hidraulica - capítulo 11 - flujos compresibles - version 03

capítulo 11

Flujo compresible unidimensional

Resumen:

A fin de abordar el flujo compresible unidimensional, en este capítulo realizamos un breve repaso de termodinámica, deducimos la variación de velocidad con el área, ecuación básica para el estudio de toberas y difusores y estudiamos las ondas de choque y su carácter irreversible. A partir del estudio de toberas se hace una breve introducción a los orificios (orificios propiamente dichos, placa orificio y válvulas) y finalmente se deducen las ecuaciones correspondientes al flujo en conductos con fluidos compresibles para bajos y altos números de Mach.

Contenido:

. 11.1 Planteo del problema y condiciones del flujo .................................................................................................. 476 11.2 Ecuaciones termodinámicas............................................................................................................................ 476 11.3 Propagación de una perturbación infinitesimal................................................................................................ 479

11.3.1 Velocidad del sonido.........................................................................................................................479 11.3.2 Cono de Mach...................................................................................................................................482

11.4 Flujo isoentrópico - toberas y difusores........................................................................................................... 483 11.4.1 Efecto de la variación de área ..........................................................................................................483 11.4.2 Toberas - Tobera de Lavall...............................................................................................................485

11.5 Tobera convergente – Orificios y válvulas....................................................................................................... 492 11.6 Flujo no isoentrópico unidimensional............................................................................................................... 496

11.6.1 Onda de choque normal ...................................................................................................................497 11.6.2 Relaciones de las principales variables a uno y otro lado de la onda de choque en un gas perfecto498

11.7 Irreversibilidad de las ondas de choque .......................................................................................................... 501 11.7.1 Flujo Adiabático con rozamiento – Curva de Fanno ........................................................................501 11.7.2 Flujo sin fricción con transporte de calor – Líneas de Rayleigh .......................................................504

11.8 Flujo compresible en conductos en régimen permanente .............................................................................. 509 11.8.1 Flujo a bajos números de Mach - Fórmula general..........................................................................510 11.8.2 Flujo a altos números de Mach.........................................................................................................512

CAPÍTULO 11

476

11.1 Planteo del problema y condiciones del flujo

Los efectos de compresibilidad son de suma importancia en muchos problemas relacionados con la ingeniería, en especial la ingeniería mecánica, química y aeronáutica.

Algunos de estos casos típicos lo constituyen las turbo máquinas térmicas, los sistemas de cañerías que transportan gases, el transporte aéreo a velocidades superiores a los 300 km/h, etcétera.

En este capítulo trataremos sobre los flujos de gases cuyo comportamiento se aproxima al de los gases ideales o perfectos y se darán pautas para establecer cuando el flujo puede considerarse compresible o incompresible. Todos los fluidos son compresibles, sin embargo el comportamiento de un fluido como compresible o incompresible, para su modelación matemática, depende de la diferencia de densidad que se produce en el mismo a través de su evolución y la magnitud en que esta diferencia de presión afecta a los resultados.

Los vapores y los gases son inherentemente más compresibles que los líquidos, a pesar de ello no se debe interpretar que unos deben estudiarse como compresibles y otros como incompresibles, porque en el movimiento o evolución de los mismos puede ocurrir que la variación de densidad sea despreciable o no. Por ejemplo el movimiento del aire dentro de conductos de aire acondicionado o ventilación puede estudiarse como un flujo incompresible, porque las diferencias de presión (y por lo tanto de densidad) son pequeñas. En cambio el flujo que se produce cuando en una cañería de agua se cierra una válvula en forma brusca (dando lugar al llamado golpe de ariete) no puede estudiarse sin tener en cuenta la variación de densidad del agua (compresibilidad).

Todos los casos típicos vistos en flujo incompresible son también posibles en flujo compresible: flujo irrotacional; flujo laminar y flujo turbulento.

El flujo irrotacional compresible lo aplicaremos en este capítulo para desarrollar el flujo en toberas, en tanto que el flujo turbulento compresible lo desarrollaremos para el caso de flujo en conductos. Sin embargo este tipo de flujo solo constituye casos particulares de una teoría más general que quedará fuera del alcance de este libro. Dado que trataremos con gases ideales resulta conveniente repasar las formulas y ecuaciones termodinámicas.

11.2 Ecuaciones termodinámicas

Se definen los calores específicos a volumen específico constante y presión constante como:

ec:11.1 p

pv

v T

qcy

T

qc

Recordando la ecuación del primer principio de la termodinámica vista en el capítulo 3 y expresándola en forma diferencial para un sistema cerrado, por unidad de masa:

ec:11.2 dudwdq

Donde: dq: calor entregado al sistema y dw: trabajo realizado por el sistema

Si no hay trabajo en el eje ni trabajo de las tensiones de corte, para un gas perfecto el trabajo vale: pW . Y por unidad de masa: vpw . Por lo tanto para una partícula:

ec:11.3 dp.vdv.pdw

Y si el proceso es cuasi estático: dv.pdwvdp 0

Por lo tanto la ecuación del primer principio se puede rescribir:

ec:11.4 dv.pdudq

Si además el proceso se realiza a volumen específico constante: dv=0, reemplazando en la ecuación ec:11.4 resulta:

ec:11.5 dudq

FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL

477

Si dividimos por dT, por tratarse de un proceso a volumen específico constante y por definición (ecuación ec:11.1):

ec:11.6 dT

duc

dT

du

dT

dq v

vv

Si en la ecuación de la energía en su forma diferencial (ec:11.2) reemplazamos el trabajo por la expresión ec:11.3 dicha ecuación se puede reescribir:

ec:11.7 dp.vdv.pdudq

Para un gas perfecto la entalpía se define como:

ec:11.8 dpvdvpdudivpui

Si el proceso se realiza en forma cuasi-estática y de acuerdo con la ecuación ec:11.10 resulta:

ec:11.9 dp.vdidq

Si además el proceso se realiza a presión constante el término de la derecha resultará nulo y por definición (ec:11.1):

ec:11.10 dT

dic

dT

di

dT

dqp

pp

Con lo cual concluimos que los calores específicos a volumen constante y a presión constante en procesos cuasi-estáticos (reversibles) vienen dados por la derivada total de la energía interna y de la entalpía (respectivamente) con respecto a la temperatura (en lugar de la derivada parcial como fueron definidos).

Si reemplazamos en la ecuación de la entalpía por la ecuación de los gases perfectos ec:1.4.2, resulta:

TRui

Si derivamos la ecuación de entalpía con respecto a la temperatura obtenemos:

RdT

du

dT

diRTui

Y de acuerdo con las ecuaciones ec:11.6 y ec:11.10 resulta:

ec:11.11 Rcc

Rcc

vp

vp

Si definimos la relación de calores específicos:

ec:11.12 kc

c

v

p

La anterior se puede rescribir:

1

k

RcRcc.k vvv

Y entonces:

ec:11.13 1k

Rkc

1k

R1kRcR

1k

Rc ppp

Si un gas perfecto evoluciona en forma cuasi-estática y en forma adiabática (no hay transferencia de calor) de acuerdo con las ecuaciones ec:11.4, ec:11.6, ec:11.9 y ec:11.10 resulta:

dp.vdT.cdp.vdi

dv.pdT.cdv.pdu

p

v

Y dividiendo miembro a miembro:

p

dp

v

dv

c

c

dv

dp

p

v

c

c

v

p

v

p

Integrando la anterior y reemplazando por la ec:11.12:

CAPÍTULO 11

478

C.pvC.plnlnv

Clnplnvlnkp

dp

v

dvk

kk

Y finalmente:

ec:11.14 Cp.vk

Que es la ecuación de la evolución adiabática.

Reemplazando convenientemente en la anterior por la ley de los gases perfectos, se llega a estas otras relaciones:

ec:11.15

k

k

k

k

p

p

T

T

T

T

v

v

p

p

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

2

1

Recordamos la definición de entropía:

ec:11.16 T

dqds rev

Donde el dQrev: Calor entregado o recibido en forma reversible

De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, para cualquier proceso real debe ser:

ec:11.17 T

dqds

Si en particular el proceso es adiabático, la variación de entropía debe ser mayor o igual que cero:

ec:11.18 0ds

El caso particular en que el proceso es adiabático y reversible (ds=0) se conoce como proceso isoentrópico.

Si recordamos la ecuación del primer principio para sistemas abiertos (ec:11.9) y teniendo en cuenta la definición de calores específicos y volumen específico, podemos escribir :

dpdTcdqdpvdidq p

Dividiendo la anterior por la temperatura T:

T

dp

T

dTcds p

Si reemplazamos en la ecuación anterior la densidad despejada de la ecuación de estado de los gases resulta:

p

dpR

T

dTcds p

Integrando entre dos puntos 1 y 2;

ec:11.19

1

2

1

212

2

1

2

1

p

plnR

T

Tlncss

p

dpR

T

dTcds

p

p


479

Si queremos expresar la anterior en función del calor específico a volumen constante y recordando que de acuerdo con la ecuación de Mayer (ec:11.11):

Rcc vp

La ecuación de la entropía se puede expresar:

ec:11.20

vv c

Rc

R

v

vvv

v

v

p

p

T

Tlncss

p

pln

c

R

T

Tln

c

R

T

Tlncss

p

plnR

T

TlnR

T

Tlncss

p

plnR

T

TlnRcss

1

2

1

1

212

1

2

1

2

1

212

1

2

1

2

1

212

1

2

1

212

Y como:

kc

Rk

c

R

kc

c

c

Rc

c

R

vv

v

p

v

v

v

11

1

Reemplazando resulta finalmente:

ec:11.21

kk

v T

T

p

plncss

1

21

2

112

11.3 Propagación de una perturbación infinitesimal

El sonido que emitimos al hablar se debe a que nuestras cuerdas vocales producen pequeñas variaciones de presión en el aire que nos rodea propagándose dicha perturbación en forma de onda en toda dirección y sentido. Dichas perturbaciones son captadas por nuestros oídos que las envían al cerebro en forma de impulsos nerviosos. La perturbación de presión puede ser audible o no dependiendo de la frecuencia y de la amplitud de dicha onda. De aquí que a la velocidad con que se propaga una onda infinitesimal de presión se la conoce como velocidad del sonido. Una conclusión a la cual ya podemos arribar es que sin un medio elástico las ondas sonoras no se pueden transmitir, es decir en el vacío no existe el sonido.

11.3.1 Velocidad del sonido

Supongamos ahora un tubo ideal (inelástico) a través del cual se propaga una onda de presión debida a una perturbación infinitesimal como se muestra en la figura f:11.1. Supondremos por simplicidad que la onda produce que el fluido que está quieto frente a ella, se mueva en la dirección mostrada con velocidad dV, debido a un incremento de presión dp y su correspondiente incremento de densidad dρ.

Debido a la característica elástica del medio los cambios de presión no tendrán lugar al mismo tiempo en todos los puntos del fluido, sino que se propagará con velocidad de onda c. Por ser la perturbación pequeña, c es la velocidad del sonido.

Además como las perturbaciones son de pequeña magnitud podemos suponer que el flujo se comportará en forma adiabática (sin intercambiar calor con el entorno).

Nos interesa conocer cómo se relaciona la velocidad de propagación con el medio fluido. Por lo tanto como siempre aplicamos la ecuación de continuidad y la ecuación de cantidad de movimiento a un volumen de

CAPÍTULO 11

480

control que viaja con dicha onda con velocidad –c, como se muestra en la figura f:11.1. Nótese que la ecuación de energía resulta superflua debido a la característica del flujo.

f:11.1

Dado que el flujo es estacionario, la ecuación de continuidad se reduce a:

0 dAV

Para resolver las integrales calculamos las velocidades relativas (que son las que debemos utilizar pues el

volumen de control se mueve con la onda). De acuerdo con el principio de Galileo: arrrelabs VVV .

Como la velocidad de arrastre es la velocidad de la onda –c y para la sección 1-1 un observador fuera del volumen de control ve al fluido en reposo (Vabs = 0): c)c(VVV arrabsrel 0

11

En tanto para la sección 2-2 la velocidad absoluto es –dV: dVc)c(dVVrel 2

Y reemplazando en la integral:

0 dVcAdcA

ec:11.22 AcAdVcd

Que expresa que el caudal másico a la entrada es igual al caudal másico a la salida. Conclusión obvia porque no hay variación de masa dentro del volumen de control. Aplicando la propiedad distributiva y operando:

0 AVdVddcdV

Y eliminando el infinitésimo de orden superior:

ec:11.23

d

cdVdcdV

Ahora aplicando la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección del movimiento resulta:

AdVVFext xx

Dado que las únicas fuerzas externas que actúan son las debidas a la presión sobre las secciones 1 y 2 y desarrollando la integral (recordar que las velocidades son las relativas pues nos movemos con el volumen de control) resulta:

AdVcdAcAdppAp 22

Operando y reemplazando por la [11.23] la anterior se puede expresar:

1

2

dV

dpc

dVcdp

dVcAcAcAdp

Reemplazando el denominador por la expresión [11.24]:


481

d

dpc

dc

dpc

2

1

Como el proceso es isoentrópico (adiabático y reversible) la anterior se puede rescribir:

ec:11.24 s

pc

2

Ecuación que también se puede aplicar a líquidos o gases no ideales.

