herramientas matemáticas para la localización …. matrices de transformación homogénea ninguno...

Herramientas Matemáticas para la localización espacial

Prof. Cecilia García

localización espacial

Contenido I

1. Justificación

2. Representación de la posición2.1 Coord. Cartesianas2.2 Coord. Polares y Cilíndricas2.3 Coord. Esféricas

3. Representación de la orientación


3. Representación de la orientación3.1 Matrices de Rotación en 2D

3.1.1 Particularidades de R 3.2 Matrices de Rotación en 3D

3.2.1 Composiciones de rotaciones

4. Angulos de Euler4.1 Angulos de Euler ZXZ (313)4.2 Angulos de Euler XYZ - Roll, Pitch, Yaw

Contenido II

5. Par de Rotación

6. Cuaternios

6.1 Operaciones Algebraica

6.2 Utilización de los cuaternios

7. Matrices de Transformación Homogénea



7.1 Traslación

7.2 Rotación

7.3 Traslación + Rotación

7.3.1 Rotación seguida de Traslación

7.3.2 Traslación seguida de Rotación

7.4 Variante en la notación

Contenido II

7.5 Gráficos de Transformación


1. JustificaciónManipulación

de piezas

Localización del extremo


del extremo y de la pieza

Descripción matemática de la

localización

2. Representación de la posición


Vector de posición

2D � Cartesianas y polares

3D � Cartesianas, cilíndrica y esfericas

Ejes perpendiculares con origen definido

2DOY

OX3D

OXOYOZ

2. Representación de la posición (cont.)2.1 Coord. Cartesianas


vector p(x,y)

Coordenadas cartesianas

vector p(x,y,z)

Coordenadas cartesianas

2. Representación de la posición (cont.)2.2 Coord. Polares y Cilíndricas

2D � Coordenadas POLARES 3D � Coordenadas CILINDRICAS


Coordenadas POLARES

: Distancia del el origen al puntorθ : Ángulo entre el vector p y el eje OX

Coordenadas CILÍNDRICAS

: Proyección del vector p sobre el eje OZ

z

vector ( )θφrp

2. Representación de la posición (cont.)2.3 Coord. Esféricas


: Distancia desde el origen al extremo del vector p

: Angulo formado por la proyección de p sobre el plano OXY con el eje OX

: Angulo formado por el vector p con el eje OZ

r

θφ

3. Representación de la orientación3.1 Matrices de Rotación en 2D


El punto p se puede describir en el sistema OXY o en el sistema OUV

=

v

u

y

x

p

p

p

pR

=

uxux

uxux

jjij

jiiiR

3.1.1 Particularidades de R

3. Representación de la orientación (cont.)

R Matriz de rotación o Matriz de cosenos directores

R es ortonormal TRR =−1


R es una matriz columna

IR =⇒= 0α

3. Representación de la orientación (cont.)3.2 Matrices de Rotación en 3D


El punto p se puede describir en el sistema OXYZ o en el sistema OUVW

Las propiedades de R vistas para 2D se conservan en 3D

3. Representación de la orientación (cont.)3.2 Matrices de Rotación en 3D (cont.)


3. Representación de la orientación (cont.)3.2 Matrices de Rotación en 3D (cont.)


( ) ( ) ( )θφα , ,, ,, zyx RRR Matrices BASICAS de rotación

3. Representación de la orientación (cont.)

3.2.1 Composiciones de rotaciones

3.2 Matrices de Rotación en 3D (cont.)

Las matrices de rotación pueden componerse para expresar la aplicación continua de varias rotaciones:

• Rotación α en OX

• Rotación Φ en OY

• Rotación θ en OZ


• Rotación θ en OZ

4. Angulos de Euler

Definición : Todo sistema OUVW móvil, puede definirse con respecto al sistema OXYZ inercial a través de tres ángulos Φ, θ, ψ, denominados ángulos de Euler .

Es una de las representaciones más habituales entre las que realizan los giros sobre ejes previamente girados. Se le suele asociar con los movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas OXYZ

4.1 Angulos de Euler ZXZ (313)


movimientos básicos de un giróscopo. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, se puede colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos.

4.1 Angulos de Euler ZXZ (313) (cont.)

1. Girar OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ � OU’V’W’.

2. Girar OU’V’W’ un ángulo θ con respecto al eje OU’, convirtiéndose así en el


convirtiéndose así en el OU’’V’’W’’.

3. Girar el sistema OU’’V’’W’’ un ángulo ψψψψ con respecto al eje OW’’ convirtiéndose finalmente en el OU’’’V’’’W’’’.

4.2 Angulos de Euler XYZ - Roll, Pitch, Yaw

Se trata de la representación utilizada generalmente en aeronáutica. Es también la más habitual de entre las que se aplican a los giros sobre los ejes del sistema fijo.

