solucion hoja de trabajo_ sesion 5 (2)

Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera

1

SESIN 5

Funciones Reales de Variable Real Composicin de Funciones

1. Halle f g y g f , si existe, en los siguientes casos:

a) f(x) x 1; g(x) 2x 5

Solucin: En primer lugar vemos el dominio de la composicin: Podemos observar:

( )Dom f IR y para calcular el dominio de la otra funcin se procede de la siguiente manera:

2x 5 0 x 5 / 2

Esto significa que: 5

2( ) ,Dom g

Ahora obtenemos el dominio de la compisicin f g

5( ) / , 2 5

2Dom f g x IR x x IR

5 5 5( ) / , , ,

2 2 2Dom f g x IR x x

Como este conjunto es no vaco, exste f g , siendo:

( ( )) ( ( )) 1 2 5 1 5 / 2,f g f g x g x x x

Ahora vemos el dominio de la composicin g f

( ) / ( ) ( ) ( )Dom g f x R x Dom f f x Dom g

( ) / ( 1) 5 / 2,Dom f g x IR x IR x

)()()( /)( fDomxggDomxRxgfDom


2

Resolviendo:

5 5 3( 1) 5 / 2, 1 1 1

2 2 2x x x x

Es decir: ( 1) 5 / 2, 3 / 2,x

Con lo que reemplazando se tiene:

( ) / 3 / 2, 3 / 2,Dom f g x IR x IR x

Como este conjunto es no vaco exste f g , siendo:

( ( )) 2( ( )) 5 2( 1) 5 2 3 3 / 2,g f g f x f x x x x

b) xf(x) e ; g(x) ln(x)

Solucin:

Veamos los dominios de las funciones:

( )Dom f IR

Para calcular el dominio de la funcin logartmica, debemos recordar que este tipo de funciones aplican solamente a cantidades positivas, es decir:

( ) 0,Dom g Ahora calculamos:

( ) / ( ) ( ) ( )Dom f g x IR x Dom g g x Dom f

( ) / 0, ln( )Dom f g x IR x x IR

Pero ln( )x IR si 0x Es decir:

( ) / 0, 0, 0,Dom f g x IR x x

Ahora calculamos ( ) ln( )( ( )) , donde 0,g x xf g f g x e e x x


3

Por otro lado:

( ) / ( ) ( ) ( )Dom g f x IR x Dom f f x Dom g

( ) / 0,xDom g f x IR x IR e

Pero xe IR si x IR

Es decir:

( ) /Dom g f x IR x IR x IR IR

Ahora calculamos ( ( )) ln( ( )) ln( ) , donde xg f g f x f x e x x IR

c) f(x) 2x 1; g(x) 2x 5

Solucin:


( )Dom f IR

( )Dom g IR Ahora calculamos:

( ) / ( ) ( ) ( )Dom f g x IR x Dom g g x Dom f

( ) / 2 5Dom f g x IR x IR x IR

Pero 2 5x IR si x IR Es decir:

( ) /Dom f g x IR x IR x IR IR Ahora calculamos

( ( )) 2( ( )) 1 2(2 5) 1 4 11, donde f g f g x g x x x x IR Por otro lado:

( ) / ( ) ( ) ( )Dom g f x IR x Dom f f x Dom g


4

( ) / 2 1Dom g f x IR x IR x IR

Pero 2 1x IR si x IR Es decir:

( ) /Dom g f x IR x IR x IR IR Ahora calculamos

( ( )) 2( ( )) 5 2( 2 1) 5 4 3, donde g f g f x f x x x x IR

d) x 1 1

f(x) ; g(x) 3x 2 x


( ) 2Dom f IR Pues el denominador debe ser diferente de cero.

( ) 0Dom g IR Ahora calculamos:

1

( ) / 0 3 2Dom f g x IR x IR IRx

Para que 1

3 2IRx

debemos asegurar que

13 2

x dado que siempre e un

snmero real por que el dominio de g , asi lo establece.

1 1 13 2 5

5x

x x

Es decir:

( ) / 0 1/ 5 0, 1/ 5Dom f g x IR x IR x IR IR Ahora calculamos

( ) 1 (1/ ) 3 1 2 1

( ( )) , donde 0, 1/ 5( ) 2 (1/ ) 3 2 5 1

g x x xf g f g x x IR

g x x x


5

Por otro lado:

1

( ) / 2 02

xDom g f x IR x IR IR

x

Para que 1

02

xIR

x

debemos asegurar que

10

2

x

x

dado que siempre es un

nmero real por que el dominio de f , asi lo establece.

