Metodo de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132A.3.4. Metodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . 133

A.4. La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.1. Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.2. Area bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135A.4.3. Area entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136A.4.4. Aplicaciones de la integral definida . . . . . . . . . . . 136A.4.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

INDICE GENERAL 5

B. Propiedades Basicas 139B.1. Algunas propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.2. Algunas propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141B.3. Exponentes y radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142B.4. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143B.5. Productos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

C. Manejo de Lımites 145C.1. Asıntontas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145C.2. Reglas del recıproco de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . 145C.3. Limites de cocientes de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 146C.4. Lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

D. Temas Adicionales 147D.1. Lımites, derivadas e integrales de

funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147D.2. Aplicaciones financieras de la integral definida . . . . . . . . . 150D.3. Integracion usando tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151D.4. Soluciones de los ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . 152

D.4.1. Lımites y derivadas de funcionestrigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

D.4.2. Aplicaciones financieras de la integral definida . . . . . 154D.4.3. Integracion usando tablas . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

LA DERIVADA

1.1. Incrementos y tasas

1. Determine los incrementos de las funciones siguientes ası como la tasade cambio promedio para los intervalos dados:

a) f(x) = 2x+ 7; x = 3; ∆x = 0.2

b) f(x) = 2x2 + 3x− 5; x = 2 ; ∆x = 0.5

c) g(x) = x2−4x−2

; x = 1; ∆x = 0.5

d) f(x) = 3− 7x; x = 2; ∆x = 0.3

e) f(x) = 3x2 − 5x+ 1; x = 3 ; ∆x = 0.5

f ) f(x) = x2−9x−3

; x = 1; ∆x = 0.2

g) f(x) = 5x+ 3; x = 3 ; ∆x = −0.25

h) g(x) = x2 + 5; x = −1; ∆x = −0.3

2. (Crecimiento y variacion de la poblacion) La poblacion de cierta ciudaden el tiempo t (medido en anos) esta dada por:p(t) = 10000 + 1000t − 120t2 personas. Determine la tasa de creci-miento promedio entre cada pareja de tiempos

a) t = 3 y t = 7 anos.

b) t = 2 y t = 4 anos.

c) t y t+ ∆t anos.

7

8 CAPITULO 1. LA DERIVADA

3. (Funcion de costo) Despues de consultar a un matematico, un fabricantesabe que el costo de producir x artıculos puede simularse por:

C(x) = 0.001x3 − 0.3x2 + 40x+ 1000 dolares

a) Determine el incremento en el costo cuando el numero de unidadesproducidas se incrementa de 30 a 70.

b) Calcule el incremento promedio en el costo, por unidad adicionalproducida, si la produccion se incrementa de 40 a 70 unidades.

c) Calcule el incremento promedio en el costo, por unidad adicionalproducida, si la produccion se incrementa de 70 a 90 unidades.

4. Sea C(x) = mx+ b con m > 0 y b > 0 una funcion de costo lineal.Verifique que el incremento en el costo C(x) por unidad adicional essiempre el mismo, independientemente de los niveles de produccion.Ilustre graficamente.

5. (Relacion de demanda e ingreso) Cuando el precio de cierto artıculoes igual a p (dolares), el numero de artıculos que pueden venderse porsemana (demanda) esta dado por la formula

x =1000√p+ 1

a) Determine el incremento de la demanda cuando el precio se incre-menta de $4 a $9.

b) Determine el incremento en el ingreso cuando el precio del artıculose incrementa de $1 a $4.

c) Calcule el incremento promedio del ingreso total por unidad deincremento en el precio cuando este se incrementa de $1 a $9.

6. (Crecimiento del PNB) Durante el perıodo de 1990 a 2010, el productonacional bruto de cierto paıs se encontraba dado por la formula

PNB = 5 + 0.1x2

en miles de millones de dolares (x en anos y x = 0 corresponde al ano1990). Determine el crecimiento promedio del PNB por ano entre 2000y 2005.

1.1. INCREMENTOS Y TASAS 9

7. El costo de producir x unidades de cierto artıculo esta dado por lafuncion: C(x) = 10x + 420 dolares y el ingreso obtenido por la ventade x unidades esta dada por: I(x) = 1000x − x2 dolares. Se estanproduciendo 200 unidades y se desea incrementar la produccion a 210unidades.

a) Calcule los incrementos correspondientes en el costo, el ingreso yla utilidad.

b) Determine el cambio promedio del costo, ingreso y utilidad porlas unidades adicionales producidas y vendidas.

8. (Televidentes) Despues de consultar a un matematico, una nueva em-presa de television por cable pudo simular la proporcion de familias queutilizaban su servicio t anos despues por medio de la formula:

p = 1− e−0.1t

Determine el crecimiento de p entre t = 1 y t = 2 y la tasa de cambiopromedio de p por ano.

9. (Crecimiento de la poblacion) La poblacion de cierta comunidad comofuncion del tiempo t en anos se encuentra que esta dada por la formula:

P (t) =20000

1 + 6(e)−0.1tpersonas

Calcule el incremento de la poblacion y entre t = 20 y t = 30 y elincremento de la poblacion por ano durante este perıodo.

10. (Funcion de ingreso) El ingreso semanal total R (revenue) obtenido porla venta de x unidades de cierto artıculo esta dado por:

R = f(x) = 500x− 2x2 dolares

Determine la tasa de cambio promedio en el ingreso por unidad extracuando el numero de unidades vendidas por semana se incrementa de120 a 150.

11. La relacion de demanda de cierto producto es de: 2x +√p = 100,

donde p es el precio por unidad en dolares y x el numero de unidades.La funcion de costo esta dada por: C(x) = 4x3 + e15−x Determineel incremento promedio en la utilidad si las unidades producidas yvendidas aumentan de 5 a 10 unidades. Interprete.


1.2. Lımites y continuidad

1. Evalue los siguientes lımites:

a) lımx→2

(3x2 + 7x− 1).

b) lımx→−1

(2x2 + 3x− 1).

c) lımx→−2

x2+4x+4x2−4

.

d) lımx→9

√x−3

x2−81.

e) lımx→2

x2+x−6x2−4

.

f ) lımx→1

√2−x−1

2−√x+3

.

g) lımx→5

√3x−6−3x−5

.

h) lımt→0

t3−√t+9.

i) lımx→0

(x+4)−1−4−1

x .

j ) lımw→1

1w+1− 1

2

w−1.

k) lımt→1

(t−1)2

(1−t)(2−2t2).

l) lımx→−3

x2+6x+99−x2 .

m) lımx→6

x2−8x+12x2−6x

.

n) lımx→0

x1− 3√2x+1

.

n) lımx→−2

x3−4x3−√x+11

.

o) lımx→2

x3+1x−3

.

p) lımt→2

2−t3−√

13−t2 .

q) lımt→0

( 1t√

1+t− 1

t).

r) lımx→−7

x+2x2−49

.

s) lımx→3

9−x2x−√x+6

.

1.2. LIMITES Y CONTINUIDAD 11

t) lımt→1

2t−√

3t+1t2+5t−6

.

u) lımx→−3

x+3√x2−5−2

.

2. Calcule los siguientes lımites (sugerencia: si alguna expresion no esfactorizable, aplique division de polinomios)

a) lımx→2

x4+x3−24x2−4

.

b) lımx→2

x3+x−10√2x−2

.

c) lımx→3

x4−15x−36x2−9

.

d) lımx→1

x3+x−2x2+2x−3

.

3. Determine los siguientes lımites unilaterales:

a) lımx→3−

| 2x3−2|

x−3.

b) lımx→3−

x2−2x−3|x−3| .

c) lımx→9+

√x−3√x−9

.

d) lımt→0+

|t|−|−t|t

.

e) lımx→−2−

|x+2|x+2

.

f ) lımx→1−

1−x2|x−1| .

g) lımx→3−

|x2−4x+3|x2−9

.

h) lımt→5+

3−√

2t−1|5−t| .

i) lımx→4+

|4−x|√x−2

.

j ) lımx→1−

√x−1|x3−1| .

k) lımx→2−

13− 1

x+1

|x−2| .

l) lımx→4+

4−√

5x−4|4−x| .


4. Calcule el lımite de f(x) en c, e indique si existe o no. Si existe, evaluef(c) y compare con ese lımite.

a) f(x) =

{x2 − 3 si x ≥ −1x2−1x+1

si x < −1c = −1.

b) f(x) =

{x2 + 1 si x ≤ 3x+ 4 si x > 3

c = 3.

c) f(x) =

{−12 si x = 2x3−8x−2

si x 6= 2c = 2.

d) f(x) =

{5 si x = 0| x | si x 6= 0

c = 0.

5. Calcule el valor de la constante k de tal modo que lım f(x) exista

f(x) =

{k + 2x si x ≥ 9x−9√x−3

si x < 9

6. Para cada uno de los siguientes incisos, determine si f(x) es continuao no, en el valor x = c. Justifique sus respuestas.

a) f(x) =

{3x− 4 x 6= 25 x = 2

; c = 2

b) f(x) =

{x2 − 3x+ 1 x < 1−1 x ≥ 1

; c = 1

c) f(x) =

{x2−9x+3

x < −3

2x x ≥ −3; c = −3

d) f(x) =

{x−2|3− 3

2x| si x > 2

−23

si x ≤ 2; c = 2

7. Encuentre el valor de h de modo que la siguiente funcion:

f(x) =

{hx+ 3 x ≥ 13− hx x < 1

sea continua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

1.2. LIMITES Y CONTINUIDAD 13

8. Determine el valor de A y de B para que la funcion:

f(x) =

Ax2 + 5x− 9 x < 1B x = 1(3− x)(A− 2x) x > 1

sea continua en todo su dominio. Pruebe las tres condiciones de conti-nuidad.

9. Obtenga el valor de la constante c que hace que la siguiente funcion:

f(x) =

{c x = 13√x−11−x x 6= 1

sea continua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

10. Determine el valor de la constante A, para que la funcion f(x) seacontinua en x = 1. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

f(x) =

{A(x− 1) x < 1Ax2 + 2Ax+ 1 x ≥ 1

11. Determine el valor de a y b para que la funcion f(x) sea continua enx = 1 y x = 2. Pruebe las tres condiciones de continuidad.

f(x) =

ax− 1 si x ≤ 13− ax2 si 1 < x ≤ 2x2 − bx+ 3 si x > 2


f(x) =

x2−2xx2−4

si x < 2

ax+ b si 2 ≤ x ≤ 3√3x− 1 si x > 3


f(x) =

x+ 1 si x < 1ax+ b si 1 ≤ x < 23x si 2 ≤ x


14. Determine el valor de A para f(x) sea continua en x = 1. Pruebe lastres condiciones de continuidad.

f(x) =

{ √x−1x−1

si x < 1

Ax2 + 3 si x ≥ 1

15. En cada uno de los siguientes ejercicios, determine si la funcion f(x)es continua en el valor x = c. En caso de ser discontinua, indique si esposible remover la discontinuidad.

a) f(x) = 3x−2

en c = 2

b) g(x) = x3−1x−1

en c = 1

c) h(x) =√x−1

x2+4x−5en c = 1

d) l(x) = x−1x+3

en c = −3

16. Pruebe que para ningun valor de A es posible definir f(1) de tal modoque la funcion dada por:

f(x) =

{A(x− 1)− 3 si x < 1A2x+ 2Ax+ 1 si x > 1

pueda ser extendida continuamente en x = 1. Explique porque.

17. Pruebe que para ningun valor de a, la funcion f(x) puede ser continuaen x = 1.

f(x) =

{ax2 + 1 si x < 1− 1ax

si x > 1

18. (Tarifa Postal) Enviar una carta de primera clase tiene un costo de $10por cada gramo o fraccion menor. Analice la continuidad de la funcionde costo f(x) que resulta de enviar una carta que pesa x gramos si0 ≤ x ≤ 8.

19. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) Una funcion no es continua en c solo si f(c) no esta definida.

b) Una funcion es continua en c siempre y cuando lımx→c

f(x) exista.

c) Si f es continua en c, entonces la grafica de f no presenta unarotura en (c, f(c)).

1.3. LA DERIVADA (REGLAS DE DIFERENCIACION.REGLA DE LA CADENA)15

1.3. La derivada (Reglas de diferenciacion.

Regla de la cadena)

1. Evalue

lımh→o

f(a+h)− f(a)

h

para las funciones f(x) y los valores dados a continuacion:

a) f(x) = 3x− 7 ; a = 1.

b) f(x) = x2 − 1 ; a = 0.

c) f(x) = 2x2 + 5x+ 1 ; a = x.

d) f(x) = 3x2 − 5x+ 7 ; a = 2.

e) f(x) = x2 + x+ 1 ; a = t.

f ) f(x) = 1x

; a = x.

2. Recuerde la definicion de la derivada:

f ′(x) = lım∆x→o

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x(1.1)

a) Calcule la derivada de f(x) =√x con x > 0

b) Determine el valor de la pendiente de la tangente en el puntoP = (4, 2).

c) Determine la ecuacion de la recta tangente a la funcion en el pun-to P .

3. Aplicando la definicion de la derivada (ecuacion (1.1))

a) Calcule la derivada de f(x) = 1x2

con x 6= 0

b) Determine el valor de la pendiente de la tangente en el puntoQ = (1, 1)

c) Determine la ecuacion de la recta tangente a la funcion en el pun-to Q.

4. Aplicando la definicion de la derivada. (ecuacion (1.1)). Calcule f ′(−3)si f(x) = 1

x


5. Aplicando la definicion de la derivada. (ecuacion (1.1)). Calcule f ′(c)si: f(x) =

√x− 1 y c = 10 .

6. Aplique la regla correspondiente para calcular las siguientes derivadasde las funciones con respecto a la variable independiente segun el casoy simplifique lo mas posible.

a) g(x) = 2x3 − 5x2 + 3x− 7.

b) h(u) = 21−u .

c) f(t) = 12t+3

.

d) y = 4 + 2x3 + 3x−1.

e) y =√x− 3x.

f ) y = 83√x + x7.

g) f(x) = 2x3(x2 − 2).

h) f(x) = (x− 3)(2x2 − 1).

i) f(x) = 2x+3x−2

.

j ) f(x) = x2+12x−3

.

k) f(x) = 3x+5x2−3

.

l) f(x) = 9x1/3(x3 + 5).

m) f(x) = 2√x

x2−3x+1.

n) f(x) = 2x−1(x3+2)(x2−3)

.

n) f(x) =√x−1√x+1

.

7. Calcule: (Sugerencia: simplificar cada expresion antes de derivar)

a) ddx

(x4−3x2+5x2

).

b)dydx

para y =√x−6√x3.

c) y′ para y = 2x5−4x3+2xx3

.

d) f ′(x) para f(x) =3√x+33√x2

.


8. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas S de cierta tabletaesta dado como una funcion del tiempo t por la formula

S(t) = 1000 + 200t− 20t2 dolares.

en donde t se mide en semanas. Determine la tasa en que S cambiacuando

a) t = 0.

b) t = 2.

c) t = 5.

d) Compare los resultados en a), b) y c) con las correspondientestasas de crecimiento promedio si ∆t = 0.01

9. (Crecimiento de la poblacion) Cierta poblacion crece de acuerdo conla formula p(t) = 30000 + 60t2 personas en donde t se mide en anos.Calcule la tasa de crecimiento cuando

a) t = 0.

b) t = 1.

c) t = 7.

d) Compare los resultados de los incisos a), b) y c) con las correspon-dientes tasas de crecimiento promedio si ∆t = 0.01

10. (Crecimiento de la poblacion) Se estima que dentro de x meses la po-blacion de cierta comunidad sera: P (x) = x2 + 20x+ 8000 personas.

a) ¿A que ritmo cambiara la poblacion dentro de 15 meses?

b) ¿Cuanto cambiara realmente la poblacion durante el decimosextomes?


11. (Funcion de precio-demanda) De acuerdo a una teorıa economica, lademanda d(p) de un producto en un mercado libre disminuye al au-mentar el precio p en dolares. Suponga que el numero de audifonosinalambricos d(p) que los consumidores compraran por semana en unacierta ciudad al precio p esta dado por

d(p) =50000

p2 + 10p+ 25

con 5 ≤ p ≤ 15.

a) Encuentre la razon de cambio d′(p), de la demanda con respectoal cambio en el precio.

b) Calcule d′(5) y d′(10). Interprete.

12. Si y = f(u) es una funcion derivable de u y u = g(x) es, a su vez, unafuncion derivable de x, entonces la funcion compuesta y = f(g(x)) esuna funcion derivable de x cuya derivada esta dada por el producto

dy

dx=dy

du

du

dx

o bien, de forma equivalente, por

dy

dx= f ′(g(x))g′(x)

notemos que esto tambien se puede calcular realizando la composiciony luego derivando.

d(f(g(x)))

dx=d((fog)(x))

dx= (fog)′(x)

Para cada uno de los siguientes incisos aplica la regla de la cadena ycomprueba calculando la derivada de la composicion:

a) Sea y = u5 y u = x2 + 1 determine dydx

b) Sea y = 2u3 − 3u− 2 y u(x) = x2 + 4 determine dydx

c) Sea y =√w y w(t) = 7− t3 determine dy

dt

d) Sea y =√u y u = 7 +

√x determine dy

dxcuando x = 4

e) Si y(u) = 4u2−u y u(x) = 3√

x+ 1

9x determine dy

dxcuando x = 9


13. Calculedydx

utilizando la regla de la cadena

a) y = (2x+ 5)3.

b) y = (x2 − 6)3/2.

c) y = 3(x2 − 2)4.

d) y = 2(x2 + 5x)−3.

e) y =√x2 + 8.

f ) y = 3√

3x2 + 4.

g) y = (x2 − 4x+ 4)1/2.

h) y = 12x+4

.

i) y = 1(x2−3)8

.

j ) y = 12x2−3x+1

.

14. Evalue las derivadas obtenidas en el ejercico 13. Para x = 3.

15. Obtenga (dxdz

) cuando z = 9 si: x = t3 + 2 y t = z1/2.

16. Utilice las reglas de diferenciacion para obtener f ′(c) si:

a) f(x) = (x2+1x+1

)1/2 y c = 0.

b) f(x) = (x2 + 1)7(2x3 − 1)4 y c = −1

c) f(x) =√

3x+12x−1

y c = 1

d) f(x) = x(3x−2)2

y c = 0

e) f(x) = 3√

xx+2

y c = −1

17. Obtenga: (√

9x+ (2x+ 1)3)′(1).


1.4. Recta tangente a una curva

1. Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) = x√x

en el punto P0 = (0, f(0)) .

2. Determine las coordenadas de los puntos en donde la recta tangente ala grafica de f(x) = x3

3+ x2 + 1 sea:

a) Paralela al eje x (2 soluciones).

b) Paralela a la recta y = −x (1 solucion).

3. Determine las coordenadas del punto sobre la parabola y = 3x2−12x+5en donde la recta tangente es perpendicular a la recta x− 6y+ 3 = 0 ?

4. Verifique que a traves del punto (1,1) las curvas y = x3 y y = x1/3

tienen rectas tangentes cuyas pendientes son recıprocas.

5. Dada la ecuacion y = f(x) = 6x− x2 encuentre:

a) La funcion de la pendiente m = dydx.

b) La pendiente de la tangente a la grafica en x = 2 y x = 4.

c) Los valores de x que hacen que la pendiente sea cero.

d) Ilustre graficamente el inciso c).

6. Repita el ejercicio 5. para y = f(x) = 2x2 + 8x.

7. Repita el ejercicio 5. salvo el inciso (d) para y = f(x) = 23x3 + 3x2 + 2.

8. Esboce la grafica de una funcion f cuya derivada tiene todas las pro-piedades siguientes:

a) f ′(x) > 0 cuando x < 1 y cuando x > 5 .

b) f ′(x) < 0 cuando 1 < x < 5 .

c) f ′(1) = 0 y f ′(5) = 0.

9. Encuentre numeros a,b y c tales que la grafica de la funcion:

f(x) = ax2 + bx+ c

tenga intersecciones con el eje de las x en (0, 0) y (5, 0) y una tangentecon pendiente 1 cuando x = 2.

1.5. LA DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO 21

10. Encuentre la ecuacion de la tangente a la grafica de

y =4

2x2 − 3x+ 3

en en el punto (1, 2) utilizando la regla de la cadena para encontrar lapendiente de la tangente. Escriba la respuesta en la forma y = mx+ b.

11. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grafica def(x) = 4x− x2 que pasan por los puntos (x, f(x)) con x = 1 y x = 3

12. Encuentre las ecuaciones de todas las tangentes a la grafica de la funcionf(x) = x2 − 4x+ 25 que pasan por el origen.

