incrementos y tasas 01

7/31/2019 Incrementos y Tasas 01

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ADMINISTRACIÓN DE EMPRESASANÁLISIS MATEMÁTICO I

I N C R E M E N T O S Y T A S A D E C A M B I OI N C R E M E N T O S Y T A S A D E C A M B I OI N C R E M E N T O S Y T A S A D E C A M B I OI N C R E M E N T O S Y T A S A D E C A M B I O

…EL CÁLCULO DIFERENCIAL

ElElElEl cálculocálculocálculocálculo diferencialdiferencialdiferencialdiferencial eseseses elelelel estudioestudioestudioestudio deldeldeldel cambiocambiocambiocambio quequequeque ocurreocurreocurreocurre enenenenunaunaunauna cantidad,cantidad,cantidad,cantidad, cuandocuandocuandocuando ocurrenocurrenocurrenocurren cambioscambioscambioscambios enenenen otrasotrasotrasotras cantidadescantidadescantidadescantidadesdededede laslaslaslas cualescualescualescuales dependendependendependendependen lalalala cantidadcantidadcantidadcantidad originaloriginaloriginaloriginal....

EnEnEnEn otrasotrasotrasotras palabras,palabras,palabras,palabras, consisteconsisteconsisteconsiste enenenen revisarrevisarrevisarrevisar lalalala tasatasatasatasa dededede cambiocambiocambiocambio dedededeunaunaunauna variablevariablevariablevariable ,,,, comocomocomocomo respuestarespuestarespuestarespuesta aaaa unununun cambiocambiocambiocambio enenenen otraotraotraotra variablevariablevariablevariable

,,,, dondedondedondedonde laslaslaslas dosdosdosdos estánestánestánestán relacionadasrelacionadasrelacionadasrelacionadas entreentreentreentre sí sí sí sí porporporpor lalalala funciónfunciónfunciónfunción = ()****

**** ElElElEl modelomodelomodelomodelo puedepuedepuedepuede serserserser generalizadogeneralizadogeneralizadogeneralizado paraparaparapara nnnn variablesvariablesvariablesvariables



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EJEMPLOS:

ElElElEl cambiocambiocambiocambio enenenen elelelel costocostocostocosto totaltotaltotaltotal dededede unaunaunauna planta,planta,planta,planta, comocomocomocomo resultadoresultadoresultadoresultado dededede unununun

aumentoaumentoaumentoaumento enenenen unaunaunauna ((((1111)))) unidadunidadunidadunidad adicionaladicionaladicionaladicional dededede productoproductoproductoproducto....

ElElElEl cambiocambiocambiocambio enenenen lalalala demandademandademandademanda dededede unununun productoproductoproductoproducto dededede unununun aumentoaumentoaumentoaumento enenenen unaunaunauna

unidadunidadunidadunidad (((($$$$1111)))) enenenen elelelel precioprecioprecioprecio

ElElElEl cambiocambiocambiocambio enenenen elelelel PIBPIBPIBPIB dededede unununun paíspaíspaíspaís enenenen unununun trimestretrimestretrimestretrimestre

NOTACIÓN

SeaSeaSeaSea xxxx unaunaunauna variablevariablevariablevariable conconconcon valoresvaloresvaloresvalores yyyy ,,,, entoncesentoncesentoncesentonces elelelel cambiocambiocambiocambio enenenen lalalala

variablevariablevariablevariable sesesese denotadenotadenotadenota comocomocomocomo ∆,,,, dondedondedondedonde

∆ = −

Y YY Y sesesese denominadenominadenominadenomina elelelel incrementoincrementoincrementoincremento dededede

EjeEjeEjeEje::::∆ ==== CambioCambioCambioCambio enenenen lalalala variablevariablevariablevariable pppp

∆q==== CambioCambioCambioCambio enenenen lalalala variablevariablevariablevariable qqqq



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NOTACIÓN

SeaSeaSeaSea yyyy unaunaunauna variablevariablevariablevariable quequequeque dependedependedependedepende dededede ,,,, taltaltaltal quequequeque = ()definidadefinidadefinidadefinida

paraparaparapara todotodotodotodo valorvalorvalorvalor dededede xxxx entreentreentreentre yyyy ,,,, cuandocuandocuandocuando::::

= = ())))

= =

DeDeDeDe taltaltaltal maneramaneramaneramanera quequequeque::::

∆ = −

= () − ()