En particular para los gases perfectos siendo el proceso adiabático se puede encontrar una relación más sencilla de la velocidad del sonido relacionando la presión y la densidad mediante la ecuación de las adiabáticas (ec:11.14):

Ckp

Ckpv

Tomando logaritmos y diferenciando:

pk

d

dp

dk

p

dpdk

p

dp

Clnlnkpln

0

Reemplazando por la ecuación de estado de los gases perfectos:

ec:11.25 kRTc

kRTc

2

Es decir que para los gases perfectos la velocidad del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta, la relación de calores específicos y la inversa del peso molecular ( MRR M ).

Para un líquido se puede calcular la velocidad del sonido recordando la definición del módulo de elasticidad definido en el punto 1.6 del capítulo 1.

ddp

K

Por definición de densidad y calculando su diferencial:

d

dm

dd

md

m2

Si reemplazamos en la definición del módulo de elasticidad:

ddp

K

Y de acuerdo con la ec:11.14:

ec:11.26

Kc

Kc2

CAPÍTULO 11

482

Ejemplo 11.1

Calcular la velocidad del sonido en el aire y en el agua a 15°C de temperatura.

Solución

El aire tiene un peso molecular de 29 g/mol, una relación de calores específicos de 1,4 y la constante universal (visto en el punto 1.4 del capítulo 1) es 8,311 Joule/(Mol.K)

smKkg,

mol

Kmol

mN,,c

C15aire 3402880290

1311941

El módulo de elasticidad del agua a 15°C es 2,14x109 N/m2 y la densidad 999,1 kg/m³ entonces:

smmkg,

ms

mkgx,

cC15agua 1464

1999

109142

3

22

Del ejemplo se puede observar que la velocidad del sonido es en general mucho mayor en los líquidos que en los gases.

11.3.2 Cono de Mach

Si en un punto de un fluido en reposo se produce una perturbación infinitesimal, ésta se transmitirá como un frente de onda esférico con la velocidad calculada en el punto 11.26 u 11.27 según se trate de un gas o un líquido y según se muestra en la figura f:11.2.

f:11.2

Si la perturbación se mueve con una velocidad V0, o bien el fluido a su alrededor se mueve con velocidad V0 se pueden dar dos casos:

Que la velocidad con que se mueve la perturbación sea menor que la velocidad del sonido: V0 < c. Las esferas no son concéntricas como en el caso anterior. Como la velocidad es menor que la velocidad del sonido los frentes de onda no se cortan. Este es el caso del flujo subsónico representado en la figura f:11.3.

f:11.3


483

Que la velocidad con que se mueve la perturbación sea mayor que la velocidad del sonido: V0 > c. Este es el caso del flujo supersónico. Las esferas forman una superficie cónica conocida como cono de Mach y que se muestra en la figura f:11.4. Fuera del cono no se percibe ninguna perturbación.

El ángulo se denomina ángulo de Mach y vale:

ec:11.27 MV

c

tV

tcsen

1

00

Esto explica porque un observador en reposo no escucha a un avión que vuela a régimen supersónico hasta que este ha pasado.

f:11.4

11.4 Flujo isoentrópico - toberas y difusores

Los flujos compresibles irrotacionales (sin fricción), adiabáticos y sin discontinuidades en las propiedades del fluido se comportan isoentrópicamente. Este es el caso de las toberas y difusores donde el cambio de sección es la causa predominante de los cambios en el flujo.

11.4.1 Efecto de la variación de área

Admitamos que un fluido gaseoso o vapor escurre a través de límites sólidos cambiando el área de pasaje en forma continua como se muestra en la figura f:11.5.

Consideremos despreciables los efectos viscosos y admitamos que la velocidad del escurrimiento es suficientemente elevada para considerar que no hay intercambio de calor y que las variables tienen una variación continua.

Para un volumen de control tal como se muestra en la figura f:11.5 aplicaremos las ecuaciones fundamentales a fin de determinar las relaciones entre las variables y determinar el caudal que circula.

f:11.5

VolumenDe control

VolumenDe control

Por ser el flujo estacionario, la ecuación de continuidad puede expresarse como:

SC

AdV

CAPÍTULO 11

484

Efectuando la integral sobre la superficie de entrada y salida resulta:

0 dVV)dAA()d(AV

0 dAdVddAVdAdVdAVddAdVdAVAdVAVVA

Simplificando y eliminando infinitésimos de orden superior (segundo y tercer orden) resulta:

VAdVdAdVA 0

Expresión que si se divide por VA se puede reescribir:

ec:11.28 0

d

A

dA

V

dV

Aplicando ahora la ecuación de cantidad de movimiento según la dirección del flujo resulta:

SC

xx AdVVFext

Las fuerzas externas que actúan son las debidas a la presión (fuerzas superficiales) y la reacción de la pared (fuerza de vínculo). La reacción de la pared actúa sobre la superficie A y equilibra las presiones entre p y p+dp; por lo cual adoptaremos la presión intermedia, 2dpp (ver figura f:11.5), si además efectuamos la

integral sobre las superficies entrante y saliente resulta:

dVVAVAVdAdp

pdAAdppAp

2

2

Factoreando, simplificando y despreciando los términos de orden superior obtenemos:

ec:11.29 dVVdp

Si ahora aplicamos la ecuación de la energía, teniendo en cuenta que no hay potencia entregada o recibida en un eje, no hay intercambio de calor con el medio, y el flujo es permanente, se puede escribir:

02

2

AdVzg

Vpu

SC

Teniendo en cuenta que pu es la entalpía i y que no hay variación de alturas podemos escribir:

0

22

22

Q

dVVdiiQ

Vi

Luego de realizar las simplificaciones y despreciar los diferenciales de orden superior resulta:

ec:11.30

2

2Vddi

Que expresa el hecho que a medida que disminuye la entalpía aumenta la energía cinética del fluido y viceversa.

Si en la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.29) despejamos la densidad:

dVV

dp

E introduciendo esta expresión de la densidad en la ecuación de continuidad (ec:11.28) resulta:

0

A

dA

V

dVdVV

dp

d

Y despejando AdA :

12V

dp

d

V

dV

A

dA

Y teniendo en cuenta la expresión para la velocidad del sonido (ec:11.24) la anterior se puede reescribir:


485

ec:11.31 12 MV

dV

A

dA

Si la velocidad aumenta (dV > 0) para valores de Mach menores que 1 el término de la derecha se hace negativo, y por lo tanto el diferencial de área es negativo, lo que indica que a medida que la velocidad aumenta el área debe disminuir. En cambio para valores mayores que 1 el término de la derecha se hace positivo, y por lo tanto el diferencial de área es positivo, lo que indica que a medida que la velocidad aumenta el área debe aumentar. Este escurrimiento es típico de las toberas. Las toberas típicas disminuyen su sección hasta una sección crítica en que la velocidad es igual a la velocidad del sonido, y luego aumentan su sección para permitir un incremento adicional de la velocidad.

En el caso de los difusores el fenómeno es exactamente al revés, logrando el efecto de disminuir la velocidad en la dirección del flujo. De acuerdo con la ecuación de la energía encontrada dicha disminución de velocidad debe transformarse en un aumento de la entalpía y cuando el proceso es isoentrópico, dicho aumento de la entalpía implica un aumento de la presión. Este principio es el principio en que se basan los turbocompresores.

11.4.2 Toberas - Tobera de Lavall

Como se explicó anteriormente si se quiere acelerar un fluido compresible desde el reposo hasta una velocidad supersónica se debe estrangular la sección de pasaje hasta lograr las condiciones sónicas y posteriormente expandir la sección hasta alcanzar la velocidad supersónica deseada.

Supongamos una tobera que une un depósito con otro, a los cuales supondremos de capacidad infinita, tal como se muestra en la figura f:11.6.

f:11.6

Sea p0 la presión en el recipiente de la izquierda. A esta presión la mantendremos fija. Sea pk la presión en el recipiente de la derecha. A esta presión la variaremos desde el valor p0 disminuyéndola hasta un valor cercano al vacío absoluto. Sea p la presión en un punto genérico. Si se disminuye la presión sin alcanzar las condiciones críticas en la garganta de la tobera, la presión a lo largo de la tobera disminuye a medida que aumenta la velocidad, y aumenta a medida que la misma disminuye. La tobera se comporta como un tubo Venturi y el flujo es subsónico en toda la extensión de la misma. Es la distribución de presiones mostradas por las curvas a) y b).

Para una dada presión pk la velocidad en la garganta se hace sónica, sin embargo a partir de la garganta el flujo vuelve a ser subsónico. Es la curva representada por c).

Si la presión pk se disminuye aún más, en parte de la extensión aguas abajo de la garganta el flujo se hace supersónico, sin embargo antes de alcanzar el recipiente se establece una onda de choque normal y el flujo vuelve a ser subsónico. Esto se representa por las curvas d) y e) mostradas en la figura.

Si continuamos reduciendo la presión pk para un determinado valor veremos que el flujo es supersónico en toda la longitud aguas abajo de la garganta sin que se manifiesten ondas de ningún tipo. Esto corresponde a la curva f) en la figura. Para este valor de la presión se dice que la tobera está funcionando en la condición de diseño.

Una disminución mayor de la presión dará como resultado un flujo similar al anterior, pero en la descarga se producirán ondas de choque oblicuas (de expansión). Esto se muestra en la curva g).

CAPÍTULO 11

486

A las condiciones del fluido en el tanque de la izquierda se las conoce como variables de estancamiento (presión de estancamiento, temperatura de estancamiento) ya que la velocidad en el mismo es nula.

Para el flujo isoentrópico la presión y la temperatura de estancamiento son constantes en toda la extensión del fluido, ya que integrando la expresión de la energía (ec:11.30) encontrada:

0

2

2i

Vi

y reemplazando por la expresión de la entalpía (ec:11.10):

ec:11.32 0

2

2Tc

VTc pp

Es decir que si un fluido se frena isoentrópicamente no se produce pérdida mecánica y por lo tanto no varía su temperatura de estancamiento.

Asimismo como la entropía es (ec:11.10): pui

Como la energía interna no varía por considerar el rozamiento despreciable, tampoco varía la presión de estancamiento, dado que no varió la entalpía de estancamiento.

En función de lo dicho, para el flujo isoentrópico es de utilidad establecer las relaciones entre la presión, la temperatura y la densidad en un punto con la presión, temperatura y densidad de estancamiento. Para ello si dividimos la expresión (ec:11.32) por la temperatura

ec:11.33

Tc

V

T

T

T

Tc

T

Vc

p

pp

21

22

0

02

Recordando que de acuerdo con las ecuaciones ec:11.13: Rkkcp 1

De acuerdo con lo deducido para la velocidad del sonido (ec:11.25): T.R.kc 2

Y la definición del número de Mach, punto 4.2.1 del capítulo 4: c

VM

Reemplazando este valor, la ec:11.13, la ec:11.25 en la ec:11.33, resulta:

ec:11.34

20

20

2

20

20

2

11

1

12

1

12

1

12

1

MkT

T

kM

T

T

kc

V

T

T

kTRk

V

T

T

Si recordamos la ecuación de las adiabáticas (ec:11.15):

k

k

p

p

T

T1

00

Reemplazando en la 11.35:

ec:11.35 120

2

11

1

k

k

Mk

p

p

Asimismo de acuerdo con la expresión de las adiabáticas ec:11.15:


487

1

00

k

T

T

Y nuevamente reemplazando en la ecuación ec:11.34:

ec:11.36 1

1

20

2

11

1

kM

k

Es importante determinar para cual valor de la relación de 0pp el flujo se hace sónico. Si llamamos presión

crítica (pc) a dicha presión, y tenemos en cuenta que para dicha condición M=1, reemplazando en la ec:11.35:

ec:11.37

1

0

10

1

2

2

11

1

k

k

c

k

kc

kp

p

kp

p

Para varios gases perfectos podemos calcular la relación entre la presión crítica y la presión de estancamiento:

Fluido k pc/p0

Aire 1,4 0,528

gas natural 1,27 0,551

propano 1,14 0,576

Como se puede apreciar la presión crítica se logra cuando en la garganta la presión es aproximadamente la mitad de la presión de estancamiento. Por lo tanto para una tobera convergente (sin sección de expansión) cuando la presión de salida esté por debajo de la presión que corresponde a las presiones indicadas se alcanzará la velocidad sónica. Como veremos a continuación el establecimiento del régimen crítico tiene una importancia fundamental en el régimen de caudal másico.