13. Determine las coordenadas de los puntos donde la pendiente de la tan-gente a la grafica de f(x) = x

2+ 1

2x−3sea −3

2

14. Determine el valor de la x en donde la recta tangente a la grafica def(x) = x

(3x−2)2es horizontal.

15. La curva f(x) = ax2 + bx+ c pasa por el punto P (0,−4) y es tangentea la recta y = 2x− 3 en el punto Q(1,−1). Determine los valores de a,b y c.

16. Determine el valor de los parametros a y b para que la grafica def(x) = ax2 + bx − 19 pase por el punto Q(2,−3) y la pendiente dela recta tangente en dicho punto sea igual a 14.

1.5. La derivada como razon de cambio

1. (Demanda marginal) La relacion de demanda de cierto artıculo estadada por: p +

√q = 200 donde q representa el numero de artıculos y

p es el precio unitario. Determine la razon de cambio de la demandaq con respecto al precio cuando el precio es de $5 por cada artıculo.Interprete.

2. (Interpretacion de la derivada) El costo total de la fabricacion C es unafuncion de la cantidad q de artıculos producidos, que a su vez es unafuncion del numero t de horas empleadas en su fabricacion.

a) ¿Que representa la derivada (dCdq

)?


b) ¿Que representa la derivada (dqdt

)?

c) ¿Que representa el producto(dCdq

)(dqdt

)?

3. (Tasas relacionadas) Se estima que en t anos cierta poblacion suburbanasera de

p(t) = 20− 6

t+ 1miles de personas

y que el nivel promedio de monoxido de carbono que se producira serade c(p) = 2

√p2 + p+ 58 partes por millon cuando la poblacion sea de

p miles. Determine la tasa de cambio del nivel promedio del monoxidode carbono con respecto al tiempo a los 2 anos.

4. (Tasas relacionadas) El gerente de una firma de electrodomesticos de-termina que cuando se fija el precio de las licuadoras en p dolares porpieza; la cantidad mensual vendida es

D(p) =8000

p

Ademas el gerente estima que dentro de t meses, el precio unitario delas licuadoras sera p(t) = 0.06t3/2+22.5 dolares. ¿A que razon cambiarala demanda mensual de licuadoras, D(p), dentro de 25 meses? ¿En esemomento de la demanda aumentara o disminuira?

5. (Costo de fabricacion). En cierta fabrica, el costo total de fabricar qunidades es C(q) = 0.2q2 + q + 900 dolares. Se determino que se fabri-caran aproximadamente q(t) = t2 + 100t unidades durante las primerast horas de un turno de produccion. Calcule la razon a la que cambia elcosto total de fabricacion respecto al tiempo 1 hora despues de iniciarla produccion.

6. (Demanda de consumo) Un distribuidor de jitomate de Sinaloa estimaque los consumidores locales compraran aproximadamenteD(p) = 4374

p2kilos de jitomate por mes cuando el precio es de p pesos

por kilo. Se estima que dentro de t meses, el precio del jitomate serade: p(t) = 0.02t2 + 0.1t+ 6 pesos el kilo. ¿A que ritmo estara cambian-do la demanda de jitomate dentro de 10 meses? ¿Estara creciendo odecreciendo?

1.6. ANALISIS MARGINAL 23

1.6. Analisis marginal

1. (Costo e ingreso marginal) Calcule el costo marginal C ′(x) y el ingre-so marginal R′(x) donde x es el numero de unidades vendidas, si lasfunciones de costo e ingreso son las siguientes:

a) C(x) = 40 + (ln 2)x2.

b) R(x) = x− 0.01x2.

c) C(x) = 0.0001x3 − 0.09x2 + 20x+ 1200.

d) R(x) = 5x− 0.01x5/2.

e) C(x) = 10−6x3 − (3× 10−3)x2 + 36x+ 2000.

f ) R(x) = 0.01x− 10−3x2 − 10−5x5/2.

g) R(x) = 100x− (log 5)x3(1 +√x).

2. (Ingreso marginal) Calcule e interprete el ingreso marginal R′(x), dondex es la demanda, p el precio en dolares y la relacion entre ellos esta dadapor las siguientes ecuaciones:

a) x+ 4p = 1000 cuando p = 50.

b)√x+ p = 10 cuando p = 6.

c) x2/3 + 21p = 100 cuando p = 4.

d) 10p+ x+ 0.01x2 = 700 cuando p = 10.

3. (Utilidad marginal) Si la funcion de demanda es x + 4p = 1000 y lade costo es C(x) = 1000 + 5x dolares, calcule la utilidad marginal conrespecto a x cuando p = 150. Interprete.

4. La relacion de demanda de cierto producto es x3/2 + 24p = 600, dondep es el precio por unidad en dolares y x el numero de unidades de-mandadas. La funcion de costo correspondiente es C(x) = x3/2 + 30 endolares.

a) Determine el ingreso marginal con respecto a la demanda sip = 16. Interprete

b) Determine la utilidad marginal con respecto a las unidades pro-ducidas y vendidas si x = 36. Interprete


5. (Utilidad marginal) Si la funcion de demanda es√x + p = 10 y la de

costo es C(x) = 60 + x, calcule la utilidad marginal con respecto a xcuando p = 7.

6. (Utilidad marginal) Si la funcion de demanda es x2/3 + 50p = 1000 y lade costo es C(x) = 50 + x3/2, calcule la utilidad marginal con respectoa la demanda cuando:

a) p = 16.

b) x = 25.

7. (Utilidades marginales) El editor de una revista descubre que si fija elprecio de $1 a su revista, vende 20,000 ejemplares al mes; sin embargo,si el precio fijado es de $1.50, sus ventas solo seran de 15,000 ejemplares.Si el costo de producir cada ejemplar es de $0.80 y tiene costos fijos de$10,000 al mes, suponiendo una ecuacion de demanda lineal:

a) Calcule su funcion de utilidad marginal y determine el precio de larevista que haga que la utilidad marginal sea igual a cero. Evaluela utilidad misma cuando el precio es:

b) $1.80.

c) $1.90.

d) $2.

8. (Utilidad marginal) Si la relacion de demanda es: q2/3 + 50p = 1000 yla de costo es: C(q) = 50 + q2/3 , determina la utilidad marginal conrespecto a la demanda cuando

a) p = 18

b) q = 64

9. (Analisis marginal) La relacion de demanda de cierto artıculo esta dadapor 2q +

√p+ 4 = 11 . Determine:

a) El precio marginal con respecto a la demanda a un nivel de q = 3unidades.

b) El ingreso marginal con respecto al precio cuando p = 21 .

1.6. ANALISIS MARGINAL 25

10. (Analisis marginal) La relacion de demanda de cierto artıculo es:p(q2 + 1) = 300 en donde p es el precio por unidad y q la cantidaddemandada. La funcion de costo es: C(q) = 3q2+4q dolares. Determine:

a) La funcion de ingreso marginal con respecto a la cantidad.

b) La utilidad promedio marginal cuando q = 2 .

11. (Tasas relacionadas) Una empresa tiene la funcion de costoC(x) = 25 + 2x − 1

20x2 en donde x es el nivel de produccion. Si este

es igual a 5 actualmente y esta creciendo a una tasa de 0.7 por ano,calcule la tasa a la que los costos de produccion se estan elevando conrespecto al tiempo.

12. (Tasas relacionadas) La ecuacion de demanda del producto de ciertacompanıa es 2p + x = 300. Si la demanda cambia a una tasa de 2unidades por mes cuando la demanda alcanza 40 unidades, ¿A quetasa esta cambiando el ingreso con respecto al tiempo si la companıaajusta su precio a la demanda cambiante?

13. (Produccion marginal) Se estima que la produccion semanal de unacierta planta es Q(x) = −x3 + 60x2 + 1200x unidades, donde x esel numero de trabajadores empleados en la planta. Generalmente hay30 trabajadores empleados en la planta. Use el analisis marginal paraestimar el cambio en la produccion semanal que resultarıa de anadir untrabajador mas a la fuerza de trabajo y compare con el cambio real.

14. (Ritmo de produccion) Un estudio de productividad sobre el turnomatutino en una fabrica indica que un trabajador medio que llega altrabajo a las 8:00 a.m. habra montado f(x) = −x3 + 6x2 + 15 telefonoscelulares x horas despues.

a) Obtenga una formula para el ritmo al que el trabajador estaramontando telefonos despues de x horas.

b) ¿A que ritmo estara montando telefonos el trabajador a las 9:00a.m.?

c) ¿Cuantos telefonos montara realmente el trabajador entre las 9:00y las 10:00 a.m.?


15. (Costo marginal y costo promedio marginal) Suponga que el costo totalen dolares de la fabricacion de q unidades es: C(q) = 3q2 + q + 500.

a) Utilice el analisis marginal para estimar el costo de la fabricacionde la cuadragesima primera unidad.

b) Calcule el costo real de fabricacion de la cuadragesima primeraunidad.

c) ¿Que costo de fabricacion aproxima C ′(41)?

d) Determine el costo promedio y el costo promedio marginal de fa-bricar q unidades.

16. (Produccion marginal) En cierta fabrica, la produccion diaria es de600K1/2 unidades, donde K representa la inversion de capital medidaen unidades de miles de dolares. La inversion actual de capital es de900,000 dolares. Mediante el analisis marginal estime el efecto que unainversion adicional de capital de miles de dolares tendra en la produc-cion diaria.

17. (Produccion marginal) En cierta fabrica, la produccion diaria es de3000K1/2L1/3 unidades, en donde K representa la inversion de capitalde la firma medida en unidades de miles de dolares y L representala fuerza de trabajo medida en horas de trabajo. Supongamos que elcapital invertido actualmente es de 400,000 dolares y que se usan cadadıa 1,331 horas de trabajo. Use el analisis marginal para estimar elefecto que una inversion adicional de capital de miles de dolares tendraen la produccion diaria si el tamano de la fuerza de trabajo no cambia.

18. (Razon porcentual de cambio) Un empleado tiene un salario de 12,000dolares por ano y obtendra un aumento de 1,000 dolares cada ano.(NOTA: Si S(t) denota el salario al tiempo t, la razon porcentual de

cambio se define como: 100S′(t)S(t)

%

a) Exprese la razon porcentual de cambio de su salario como funciondel tiempo y dibuje su grafica.

b) ¿A que razon porcentual estara aumentando su salario despues deun ano?

c) ¿Que le sucedera a la larga a la razon porcentual de cambio de susalario?

1.7. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS 27

19. (Razon de cambio porcentual) Determine la razon de cambio porcentualde la funcion F (L) = 500L1/2 con respecto a L cuando L = 400 .

20. Una fabrica de cigarros produce x cartones de cigarros al dıa con uncosto diario de

50x(x+ 200)

x+ 100dolares

. Compruebe que si crece la produccion entonces:

a) El costo se incrementa.

b) El costo promedio disminuye.

21. La ecuacion de demanda de cierto tipo de calculadoras graficadoras,esta dada por

p(x) =800

0.4x2 + 3

donde x miles de calculadoras se compraran a un precio de p dolarespor calculadora.

a) Determine la demanda marginal (tasa de cambio de la demanda)cuando se compran 5000 calculadoras? Interprete.

b) Determine el ingreso marginal cuando se venden 5000 calculado-ras? Interprete.

1.7. Derivadas de funciones exponenciales y

logarıtmicas

1. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomas posible:

a) y = e3x .

b) y = 7e−x.

c) y = ex2.

d) y = xex.

e) y = x2e−x.

f ) y = ex

x.


g) y = e√x.

h) y = x+1ex.

i) y = ex2

ex.

j ) y = ex3

ex2.

k) y = ex

1−ex .

l) y = ex

ex+1.

m) y = e(3x2+7x−1).

2. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomas posible:

a) y = ln(3x+ 7).

b) y = ln(x2).

c) y = ln(x2 + 7).

d) y =√

lnx.

e) y = (1 + lnx)7.

f ) y = 1lnx.

g) y = x2 lnx.

h) y = x ln(x+ 1).

i) y = x(lnx+ 1).

j ) y = lnxx.

k) y = 1+lnx1−lnx

.

l) y = x+2ln(x+2)

.

3. Calcule dydx

para cada una de las funciones siguientes y simplifique lomas posible. (NOTA: Utilice las diversas propiedades del logaritmopara facilitar algunos calculos).

a) y = ex lnx.

b) y = lnxe2x.

c) y = ex ln(x2 + 1).


d) y = ln( xex

).

e) y = ln(ex).

f ) y = ln(3(x2)).

g) y = ln(x2+1x+1

).

h) y = ln( (x+2)e3x

x2+1).

i) y = ln(√x+1

x2+4).

4. Evalue, si es posible, las derivadas obtenidas en el ejercicio 3. para x = 0y x = 1.

5. Obtenga f ′(c) si:

a) f(x) = x3e−x4

y c = −1 .

b) f(x) = 1−e−x

1+ex. y c = 0.

c) f(x) = ln(1 + (x− 2)2) y c = 2 .

d) f(x) = 31+2e−5x y c = 1

5.

e) f(x) = ln (√x+1

x2+4) y c = 0. .

f ) f(x) = xe−x2

y c = 0 .

6. Supon que f(x) = e2x y que x(t) = ln√t2 + 16, obtenga dh

dtcuando

t = 3 si h = (f ◦ x), es decir h = f(x(t)).

7. Supon que f(x) = ln(x+1) que x(t) = e−t−etet+e−t , si h(t) = (f◦x) determine

dhdt

cuando t = 0.

8. Sea y = e−x y x = ln(1 + t2) , calcula dydt

si t = −1 .

9. Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de y = f(x) atraves del punto (c, f(c)) si: f(x) = ln( ex

1+e3x) y c = 0 .

10. Utilizando propiedades de logaritmo, simplifica la funcion f(x) y de-termina df

dxcuando x = 2 si

f(x) = ln

√x+ 2

e3x2−3

.


11. Prueba que la recta tangente a la curva f(x) = e−x

1−2exen x = 0 es

paralela a la recta 6x− 2y − 15 = 0.

12. Determine la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcionf(x) = − 9

1+2e5x−5 en el punto P (1, f(1))

13. Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcionf(x) = x2+1

ex+e−x a traves del punto P (0, f(0))

14. (Precio marginal) Si x unidades pueden venderse a un precio de p cadauna en donde x+ln(p+1) = 50 , 0 ≤ x ≤ 50, calcule el precio marginalcon respecto a la demanda.

15. (Demanda marginal) La ecuacion de demanda de cierto producto estadada por: 2x+3 ln(p+1) = 60. Calcule la demanda marginal a un nivelde precio de p = 2. Interprete el resultado.

16. (Productividad fısica marginal) La productividad fısica de cierta em-presa esta dada por P (x) = 500(x + 4)3/2 − 4000 en donde x es elnumero de maquinas en funcionamiento. Determine la productividadfısica marginal cuando 5 maquinas estan en funcionamiento. Interpreteel resultado.

17. (Ingresos y utilidades marginales) La ecuacion de demanda de ciertoproducto es p = 300e−x/20 en donde x unidades se venden al preciode $p cada uno. Si el fabricante tiene costos fijos de $500 y un costovariable de $20 por unidad, halle la funcion de ingreso marginal y lafuncion de utilidad marginal.

18. (Ingreso marginal) Si x unidades pueden venderse a un precio de p cadauna, en donde: 2p + ln(x + 1) = 70 , encuentre la funcion de ingresomarginal con respecto a x.

19. La relacion de demanda de cierto artıculo esta dada por:5p + ln(3q + 2) = 75. Determina la funcion de ingreso marginal conrespecto al precio.


20. (Depreciacion) Cierta maquinaria industrial se deprecia hasta que suvalor, pasados t anos, es de: Q(t) = 20000e−0.4t dolares. (NOTA: laSHCP solo permite depreciacion lineal, sin embargo muchas empre-sas utilizan otro tipo de depreciaciones internamente para conocer ladepreciacion real y solo con fines informativos).

a) ¿A que ritmo se esta depreciando la maquinaria despues de 5 anos?

b) ¿A que razon porcentual esta cambiando el valor de la maquina-ria despues de t anos? ¿Depende esta razon porcentual de t o esconstante?

21. Despues de t semanas del brote de una epidemia de cierta clase degripe, el numero de personas contagiadas es aproximadamente de:

f(t) =2

1 + e−0.8tmiles de personas.

a) ¿Cuantas personas tenıan la enfermedad al principio del brote?

b) ¿A que tasa esta creciendo el numero de personas contagiadas alas 4 semanas?

c) Si la tendencia continua indefinidamente, ¿aproximadamente cuantaspersonas en total contraeran la enfermedad?

22. Si la relacion de demanda de un producto es√p + x = 100 donde

p es precio unitario en dolares y x unidades y la funcion de costo esde C(x) = x3 + e25−x dolares, determine la utilidad marginal cuandox = 20 unidades. Interprete.

23. La ecuacion de demanda de un producto es de p = 250 + 10e−0.1x,donde x es el numero de unidades que pueden ser vendidas a un preciode p dolares cada una. Determine el ingreso marginal si se venden 10unidades. Interprete.

24. Despues de t semanas del brote de cierta epidemia de varicela, el numerode personas contagiadas es aproximadamente de

f(t) =10

1 + 4e−0.2tmiles de personas.

a) ¿Cuantas personas tenıan la enfermedad al principio del brote?

b) ¿A que tasa esta creciendo el numero de personas contagiadas alas 5 semanas?

Capıtulo 2

OPTIMIZACION YBOSQUEJO DE GRAFICAS

2.1. Limites al infinito

Revisen el Apendice C para recordar las tecnicas para manejar los lımites deesta seccion.

1. a) lımx→+∞

2x2+3x+13x2−5x+2

.

b) lımx→+∞

1−x2x3+1

.

c) lımx→+∞

4x3+x−27−3x3

.

d) lımx→+∞

x5−2x2+1x2−1

.

e) lımx→−∞

x3−2x+5x−1

.

f ) lımx→+∞

x2

3x2+x+1.

g) lımx→+∞

5x2+2x2x2−x+1

.

h) lımx→−∞

1− x+ 2x2 − 3x3.

i) lımx→−∞

2x+13x2+2x−7

.

j ) lımx→+∞

1−2x3

x+1.

k) lımx→−∞

x2+x−21−5x−2x3

.

33

34 CAPITULO 2. OPTIMIZACION Y BOSQUEJO DE GRAFICAS

2.2. Funciones crecientes y decrecientes

1. Suponga que f ′(x) = x2 − 7x+ 12 . Determine los intervalos en dondela grafica de la funcion f es creciente y donde es decreciente.

2. Sea f(x) = (x2 − 1)5 . Determine los intervalos donde la grafica de lafuncion f es creciente y donde es decreciente.

3. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcionf(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 17 .

4. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcionf(x) = x3 + x2 + 4x+ 1 .

5. Determine el dominio de f(x) = x1/2(2 − x)3/2 ası como los intervalosdonde la grafica de f es creciente y donde es decreciente.

2.3. Concavidad y puntos de inflexion

1. Determine las coordenadas de los punto crıticos, los intervalos de cre-cimiento y decrecimiento, asi como las coordenadas de los puntos deinflexion (si existen ) y los intervalos de concavidad positiva y negativade las siguientes funciones f(x):

a) f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 2.

b) f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 2.

c) f(x) = x3/2.

d) f(x) = x(x+1)2

.

e) f(x) = (x+1x

)2.

f ) f(x) = 21+x2

.

2. Muestre que la grafica de f(x) = Ax2 + Bx + C (A 6= 0) no poseepuntos de inflexion. ¿Que representa la grafica de f(x)?

3. Usando la definicion de punto de inflexion muestre que f(x) = Px3 +Qx2 + Rx + S (P 6= 0) tiene un unico punto de inflexion cuya abcisaes x = −Q

3P.

2.4. GRAFICAS DE FUNCIONES 35

4. Para cada una de las siguientes funciones determine: dominio, la ecua-cion de cada una de sus asıntotas y las intersecciones con ambos ejes(tome en cuenta la posibilidad de raıces comunes).

a) f(x) = −4x3+12x2+x−3(x−3)(2x+1)

.

b) f(x) = 2x2+x−1x2−1

c) f(x) = 2x3−7x2+6x(x−2)(x+1)

d) f(x) = x3+1x

e) f(x) = x2+x−6x3−2x2+x−2

2.4. Graficas de funciones

1. Para cada una de las funciones siguientes:

a) Indique para que valores de x es creciente y/o decreciente.

b) Indique para que valores de x tiene concavidad positiva y/o nega-tiva.

c) Encuentre sus puntos crıticos.

d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inflexion.

e) Encuentre sus asıntotas verticales y/o horizontales.

f ) Indique su dominio y su rango.

g) Dibuje su grafica.

1) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7.

2) f(x) = 2 + (x− 1)3.

3) f(x) = x2

x−2.

4) f(x) = x2/3.

5) f(x) = x3 + x2 + 1.

6) f(x) = x5 − 5x4 + 100.

7) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2.

8) f(x) = (x2 − 1)5.

9) f(x) = x2−3xx+1

.

10) f(x) = 6x2 + 12000x.


11) f(x) = 1 + x1/3.

12) f(x) = 2 + (x− 1)2/3.

13) f(x) = x4 + 8x3 + 18x2 − 8.

14) f(x) =√x2 + 1.

15) f(x) = x2

x+2.

16) f(x) = xx2−9

.

17) f(x) = x2

x2+3

18) f(x) = x(x+1)2

19) f(x) = x2−4x2−1

20) f(x) = x2

x2−4

2. Para cada una de las funciones siguientes:

a) Indique para que valores de x es creciente y/o decreciente.

b) Indique para que valores de x tiene concavidad positiva y/o nega-tiva.

c) Encuentre sus puntos crıticos.

d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inflexion.

e) Encuentre sus asıntotas verticales y/o horizontales.

f ) Indique su dominio y su rango.

g) Dibuje su grafica.

1) f(x) = (x+ 1)5/3.

2) f(x) = e−x2/2√

2π.

3) f(x) = xe−2x.

4) f(x) = ex − e−x.5) f(x) = 4

1+e−x .

6) f(x) = ln(x2 + 1).

7) f(x) = 700− 400e−0.5x.

8) f(x) = ex + e−x.

9) f(x) = x− lnx.

10) f(x) = x2e−x.

11) f(x) = 1− 62+e3x

.

2.4. GRAFICAS DE FUNCIONES 37

12) f(x) = xe−x2

13) 31+e3x

− 1

3. Esboce la grafica de una funcion continua que tenga todas las propie-dades siguientes:

a) f ′(x) > 0 cuando x < −5 y cuando x > 1 , f ′(x) < 0 cuando−5 < x < 1 , f(−5) = 4 y f(1) = −1.

b) f ′(x) < 0 cuando x < −1 , f ′(x) > 0 cuando −1 < x < 3 ycuando x > 3 , f ′(−1) = 0 y f ′(3) = 0.

c) f ′(x) > 0 cuando −1 < x < 3 y cuando x > 6, f ′(x) < 0 cuandox < −1 y cuando 3 < x < 6 , f ′(−1) = 0 y f ′(6) = 0 , f ′(x) noesta definida en x = 3.

d) f ′′(x) > 0 cuando x < −1 y cuando x > 3 , f ′′(x) < 0 cuando−1 < x < 3 , f ′′(x) < 0 cuando x < 2 , f ′′(x) > 0 cuando x > 2.

4. Trace la grafica de una funcion f que satisfaga las siguientes propieda-des:

a) f es continua en todo punto de R .

b) f ′(x) > 0 en (−∞, 1).

c) f ′(x) < 0 en (1,∞).

d) f ′′(x) > 0 en (−∞,−1) ∪ (3,∞) y f ′′(x) < 0 en (−1, 3).

e) f(0) = 0 = f(2) y f(1) = 1.


5. La derivada de cierta funcion es: f ′(x) = x2 − 4x.

a) ¿En que intervalos es f creciente y/o decreciente?

b) ¿En que intervalos es f concava hacia arriba y/o hacia abajo?

c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de in-flexion de f .

6. La derivada de cierta funcion es: f ′(x) = x2 − 2x− 8.

a) ¿En que intervalos es f creciente y/o decreciente?

b) En que intervalos es f concava hacia arriba y/o hacia abajo?

c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de in-flexion de f .

7. Hallar el maximo y mınimo absoluto de las siguientes funciones, en suintervalo correspondiente:

a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7 en el intervalo −3 ≤ x ≤ 0.

b) f(x) = 3x5 − 5x3 en el intervalo −2 ≤ x ≤ 0.

c) f(x) = (x2 − 1)6 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 2.

d) f(x) = 2x2 − lnx en el intervalo [14, 1].

e) f(x) = 25xe−0.04x − 75 en el intervalo [0, 40].

f) f(x) = 25−√x(100− x) en el intervalo x ∈ [0, 100].

2.5. Aplicaciones de maximos y mınimos

NOTA: Use el criterio de la segunda derivada en cada uno de los ejerciciospara corroborar si se trata de un mınimo o un maximo.

1. Sea f : [−1, 8] → R definida por: f(x) = 12x5 − 75x4 − 280x3 + 10.Determine las coordenadas de todos los puntos crıticos de f y el valormaximo y mınimo de la funcion en [-1,8] .

2.5. APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS 39

2. La policıa federal de caminos ha estado registrando la velocidad deltransito en la salida de la autopista a Toluca. Los datos sugieren queentre la 1:00 y las 6:00 p.m. en un dıa normal de la semana, la velocidaddel transito en la salida es aproximadamente de:

v(t) = 2t3 − 21t2 + 60t+ 40

kilometros por hora, donde t es el numero de horas desde el mediodıa.¿En que momento entre la 1:00 y las 6:00 p.m. el transito es mas rapido,en que momento es mas lento y cuales son las velocidades correspon-dientes?

3. La relacion de demanda de cierto artıculo es: q+√p = 12 mientras que

el costo esta dado por: C(q) = 5q3 − 12q2 − 36q . Determine:

a) El numero de unidades q que maximizan la utilidad.

b) El precio p y el ingreso correspondiente a la utilidad maxima.

4. Cuando se producen q unidades de un cierto artıculo, el costo total defabricacion es de:

C(q) = 3q2 + 5q + 75

miles de pesos. ¿A que nivel de produccion sera menor el costo mediopor unidad y cual es este?

5. El costo de mantenimiento de cierta flotilla de automoviles se ajustaa la siguiente funcion: C(t) = et−6 + 2 mientras que el valor comercialde la flotilla es V (t) = e−t. La suma de las dos funciones da comoresultado la funcion de reposicion de la flotilla: R(t) = C(t) + V (t)donde t se mide en anos. Determine el tiempo optimo y el valor optimocorrespondiente (el optimo ocurre cuando R(t) es mınimo).

6. ¿Para que valor de x en [-1,4] esta mas inclinada la grafica de la funcionf(x) = 2x2− 1

3x3 ? ¿Cual es la ecuacion de la recta tangente a la grafica

en ese punto?


7. Una proyeccion a 5 anos en la tendencia de cierta poblacion senala quedentro de t anos, la poblacion sera P (t) = −t3 + 9t2 + 48t + 50 milesde personas:

a) ¿En que momento durante el perıodo de 5 anos, crecera la pobla-cion con mayor rapidez?

b) ¿En que momento durante el perıodo de 5 anos, crecera la pobla-cion con menor rapidez?

8. Un fabricante puede producir televisores a un costo de 250 dolares cadauno y estima que si se venden a x dolares cada uno, los consumidorescompraran 500 − x televisores por dıa. ¿A que precio debe vender lostelevisores el fabricante para maximizar el beneficio, cuantos televisoresdebe vender y cual es el maximo beneficio?

9. Multivision ha hecho un estudio de los habitos de sus suscriptores entrelas 5:00p.m.y medianoche. El estudio indica que el porcentaje de lapoblacion adulta local que sintoniza Multivision x horas despues de las5:00 p.m. es: f(x) = 1

8(−2x3 + 27x2 − 108x+ 240).

a) ¿En que momento entre las 5:00 p.m. y medianoche esta sintoni-zado Multivision por el mayor numero de personas?

b) ¿En que momento entre las 5:00 p.m. y medianoche esta sintoni-zado Multivision por el menor numero de personas?

10. Una ley economica establece que el beneficio se maximiza cuando elingreso marginal es igual al costo marginal.

a) Use la teorıa de extremos para explicar por que esta ley es cierta.

b) ¿Que hipotesis sobre la forma de la curva de beneficio estan implıci-tas en esta ley?

11. Una companıa de autobuses alquila un autobus de 50 plazas a gruposde 35 o mas personas. Si un grupo contiene exactamente 35 personas,cada persona paga $60 dolares. En grupos mayores, la tarifa de todos sereduce en $1 dolares por cada persona que sobrepase las 35. Determinarel tamano del grupo para el cual los ingresos de la companıa seranmayores ası como los ingresos maximos.


12. (Modelo de inventario) Por cada cargamento de materiales en bruto, un fa-bricante debe pagar gastos de pedido para cubrir empaque y transporte.Cuando llegan los materiales en bruto deben ser almacenados hasta que senecesiten, por lo que hay un costo de almacenamiento. Si cada cargamento demateriales en bruto es grande, son necesarios pocos cargamentos y los costosde pedido seran bajos, pero los costos de almacenamiento, sin embargo seranaltos. Si cada cargamento es pequeno, los costos de pedido seran altos porquese necesitaran muchos cargamentos, pero los costos de almacenamiento seranbajos. Ası, el costo total esta dado por:

CT = CA + Cp + C

donde CA es el costo de almacenamiento, CP es el costo del pedido y C esel costo total del material. Un fabricante desearıa determinar el tamano delcargamento que minimizarıa el costo total.

Ejemplo: Un fabricante de bicicletas compra 6,000 llantas al ano a undistribuidor y esta tratando de decidir la frecuencia de sus pedidos. Losgastos de pedido son de 20 dolares por cargamento, el costo de alma-cenamiento es de 96 centavos por llanta por ano y cada llanta cuesta21 dolares. Suponga que las llantas se usan a un ritmo constante a lolargo del ano, y que cada cargamento llega justo cuando el cargamen-to precedente ha sido terminado. ¿Cuantas llantas deberıa pedir cadavez el fabricante para minimizar el costo? (NOTA: Si x representa elnumero de llantas en cada pedido, entonces con objeto de simplicar sepuede suponer que en todo momento se tienen x/2 llantas almacenadasen promedio).


13. Hay 320 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular.

a) ¿Como deberıa usarse la cerca para que el area encerrada sea lamas grande posible?

b) ¿Sera cierto que el rectangulo de perımetro dado que encierra ma-yor area es el cuadrado?

14. Se ha observado que la proporcion de la poblacion que se entera de unrumor despues de un tiempo t es igual a:

t2

5(1 + t2)2

(t esta medido en dıas y el rumor empieza en t = 0).

a) Encuentre la mayor y menor proporcion de poblacion que llega aenterarse del rumor.

b) ¿A la larga, que ocurre con la proporcion de gente enterada?

15. Una librerıa puede obtener un libro a un costo de $30 por libro. Lalibrerıa ha estado vendiendo el libro a $150 por ejemplar y a este precio,ha estado vendiendo 200 ejemplares por mes. La librerıa esta planeandobajar su precio para estimular las ventas y estima que por cada $10pesos de reduccion en el precio se venderan cada mes 20 libros mas.Suponiendo una ecuacion de demanda lineal.

a) ¿A que precio deberıa vender el libro la librerıa para generar elmayor beneficio posible?

b) ¿Que cantidad adicional de libros son vendidos al nuevo precio?

c) ¿Cual es el mayor beneficio?

16. Cada maquina de una maquiladora puede producir 50 unidades porhora. El costo de puesta a punto es de 80 dolares por maquina y el costode operacion es de 5 dolares la hora por todas las maquinas. ¿Cuantasmaquinas deben usarse para producir 8,000 unidades al menor costoposible?


17. Se estima que el costo de construccion de un edificio de oficinas quetiene n pisos de altura es de:

C(n) = 2n2 + 500n+ 600

miles de dolares. ¿Cuantos pisos debera tener el edificio para minimizarel costo medio por piso?

18. Un estudio de productividad del turno matutino en una fabrica indicaque un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habraproducido:

Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t

unidades t horas despues. ¿En que momento de la manana el trabaja-dor esta operando mas eficientemente? (NOTA: el momento de maximaeficacia es igual al momento en el que el ritmo de produccion se maxi-miza. Tal momento es llamado en ocasiones el punto de los beneficiosdecrecientes.

19. La funcion de demanda de cierto artıculo esta dada por: p = 15e−x/3

para 0 ≤ x ≤ 8 donde p es el precio por unidad y x esta dado enmiles de unidades. Determine el precio y la cantidad que maximicen elingreso, ası como dicho ingreso maximo.

20. Un fabricante puede producir camaras a un costo de 40 dolares cadauna y estima que si se venden en p dolares cada una,los consumidorescompraran aproximadamente:

q = D(p) = 800e−0.01p

camaras por semana.

a) ¿A que precio debe vender el comerciante las camaras para maxi-mizar el beneficio?

b) ¿A cuanto asciende el mayor beneficio y aproximadamente cuantascamaras deben ser vendidas para alcanzarlo?


21. Considere la funcion cuadratica f(x) = ax2+bx+c (a 6= 0) cuya graficarepresenta una parabola.

a) Usando la primera derivada determine las coordenadas del vertice.

b) Usando la segunda derivada verifique que la parabola se abre haciaarriba o hacia abajo de acuerdo a que a > 0 o a < 0 respectiva-mente.

22. Determine las constantes A, B y C de modo que la funcionf(x) = x3 + Ax2 +Bx+ C tenga todas las siguientes propiedades:

a) Un maximo relativo en x = −2.

b) Un mınimo relativo en x = 1.

c) Un punto de inflexion en x = −1/2.

d) La grafica pasa por el punto (2,6).

23. Un fabricante puede producir fundas para celulares a un costo de 4dolares cada una. Se estima que a un precio de 10 dolares se venderan8000 fundas al mes. Se planea aumentar el precio y se estima que,por cada dolar de incremento en el precio, se venderan 800 fundas paracelulares menos cada mes. Suponiendo una ecuacion de demanda lineal,determine:

a) Determine la funcion de ingreso, costo y utilidad.

b) Determine el precio que deberıa fijar el fabricante a las fundaspara maximizar la utilidad. Y a ese precio ¿cuantas se venderan?

c) ¿Cual es la utilidad maxima correspondiente?

24. La relacion de demanda de cierto artıculo es de 20p+q = 1000 donde qrepresenta el numero de unidades y p es el precio unitario en dolares. Elcosto total de produccion de q unidades es de C(q) = 4000+10q+0.03q2

en dolares

a) Determine el numero de unidades que deben producirse y vendersepara maximizar la utilidad (pruebe que es un maximo).

b) ¿Cual es la utilidad maxima y el precio correspondiente?


25. Una empresa que produce audıfonos inalambricos estima que, si fijaun precio de 6 dolares a cada uno, se venderan 200 audıfonos al dıa.La empresa se da cuenta que, si el precio lo aumenta a 9 dolares, losclientes solo compraran 50 audıfonos. Suponiendo una demanda lineal,determine:

a) ¿Que precio p debe fijar la empresa a los audıfonos inalambricospara maximizar su ingreso? (comprobar que se trata de un maxi-mo)

b) ¿Cual sera el ingreso maximo correspondiente? A ese precio ¿cuantosaudıfonos se venderan?

26. Se ha determinado que se pueden vender q unidades de cierto artıculocuando el precio fijado es de p en cientos de dolares por unidad. Lafuncion de demanda asociada a dicho artıculo es de q = 5pe−2p Verifiqueque la demanda disminuye (decrece) al aumentar el precio, si el precioes mayor a 50 dolares (p > 1/2)

27. Un fabricante de relojes digitales ha estimado que la relacion de de-manda de su producto es q = D(p) = 5000e−0.02p donde p es el preciounitario en dolares y q relojes digitales. ¿Que precio debe de fijar elfabricante a cada reloj para maximizar su ingreso? ¿cual es el valor delcorrespondiente ingreso maximo?

28. La funcion de costo total asociada a cierto artıculo esta dada porC(q) = q3−24q2 +350q+400 dolares. Determine el numero de artıculosque deben de producirse para minimizar el costo marginal. ¿Cual es elcorrespondiente costo marginal mınimo?

29. En un departamento de policıa se ha determinado que la tasa promediode delitos diarios d(x) en una ciudad, depende del numero de policıas xasignados en cada turno. Especıficamente, la funcion que describe estarelacion es: d(x) = 200− 5xe−0.02x para 0 ≤ x ≤ 60, determine:

a) El numero de policıas que dara lugar a que la tasa promedio dedelitos diarios en la ciudad se minimice.

b) ¿Cual esa tasa mınima correspondiente de delitos diarios?


30. Se estima que dentro de t anos la poblacion de cierto paıs sera de:

P (t) =160

1 + 8e−0.01t

millones de personas. ¿Cuando estara creciendo mas rapidamente lapoblacion?

31. Un fabricante puede producir calculadoras a un costo de 5 dolares cadauna y estima que si se venden por x dolares cada una, los consumidorescompraran aproximadamente 1000e−0.1x calculadoras por semana.

a) ¿A que precio deberıa vender el fabricante las calculadoras paramaximizar el beneficio?

b) ¿Cual es el maximo beneficio?

c) Aproximadamente, ¿cuantas calculadoras se venden al precio in-dicado en a) ?

2.6. Analisis incremental. Aproximacion por

diferenciales.

Recuerde que:

∆y ≈ f ′(x)∆x

1. El costo total en dolares de fabricar x unidades de un cierto artıculoes:

f(x) = 3x2 + 5x+ 10.

El nivel actual de produccion es de 40 unidades. Estime como cambiarael costo total si se producen 40.5 unidades y compare con el cambio real.

2. Se ha proyectado que dentro de t anos, la tirada de un periodico localsera de:

c(t) = 100t2 + 400t+ 5000.

Estime la cantidad en que crecera la tirada en los proximos 6 meses ycompare con el cambio real.

2.6. ANALISIS INCREMENTAL. APROXIMACION POR DIFERENCIALES.47

3. Usa diferenciales para aproximar√

99.8. Compare con el valor que pro-porciona tu calculadora.

4. La venta anual de un nuevo video se ajusta a la ecuacion V (t) = 3te−t

cientos de dolares donde t es el tiempo en anos desde su introducciony V (t) son las ventas correspondientes:

a) Use diferenciales para estimar un cambio en las ventas durante elsegundo trimestre desde que se inicia la introduccion del video.

b) ¿Cual es el cambio real en las ventas durante ese perıodo? Com-pare con el valor anterior.

5. La produccion diaria en cierta fabrica es de Q(L) = 900 3√L unidades,

donde L representa el tamano de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Normalmente se utilizan 1000 horas-trabajador cada dıa.Estime la cantidad de horas-trabajador adicionales necesarias para in-crementar la produccion diaria en 15 unidades.

6. El editor de cierto texto estima que si se distribuyen x miles de ejempla-res de cortesıa a los profesores, las ventas seran de V (x) = 20−15e−0.2x

miles de dolares durante el primer ano. En la actualidad, el editor pla-nea distribuir 10,000 ejemplares de cortesıa. Estime el aumento en lasventas si se distribuyen 500 ejemplares adicionales y compare con elincremento real en las ventas.

7. Se ha proyectado que dentro de t anos, la poblacion de una comunidadsuburbana sera de:

P (t) = 20− 6

t+ 1

miles de personas.¿Cuanto crecera aproximadamente la poblacion du-rante el proximo trimestre y cual es el cambio real?

8. Un estudio de productividad sobre el turno matutino en una ciertamaquiladora indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las8:00 a.m. habra ensamblado:

Q(x) = −x3 + 6x2 + 15x

televisores x horas despues. ¿Cuantos televisores ensamblara realmenteel trabajador enre las 9:00a.m. y las 9:15 a.m.?


9. El costo total de un fabricante es de

C(q) = 0.1q3 − 0.5q2 + 200

miles de pesos, donde q es el numero de unidades producidas. El nivel deproduccion actual es de 40 unidades, y el fabricante planea disminuirlo a38 unidades. Estime cuanto cambiara el costo total como consecuencia.

10. Se estima que la produccion semanal de cierta planta es: Q(x) = −x2 +2100x unidades, donde x es el numero de trabajadores empleados en laplanta. Usualmente hay 60 trabajadores empleados en la planta.

a) Estime el cambio en la produccion si la fuerza de trabajo se reducea 55 trabajadores

b) Estime el cambio en la produccion si la fuerza de trabajo de in-crementa a 62 trabajadores.

11. En cierta fabrica, la produccion diaria es de 60K1/2 unidades, donde Krepresenta la inversion de capital medida en unidades de 10,000 pesos.La inversion actual de capital es de 9,000,000 pesos (esto es K = 900).Estime el efecto que una inversion adicional de capital de 8,000 pesostendra en la produccion diaria.