EJERCICIO

LaLaLaLa cantidadcantidadcantidadcantidad vendidavendidavendidavendida dededede gasolinagasolinagasolinagasolina enenenen ciertaciertaciertacierta estaciónestaciónestaciónestacióndededede serviciosserviciosserviciosservicios dependendependendependendependen deldeldeldel precioprecioprecioprecio porporporpor litrolitrolitrolitro yyyyrepresentadorepresentadorepresentadorepresentado porporporpor loslosloslos siguientessiguientessiguientessiguientes paresparesparespares ordenadosordenadosordenadosordenados((((115115115115,,,,8000800080008000)))) yyyy ((((107107107107,,,,8500850085008500))))

a.a.a.a. CalculeCalculeCalculeCalcule elelelel incrementoincrementoincrementoincremento enenenen laslaslaslas ventas,ventas,ventas,ventas, porporporpor unununun

cambiocambiocambiocambio enenenen elelelel precioprecioprecioprecio dededede $$$$9000900090009000 aaaa $$$$9300930093009300b.b.b.b. GrafiqueGrafiqueGrafiqueGrafique lalalala funciónfunciónfunciónfunción

c.c.c.c. MuestreMuestreMuestreMuestre enenenen elelelel gráficográficográficográfico elelelel cambiocambiocambiocambio enenenen laslaslaslas variablesvariablesvariablesvariables



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PEQUEÑOS CAMBIOS

ConsideremosConsideremosConsideremosConsideremos quequequeque loslosloslos cambioscambioscambioscambios quequequeque sesesese dandandandan entreentreentreentre loslosloslos valoresvaloresvaloresvalores dededede sonsonsonson

muymuymuymuy pequeños,pequeños,pequeños,pequeños, dededede taltaltaltal maneramaneramaneramanera quequequeque ∆ correspondencorrespondencorrespondencorresponden aaaa unaunaunauna cantidadcantidadcantidadcantidad

cercanacercanacercanacercana aaaa cerocerocerocero....

ReordenandoReordenandoReordenandoReordenando tenemostenemostenemostenemos quequequeque::::

= + ∆

Usando el valor deUsando el valor deUsando el valor deUsando el valor de en la definición deen la definición deen la definición deen la definición de ∆, tenemos:, tenemos:, tenemos:, tenemos:

∆ = + ∆ −

ComoComoComoComo puede ser cualquier valor de x, tenemos:puede ser cualquier valor de x, tenemos:puede ser cualquier valor de x, tenemos:puede ser cualquier valor de x, tenemos:

∆ = + ∆ −



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EJERCICIO

SeaSeaSeaSea =

1.1.1.1. CalculeCalculeCalculeCalcule ∆ sisisisi = 2 yyyy ∆ = 0,5

2.2.2.2. GrafiqueGrafiqueGrafiqueGrafique lalalala funciónfunciónfunciónfunción

3.3.3.3. MuestreMuestreMuestreMuestre gráficamentegráficamentegráficamentegráficamente elelelel cambiocambiocambiocambio enenenen laslaslaslas variablesvariablesvariablesvariables

4.4.4.4. DetermineDetermineDetermineDetermine ∆ paraparaparapara cualquiercualquiercualquiercualquier incrementoincrementoincrementoincremento enenenen ∆

5.5.5.5. DetermineDetermineDetermineDetermine ∆ paraparaparapara cualquiercualquiercualquiercualquier valorvalorvalorvalor dededede ∆ yyyy

INFORMACIÓN ABSOLUTA VS INFORMACIÓN RELATIVAINFORMACIÓN ABSOLUTA VS INFORMACIÓN RELATIVAINFORMACIÓN ABSOLUTA VS INFORMACIÓN RELATIVAINFORMACIÓN ABSOLUTA VS INFORMACIÓN RELATIVA

• CuandoCuandoCuandoCuando lalalala informacióninformacióninformacióninformación sesesese estableceestableceestableceestablece enenenen formaformaformaforma absoluta,absoluta,absoluta,absoluta, loslosloslos

cambioscambioscambioscambios enenenen laslaslaslas variablesvariablesvariablesvariables dependientesdependientesdependientesdependientes contienencontienencontienencontienen menosmenosmenosmenos

informacióninformacióninformacióninformación.... PPPP....eeee:::: CambiaCambiaCambiaCambia elelelel precioprecioprecioprecio dededede $$$$1000100010001000 aaaa $$$$1200120012001200