En efecto siendo el caudal másico en cualquier sección:

AVQm

Despejando de la ecuación de energía [11.33] la velocidad se puede expresar como:

00

0

12

2

T

TTcV

TTcV

p

p

Y reemplazando 0TT por la expresión ec:11.34 deducida para el flujo insoentrópico:

ec:11.38

20

2

11

112

Mk

TcV p

Reemplazando esta expresión en la ecuación de caudal másico podremos expresar:

ec:11.39 AM

kTcQ pm

20

2

11

112

Teniendo en cuenta que de acuerdo con la ley de los gases perfectos (ec:1.2):

CAPÍTULO 11

488

TR

p

Y la expresión del calor específico a presión constante (ec:11.13):

Rk

kcp

1

Reemplazando en la ecuación anterior:

ec:11.40

2

2

0

2

11

2

1

12

Mk

Mk

TRk

k

TR

pAQm

Luego de realizar las simplificaciones correspondientes y reagrupando resulta:

ec:11.41 2

1

2

0

2

11

Mk

MT

R

k

T

pAQm

Si en esta expresión se reemplaza el valor de la relación entre la presión y la temperatura por su expresión en función de los valores de estancamiento (ec:11.34 y ec:11.35):

ec:11.42

1

1

20

0

112

0

0

20

120

2

11

1

2

11

12

11

1

2

11

1

k

k

k

k

k

Mk

T

p

T

p

Mk

T

p

T

p

MkT

T

Mk

p

p

La expresión del caudal se puede rescribir, reemplazando por la ec:11.42:

1

1

22

1

2

00

0

2

11

2

11

k

m

Mk

Mk

MT

R

k

T

pAQ

Y finalmente:

ec:11.43

12

1

20

0

2

11

k

km

Mk

M

R

k

T

pAQ

Si graficamos esta expresión obtenemos una curva como la mostrada en la figura f:11.7:


489

f:11.7

Es decir que en régimen subsónico el caudal se incrementa hasta un máximo que ocurre para el régimen sónico (M = 1). De acuerdo con esta expresión a partir de esta condición el caudal disminuiría. Sin embargo esto no ocurre en la práctica, sino que cuando se alcanza la condición sónica el caudal másico permanece constante, es decir que la curva real es como se indica a continuación (f:11.8):

f:11.8

Es decir que cuando en la garganta de una tobera (sección crítica) se establece la condición sónica el caudal no puede aumentarse disminuyendo la presión de descarga de la misma. Para esta condición se dice que el flujo está “choqueado”.

La explicación para este fenómeno puede encontrarse en el hecho que el flujo aguas abajo de la garganta se hace supersónico, mientras que las ondas de presión viajan a la velocidad sónica. Por lo tanto establecido el régimen supersónico, el flujo aguas arriba del mismo no se “entera” de los cambios producidos aguas abajo y por lo tanto una disminución de la presión de descarga no es “vista” por la tobera.

Por lo tanto el caudal crítico (máximo) lo podemos calcular de la ecuación anterior para la condición de M = 1, con lo cual resulta:

ec:11.44

12

1

0

0

12

10

0

1

2

2

11

1

k

k

cc

k

kcc

kR

k

T

pAQ

kR

k

T

pAQ

Como el caudal es el mismo para cualquier sección, si dividimos el caudal en cualquier sección al caudal en la sección crítica, la relación es 1:

ec:11.45 12

1

12

1

2

12

1

21

1

1

k

k

k

kc

kM

k

M

A

A

Y despejando la relación del área al área crítica y reordenando resulta:

ec:11.46 12

1

2

2

11

1

21

k

k

c

Mk

kMA

A

Expresión que nos permite calcular el área de la sección respecto al número de Mach en cualquier sección de una tobera.

CAPÍTULO 11

490

Ejemplo 11.2

Se requiere expandir 1 kg/s de gas natural desde 6000 kPa absolutos hasta 1000 kPa absolutos. Se quiere determinar el área de tobera requerida, el número de Mach y la temperatura considerando saltos de 1000 kPa y la sección crítica. la masa molecular del gas natural es 18 g/mol y la relación de calores específicos de 1,2.. El gas aguas arriba de la tobera está en reposo y su temperatura es de 17°C.

Solución

Si la tobera está correctamente diseñada la evolución será aproximadamente isoentrópica, por lo tanto de acuerdo con la ecuación 11.44:

12

1

20

0

2

11

k

km

Mk

M

R

k

T

pAQ

Llamando B a la constante:

R

k

T

pB

0

0

La ecuación que permite calcular el área en cada salto se puede expresar:

12

1

2

2

11

k

k

m Mk

MB

QA

En esta ecuación las únicas incógnitas son el área y el número de Mach de dicha área. El número de Mach lo podemos calcular a partir de las ecuaciones 11.43:

120

2

11

1

k

k

Mk

p

p

Despejando de la misma el número de Mach:

11

21

0

kk

p

p

kM

La temperatura para cada salto de presión se puede obtener de las mismas ecuaciones ec:11.42:

20

2

11

1

MkT

T

Calculamos la constante B:

sm

kg

KKmol

mN,

molkg,,

m

N

R

k

T

pB

226

0

0 179622903118

018021106

En la tabla siguiente se vuelcan los resultados obtenidos:

Qm p0 T0 k p p0/p B M A T

kg/s kPa K - kPa kg/m2s - m2 K

1 100 290 1,2 90 1,1111 299,37 0,4209 0,008741 285

1 100 290 1,2 80 1,25 299,37 0,6156 0,006658 279

1 100 290 1,2 70 1,4286 299,37 0,7826 0,005919 273

1 100 290 1,2 60 1,6667 299,37 0,9427 0,00566 266

1 100 290 1,2 50 2 299,37 1,1066 0,005698 258


491

1 100 290 1,2 40 2,5 299,37 1,2845 0,006023 249

1 100 290 1,2 30 3,3333 299,37 1,4907 0,006756 237

1 100 290 1,2 20 5 299,37 1,7540 0,008327 222

El área crítica la obtenemos de la ecuación ec:11.44:

2

1212121

2

121

121

0

0

0056420

1212

37299

1

12

1

2

m,A

,smkg,

skgA

kB

QA

kR

k

T

pAQ

c

,,c

kk

mc

kk

cc

A pesar de conocer la variación de la sección y aunque determinemos la forma geométrica de la tobera no la podríamos diseñar pues nos falta saber la distancia a que se debe ubicar cada sección.

En general las toberas se diseñan con un determinado ángulo obtenido en forma empírica en la parte convergente y otro en la divergente (usualmente menor porque el desprendimiento de la capa límite es más probable), por lo cual la zona convergente es usualmente más corta que la divergente.

En la figura f:11.9 se representa la tobera en corte, suponiendo su sección cuadrada.

f:11.9

Las toberas son utilizadas como forma de acelerar el fluido convirtiendo la energía de presión en energía cinética en la entrada de los álabes de las turbinas. Sin embargo en la actualidad son muy pocas las turbinas que utilizan toberas convergentes – divergentes siendo lo usual utilizar toberas convergentes con mayor cantidad de ruedas (saltos de presión). Sólo unas pocas turbinas de vapor utilizan las toberas convergentes – divergentes. Las toberas convergentes divergentes son muy utilizadas en cohetería. Pueden observarse las mismas en los cohetes y misiles a fin de incrementar la cantidad de movimiento e impulsar a los mismos. Otra utilización de las toberas convergentes divergentes es en sistemas de vacío. Como se puede observar en la figura f:11.6 en la garganta se produce una importante disminución de la presión. Esto puede aprovecharse conectando en dicho punto un sistema donde se requiere un vacío importante a fin de obtenerlo. Este dispositivo puede encontrarse en la descarga de las turbinas de vapor a fin de crear una relación de presión con respecto a la entrada mucho mayor que la que se obtendría si la descarga se realizara a la presión atmosférica. También en la industria de la alimentación y fabricación de jabón donde se requiere evaporación por debajo de la atmosférica estos dispositivos son ampliamente utilizados.

Las toberas convergentes son muy utilizadas en turbomáquinas térmicas (turbinas de gas y de vapor). La característica de estrangulamiento que se da cuando la presión de descarga está por debajo de la crítica ha permitido desarrollar las ecuaciones para el cálculo de caudales en orificios y en válvulas de control y de seguridad. A continuación desarrollaremos como se relacionan las ecuaciones encontradas con las ecuaciones habitualmente utilizadas en el cálculo de los caudales en orificios y válvulas.

CAPÍTULO 11

492

11.5 Tobera convergente – Orificios y válvulas

Cuando en una tobera convergente la presión de descarga es mayor que la presión crítica, a la salida de la misma no se alcanza la condición crítica y el flujo es subsónico en toda la longitud de la misma. En cambio si en la descarga la presión es igual a la crítica el flujo en la salida es sónico. Si la presión se reduce aún más en la descarga seguirá manteniéndose la condición sónica, no se registrará un aumento del caudal y para alcanzar la presión más baja a la salida de la tobera se producirá una serie de ondas de expansión hasta alcanzar la presión de descarga. Lo dicho se grafica en la figura f:11.10.

f:11.10

Si en lugar de una tobera se coloca un orificio, la expansión que tendrá lugar no será isoentrópica, debido a que la forma no es aerodinámica, se produce una pérdida de energía. Esta pérdida producirá una reducción en el caudal que circularía respecto a la tobera, y que puede evaluarse mediante un coeficiente de descarga apropiado.

Si en un tanque o cañería de gas (aire comprimido, helio, gas natural, etc.) la presión es mayor aproximadamente a 2 atmósferas y se produce un orificio en el mismo, éste se comportará como una tobera convergente con el flujo estrangulado. El caudal másico que se venteará a la atmósfera por el mismo viene dado por la expresión ec:11.44 a la cual la deberemos afectar por el coeficiente de descarga correspondiente al mismo, pues el proceso no es isoentrópico.

Ejemplo 11.3

Calcular el caudal másico que desaguará a la atmósfera un orificio circular de 10 mm practicado en un tanque de gas natural que se encuentra a 70 kg/cm². Considerar un coeficiente de desagüe Cd = 0,617. La velocidad en el recipiente se considera despreciable. La temperatura del gas en el recipiente es de 15°C y la relación de calores específicos del gas natural es 1,21 y la masa molecular 18g/mol.

Solución

De acuerdo con lo dicho el orificio se comporta como una tobera convergente con área crítica igual al área del orificio de descarga, pero dicho caudal se verá reducido por la vena contracta y las pérdidas por fricción que están implícitas en el coeficiente de desagüe. Por lo tanto la ecuación ec:11.44 se puede expresar:

12

1

0

0

1

2

k

k

cdc kR

k

T

pACQ

La presión y la temperatura a utilizar son las dadas porque el fluido está quieto. Si el fluido estuviese en movimiento la presión y la temperatura se debería referir a la presión y temperatura de estancamiento que vienen dadas por las ecuaciones ec:11.34 y ec:11.35.

La presión dada es la manométrica en tanto que la presión a utilizar es la absoluta y se debe expresar en N/m2, lo mismo ocurre para la temperatura. La constante del gas la obtenemos como relación entre la constante universal y la masa molecular del gas.


493

s/kg,Q

,molkg,

KmolmN,,

K

mNm

,,Q

c

,,

c

5890

141

2

01803118

211

288

6961300

4

0106170

1412141

22

2

Como señalamos en el capítulo 10 las válvulas de control y de seguridad se comportan como orificios. Por ello tanto la norma ISA-S75.01 tiene en cuenta este efecto y establece que cuando la presión de salida de la válvula reguladora es de aproximadamente la mitad que la correspondiente a la de entrada el flujo se estrangula y aunque baje la presión no es posible incrementar el caudal másico. La ecuación para el cálculo de flujo compresible en una válvula de control viene dado según ISA por:

ec:11.47 311732 mkgkPapxYCF,h/kgQ vpm

Donde:

kPap

kPapkPapx

1

21 y TPk xFx

En tanto la ecuación del caudal másico para flujo incompresible (líquidos) que se deriva de la ecuación e:10.23 del capítulo 10 es:

ec:11.48 3121732 mkgkPapkPapYCF,h/kgQ vpm

El factor 2,73 tiene en cuenta las unidades. El factor FP es el factor geométrico que vale 1 si la válvula tiene el mismo diámetro que la cañería. Cv es el mismo coeficiente visto en la unidad 10 para válvulas que transportan líquidos. p1 y p2 son las presiones aguas arriba y aguas debajo de la válvula. γ1 es el peso específico del fluido a la entrada a la válvula. Puede observarse que las ecuaciones (ec:11.47) y (ec:11.48) son similares, excepto que la (ec:11.47) introduce un factor Y que se denomina factor de compresibilidad que tiene en cuenta los efectos que la compresibilidad del gas introduce en el caudal, debido al cambio en la densidad. Desde este punto de vista podría decirse que el factor Y cuantifica la disminución de caudal másico debido a la compresibilidad.