12. En cierta fabrica, la produccion diaria es de Q(L) = 3000K1/2L1/3

unidades, donde K representa la inversion de capital de la firma medidaen unidades de 1,000 dolares y L representa la fuerza de trabajo medidaen horas de trabajo. Supongamos que el capital invertido actualmentees de 400,000 dolares y que se usan cada dıa 1,000 horas de trabajo.Estime el efecto sobre la produccion si la fuerza de trabajo se reduce a940 horas sin modificar el capital invertido.

13. La Secretarıa de Finanzas indica que a partir del 2001, el impuestopredial sobre una casa de tres habitaciones es de P (x) = 60x1/2 +40x+ 1200 pesos, donde x se mide en anos.

a) Estime el cambio del monto del impuesto predial durante la pri-mera mitad del ano 2005.

b) Calcule el incremento real del impuesto predial para el mismoperiodo y compare con la respuesta del inciso anterior.

2.6. ANALISIS INCREMENTAL. APROXIMACION POR DIFERENCIALES.49

14. Se estima que el ingreso anual de cierta revista por publicidad sera de

R(x) = 0.5x2 + 3x+ 160

millones de pesos cuando su circulacion sea de x miles. La circulacion dela revista es actualmente de 10,000 y esta creciendo a un ritmo de 2,000por ano. ¿Estime a que ritmo esta creciendo el ingreso por publicidad?

15. Se estima que si se invierten x miles de dolares en publicidad, se ven-deran aproximadamente Q(x) = 50− 40e−0.1x miles de unidades de unautomovil de edicion especial al mes. En la actualidad se invierten 8000dolares en publicidad

a) Estime el aumento en las ventas del primer mes del automovil,si se invierten 750 dolares adicionales en publicidad publicidad.Interprete su resultado.

b) Calcule el incremento real en la ventas del primer mes, despuesde la inversion adicional en publicidad. Compare con su resultadodel inciso anterior y comente.

16. Una companıa de deportes ha desarrollado una nueva pelota de golfque promete ser la mejor del mercado. Los analistas afirman que desdeque se inicio la campana de promocion de este artıculo deportivo, lasventas se han comportado de acuerdo con la ecuacion

S(t) =10

1 + 4e−t

donde t es el tiempo en anos desde el inicio de la promocion y S(t) sonlas ventas en miles de dolares.

a) Estime el incremento en las ventas durante el segundo trimestredespues de iniciada la promocion de dicha pelota. Interprete suresultado.

b) Calcule el incremento real en las ventas para el mismo perıodo ycompare con el resultado del inciso anterior


2.7. Aproximacion de segundo orden

Recuerde que:

∆y ≈ f ′(x)∆x+1

2f ′′(x)(∆x)2

En los siguientes ejercicios, aproxime el valor pedido mediante diferencialesy usando las aproximacion de segundo orden. Compare los resultados entresı y con el valor que ofrece su calculadora.

1.√

48

2. 4√

82

3. (2.012)4

2.8. Diferenciacion implıcita

1. Obtenga la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) a travesdel punto P0 , si la curva queda implıcitamente definida por la relacion:

a) 32y = (x3 + y)2 y P0 = (2, 8).

b) 9x2 + 4y2 = 36 y P0 = (√

2, 3√2).

c) x2 − x√xy = 3y − 12 y P0 = (4, 4).

(Verifique antes que P0 pertenece a la relacion)

2. Hallar la pendiente de la recta que es tangente a la curva x2y3 +8 = 5y3

cuando x = 2.

3. Usando diferenciacion implıcita, muestre que las rectas tangentes a lascurvas: y2 = 4x3 y 2x2 + 3y2 = 14 en el punto comun P0 = (1, 2) sonperpendiculares.

2.8. DIFERENCIACION IMPLICITA 51

4. Obtenga dydx

para x = 6 en la relacion y3 + 3x2 + 17 = 0 como sigue:

a) Derivando implıcitamente.

b) Despejado y luego derivando (El resultado debe ser el mismo queel del inciso anterior).

5. Hallar dydx

por diferenciacion implıcita.(NOTA: Si y puede despejarseexplıcitamente como funcion de x, derive directamente tambien y veri-fique que el resultado coincide con el de la diferenciacion implıcita).

a) 3x+ 4y = 8 (Recta).

b) x2 + y2 = 25 (Circunferencia).

c) x2 + y = x3 + y2.

d) x3 + y3 = 9xy (Folio de Descartes).

e) xy = 1 (Hiperbola equilatera).

f ) y2 + 2xy2 − 3x+ 1 = 0.

g) 1x

+ 1y

= 1

h) (2x+ y)3 = x.

i) (x− 2y)2 = y.

j ) (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2) (Lemniscata de Bernoulli).

k) 4x2 + 9y2 = 36 (Elipse).

6. Determine las coordenadas de los puntos a traves de los cuales la curvax2 + y2 = xy + 12 tiene una:

a) Tangente horizontal.

b) Tangente vertical.

7. Muestre que la recta tangente a la curva cuya ecuacion es 4y = (y2+x)2

en el punto P0 = (−3, 1) es perpendicular a la recta y = 3x+ 13 .

8. Suponga que x y y representan cantidades de dos materias primasnecesarias para un proceso productivo y que la ecuacion:

60x3/4y1/4 = 3240

unidades describe las cantidades x y y para las cuales la produccion esde 3240 unidades. Use la derivacion implıcita para calcular las razonesmarginales cruzadas dy

dxy dx

dyen x = 81 y y = 16.


9. Suponga que la relacion de demanda de cierto producto es p+2x+xp =38 en donde x esta dado en miles de unidades y p es el precio endolares por unidad. Suponga tambien que el precio (y en consecuenciala demanda) cambia semanalmente, esto es, p es funcion del tiempo.¿A que ritmo esta cambiando la demanda cuando x = 4 si el precioesta disminuyendo a razon de 0.40 dolares por semana?

10. Igual que el anterior, pero ahora halle el ritmo de cambio de la demandasi el precio aumenta a razon de 0.20 dolares por semana.

2.9. Diferenciacion logarıtmica

Recuerde que para diferenciar una funcion f , por ejemplo:

f(x) = 3√x+ 1

Utilizando el logaritmo natural de f :

ln f(x) =1

3ln(x+ 1)

Aplicando la regla de la cadena:

f ′(x)

f(x)=

1

3(x+ 1)

Resolviendo para f ′(x):

f ′(x) =1

3(x+ 1)3√x+ 1.

2.9. DIFERENCIACION LOGARITMICA 53

1. Utilizando la diferenciacion logarıtmica obtenga la derivada de las si-guientes funciones:

a) f(x) = e5x.

b) f(x) = 3e4x+1.

c) f(x) = x2ex.

d) f(x) = xe−x.

e) f(x) = x2 lnx.

f ) f(x) = x ln√x.

g) f(x) = xlnx.

h) f(x) = ex lnx.

i) f(x) = ln e2x.

j ) f(x) = e(lnx+x ln 3x).

k) f(x) = 61+e−x .

l) f(x) =√

x+1x−1

.

m) f(x) = (x+2)5

(3x−5)6

n) f(x) = 2x.

n) f(x) = xx.

2. Elija 8 funciones en el ejercicio anterior, derıvelas directamente y com-pruebe que el resultado coincide con el resultado de la diferenciacionlogarıtmica.

3. Calcule f ′(c) usando diferenciacion logarıtmica si:

a) f(x) = (x+ 1)x + (ex)x y c = 0.

b) f(x) = (x)ex

+ (xe)x y c = 1.

c) f(x) = (x3)1/5

(3x+2)5y c = −1 .

4. Determine dydx

mediante diferenciacion logarıtmica:

y = xex

+ xx2


5. Determine dydx


f(x) = e2x(1 + x2)x

6. Determine dydx


ex2y = 3xy3

7. Usando diferenciacion logarıtmica calcule la pendiente de la recta tan-

gente a la grafica de la funcion f(x) = (e4−x2 ) 3√9x−10(x2−3)4

cuando x = 2.

8. Sea y = xr con r = mn

y m, n numeros enteros. Use diferenciacion

logarıtmica para probar que dydx

= rxr−1. (Sugerencia: como y = xm/n

entonces yn = xm. Ahora use diferenciacion logarıtmica).

9. Obtenga f ′(x) si:

a) f(x) = x2x+1 si x > 0 .

b) f(x) = (ln√x)x si x > 0 .

2.10. Elasticidad de la demanda

Para un artıculo dado, sea p el precio por unidad y x el numero de unidadesque se adquiriran durante un perıodo determinado de tiempo al precio p, ysea x = f(p). La elasticidad de la demanda por lo regular se denota con laletra griega η (eta) y se define como:

η = −px

dx

dp=−pf ′(p)f(p)

.

Note que se deriva con respecto a p. Si R = px representa el ingreso, entoncesse obtiene: dR

dp= x(1−η) y dR

dx= p(1− 1

η). Estas formulas permiten determinar

cambios en el ingreso total correspondientes a pequenos cambios de p y de xrespectivamente si se conoce la elasticidad.

2.10. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 55

1. Calcule la elasticidad de la demanda para las relaciones de demandasiguientes:

a) x = 100(5− p).b) x = 50(4−√p).c) x = 200

√9− p.

2. Si la relacion de demanda es: x = 1000 − 5p, calcule la elasticidad dela demanda como:

a) p = 5.

b) p = 10.

c) p = 15.

3. En el caso de la relacion de demanda:

x

600+

p

12= 1

determine los valores de p y las correspondientes demandas para loscuales:

a) η = 1.

b) η = 2.

c) η = 23.

4. La relacion de demanda es x = k(1−p−p2)(k > 0 constante).Determineel valor de p y la correspondiente demanda que haga unitaria a laelasticidad de la demanda.

5. Si la relacion de demanda es x2 + p2 = 25 determine la elasticidad dela demanda cuando p = 4.

6. Con respecto a la relacion de demanda x2 + px+ p2 = a

a) Calcule la elasticidad de la demanda cuando p = 2 y a = 7.

b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando p = 2 y a = 12.


7. Para cualquier funcion de demanda lineal p = mx + b con m < 0 yb > 0 verifique que la elasticidad de la demanda es:

a) elastica si p > b2.

b) inelastica si p < b2.

c) unitaria si p = b2.

8. La relacion de demanda de cierto articulo es x = 27(1− p− p2), dondep es precio en dolares y x las unidades demandadas. Determine a queprecio p y su correspondiente valor x, la elasticidad de la demanda esunitaria.

9. Sea x2 + p2 = 36 la ecuacion de demanda de cierta empresa, donde pes el precio por unidad en dolares y x el numero de unidades que seadquieren a ese precio.

a) Determine la elasticidad de la demanda como una funcion de p.

b) Determine el valor de la elasticidad de la demanda cuando p = 3dolares. A ese precio, ¿que tipo de elasticidad se tiene?

c) Determine a que precio la elasticidad es unitaria.

10. Suponga que las unidades demandas q y el precio p en pesos, se rela-cionan mediante la siguiente ecuacion lineal de demanda 4p+ q = 480

a) Exprese la elasticidad de la demanda en terminos del precio p.

b) Calcule la elasticidad de demanda cuando p = 100 pesos. ¿Quetipo de elasticidad se tiene?

c) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es de p = 40pesos ¿que tipo de elasticidad se tiene?

11. La relacion de demanda de cierto artıculo es q − p2 + 30p = 240 dondeq unidades se venden a p dolares cada una. Determine la elasticidad dela demanda cuando p = 12 dolares

2.10. ELASTICIDAD DE LA DEMANDA 57

12. La relacion de demanda de cierto producto es p = 10− 0.2√x. Utilice

la elasticidad de la demanda para determinar si un pequeno aumentoen el precio conlleva a un aumento o a una disminucion en el ingreso sila demanda es:

a) x = 900.

b) x = 1600.

13. La relacion de demanda es x = 500(10 − p). Utilice la elasticidad dela demanda para determinar si un pequeno aumento en la demanda dalugar a un aumento o a una disminucion en el ingreso si el precio es:

a) p = 2.

b) p = 6.

Capıtulo 3

INTEGRACION

3.1. Integrales indefinidas

1. Calcule las siguientes antiderivadas:

a)∫x3dx

b)∫

2x5dx

c)∫

4√xdx

d)∫

7dx

e)∫

3xdx

f)∫e2xdx

g)∫

(2x5 + 8x3 + 4)dx

h)∫

(√x+ 5√

x− 9

x− 8)dx

i)∫

1+x−x2+x3

x2dx

j)∫

1√t− 2

t+ 3

t2dt

k)∫e5xdx

l)∫e1−xdx

2. Verifique que F (x) = 13x3 +5x+2 es una antiderivada de f(x) = x2 +5.

3. Halle la funcion cuya tangente tiene una pendiente x3 − 2x2

+ 2 paratoda x 6= 0 y cuya grafica pasa por el punto (1,3) .

59

60 CAPITULO 3. INTEGRACION

4. Encontrar la regla de la funcion F cuya tangente tiene pendiente 3x2+1para cada valor de x y cuya grafica pasa por el punto (2,6).

5. Construya un polinomio de grado 3 tal que sea: creciente en (−∞,−2)∪(1,∞) , decreciente en (-2,1), f ′(−2) = 0, f ′(1) = 0 y cuya grafica pasepor el punto (0,1).

6. Encuentre la regla de una funcion cuya grafica tiene un mınimo relativocuando x = 1 y un maximo relativo cuando x = 4.

7. Determine un polinomio de grado 3 de tal modo que su grafica tengaun mınimo relativo cuando x = 2 , un maximo relativo cuando x = 4 ,un punto de inflexion si x = 3 y tal que su grafica pase por el origen.

8. En los siguientes incisos, obtenga la antiderivada pedida. Compruebesus respuestas mediante diferenciacion:

a)∫

ex+e−x

2dx

b)∫

(x1/2 + x1/3 + x−1/2)dx

c)∫

(x+ 1x)2dx

d)∫

(x+ 2)3dx

e)∫x(√x+ 1

x2)dx

f)∫x(2x+ 1)2dx

g)∫ex − 4e−x + 3

2e2xdx

h)∫

(2ex − 2e−x)2dx

i)∫

x4−3x3+x+5√x

dx

3.2. Aplicaciones de la integral indefinida

1. Se estima que dentro de x meses la poblacion de una cierta ciudadestara cambiando a un ritmo de 2+5

√x personas por mes. La poblacion

actuales de 5000.

a) ¿Cual sera la poblacion dentro de 9 meses?

b) ¿Cuanto habra crecido la poblacion entre el noveno y el trigesi-mosexto mes?

3.2. APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA 61

2. Se estima que dentro de t meses, la poblacion de cierto municipio cam-bira a razon de 4 + 5t2/3 personas por mes. Si la poblacion actual es de10,000 personas, ¿cual sera la poblacion dentro de 8 meses?

3. Un fabricante considera que el costo marginal de un producto es 6q+ 1dolares por unidad cuando se han producido q unidades. El costo total(incluidos los costos indirectos) de produccion de la primera unidad esde 130 dolares. ¿Cual es el costo total de produccion de las primeras10 unidades?

4. El ingreso marginal de una empresa por su producto es

I ′(x) = 30x1/2 + 4x1/3 dolares:

a) Determine la funcion de ingreso del producto (Recuerde I(0) = 0).

b) ¿Cual es el ingreso si se venden 64 unidades?

5. El beneficio marginal (ingreso marginal menos costo marginal)de unacierta compania es de 100− 2q dolares por unidad cuando se producenq unidades. Si el beneficio de la compania es de 700 dolares cuando seproducen 10 unidades, ¿cual es el mayor beneficio posible dela companiay a que nivel de produccion alcanza este?

6. El valor de reventa de cierta maquinaria decrece a un ritmo que de-pende del tiempo. Si la maquinaria tiene t anos, el ritmo al que estacambiando su valor es de 220(t− 10) dolares por ano. Si la maquinariase compro nueva por 12,000 dolares, ¿Cual sera su valor de reventa 10anos despues?

7. El ingreso marginal de cierta companıa esta dado por: I ′(x) = 10−0.02xdolares cuando se producen x unidades. Determine:

a) La funcion de ingreso.

b) La relacion de demanda.

c) Suponga ademas que la funcion de costo esta dada por C(x) =5x− 0.005x2 + 1000 dolares. Determine el numero de unidades yel precio correspondiente que maximicen la utilidad y mencionacual es esta.


8. Se ha proyectado que dentro de t anos, la demanda de azucar refinadade cierto paıs estara cambiando a un ritmo de e0.02t toneladas por ano.Si la demanda actual es de 50 toneladas,

a) ¿Cuanta azucar se consumira en el paıs en los proximos 10 anos?

b) ¿Cuando se habra duplicado la demanda inicial?

9. El costo marginal C ′(t) e ingreso marginal I ′(t), por la fabricacion yventa de cierto medicamento, estan dados por: C ′(t) = 4 + 4t1/3 eI ′(t) = 36 − 4t1/3 , respectivamente. Donde t se mide en meses y C(t)e I(t) en miles de dolares. Determine

a) El tiempo t en el que se obtiene la utilidad maxima (pruebe quees un maximo).

b) El valor de la utilidad maxima correspondiente, si se sabe que alos 27 meses la utilidad es de 466 mil dolares.

10. Cierta epidemia de varicela esta creciendo a razon de c′(t) = 4 + 5t3/4

miles de personas contagiadas por semana, donde t es el numero desemanas y c(t) el total de personas infectadas. Si el numero de personascontagiadas inicialmente es de 28 mil ¿cuantas personas contagiadashabra a las 16 semanas?

11. Un fabricante determina que, el ingreso marginal por la venta de xunidades es de I ′(x) = 100x−1/2 dolares por unidad, mientras que elcosto marginal correspondiente por producir x unidades es de C ′ = 0.4xdolares por unidad. Supon que la utilidad del fabricante por produciry vender 25 unidades es de 520 dolares, determine cual sera la utilidadpor producir y vender 36 artıculos.

12. El ingreso marginal de cierta companıa es de Img = 8− 0.2x miles dedolares cuando se venden x unidades, determine:

a) La funcion de Ingreso si se sabe que I(0) = 0

b) Si la funcion de costo total de la companıa es de C(x) = 4x −0.05x2 + 60 miles de dolares, determine el numero de unidadesque maximizan la utilidad de la companıa

c) Determine el valor de la utilidad maxima, ası como el precio co-rrespondiente.

3.3. METODO DE SUSTITUCION 63

3.3. Metodo de sustitucion

1. Encuentre la antiderivada indicada utilizando el metodo de integracionpor sustitucion:

a)∫

(2x+ 6)5dx

b)∫ √

4x− 1dx

c)∫

13x+5

dx

d)∫

2xex2−1dx

e)∫x(x2 − 1)5dx

f )∫

2x4

x5+1dx

g)∫

ln 5xxdx

h)∫

1x lnx

dx

i)∫ 2x ln(x2+1)

x2+1dx

j )∫

e2x

1+e2xdx

k)∫

3x(√x2 − 1)dx

l)∫

6x4(2x5 + 3)12dx

m)∫

e√x

√xdx

n)∫

lnxxdx

2. Calcule por medio de una sustitucion y cambio de variable.

a)∫x(x+ 1)10dx

b)∫x√x+ 5dx

c)∫

x(x−5)6

dx.

d)∫

xx−1

dx

e)∫x√x+ 1dx

3. Integre por sustitucion

a)∫

1√x4+x3

dx (Sugerencia: factorice x4 y ponga u = 1x

+ 1).

b)∫

1x−√xdx (Sugerencia: factorice

√x y use u =

√x− 1).


4. Calcule las siguientes integrales, se recomienda antes de integrar, resol-ver el cociente de polinomios.

a)∫

6x2−11x+53x−1

dx

b)∫

2x3+3x2+x+22x+1

dx

c)∫

9x2+6x+33x+2

dx

d)∫

3x2−10x+5x−3

dx

e)∫

4x2+9x−4x+2

dx

5. Un arbol ha sido trasplantado y despues de x anos esta creciendo a unritmo de

1 +1

(x+ 1)2

metros por ano. Despues de 2 anos, ha alcanzado una altura de 5 me-tros. ¿Que altura tenıa cuando fue trasplantado?

6. Se estima que dentro de x anos el valor de una hectarea de tierra decultivo estara aumentando a un ritmo de

0.4x3

√0.2x4 + 800

dolares por ano. Si la tierra tiene actualmente un valor de 500 dolarespor hectarea, ¿cuanto valdra dentro de 5 anos?