1. Girar el sistema OUVW un ángulo ψψψψcon respecto al eje OX. Es el denominado Yaw o guiñada.

2. Girar el sistema OUVW un ángulo θ


2. Girar el sistema OUVW un ángulo θcon respecto al eje OY. Es el denominado Pitch o cabeceo.

3. Girar el sistema OUVW un ángulo Φcon respecto al eje OZ. Es el denominado Roll o alabeo.

5. Par de Rotación

Definición : La representación de la orientación de un sistema OUVW con respecto al sistema de referencia OXYZ también puede realizarse mediante la definición de un vector y un ángulo:

[ ] θ zyx kkk=k


tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo θ sobre el eje k. El eje k ha de pasar por el origen O de ambos sistemas.

Al par (k, θ) se le denomina par de rotación y es único.

( ) ( ) ( )( )θθθθ cos1sincos, −•+×−= pkpkppkRot

6. Cuaternios

El conjunto R, C, Q forman un campo.

Sea C el conjunto de números complejos tal que:{ }

1

,/2 −=

ℜ∈+=i

babiaC

Definición: Un campo F consiste de un conjunto con dos operaciones (suma y producto) en el que se demuestran las propiedades de cerradura, conmutatividad, neutro, asociatividad, inverso y


distributividad.

Definición: Los cuaternios se definen como el conjunto de números de la forma:

{ }1

,,,/222 −====

ℜ∈+++=IJKKJI

dcbadKcJbIaH

6. Cuaternios (cont.)

−=

=

−=

i

i

i

i

0

0

0

0

01

10KJI

Si

Se define el cuaternio:

−+−++

=∈diacib

cibdiahHh /

Este conjunto de cuaternios cumple todas las propiedades de un campo excepto al conmutatividad.


excepto al conmutatividad.Por lo tanto recibe el nombre de anillo .

Propiedades:

h

hh

hhhh

dKcJbIah

dcbah

=

=

−−−=

+++=

−1

2222

2

{ } ( )v,/ 32103210 sQkqjqiqeqqqqqQ =+++=

6. Cuaternios (cont.)

En robótica, los cuaternios se utilizan para la localización espacial de un cuerpo sólido aunque con un ligero cambio de notación:

s: representa la parte escalar

v: representa la parte vectorial


6.1 Operaciones Algebraicas

o e i j k

e e i j k

i i -e k -j

j j -k -e i

k k J -i -e

6.1.1 Ley de composición interna

6.1 Operaciones Algebraicas (cont.)

6.1.2 Productos de cuaternios

NO es conmutativo

6.1.3 Suma de cuaternios


6.1.4 Producto escalar

6.1.5 Norma e Inverso

Norma: 23

22

21

20 q q q qQ +++=

Número real

Inverso:


De esta asociación arbitraria y gracias a las propiedades de los cuaternios, se obtiene una importante herramienta analítica para el tratamiento de giros y cambios de orientación.

( ) ( )2sin,2cos, θθθ kk == RotQ

6.2 Utilización de los cuaternios

6.2.1 Giro θº sobre un eje k

6.2.2 Rotación del cuaternio Q a un vector r

( ) *,0 QQ �� r

6.2.3 Composición de rotaciones

213 QQQ �=

El resultado de rotar según el cuaternio Q , para posteriormente rotar


El resultado de rotar según el cuaternio Q1, para posteriormente rotar según Q2, es el mismo que el de rotar según Q3. Es importante tener en cuenta que el producto de cuaternios no es conmutativo.

1221 QQQQ �� ≠

6.2.4 Rotación y traslación

( ) ( ) ( )prr ,0,0,0 * += QQ UVWXYZ ��

El resultado de aplicar una traslación p al vector r seguida de una rotación Q al sistema OXYZ, es un nuevo sistema OUVW, tal que las coordenadas de un vector r en el sistema OXYZ, conocidas en OUVW, serán:

Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector r


Si se mantiene el sistema OXYZ fijo y se traslada el vector r según p y luego se le rota según Q se obtendrá el vector r’ de coordenadas:

( ) ( ) *' ,0,0 QQ �� prr +=


Ninguno de los métodos anteriores por sí solo permite una representación conjunta de la posición y la orientación (localización ).

Para solventar este problema se introdujeron las denominadas coordenadas homogéneas

Definición de Coordenadas Homogéneas .


La representación mediante coordenadas homogéneas de la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realiza a través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional

coordenadas homogéneas Aumentan la dimensión en 1

[ ] [ ] wwwwzyx zyx=⇒= pp

w tiene un valor arbitrario y representa un factor de escala

De forma general, un vector p = ai+bj+ck, donde i, j, k son los versores del sistema de referencia OXYZ, se representa en coordenadas homogéneas mediante el vector columna:

Definición de Matriz Homogénea .


