DESARROLLO DE UN SIMULADOR PARA MODELAR EL FLUJO LINEAL 2D DE FLUIDOS ALTAMENTE COMPRESIBLE-GAS

DESARROLLO DE UN SIMULADOR PARA MODELAR EL FLUJO LINEAL 2D DE FLUIDOS ALTAMENTE COMPRESIBLE-GASMETODO DE SOLUCION SOR

JUAN REPELIN CUCHARIN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA MEDELLIN 2012

CONTENIDO

INTRODUCCION OBJETIVOS MARCO TEORICO6 Generalidades de un Simulador6PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 6MODELO FISICO ..7 MODELO MATEMATICO 8 Condiciones de limite 12 Condiciones de limite interno ...........................................................12 Condiciones de limite Externo ....13

Correlaciones para calcular las propiedades PVT..14

Calculo del factor de compresibilidad del gas (Z....14 Calculo de la Viscosidad Del gas ( ) ..15 Calculo del factor volumtrico del gas 16

Criterio de Balance de Materiales para yacimiento de gas...17MODELO COMPUTACIONAL.....17 Solucin del modelo matemtico...19DIAGRAMA DE FLUJO DE LA ESTRATEGIA DE SOLUCION21RESULTADOS DEL MODELO COMPUTACIONAL22CODIGO DEL PROGRAMA. CONCLUSIONES REFERENCIAS

INTRODUCCIONEn el presente trabajo se desarrolla un modelo numrico, fsico y computacional para modelar el flujo en 2D de un fluido altamente compresible como es el gas. El yacimiento en estudio no es sensible a los esfuerzos por tanto la porosidad permanece constante durante todo el tiempo de produccin; por el contrario la permeabilidad varia en el yacimiento en forma lineal respectivamente en las direcciones X y Y. Se plantea un modelo computacional capaz de modelar la distribucin de presiones que sufre un yacimiento en un ao de produccin, dicho yacimiento est conformado por cinco pozos, un pozo inyector y 4 pozos productores; se predice dicho disturbio en lapsos de tiempo de un mes hasta completar el ao. Para trabajar el modelo computacional se utiliza el lenguaje FORTRAN.

OBJETIVOS

Elaborar un simulador para modelar el flujo de fluidos altamente compresibles aplicando el modelo SOR como un modelo de solucin del sistema de ecuaciones.

Representar la distribucin de presin con el paso del tiempo para el flujo en 2D de fluidos altamente compresibles mediante modelo fsico, numrico y computacionalHaciendo uso del simulador diseado Estimar la variacin de las distribuciones de presin en un yacimiento con flujo 2D altamente compresible para diferentes modelos de produccin.

FUNDAMENTO TEORICOGeneralidades de un Simulador.

La simulacin de yacimientos implica el proceso de inferir el comportamiento de un yacimiento real desde la perspectiva del desempeo de un modelo de dicho sistema. El modelo fsico, tal como un modelo a escala de laboratorio, o matemtico. Para los propsitos de este trabajo, el modelo a estudiar es el matemtico de un sistema fsico, el cual es un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales, junto con un conjunto apropiado de condiciones de frontera. Dichas condiciones mencionadas anteriormente describen de una manera adecuada los procesos fsicos que se llevan a cabo en el sistema, los cuales bsicamente son el flujo de fluidos y la transferencia de masa. En estos sistemas, se pueden dar incluso el flujo de tres fases inmiscibles (Agua, petrleo y gas) simultneamente, mientras que la transferencia de masa puede ocurrir entre las fases. La gravedad, capilaridad y las fuerzas viscosas juegan un papel muy importante en el proceso de flujo de fluidos. Asimismo, los modelos deben tener en cuenta todas estas fuerzas, y una descripcin arbitraria del yacimiento con respecto a la heterogeneidad y geometra. Las ecuaciones diferenciales son obtenidas mediante la combinacin de las leyes de Darcy para cada fase con un simple balance de materiales. Para poder utilizar estas ecuaciones con el fin de predecir el comportamiento de un yacimiento, es necesario resolverlas teniendo en cuenta unas condiciones de frontera previamente establecidas. Por ejemplo el caso ms simple involucra un yacimiento homogneo y unas condiciones de frontera muy regulares como frontera circular en un solo pozo. Para poder aplicar estos principios en la resolucin de problemas mediante el uso de computadores es necesario el uso de mtodos numricos, los cuales han demostrado ser muy buenos en la obtencin de soluciones a situaciones de yacimientos muy complejas. Por lo anterior, un modelo computacional de un yacimiento es un programa de computador que usa mtodos numricos para obtener una solucin aproximada al modelo matemtico.Para poner en funcionamiento el modelo computacional se requiere la siguiente informacin:

a. Geometra del yacimiento.b. Localizacin de los pozos productores e inyectores.c. Propiedades de la roca en cada bloque.d. Distribucin inicial de fluidos en el yacimiento.e. Presin promedia en cada nodo al inicio de la simulacin.f. Propiedades de los fluidos (datos PVT) en cada bloque.g. Tasas de produccin e inyeccin.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Elaborar un simulador para modelar el flujo de de gas. La solucin de modelo numrico se realizara por el mtodo iterativo de SOR considerando presiones y transmisibilidades implcitas. Se considerara

Considere flujo lineal 2D. Tamao de la malla yacimiento cerrado. Variacin lineal de la permeabilidad. Moldeamiento de flujo durante un ao.

MODELO FISICOEl sistema ser modelado por una malla conformada por 10 bloques tanto en la direccin i como en la direccin j, la longitud de cada bloque sern 700 y 500 pies en i y j respectivamente. El espesor de la formacin se considera constante (h = 100 ft) y de igual forma se considera que el yacimiento no estar sometido a esfuerzos por lo tanto la porosidad no variara con el paso del tiempo; de manera similar lo que se produce en el yacimiento no genera cambios en porosidad. Se establecen que las variaciones de permeabilidades lineales en las dos direcciones estarn dadas por las siguientes expresionesKx(i,j)=226+5(i,j) (1)KY(i,j)=218+5 (i,j) ( 2)

La ecuacin fundamental de flujo en 2D y coordenadas cartesiana para un fluido compresible est dada por la siguiente expresin:

En la ecuacin (3) Bc= 1.127 * 10-3 ac = 5.615 Adems considerando ausencia de inclinaciones la ecuacin se reduce a: (4) La ecuacin describe el flujo en 2D de un fluido altamente compresible.Realizando expansin en el lado izquierdo de la ecuacin (4), se tiene lo siguiente: (5)

Para calcular los siguientes trminos: , Se procede de la siguiente manera; se considere flujo en la direccin i; flujo desde i a i+1/2 y aplicando el concepto de Darcy se obtiene: (6)Despejando de la ecuacin 6 se obtiene: (7)Ahora, considerando flujo en la direccin i; de i+1/2 a i+ 1 y aplicando el concepto de Darcy se obtiene: (8)Despejando de la ecuacin 8 se obtiene: (9)Sumando las dos cadas de presin, ecuaciones 7 y 9 y asumiendo flujo continuo es decir q = = se tiene:

(10)Despejando caudal de la ecuacin 10 se tiene;

De donde

(11)

Ahora considerando flujo de i a i+1 se tiene, (12)Remplazando la ecuacin 11 en la ecuacin 12 y despejando tenemos; (13)Siguiendo anlogamente el procedimiento antes descrito para los otros trminos se tiene como resultado: (14) (15) (16) (17) (18) (19)

Remplazando las expresiones 13, 15, 17,19 en la ecuacin 5 y realizando algunas operaciones necesarias se tiene: (20) Para transmisibilidades y presiones implcitas la expresin (10) toma la siguiente forma: (21) Ahora considerando que la formacin no sufre ningn esfuerzo se puede considerar la porosidad ( constante y la expresin 21 toma la forma:(22)El factor volumtrico del gas, se define como:

Por ecuacin de estado para gases reales se obtiene; = Ahora;

Asumiendo flujo isotrmico se tiene que (23)Sustituyendo la expresin 23 se tiene; (24) Ahora teniendo en cuenta Lo siguiente Volumen poroso, y , es el volumen de gas a condiciones normales que se produce o se inyecta por sumideros o fuentes. Se tiene que la expresin 24 se modifica de la siguiente manera: + = (25)

Aplicando la aproximacin progresiva al trmino se tiene:

Remplazando en la ecuaciones 25 resulta: + = (26)Desarrollando la expresin se tiene:

En forma de estncils; = (27)Donde (28) (29) (30) (31) (32) (33)CONDICIONES DE LMITE CONDICIONES DE LIMITE INTERNO El yacimiento en estudio presenta un arreglo de 5 pozos; 4 pozos productores y un pozo inyector. Los caudales de operacin (PCN /D) y coordenadas de cada uno de los pozos se muestra a continuacin. Pozo 1. Qg(5,5) = -3.0E+06 Pozo 2. Qg(1,1) = 3.0E+06 Pozo 3. Qg(10,10)= 3.0E+06 Pozo 4. Qg(1,10) = 3.5E+06 Pozo 5. Qg(10,1) = 3.5E+06

CONDICIONES DE LIMITE EXTERNO

Una condicin Neumann en el lmite X=0 puede expresarse en su forma discreteada de la siguiente forma:

(34)Para un yacimiento cerrado donde q = 0:

En , la condicin Neumann es:

(35)Para yacimiento cerrado:

(36)Anlogamente en las direcciones Y y Z:En direccin Y:

(37)En la direccin Z:

(38)

CORRELACIONES PARA CALCULAR LAS PROPIEDAES PVTCALCULO DEL FACTOR DE COMPRESIBILIDAD DEL GAS (Z).Para la obtencin del factor de compresibilidad del gas se utiliz el mtodo de Hall, K.R y Yarborough [1] dado la simplicidad de los clculos y de su buen ajuste con relacin a otras correlaciones.Hall, K.R y Yarborough basados en la ecuacin de Starling-Canahan desarrollaron las siguientes ecuaciones para el clculo de z (39)Dnde:t: Reciproco de la temperatura seudorreducida, t = TM/ Ty: Densidad reducida, la cual se obtiene a partir de la solucin de la solucin de la ecuacin:

(40)En la ecuacin 40: A = 0.06125 t exp [-1.2*(1-t) 2] B = 14.76t -9.76t2 + 4.58t3C = 90.7t - 242.2t2 + 42.4t3D = 2.18 + 2.82 t

Dado que la ecuacin (40) no es lineal; se requiere una solucin de ensayo y error iterativo para resolverla. Un mtodo frecuentemente utilizado es el mtodo de Newton-Raphson el cual utiliza el siguiente procedimiento (aplicado a este caso):1. Suponer un valor inicial de y1 y calcular F (y1) donde F (y) es el trmino de la derecha de la ecuacin (40) 2. si F (y1)= 0 o este, se encuentra dentro de una tolerancia especificada, se puede considerar que y1 es la solucin. En caso contrario, calcular un nuevo valor de y utilizando la siguiente aproximacin. Donde la expresin para df(y)/dy se obtiene derivando la ecuacin (40) con respecto a y con Tsr constante esto es:

3. hacer y1=y2 y repetir el paso 2. Continuar el procedimiento hasta obtener la solucin. 4. sustituir el valor de y en la ecuacin (39) para obtener z Se ha seleccionado el mtodo de Hall, K.R y Yarborough dado que el error promedio de calculado del factor de compresibilidad (z) fue de -0.518% en comparacin con el obtenido por el mtodo de Standing y Katz el cual es comnmente usado, adems la correlacin es remendada para rangos de Psr y Tsr entre [0.1-24] , [1.2-3.0] respectivamente , valores los cuales ajustan con el modelo de fluido a tratar.Adicionalmente no se requieren correcciones posteriores en el mtodo dado que no se encuentran impurezas en el fluido. CALCULO DE LA VISCOSIDAD DEL GAS ( )La correlacin utilizada para la obtencin de la viscosidad del gas fue el mtodo de Lee, AL Gonzlez, M.H y Eakin, B.E [1], [2] (LGE) dado que en comparacin con otros mtodos ampliamente usados este posee una de las ms bajas desviaciones estndar y porcentajes de error entre los datos calculados como se observa en la tabla 1.