7. Encuentre la ecuacion de la funcion cuya tangente tiene una pendientede x√x2 + 5 para cada valor de x y cuya grafica pasa por el punto

(2,10).

8. Se estima que el precio p en dolares de cierto artıculo cambia a unarazon de p′(x) = −135x√

x2+9donde x (cientos de unidades) son demandadas

a ese precio p. Suponga que se demandan 400 unidades (x = 4) cuandoel precio por unidad es de 30 dolares

a) Determine la funcion de demanda p(x).

b) ¿A que precio se demandaran 300 unidades?

c) ¿Cuantas unidades se demandaran si se fija un precio de 20 dolarespor unidad?

3.4. METODO DE INTEGRACION POR PARTES 65

9. En cierta fabrica el costo marginal es de 3(2q − 4)2 dolares por cadaunidad, donde q es el nivel de produccion.

a) Determina la funcion de costo total si la empresa tiene costos fijospor 168 dolares (costo de producir cero unidades)

b) ¿Cual es el costo total de producir 12 unidades?

3.4. Metodo de integracion por partes

1. Encuentre la antiderivada utilizando el metodo de integracion por par-tes:

a)∫xexdx

b)∫x√x+ 5dx

c)∫

lnxdx

d)∫x2exdx

e)∫xe−xdx

f )∫xe2xdx

g)∫x lnxdx

h)∫x2 lnxdx

i)∫x3ex

2dx

j )∫x3 lnxdx

k)∫

(2x+ 1)e3xdx

l)∫

lnxx2dx

2. Calcule la antiderivada indicada y compruebe su respuesta derivando:

a)∫xe−x/2dx

b)∫x lnx2dx

c)∫x(x+ 1)10dx

d)∫x2e3xdx


3. Integre por partes dos veces para obtener:

a)∫x3(x2 − 1)10dx

b)∫x7(x4 + 5)8dx

4. Use la formula de reduccion de grado y resuelva las siguientes integrales:∫xneaxdx =

xneax

a− n

a

∫xn−1eaxdx

a)∫x3e5xdx.

b)∫x2e−xdx.

c)∫x3e1/2xdx.

d)∫x2e−3xdx.

e) x√x+2

dx.

f) x2√5−xdx.

5. Use cambio de variable e integracion por partes para encontrar lasantiderivadas siguientes:

a)∫e√xdx

b)∫x(x2 − 1) ln(x2 − 1)dx

6. (Costo marginal) Una empresa tiene un costo marginal por unidad desu producto dado por

C ′(x) =5000 ln(x+ 20)

(x+ 20)2

donde x es el nivel de produccion. Si los costos fijos ascienden a $2000,determine la funcion de costo.

7. Determine la ecuacion de una funcion cuya grafica tiene en cada puntouna recta tangente con pendiente f ′(x) = (x + 1)e−x y pasa por elpunto P(1,5)

8. Determine la funcion cuya recta tangente tiene pendientef ′(x) = x ln

√x para cada valor de x > 0 y cuya grafica pasa por el

punto (2, -3)

3.4. METODO DE INTEGRACION POR PARTES 67

9. Un fabricante encontro que el costo marginal por producir un tipo dejuguete es de Cmg = (0.1q+ 1)e0.03q dolares por cada unidad. El costototal de producir 10 unidades de ese juguete es de 200 dolares. ¿Cuales el costo total de producir 20 unidades?

Capıtulo 4

LA INTEGRAL DEFINIDA

4.1. Integrales definidas

1. Sean f(x) y g(x) funciones que son continuas en el intervalo−1 ≤ x ≤ 4

que satisfacen∫ 4

−1f(x)dx = 5,

∫ 4

2f(x)dx = 3 y

∫ 2

−1g(x)dx = −1 .

Utilice la informacion para obtener:∫ 2

−1(3f(x)− 2g(x))dx

2. Sean f(x) y g(x) funciones que son continuas en el intervalo−2 ≤ x ≤ 5

que satisfacen∫ 5

−2f(x)dx = 3,

∫ 5

−2g(x)dx = −4 y

∫ 5

3f(x)dx = 7 .

Utilice la informacion para obtener:

a)∫ 5

−2(2f(x)− 3g(x))dx

b)∫ 3

−2f(x)dx.

3. Evalue:

a)∫ 7

2t√

2 + tdt

b)∫ 4

1e√

x√xdx

c)∫ 0

−33x+1√

1−xdx

d)∫ √e

14t ln t2dt

4. Encuentre la integral indicada:

a)∫ 3

08x(x2 + 1)3dx

b)∫ e

1lnxxdx

69

70 CAPITULO 4. LA INTEGRAL DEFINIDA

c)∫ ln2

0xexdx

d)∫ 1

0(x4 − 3x3 + 1)dx

e)∫ 9

1(√t− 1√

t)dt

f )∫ ln 2

ln 1/2(eu − e−u)du

g)∫ 1

0u2e2udu

h)∫ 1

0x3e−x

2dx

i)∫ 1

02x2e−3xdx

j )∫ 2

1(u+ 1)(u− 2)9du

4.2. Area bajo curvas

1. Encuentre el area bajo la region acotada por:

a) Las rectas y = 2x , x = 2 y el eje X.

b) La curva y = −x2 + 4x− 3 y el eje X.

c) La curva y =√x, las rectas x = 4 , x = 9 y el eje X.

d) La curva y = ex, las rectas x = 0 , x = ln 1/2 y el eje X.

2. Halle el area de la region limitada por la curva y =√x , la recta

y = 2− x y el eje X (Dibuje la region).

3. Halle el area limitada por la curva y = x2 , la recta tangente a la curvaen (1,1) y el eje X (Dibuje la region).

4. Determine el area acotada por las curvas y = 4− x2, y = (x− 2)2 y eleje x (dibuja la region).

5. Determine el area acotada (limitada) entre las curvas y = 3x2, y =16− x2 y el eje x (dibuja la region) en el segundo cuadrante.

6. Determine el area que se encierra entre la curva y = 1x, las rectas

y = 2x− 1, x = 3 y el eje x (dibuja la region).

4.3. AREA ENTRE CURVAS 71

4.3. Area entre curvas

1. Calcule el area comprendida entre las curvas y = −x2 y y = x2 − 8 .Dibuje la region.

2. Calcule el area limitada por la recta y = 13x− 1

3y la curva y = x2+4x−5

. Dibuje la region.

3. Calcule el area de la region acotada por las curvas y = x2+1 , y = 2x−2y las rectas x = −1 y x = 2 . Dibuje la region.

4. Determine el area de la region acotada por la curva y = x2 − 4x+ 4 ylas rectas y = x y x = 0. Dibuje la region.

5. Determine el area de la region acotada por la curva y = x2 + x y larecta y = 3x+ 3. Dibuje la region.

6. Determine el area de la region acotada por la curva y = x3 y las rectasy = 8 y y = −1

2x. Dibuje la region.

7. Determine el area de la region acotada por la curva y = x2 + 1 y lasrectas y = x+ 7 y y = 10. Dibuje la region.

4.4. Aplicaciones de la integral definida

1. En cierto supermercado, el precio actual de la carne molida preferentees de 50 pesos por kilo. Se estima que en las proximas 8 semanas, elprecio estara aumentando a una tasa de 0.03

√x+ 1 pesos por semana.

a) ¿Cual sera el precio al final de la octava semana?

b) ¿En cual de las 8 semanas sera mayor el incremento del precio ycual es este?

2. Un estudio indica que dentro de x meses la poblacion de cierto puebloestara creciendo al ritmo de 2 + 6

√x personas por mes.

a) ¿En cuanto crecera la poblacion del pueblo durante los proximos4 meses?

b) ¿Durante el noveno mes?


3. En cierta fabrica, el costo marginal es de 3(q − 4)2 dolares por unidadcuando el nivel de produccion es de q unidades. ¿En cuanto aumentarael costo total de fabricacion si el nivel de produccion se eleva de 6 a 10unidades?

4. Despues de t horas en el trabajo, un obrero industrial puede producir100te−0.5t unidades por hora.

a) ¿Cuantas unidades produce un obrero que llega al trabajo a las8:00 a.m. entre las 10:00 a.m. y mediodıa?

b) ¿Cual es el numero total de unidades que produce en su turnocompleto de 8 horas suponiendo que no hay interrupciones?

5. Despues de t horas en el trabajo, un obrero industrial puede producira un ritmo de 100te−0.5t unidades por hora.

a) ¿Cuantas unidades producira el trabajador durante las primeras3 horas?

b) ¿Cuantas unidades producira en la tercera hora?

6. Despues de t semanas, las contribuciones en respuesta a una campanafinanciera local habıan llegado a un ritmo de 2000te−0.2t dolares porsemana. ¿Cuanto dinero se reunio durante las primeras 5 semanas?

7. La produccion de una fabrica cambia a una tasa de Q′(x) = 3t2 +8t+2unidades por hora, t horas despues de la hora de entrada, que es a las7 am ¿cuantas unidades se produciran entre las 9 y la 11 am?

8. Los promotores de una feria de juegos mecanicos estiman que t horasdespues de que abran las puertas a las 9 a.m., los visitantes ingresarana la feria a una tasa de N ′(t) personas por hora. Determine el numerode personas que ingresara a la feria entre las 11 a.m. y la 1 p.m. DondeN ′(t) = 500x

(x2+1)

9. Una agencia de publicidad inicia una campana para promover un pro-ducto nuevo de limpieza, y determina que t dıas despues, el nume-ro de personas P (t) que escucho del producto cambia a una tasa deN ′(t) = 5t2 − 0.04t

t2+3personas por dıa.

¿Cuantas personas escucharon sobre el nuevo producto de limpieza du-rante la primera semana?

4.4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 73

10. El valor promedio de una funcion sea f(x) una funcion que es continuaen el intervalo a ≤ x ≤ b. Entonces el valor promedio V de f(x) en[a,b] esta dado por la integral definida

V =1

b− a

∫ b

a

f(x)dx

Determine el valor promedio de f(x) = 2x2 − 1 en el intervalo [−1, 1].

11. Un estudio revela que el precio del kilo de pollo t meses despues delinicio del ano era de p(t) = 30 + t2 − 0.12t pesos por kilo. ¿Cual es elprecio medio p del kilo de pollo durante los primeros 6 meses del ano?

12. Un fabricante determina que t meses despues de introducir un productonuevo, las ventas de la compania seran S(t) miles de dolares, donde

S(t) =750t√

4t2 + 25

¿Cual es el promedio de las ventas mensuales de la compania en losprimeros 6 meses despues de la introduccion del producto nuevo?

13. Las ganancias netas totales generadas por una maquinaria industrial encierto perıodo de anos es la diferencia entre el ingreso total generadopor la maquinaria y el costo total de operacion y mantenimiento deesta. Estas ganancias totales pueden ser interpretadas como el areaentre dos curvas.

a) Ejemplo: Cuando tiene x anos, cierta maquinaria industrial ge-nera ingresos a un ritmo de

R(x) = 5000− 20x2

dolares por ano y da por resultado unos costos que se acumulan aun ritmo de

C(x) = 2000 + 10x2

dolares por ano.

1 ) ¿Cuantos anos es provechoso el uso de la maquinaria?

2 ) ¿Cuales son las ganancias netas totales generadas por la ma-quinaria durante el perıodo de tiempo obtenido en 1)?


3 ) Si se continua indefinidamente con la operacion, ¿en que mo-mento son cero las ganancias netas?

14. Despues de x horas en el trabajo, un obrero industrial esta produciendo

Q1(x) = 60− 2(x− 1)2

unidades por hora, mientras que un segundo trabajador esta produ-ciendo

Q2(x) = 50− 5x

unidades por hora. Si ambos llegan al trabajo a las 8:00 a.m., ¿cuantasunidades mas habra producido hasta el mediodıa el primer trabajadorque el segundo? (utilice el area de una region entre dos curvas)

15. La funcion de densidad de probabilidad para la duracion de las llamadastelefonicas por medio de telefonos celulares en cierta ciudad es

f(x) = 0.5e−0.5x

donde x representa la duracion en minutos de una llamada seleccionadaaleatoriamente.

a) ¿Que porcentaje de las llamadas duran entre 2 y 3 minutos?

b) ¿Que porcentaje de las llamadas duran 2 minutos o menos?

c) ¿Que porcentaje de llamadas duran mas de 3 minutos?

d) Verifique que los resultados en a), b) y c) suman 1. Interprete.

4.5. Integrales impropias

1. Evalue:

a)∫∞

0xe−x

2dx

b)∫∞

0x2e−xdx

c)∫∞

0x3

(x4+1)2dx

d)∫∞

1e2x−1

x2dx

e)∫∞

1lnxxdx

4.5. INTEGRALES IMPROPIAS 75

f )∫∞

11t2dx

g)∫∞

141

3√2x−1dx

h)∫∞

0x3e−x

2dx

i)∫∞

41

t(ln t)2dt

j )∫∞

03x

(1+x2)3dx

Apendice A

SOLUCIONES

A.1. La derivada

A.1.1. Incrementos y tasas

1. a) ∆f = 0.4, ∆f∆x

= 2.

b) ∆f = 6, ∆f∆x

= 12.

c) ∆g = 0.5, ∆g∆x

= 1.

d) ∆f = −2.1, ∆f∆x

= −7.

e) ∆f = 7.25, ∆f∆x

= 14.5.

f ) ∆f = 0.2, ∆f∆x

= 1.

g) ∆f = −1.25, ∆f∆x

= 5.

h) ∆g = 0.69, ∆g∆x

= −2.3.

2. a) ∆p∆t

= −200 personas por ano.

b) ∆p∆t

= 280 personas por ano.

c) ∆p∆t

= 1000− 240t− 120∆t personas por ano.

3. a) ∆C = 716 dolares.

b) ∆C∆x

= 16.3 dolares por unidad.

c) ∆C∆x

= 11.3 dolares por unidad.

77

78 APENDICE A. SOLUCIONES

4. ∆C∆x

es siempre igual a m y representa la pendiente de la recta y = mx+b.

m = tan θ

5. a) ∆x = −83.33 artıculos.

b) ∆I = 833.33 dolares.

c) ∆I∆p

= 218.75 dolares por cada dolar adicional.

6. PNB∆x

= 2.5 miles de millones de dolares por ano o 2500 millones dedolares por ano.

7. a) 100, 5900 y 5800 dolares respectivamente.

b) 10, 590 y 580 dolares por unidad respectivamente.

8. e−0.1 − e−0.2 en ambos casos.

9. ∆P = 4362.29 personas. TCP= ∆P∆t

= 436.23 personas por ano.

10. ∆R∆x

= −40 dolares por unidad.

11. TCPut = 8375.52 dolares por unidad adicional.

A.1. LA DERIVADA 79

A.1.2. Lımites

1. a) 25

b) −2

c) 0

d) 1108

e) 54

f ) 2

g) 12

h) −6

i) − 116

j ) −14

k) 14

l) 0

m) 23

n) −32

n) −48

o) −9

p) −32

q) −12

r) no existe.

s) −365

t) 528

u) −23

2. a) 11

b) 26

c) 312

d) 1


3. a) −23

b) −4

c) 0

d) 0

e) −1

f ) 2

g) −13

h) −13

i) 4

j ) −16

k) −19

l) −58

4. a) Sı existe lımx→−1

f(x) = −2

b) El lımx→3

f(x) no existe porque los lımites laterales son diferentes.

c) Sı existe lımx→−1

f(x) = 12

d) Sı existe lımx→o

f(x) = 0

5. k = −12

6. a) lımx→1

f(x) = 2. No es continua pues f(2) 6= 2.

b) lımx→1

f(x) = −1. Sı es continua pues f(1) = −1.

c) lımx→−3

f(x) = −6. Sı es continua pues f(−3) = −6.

d) No es continua porque los lımites laterales son diferentes. lımx→2+

f(x) =

236= lım

x→2−f(x) = −2

3.

7. h = 0.

8. A = 0, B = −4 .

9. c = −13.

A.1. LA DERIVADA 81

10. A = −13.

11. a = 2 y b = 6

12. a = 32

y b = −52.

13. a = 4 y b = −2.

14. A = −52

15. a) Es discontinua porque f(2) no existe y no se puede remover ladiscontinuidad.

b) Es discontinua porque g(1) no existe. Se puede remover la discon-tinuidad si igualamos el valor de la funcion al valor del lımite.

g(x) =

x3−1x−1

si x 6= 1

3 si x = 1

c) No es continua porque h(1) no existe.Se puede remover la discon-tinuidad si igualamos el valor de la funcion al valor del lımite.

h(x) =

√x−1

x2+4x−5si x 6= 1

12

si x = 1

d) No es continua porque l(−3) no existe y no se puede remover ladiscontinuidad.

16. No puede convertirse a continua porque lımx→1

f(x) no existe. Para ningun

valor de A los lımites laterales no son iguales.

17. No puede removerse la discontinuidad porque lımx→1

f(x) no existe. Para

ningun valor de a los lımites laterales no son iguales.

18. f es discontinua en x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y continua en los demas puntosdel intercalo [0,8].

19. a) Falso; f(c) puede estar definido y lımx→c

f(x) puede no existir.

b) Falso; ademas de que lımx→c

f(x) exista, debe ser igual a f(c).

c) Verdadero.


A.1.3. La derivada

1. a) 3

b) 0

c) 4x+ 5

d) 7

e) 2t+ 1.

d) − 1x2

2. a) f ′(x) = 12√x

b) f ′(4) = 14

c) y = 14x+ 1

3. a) f ′(x) = − 2x3

b) f ′(1) = −2

c) y = −2x+ 3

4. f ′(−3) = −19

5. 16.

6. a) g′(x) = 6x2 − 10x+ 3.

b) h′(u) = 2(1−u)2

.

c) f ′(t) = −2(2t+3)2

.

d) y′ = 6x2 − 3x2.

e) y′ = 12√x− 3.

f ) y′ = 7x6 − 8

33√x4.

g) f ′(x) = 2x2(5x2 − 6).

h) f ′(x) = 6x2 − 12x− 1.

i) f ′(x) = −7(x−2)2

.

j ) f ′(x) = 2(x2−3x−1)(2x−3)2

.

k) f ′(x) = −3x2−10x−9(x2−3)2

.

A.1. LA DERIVADA 83

l) f ′(x) = 30x7/3 + 153√x2.

m) f ′(x) = −3x2+3x+1√x(x2−3x+1)2

.

n) f ′(x) = −8x5+5x4+12x3−13x2+4x−12(x3+2)2(x2−3)2

n) f ′(x) = 1√x(√x+1)2

.

7. a) ddx

= 2x4−10x3

.

b) dydx

= 9−√x

x5/2.

c) y′ = 4(x4−1)x3

.

d) f ′(x) =3√x−6

33√x5.

8. a) S = 200 dolares por semana.

b) S ′(2) = 120 dolares por semana.

c) S ′(5) = 0

d) 199.8, 119.8,−0.2 dolares por semana.

9. a) cero personas por ano.

b) 120 personas por ano.

c) 840 personas por ano.

d) 0.6, 120.6, 840.6 personas por ano.

10. a) 50 personas por mes.

b) 51 personas.

11. a) Notemos que p2 + 10p + 25 = (p + 5)2, por lo que d′(p) = −100000(p+5)3

dolares.

b) d′(5) = −100 audıfonos inalambricas por dolar, y d′(10) = −29.63audıfonos inalambricas por dolar.

12. a) dydx

= 10x(x2 + 1)4

b) dydx

= 12x5 + 96x3 + 186x

c) dydt

= − 3t2

2√

7−t3

d) dydx|x=4 = 1

24


e) dydx|x=9 = −1

6

13. Nota: Para ilustrar la regla de la cadena, las siguientes deri-vadas no han sido simplicadas:

a) y′ = 3(2x+ 5)2(2).

b) y′ = 32(x2 − 6)1/2(2x).

c) y′ = 12(x2 − 2)3(2x).

d) y′ = −6(x2 + 5x)−4(2x+ 5).

e) y′ = 12(x2 + 8)−1/2(2x).

f ) y′ = 13(3x2 + 4)−2/3(6x).

g) y′ = 12(x2 − 4x+ 4)−1/2(2x− 4).

h) y′ = −(2x+ 4)−2(2).

i) y′ = −8(x2 − 3)−9(2x).

j ) y′ = −(2x2 − 3x+ 1)−2(4x− 3).

14. a) 726

b) 9√

3

c) 24696

d) −0.000198

e) 3√17

f ) 33√961

g) 1

h) −0.02

i) −4869

j ) −0.09

15. 92.

