7/21/2019 Guia Teorica de Cinematica

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA” 

AREA DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA

UNIDAD CURRICULAR: FISICA I

GUIA ELABORADA POR:

PROF. LEXIMARTH VALLES

PROF. FRANCYS SAAVEDRA

Mayo; 2013

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Tema 1. Cinemática en una Dimensión

 

El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. En el

trabajo, la escuela, la vida diaria, todo está dotado de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan,

los animales que corren, las hojas que caen, una persona caminando, un motor girando, un avión en vuelo, en

fin. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos

objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos, es necesario definir ¿qué se quiere

investigar? Por tal motivo, nos preguntamos: ¿Dónde ocurre?, ¿Cuándo ocurre? Y ¿Por qué ocurre?

Para su estudio se toma en cuenta: ¿Donde ocurre? (Espacio) y ¿cuando ocurre? (Tiempo), más

adelante, trataremos otra unidad para responder el ¿por qué ocurre? Este fenómeno se llama cinemática.

CINEMATICA: es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos sin tomar en

cuenta las causas que lo producen, es decir, describe los movimientos de los cuerpos en función del espacio y

el tiempo.

El espacio como un sistema de referencia especifico, el cual puede ser Horizontal, y también Vertical yen ambos a la vez; otra manera de estudio de movimientos es en un espacio Circular. A continuación se

muestra un esquema de los movimientos que se van a estudiar en esta sección.

Según la trayectoria, el movimiento puede ser:

RECTILINEO CURVILINEO PARABOLICO

Según la Dimensión, el movimiento puede ser:

MOVIMIENTO

UNIDIMENSIONAL

Movimientohorizontal

Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U)

Movimiento Rectilíneo uniformemente

Variado(M.R.U.V)

Movimiento

vertical

Caída Libre

Lanzamiento vertical

MOVIMIENTOBIDIMENSIONAL

Movimiento en el

plano

Lanzamiento horizontal

Lanzamiento oblicuo

Movimiento

circular

Movimiento Circular Uniforme(Eje radial)

Movimiento Circular Uniformemente

variado(Eje radial y tangencial)

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CONCEPTOS BÁSICOS:

Sistema de Coordenadas: es un conjunto de valores que permiten definir la posición de un punto en el espacio

para su mejor análisis. Y pueden ser: Cartesianas, polares y curvilíneas.

En Física I, es usado normalmente el Sistema de Coordenadas Cartesianas, teniendo en cuenta que también

se usan con menor frecuencia los sistemas de coordenadas polares y curvilíneas.

Sistema de Coordenadas Cartesianas: se utilizan para representar la posición de una partícula, a través de tres

rectas perpendiculares entre si, con valores x,y y z, llamados coordenadas de posición.

Sistema de Referencia: es el punto considerado fijo, cuya ubicación se conoce con exactitud y a partir del cual

un cuerpo cambia su posición.

Posición: es un punto del espacio a partir del cual se puede conocer la ubicación de una partícula en un

determinado tiempo. La posición de una partícula queda determinada por los valores de los ejes coordenados

(x,y,z)

Vector posición ( r  ): es el vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto donde se ubica

la partícula, como es una cantidad vectorial, este tiene una magnitud, dirección y sentido.

Sus componentes son: k  z  j yi xr    ˆˆˆ    

Si una partícula realiza un cambio de posición, está experimentando un desplazamiento.

Desplazamiento:  es el cambio de posición que experimenta un cuerpo al pasar de un lugar a otro. Es una

magnitud vectorial, que se representa gráficamente por un vector trazado desde una posición inicial hasta laposición final de la partícula en movimiento, como se muestra en la figura.

Vector Desplazamiento: es una recta trazada desde la posición inicial de la partícula hasta su posición final.

Distancia recorrida: es la longitud que se mide sobre el trayecto que ha recorrido una partícula, también se

puede decir que es la suma de todos los desplazamientos sucesivos.

Rapidez: es el número de metros que recorre un móvil en un segundo y, por tanto, es unamagnitud escalar. 

Velocidad: es la distancia recorrida en la unidad de tiempo, con dirección y el sentido en que se realiza el

movimiento; en consecuencia, la velocidad es una magnitud vectorial. 