Se define como matriz de transformación homogénea T a una matriz de dimensión 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro:

En robótica interesa conocer el valor de R3x3 y de p3x1, considerándose las componentes de f nulas y la de w=1.

En robótica, la matriz T tiene la forma:

T representa la orientación y posición de un sistema O’UVW rotado y trasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.

[email protected]


[email protected]

Dado un vector r= [r u, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [r x, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:

1. Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O’UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ, que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia.

2. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O’UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ.

Por lo tanto, una matriz de transformación homogénea se puede aplicar para:


referencia OXYZ.

3. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ

7.1 Traslación

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra trasladado un vector p con respecto al sistema OXYZ.

k p j p i p zyx ++=p

La matriz T entonces corresponderá a una matriz homogénea de traslación:

001 p


=

1000

100

010

001

z

y

x

p

p

p

T

Matriz Básica de Traslación

Un vector cualquiera r, representado en el sistema O’UVW por ruvw , tendrá como componentes del vector con respecto al sistema OXYZ:

+++

=

=

111000

100

010

001

wz

vy

ux

w

v

u

z

y

x

rp

rp

rp

r

r

r

p

p

p

T

Y a su vez, un vector r desplazado según T tendrá como componentes


Y a su vez, un vector rxyz desplazado según T tendrá como componentes r’ xyz:

+++

=

=

111000

100

010

001

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

rp

rp

rp

r

r

r

p

p

p

T

7.2 Rotación

Supóngase que el sistema O’UVW únicamente se encuentra rotado un angulo con respecto al sistema OXYZ.

Rotación de α respecto a OX


Matriz Básica de Rotación

Rotación de Φ respecto a OY

Rotación de θ respecto a OZ

Dado un vector r= [r u, rv, rw] en el sistema OUVW, se puede conocer su localización ( r= [r x, ry, rz] ) en el sistema OXYZ a través de T:


7.3 Traslación + Rotación

La principal ventaja de las matrices homogénea reside en su capacidad de representación conjunta de posición y orientación .

Para ello se utiliza la matriz de rotación R3x3 y el vector de traslación p3x1 en una matriz de transformación homogénea al mismo tiempo.

Es por tanto la aplicación conjunta de lo visto en los dos apartados anteriores.

La rotación y traslación son operaciones no conmutativas por lo que habrá que tener en cuenta el orden en que se realizan.


Se parte de un sistema OUVW coincidente con OXYZ al que se va a aplicar una traslación según un vector px,y,z y una rotación de 180° alrededor del eje OZ.

Si primero se rota y después se traslada se obtiene un sistema final O’U’V’W ’. Si primero se traslada y después se rota se obtiene un sistema final O’’U’’V’’W’’

7.3.1 Rotación seguida de Traslación


7.3.1 Traslación seguida de Rotación


7.4 Variante en la notación

Donde n,o,a es una terna ortonormal que representa la orientación y p es un vector que representa la posición.


un vector que representa la posición.

7.5 Gráficos de transformación

Es frecuente encontrar situaciones en las que la localización espacial de un objeto o de su sistema de referencia asociado, pueda realizarse a través de la composición de diversas transformaciones distintas.



M R E M OR E H O H=T T T T T

Aplicación a la Robótica


Contenido

1. Justificación

2. El problema cinemático directo

2.1 Método Geométrico

2.2 Matrices de Transformación homogénea


3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)

En esta segunda parte se aplicarán las herramientas matemáticas anteriores al área de la robótica. Tenemos dos objetivos:

1. Justificación

Obtener un modelo geométrico de la estructura que permita relacionar los grados de libertad (las variables/coordenadas generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot.

Objetivo 1

Cinemática directaSolución única para la mayor parte


Cinemática directaSolución única para la mayor parte

de los robots seriales

Posicionar al robot. Esto es dadas las posiciones cartesianas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalizadas.

Objetivo 2

Cinemática inversa Puede haber 0, 1, 2…o infinitas soluciones.

La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto a un sistema de referencia.

La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y orientación del extremo final del robot y los

Definición


relaciones entre la posición y orientación del extremo final del robot y los valores que toman sus coordenadas articulares.

La cinemática directa consiste en obtener la posición en el espacio de la estructura a partir de los valores de las variables generalizadas (q) .

2. El Problema Cinemático Directo

Éstas están asociadas a las articulaciones y definen sus “propiedades” de movimiento, por lo que para las articulaciones de revolución la variable generalizada será un ángulo, y para las prismáticas un desplazamiento.


2.1 Método Geométrico

Obtenemos la posición y orientación del extremo del robot apoyándonos en las relaciones geométricas:

• No es un método sistemático.• Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad.