16. a) f ′(0) = −12

b) −155, 520

c) f ′(1) = −54

A.1. LA DERIVADA 85

d) f ′(0) = 14

e) f ′(−1) = 23

17. 214

A.1.4. Recta tangente a una curva

1. y = 0 .

2. a) (0,1) y (−2, 73).

b) (−1, 53).

3. (1,-4).

4. Las rectas tangentes son: y = 3x− 2 y y = 13x+ 2

3.

5. a) dydx

= 6− 2x.

b) m2 = 2 , m4 = −2.

c) x = 3.

d)

6. a) dydx

= 4x+ 8.

b) m2 = 16 , m4 = 24.

c) x = −2.


d)

7. a) dydx

= 2x2 + 6x.

b) m2 = 20 , m4 = 56.

c) x = 0 x = −3.

8.

9. a = −1 , b = 5 , c = 0 .

10. y = −x+ 3.

11. y = 2x+ 1 y y = −2x+ 9 .

A.1. LA DERIVADA 87

12. y = 6x , y = −14x .

13. P (2, 2) y Q(1,−12)

14. x = −23

15. a = −1, b = 4, c = −4

16. a = 3, b = 2

A.1.5. La derivada como razon de cambio

1. -390 .

2. a) La razon de cambio del costo total con respecto a la demanda.

b) La razon de cambio de la demanda con respecto al tiempo.

c) La razon de cambio del costo total con respecto al tiempo.

3. (dCdt

)2 = (dCdp

)18(dpdt

)2 = 3730

partes por millon/por ano.

4. -4 licuadoras por mes.

5. 4222.8 dolares por hora.

6. 6 kilos menos por mes. Esta decreciendo.

A.1.6. Analisis marginal

1. a) C ′(x) = 2(ln 2)x.

b) R′(x) = 1− 0.02x.

c) C ′(x) = 0.0003x2 − 0.18x+ 20.

d) R′(x) = 5− 0.025x3/2.

e) C ′(x) = 0.000003x2 − 0.006x+ 36.

f ) R′(x) = 0.01− 0.002x− 0.000025x3/2.

g) R′(x) = 100− (log 5)(3x2 + 72x5/2).


2. a) R′(800) = −150 dolares por unidad.

b) R′(16) = 4 dolares por unidad.

c) R′(64) = 22063

dolares por unidad.

d) R′(200) = −90 dolares por unidad.

3. U’(400) = 45 dolares.

4. a) I ′(36) = 2.5 dolares por unidad.

b) Ut′(36) = –6.5 dolares por unidad.

5. U’(9) = 4.5

6. a) Ut′(2003/2) = −66.44 dolares/unidad.

a) Ut′(25) = 12.2 dolares/unidad.

7. a) U ′(x) = −0.0002x+ 2.2 , precio = 1.90 .

b) 2000

c) 2100

d) 2000

8. a) 16.6 dolares por unidad.

b) 19.34 dolares por unidad.

9. a) dpdq

= −20.

b) dIdp

= 3920

10. a) dIdp

= 300−300q2

(q2+1)2.

b) (U(q)q

)′(2) = −51

11. 1.05 por ano.

12. 220 por ano.

13. 2100 y 2069.

A.1. LA DERIVADA 89

14. a) f ′(x) = −3x2 + 12x.

b) f ′(1) = 9 telefonos por hora.

c) f(2)− f(1) = 11 telefonos.

15. a) C ′(40) = 241 dolares.

b) 244 dolares.

c) Aproxima el costo de fabricacion de la cuadragesima segunda uni-dad.

d) C(q) = 3q + 1 + 500q

y C′(q) = 3− 500

q2.

16. 10 unidades.

17. 825 unidades.

18. a) 10012+t

b) 7.69 %.

c) Tendera a cero.

19. 0.125 %

20. a) El costo marginal es igual a 50(x−100)2+500000(x+100)2

que es siempre posi-tivo, por lo que el costo se incrementa.

b) El costo promedio marginal es igual a −5000(x+100)2

que es siempre ne-gativo, por lo que el costo promedio disminuye.

21. a) p′(5) = −18.95 dolares por cada mil de calculadoras adicionales(de 5 mil a 6 mil calculadoras)

b) I ′(5) = −33.14 dolares por cada mil calculadoras adicionales (de5 a 6 mil calculadoras)


A.1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logarıtmi-cas

1. a) 3e3x.

b) −7e−x.

c) 2xex2.

d) (x+ 1)ex.

e) (2x− x2)e−x.

f ) ( (x−1)ex

x2)

g) e√x

2√x

h) −xex

i) (2x− 1)ex2−x.

j ) (3x2 − 2x)ex3−x2 .

k) ex

(1−ex)2.

l) ex

(ex+1)2.

m) (6x+ 7)e(3x2+7x−1).

2. a) y′ = 33x+7

.

b) y′ = 2x.

c) y′ = 2xx2+7

.

d) y′ = 12x√

lnx.

e) y′ = 7(1+lnx)6

x.

f ) y′ = −1x(lnx)2

g) y′ = x(2 lnx+ 1).

h) y′ = ln(x+ 1) + xx+1

i) y′ = lnx+ 2.

j ) y′ = 1−lnxx2

.

k) y′ = 2x(1−lnx)2

.

l) y′ = ln(x+2)−1(ln(x+2))2

.

A.1. LA DERIVADA 91

3. a) ex( 1x

+ lnx).

b) 1−2x lnxxe2x

.

c) ex( 2xx2+1

+ ln(x2 + 1)).

d) 1−xx.

e) 1.

f ) 2x ln(3).

g) x2+2x−1(x2+1)(x+1)

.

h) 1x+2

+ 3− 2xx2+1

.

i) −3x2−4x+42(x2+4)(x+1)

.

4. a) No, e.

b) No, e−2

c) 0, e(1 + ln 2).

d) No, 0.

e) 1, 1.

f ) 0, 2 log(3).

g) −1, 12.

h) 72, 7

3.

i) 12,− 3

20.

5. a) f ′(−1) = −e−1.

b) f ′(0) = 12.

c) f ′(2) = 0.

d) f ′(15) = 30e−1

(1+2e−1)2.

e) f ′(0) = 12

f ) f ′(0) = 1.

6. (f ◦ x)′(3) = dhdt|t=3 = 6

7. (f ◦ x)′(0) = −1

8. 12.


9. y = −12x+ ln 1

2.

10. f ′(2) = −958

11. f ′(0) = 3 sı son paralelas.

12. y = 10x− 13

13. y = 12

14. p′(x) = −e50−x.

15. −12.

16. 2250 .

17. R′(x) = e−x/20(300− 15x) , U ′(x) = e−x/20(300− 15x)− 20 .

18. R′(x) = 35− ln(x+1)2− x

2(x+1).

19. dIdp

= 13((e75−5p − 5pe75−5p − 2).

20. a) Se deprecia 1082.68 dolares por ano.

b) Se deprecia a un ritmo constante de 40 % anual.

21. a) f(0) = 1000 personas .

b) f ′(4) = 60.2 personas por semana.

c) 2000 personas.

22. Ut′(20) = 2148.41 dolares por unidad.

23. I ′(10) = 250 dolares por unidad.

24. a) f(0) = 2 mil personas.

b) f ′(5) = 0.4818 miles de personas= 481.8 personas.

A.2. OPTIMIZACION Y BOSQUEJO DE GRAFICAS 93

A.2. Optimizacion y bosquejo de graficas

A.2.1. Limites al infinito

1. a) 23

b) 0

c) −43

d) +∞e) −∞f ) 1

3

g) 52

h) +∞i) 0

j ) +∞k) +∞

A.2.2. Funciones crecientes y decrecientes.

1. Crece en (−∞, 3) ∪ (4,∞) y decrece en (3, 4) .

2. La grafica de f ′ crece en (0, 1)∪ (1,∞) decrece en (−∞,−1)∪ (−1, 0) .

3. Crece en (−1, 0) ∪ (2,∞) y decrece en (−∞, 1) ∪ (0, 2) .

4. Crece en (−∞,∞) y decrece en ∅ .

5. Dominio: [0.2] ; crece en (0, 12) y decrece en (1

2, 2) .

A.2.3. Concavidad y puntos de inflexion.

1. a) Crece en (−1, 0)∪(2,∞) , decrece en (−∞,−1)∪(0, 2) . Es concava

hacia arriba en (−∞, 1−√

73

)∪ (1+√

73,∞) y concava hacia abajo en

(1−√

73, 1+

√7

3) . Puntos crıticos: (0,2), (2,-30) y (-1,-3) . Puntos de

inflexion con abcisas en (1−√

73,−.6748) y (1+

√7

3,−16.22) .


b) Crece en (0,∞) , decrece en (−∞,−3)∪(−3, 0) . Es concava haciaarriba en (−∞,−3)∪ (−1,∞) y concava hacia abajo en (−3,−1).Punto crıtico: (0,−2), (−3, 25). Puntos de inflexion (−3, 25), (−1, 9).

c) Crece en (0,∞), decrece nunca. Es concava hacia arriba en (0,∞),concava hacia abajo: ∅. No tiene puntos crıticos ni de inflexion.

d) Crece en (-1,1) , decrece en (−∞,−1)∪ (1,∞) . Es concava haciaarriba en (2,∞) y concava hacia abajo en (−∞,−1) ∪ (−1, 2) .Punto crıtico: (1, 1

4) . Punto de inflexion: (2, 2

9).

e) Crece en (-1,0) , decrece en (−∞,−1)∪ (0,∞) . Es concava haciaarriba en (−3

2, 0) ∪ (0,∞) y concava hacia abajo en (−∞,−3

2)

.Punto crıtico: (-1,0). Punto de inflexion: (−32, 25

9).

f ) Crece en (−∞, 0) , decrece en (0,∞) . Es concava hacia arriba en(−∞,− 1√

3)∪ ( 1√

3,∞) y concava hacia abajo en (− 1√

3, 1√

3). Punto

crıtico: (0,2) . Puntos de inflexion: (− 1√3, 3

2) y ( 1√

3, 3

2).

2. f ′′(x) = 2A para toda x en R, por lo que no cambia la concavidad. Lagrafica de f representa una parabola.

3. f ′′(x) = 6Px + 2Q por lo que f ′′(x) cambia de signo antes y despuesde −Q

3P.

4. a) Dominio: x ∈ R − {−12, 3}. Asıntota vertical: no hay hueco en

x = −12, x = 3. Asıntota horizontal no hay. Interseccion con los

ejes: con el eje y (0,1), con el eje x (12, 0).

b) Dominio: x ∈ R − {−1, 1}. Asıntota vertical: x = 1. Hueco enx = −1. Asıntota horizontal: y = 2. Asıntota oblicua: no hay.Interseccion con los ejes: con el eje y (0,1), con el eje x (1

2, 0).

c) Dominio: x ∈ R − {−1, 2}. Asıntota vertical: x = 1. Hueco enx = 2. Asıntota horizontal: no hay. Asıntota oblicua: y = 2x− 5.Interseccion con los ejes: con el eje y (0,0), con el eje x (0, 0) y(3

2, 0)

d) Dominio: x ∈ R−{0}. Asıntota vertical: x = 0. Asıntota horizon-tal: no hay. Asıntota oblicua: no hay. Interseccion con los ejes: conel eje y no hay, con el eje x (−1, 0)

e) Dominio: x ∈ R− {2}. Asıntota vertical: no hay. Hueco en x = 2.Asıntota horizontal: y = 0. Asıntota oblicua: no hay. Interseccioncon los ejes: con el eje y (0,3), con el eje x (−3, 0)


A.2.4. Graficas de funciones

1. 1) a) Creciente: (−∞,−2) ∪ (1,∞) , decreciente: (-2,1) .

b) Concavidad positiva :(−1/2,∞),concavidad negativa:(−∞,−1/2).

c) Puntos crıticos: x = −2 y x = 1.

d) Maximo relativo en (-2,13) , mınimo relativo en (1,-14), puntode inflexion en P (−1

2,−1

2) .

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : R.

g)


2) a) Creciente: (−∞,∞). Decrece: nunca.

b) Concavidad positiva: (1,∞) , concavidad negativa: (−∞, 1).

c) Punto crıtico en x = 1 .

d) Punto de inflexion en P (1, 2). No maximo, ni mınimo.

e) No tiene.


g)

3) a) Creciente: (−∞, 0)∪ (4,∞) , decreciente: (0, 2)∪ (2, 4) x 6= 2.

b) Concavidad positiva: (2,∞) , concavidad negativa: (−∞, 2).

c) Puntos crıticos: x = 0 y x = 4 .

d) Maximo relativo en (0,0) , mınimo relativo en (4,8), no tienepunto de inflexion.

e) AV : x = 2. AI : y = x+ 2

f ) Dominio : R− {2} , rango : (−∞, 0] ∪ [8,∞) .

g)


4) a) Creciente: (0,∞) , decreciente: (−∞, 0) .

b) Concavidad negativa: (−∞,∞)− {0} .

c) Punto crıtico en x = 0 .

d) Mınimo absoluto en (0,0). No tiene punto de inflexion.

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : [0,∞).

g)


5) a) Creciente: (−∞,−2/3) ∪ (0,∞) , decreciente: (-2/3,0) .

b) Concavidad positiva:(−1/3,∞),concavidad negativa:(−∞,−1/3).

c) Puntos crıticos: x = 0 y x = −2/3 .

d) Maximo relativo en (-2/3,31/27) , mınimo relativo en (0,1),punto de inflexion en P (−1

3, 29

27) .

e) No tiene.


g)

cot

6) a) Creciente: (−∞, 0) ∪ (4,∞) , decreciente: (0,4) .

b) Concavidad positiva: (3,∞) , concavidad negativa: (−∞, 0)∪(0, 3).


d) Maximo relativo en (0,100) ,mınimo relativo en (4,-156),puntode inflexion en P (3,−62) .

e) No tiene.


g)


7) a) Creciente: (0, 1) ∪ (1,∞) , decreciente: (−∞, 0) .

b) Concavidad positiva: (−∞, 1/3) ∪ (1,∞) , concavidad nega-tiva: (1/3,1).


d) Mınimo absoluto en (0,2), puntos de inflexion en P (13, 65

27) y

P (1, 3) .

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : [2,∞) .

g)


8) a) Creciente: (0, 1) ∪ (1,∞) , decreciente: (−∞,−1) ∪ (−1, 0) .

b) Concavidad positiva: (−∞,−1) ∪ (−1/3, 1/3) ∪ (1,∞) , con-cavidad negativa: (−1,−1/3) ∪ (1/3, 1) .

c) Puntos crıticos estacionarios: x = 0, x = 1 y x = −1 .

d) Mınimo absoluto en (0,-1), puntos de inflexion en P (−1, 0),P (1, 0), P (−1

3,−.5549), P (1

3,−.5649).

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : [−1,∞).

g)


9) a) Creciente: (−∞,−3)∪(1,∞) , decreciente: (−3,−1)∪(−1, 1).

b) Concavidad positiva: (−1,∞) , concavidad negativa: (−∞,−1).


d) Maximo relativo en (-3,-9), mınimo relativo en (1,-1).

e) AV : x = −1 y AI : y = x− 4.

f ) Dominio : R− {−1} , rango : (−∞,−9] ∪ [−1,∞) .

g)

10) a) Creciente: (10,∞) , decreciente: (−∞, 0) ∪ (0, 10) .

b) Concavidad positiva: (−∞,−10( 3√

2))∪(0,∞), concavidad ne-gativa: (−10( 3

√2), 0) .

c) Punto crıtico: x = 10.

d) Mınimo relativo en (10,1800), punto de inflexion en P (−10 3√

2,−180 3√

2).

e) AV : x = 0.

f ) Dominio : R− {0} , rango : R.

g)


11) a) Creciente: (−∞,∞).

b) Concavidad positiva: (−∞, 0) , concavidad negativa: (0,∞).

c) Punto crıtico: x = 0.

d) No tiene valores extremos, punto de inflexion en P (0, 1).

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango :R.

g)



b) Concavidad positiva no hay. Concavidad negativa: (−∞,∞).

c) Punto crıtico en x = 1.

d) Mınimo absoluto en (1,2). No hay punto de inflexion.

e) No tiene.


g)


13) a) Creciente: (0,∞), decreciente: (−∞,−3) ∪ (−3, 0) .

b) Concavidad positiva: (−∞,−3)∪ (−1,∞) , concavidad nega-tiva: (-3,-1).


d) Mınimo absoluto en (0,-8), puntos de inflexion en P (−3, 19)y P (−1, 3).

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : [−8,∞).

g)


b) Concavidad positiva: (−∞,∞).

c) Punto crıtico en x = 0.

d) Mınimo absoluto en (0,1). No hay punto de inflexion.

e) No tiene.


g)


15) a) Creciente: (−∞,−4)∪(0,∞) , decreciente: (−4,−2)∪(−2, 0).


c) Puntos crıticos: (-4,-8) y (0,0) .

d) Mınimo local en (0,0) m maximo local en (-4,-8), no hay puntode inflexion.

e) AV: x = −2 , AI: y = x− 2.

f ) Dominio : R , rango: (−∞,−8] ∪ [0,∞).

g)


16) a) Creciente: nunca. Decreciente: (−∞,−3) ∪ (−3, 3) ∪ (3,∞) .

b) Concavidad positiva :(−3, 0) ∪ (3,∞), concavidad negativa:(−∞,−3) ∪ (0, 3).

c) No tiene.

d) Punto de inflexion: (0,0).

e) AV: x = −3 y x = 3 , AH: y =0.


g)


17) a) Creciente: (0,∞) , decreciente: (−∞, 0).

b) Concavidad positiva: (−1, 1) , concavidad negativa: (−∞,−1) ∪(1,∞).

c) Puntos crıticos:(0,0) .

d) Mınimo local en (0,0), puntos de inflexion (1, 14),(−1, 1

4)

e) AV: no hay, AI: y = 1.

f ) Dominio : R , rango: [0, 1).

g)


18) a) Creciente: (−1, 1) , decreciente: (−∞,−1) ∪ (1,∞).

b) Concavidad positiva: (2,∞) , concavidad negativa: (−∞,−1) ∪(−1, 2).

c) Puntos crıticos: x = 1 .

d) Maximo local en (1, 14), puntos de inflexion (2, 2

9)

e) AV: x = −1, AH: y = 0.

f ) Dominio : R− {−1} , rango: (−∞, 14].

g)


19) a) Creciente: (0, 1) ∪ (1,∞) , decreciente: (−∞,−1) ∪ (−1, 0).

b) Concavidad positiva: (−1, 1) , concavidad negativa: (−∞,−1) ∪(1,∞).

c) Puntos crıticos: x = 0 .

d) Mınimo local en (0, 4), no hay puntos de inflexion.

e) AV: x = 1, x = −1, AH: y = 1.

f ) Dominio : x ∈ R− {−1, 1} , rango: (−∞, 1) ∪ [4,∞).

g)

20) a) Creciente: (−∞,−2) ∪ (−2, 0) , decreciente: (0, 2) ∪ (2,∞).

b) Concavidad positiva: (−∞,−2) ∪ (2,∞) , concavidad negativa:(−2, 2).

c) Puntos crıticos: (0, 0) .

d) Maximo local en (0, 0), no hay puntos de inflexion.

e) AV: x = −2, x = 2, AH: y = 1.

f ) Dominio : x ∈ R− {−2, 2} , rango: (−∞, 0] ∪ (1,∞).

g)


2. 1) a) Creciente: (−∞,∞).


c) Punto crıtico estacionario en x = −1.

d) Punto de inflexion en x = −1.

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : R .

g)


2) a) Creciente: (−∞, 0) , decreciente: (0,∞).

b) Concavidad positiva: (−∞,−1)∪ (1,∞) , concavidad negati-va: (-1,1) .

c) Punto crıtico estacionario en x = 0 .

d) Mınimo absoluto en (0, 1√2π

), puntos de inflexion en x = −1y x = 1.

e) y = 0.

f ) Dominio : R , rango : (0, 1√2π

) .

g)

3) a) Creciente: (−∞, 12) , decreciente: (1

2,∞).

b) Concavidad positiva: (1,∞) , concavidad negativa: (−∞, 1) .

c) Punto crıtico estacionario en x = 12.

d) Maximo absoluto en (12, 1

2e), punto de inflexion en x = 1.

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : (−∞, 12e

] .

g)



b) Concavidad positiva: (0,∞) , concavidad negativa: (−∞, 0) .

c) No tiene.

d) Punto de inflexion en x = 0.

