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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería

1

SESIÓN 2

Funciones Reales de Variable Real – Modelos funcionales 2

1. Determine el dominio y el rango de la siguiente función:

1

2)(

2

x

xxxf

Solución: Factorizando por aspa simple el numerador de la función, tenemos:

2 1

1

x xf x

x

Simplificando la expresión, siempre que x sea diferente de 1,

2 xxf ; 1x

Luego el dominio de la función sería todos los reales, excepto el 1,

1Df R

Para hallar el rango de la función despejamos x en función de y,

2x y

Como 1, entonces 2 1. Luego 3x y y

Por lo tanto el rango de la función es:

3Rf R

2. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a) 32

)(

x

xxf

Solución:

La función está bien definida, si la expresión que está dentro de la raíz es positiva, entonces

032 x


2

32 x

Para resolver la inecuación, recordamos que

x a x a x a

Entonces

2 3 2 3 2 3x x x

5 1x x

Luego el dominio de la función será: ; 1 5;Df

b) xxxx

xxxxxf

531

36239)(

2

Solución:

Como en el denominador aparece el valor absoluto, luego la expresión

1 3 5x x x x siempre es diferente de cero, para cualquier Rx , entonces el

dominio lo obtenemos a partir de la expresión que está dentro de la raíz cuadrada, es decir la

función estará bien definida si está expresión es mayor o igual a cero. 23 2 0x x

2 2 3 0x x

013 xx Resolviendo la inecuación, usando los puntos críticos -3 y 1.

Luego: 3;1Df

3. Determine el dominio y rango de la siguiente función:

2

3 , 5 1

( ) 2 , 1 2

12 2 , 2

x si x

f x x si x

x si x

Solución: La función definida por partes, la podemos escribir como

-3 1

+ – +


3

1 1

2 2

3 3

( ) ,

( ) ( ) ,

( ) ,

f x Df

f x f x Df

f x Df

Dominio de la función

El dominio de la función f está dado por la unión de los dominios de cada parte, es decir

1 2 3Df Df Df Df

5; 1 1;2 2;Df

[ 5; ] 2Df

Rango de la función

Para hallar el rango de la función f, hallaremos primero el rango de cada parte

1a) 3; 5 1f x x x

Usamos el dominio 1Df para hallar el rango de 1f

Sumamos 3, a la desigualdad: 5 1x

31335 x

12 2f x

1 2;2Rf

2

2b) 2 ; 1 2f x x x


Elevamos al cuadrado la desigualdad: 1 2x

40 2 x

820 2 x

80 2 xf

2 0;8Rf

3c) 12 2 ; 2f x x x


Multiplicamos por -2 a la desigualdad: 2x

42 x

412212 x


4

83 xf

3 ;8Rf

Por lo tanto el rango de f será: 1 2 3Rf Rf Rf Rf

2;2 0;8 ;8Rf

;8Rf

4. Grafique y determine su dominio y rango, de las siguientes funciones:

a) ( ) | 1| | 1|f x x x

Solución:

Usando la definición de valor absoluto,

0

0

x si xx

x si x

Tenemos,

1 11

1 1

x si xx

x si x

1 11

1 1

x si xx

x si x

Para hallar el dominio y el rango de la función, primero es necesario hallar los valores críticos,

estos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto:

1 0 1x x

1 0 1x x

Colocamos los puntos críticos 1 y -1 en el eje real, y tenemos el siguiente gráfico

Luego tenemos que averiguar como es la regla de correspondencia de la función en cada

intervalo del eje real, para ello tengamos en cuenta los valores de 1x y 1x dadas

anteriormente. Así:

-1 1


5

Si 1x 1 1f x x x

1 1 2f x x x x

Si 11 x 1 1f x x x

1 1 2f x x x

Si 1x 1 1f x x x

1 1 2f x x x x

Por lo que la regla de correspondencia de f será:

2 ; 1

2 ; 1 1

2 ; 1

x si x

f x si x

x si x

Y el gráfico de esta función definida por partes, sería

El dominio de la función es la unión de los dominios de cada parte, es decir el dominio será el

conjunto de los números reales: , 1 1,1 1,Df R

Del gráfico observamos que el rango será desde 2 hasta el infinito,

Por lo tanto, 2,Rf

b) x

xxf )(

Solución:

xf

1 1

2

x


6

Por definición de valor absoluto, tenemos:

; 0

; 0

xsi x

xf x

xsi x

x

Por lo que la regla de la función, sería:

1 ; 0

1 ; 0

si xf x

si x

El gráfico será la función constante 1 si x es mayor que cero y -1 si x es menor que cero

Del gráfico observamos que el dominio será todos los números reales, excepto el cero y el rango solo incluyen los números -1 y 1.