Velocidad Media: está definida como la razón entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo, es decir, el

cambio de posición en función del tiempo en que se realiza el movimiento. Como el desplazamiento es una

cantidad vectorial y el intervalo de tiempo es una cantidad escalar, concluimos que la velocidad promedio es

una cantidad vectorial dirigida a lo largo de la recta donde ocurre el desplazamiento. 

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0

0

t t 

 X  X V 

t 

 xV 

 f  

 f  

 

Velocidad Instantánea: es la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Como la velocidad media

es medida en un transcurso de tiempo más largo o mayor a cero, en el caso de la velocidad instantánea, se

dice que su valor es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se acerca a cero. Y el límite

del cambio de posición en un intervalo de tiempo más corto o cuando se acerca a cero es la derivada de x

respecto a t y se escribe:

dt 

dxV 

t 

 xV 

t    

  

 

    0lim  

La velocidad media, se puede observar más detalladamente en un ejemplo del siguiente gráfico, supongamos

que una partícula se desplaza desde un punto P1 a un punto P2 , se puede calcular la variación de la posición y el

tiempo en el transcurso de los 4s, restando la posición final de X2 aproximadamente 290m menos la posición

inicial de X1 aproximadamente 1m, y dividiendo esto entre la diferencia de los tiempos t2=4s menos t1=1s.

La pendiente de la recta  representa la velocidad media y la tangente de la curva  en cualquier punto

representa la velocidad en ese instante donde se trazo la recta tangente.

Aceleración media: se define como la variación o el cambio de la velocidad de una partícula en el transcurso

del tiempo. Y se puede calcular como:

0

0

t t 

vva

t 

va

 f  

 f  

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Aceleración Instantánea: también es la variación de la velocidad de una partícula pero en una variación de

tiempo infinitesimalmente corto, tan corta es la variación del tiempo que su valor tiende a ser cero. Y se

obtiene mediante:

dt 

dv

at 

v

a t 

   

 

 

 

    0lim  

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U)

Se presenta cuando un móvil describe una trayectoria rectilínea y recorre distancias iguales en tiempos

iguales. Por tanto, su velocidad es constante; es decir, no cambia, ni aumenta ni disminuye.

En esta unidad se deducirán ecuaciones para el movimiento rectilíneo con velocidad constante, las

cuales serán útiles para la resolución de muchos problemas.

Para el cálculo del espacio recorrido o distancia recorrida, sabiendo que la velocidad es constante y de

acuerdo con la definición de velocidad, tenemos,

Separando variables,

Integrando,

Y realizando la integral, queda que

t v x x   .0    Ecuación de la posición en función del tiempo con velocidad ctte.

Donde es la constante de integración, que corresponde a la posición del móvil para . Si en el

instante , el móvil esta en el origen de coordenadas, entonces .

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

En mecánica clásica el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) se presenta cuando la

aceleración y la  fuerza resultante sobre la partícula son constantes. Siendo descrito por una trayectoria en

línea recta sea el caso horizontal ó vertical. Además, la velocidad varía linealmente respecto del tiempo y la

posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo. En el caso de la aceleración, una vez que

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esta aumenta se dice que el movimiento es Acelerado (MRUA) y si su magnitud disminuye, entonces el

movimiento es Retardado (MRUR).

Para estudiar este tipo de movimiento, es indispensable relacionar las magnitudes velocidad, posición,

aceleración y tiempo  según lo conocido anteriormente, es por ello que se presentan a continuación las

relaciones matemáticas, que define el MRUV, conocidas como ecuaciones cinemáticas

ECUACIONES CINEMATICAS

Sabiendo que la aceleración es,

Y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden, ordenado términos,

Al resolver la integral

Donde es la velocidad del móvil en el instante .

En el caso de que el instante inicial corresponda a , será

t avv   .0    (1) Ecuación de la velocidad en función del tiempo  

A partir de la definición de velocidad

Se invierten los términos para integrar

Se sustituye el valor obtenido anteriormente para

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Y resolviendo la integral

Donde la posición del móvil en el instante .

En el caso de que en el tiempo inicial sea la ecuación será:

2

..

2

00

t at v x x     (2)  Ecuación de la posición en función del tiempo y la aceleración

Otra ecuación del movimiento seria para tratar de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, sinque aparezca el tiempo.

Con la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por se puede eliminar el tiempo

Se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que

Se integra

Resultando

Y ordenando, nos queda que

0

2

0

2

.2   x xavv     (3)Ecuación de la velocidad en función de la aceleración y la posición.

