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VIGA Requisitos para resolver los ejercicios planteados a continuacin:

- Conceptualizar viga (definir vigas con sus propias palabras) - Interpretar apoyo (tipos de apoyos) - Conocer fuerzas internas en vigas. - Definir momento flector - Definir fuerza cortante. - Saber aplicar la grfica de cuerpo libre (DCL)

- Trabajar organizadamente.

- Confiar en tus propios conocimientos.

A continuacin se planteara un ejercicio y su solucin, la ideas es que el

Estudiantado comience a familiarizarle con la metodologa de trabajo para la

solucin de vigas.

GRAFICOS DE FUERZAS INTERNAS EN VIGAS CON CARGAS

CONCENTRADAS

Objetivo:

Con la preparacin y desarrollo de esta clase prctica los alumnos deben saber:

Analizar y construir los grficos de fuerzas internas en vigas sometidas

a cargas concentradas.

Para la construccin de los grficos de fuerzas internas en vigas simplemente

apoyadas debemos tener presente en el anlisis el convenio de signos para las

fuerzas cortante y los momentos flectores y es el siguiente:

Si el anlisis lo comenzamos a hacer de izquierda a derecha, las fuerzas

cortantes se dirigirn hacia abajo y los momentos flectores en sentido

antihorario.

Si el anlisis lo comenzamos a hacer de derecha a izquierda, las fuerzas

cortantes se dirigirn hacia arriba y los momentos flectores en sentido

horario. Esto es lgico, pues as lo establece la tercera Ley de Newton.

Momento Fuerza

cortante

Momento Fuerza

cortante

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Problema 1 Construya los grficos de fuerza cortante y momento flector de la siguiente viga cargada como se muestra, cuando P = 4 kN.

Solucin:

1. Clculo de las reacciones en los apoyos.

Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Ecuaciones de equilibrio.

0MB 08A4P218618 Y

08A44218618 Y

kN 16AY

0FY 0B1818416 Y

kN 16BY

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Comprobacin:

0MA 061821844816

00

Para el anlisis de la viga se debe seccionar la vigas tantas fuerzas

cortantes exteriores tenga ms una y analizar cada seccin, aplicar las

ecuaciones de equilibrio, es decir, graficar el DCL de cada seccin y hallar

la fuerza cortante Q y el momento flector M, para luego con esos datos

construir la grfica de fuerza cortante y momento flector.

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Construccin de los grficos.

Tramo 1 2 x 0 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q16 1

kN 16Q1

0M1 0x16M1

x16M1

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 32M 2x 1

Tramo 2 4 x 2 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q1816 2

kN 2Q2

0M2 0x162x18M2

36x2M2

Para m-kN 32M 2x 2 y para

m-kN 28M 4x 2

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Tramo 3 6 x 4 (de izquierda a derecha) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q18416 3

kN 2Q3

0M3 04x4x162x18M3

20x2M3

Para m-kN 28M 4x 3 y para

m-kN 32M 6x 3

Tramo 4 2 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio

0FY 016Q3

kN 16Q3

0M4 0Mx16 4

x16M4

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 32M 2x 1

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El grfico de fuerzas internas quedara de la siguiente forma:

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Problema # 2

Hacer los diagramas de fuerza cortante y momento flector de la viga y cargas indicadas.

Solucin:

1. Clculo de las reacciones en los apoyos.

Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Ecuaciones de equilibrio.

0MB 08.4A6.1184.2206.316 Y

kN 28AY

0MA 02.3184.2202.1168.4BY

kN 26BY Comprobacin:

0FY 02618201628

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Construccin de los grficos.

Tramo 1 21. x 0 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q28 1

kN 28Q1

0M1 0x28M1

x28M1

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 6.33M 2.1x 1

Tramo 2 42. x 2.1 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q1628 2

kN 12Q2

0M2 0x282.1x16M2

2.19x12M2

Para m-kN 6.33M 2.1x 2 y para

m-kN 48M 4.2x 2

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Tramo 4 1.6 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio

0FY 026Q4

kN 26Q4

0M4 0Mx26 4

x26M4

Para 0M 0x 4 y para

m-kN 6.41M 6.1x 4

Tramo 3 4.2 x 6.1 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q1826 3

kN 8Q3

0M3 0x266.1x18M3

8.28x8M3

Para m-kN 6.41M 6.1x 3 y para

m-kN 48M 4.2x 3

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El grfico quedara de la siguiente forma:

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GRAFICOS DE FUERZAS INTERNAS EN VIGAS CON CARGAS

DISTRIBUIDAS

Problema # 1

Construya los grficos de fuerza cortante y momento flector de siguiente viga cargada.

Solucin:

1. Clculo de las reacciones en los apoyos.

Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Ecuaciones de equilibrio.

0MA

08836210BY

kN 10BY

0MB

02876210AY

kN 10AY

0Fy (Comprobacin).

08621010 00

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2. Construccin de los grficos.