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : R .

g)



b) Concavidad positiva: (−∞, 0) , concavidad negativa: (0,∞) .

c) No tiene.

d) Punto de inflexion en x = 0.

e) y = 0 y y = 4 .

f ) Dominio : R , rango : (0, 4) .

g)


b) Concavidad positiva: (-1,1) , concavidad negativa: (−∞,−1)∪(1,∞) .


d) Mınimo absoluto en (0,0) , puntos de inflexion en x = −1 yx = 1.

e) No tiene.

f ) Dominio : R , rango : [0,∞) .

g)


7) a) Creciente: (−∞,∞) .

b) Concavidad negativa: (−∞,∞) .

c) No tiene.

d) No tiene.

e) y = 700 .

f ) Dominio : R , rango : (−∞, 700) .

g)

8) a) Creciente: (0,∞) , decreciente: (−∞, 0).


b) Concavidad positiva: (−∞,∞) .


d) Mınimo absoluto en (0,2).

e) No tiene.


g)

9) a) Creciente: (1,∞) , decreciente; (0,1).

b) Concavidad positiva: (0,∞) .


d) Mınimo absoluto en (1,1).

e) x = 0 .

f ) Dominio : (0,∞) , rango : [1,∞).

g)


10) a) Creciente: (0,2) , decreciente; (−∞, 0) ∪ (2,∞) .

b) Concavidad positiva: (−∞, 2 −√

2) , concavidad negativa:(2 +

√2,∞).

c) Puntos crıticos estacionarios en x = 0 y x = 2.

d) Mınimo absoluto en (0,0) , maximo relativo en (2, 4e−2) , pun-tos de inflexion en x = 2−

√2 y x = 2 +

√2.

e) y = 0 .


g)


11) a) Creciente: (−∞,∞) .

b) Concavidad positiva: (−∞, 13

ln 2), concavidad negativa: (13

ln 2,∞).

c) No tiene.

d) Punto de inflexion: (13

ln 2,−12).

e) Horizontales: y = −2 y y = 1 .

f ) Dominio : R , rango : (−2, 1).

g)

12) a) Crece (−√

12,√

12), decrece (−∞,−

√12) ∪(

√12,∞)

b) Concavidad positiva: (-√

32, 0)∪(

√32,∞), concavidad negati-

va: (−∞,−√

32)∪ (0,

√32)

c) Puntos crıticos: x =√

12, x = −

√12

d) Mınimo local P(√

12, 0.428), maximo local P(−

√12,−0.428),

puntos de inflexion: P(0,0), P(√

32, 0.2732), P(-

√32,−0.2732).

e) Asıntota horizontal: y = 0

f) Dominio: x ∈ R o (−∞,∞), Rango: (−0.428, 0.428)

g)


13) a) Nunca crece, decrece (−∞,∞)

b) Concavidad positiva: (0,∞), concavidad negativa: (−∞, 0)

c) Puntos crıticos: no hay.

d) Puntos de inflexion: P(0,1/2),

e) Asıntota horizontal: y = −1 si x→ +∞, y = 2 si x→ −∞f) Dominio: x ∈ R o (−∞,∞), Rango: (−1, 2)

g)

3.

a)


b)

c)


d)

4.

5. a) Creciente: (−∞, 0) ∪ (4,∞) , decreciente: (0,4).

b) Concavidad positiva:(2,∞). concavidad negativa: (−∞, 2)

c) Maximo relativo en x = 0, mınimo realtivo en x = 4, punto deinflexion en x = 2.


6. a) Creciente: (−∞,−2) ∪ (4,∞) , decreciente: (-2,4).

b) Concavidad positiva:(1,∞), concavidad negativa:(−∞, 1) .

c) Maximo relativo en x = −2 , mınimo relativo en x = 4 , punto deinflexion en x = 1.

7. a) Maximo absoluto igual a 13 en el punto crıtico x = −2.Mınimo absoluto igual a -7 en el punto crıtico x = 0.

b) Maximo absoluto igual a 2 en el punto crıtico x = −1.Mınimo absoluto igual a -56 en el punto crıtico x = −2.

c) Maximo absoluto igual a 243 en el punto crıtico x = 2.Mınimo absoluto igual a -1 en el punto crıtico x = 0.

d) Maximo absoluto igual a 2 en el punto crıtico x = 1.Mınimo absoluto igual a 1.193 en el punto crıtico x = 1

2.

e) Maximo absoluto igual a 154.92 en el punto crıtico x = 25.Mınimo absoluto igual a -75 en el punto crıtico x = 0.

f) Maximo absoluto igual a 25 en el punto crıtico x = 0 y x = 100.Mınimo absoluto igual a -25 en el punto crıtico x = 50

A.2.5. Aplicaciones de maximos y mınimos

1. (0,10) y (7,-74,421) .Maximo absoluto: f(−1) = 203 y mınimo absoluto:f(7) = −74, 421 .

2. Mas rapido: 2 p.m., velocidad: 92 kilometros por hora. Mas lento: 5p.m., velocidad: 65 kilometros por hora.

3. a) q = 3.

b) p = 81, I(81) = 243.

4. q = 5 , C(5) = 35.

5. t = 3 y el mınimo es: 2e−3 + 2 .

6. x = −1 en [-1,4], y = −5x− 83.

7. a) t = 3. (t′(3) = 75)

b) t = 0. (t′(0) = 48)


8. $375. Beneficio maximo: $15,625 vendiendo 125 televisores.

9. a) 5 p.m. (Punto crıtico frontera).

b) 8 pm (t = 3)

10. a) Como U ′(x) = R′(x) − C ′(x) entonces, U ′(x) = 0 si y solo siR′(x) = C ′(x).

b) Por lo general, es creciente al principio, llega a su valor optimo ydecrece despues.

11. 47 o 48 personas. Ingreso maximo: $2,256 en ambos casos.

12. La funcion a minimizar: CT (x) = 0.48x+ 20(6000)x

+126000. Por lo tanto,el punto mınimo de la funcion CT es 500, que es la cantidad de llantasen x ∈ (0, 6000].

13. a) Cuadrado de 80 metros de lado.

b) Sı.

14. a) La mayor proporcion es 120

en t = 1 dıas y la menor proporcion es0 en t = 0 (inicio).

b) Tiende a cero.

15. a) $140.

b) 220 libros.

c) $24, 200.

16. 3 maquinas.

17. 17 pisos.

18. 11 a.m.

19. p = 5.52, x = 3 y el ingreso maximo es 16.5545.

20. a) 140 dolares.

b) 19,727.8 dolares, 197 camaras.

21. a) V = (− b2a,− (b2−4ac)

4a)


b) f ′′(x) = 2a, y de ahı el resultado.

22. A = 32, B = −6, C = 4.

23. a) I(q) = −1800q2 + 20q, C(q) = 4q, Ut(q) = −1

800q2 + 16q

b) p = 12 dolares, q = 6400 fundas para celulares al mes.

c) Utilidad maxima= Ut(6400) = 51200 dolares.

24. a) q = 250 unidades.

b) Utilidad maxima = Ut(250) = 1000 dolares, p = 37.50 dolares.

25. a) p = 5 dolares.

b) Ingreso maximo I(5) = 1250 dolares, q = 250 audıfonos inalambri-cos.

26. Cuando p > 1/2, la funcion demanda decrece. Pueden usar criterio dela primera derivada.

27. p = 50 dolares, ingreso maximo = I(50) = 91969.80 dolares.

28. q = 8 artıculos, Costo marginal mınimo = C ′(8) = 158 dolares

29. a) x = 50 policıas

b) Tasa promedio de delitos mınima correspondiente es de 108 deli-tos.

30. t = 208 anos.

31. a) 15 dolares.

b) 2,231.30 dolares.

c) 223 calculadoras.


A.2.6. Analisis incremental. Aproximacion por dife-renciales.

1. df = 122.50 dolares, ∆f = 123.25 dolares.

2. dc = 200 periodicos , ∆c = 225 periodicos .

3. Valor aproximado: 9.99 .

4. a) dV (t) ≈ 43.80 dolares.

b) ∆V (t) = 32.57 dolares.

5. 5 horas trabajador.

6. Incremento aproximado: 203 dolares. Incremento real: 193 .

7. dP = 1500 personas, ∆P = 1200 personas.

8. 6 televisores.

9. Disminuira aproximadamente 880 pesos.

10. a) Disminuye 9,900 unidades.

b) Aumenta 3,960 unidades.

11. Aumenta 0.8 unidades.

12. Disminuye 12,000 unidades.

13. a) dP = 27.50 pesos.

b) ∆P = 27.28pesos.

14. 26,000 millones.

15. a) 1347.9 automoviles.

b) 1298.6 automoviles.

16. a) 459.88 dolares.

b) 488.75 dolares.


A.2.7. Aproximacion de segundo orden

Diferenciales Segundo orden Calculadora

1. 6.9285714 6.928207 6.9280322. 3.0092593 3.0090021 3.00921673. 16.384 16.387456 16.38747

A.2.8. Diferenciacion implıcita

1. a) x = 2.

b) y = −3x2

+ 3√

2.

c) y = 25x+ 12

5.

2. dydx

= 83

en (2,2) .

3. Rectas tangentes: y = 3x− 1 y y = −13x+ 7

3.

4. a) ( dydx

)6 = (−6x3y2

)6 = −1225.

b) y′ = −2x(3x2+17)2/3

; igual a −1225

si x = 6.

5. a) dydx

= −34.

b) dydx

= −xy.

c) dydx

= 3x2−2x1−2y

.

d) dydx

= 3y−x2y2−3x

.

e) dydx

= − yx.

f ) dydx

= 3−2y2

y2+2x.

g) dydx

= −( yx)2.

h) dydx

= 13(2x+y)2

− 2.

i) dydx

= 4y−2x8y−4x−1

.

j ) dydx

= 2x−x3−xy22y+y3+x2y

.

k) dydx

= −4x9y.


6. a) (2,4) y (-2,-4) .

b) (4,2) y (-4,-2) .

7. La recta tangente es y = −13.

8. dydx

= −1627, dydx

= −2716

9. dxdt

= 0.25 miles de unidades por semana.

10. dxdt

= −0.125 miles de unidades por semana.

A.2.9. Diferenciacion logarıtmica

1. a) 5e5x.

b) 12e4x+1.

c) ex(x2 + 2x).

d) e−x(1− x).

e) x(2 lnx+ 1).

f ) 12(lnx+ 1).

g) lnx−1ln2 x

.

h) ex(lnx+ 1x).

i) 2.

j ) 27x2.

k) 6e−x

(1+e−x)2.

l) 11−x2

√x+1x−1

.

m) −(3x+ 61) (x+2)4

(3x−5)7.

n) (ln 2)2x.

n) (lnx+ 1)xx.

2. Verique sus respuestas contra las respuestas presentadas anteriormente.

3. a) 0.

b) 2e.


c) 785

4. dydx

= [xex( e

x

x+ ex lnx)] + [xx

2(x+ 2x lnx)]

5. dydx

= e2x(1 + x2)x[2 + 2x2

1+x2+ ln(1 + x2)]

6. dydx

=−( 1

x−2xy)

3y−x2

7. dydx

= (e4−x2 ) 3√9x−10(x2−3)4

[−2x+ 39x−10

− 8xx2−3

], mtan = f ′(2) = −1574

8. y′

y= m

nxde donde y′ = my

nx= rxr−1 .

9. a) x2x+1(2 lnx+ 2x+1x

).

b) (ln√x)x

2(lnx+ 1).

A.2.10. Elasticidad de la demanda

1. a) 100p100(5−p) .

b)√p

2(4−√p) .

c) p2(9−p) .

2. a) 139.

b) 119.

c) 337.

3. a) p = 6, x = 300.

b) p = 8, x = 200.

c) p = 245, x = 360.

4. p = 13, x = 5k

9

5. 169

6. a) 52.

b) 1

7. η = pp−b y de aquı las tres afirmaciones.


8. p = 13

dolares y q = 15 unidades.

9. a) η = p2

36−p2

b) η = 13

es inelastica.

c) p = 4.24 dolares.

10. a) η = 4p480−4p

b) η = 5 es elastica.

c) η = 12

es elastica.

11. η = 3 elastica.

12. a) η = 43, disminuye.

b) η = 12, aumenta.

13. a) η = 14, disminuye.

b) η = 32, aumenta.

A.3. Integrales

A.3.1. Integrales indefinidas

1. a) F (x) = 14x4 + c

b) F (x) = 13x6 + c

c) F (x) = 8x1/2 + c

d) F (x) = 7x+ c

e) F (x) = 3 ln | x | +cf) F (x) = 1

2e2x + c

g) F (x) = 13x6 + 2x4 + 4x+ c

h) F (x) = 23x3/2 + 10x1/2 − 9 ln | x | −8x+ c

i) F (x) = − 1x

+ ln | x | −x+ 12x2 + c

j) F (x) = 2√t− 2 ln | t | −3

t+ c

k) e5x

5+ C.

A.3. INTEGRALES 131

l) −e1−x + C.

2. F ′(x) = x2 + 5

3. F (x) = x4

4+ 2

x+ 2x− 5

4.

4. F (x) = x3 + x− 4.

5. Por ejemplo: F (x) = x3

3+ x2

2− 2x+ 1 .

6. F (x) = −x3

3+ 5x2

2− 4x+ c (solucion multiple).

7. F (x) = −x3

3+ 3x2 − 8x (solucion multiple).

8. a) ex−e−x

2+ C.

b) 23x3/2 + 3

4x4/3 + 2x1/2 + C.

c) x3

3+ 2x− 1

x+ C.

d) x4

4+ 2x3 + 6x2 + 8x+ C.

e) 25x5/2 + lnx+ C.

A.3.2. Aplicaciones de la integral indefinida

1. a) 5,108 personas.

b) 684 personas.

2. 10,128 personas.

3. 436 dolares.

4. a) I(x) = 20x3/2 + 3x4/3.

b) I(64) = 11, 008 dolares

5. Utilidad maxima 2,300 dolares con 50 unidades producidas y vendidas.

6. 11,000 dolares.

7. a) I(x) = 10x− 0.01x2

b) p+ 0.01x = 10

c) x = 500 , p = 5 y la utilidad maxima es 250 dolares.


8. a) 61.07 toneladas.

b) 34 anos.

9. a) 64 meses.

b) 600 mil dolares.

10. c(t) = 4t+ 2070t7/4 + 28, c(16) = 457.71 miles de personas contagiadas.

11. U(t) = 200√x− 0.2x2 − 355, U(36) = 585.8 dolares.

12. a) I(x) = 8x− 0.1x2

b) 40 unidades.

b) Ut(40) = 20 mil dolares y p = 4 mil dolares.

A.3.3. Metodo de sustitucion

1. a) (2x+6)6

12+ C.

b) (4x−1)3/2

6+ C.

c) ln|3x+5|3

+ C.

d) ex2−1 + C.

e) (x2−1)6

12+ C.

f ) 25

ln | x5 + 1 | +C.

g) ln2|5x|2

+ C.

h) ln | lnx | +C.

i) ln2(x2+1)2

+ C.

j ) 12

ln(1 + e2x) + C.

k) (x2 − 1)3/2 + C.

l) 365

(2x5 + 3)13 + C.

m) 2e√x + C.

n) 12

ln2 | x | +C.

2. a) (x+1)12

12− (x+1)11

11+ C.

A.3. INTEGRALES 133

b) 25(x+ 5)5/2 − 10

3(x+ 5)3/2 + C.

c) − 14(x−5)4

− 1(x−5)5

+ C.

d) (x− 1) + ln | x− 1 | +C.

e) 2(x+1)5/2

5− 2(x+1)3/2

3) + C.

3. a) −2√

1 + 1x

+ C.

b) 2 ln(√x− 1) + C.

c) − 14(x−5)4

− 1(x−5)5

+ C, (u = x− 5).

4. a) F (x) = x2 − 3x+ 23

ln | 3x− 1 | +c

b) F (x) = x3

3+ x2

2+ ln | 2x+ 1 | +c

c) F (x) = 32x2 + ln | 3x+ 2 | +c

d) F (x) = 32x2 − x+ 2 ln | x− 3 | +c

e) F (x) = 2x2 + x− 6 ln | x+ 2 | +c

5. altura: 73

= 2.33 metros.

6. V (5) = 502.12 dolares.

7. 13(x2 + 5)3/2 + 1.

8. a) p(x) = −135√x2 + 9 + 705

b) p = 132.24 dolares.

c) x = 4.09 cientos de unidades = 409 unidades.

9. a) C(q) = 12(2q − 4)3 + 200

b) C(12) = 4200 dolares.

A.3.4. Metodo de integracion por partes

1. a) xex − ex + C.

b) 2x3

(x+ 5)3/2 − 415

(x+ 5)5/2 + C.

c) x lnx− x+ C.


d) x2ex − 2xex + 2ex + C.

e) −xe−x − e−x + C.

f ) xe2x

2− e2x

4+ C.

g) x2

2lnx− x2

4+ C.

h) x3

3lnx− x3

9+ C.

i) x2ex2

2− ex

2

2+ C.

j ) 14x4(lnx− 1

4) + C.

k) 13e3x(2x+ 1

3) + C.

l) − 1x(lnx+ 1) + C.

2. a) −2xe−x/2 − 4e−x/2 + C.

b) x2 lnx− x2

2+ C.

c) x(x+1)11

11− (x+1)12

132+ C

d) x2e3x

3− 2xe3x

9+ 2e3x

27+ C.

3. a) x2(x2−1)11

22− (x2−1)12

264+ C

b) x4(x4+5)9

36− (x4+5)10

360+ C.

4. a) F (x) = x3e5x

5− 3x2e5x

25+ 6xe5x

125− 6e5x

625+ C.

b) F (x) = −x2e−x − 2xe−x − 2e−x + C.

c) F (x) = 2x3ex/2 − 12x2ex/2 + 48xex/2 − 96ex/2 + C.

d) F (x) = −13x2e−3x − 2

9xe−3x − 2

27xe−3x + C.

e) F (x) = 2x(x+ 2)1/2 − 43(x+ 2)3/2 + C.

f) F (x) = −2x2(5− x)1/2 − 83x(5− x)3/2 − 16

15(5− x)5/2 + C.

5. a) Sea u =√x , ası:

∫e√xdx = 2

√xe√x − 2e

√x + C.

b) Sea u = x2−1 , ası:∫x(x2−1) ln(x2 + 1)dx = (x2−1)2

4ln(x2−1)−

(x2−1)2

8+ C.

6. C(x) = 2250 + 250 ln(20)− 5000(x+20)

(1 + ln(x+ 20)).

7. F (x) = −x+1ex− 1

ex+ 5 + 3

e

A.4. LA INTEGRAL DEFINIDA 135

8. F (x) = 14x2 lnx− 1

8x2 − (5

2+ ln 2)

9. 239.75 dolares.

A.4. La integral definida

A.4.1. Integrales definidas

1. 8.

2. a) 18

b) -4.

3. a) 88615.

b) 2(e2 − e).c) −6.

b) 2.

4. a) 9, 999

b) 12

c) 2 ln 2− 1

d) 920

e) 403

f ) 0

g) 14(e2 − 1)

h) 12− e−1

i) 127

(4− 34e3

) ≈ 0.0854533

j ) − 23110

A.4.2. Area bajo curvas

1. a)∫ 2

02xdx = 4

b)∫ 3

1(−x2 + 4x− 3)dx = 4

3

c)∫ 9

4

√xdx = 38

3


d)∫ 0

ln(1/2)exdx = 1

2

2.∫ 1

0

√xdx+

∫ 2

1(2− x)dx = 7

6.

3.∫ 1

0x2dx

∫ 1

1/2(2x− 1)dx = 1

12u2.

4. 8u2

5. 643u2

6. 14

+ ln 3u2

A.4.3. Area entre curvas

1. 643u2.

2. 30, 327u2.

3. 9.

4. 116u2

5. 323u2

6. 76 u2

7. 916u2

A.4.4. Aplicaciones de la integral definida

1. a) 50.52 pesos .

b) En la octava, 0.087 pesos.

2. a)∫ 4

0(2 + 6

√x)dx = 40 personas.

b)∫ 9

8(2 + 6

√x)dx ≈ 19.490 personas.

3.∫ 10

63(q − 4)2dq = 208 dolares.

4. a)∫ 4

2100te−0.5tdt ≈ 131.901 unidades.

b)∫ 8

0100te−0.5tdt ≈ 363.368 unidades.

A.4. LA INTEGRAL DEFINIDA 137

5. a) 176.87 unidades.

b) 71.17 unidades.