10 1

2

xx

x

Es decir:

( ) / 2 1 2,1Dom g f x IR x IR x IR IR Ahora calculamos

1 1 2 4 1

( ( )) 3 3 3 , donde 2,11( ) 1 1

2

x xg f g f x x IR

xf x x x

x

2. Halle f g y g f , si existe, en los siguientes casos:

a)

2

2

2; 1( )

1: 1

; 0( )

1 ; 0

x si xf x

x si x

x si xg x

x si x

Solucin: En primer lugar consideramos las funciones:

1( ) 2; si 1f x x x , 2( ) 1; si 1f x x x

2

1( ) ; si 0g x x x , 2

2( ) 1 ; si 0g x x x


6

Se observa que ya nos dan el dominio de las funciones:

1( ) ;1Dom f , 2( ) 1,Dom f ,

1( ) ;0Dom g , 2( ) 0;Dom g

Para realizar la composicin de f g , se debe analizar la posibilidad de realizar la

composicin de 1 1f g , 1 2f g , 2 1f g y 2 2f g

21 1( ) / ;0 ;1Dom f g x IR x x

Pero 2 ;1x si 2 21 1 0 ( 1)( 1) 0 1;1x x x x x

Luego:

1 1( ) / ;0 1;1 1;0Dom f g x IR x x Con lo que garantiza:

21 1 1 1( ) ( ) 2, 1;0f g x f g x x x

21 2( ) / 0; 1 ;1Dom f g x IR x x

Pero 21 ;1x si 2 2 21 1 0 0x x x x IR

Luego:

1 2( ) / 0; 0;Dom f g x IR x x IR Con lo que garantiza:

21 2 1 2( ) ( ) 3, 0;f g x f g x x x

22 1( ) / ;0 1;Dom f g x IR x x

Pero 2 1;x si 2 21 1 0 ( 1)( 1) 0 ; 1 1;x x x x x


7

Luego:

2 1( ) / ;0 ; 1 1; ; 1Dom f g x IR x x Con lo que garantiza:

22 1 2 1( ) ( ) 1, ; 1f g x f g x x x

22 2( ) / 0; 1 1,Dom f g x IR x x

Pero 21 1,x si 2 2 21 1 0 0 {}x x x x

Luego:

2 2( ) / 0; {} {}Dom f g x IR x x Por lo tanto no existe 2 2f g

Finalmente se tiene:

2

2

2

2, 1;0

( )( ) 3, 0;

1, ; 1

x x

f g x x x

x x

De manera similar g f .

b)

2

2; 1; 1( )

2 ; 1; 2

2; 2; 1

1( )

1 ; 0; 6

x si xf x

x x si x

si xxg x

x si x

Vamos a calcular g f , entendindose que 1 2,g g son las componentes de g y que 1 2,f f son las

componentes de f.

1 1( ) / 1;1 ( 2) 2; 1Dom g f x IR x x


8

Pero ( 2) 2; 1x si 2 2 1 4 3 4; 3x x x

Luego:

1 1( ) / 1;1 4; 3 {}Dom g f x IR x x

Con lo que se prueba que no existe 1 1g f

21 2( ) / 1;2 2 2; 1Dom g f x IR x x x

Pero 2 2 2; 1x x es totalmente falso, entonces x

Luego:

1 2( ) / 1;2Dom g f x IR x x

Con lo que se prueba que no existe 1 2g f

2 1( ) / 1;1 2 0;6Dom g f x IR x x

Pero 2 0;6x si 0 2 6 2 4 2;4x x x

Luego:

2 1( ) / 1;1 2;4 1;1Dom g f x IR x x Con lo que garantiza:

2 1 2 1( ) ( ) 1 ( 2) 1, 1;1g f x g f x x x x

22 2( ) / 1;2 2 0,6Dom g f x IR x x x

Pero 2 2 0,6x x si 2 22 0 2 6x x x x

2 22 0 2 0 ( 2) 0 ; 2 0;x x x x x x x 2 2 2 22 6 2 0 2 36 2 36 0x x x x x x x x


9

2 2 0 (restringido por la primera parte)x x

2 22 36 0 ( 1) 37 0 1 37 1 37 0x x x x x 1 37; 1 37x

De la interseccin de ambas inecuaciones se tiene:

1 37; 2 0; 1 37x

Luego:

2 2( ) / 1;2 1 37; 2 0; 1 37 1;2Dom g f x IR x x Con lo que garantiza 2 2g f

22 2 2 2( ) ( ) 1 2 , 1;2g f x g f x x x x

Finalmente se tiene:

2

1, 1;1( )( )

1 2 , 1;2

x xg f x

x x x

22 2 2 2( ) ( ) 1 2 , 1;2g f x g f x x x x

De manera similar f g .