Tabla 1.Precisin de los mtodos en el clculo de la viscosidad del metano El mtodo mencionado utiliza la siguiente correlacin (41)

Donde;

Con: = Viscosidad del gas a p y T, [cp] = Densidad del gas, [grs/cc]M = Peso molecular del gas (=28.96), [lbs/lb-mol] z = Factor de compresibilidad del gas, [adim]P = presin [lpsa]T = Temperatura [R]

Esta correlacin se adapta a nuestro modelo de flujo por tanto fue seleccionada para calcular la viscosidad del gas de nuestro caso de estudio.CALCULO DEL FAVOR VOLUMETRICO DEL GAS ()El factor volumtrico del gas relaciona el volumen del gas en el yacimiento con el volumen del mismo en superficie. Aplicando la ley de los gases ideales (pV = nZRT) a condiciones normales y a condiciones de yacimiento, se tiene: (42)Donde, para la misma masa de gas nR se cancelan, y dado que pl y Tl son condiciones normales (14.7 psi y 60F), luego Z ~ 1.0 y la ecuacin 42 se reduce a: (43)Si se desea expresar en BY/PCN, se divide por 5.615: (44)Dnde: Factor volumtrico del gas ]z = Factor de Compresibilidad, [adim]p = presin [psi]T = Temperatura [R]

Para calcular , el valor de z debe ser conocido por tanto; es necesario recurrir al valor calculado con la correlacin anteriormente mencionada para su determinacin. Criterio de balance de Materiales para Yacimientos de Gas Para validar la solucin que se obtiene mediante el modelo numrico es necesario recurrir a la ecuacin de balances de materiales.

En la anterior ecuacin:

MODELO COMPUTACIONAL Para el sistema se consideran condiciones de frontera tipo Von Neumann en donde las presiones en los bloques externos son iguales a la presin de los bloques fantasmas. Filas

ColumasAplicando estas condiciones a la ecuacin (27) se tiene lo siguiente:Para cualquier bloque (i, j)/ 1 0.0005)

! Calcular las propiedades pvt a las presiones supuestas ==> Pvt(Psup,temp)

Do i = 0,N+1 Do j = 0,M+1 call Pvt(Psup(i,j),temp,gamaG,Zin,Uig,big) Zg(i,j) = Zin Ug(i,j) = Uig Bg(i,j) = Big end Do end Do! Calculo de transmisibilidades implicitas

call Trans()Do i = 1, NDo j = 1, MPsor(i,j) = (-(Dx(i,j)*Dy(i,j)*h*fi*520.0)/(dt*14.7*5.615*Temp*Zn(i,j))*Pn(i,j) + Qg(i,j) && - SW(i,j)*Pcon(i-1,j) - SS(i,j)*Pcon(i,j-1) - SE(i,j)*Psup(i+1,j) - SN(i,j)*Psup(i,j+1))/Sc(i,j)

Pcal(i,j) = (1.0 - omega)*Pcon(i,j) + omega*Psor(i,j)End DoEnd Do! Condiciones de frontera tipo ==>Von Neumann Pcal(0,0) = Pcal(1,1)Pcal(0,M+1) = Pcal(1,M)Pcal(N+1,0) = Pcal(N,1)Pcal(N+1,M+1) = Pcal(N,M)

Pcal(0,:) = Pcal(1,:)Pcal(N+1,:) = Pcal(N,:)Pcal(:,0) = Pcal(:,1)Pcal(:,M+1) = Pcal(:,M) ErrSor = Abs(Psup - pcal)EPS = maxval(ErrSor)