Podemos obtener una ecuación más útil, igualando las expresiones para la velocidad media y multiplicando

por t.

Quedando, t vv

 x x   .2

0

0    

  

     (4 )Ecuación de la posición en función de la velocidad y el tiempo. 

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Caída libre y Aceleración de la Gravedad.

Un fenómeno físico que se presenta con frecuencia en nuestro alrededor es el de caída libre de los

cuerpos. La causa de este movimiento es la atracción que ejerce la Tierra sobre los cuerpos que se encuentran

en su superficie. Esta fuerza de atracción recibe el nombre de fuerza de gravedad

Galileo realizó muchos y muy simples experimentos sobre la caída libre de los cuerpos; se cuenta que

dejó caer varios objetos desde diferentes niveles de la Torre inclinada de Pisa y llegó a la siguiente conclusión:

“Todos los cuerpos, sea cual sea su masa o tamaño, caen al vacío de forma que emplean el mismo tiempo en

recorrer alturas idénticas.

Cuando se observa el movimiento de un cuerpo en caída libre, se aprecia que su trayectoria es

rectilínea y que su velocidad de caída aumenta con el tiempo. El cambio de velocidad en la unidad de tiempo

recibe el nombre de aceleración; para este caso, aceleración de la gravedad, y se representa con la letra g. El

valor de la aceleración de la gravedad, en el nivel del mar, es g= 9.8 m/s². La influencia del aire hace que

algunos cuerpos se retrasen respecto a otros en su caída.

Este valor es usado generalmente, aunque es importante hacer notar que varía en función de la latitud y la

altura en los diferentes lugares de la Tierra.

La caída libre, recibe el nombre de movimiento vertical y se estudia como un Movimiento Unidimensional,

haciendo énfasis en que el movimiento se realiza con una aceleración constante pero siendo esta el valor de la

aceleración de la gravedad, entonces para calcular los diferentes elementos que pueden influir en este

fenómeno, como lo son la posición, la velocidad y el tiempo,  se utilizarán las ecuaciones deducidas

anteriormente; en el movimiento horizontal, solo que ahora cambiara la letra a  por la letra g  en sus

ecuaciones.

t  g vv   .0   

2

..

2

00

t  g t v y y    

0

2

0

2

.2   y y g vv    

t vv

 y y   .2

0

0    

  

     

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Gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V).

PARABOLA

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Tema 2. Cinemática en dos Dimensiones

 

Movimiento bidimensional: Movimiento Parabólico.

Enfrentando el hecho de que el mundo es tridimensional y estamos sobre un plano (bidimensional),

debemos buscar la manera de responder las frecuentes preguntas que solo con lo estudiado anteriormente en

una línea recta se describían, ahora no es suficiente. Tomando en cuenta que ocurren movimientos que no son

precisamente en el plano horizontal y mucho menos en el plano vertical, como por ejemplo, el vuelo de un

avión al despegar de tierra, ya deja de estar en el piso pero tampoco vuela directamente al cielo. Otro caso,

sería el movimiento de una pelota cuando es bateada, el encestar en balón en básquetbol desde lo lejos de la

cesta. Y muchos casos más que serán estudiados a continuación. Usando aun las cantidades físicas

desplazamiento, velocidad y aceleración,  pero ahora tendrán dos componentes y no estarán en la misma

línea, es decir, puede variar su dirección con respecto al eje en que se encuentren localizadas.

Cuando nos referimos al movimiento Bidimensional, estamos analizando aquellos cuerpos o partículas

que describen su movimiento en el plano (X, Y), pero que inicialmente les imprimen una velocidad inicial

dejándolos libre en el aire. Bajo efectos de la aceleración de la gravedad.

En esta unidad, se hará uso de un movimiento muy común que describe en su trayecto una línea curva,

esta línea curva recibe el nombre de parábola y es precisamente el movimiento que vamos a estudiar.

Conocido como MOVIMIENTO PARABOLICO O MOVIMIENTO DE PROYECTILES. 

Un proyectil   es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria

determinada por los efectos de la gravedad y la resistencia del aire.

Como la partícula alcanza una aceleración constante en magnitud y dirección, para su estudio no se

tomara en cuenta los efectos de la resistencia del aire. Ya que no se estudiaran aquellos cuerpos que tengan

alturas consideradas de mucha magnitud.