3. Se debe construir una lata cilndrica para almacenar un volumen de 3 pulgadas cbicas de lquido. El costo del material que se usar para la parte superior e inferior de la lata es de 3 centavos de dlar por pulgada cuadrada, y el costo del material que se usar para la parte lateral es de 2 centavos por pulgada cuadrada.

a) Expresar la altura como funcin del radio de la base. b) Expresar el costo total de fabricacin en funcin del radio de la base

Solucin:


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a) Segn el grfico el radio de la base es r y la altura del cilindro es h ; adems el volumen del

cilindro es 2V r h ; por informacin del problema el volumen es de 3 pulgadas cbicas, entonces reemplazando en la frmula se tiene:

De donde se obtiene la altura como funcin del radio.

b) Para hallar el costo, tenemos que conocer la cantidad de pulgadas cuadradas para la base y la tapa y para la parte lateral:

Luego obtenemos el costo total de fabricacin de la lata:

Componiendo con h :

h

r

2 2 21 1in . 3 A r C r

2 2 22 2in . 3 A r C r

h

2 r

23 32 in . 4 A rh C rh


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4. Si se invierte al 4% de inters compuesto anual, por lo tanto la cantidad A(x) de la inversin despus de un ao es ( ) 1.04A x x .

a) Hallar ; ;A A A A A A A A A y explicar qu representan estas composiciones.

b) Hallar una frmula para n composiciones de A.

Solucin:

a) Como la funcin A , tiene como dominio el intervalo 0, , es posible componer consigo

mismo las veces que se desee, siendo el dominio de estas composiciones el intervalo 0,

Veamos: 2( )( ) ( ( )) 1.04(1.04 ) (1.04)A A x A A x x x

Se entiende como el dinero acumulado despus de dos aos.

3( )( ) ( ( ( ))) 1.04(1.04(1.04 )) (1.04)A A A x A A A x x x

Se entiende como el dinero acumulado despus de tres aos.

4( )( ) ( ( ( ( )))) 1.04(1.04(1.04(1.04 ))) (1.04)A A A x A A A A x x x

Se entiende como el dinero acumulado despus de cuatro aos.

b) Por deduccin es:

( )( ) ( ( ( ... ( )))) 1.04(1.04(1.04(1.04...(1.04 )))) (1.04)...n

n veces

x A A A A A x x xA A A A

5. La funcin g(x) 2x 50 que indica el salario semanal de un vendedor, determinado por el

nmero de unidades "x" vendidas cada semana. Un anlisis revela que la cantidad vendida cada semana por el vendedor depende del precio cobrado por el producto, dada por la funcin

x(p) 150 2,5p ; donde "p" es el precio expresado en dlares.

a) Halle el salario semanal en funcin del precio por unidad. b) Use el apartado anterior para calcular el salario semanal esperado para un precio de $30.

Solucin:

a) Nos piden realizar la composicin xg , para esto veamos la variacin de las variables x y

p , para esto debemos observar que la curva de la demanda x(p) 150 2,5p tiene sentido

en el primer cuadrante y esto es posible si 0,150x y 0,60p , pues si p= 0,


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entonces x = 150, adems si p = 60, entonces x = 0. Luego ( ) 0,150Dom g y

(x) 0,60Dom , entonces:

( x) / ( )Dom g x IR x Dx x p Dg

( x) / 0,60 (150 2.5 ) 0,150Dom g x IR x p

( x) / 0,60 0 150 2.5 150Dom g x IR x p

( x) / 0,60 150 2.5 0Dom g x IR x p

( x) / 0,60 0 60Dom g x IR x p

( x) / 0,60Dom g x IR x Con lo que se puede realizar la composicin:

( x)( ) (x( )) 2(150 2.5 ) 50 350 5 , 0,60g p g p p p p

b) Si el precio es de $30 , el salario sera de (30) 350 5(30) 200g .

6. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monxido de carbono en el aire ser C(p) 0,4p 1 partes por milln cuando la poblacin sea

p miles. Se estima que en t aos la poblacin de la comunidad ser 2p(t) 8 0,2t miles.

a) Exprese el nivel de monxido de carbono en el aire como una funcin del tiempo. b) Cul ser el nivel de monxido de carbono en 2 aos, a partir de hoy? c) Cundo alcanzar el nivel de monxido de carbono las 6.2 partes por milln?

Solucin:

a) Nos piden hallar:

2 2( ( )) 0.4(8 0.2 ) 1 4.2 0.08 , 0C p t t t t

b) Nos piden hallar:

2(2) 4.2 0.08(2) 4.52C Partes por milln

c) Nos piden calcular el valor de la variable t

2 2 26.2 4.2 0.08 2 0.08 25 5t t t t

Dentro de 5 aos alcanzar .


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7. Encuentre f g h , si existe, en cada caso.

a) f(x) x 1; g(x) x; h(x) x 1

b) 4f(x) x 1; g(x) x 5; h(x) x

Solucin: a) Veamos el dominio de las funciones:

( )Dom f IR , ( ) 0;Dom g ; ( )Dom h IR

Veamos primero ( ) / 0,Dom f g x IR x x IR

Pero x IR si 0,x , luego:

( ) / 0, 0, 0,Dom f g x IR x x

Ahora veamos ( ) / ( ) ( ) ( )Dom f g h x IR x Dom h h x Dom f g

( ) / ( 1) 0;Dom f g h x IR x IR x

Pero ( 1) 0;x si 1 0 1 1;x x x , luego:

( ) / 1; 1;Dom f g h x IR x IR x Finalmente

( )( ) ( ( )) ( 1) 1 1, 1;f g h x f g h x f x x x

b) Veamos el dominio de las funciones:

( )Dom f IR ; ( )Dom g IR ; ( ) 0;Dom h

Veamos primero ( ) / ( 5)Dom f g x IR x IR x IR Pero ( 5)x IR si x IR , luego:

( ) /Dom f g x IR x IR x IR IR

Ahora veamos ( ) / ( ) ( ) ( )Dom f g h x IR x Dom h h x Dom f g


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( ) / 0;Dom f g h x IR x x IR

Pero x IR si 0;x , luego:

( ) / 0; 0; 0;Dom f g h x IR x x Finalmente

4

( )( ) ( ( )) ( 5) 5 1, 0;f g h x f g h x f x x x

8. Una compaa que vende microcomputadoras determin que su utilidad total est dada por

20 08 80 260( ) .U q q q , donde q es el nmero de unidades producidas y vendidas. Suponga

que q est en funcin del tiempo, en meses, donde 5 1( )q t t . Halle la utilidad total en

funcin del tiempo.

Solucin: Hallamos la composicin

20 08 5 1 80 5 1 260( ( )) . ( ) ( )U q t t t , donde 0t

9. Suponga que la ganancia de la produccin y la venta de q unidades de un producto se

determina por medio de 2q

p(q) 180q 200100

. Adems, que para cierto mes, el nmero de

unidades producidas en el da t del mes es 1000 10( )q q t t .

a) Encuentre ( )( )p q t para expresar la ganancia como funcin del da del mes

b) Encuentre el nmero de unidades producidas y la ganancia en el da 15 del mes. Solucin:

a) Se debe calcular 2(1000 10t)

p(q(t)) 180(1000 10t) 200, t 0100

b) Primero se calcula q(15) = 1 000 + 10(15)=2500; luego

2(2500)

p(2500) 180(2500) 200 387300100

Es decir en el 15 da se produce 2500 unidades y la ganancia es de 387 300.


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10. Un fabricante determina que el nmero total de unidades de produccin por da, q, es una funcin f del nmero de empleados, m, donde:

240

4( )

m mq f m

El ingreso total, r, que recibe por la venta de q unidades, est dado por la funcin g, donde 40( )r g q q . Determine ( )( )g f m . Qu es lo que describe esta funcin compuesta?

Solucin:

Se tiene Dom(g)= 0; , para hallar el dominio de f, hay que resolver la desigualdad :

2240m m 0 m 40m 0 m(m 40) 0 m 0;40

4

Entonces Dom(g)= 0;40 , luego:

240m mDom(g f) m IR /m 0;40 0, 0;40

4

Luego

2240m m(g f)(m) g(f(m)) 40 400m 10m , x 0;40

4

Esta funcin describe el ingreso de acuerdo al nmero de empleados.

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