( ) ( )( ) ( )

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

cos cos

sin sin

x l q l q q

y l q l q q

= + +

= + +

2.2 Matrices de Transformación homogénea

• A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario.

• Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones.

• La matriz i-1A i representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.


• Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot:0A3 = 0A1

1A2 2A3

T = 0A6 = 0A1 1A2

2A3 3A4

4A5 5A6

• Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadena cinemática del robot. Método de Denavit-Hartenberg (D-H)

3. Método de Denavit - Hartenberg

• Permite el paso de un eslabón al siguiente mediante 4 transformacionesbásicas, que dependen exclusivamente de las características constructivasdel robot.

• Las transformaciones básicas que relacionan el sistema de referencia delelemento i con el sistema del elemento son:

1. Rotación θi alrededor del eje zi-12. Traslación d a lo largo del eje z


i i-12. Traslación di a lo largo del eje zi-13. Traslación ai a lo largo del eje xi4. Rotación αi alrededor del eje xi

( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,0, ,0,0 ,ii i i i iz d a xθ α− =A T T T T

1

0

0 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

c c s s s a c

s c c s c a s

s c d

θ α θ α θ θθ α θ α θ θ

α α−

− − =

A

1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.

4) Para i de 0 a n-1 situar el eje z sobre el eje de la articulación i+1. 4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.

5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.

6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.


7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xiy zi.

9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 yxi queden paralelos.xi queden paralelos.

11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.

13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.


14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot:

T = 0A11A2 ... n-1An

16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referidas a la base en función de las n coordenadas articulares.


2 3

4

DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.

0

1

4


2 3

41θ

3d

4θ

DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.

0

1

41θ

2d

El robot tiene 4 d.o.f. por lo tanto n=4


2 3

41θ

3d

4θ

DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ést a es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo lar go del cual se produce el desplazamiento

4l

0

1

41θ

2d

1l


2 3

41θ

3d

4θ

DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje z i sobre el eje de la articulación i+1.

4l

2z3z

0

1

41θ

2d

1l

=

3

2

1

0

i

0z

1z


2 3

41θ

3d

4θ

DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S 0} en cualquier punto del eje z 0. Los ejes x 0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógir o con z 0.

4l

2z3z

0

1

41θ

2d

1l

=

3

2

1

0

i

0z

1z

0x

0y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {S i} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje z i con la línea normal común a z i-1 y z i. Si ambos ejes se cortasen se situaría {S i} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {S i} se situaría en la articulación i+1.

4l

2z3z

0

1

41θ

2d

1l

=3

2

1

i

0z

1z

0x

0y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

0

1

41θ

2d

1l

=3

2

1

i

0z

1z

0x

0y1x


2 3

41θ

3d

4θ

DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

=3

2

1

i

0z

1z

0x

0y1x

1y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-9) Situar el sistema {S n} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

=3

2

1

i

0z

1z

4z

0x

0y1x

4x

1y

4y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 yxi queden paralelos.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

0z

1z

4z

0x

0y1x

4x

1y

4y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {S i-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

0z

1z

4z

0x

0y1x

4x

1y

4y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {S i-1} para que su origen coincidiese con {S i}.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

0z

1z

4z

0x

0y1x

4x

1y

4y


2 3

41θ

3d

4θ

DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {S i-1} coincidiese totalmente con {S i}.

4l

2z3z

2x3x

3z

3x

2y

3y

0

1

41θ

2d

1l

0z

1z

4z

0x

0y1x

4x

1y

4y


DH-14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.

=010

0001

0100

22

1d

A

−

=100

00

00

1

11

11

10

l

CqSq

SqCq

A

−−

=−

1000

01

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dCS

SaCSCCS

CaSSSCC

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

1000

010 2d

1000

100 1l

=

1000

100

0010

0001

33

2d

A

−

=

1000

100

00

00

4

44

44

43

l

CqSq

SqCq

A


DH-15) Obtener la matriz de transformación que rela ciona el sistema de la base con el del extremo del robot: T = 0A1

1A2 ... n-1An

0100

−

=

1000

100

00

00

1

11

11

10

l

CqSq

SqCq

A

−−

=−

1000

01

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii

dCS

SaCSCCS

CaSSSCC

Aαα

θθαθαθθθαθαθ

43

32

21

10 AAAAT =

( ) +− ldCqCqSqSqCqSq

=

1000

010

0001

0100

22

1d

A

=

1000

100

0010

0001

33

2d

A

−

=

1000

100

00

00

4

44

44

43

l

CqSq

SqCq

A

( )( )

+++−

=

1000

1 1244

43114141

43114141

ldCqSq

ldSqSqSqCqCqCq

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T


herramientas matemáticas para la localización …. matrices de transformación homogénea ninguno...

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