{0}Df R

1;1Rf

5. Grafique las funciones definida por partes.

a)

| | , -3 1

( ) 2 , 1 3

4 , 3 7

x si x

f x x si x

x si x

Solución: Reescribiendo la función usando la definición de valor absoluto,

x

xf

1

1


7

, -3 0

, 0 1( )

2 , 1 3

4 , 3 7

x si x

x si xf x

x si x

x si x

Observamos que la función es lineal en todos los tramos, graficando tenemos

b)

4,1

40,1

0,3

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

Solución:

Primero graficamos 2

1 3, 0f x si x , para ello, observe que se ha procedido a graficar

inicialmente la función 2( )f x x , luego se ha reflejado en el eje x para obtener 2( )f x x , de

allí para obtener 2

1 3f x se ha desplazado la gráfica verticalmente 3 posiciones hacia

arriba.

1

1

2

3

5

3

13 7

X

Y

0

x2

X

Y

0 _ x2 X

Y

0

_ x2+3

3


8

Finalmente tome de la última gráfica la parte negativa de x, es decir cuando 0x .

Gráfica de f1

Ahora grafiquemos 2( ) 1, 0 4f x x si x para ello, observe que se ha procedido a graficar

inicialmente la función identidad ( )f x x , luego se ha desplazado la gráfica verticalmente 1

posición hacia arriba. Finalmente tome de la última gráfica lo que corresponde al intervalo 0 4x .

Gráfica de f2

X

Y

0

x

X

Y

0

x+1

1

X

Y

0

3

X

Y

0 4

5


9

Ahora grafiquemos 3( ) 1, 4f x x si x para ello, observe que se ha procedido a graficar

inicialmente la función raíz cuadrada ( )f x x , luego se ha desplazado la gráfica

horizontalmente 1 posición hacia la izquierda.

Finalmente tome de la última gráfica lo que corresponde al intervalo 4x .

Gráfica de f3

Ahora unimos todas las gráficas es decir 1 2 3, yf f f , esto resulta.

Gráfica de f

X

Y

0

1x

X

Y

0

x

X

Y

0 4

2

X

Y

0 4

3

5


10

6. Grafique las funciones racionales. Muestre de manera clara las intersecciones y las asíntotas.

a) 3

( )2 6

xf x

x

Solución:

Dominio

El dominio de la función son todos los números reales, excepto donde el denominador sea cero.

Por tanto el dominio será:

3 RD f

Para hallar una Asíntota Vertical, hacemos: 062 x Luego, existe una asíntota vertical en 3x

Rango:

Para hallar el rango de la función despejamos la variable x, luego analizamos los valores posibles

de la variable y.

2 6 3y x x

2 6 3xy y x

2 1 6 3y x y

12

36

y

yx

Se observa que y puede tomar cualquier valor real, excepto cuando el denominador es cero,

luego, el rango será:

2

1RR f

Para hallar una Asíntota Horizontal, hacemos: 012 y

Luego existe una asíntota horizontal cuando y = 1/2.

Para hallar los Interceptos con el eje “x” (hacemos y = 0)

31)0(2

3)0(6

x

Para hallar los Interceptos con el eje “y” (hacemos x =0)


11

2

1

6)0(2

30

y

La gráfica de la función quedará, así:

b) 1

3)(

x

xxf

Solución:

Dominio de “f”

El dominio de la función son todos los números reales, excepto donde el denominador sea

cero. Por tanto el dominio será:

1fD R

Para hallar una Asíntota Vertical, hacemos: 01x

Luego, existe una asíntota vertical en 1x

Rango de “f”

Para hallar el rango de la función despejamos la variable x, luego analizamos los valores

posibles de la variable y.

xxy 31

xyyx 3

3 yxyx

31 yyx

X

Y

3

2/1

3

2/1


12

1

3

y

yx

Se observa que y puede tomar cualquier valor real, excepto cuando el denominador es cero,

luego, el rango será:

1 RR f

Para hallar una Asíntota Horizontal, hacemos: 1 0y

Luego existe una asíntota horizontal cuando y = _1.

Para hallar los Interceptos con el eje “x” (hacemos y = 0)

310

30

x

Para hallar los Interceptos con el eje “y” (hacemos x =0)

310

03

y

La gráfica de la función quedará, así:

1 31

X

Y


13

7. Según las fuentes de la industria, el ingreso correspondiente a la industria de ventas a domicilio durante los años posteriores a su introducción, se puede aproximar mediante la función:

3 20,03 0.25 0,12 0 3

( )

0,57 0,63 3 11

t t t si t

I t

t si t

Donde I(t) mide el ingreso en miles de millones de soles y t se mide en años con t=0,

correspondiente al año 2000. Calcule el ingreso al inicio de 2009.