El factor de compresibilidad citado viene dado por:

ec:11.49 xF

xYTk

3

11 y 670,Y1

Donde Fk es la relación de calores específicos y viene dado por:

ec:11.50 41,

kFk

Donde k es la relación de calores específicos del gas. Este coeficiente vale 1 para el aire, que es el caso base (caso para el cual se desarrolló el factor de expansión).

A xT se lo conoce como factor de caída de presión y es característico de cada válvula. Tiene en cuenta que el orificio de la válvula no es el mismo de la cañería, y por lo tanto la presión en el orificio de la misma es diferente a la presión de salida en la cañería.

Puede verse que los valores que adopta Y están acotados entre los valores 1 y 0,67. Para adoptar los límites la norma establece que si:

ec:11.51 TPxFkx

Se debe adoptar para Y el valor de 0,67 y el valor de x como el producto de FkxTP. El factor xT es similar al xT pero tiene en cuenta cuando el diámetro de la válvula (no del orificio) es diferente del diámetro de la cañería. Cuando el diámetro de la válvula coincide con el de la cañería ambos factores coinciden. Con esta condición la norma tiene en cuenta que el flujo se estrangula para una determinada relación de presión. Supongamos que una válvula debe regular la presión de un gas con relación de calores específicos 1,2 y que dicha válvula es una válvula globo con xTP = 0,75, la relación de presiones para la cual se producirá el estrangulamiento será:

CAPÍTULO 11

494

643075041

21

1

12 ,,,

,

p

ppx

Esta relación de presión para la cual se produce el estrangulamiento es entre la presión de salida y la presión de entrada en la cañería. La presión en el orificio es menor, porque el diámetro del orificio es normalmente mucho menor que el correspondiente a la cañería y entonces la velocidad es mucho mayor y por lo tanto la presión disminuye. Esta relación de presiones corresponde a una relación de aproximadamente 0,5 en el orificio.

Ejemplo 11.4

Una válvula con un coeficiente Cv = 200, para la válvula totalmente abierta, operará con gas natural de relación de calores específicos 1,25 y peso molecular de 18 g/mol. Calcular el caudal másico que circulará por la válvula totalmente abierta si la presión de entrada es de 2000 kPa manométricos y la presión de salida de 500 kPa manométricos, en tanto la temperatura del fluido al ingreso es de 17ºC. El diámetro de la cañería y el diámetro de la conexión de la válvula son los mismos y el factor de caída de presión de la válvula (xT) es de 0,75.La presión atmosférica es de 101,3 kPa. ¿Cuál sería el caudal que circularía por la válvula totalmente abierta si la presión de entrada baja a 800 kPa?

Solución

Calculamos el valor de x:

7140

31012000

310150031012000,

kPa,

kPa,kPa,x

Con la ecuación ec:11.50 calculamos el valor de Fk :

89041

251,

,

,Fk

Como la cañería y la conexión de la válvula tienen el mismo valor xTP = xT = 0, 75.

Entonces calculamos:

66750750890 ,,,xF Tk

O sea menor que el x calculado, por lo tanto el flujo está estrangulado en el orificio de la válvula y por lo tanto el valor del coeficiente de expansión Y a adoptar es de 0,67, en tanto el valor de x a adoptar en la

ecuación e c : 1 1 . 4 7 es de 0, 6675 · (Fk · xT ). El valor de la densidad a la entrada lo podemos calcular

mediante la ecuación de estado para las condiciones de entrada:

3

1

11 6915

172733118

01802101300mkg,

KmolKmN,

olmkg,mN

TR

Mp

M

w

Reemplazando los valores en la e c : 1 1 . 4 7 :

hkgmkg,kPa,,,,h/kgQm 542696915321014667506702001732 3

Cuando la presión de entrada desciende a 800 kPa la relación de presiones será:

3320

3101800

31015003101800,

kPa,

kPa,kPa,x

O sea que el x calculado resulta menor que el valor de Fk · xT y por lo tanto el valor del factor de expansión

debe ser calculado con la e c : 1 1 . 4 9 :

8340667503

132201

3

11 ,

,,

xFxY

Tk

Calculamos el valor de la densidad de entrada:

3

1

11 736

172733118

0180901300mkg,

KmolKmN,

olmkg,mN

TR

Mp

M

w

Y aplicando la e c : 1 1 . 4 7 para calcular el caudal:


495

hkgmkg,kPa,,,,h/kgQm 204347363901332083402001732 3

Obviamente el caudal disminuye en forma importante al reducirse la diferencia de presión a través de la válvula.

Lo mismo ocurre para las válvulas de seguridad por alivio. La norma API Recommended practice 520, brinda para el área del orificio requerida para desalojar un determinado caudal de gas dos fórmulas distintas: Fórmula para el dimensionamiento en flujo crítico y fórmula para dimensionamiento en flujo subcrítico. La norma establece la presión crítica (presión a la cual se produce el estrangulamiento) como:

1

1 1

2

k

kcf

k

p

p

Totalmente similar a la e c : 1 1 . 3 7 desarrollada más arriba, donde pcf es la presión crítica y p1 es la presión de entrada a la válvula.

La fórmula del área requerida para desalojar un determinado caudal en flujo crítico (presión de descarga menor que la crítica) es:

ec:11.52

Wcbd

2

M

ZKT

KKkPapKC

hkgW cmA

11

100

Donde:

C1: es un coeficiente que depende de la relación de calores específicos del gas y vale:

1

1

1 1

2387

k

k

k k C

Kd : es el coeficiente de descarga del orificio de la válvula (Cd) y viene dado por el fabricante.

p1: es la presión aguas arriba de la válvula.

Kb : es un factor que para válvulas convencionales vale 1.

Kc: es un factor que para válvulas instaladas sin disco de ruptura vale 1.

T: es la temperatura del gas a aliviar.

Z: es el factor de compresibilidad.

MW: es la masa molecular del gas [g/mol].

Como puede verse para flujo crítico el caudal sólo depende de la presión de entrada y es independiente de la presión de descarga. Esta fórmula es similar a la e c : 1 1 . 4 4 hallada anteriormente pero se incorporan el coeficiente de descarga y otros coeficientes K que están relacionadas con características particulares de la válvula.

La fórmula para flujo subcrítico dada por la norma es:

CAPÍTULO 11

496

ec:11.53

1

2

1

1

22

1

2

211

1

1

1

917

p

p

p

p

p

p

k

kKK

kPapkPapkPapM

ZKThkgW,

mmA

k

k

kcd

2

Ecuación similar a las de las válvulas de control.

Ejemplo 11.5

A fin de proteger un recipiente de aire a presión (k=1, 4; MW=29) se instalará una válvula de seguridad. Si el caudal a desaguar es de 15 000 kg/h, la temperatura en el recipiente es de 17ºC y la presión cuando la válvula descarga es de 900 kPa manométricos, determinar el área requerida de la válvula a instalar. La válvula desagua a la atmósfera (patm = 101,3 kPa). Considerar el factor de compresibilidad de 0,95. La válvula es de diseño convencional y se instala sin disco de ruptura. El coeficiente de desagüe de la válvula (Kd) es de 0,935.

Solución

Dado que la relación entre la presión en el recipiente y la de descarga es del orden de 10 el flujo se encuentra estrangulado. El área requerida de descarga la podemos obtener de la ec:11.54. Previamente calculamos el coeficiente C1:

265141

24387 141

141

1

,

,

, ,1 C

26418

29

95017273

1131019009350265

15000100cm,

,K

kPa,,

hkg cmA 2

11.6 Flujo no isoentrópico unidimensional

Hasta ahora hemos considerado casos donde el flujo es isoentrópico en toda su extensión. Sin embargo cuando se produce una onda de choque normal como en el caso de las toberas fuera de diseño el flujo a través de ella no es isoentrópico. De todas formas es isoentrópico desde la entrada hasta un infinitésimo antes y desde un infinitésimo posterior a la onda hasta la salida.

La onda de choque es similar a la onda acústica aunque se mueve con respecto al fluido a mayor velocidad que ésta. Si bien nosotros en nuestro estudio consideramos la onda de choque como una discontinuidad, lo cierto es que dicha discontinuidad no existe pues los parámetros del flujo varían en forma continua en el delgado espesor de la onda, como se muestra en la figura f:11.11:

f:11.11


497

El espesor de la onda de choque normal es del orden del recorrido medio de las moléculas del gas. Nosotros asumimos que el espesor es despreciable por lo tanto no tendremos en cuenta la variación de áreas y mediante las ecuaciones fundamentales obtendremos relaciones entre el flujo antes y después del choque.

11.6.1 Onda de choque normal

Debido al pequeño espesor de la onda podemos considerar que el rozamiento es despreciable y como las variaciones en el espesor tienen cambios finitos de temperatura también podemos considerar el flujo adiabático. Bajo estas condiciones y considerando un gas perfecto aplicamos las ecuaciones básicas a un volumen de control tal como se muestra en la figura f:11.12:

f:11.12

Onda de choque normal

Aplicando la ecuación de continuidad como el flujo es estacionario obtenemos:

0 AdV

Cuya integración nos conduce a:

ec:11.54 2211

2211

VV

AVAV

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento y teniendo en cuenta que el régimen es estacionario y que sólo nos interesa la componente según el eje de la tobera:

AdVVFext xx

Siendo las únicas fuerzas actuantes las debidas a la presión y efectuando la integral:

ec:11.55

211

22221

222

21121

VVpp

AVAVApp

Si aplicamos la ecuación de la energía teniendo en cuenta que el flujo es estacionario y no hay transferencia de calor ni de trabajo resulta:

0AdVgz2

Vpu

SC

2

Y efectuando la integral sobre las secciones 1 y 2:

022 2

22

21

21

1

mm Qz

ViQz

Vi

Y como las energías potenciales son iguales:

ec:11.56 0

21

1

22

2 22i

Vi

Vi

Que expresa el hecho que dado que no hay pérdida por fricción la energía total debe mantenerse constante a uno y otro lado de la onda, lo cual conlleva al hecho que la entalpía de estancamiento se mantiene constante a uno y otro lado de la onda de choque.

Finalmente para tener en cuenta la irreversibilidad inherente al flujo no isoentrópico planteamos el segundo principio de la termodinámica que para flujo irreversible se expresa mediante:

CAPÍTULO 11

498

ec:11.57 012 ss

11.6.2 Relaciones de las principales variables a uno y otro lado de la onda de choque en un gas perfecto

De acuerdo con lo encontrado al desarrollar la ecuación de la energía ec:11.56 la entalpía de estancamiento no varía a través de la onda de choque, como para un gas perfecto la entalpía es solo función de la temperatura, la temperatura de estancamiento también será la misma a uno y otro lado de la misma. Entonces podemos expresar las temperaturas de estancamiento a uno y a otro lado de la onda de acuerdo con la expresión de las isoentrópicas (ec:11.34) e igualarlas:

12

1

12

1

22

220

21

110

kM

TT

kM

TT

Como las temperaturas de estancamiento son iguales a ambos lados de la onda de choque podemos igualar ambas expresiones y despejar el valor de la relación de temperaturas:

ec:11.58

12

1

12

1

22

21

1

2

kM

kM

T

T

Que nos relaciona las temperaturas del flujo a uno y otro lado de la onda en función del número de Mach antes y después de la misma. La presión de estancamiento no es la misma a uno y otro lado de la onda, dado que hay variación de entropía y esta depende de la temperatura y de la presión, si la temperatura de estancamiento no varía; debe variar la presión de estancamiento. Para relacionar las presiones a uno y otro lado de la onda entonces partimos de la ecuación de continuidad encontrada (ec:11.54):

2211 VV

De la ecuación de los gases perfectos podemos establecer una relación entre la presión y la temperatura para la densidad, mientras que de la definición del número de Mach podemos establecer una relación entre la temperatura y el número de Mach:

22222

11111

2

22

1

11

TRkMcMV

TRkMcMV

TR

p;

TR

p

Reemplazando en la ecuación de continuidad:

ec:11.59 1

2

2

1

1

222

2

211

1

1

T

T

M

M

p

pTRkM

TR

pTRkM

TR

p

Reemplazando por la relación de temperaturas encontradas (ec:11.58):

ec:11.60

2

1

22

21

2

1

1

2

12

1

12

1

kM

kM

M

M

p

p

Podemos también encontrar la relación de presiones partiendo de la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.55) y haciendo los reemplazos en la densidad y en la velocidad similar a lo realizado en (ec:11.59):


499

222

211

12

11

12

22

2

221

211

22221

11 MkpMkp

TRkMTR

pTRkM

TR

ppp

VVpp

ec:11.61 22

21

1

2

Mk1

Mk1

p

p

Igualando las ec:11.61 y ec:11.61 obtenemos:

22

222

21

211

12

11

12

11

Mk

kMM

Mk

kMM

De donde por métodos algebraicos podemos despejar el valor del número de Mach en la sección 2 en función del número de Mach en la sección 1.