• ExpresarExpresarExpresarExpresar lalalala informacióninformacióninformacióninformación enenenen términostérminostérminostérminos relativos,relativos,relativos,relativos, permitepermitepermitepermite

calcularcalcularcalcularcalcular lalalala tasatasatasatasa promediopromediopromediopromedio enenenen quequequeque estáestáestáestá cambiandocambiandocambiandocambiando unaunaunaunavariablevariablevariablevariable respectorespectorespectorespecto aaaa lalalala otraotraotraotra.... PPPP....eeee:::: LaLaLaLa demandademandademandademanda aumentoaumentoaumentoaumento 300300300300

unidadesunidadesunidadesunidades conconconcon unununun cambiocambiocambiocambio enenenen elelelel precioprecioprecioprecio dededede $$$$1500150015001500 aaaa $$$$1300130013001300



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TASA DE CAMBIO PROMEDIO

La tasa de cambio promedio de una funciónLa tasa de cambio promedio de una funciónLa tasa de cambio promedio de una funciónLa tasa de cambio promedio de una función , se define como la razón, se define como la razón, se define como la razón, se define como la razón ∆ / // /

∆, de tal manera que:, de tal manera que:, de tal manera que:, de tal manera que:

∆

∆=

+ ∆ − ()

∆

Nota: se requiere que el intervaloNota: se requiere que el intervaloNota: se requiere que el intervaloNota: se requiere que el intervalo ,∆ pertenezca al dominio depertenezca al dominio depertenezca al dominio depertenezca al dominio de

EJERCICIO

UnUnUnUn fabricantefabricantefabricantefabricante sabesabesabesabe que,que,que,que, elelelel costocostocostocosto dededede producirproducirproducirproducir toneladastoneladastoneladastoneladas porporporpor semanasemanasemanasemana eseseses dededede

() = 20000 + 40 y,y,y,y, elelelel ingresoingresoingresoingreso obtenidoobtenidoobtenidoobtenido dededede laslaslaslas ventasventasventasventas eseseses dededede

I q = 100 − 0,01....

LaLaLaLa compañíacompañíacompañíacompañía actualmenteactualmenteactualmenteactualmente produceproduceproduceproduce 3100310031003100 unidades,unidades,unidades,unidades, peroperoperopero consideraconsideraconsideraconsidera lalalala posibilidadposibilidadposibilidadposibilidad dededede

producirproducirproducirproducir 3200320032003200....

a.a.a.a. CalculeCalculeCalculeCalcule elelelel incrementoincrementoincrementoincremento enenenen loslosloslos costoscostoscostoscostos

b.b.b.b. CalculeCalculeCalculeCalcule elelelel incrementoincrementoincrementoincremento enenenen elelelel ingresoingresoingresoingreso

c.c.c.c. CalculeCalculeCalculeCalcule elelelel cambiocambiocambiocambio promediopromediopromediopromedio enenenen lalalala utilidadutilidadutilidadutilidad porporporpor toneladatoneladatoneladatonelada adicionaladicionaladicionaladicional

d.d.d.d. EvalúeEvalúeEvalúeEvalúe lalalala convenienciaconvenienciaconvenienciaconveniencia deldeldeldel aumentoaumentoaumentoaumento



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EJERCICIOS DE REPASO:

Determine el incremento en la función (Determine el incremento en la función (Determine el incremento en la función (Determine el incremento en la función (∆))))

() = 2 + 7con = 3 y ∆ = 0.2

=

con = 1 y ∆ = 0.3

Calcule la tasa de cambio promedioCalcule la tasa de cambio promedioCalcule la tasa de cambio promedioCalcule la tasa de cambio promedio

= 3 − 5 + 1con = 2 y ∆ = 1.2

DuranteDuranteDuranteDurante elelelel periodoperiodoperiodoperiodo dededede 1950195019501950 aaaa 1970197019701970,,,, elelelel ProductoProductoProductoProducto

NacionalNacionalNacionalNacional BrutoBrutoBrutoBruto dededede ciertociertociertocierto paíspaíspaíspaís estabaestabaestabaestaba determinadodeterminadodeterminadodeterminado

porporporpor (en(en(en(en milesmilesmilesmiles dededede millonesmillonesmillonesmillones dededede dólares)dólares)dólares)dólares)

= 5 + 0.1 + 0.01

DondeDondeDondeDonde xxxx correspondecorrespondecorrespondecorresponde aaaa loslosloslos añosañosañosaños (((( = 0paraparaparapara 1970197019701970

yyyy = 20 paraparaparapara 1990199019901990))))

• CalculeCalculeCalculeCalcule elelelel crecimientocrecimientocrecimientocrecimiento promediopromediopromediopromedio deldeldeldel PNBPNBPNBPNB entreentreentreentre

1975197519751975 yyyy 1980198019801980

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