Solución:

Datos: I (t): Ingreso en miles de millones de soles t : años t = 0 (corresponde al año 2000) t = 9 (corresponde al año 2009) Nos piden el ingreso en el año 2009, entonces usamos la regla de correspondencia 0,57 0,63t puestoque 3 11t .

63,0957,0)9( I

5,4)9( I

Por lo tanto el ingreso para el año 2009 será de 4,5 millones

8. Un cuerpo está en Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Su variación de velocidad respecto al tiempo está dado en la gráfica, abajo. Escribir la velocidad como un modelo funcional respecto al tiempo.

Solución: Nos piden encontrar una función velocidad que dependa del tiempo, es decir

( / )v m s

60

30

( )t s12,5

15105

30


14

Velocidad = f (tiempo)

Vamos a escribir la función velocidad por tramos, teniendo en cuenta que es lineal en todas

partes.

Si 50 t entonces se ve del gráfico que: 1 10 30 y 5 60V V

Como la función es lineal en este tramo, entonces suponemos que es de la forma:

bmttV 1 Ahora evaluamos cuando t = 0 y t = 5 en la ecuación anterior.

Si t = 0, se tiene sustituyendo 30001 bmV 30b

Si t = 5, se tiene sustituyendo

60551 bmV

5 60m b

Pero 30b , entonces 60305 m

Así obtenemos: m = 6

Sustituyendo m y b en V1, obtenemos la función en el primer tramo:

3061 ttV

Si 5,125 t entonces se ve del gráfico que 2 25 60 12,5 30V y V


bmttV 2 Ahora evaluamos cuando t = 5 y t = 12,5 en la ecuación anterior.

Si t = 5, se tiene sustituyendo 60552 bmV

Si t = 12,5 se tiene sustituyendo 305,125,122 bmV

Ahora al solucionar el sistema de ecuaciones lineales

305,12

605

bm

bm

Obtenemos: 12 y 120m b

Sustituyendo m y b en V2, obtenemos la función en el segundo tramo:

120122 ttV


15

Si 5,12t entonces se ve del gráfico que 3 312,5 30 y 15 0V V


bmttV 3 Resolvemos como los casos anteriores y obtenemos la función en el tercer tramo:

180123 ttV

Por lo tanto la función quedaría:

5,12;18012

5,125;12012

50;306

tsit

tsit

tsit

tv

9. En el concierto de Juanes los organizadores del concierto han establecido el siguiente esquema

de pagos para VIP, costo por una entrada S/160. Si se compran 3 entradas se ofrece un descuento del 10% sobre el total, si se compran de 4 a más se ofrece un descuento del 40% sobre el total. Para realizar una proyección de los ingresos que podrían recibir los organizadores necesitan: a) Establecer una relación entre el precio y el número de asistentes.

b) Indicar cual se considera una variable independiente y cual dependiente.

c) Graficar la relación establecida.

d) Si un grupo de 7 jóvenes se acercan a comprar su entrada ¿cuánto tendrían que pagar?

Solución:

Datos: El costo de 1 entrada = S/. 160.

Por la compra de 3 entradas se da un descuento del 10% del total, es decir pagan sólo el 90%

total.

Po la compra de 4 a más entradas se da un descuento del 40% de total, es decir pagan sólo el

60% total.

Asuma que x sea el número de asistentes.

a) Entonces la relación entre el precio y el número de asistentes está dada por la función:


16

160 ; 1

90160 ; 3

100

60160 ; 4

100

si x

P x x si x

x si x

Reescribiendo la función, tenemos:

160 ; si 1

144 ; si 3

96 ; si 4

x

P x x x

x x

b) x : número de asistentes (variable independiente)

P: precio de entrada (variable dependiente)

c) Gráfica

d) 6727 P ; los 7 jóvenes tendrán que pagar S/. 672.

10. Una empresa de turismo alquila un camión de pasajeros a $200 por persona hasta 30 pasajeros. Si se tienen más de 30 pasajeros, por cada persona adicional el precio se reduce en $1.50 por pasajero. El cupo máximo es 40 y el mínimo es 25 pasajeros. Determina la función para el costo del alquiler del camión en términos del número de pasajeros. Solución: Sea “x” el número de pasajeros. Dividimos la regla de correspondencia en dos casos:

Si se tienen de 25 (cupo mínimo de pasajeros) a 30 pasajeros el precio es de 200x

160

384432

576

1 3 42 X

P

0 5 6


17

Si el número de pasajeros es mayor a 30 y máximo 40, el precio de cada pasaje disminuye en

1.50.

Observe que:

- El número de pasajeros arriba de 30 es: x - 30

- La reducción en el precio de cada pasaje es: 1.5 30x

- Cada pasajero deberá pagar: 305.1200 x

Por lo tanto el costo total es:

25.1245305.1200 xxx

Luego la función quedaría:

2

200 ; 25 30

245 1.5 ; 30 40

x si xP x

x si x

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