De esto se obtienen dos valores:

12 MM y:

ec:11.62 1

1

21

2

2

21

22

1

M

k

kk

MM

Para valores de M1= M2, la relación de presiones es igual a 1, lo mismo ocurre para valores M1=1 y por lo tanto no hay modificación de las condiciones del flujo y no hay onda de choque. Para valores de Mach en la sección 1 mayores que 1 los valores de Mach en la sección 2 serán menores que 1, y la presión de salida es mayor que la presión de entrada, indicando la presencia de la onda de choque. Para valores de Mach menores que 1 en la sección de entrada las ecuaciones encontradas no tienen significado físico como demostraremos más adelante.

Si reemplazamos la expresión del número de Mach en la sección 2 en función del número de Mach en la sección 1 (ec:11.62) en la ecuación de relaciones de temperatura (ec:11.58) llegamos a:

ec:11.63

121

11

21

21

22

1

22

1

2 11

kk

M

kk

Mk

M

T

T

De la misma forma reemplazando la expresión del número de Mach en la sección 2 en función del número de Mach en la sección 1 en la ecuación de relaciones de presiones (ec:11.60) resulta:

ec:11.64 1

1

1

2 21

1

2

k

kM

k

k

p

p

Como dijimos anteriormente la presión de estancamiento no es la misma de uno y otro lado de la onda de choque. Para hallar una relación entre las mismas, ya que conocemos la relación entre uno y otro lado de la onda de choque podemos plantear:

ec:11.65

10

1

1

2

2

20

10

20

p

p

p

p

p

p

p

p

La relación de presiones

2

20

p

p y

1

10

p

ppueden obtenerse de las relaciones de flujo isoentrópico (ec:11.35)

desarrolladas en el punto anterior, en tanto que la relación 12 pp viene dada por la ecuación (ec:11.59)

encontrada anteriormente, realizando dichos reemplazos resulta:

CAPÍTULO 11

500

ec:11.66

1

1

21

1

21

21

10

20

1

1

1

2

12

12

1

k

k

k

k

kM

k

k

kM

kM

p

p

Ejemplo 11.6

Para la tobera del Ejemplo 11.2 determinar las presiones de salida de la misma correspondientes a la formación de ondas de choque en cada una de las secciones calculadas en dicho ejemplo.

Solución

Si bien por simplicidad hemos enunciado el problema de esta forma, como se apuntó al tratar el tema de las toberas convergentes–divergentes, es la variación en la presión de salida lo que define en que sección se formará la onda de choque.

Tal lo apuntado más arriba el flujo hasta la sección donde se produce la onda de choque se comporta como adiabático. Así mismo se puntualizó que para que exista onda de choque el flujo aguas arriba debe ser adiabático, por lo tanto las secciones que debemos considerar son las que se encuentran aguas abajo de la sección crítica. Por lo dicho las variables inmediatamente aguas arriba de la onda de choque son las calculadas en el ejemplo 2, y en particular también lo será el número de Mach. Entonces con la ecuación ec:11.62 podremos calcular el número de Mach aguas abajo de la onda (M2) tomando como el número de Mach a la entrada (M1) el calculado en el Ejemplo 11.2.

Con la ecuación ec:11.64 donde el número de Mach es el correspondiente al encontrado en el Ejemplo 11.2 para la sección correspondiente podemos obtener la presión aguas abajo de la onda (p2).

Mediante la ecuación ec:11.66 obtenemos la presión de estancamiento aguas abajo de la onda de choque 20p . Como se dijo a través de la onda de choque la temperatura de estancamiento permanece constante,

por lo cual debe cambiar la presión de estancamiento.

Luego de la onda de choque el flujo es subsónico y el área de la tobera aumenta en el sentido del flujo (parte divergente), por lo cual la velocidad disminuye ec:11.31 y la presión aumenta hasta alcanzar la presión de salida. En toda esta zona el flujo se comporta nuevamente como adiabático pero como la presión de estancamiento cambió las condiciones críticas del flujo son distintas, en particular el área crítica. Mediante la ecuación ec:11.46 podemos calcular la relación de área a área crítica con el número de Mach aguas abajo de la onda de choque (M2).

Con la relación del área al área crítica podemos calcular la relación de área de salida de la tobera al área crítica mediante:

A

A

)A(

A

A

A s

cc

s 22

Con esta relación y la ecuación ec:11.46 podemos calcular, mediante un proceso iterativo, el número de Mach a la salida (Ms).

Mediante las ecuaciones ec:11.42 con el número de Mach a la salida podemos calcular la relación 20pps

y finalmente, como conocemos la presión de estancamiento aguas abajo de la onda 20p podemos la

calcular la presión a la salida de la tobera. En la tabla siguiente se han calculado para cada posición posible de la onda los valores enunciados más arriba.

En la figura f:11.13 se muestra la evolución de la presión para una onda de choque genérica a fin de visualizar más fácilmente la zona de validez de las variables.


501

M1 M2

T2/T1 T2

p2/p1 p2

(p0) 2/(p0) 1 (p0) 2

A/(AC) 2 AC/(AC) 2

Fórmula Ms ps=p0

ps

1,107 0,905 1,037 268 1,25 62,3 0,999 100 1,009 1,473821 1,4737741 0,45 0,888 89

1,284 0,787 1,097 273 1,709 68,4 0,981 98 1,047 1,447129 1,4473118 0,46 0,883 87

1,491 0,69 1,167 277 2,33 70 0,925 93 1,108 1,365617 1,3650555 0,5 0,864 80

1,754 0,603 1,262 280 3,27 65,3 0,809 81 1,194 1,194455 1,1943127 0,6 0,807 65

f:11.13

Aún nos falta estudiar el carácter irreversible de la onda de choque normal. Para ello será útil estudiar las curvas de Fano y Rayleigh, las cuales serán de utilidad también para el estudio del flujo en conductos.

11.7 Irreversibilidad de las ondas de choque

Para el estudio del escurrimiento en régimen compresible en cañerías es conveniente estudiar dos casos particulares:

flujo adiabático con rozamiento (curva de Fano)

flujo sin rozamiento con transferencia de calor (curva de Rayleigh)

11.7.1 Flujo Adiabático con rozamiento – Curva de Fanno

Si a un volumen de control tal como el mostrado en la figura f:11.14 le aplicamos las ecuaciones fundamentales:

f:11.14

La ecuación de continuidad por ser el flujo permanente se reduce a:

0 AdV

Y efectuando la integración se obtiene:

ec:11.67 2211 VV

Si planteamos la ecuación de cantidad de movimiento según el eje X:

AdVVFext xx

CAPÍTULO 11

502

Como las únicas fuerzas externas son las debidas a la presión y a las tensiones de corte por rozamiento y efectuando las integrales resulta:

ec:11.68 AVAVFApp f 211

22221

Siendo el flujo adiabático no hay transferencia de calor, y siendo el flujo permanente y no habiendo potencia entregada o recibida, la ecuación de la energía se reduce a:

02

2

AdVzg

Vpu

SC

Efectuando la integral, despreciando la variación de alturas y recordando que

p

u es la entalpía la anterior

la podemos rescribir:

ec:11.69 0icteV

iV

i 22

22

2

21

1

Finalmente de acuerdo con el segundo principio y las deducciones termodinámicas para gases perfectos, la ecuación de la entropía en función de las temperaturas y presiones (ec:11.21):

1

2

1

1

212

kk

v p

p

T

Tlncss

A fin de expresar la anterior en función de la densidad y la presión recurrimos a la ecuación de estado de los gases perfectos:

2

1

1

2

1

22

2

2

p

p

T

TTR

p

Reemplazando en la anterior:

kkk

v p

plncss

1

2

1

2

112

ec:11.70

k

v p

plncss

2

1

1

212

Siendo la entalpía:

R

pcTci pp

ec:11.71 2222

22 i

c

Rp

R

pci

pp

De la ecuación de continuidad (ec:11.67):

2

112 V

V

Y de la ecuación de la energía (ec:11.69):

202 2 iiV

Reemplazando éstas dos últimas en la ecuación (ec:11.71):

2

20

112

2i

ii

V

c

Rp

p

Y reemplazando esta expresión en la ecuación de entropía (ec:11.70):


503

k

pv ii

Vii

iV

pc

Rlncss 20

11

1

20

211

112 2

2

ec:11.72

2

1

2021

1112 2k

k

pv iiiV

c

Rlncss

Que nos permite graficar 2S en función de 2h para un caudal másico constante y una fuerza de rozamiento variable con condiciones de entrada fijas.

En la figura f:11.15 se muestra esquemáticamente dicha curva a la cual se conoce como curva de Fanno.

f:11.15

Como se puede observar hay un valor de entalpía para el cual la entropía es máxima, para obtener dicho valor

vamos a encontrar: 0di

ds

2

1

2022

11

111

122

2 20k

v

kk

pv iiilncv

pc

Rlncs

di

d

di

ds

2

1112

1

00002

1

202

2

1

2022

1

20

k

iiiiii

kiiiii

ccc

c

k

kk

v

ec:11.73 1

20

k

iii cc

A la variable ci la denominamos entalpía crítica. Resolviendo la anterior para dicha variable resulta:

1

2

1

200

ki

kii c

1

2

21

2

1

21

1

2

00

0

k

ik

i

k

ki

ic

Si reemplazamos en la ecuación de la energía (ec:11.69):

ccc

c iiViV

i 02

0

2

22

Donde cV es la velocidad crítica. Reemplazando en la anterior el valor de la entalpía crítica por la expresión

ec:11.73:

cc ikV 12

Reemplazando el valor de la entalpía crítica por su expresión en función de la temperatura: cpc Tci

CAPÍTULO 11

504

cpc TckV 12

Pero como de acuerdo con la ecuación (ec:11.13) Rk

kc p

1

Resulta: 22 cTRkV cc

O sea que para 1M (condiciones sónicas o críticas) se obtiene la máxima entropía. Para valores de cii

el flujo es sónico para valores de cii el flujo es supersónico. Entonces en un conducto adiabático en

régimen subsónico el fluido se debe acelerar de forma tal que la entropía aumente constantemente hasta 1M . Para longitudes más largas deben producirse ondas de choque y estrangulación del flujo dado que

por la irreversibilidad de la fricción no puede existir una disminución de la entropía. Si el flujo es supersónico al intentar frenarlo se producirá una onda de choque pasando el flujo de supersónico a subsónico con 1M .

11.7.2 Flujo sin fricción con transporte de calor – Líneas de Rayleigh

Supongamos un tubo de sección constante donde escurre un gas perfecto en régimen permanente de forma tal que pueda despreciarse la fricción y a través de cuyas paredes se produce transferencia de calor tal como se muestra en la figura f:11.16.

f:11.16

Para un volumen de control tal como el mostrado desarrollaremos las ecuaciones fundamentales.