Tramo 1 6 x 0 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0x2QA 1Y

10x2Q1

Para kN 10Q 0x 1 y para

kN 2Q 6x 1

Como la ecuacin de Q corta al eje, la curva de momento tendr un mximo. Luego:

010x2

m 5x

0M1

0x2

2x10M 21

x10xM 21

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 25M 5x mx

m-kN 24M6x 2

Tramo 3 2 x 0 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q10 3 kN 10Q3

0M3 0x10M3 , x10M3

Para 0M 0x 3 y para

m-kN 20M 2x 2

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Tramo 2 4 x 2 (Anlisis de derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q810 3

kN 6Q3

0M2 02x8x10M2

16x2M2

Para m-kN 20 M 2x 2 y para

m-kN 24 M 4x 2

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El grfico quedara as:

Problema # 2.

Construir los grficos de fuerzas internas de la viga empotrada

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Solucin: Si comenzamos el anlisis a partir de C hacia la izquierda, no es necesario calcular,

previamente, las reacciones en los apoyos.

2. Construccin de los grficos.

Tramo 1 (CB) 2.5 x 0 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q4 1

kN 4Q1

0M1 0x4M1

x4M1

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 10M 5.2x 1

Tramo 2 (BA) 4.5 x 5.2 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q5.2x224 2

65.2x2Q2 Para kN 6 Q 5.2x 2 y para

kN 10 Q 5.4x 2

0M2

0x45.2x25.2x2

2M

2

2

05x65.2xM 22

Para m-kN 10M 5.2x 2 y para

m-kN 26 M 5.4x 2

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El grfico quedara as:

Por tanto las reacciones en los apoyos sera:

kN 10AY

oantihorari sentido En m-kN 26MA

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Problema # 3.

Construir los grficos de fuerzas internas de la viga empotrada.

Solucin:

1. Clculo de las reacciones en los apoyos.

Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Ecuaciones de equilibrio.

0MD

05B1151365.0 Y

kN 3BY

0MB

05D265.041 Y

kN 2DY

0Fy (Comprobacin).

01165.023 00

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2. Construccin de los grficos.

Tramo 1 (AB) 1 x 0 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0x5.0Q1

x5.0Q1

Para 0Q 0x 1 y para

kN 5.0Q 5.0x 1

0M1

0x2

5.0M 21

2

1 x25.0M

Para 0M 0x 1 y para

m-kN 25.0M 1x 1

Tramo 2 (BC) 5 x 1 Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0Q1x5.031 2

5.11x5.0Q2 Para kN 5.1Q 1x 2 y para

kN 5.0Q 5x 2

Como la ecuacin de Q corta al eje X, se producir en ese punto un mximo de la ecuacin de momento flector. Ese punto se obtiene:

05.11x5.0

m 4x

0M2

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01x25.0x5.01x25.0M 22

75.1x5.11x25.0M 22

Para m-kN 25.0M 1x 2 , para

m-kN 2.M 4x 2 (Mximo) y para

m-kN 75.1M 5x 2

Tramo 3 (DC) 1 x 0 (De derecha a izquierda) Diagrama de cuerpo libre

Ecuaciones de equilibrio

0FY 0x5.02Q3

2x5.0Q3

Para kN 2Q 0x 3 y para

kN 5.1Q 1x 3

0M3 0x25.0x2M

2

3

x2x25.0M2

3

Para 0M ox 3 y para

m-kN 75.1M 1x 3

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El grfico quedara de la siguiente forma.

Conclusiones.

Para la construccin de los grficos de fuerzas internas en vigas hay que tener presente el

convenio establecido, es decir:

Si el anlisis de los tramos se realiza de izquierda a derecha, las fuerzas cortantes se

sitan hacia abajo y los momentos flectores en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Por el contrario, si el anlisis se hace de derecha a izquierda se invierten los sentidos,

pues se cumple la 3era Ley de Newton.

Hay que tener presente que en la seccin donde exista una fuerza concentrada habr, en

el grfico de fuerza cortante, un salto equivalente al valor de dicha fuerza.

En el clculo de las reacciones en los apoyos hay que estar seguro de la veracidad del

clculo, pues si se comenten errores en dicho clculo, los grficos no sern continuos, o

sea ocurrirn saltos donde no los hay realmente o viceversa. Es por ello que es muy

importante comprobar el clculo de las reacciones con la tercera ecuacin disponible.

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Ejercicios prcticos de Mecnica Aplicada

VIGAS

P. 3.1. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 1 kN, P2 = 3 kN y q = 2 kN/m

P. 3.2. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 6 kN, P2 = 12 kN y q = 3 kN/m

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Ing. Jorge A. Zamudio B. 22

P. 3.3. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 4 kN/m

P. 3.4. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 4 kN/m

P. 3.5. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 10 kN, P2 = 5 kN y q = 12 kN/m

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3.1. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 2 kN, P2 = 9 kN y q = 4 kN/m

3.2. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 3 kN, P2 = 8 kN y q = 6 kN/m

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Ing. Jorge A. Zamudio B. 24

3.3. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 8 kN/m

3.4. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 8 kN/m

3.5. Construir los grficos de fuerzas internas de las vigas representadas, cuando P1 = 12 kN, P2 = 8 kN y q = 10 kN/m