Pcon = PsupPsup = Pcaliter = iter + 1End Do

write(*,'(10(F7.1))') ((Psup(i,j),j=1,M),i=1,N)

write(1,'(10(1x,F12.4))') ((Psup(i,j),j=1,M),i=1,N)write(2,'(10(1x,F12.6))') ((Zg(i,j),j=1,M),i=1,N)write(2,*)write(3,'(10(1x,F12.6))') ((Bg(i,j),j=1,M),i=1,N)write(3,*)! Balance de materialesSUMATORIA = 0.0SUMATORIA2= 0.0

Do i = 1,N Do j = 1,M SUMATORIA = SUMATORIA + Dx(i,j)*Dy(i,j)*h*fI*((Pn(i,j)/Zn(i,j)) - (Pcal(i,j)/Zg(i,j))) SuMATORIA2 = SUMATORIA2 + QG(I,J)*DT End DoEnd Do! Para el proximo tiempoEBM = (520.0/(14.7*Temp))*SUMATORIA/SUMATORIA2E_EBM = ABS(EBM - 1)write(*,*) " Para el tiempo ",Dt*tiempoWrite(*,*) " Algoritmo SOR"write(*,*) " Error = ", EPSwrite(*,*) " Iteraciones =",Iterwrite(*,*) " Para el tiempo ",Dt*tiempoWrite(*,*) " Balance de Materiales"write(*,*) " EBM = ", ebmwrite(*,*) " Error =",E_Ebmwrite(*,*) '----------------------------'write(1,*) " Para el tiempo ",Dt*tiempoWrite(1,*) " Algoritmo SOR"write(1,*) " Error = ", EPSwrite(1,*) " Iteraciones =",Iterwrite(1,*) " Para el tiempo ",Dt*tiempoWrite(1,*) " Balance de Materiales"write(1,*) " EBM = ", ebmwrite(1,*) " Error =",E_Ebmwrite(1,*) '----------------------------'Pn = PcalEnd Do

End program

CONCLUSIONES

Se estudiaron las diferentes distribuciones de presin en el yacimiento simulado para modelos en los cuales se variaban la cantidad de pozos tanto productores como inyectores definiendo as la respuesta en presin de dicho yacimiento, esta informacin podra servir de base para posteriores estudios de recobroLa simulacin de yacimientos ofrece muchos beneficios y facilidades a la hora de tomar alguna decisin para el yacimiento en estudio; ya que gracias a ella se puede plantear un modelo computacional que nos ofrecer idea de si las intervenciones que se desea hacer en un yacimiento son beneficiarias para este, o si por el contrario, el yacimiento se ver afectado .

REFERENCIAS[1] Bnzer, S.C. (1996).Correlaciones Numricas P.V.T. Maracaibo: [2] Sutton, R.P. (2007). Fundamental PVT Calculations for Associated and Gas/Condensate Natural-Gas Systems. Paper SPE Presented at the SPE Annual Techinical Conference and Exhibition, Dallas, Texas, 9-12 October[3] AZIZ K., SETTARI A. (1978). Simulacin de Yacimientos de Petrleo. Alberta, Canad [4] CARLSON M. (2003) Practical Reservoir Simulation. Tulsa, Oklahoma, USA. [5] ERTEKIN T., ABOU-KASSEM J. KING G.(2001). Basic Applied Reservoir Simulation. Richardson, Texas, USA. [6] GARCA J., RIBERA F. (2004). Aprenda Fortran 8.0 Como si Estuviera en Primero. Madrid, Espaa. [7] MATTAX C., DALTON R. (1990). Reservoir Simulation. Richardson, Texas, USA. [8] SEPULVEDA J., ESCOBAR F. (2002). Simulacin de Yacimientos: Principios, Conceptos y Construccin de Mayas. Neiva, Colombia. [9] VACA P., RAMONES M., URRUCHEAGA K., ROS E. (2001). Simulacin de Yacimientos de Petrleos Negros. Caracas, Venezuela.

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