Dado que el escurrimiento es permanente y la sección constante la ecuación de continuidad es:

ec:11.74 2211 VV

Dado que las únicas fuerzas externas que actúan sobre el volumen de control son las debidas a a la presión, pues las fuerzas debidas a la gravedad y al rozamiento son despreciables la ecuación de cantidad de movimiento se puede poner:

ec:11.75 AVAVApp 222

21121

Suponiendo la variación de energía potencial despreciable por tratarse de un gas la ecuación de la energía queda:

ec:11.76

22

21

1

22

2

Vi

ViQ

Ecuación de la entropía:

ec:11.77

k

v p

plncss

2

1

1

212

De la ecuación de cantidad de movimiento ec:11.75:

cteVpVp 2222

2111

2222 Vctep

Reemplazando de acuerdo con la ecuación de continuidad ec:11.74


505

ec:11.78

2

211

2

V

ctep

Por tratarse de un gas la entalpía específica (por unidad de masa) en la sección 2 se puede calcular mediante:

2

222

R

pcTci pp

Reemplazando en la anterior el valor de la presión por el de la ecuación ec:11.78:

ec:11.79

2

211

22

Vcte

R

ci

p

Reemplazando en la ecuación ec:11.78 la expresión de la presión encontrada en ec:11.79; la entropía en la sección 2 se podrá expresar como:

ec:11.80

kv

k

v

Vcte

lncp

lncss2

2

211

1

112

Las ecuaciones ec:11.79 y ec:11.80 nos permiten graficar la entropía en la sección 2 con respecto a la entalpía en la misma sección con 2 como parámetro. Superponiéndola con la curva de Fanno (ver figura f:11.17), donde ambas curvas se han dibujado para el mismo gas, el mismo caudal, la misma sección y las mismas condiciones iniciales.

f:11.17

Dado que para la onda de choque normal corresponden las condiciones en las cuales son despreciables tanto la transferencia de calor como las fuerzas de fricción los puntos donde se intersecan las curvas de Fanno y Rayleigh (cada una de las cuales corresponde a una de las condiciones citadas) son los puntos que corresponden a las condiciones de la onda de choque normal antes y después de la misma. Como de acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, si no hay transferencia de calor la única evolución posible es a puntos de entropía creciente surge que la única evolución posible de una onda de choque normal es desde el punto 1 al 2, es decir que pasa siempre de supersónico a subsónico. Las curvas para todos los gases conocidos se comportan de esta forma.

Para hallar el punto de entropía máxima en la curva de Rayleigh vamos a encontrar la derivada de la entropía con respecto a la entalpía y la igualamos a cero:

002

2

2

2

2

2

di

d

d

ds

di

ds

CAPÍTULO 11

506

k

k

kk

v Vcte

VctekV

cd

ds

2

2

11

22

2

211

12

22

112

2

2

2

2

211

2

211

211

22

2

2

Vcte

VctekVc

d

ds

k

k

v

2

22

211

2

211

222

2

R

cVVcte

R

c

d

di pp

2

211

2

211

222

2112

2

211

211

22

2

2 1

VVc

R

cVcte

VctekVc

di

ds

pk

k

v

211

2112

2

2

211

211

22

2

VVcte

kVcte

V

Rc

c

di

ds

p

v

Para la condición 022 cidds donde identificamos el punto para esta condición como c:

02

11

211

ck

c

Vcte

V

Como de acuerdo con la ec:11.79 el denominador es p2 y como por continuidad (ec:11.75)

2211 VV

La ecuación anterior puede ser reescrita:

0

2

cc

c kp

Vc

Despejando el valor de la velocidad en la sección 2:

cp

kVc

cc

o sea que dids es máxima para 1M (condición sónica).

Al añadir calor al sistema la entropía debe aumentar, al sustraer calor al sistema la entropía debe disminuir por lo tanto:

cuando se añade calor acelera hasta 1M Si el flujo aguas arriba es subsónico:

cuando se sustrae calor se desacelera

cuando se añade calor se desacelera a 1M Si el flujo aguas arriba es supersónico:

cuando se sustrae calor se acelera

Habrá una cantidad exacta de calor para la cual 1M , si se añade más calor se producirá estrangulamiento y el flujo aguas arriba disminuirá para acomodarse a esta nueva situación de forma tal que a la salida 1M .


507

Por ello será interesante referir las variables en un punto cualquiera del conducto a las variables de estancamiento. Para ello en la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.75)

211

22221 VVpp

Reemplazando:

TR

p

y TRkMV 2

kMpV 211

211 y kMpV 2

2222

Resulta: 211

22221 MpkMpkpp

2222

2111 MpkpMpkp

ec:11.81 21

22

2

1

1

1

Mk

Mk

p

p

Si:

ec:11.82 cpp2 21

1

Mk

k

p

pc

Si queremos hallar la relación de temperaturas como en un gas perfecto: TRp y 1

2

2

1

2

1

p

p

T

T

además de la ecuación de continuidad 2

1

1

22211 V

VVV

reemplazando:

ec:11.83 2

1

2

1

22

11

1

2

T

T

M

M

TRkM

TRkM

ec:11.84 2

1

2

1

2

1

2

1

M

M

T

T

p

p

T

T

2

22

11

2

1

2

1

2

1

2

1

Mp

Mp

T

T

M

M

p

p

T

T

y finalmente:

ec:11.85 2

2

21

221

222

2

1

1

1

M

M

Mk

Mk

T

T

Si:

ec:11.86 cTT2 22

22

1

1

Mk

Mk

T

Tc

De:

1

11

TRk

VM

y

2

22

TRk

VM

CAPÍTULO 11

508

2

1

2

1

2

1

T

T

M

M

V

V y

2

1

22

22

21

2

1

1

1

Mk

Mk

M

M

V

V

ec:11.87

22

1

1

Mk

kM

V

Vc

Si queremos encontrar la relación de temperatura de estancamiento a temperatura de estancamiento crítica:

En la sección 1 será:

2

1

2

21

110

21

110V

cTT

VTcTc

ppp

Y como 121

21 TRkMV

Entonces:

2

1 121110

TRkM

kR

kTT

ec:11.88

211

21

1

01 Mk

T

T

Para la sección 2 análogamente:

2

1122

2

02 Mk

T

T

2

122

21

20

10

211

211

T

T

Mk

Mk

T

T

ec:11.89

2

2

221

21

222

22

21

20

10

1

1

211

211

MMk

MMk

Mk

Mk

T

T

Y:

22

222

0

0

1

1

2

11

211

Mk

Mkk

Mk

T

Tc

22

222

0

0

1

1

1

12

Mk

Mk

k

Mk

T

Tc

ec:11.90

22

22

0

0

1

112

Mk

MkMk

T

Tc

Si queremos hallar la cantidad de calor intercambiada de la ecuación de energía:

ec:11.91 10201020

21

1

22

2 22TTcTcTc

Vh

VhQ ppp

Si las condiciones de salida son la sónicas

ec:11.92 00 TTcQ cp


509

11.8 Flujo compresible en conductos en régimen permanente

Trataremos en la presente sección de establecer las relaciones que nos permitan calcular la pérdida de carga en cañerías cuyo escurrimiento se realiza con fluidos compresibles, entendiendo como tal aquellos en que la diferencia de presiones entre la entrada y la salida es tal que no es posible despreciar los efectos de la compresibilidad. Así el escurrimiento en conductos de aire acondicionado por ejemplo, puede ser estudiado como flujo incompresible, dado la baja relación de presiones entre la entrada y la salida del sistema, en tanto que los sistemas de aire comprimido deben estudiarse como flujos compresibles porque la relación de presiones entre la entrada y la salida es muy grande. En este ejemplo debe quedar claro que no todos los sistemas donde evoluciona un gas necesitan ser estudiados como compresibles.

En lo que sigue sólo se tratará con conductos donde la única transferencia de calor es con el medio de forma tal que en conductos largos es posible considerar el flujo como isotérmico y la causa principal de los cambios que se producen es debido a la fricción. Es decir que en el caso de conductos largos consideraremos el flujo como isotérmico. En cambio si el conducto es relativamente corto y la velocidad del mismo es importante el fluido no tiene tiempo de intercambiar calor con e medio y se comportará como adiabático (caso de la sección 11.7.1).

En general en la práctica se adopta el criterio que en el escurrimiento de fluidos compresibles, cuando la relación entre la presión absoluta inicial y final no supera el 10% el error que se comete al considerar el flujo como incompresible no es significativo.

Más allá de esto, en el flujo compresible en conductos se presentan dos casos típicos:

conductos donde el fluido escurre con número de Mach inferiores a 0,2

conductos donde el fluido escurre con número de Mach superior a 0,2

El primer caso corresponde a cañerías en instalaciones industriales que transportan fluidos o bien en gasoductos, en tanto el segundo es más común en sistemas de venteo de plantas que manejan fluidos compresibles.

Refiriéndonos a los primeros (conductos con número de Mach menor a 0,2), podemos decir que el escurrimiento en instalaciones industriales en general con conductos largos se puede considerar isotérmico y por lo tanto no corresponde a ninguno de los casos estudiados en 11.7. En efecto, la fricción en las cañerías produce un aumento de temperatura en el flujo, pero si convenimos que el flujo es isotérmico, debe existir una transferencia de calor con el medio a fin que no se produzca dicho incremento. Es decir que este flujo es uno en el cual se produce transferencia de calor y en el cual las fuerzas de fricción no son despreciables.

En el segundo caso, y en particular para los sistemas de venteo de plantas, el flujo está entre adiabático e isotérmico. Siendo la evolución isotérmica más conservativa que la adiabática es común utilizar ésta, excepto en el caso de sistemas criogénicos en los cuales se utiliza la evolución adiabática.

Para ambos casos podemos plantear la ecuación de cantidad de movimiento a un volumen de control como se muestra en la figura f:11.18 pero para una longitud diferencial (puesto que se produce una variación continua de las variables).

f:11.18

Aplicando la ecuación de cantidad de movimiento al volumen de control mostrado en la dirección del movimiento resulta:

dx

dx

dVVAVAVdxDAdx

dx

dppp 2

0

CAPÍTULO 11

510

Donde los valores de presión, y velocidad en la sección 2 se han expresado como el valor en la sección 1 más el diferencial correspondiente dado que el volumen de control es infinitesimal. Además la fuerza de fricción se desarrolló como el producto de la tensión de corte sobre la pared por el área lateral de dicho volumen. Operando resulta:

Vdx

dx

dVVAVdxDAdx

dx

dp0

dxdx

dVAVdxDAdx

dx

dp 0

Recordando la deducción de la fórmula de Darcy-Weisbach del capítulo 8 (ec:8.5):

8

2

0

Vf

Y reemplazando el valor de tensión de corte en la anterior y expresando el área en función del diámetro del conducto:

dxdx

dVDVdx

D

Vfdx

D

dx

dp

424

222

ec:11.93 02

2

dVVdxD

Vfdp

Donde f el factor de fricción es constante para toda la longitud.

La ec:11.93 es la ecuación básica que nos permitirá desarrollar ambos casos.

11.8.1 Flujo a bajos números de Mach - Fórmula general

Dado que este flujo corresponde a números de Mach bajos, la diferencia entre la velocidad inicial y final no es mucha, por lo tanto la variación de cantidad de movimiento (tercer término de la ec:11.93) puede despreciarse.

Si reemplazamos en la ecuación de continuidad la velocidad del escurrimiento por su valor en función del caudal másico (el cual es constante por ser el flujo permanente):

422

2

22

22 16

D

Q

A

QV mm

Reemplazando la anterior en la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.93) y simplificando el tercer término de la misma, resulta:

dxD

Q

D

fdp m

422

216

2

Teniendo en cuenta que el flujo es isotérmico:

TR

pTR

p

Reemplazando:

dxD

TRQfdpp m

52

2

2

16

Que se puede integrar: L

mp

p

xD

TRQfp

052

22

2

16

2

2

1


511

ec:11.94 52

222

21

16

D

TRQLfpp m

Si reemplazamos WM MRR

W

Mm

MD

TRQLfpp

52

222

21

16

Si recordamos que:

Waire

Ws

Waire

Ws

aire

gasr M

M

,

M,

M

422

422

1616

25

2

52

222

21

Waire

M

r

m

rWaire

Mm

M

TR

D

QLf

MD

TRQLfpp

Se puede considerar en la mayor parte de los casos que KCCT º288º273º15 y como:

Kkg

J,R

M

RAIRE

Waire

M

05287

kg

J,,

T

M

R

Waire

M 2628376288

0528722

ec:11.95 r

mA

mD

skgQmLf,Papp

55

2222

221 2134020

Esta es la fórmula general para los flujos compresibles en cañerías con bajos números de Mach. El factor de fricción es el que se obtiene de la ecuación de Colebrook-White vista en el capítulo 8 (ec:8.17). La ecuación ec:11.95 puede aplicarse a instalaciones industriales de aire, gas, nitrógeno, hidrógeno, helio, etcétera. También es aplicable al flujo en gasoductos. En éstos el número de Reynolds es en general muy elevado, y por lo tanto el factor de fricción es sólo función de la rugosidad, lo cual ha dado lugar a algunas fórmulas (por ejemplo la fórmula de Weymouth) en donde le factor de fricción se reemplaza por una expresión empírica.

Si comparamos la ecuación ec:11.95 con la expresión de Darcy-Weisbach ec:8.6 correspondiente a flujo incompresible, que para una cañería horizontal y en función de las presiones inicial y final y el caudal másico en el ducto se puede escribir:

355

222

21 810mkgmD

skgQmLf,mNpp m

Podemos observar que mientras en el flujo incompresible la piezométrica es lineal en el flujo compresible la misma es cuadrática.