En primer lugar, debemos considerar que el movimiento de proyectiles está limitado a un plano

vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial. Ya que, la aceleración de la gravedad es

exclusivamente vertical y la gravedad no puede mover un proyectil lateralmente.

Siguiendo ciertas características, podemos decir que, en el Movimiento de proyectiles:

  Se estudian o se toman en cuenta las coordenadas por separado.

 

La dirección de la componente de la velocidad en Y , varia en todo el movimiento.

  La dirección de la componente de la velocidad en X  se mantiene constante en todo el movimiento.

  La componente x de la aceleración es cero.

  La componente y de la aceleración es constante e igual a  –g, porque la componente vertical de la

aceleración es hacia arriba.

  Es una combinación de un movimiento horizontal con velocidad constante y un movimiento vertical con

aceleración constante.

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  Se despreciará la resistencia del aire.

Si observan, en el grafico siguiente se muestra la trayectoria parabólica que describe una partícula

determinada. Desde el origen del sistema de referencias hasta el punto marcado en el eje horizontal y un

punto más hacia abajo. En todo el movimiento la dirección de la componente de la velocidad en el plano

horizontal es constante, mientras que a medida que avanza la dirección de la componente de la velocidad en

el plano vertical varía. Observándose además, que la aceleración vertical está dirigida hacia abajo.

Determinando los siguientes parámetros:

  La distancia máxima a la cual llega la partícula horizontalmente se le denomina Alcance horizontal R ó “ X” ,

  El punto más alto que alcanza verticalmente el proyectil se denomina Altura máxima “h” ó Ymáx .

  Cuando el proyectil alcanza su máxima altura, la velocidad en ese punto es cero y de ahí vuelve a

descender.

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones que se van a utilizar en el movimiento de proyectiles.

Sabiendo que existen:

  Dos distancias una horizontal y una vertical.

  Dos componentes de la velocidad “Vx y Vy” y la aceleración “ax=0 y ay= -g” y como esta última es

constante, podemos utilizar las ecuaciones deducidas para el movimiento horizontal y vertical con

aceleración constante.

Estudiando primero el MOVIMIENTO HORIZONTAL con velocidad constante;

Se tiene que;

t axvxvx   .0  Pero como 0ax  

Entonces0

vxvx   y si inicialmente la velocidad tiene componentes y tiene una dirección α0 , obteniendo 

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00  cos.    vxvx    Componente horizontal de la velocidad inicial  

Y la posición o alcance horizontal es R o  x;

t vx x x   .00    Alcance horizontal

Para el MOVIMIENTO VERTICAL con aceleración constante;

Se tiene que;

t  g vyvy   .0   

00  .     senvyvy    Componente vertical de la velocidad inicial.

Quedando que;

t  g  senvyvy   ..0        Velocidad vertical en un instante t después del lanzamiento. 

Y la máxima distancia se calcula mediante la ecuación de distancia con aceleración constante;

2

.  2

00

t  g 

vy y y 

 Sustituyendo la componente vertical de la velocidad inicial;

2

...

2

00

t  g t  senvy y y         Altura en un instante t, después del lanzamiento

Como en el punto más alto la componente de la velocidad vertical vy  es cero entonces;

2

.  2t  g 

 ymáx

    Altura máxima. 

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EECCUUAACCIIOO N NEESS DDEELL MMOOVVIIMMIIEE N NTTOO 

Movimiento Rectilíneo Uniforme(M.R.U)

t.vxx     0  

t

xxv   0  

Movimiento horizontal(M.R.U.V) Movimiento Vertical(M.R.U.V)

t.avv     0   t.gvv     0  

2

2

00

t.at.vxx    

2

2

00

t.gt.vyy    

0202 2   xx.avv     0202 2   yy.gvv    

t.vv

xx    

  

   

2

00   t.

vvyy  

 

  

   

2

00  

Movimiento Parabólico

Movimiento horizontal(M.R.U) Movimiento Vertical(M.R.U.V)

0vxvx   

00     cos.vxvx   00     sen.vyvy  

t.vxxx 00    t.gsen.vyvy     0  

0

2

0

22   yy.gvvy    

2

2

00

t.gt.sen.vyyy    

2

2t.gymax    

Ecuación de la parábola

22

0

2

2

1

cos.v

x.g.x).g(tany  

Tiempo de subida o máximo

g

sen.vtmax

  0