6. 13,212.10 dolares.

7. 108 unidades.

8. 306 personas.

9. 572 personas.

10. −13

11. p = 16

∫ 6

0p(t)dt = 41.64 pesos.

12. S(t) = 250 mil pesos por mes.

13. a) 10 anos.

b) 20,000 dolares.

c) x =√

300 ≈ 17.32 anos.

14. 61.33 unidades.

15. a)∫ 3

2f(x)dx = e−1 − e−1.5.

b)∫ 2

0f(x)dx = 1− e−1.

c)∫∞

3f(x)dx = e−1.5 − lım

x→∞e−0.5x = e−1.5.

d) Los tres casos anteriores agotan todas las posibilidades y son aje-nos entre sı.

A.4.5. Integrales impropias

1. a) 12.

b) 2.

c) 14.

d) 12(e2 − 1).

e) ∞.f ) 1.


g) ∞.h) 1

2.

i) 1ln 4.

j ) 34.

Apendice B

Propiedades Basicas

En esta seccion hacemos un resumen de propiedades bascias que el alumnodebe conocer para poder resolver los ejercicios de este cuaderno.

B.1. Algunas propiedades algebraicas

Sean a, b, c ∈ R (numeros reales)

Propiedad Adicion Multiplicacion

Cerradura a+ b ∈ R ab ∈ RConmutatividad a +b = b + a ab = ba

Asociatividad a + (b + c)= (a + b) + c a(bc)=(ab)cIdentidad a + 0 = a a ·1 = aInverso −a ∈ R, tal que a− a = 0 (o recıproco) Si a 6= 0

Nota: Si a es positivo entonces a−1 = 1a∈ R, a = 1

a

-a es negativo y si a esnegativo entonces -a es positivo

Propiedad distributiva de la multiplicacion sobre la adicion:

a) a(b+ c) = ab+ ac

b) (a+ b)c = ac+ bc

139

140 APENDICE B. PROPIEDADES BASICAS

Propiedad de la igualdad: Si a = b y c es cualquier numero real, entonces

a) a+ c = b+ c

b) ac = bc

Productos donde interviene el cero:

a) a · 0 = 0 para todo a ∈ R

b) Si ab = 0 entonces a = 0 o bien b = 0

Algunas propiedades de los inversos aditivos:

a) −(−a) = a

b) (−a)(−b) = ab

c) −(a+ b) = −a− b

d) (−a)b = −(ab) = a(−b)

e) (−1)a = −a

f ) −(a− b) = b− a

Si a es positivo entonces -a es negativo.Si a es negativo entonces -a es positivo.

Definicion de: sustraccion a − b = a + (−b), division a ÷ b = a · (1b) =

a · b−1; b 6= 0.

Propiedades de los cocientes:

a) ab

= cd

entonces ad = bc

b) adbd

= ab

c) a−b = −a

b= −a

b

d) ab

+ cb

= a+cb

e) ab

+ cd

= ad+bcbd

f ) ab· cd

= acbd

g) ab÷ c

d= a

b· dc

= adbc

B.2. ALGUNAS PROPIEDADES DE ORDEN 141

B.2. Algunas propiedades de orden

Relacion de orden

a) Si a− b es positivo, entonces se dice que a es mayor que b y se denotapor a > b

b) Si a− b es negativo, entonces se dice que a es menor que b y se denotapor a < b

Ley de la tricotomıaSi a, b ∈ R, entonces exactamente una de las expresiones siguientes es verda-dera:

a < ba = b

o bien a > b

Axiomas de orden Existe una relacion ” ≤ ” tal que:

i) reflexividad: para cada elemento x tenemos que x ≤ x

ii) antisimetrıa: si x ≤ y y y ≤ x entonces x = y

iii) transitividad: si x ≤ y y y ≤ z entonces x ≤ z

iv) orden lineal: Para cada par de numeros x y y, x ≤ y o bien y ≤ x

v) compatibilidad de ”≤ 2”+”: Si x ≤ y entonces x+ z ≤ y + z

vi) compatibilidad de ”≤ 2”·”: Si 0 ≤ x y 0 ≤ y entonces 0 ≤ xy

Definicion. El valor absoluto de un numero real a, denotado por | a | , es

| a |={a si a ≥ 0−a si a < 0

Propiedades del valor absoluto:

a) | a |≥ 0 para toda a

b) | a |= 0 si solo si a = 0


c) | a |=| −a |

d) | ab |=| a || b |

e) | an |=| a |n

f ) | ab|= |a|

|b|

Definicion: Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente,de una recta real. La distancia entre A y B, denotada por d(A,B) , se definecomo d(A,B) =| b− a |.

B.3. Exponentes y radicales

Para n entero positivo an = a · a · a · ...· a (n factores);caso especial a1 = a

si n = 0 a0 = 1

n entero positivo a−n = 1an

n entero positivo mayor que 1, -Si a = 0, entonces n√a = 0

Si n = 2 la raız cuadrada principal es -Si a > 0, entonces n√a

a12 = 2√a =√a es el numero real positivo b tal que bn = a

-Si a < 0, y n impar, n√a

es el numero real negativo b tal que bn = a-Si a < 0, y n es par, entonces n

√a

no es el numero real.

Propiedades

a) aman = aa+n

b) (am)n = amn = (an)m

c) (ab)n = anbn

d) (ab)n = an

bn

e) am

an= am−n = 1

an−m

B.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 143

Teorema de los exponentes negativos

a) a−m

b−n = bn

am

b) (ab)−n = ( b

a)n

Propiedades de n√

para n entero positivo:

a) ( n√a)n = a, si n

√a es un numero real.

b) n√an = a si a ≥ 0

c) n√an = a, si a < 0 y n es impar.

d) n√an =| a |, si a < 0 y n es par

Leyes de los radicales

a) n√a n√b = n√ab ,

n√an√b

= n√

ab

NOTA: Cuidado si n√a+ b no necesariamente es igual a n

√a+ n√b

Notacion cientıfica:a = c× 10n donde 1 ≤ c < 10 y n es un entero.Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus unicos factores positivosson 1 y p.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA.Todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como un producto denumeros primos en una y solo una forma (excepto el orden).

B.4. Expresiones algebraicas

Una constante es una letra o sımbolo que representa un elemento especıficode un conjunto Ej. 2, -8, π. Una variable es una letra o sımbolo que re-presenta cualquier elemento de un conjunto Ej. Que x represente cualquiernumero real.Un polinomio en x es una suma de la forma anx

n+an−1xn−1 + ...+a1x+a0

donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ak es un numero real. Sian 6= 0 , se dice que el polinomio tiene grado n.


B.5. Productos especiales

Suma por diferencia:

(a+ b)(a− b) = a2 − b2

Binomio al cuadrado:

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

Producto de binomios con termino comun:

(a+ b)(a+ c) = a2 + a(b+ c) + bc

Binomio al cubo:

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab3 + b3

(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab3 − b3

Formulas de factorizacion

Diferencia de cuadrados:

a2 − b2 = (a+ b)(a− b).

Trinomio cuadrado perfecto:

a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2

a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2

Producto de binomios con termino comun:

a2 + a(b+ c) + bc = (a+ b)(a+ c)

Suma de cubos:

a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2)

Diferencia de cubos:

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)

Apendice C

Manejo de Lımites

En este apendice resumimos reglas generales sobre el manejo de lımites.

C.1. Asıntontas horizontales

Si los valores de la funcion f(x) tienden al numero L cuando x aumenta sinlımite se escribe

lımx→+∞

f(x) = L

De manera similar, se escribe

lımx→−∞

f(x) = M

cuando los valores de la funcion f(x) tienden al numero M si x disminuyesin lımite.

C.2. Reglas del recıproco de la potencia

Si A y k son constantes con k > 0 y xk esta definada para todo x, entonces

lımx→+∞

A

xk= 0

lımx→−∞

A

xk= 0

145

146 APENDICE C. MANEJO DE LIMITES

C.3. Limites de cocientes de funciones

El siguiente es un procedimiento de dos pasos para evaluar lımites de cocien-tes de funciones del tipo:

f(x) = p(x)/q(x)

Paso 1. Divida cada termino de f(x) entre la potencia mas alta xk que esteen el polinomio del denominador q(x).

Paso 2. Calcule lımx→+∞

f(x) o lımx→−∞

f(x), utilizando las propiedades algebrai-

cas de los lımites como las reglas del recıproco de la potencia.

C.4. Lımites infinitos

Se dice que lımx→c

f(x) es un lımite infinito si f(x) aumenta o disminuye sin

lımite cuando x→ c.Se escribe

lımx→c

f(x) = +∞

si f(x) crece sin lımite cuando x→ c, o

lımx→c

f(x) = −∞

si f(x) decrece sin lımite cuando x→ c.

Apendice D

Temas Adicionales

En este apendice incluimos ejercicios sobre temas adicionales que el profe-sor puede utilizar para dar ejemplos adicionales sobre lımites, derivadas eintegrales.

D.1. Lımites, derivadas e integrales de

funciones trigonometricas

1. Notemos que algunos lımites trigonometricos basicos son:

lımt→0

sin(t)

t= 1.

lımt→0

1− cos(t)

t= 0.

Utilice identidades trigonometricas y estos lımites basicos para hallar:

a) lımt→0

tan(t)t.

b) lımt→0

sin(2t2)5t2

.

c) lımt→0

1−cos(2t)3t

.

d) lımt→0

1−cos(t)t2

.

e) lımt→0

tan(t)−sin(t)t cos(t)

.

147

148 APENDICE D. TEMAS ADICIONALES

f ) lımt→0

tan(t)−sin(t)t3

.

2. Las derivadas trigonometricas basicas son:

d

dt(sin(t)) = cos(t)

d

dt(cos(t)) = − sin(t)

Utilıcelas para hallar las derivadas de las siguientes funciones:

a) ddt

(tan(t)).

b) ddt

(cot(t)).

c) ddt

(sec(t)).

d) ddt

(csc(t)).

3. Utilice la regla de la cadena para hallar dydx

si:

a) y = sin(2x2 + 3x+ 7).

b) y = ln(cos(x2 + 3)).

c) y = tan2(x3 − 2x).

d) y = ecot(x).

e) y = 4sin2(cos(3x− 7)).

f ) y = sin(sin(sin(x))).

4. Calcule f ′(c) si:

a) f(x) = ln(cos x) y c = −π/4.b) f(x) = etanx y c = π/4.

c) f(x) = 1+sin2xcos2x

y c = π.

5. Identifique cada uno de los siguientes lımites como una derivada y ob-tenga su valor:

a) lımh→0

sin(π+h)h

.

b) lımx→π/2

cos(x)x−π/2 .

D.1. LIMITES, DERIVADAS E INTEGRALES DEFUNCIONES TRIGONOMETRICAS 149

6. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a las graficas de sinxy cos x en el punto comun P0 = (π

4, 1√

2) . Ilustre.

7. Determine A, B y C tales que f(x) = A sinx + B cosx + C satisfaga:f(0) = 5, f(π/2) = 1 y f ′(0) = 3 .

8. Aproxime el valor pedido mediante diferenciales y usando las aproxi-macion de segundo orden. Compare los resultados entre sı y con el valorque ofrece su calculadora: sin(31◦) (NOTA: convierta en radianes).

9. Obtenga la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) a travesdel punto P0 , si la curva queda implıcitamente definida por la relacion:x = cos(x2y) + 3y2 − 4 y P0 = (0, 1) .

10. En los siguientes incisos, obtenga la antiderivada pedida. Compruebesus respuestas mediante diferenciacion:

a)∫x(cos(x2 + 3))dx

b)∫

tan(x)dx.

11. Encuentre la antiderivada indicada utilizando el metodo de integracionpor sustitucion:

a)∫x sin(2x2)dx

b)∫x sin3(x2) cos(x2)dx

c)∫

sinx sin(cosx)dx

d)∫x2 cos(x3 + 1)dx

e)∫esinx cosxdx

12. Halle el cambio de variable adecuado para encontrar la antiderivada de∫sin√xdx

13. Evalue∫ π2/2

0sin√

2tdt

14. Encuentre la integral indicada:

a)∫ π

0sin2 xdx


b)∫ π/2

0x sinxdx

c)∫ π−π x

2 sinxdx

15. Demuestre que el area bajo la grafica de y = sinx entre 0 y π es iguala 2. Dibuje tal area.

D.2. Aplicaciones financieras de la integral

definida

1. Suponga que dentro t anos, un plan de inversion generara utilidades auna tasa de P ′1(t) = 60e0.12t miles de dolares por ano. En tanto que unasegunda inversion generara utilidades a una tasa de P ′2(t) = 160e0.08t

miles de dolares por ano.

a) ¿Durante cuantos anos la tasa de rentabilidad de la segunda in-version excede a la primera?

b) Calcule el exceso neto de utilidad, suponiendo que invierte en elsegundo plan durante el periodo determinado en el inciso a)

Exceso neto de utilidad =∫ N

0E ′(t)dt donde E ′(t) = P ′2(t)−P ′1(t)

con 0 ≤ t ≤ N

2. Use la integral definida para estimar el valor actual de una anualidadque paga 100 dolares por mes en los proximos 2 anos si el tipo de interesque prevalece permanece fijo a un 8 % anual compuesto continuamente.

3. Un cuentahabiente tiene una deuda en un banco y el primer dıa de cadames deposita 3,000 pesos para liquidarla. Suponiendo que el tipo anualpermanece fijo al 5 % y se compone continuamente, estime medianteuna integral definida el valor actual de la deuda si aun debe 18 pagos.

(Sol:∫ 3/2

012(3000)e−0.05tdt

4. Una cuenta de ahorros paga el 10 % de interes anual compuesto con-tinuamente. Si un cuentahabiente deposita constantemente a razon de5000 dolares anuales, ¿cuanto tiempo se requiere para que el saldo nalalcance 140,000 dolares?

5. Una cuenta de ahorros paga el 10 % de interes anual compuesto conti-nuamente. ¿Que monto se debe depositar anualmente de manera cons-tante para acumular 100,000 dolares despues de 10 anos?

D.3. INTEGRACION USANDO TABLAS 151

6. Una cuenta de ahorros paga el 7.5 % de interes anual compuesto conti-nuamente. ¿Que monto debe depositarse cada ano de manera constantepara acumular 100,000 dolares despues de 10 anos?

7. Determine el valor presente de una anualidad que habra de pagar 1,500dolares al ano en los proximos 4 anos si el tipo de interes anual perma-nece fijo al 10 % compuesto continuamente.

8. Use la integral definida para plantear una ecuacion que indique cuales el interes compuesto continuamente que debe prevalecer durante 5anos para triplicar el monto de una inversion.

9. La direccion de una cadena de tiendas de helados estadounidense estavendiendo una licencia para cinco anos para manejar su nuevo mercadodel estado de Morelos. Experiencias pasadas en localidades similaressugieren que dentro de t anos la licencia estara generando beneficios aun ritmo de

f(t) = 14000 + 490t

dolares por ano. Si el tipo anual de interes predominante permanecefijo durante los 5 anos a un 7 % compuesto continuamente, ¿cual es elvalor actual de la licencia?

D.3. Integracion usando tablas

A continuacion mostramos algunas formulas de integracion (tabla de inte-grales) que se pueden usar para resolver de manera mas rapida algunas inte-grales:

1.∫

2p2−x2dx = 1

2pln | p+x

p−x |

2.∫

1x(ax+b)

dx = 1b

ln | xax+b

|, (b 6= 0)

3.∫

1x(ax+b)2

dx = 1b(ax+b)

− 1b2

ln | ax+bx|, (b 6= 0)

4.∫

1√x2±p2

dx = ln | x+√x2 ± p2 |

5.∫

1x√a2−x2dx = 1

aln | a+

√a2−x2x

|


6.∫xneaxdx = 1

axneax −

∫naxn−1eaxdx

(NOTA: Se han omitido todas las constantes de integracion)

1. Encuentre la antiderivada indicada utilizando la tabla de integrales ante-rior:

a)∫

16−3x2

dx

b)∫

13x2−6

dx

c)∫

1x3+2x2+x

dx

d)∫

1√4x2−9

dx

e)∫x2e5xdx

f )∫

107x√

8−2x2dx

g)∫

17x−9x2

dx

h)∫ √

4−x24x−x3 dx (Racionalice)

i)∫

1√2x2−4x+11

dx (Complete cuadrados)

j )∫x2e−0.5xdx

D.4. Soluciones de los ejercicios propuestos

D.4.1. Lımites y derivadas de funcionestrigonometricas

1. a) 1

b) 25

c) 0

d) 12

e) 0

f ) 12

(use el d))

D.4. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 153

2. a) sec2(t).

b) − csc2(t).

c) sec(t) tan(t).

d) − csc(t) cot(t).

3. a) (4x+ 3) cos(2x2 + 3x+ 7).

b) −2x tan(x2 + 3).

c) 2 tan(x3 − 2x) sec2(x3 − 2x)(3x2 − 2).

d) − csc2(x)ecot(x).

e) 8 sin(cos(3x− 7)) cos(cos(3x− 7))(− sin(3x− 7))(3).

f ) cos(sin(sin(x))) cos(sin(x)) cos(x).

4. a) 1.

b) e√2.

c) 0.

5. a) sin′(π) = −1.

b) cos′(π2) = −1.

6. y = x√2

+ 1√2(1− π

4) , y = − x√

2+ 1√

2(1− π

4).

7. A = 3, B = 7 y C = −2 .

8. Diferencial: 0.5151149, segundo orden: 0.5150388, calculadora: 0.515038

9. y = x6

+ 1.

10. a) 12

sin(x2 + 3) + C.

b) − ln(cosx) + C.

11. a) −14

cos(2x2) + C.

b) 18

sin4(x2) + C.

c) cos(cos(x)) + C.

d) 13

sin(x3 + 1) + C.

e) esinx + C.


12. Sea u =√x , ası:

∫sin√xdx = −2

√x cos

√x+ 2 sin

√x+ C.

13. π.

14. a) π2

(Sugerencia: sin2 x+ cos2 x = 1)

b) 1.

c) 0.

15.∫ π

0sinxdx = cos 0− cos π = 2.

D.4.2. Aplicaciones financieras de la integral definida

1. a) 24.5 anos.

b) 3240.73 miles de dolares.

2.∫ 2

01200e−0.08tdt ≈ 2, 217.84 dolares.

3.∫ 5

0(14, 000 + 490t)e−0.07dt = 1000(300− 335e−0.35).

4. Se debe hallar T tal que:∫ T

05000e0.1(T−t)dt = 140, 000 y se obtiene

T = 10 ln(3.8) = 13.35 anos

5. Se debe hallar k tal que:∫ 10

0ke0.075(10−t)dt = 100, 000 y se obtiene

k = 6, 714.41 dolares.

6. 6,714.41 dolares.

7. 4,945.20 dolares.

8. Se debe hallar r > 0 tal que:∫ 5

0er(5−t)dt = 3 y la ecuacion que resulta

es e5r − 3r − 1 = 0 .

9.∫ 5

0f(t)e−0.07tdt ≈ 63.929.49 dolares.

D.4.3. Integracion usando tablas

1. a) 16√

2ln |

√2+x√2−x | +C.

b) − 16√

2ln |

√2+x√2−x | +C.

c) 1x+1− ln | x+1

x| +C.

D.4. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 155

d) 12

ln | 2x+√

4x2 − 9 | +C.

e) x2e5x

5− 2xe5x

25+ 2e5x

125+ C.

f ) 57√

2ln | 2+

√4−x2x

| +C.

g) 17

ln | x7−9x

| +C.

h) 12

ln | 2+√

4−x2x

| +C.

i) ln | (x− 1) +√

(x− 1)2 + 9 | +C.j ) −2e−0.5x(x2 + 4x+ 8) + C.

Bibliografıa

[1 ] Arya, J. C. y Lardner R.W., Matematicas Aplicadas a la Administra-cion y a la Economıa (quinta edicion), Pearson, Mexico, 2009.

[2 ] Haeussler E. F., Paul R. S. y Wood R. J. , Matematicas para Admi-nistracion y Economıa (decimosegunda edicion), Pearson, 2008

[3 ] Homann, L. D. Bradley G. L. y Rosen, K. H. , Calculo aplicado pa-ra Administracion, Economıa, Contadurıa y Ciencias Sociales (octavaedicion), McGraw-Hill, Mexico, 2006.

[4 ] Budnick, F.S., Matematicas Aplicadas para Adimnistracion, Eco-nomıa y Ciencias Sociales (tercera edicion), McGraw-Hill, Mexico

157

instituto tecnologico aut onomo de m...

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