Ejemplo 11.7

Un gasoducto de 20 pulgadas (0,508 m) de diámetro interno tiene una longitud de 100 km, su presión inicial es de 60 barA y su presión final de 35 barA. Si la rugosidad absoluta es de 0,03 mm: ¿qué caudal de gas natural de masa molecular 18 g/mol y viscosidad dinámica 0,000012 kg/(m·s) transporta?

Solución

Despejando de la ecuación ec:11.95 el caudal:

mLf,

mDPappskgQ rA

m

2134020

55222

21

CAPÍTULO 11

512

En los cuales:

p1 = 60 barA = 6x106 PaA; p2 = 35 barA = 3,5·106 PaA; D = 0,508 m, L = 100.000 m; f = 0,011; ρr = 18/29 = 0,62

Donde el factor de fricción se adoptó como el correspondiente a flujo totalmente rugoso, en tanto la densidad relativa se calculó como relación de los pesos moleculares del gas y del aire. Reemplazando resulta:

Qm= 58,13 kg/s

Con el valor obtenido calculamos el número de Reynolds y con éste y la rugosidad relativa obtenemos el factor de fricción para corroborar el valor del factor de fricción utilizado. El número de Reynolds es:

DV

Si reemplazamos la velocidad por su valor en función del caudal másico:

D

Qm

4

Como se puede observar de esta expresión para el régimen permanente el número de Reynolds se mantiene constante en toda la cañería. Reemplazando valores resulta:

ec:11.96 12141308

Recalculando el factor de fricción con este valor del número de Reynolds y la rugosidad relativa mediante la fórmula de Colebrook-White el factor de fricción resulta f = 0,011 que coincide con el adoptado.

Si queremos obtener el caudal en metros cúbicos por hora estándar debemos calcular la densidad estándar. Para calcular la densidad estándar como conocemos el peso molecular y recordando que a 0°C y 1 atm, un mol de gas ocupa 22,4 l:

33

7620288

273

422

18mkg,

K

K

m,

kgstd

Y entonces el caudal en metros cúbicos por hora estándar resulta:

27614236007620

45583

3 hsmkg,

skg,hmQstd

11.8.2 Flujo a altos números de Mach

En este caso correspondiente al flujo en conductos son de interés dos tipos de evoluciones:

flujo adiabático,

flujo isotérmico.

En general para tramos cortos y con elevados números de Mach la evolución puede considerarse adiabática en tanto y en cuanto no hay tiempo suficiente para que se produzca el intercambio de calor con el medio.

Cuando se trata con conductos de mayor longitud el intercambio de calor es posible y entonces el flujo se puede considerar isotérmico.

A fin de integrar en la ecuación de la cantidad de movimiento ec:11.93 no se puede despreciar el término de variación de la cantidad de movimiento porque la diferencia entre la velocidad final y la inicial es relevante. Además resulta conveniente expresarla en función del número de Mach. Para ello dividiendo miembro a miembro la expresión mencionada por la presión:

02

2

dVVp

dxD

Vf

pp

dp

De la ecuación de la velocidad del sonido ec:11.25 y de la ecuación de estado de los gases resulta:

k

cp 2

Por lo tanto reemplazando:


513

02 22

2

dVVc

k

D

dxfk

c

V

p

dp

ec:11.97 02

22

V

dVMk

D

dxfkM

p

dp

Esta ecuación es válida tanto para flujo adiabático como isotérmico porque los reemplazos efectuados son independientes de la evolución. Sin embargo los términos de diferencial de presión y diferencial de velocidad difieren de acuerdo con la evolución. En lo que sigue desarrollaremos dichos diferenciales para encontrar una expresión sólo dependiente del número de Mach. Comenzaremos desarrollando el flujo adiabático.

11.8.2.1 Flujo adiabático

Vamos ahora a expresar las variables de presión y velocidad en función del número de Mach. Para encontrar una expresión en función del número de Mach que reemplace las variables de velocidad vamos a partir de la ecuación de la energía ec:11.69 y de la ecuación de la entalpía ec:11.10 desarrolladas para el flujo adiabático:

2

2

0V

Tpci

Diferenciando la anterior y teniendo en cuenta que la entalpía de estancamiento en un flujo adiabático es constante:

0 dVVdTc p

Dividiendo toda la expresión por el cuadrado de la velocidad y reagrupando:

ec:11.98 2V

dTc

V

dVp

Siendo por definición del número de Mach:

TRkMcMV 2222

Diferenciando la anterior resulta:

dTRkMTRkdMMdVV 222

Dividiendo por la velocidad al cuadrado:

ec:11.99

M

dM

V

dVTdT

T

dT

M

dM

V

dV222

Reemplazando en la ecuación ec:11.98:

M

dM

V

dVT

cMc

V

dVp 2

122

Además según la ecuación ec:11.13:

1

k

Rkc p

Reemplazo mediante el cual la anterior queda:

ec:11.100

V

dV

M

dM

kMV

dV

1

212

Despejando la expresión de la velocidad:

ec:11.101

2

11 2 k

M

M

dM

V

dV

CAPÍTULO 11

514

Expresión que satisface el objetivo propuesto. Vamos ahora a encontrar una expresión que nos permita expresar las variables de presión de la ecuación en variables relacionadas al número de Mach. Para ello partimos de la ecuación de continuidad. Como de la ecuación de continuidad para cualquier sección el caudal másico por unidad de área es constante resulta:

V

GGcteV

Y como de la ecuación de los gases perfectos: TRp reemplazando en la anterior resulta:

TRGVp

Diferenciando esta expresión:

dTRGdVpVdp

Dividiendo por el producto de la presión y la velocidad Vp :

T

dT

V

dV

p

dp

Despejando las variables de presión:

V

dV

T

dT

p

dp

Reemplazando en la anterior por las expresión encontradas en ec:11.99 queda:

M

dM

V

dV

V

dV

M

dM

V

dV

p

dp22

Reemplazando por la [11.100]:

M

dM

kM

M

dM

p

dp2

2

11 2

Operando:

ec:11.102

M

dMk

M

kM

p

dp

2

11

11

2

2

Ahora las variables de presión y velocidad han sido expresadas en función del número de Mach y entonces procedemos al reemplazo de las variables citadas en la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.97). Por lo tanto reemplazando en esta por la (ec:11.101) y la (ec:11.102):

0

2

11

1

2

2

11

11

2

22

2

2

kM

M

dMMk

D

dxfkkM

kM

kM

M

dM

dM

kM

Mk

MkM

kM

D

dxfkM

2

11

1

2

11

11

2 22

22

dMk

MM

MkkM

D

dxfkM

2

11

11

2 2

222


515

dM

Mk

Mk

Mdx

D

f

23

2

2

11

12

Donde hemos separado variables a fin de integrar la ecuación diferencial. Esta expresión también se puede expresar:

23

2

11

12

Mk

M

dM

k

k

M

dM

kdx

D

f

Si integramos la anterior para una longitud entre 0 y L y un número de Mach inicial M0 y un número final M resulta:

ec:11.103

21

21

2

111120

220

220 Mk

Mk

M

Mln

k

k

MMkD

Lf

Como puede verse de la curva de Fanno (flujo adiabático sin rozamiento) si las condiciones del número de Mach inicial son supersónicas (Mach mayor que 1) el flujo se debe desacelerar pues el proceso es irreversible (no isoentrópico) y por lo tanto la entropía debe aumentar hacia el valor del número de Mach unitario. En cambio si el número de Mach es subsónico (Mach menor que 1) el flujo se debe acelerar hasta alcanzar el valor de Mach igual a uno. Entonces para una determinada longitud que denominamos máxima el flujo se hará sónico (número de Mach igual a 1) ya sea que las condiciones iniciales sean subsónicas o supersónicas y al igual que para las toberas el flujo se dice que se estrangula y ya no es posible incrementar el caudal másico que circula disminuyendo la presión de salida. Esta longitud de conducto máxima la obtenemos haciendo el número de mach final igual a 1 con lo cual la anterior queda:

ec:11.104

20

20

20

20

2

112

1

2

11

Mk

kMln

k

k

Mk

M

D

Lf máx

Dado que las condiciones de estrangulamiento son sumamente importantes pues determinan el máximo caudal másico que puede circular por el conducto resulta conveniente encontrar los valores de las variables en relación con esta. Así por ejemplo para relacionar la presión con la presión crítica (la que corresponde a la condición sónica) integramos la ecuación ec:11.102 entre el número de Mach inicial y 1:

cpp M k

M

kM

M

dM

p

dp

2

11

11

2

21

0

ec:11.105

1

21 20

00

k

MkM

p

p c

Donde usamos la notación con supraíndice para distinguirla de las condiciones críticas que se obtienen en el flujo isoentrópico.

Para encontrar la relación entre la velocidad y la velocidad crítica integramos entre los mismos límites anteriores la ecuación ec:11.101:

1

20

2

11

MVV k

M

M

dM

V

dVc

ec:11.106

1

2

112

120

00

k

Mk

MV

V c

CAPÍTULO 11

516

Para obtener la relación entre la temperatura crítica y la temperatura de estancamiento (que para un gas perfecto resulta igual al cuadrado de la relación entre la velocidad del sónido crítica y la velocidad del sonido en un punto genérico) recurrimos a la ecuación ec:11.99:

M

dM

V

dV

T

dT2

Reemplazando las velocidades por el valor encontrado en ec:11.101:

M

dM

kM

M

dM

T

dT

2

11

22

1

2

11

12

2 kM

M

dM

T

dT

2

11

2

1

22

2

kM

kM

M

dM

T

dT

Integrando la anterior entre el número de Mach inicial y 1:

1

20

12

11

M

T

TM

k

dMMk

T

dTc

Y por lo tanto:

ec:11.107

1

2

112 2

02

00

k

Mk

c

c

T

T cc

Ejemplo 11.8

Por una cañería de acero de 100mm de diámetro se descarga 3kg/s de aire a 60ºC y 500kPaA. Suponiendo que la cañería se encuentra perfectamente aislada térmicamente (flujo adiabático), calcula la presión y la temperatura en un punto 50m aguas abajo de la descarga.

Solución

Comenzamos calculando la densidad en el punto de entrada a la cañería, dado que contamos con la sotras dos variables (presión y temperatura). Indicando con cero las condiciones a la entrada y de acuerdo con la ecuación de estado, la densidad se podrá calcular como:

3

25

0

00 2395

602733118

0290105mkg,

KmolK

mN,

molkg,mN.

TR

Mp

W

W

Con los valores de caudal másico, densidad y área se podrá calcular la velocidad en el punto de entrada con la ecuación de continuidad:

sm,mkg,m,

skg

D

QV m 21297

239510

344322

020


517

Con la velocidad y mediante la ecuación de la velocidad del sonido podemos calcular el número de Mach a la entrada mediante:

1980

3330290

311841

212970 ,

Kmolkg,molK

mN,

,

sm,

TRk

VM

Es decir que el flujo es subsónico y por lo tanto, de acuerdo a la curva de Fanno, sección 11.7.1, se acelerará hasta un máximo de Mach 1 si la longitud del conducto es suficientemente larga. Esta longitud puede calcularse mediante la ecuación ec:11.104. Si la longitud de definida en los datos es mayor que dicha longitud máxima, el caudal dado no puede escurrir por él. Nosotros procederemos a determinar de la ecuación ec:11.103 el número de Mach en la sección de cañería a 50m aguas abajo. Si el número de Mach está por debajo de 1 las condiciones físicas impuestas son correctas.

21

21

2

11112

0

220

220 Mk

Mk

M

Mln

k

k

MMkD

Lf

El factor de fricción en la ecuación anterior en régimen subsónico es el mismo que para el flujo incompresible estudiado en el Cap. 8. Este factor en general puede estimarse considerando el flujo como totalmente rugoso, entonces de la ec:8.19, para el número de Reynolds tendiendo a infinito resulta:

01670

73100

0460860

1

73860

122

,

,

,ln,

,Dln,

f

Reemplazando en la ec:11.103:

21980141

21411980

412

1411

1980

1

41

1

10

5001670

2

22

22 .,

M,

M

.ln

,

,

M...,

La anterior se debe resolver por prueba y error o bien algún método de aproximaciones sucesivas, de lo cual se obtiene:

2770,M

Con los datos de entrada se puede calcular la temperatura de estancamiento mediante las ec:11.34, y como el flujo es adiabático la temperatura de estancamiento es constante y por lo tanto las mismas ecuaciones pueden utilizarse para encontrar la temperatura en la sección despejando la temperatura en función de la de estancamiento, combinando ambas ecuaciones resulta:

K,

,

,,

KM

k

Mk

TT 3302770

2

1411

19802

1411

333

2

11

2

11

2

2

22

21

12

Para calcular la presión utilizamos la ecuación de la presión crítica (ec:11.105):

1

21 20

00

k

MkM

p

pc

Con esta ecuación para las condiciones iniciales podemos calcular la presión crítica y luego, con esta relación aplicada a la sección a 50m podemos obtener la presión en el punto. Si combinamos en esta forma y reemplazamos resulta:

kPa,k

,,

,

,kPa

Mk

Mkpp 349

227701

21980141

2770

1980500

21

212

2

2

20

0

11.8.2.2 Flujo isotérmico

Vamos a considerar el flujo en un ducto a alta velocidad, pero considerando la evolución isotérmica.

Como se anticipó en la sección 11.8.2 la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.97):

CAPÍTULO 11

518

02

22

V

dVMk

D

dxfkM

p

dp

Sigue siendo válida así como también la ecuación de continuidad (ec:11.67):

cteV

La ecuación de la energía es idéntica a la encontrada al desarrollar la curva Rayleigh (ec:11.76) y lleva a la misma ecuación para la temperatura de estancamiento (ec:11.88).

211

2

0

MkTT

Dada la condición de isotérmico la ecuación de estado queda:

ec:11.108

d

p

dpcte

p

Como en los casos anteriores obtendremos importante información si podemos expresar la ecuación de cantidad de movimiento en función del número de Mach.

Recordando que por definición del número de Mach:

MTRkV

Entonces diferenciando la anterior podemos poner:

ec:11.109 dMTRkdV y M

dM

V

dV

La ecuación anterior relaciona el último término de la expresión de la cantidad de movimiento con el número de Mach.

De la ecuación de continuidad (ec:11.67) y de la condición de flujo isotérmico [11.6.3.1] resulta:

V

dVdcteV

Y entonces de acuerdo con la ecuación ec:11.108:

ec:11.110 M

dM

p

dp

Finalmente reemplazando la ec:11.109 y la ec:11.110 en la ec:11.97, resulta:

ec:11.111 02

2 dMMkdxMkD

f

M

dM

Recordando que: dMMMd 22 y reemplazando en la anterior resulta:

ec:11.112 0

21

222

2

2

dxMkD

fMk

M

Md

ec:11.113

dxMk

Mk

D

f

M

Md

2

2

2

2

1

Analizando la ecuación ec:11.113 el signo del diferencial del número de Mach viene dado por el signo del denominador:

kMMk

kMMk

101

101

2

2


519

O sea que si

kM

1 dM positivo

kM

1 dM negativo

Lo cual nos dice que para valores de kM 1 la velocidad aumenta y disminuyen la densidad y la presión

para valores de kM 1 ocurre lo inverso. Por lo tanto en flujo isotérmico el flujo tiende a k1 en lugar

de 1. Siendo k para cualquier gas mayor que la unidad se observa que el flujo isotérmico las condiciones de estrangulamiento tienen lugar a un valor del número de Mach levemente menor a la unidad.

Para hallar el sentido del flujo calórico diferenciamos la ecuación de la energía (ec:11.88):

2

12

0

MdkTdT

2

20

0

2112

1Md

MkT

kT

T

dT

2

20

0

12

1Md

Mk

k

T

dT

Reemplazando 2Md por el valor obtenido en la ec:11.113

ec:11.114

D

dxf

MkMk

Mkk

T

dT

22

4

0

0

121

1

En forma similar que para el número de Mach, nuevamente el término (1- k·M2) es el que define cuando la temperatura de estancamiento aumenta o disminuye. Por inspección de la ec:11.114, cuando:

kM 1 , 0dT es positivo

kM 1 , 0dT es negativo

Es decir que cuando el flujo tiende k1 por Mach menores la temperatura de estancamiento aumenta o sea

que el medio ambiente cede calor al fluido, en cambio cuando kM 1 la temperatura de estancamiento

disminuye y el calor es transferido por el fluido al medio ambiente.

Integrando la ecuación de cantidad de movimiento (ec:11.113) entre un número de Mach genérico y las condiciones de estrangulamiento:

k

M

LMd

M

Mk

kdx

D

f max 1 24

2

0

11

k

M

LMdM

M

Mk

kdx

D

f max 1

4

2

02

11

k

M

LdM

MdM

kMdx

D

f max 1

30

22

kM

k

Mmax Mln

MkL

D

f11

22

1

Finalmente la longitud máxima para que se produzca estrangulamiento será:

CAPÍTULO 11

520

ec:11.115 MklnMk

MkL

D

fmax

2

21

Para hallar la variación de presión y denominando con el supraíndice ct las variables en el punto de estrangulamiento, integramos la ecuación ec:11.110:

k

M

p

pMlnpln

M

dM

p

dp ct 1

ec:11.116 Mkp

p

k

Mln

p

pln

ctct

1

Que permite conocer la presión de estrangulamiento (donde el caudal se hace máximo) en función del número de Mach y la presión en algún punto aguas arriba.

Es oportuno expresar la ecuación (ec:11.115) para una longitud dada para dos valores determinados del número de Mach. Entonces si cambiamos los límites de integración de la (ec:11.113) adoptando para la longitud los límites 0 y L (la longitud del tramo), en tanto que para el número de Mach adoptamos un valor inicial M1 y uno final M2 resulta:

ec:11.117

21

22

22

21

21

11

M

Mln

M

M

MkL

D

f

Dado que la presión de estrangulamiento y la relación de calores específicos es una constante para un escurrimiento en particular de la ecuación ec:11.116 surge que:

2211 MpMpk

pct

Y por lo tanto:

1

2

2

1

M

M

p

p

Substituyendo esta expresión en la ecuación ec:11.117 y operando resulta:

ec:11.118 2

2

121

2

1

21

p

pln

Mk

p

p

LD

f

Ecuación que permite calcular la presión de la cañería en cualquier punto a la distancia L si se conocen las condiciones iniciales. Dado que la ecuación encontrada es cuadrática tendrá dos posibles resultados, sin embargo uno de ellos implicaría factores de fricción negativo, lo que contraría el segundo principio, por lo cual uno solo de estos resultados tiene sentido físico. Esta expresión es la recomendada por la norma API 521 para el cálculo de cañerías de descarga de venteos, excepto que la fórmula dada por la norma considera un fluido con relación de calores específicos unitario. Si la diferencia de presiones en la ecuación ec:11.118 no es muy grande, el término del logaritmo neperiano puede despreciarse y entonces la ecuación devendría:

22

21

21

21

21

21

22

21

ppMkpLD

f

Mkp

ppL

D

f

Reemplazando el número de Mach por su definición:

1

21

21

212

1 TRk

V

c

VM

La presión por la ecuación de estado:

111 TRp


521

La ecuación queda:

22

21

2111 ppVpL

D

f

Reemplazando por el valor de la velocidad en función del caudal másico:

5

2

1

12

22

21

16

D

QLfppp m

Y de acuerdo con la ecuación de estado:

521

22

22

116

D

TRQLfpp m

Idéntica a la ec:11.94 que luego llevó a la fórmula general del flujo isotérmico para bajos números de Mach (ec:11.95). Es decir que cuando la diferencia de presiones es pequeña comparada con el valor de DLf no

se comete un error apreciable al utilizar la ec:11.95 tal como se adopta en la práctica.

Ejemplo 11.9

Recalcular el Ejemplo 11.7 pero utilizando la fórmula general del flujo isotérmico. Considerar una temperatura del fluido de 15ºC.

Solución

De acuerdo con la ec:11.118

2

2

121

2

1

21

p

pln

Mk

p

p

LD

f

Que nos permite encontrar el valor de la presión en 2 si se conoce el factor de fricción, la longitud, el diámetro y el número de Mach inicial. Para encontrar este último, recordando que por definición:

1

11 c

VM

Por la ecuación de continuidad:

214

D

QV m

Y de acuerdo con la ec:11.25

kRTc 1

Reemplazando en la definición de Mach

1

2

1

4

TM

Rk

D

Q

M

W

M

m

Reemplazando este valor en la expresión general: 2

2

12

1422

12

1

2

161

p

pln

MQ

TRD

p

pL

D

f

Wm

M

Despejando el caudal másico:

CAPÍTULO 11

522

W

M

m

Mp

plnL

D

f

TRp

p

DQ

2

2

1

1

2

1

2

21

1

4

Recordando que la densidad relativa en condiciones estándar es igual al cociente de masas moleculares entre el gas y el aire, mediante la ecuación de los gases perfectos se puede determinar la densidad en las condiciones del punto 1:

335

61

1 0345225129

18

100131

106mkg,mkg,

.,

.

M

M

p

paire

aire_W

W

atm

Reemplazando por los valores correspondiente:

skg,

molkg,lnm,

m,

KmolK

mN,

m,mkg,Qm 0850

018035

60

5080

1000000110

288311860

351

4

50800345

2

2

23

En el problema del ejemplo habíamos calculado un valor de 58,13 kg/s, es decir que el error cometido en estas condiciones es despreciable (0,09%).

Ejemplo 11.10

Por una cañería de 150mm de diámetro y 30m de longitud se produce un venteo de gas de relación de calores específicos de 1,2 y masa molecular 18 g/mol. En la entrada la presión es de 60,78 bar absolutos y descarga a la atmósfera. Encontrar cuanto es el caudal desaguado suponiendo flujo isotérmico. Para este caso es necesario determinar si el flujo se encuentra estrangulado o no.

Solución

Para ello la ecuación ec:11.117 la expresamos en función del número de Mach en la sección 2 en lugar de la sección 1, mediante la expresión más arriba de la ecuación citada según la cual resulta:

1

221 p

pMM

Con el reemplazo indicado, la ec:11.117 se puede reescribir:

2

2

122

2

1

22

2

11

p

pln

Mk

p

p

p

pL

D

f

Cuando la presión en la sección 2 tiende a la crítica de acuerdo a la ecuación ec:11.113, el número de Mach

del flujo tiende a k1 y si la longitud de la cañería es menor que la longitud que corresponde a dicho valor

el flujo estará estrangulado, y por lo tanto valores de longitud menores no producirán mayores caudales. Reemplazando en la ecuación anterior resulta:


523

1

1

1

1

21

21

21

2

1

21

21

2

2

12

1

cc

c

c

c

c

c

c

p

pln

p

pL

D

f

p

pln

p

p

p

pL

D

f

p

pln

kk

p

p

p

pL

D

f

La expresión anterior permite calcular la presión crítica (correspondiente al flujo estrangulado). En nuestro caso adoptando el factor de fricción considerando que el flujo está en zona totalmente rugosa resulta:

01530

73150

0460860

1

73860

122

,

,

,ln,

,Dln,

f

Reemplazando en la anterior:

178607860

30150

0153022

cc p

,ln

p

,

,

,

Mediante aproximaciones sucesivas encontramos el valor de la presión crítica que resulta ser 25,19 bar. Como esta presión es muy superior a la presión de salida el flujo se encuentra estrangulado.

Para calcular el caudal reemplazamos en la ecuación del caudal desarrollada para el Ejemplo 11.9, por los valores actuales y la presión en la sección 2 por la presión crítica:

Wc

Mc

m

Mp

plnL

D

f

TRp

p

DQ

2

1

1

2

121

1

4

La densidad en la descarga (sección 1), la podemos calcular mediante la ecuación de estado con lo cual resulta:

31 0345 mkg,

Reemplazando por los valores hallados:

skg,

molkg,bar,

bar,lnm

m,

,

KmolK

mN,

bar,

bar,

m,mkg,Qm 27120

01801925

786030

150

01530

28831187860

19251

4

15003452

2

23

Referencias bibliográficas: BASTIANÓN, RICARDO A. Guía de Trabajos Prácticos de Fluidodinámica. Buenos Aires: CEI.

VENNARD, J; STREET, R. Elementos de mecánica de fluidos. 3a. ed. México: CECSA, 1993. 851 p.

STREETER, VICTOR; WYLIE, BENJAMIN. Mecánica de los fluidos. 8a. ed. México: Mc. Graw-Hill, 1988. 595 p.

CAPÍTULO 11

524

SHAMES, IRVING. Mecánica de fluidos. Colombia: M. Suárez, 1994. 830 p.

SHAPIRO, ASCHER H. The dynamics and thermodynamics of compressible fluid flow. Ronald Press Co., 1953. 1185 p.

TAMAGNO, JOSÉ; SHWULZ, WALKIRIA; ELASKAR, SERGIO. Dinámica de los gases – Flujo unidimensional estacionario. Córdoba, 2008. 219 p.

LAPPLE, C.E. Isothermal and adiabatic flow of compressible fluids.Transactions A.I.CH.E., 1948. 385p.

Referencias audiovisuales: COLES, DONALD. Channel flow of a compressible fluid. California Institute of Technology

hidraulica - capítulo 11 - flujos compresibles - version 03

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