Guía de la asignatura: Geometría Básica del grado en Matemáticas

PRIMERA PARTE:

Presentación En esta asignatura se presentan las nociones básicas de geometría. Se estudia la geometría de modo sintético, es decir, sin coordenadas, con el propósito de conocer y ejercitarse en la intuición y el razonamiento geométricos sin ayuda de métodos algebraicos.

Datos de la asignatura Créditos ECTS: 6. Asignatura cuatrimestral. Segundo cuatrimestre del primer curso.

Contextualización Esta asignatura está dentro de la materia Geometría. Es una disciplina central dentro de las matemáticas. Si en la academia de Platón, hace 2000 años, nadie podía ingresar sin saber geometría, en nuestros días nadie se debería llamar matemático sin poseer los conocimientos básicos de geometría.

Nociones básicas de geometría son parte de la cultura general que debe poseer cualquier persona con formación científica o técnica. Sobre todo es importante para conocer el origen de muchos problemas que han dado lugar a teorías y técnicas matemáticas. También es de gran importancia para aquellos profesionales de la enseñanza, donde la geometría elemental ha recuperado un puesto preeminente por su importancia intrínseca y su capacidad formativa.

Asignaturas más próximas: Geometrías lineales (donde se continúa la formación geométrica con el uso de coordenadas: es la Geometría analítica). Geometría diferencial de curvas y superficies, donde además se incorporan las técnicas del Cálculo Infinitesimal a la geometría. Por último a nivel más avanzado: Geometría Diferencial , Topología y Ampliación de Topología. De todos modos prácticamente en todas las asignaturas de la carrera la geometría está presente de uno u otro modo.

Conocimientos previos recomendables Terminología y lenguaje matemático elemental, nociones de teoría de conjuntos y de sistemas de numeración, concretamente sobre números reales y racionales. Todos estos prerrequisitos se suponen adquiridos en Bachillerato, Educación Secundaria o el curso de Acceso.

Resultados de Aprendizaje Algunas de las competencias más importantes que se adquieren con esta asignatura:

- Interpretación y resolución de problemas geométricos del plano y el espacio - Capacidad de razonamiento inductivo - Detección de errores lógicos - Modelización de la realidad - Detección de consistencia de sistema axiomáticos - Visualización e intuición geométrica plana y espacial - Motivación histórica y práctica de problemas clásicos matemáticos

Contenidos de la asignatura Capítulo preliminar (La noción de medida y la estructura matemática donde se mide: los espacios métricos nos acompañarán a lo largo de todo el curso)

1. Espacios métricos.

Geometría plana (es el núcleo del curso, la geometría se introducirá de modo axiomático, y se estudiarán las construcciones y teoremas más importantes, así como los objetos y figuras más representativos. La geometría hiperbólica nos muestra como en geometría se puede establecer la indemostrabilidad de un axioma a partir de otros).

2. Axiomas para la geometría euclidiana plana 3. Isometrías del plano 4. Ángulos 5. El teorema de Tales 6. El teorema de Pitágoras 7. Semejanzas 8. Circunferencias 9. Introducción a la geometría hiperbólica 10. Polígonos. Construcciones con regla y compás

Geometría espacial (se presenta axiomáticamente la geometría que modela el espacio que nos rodea y se estudian los poliedros como figuras más importantes dentro de la geometría espacial).

11. Axiomas para la geometría euclidiana espacial 12. Isometrías del espacio 13. Poliedros

Geometría analítica (se introducen las coordenadas cartesianas que son un instrumento poderosísimo al incorporar la técnicas algebraicas a la geometría, lo que conecta con la asignatura Geometrías Lineales de segundo curso).

14. Introducción a la geometría analítica

Equipo docente Antonio F. Costa González. Catedrático de Geometría y Topología.

Metodología En cada capítulo se debe llevar a cabo el estudio del siguiente modo:

- Estudio del texto base - Realización de los ejercicios propuestos - Realización de las actividades complementarias

Cada capítulo se pueden estudiar en una semana más o menos cada uno (los capítulos 1 y 14, que son más breves se pueden conseguir estudiar en menos tiempo, mientras que los capítulos 2 y 13 requieren algo más).

En el mes de abril se propondrá un ejercicio durante un fin de semana que versará sobre los capítulos 1 a 8 y se entregará en la plataforma virtual antes del lunes siguiente.

Bibliografía básica Curso de geometría básica, P. Buser y A. F. Costa, Sanz y Torres, Madrid 2010.

Bibliografía complementaria

Libros de un nivel parecido a la bibliografía básica R. Fenn, Geometry, Springer, London 2001.

D. W. Henderson and D. Taimina, Experiencing geometry, euclidean and non-euclidean with history, Pearson-Prentice Hall, Upper Saddle River, 2005.

G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer, New York, 1998.

J. R. Silvester, Geometry, ancient and modern, Oxford University Press, Oxford, 2001.

S. Stahl, Geometry, form Euclid to knots, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2003.

J. Stillwell, The four pillars of geometry, Springer, New York 2005

P. Ventura Araújo, Curso de geometría, Gradiva, Lisboa 1998.

Libros clásicos escritos por autores importantes: G. D. Birkhoff, R. Beatley, Basic Geometry, Chelsea, New York, 1959.

H. S. M. Coxeter, Fundamentos de Geometría, Limusa-Wiley, México, 1971.

H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry revisited, New Mathematical Library, Mathematical of America, 1967.

N. Efimov, Geometría Superior, MIR, Moscú 1984.

H. Eves, Survey of Geometry in 2 vols, Allyn and Bacon, Boston, 1972.

J. Hadamard, Leçons de géométrie élementaire, Editions Jacques Gabay, Sceaux, Reprint 1988.

D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and imagination, Chelsea, New York, 1990.

E. E. Moise, Elementary geometry from an advanced standpoint, Addison-Wesley, Reading, 1990

A. Pogorelov, Geometry, Mir, Moscú, 1987.

Libros históricos: Euclides, Euclid’s Elements (translator and editor T.L. Heath), Dover, New York, 1956.

D. Hilbert, Fundamentos de la Geometría, CSIC, Madrid, Reprint 1996.

Frère Gabriel-Marie, Exercices de Géométrie, Editions Jacques Gabay, Sceaux, Reprint 1991.

Otros libros de lectura de ampliación de alguno de los temas tratados: D. E. Blair, Inversion theory and conformal mapping, Amer. Math. Soc., Rhode Island 2000.

A.F. Costa, Una introducción a la simetría, UNED, Madrid, 2009.

H.S.M. Coxeter, Regular Politopes, Dover, New York, 1973.

P.R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge 1997.

G. Guillén, El mundo de los poliedros, Ed. Síntesis, Madrid 1997.

Recursos de apoyo al estudio - Curso virtual, donde el alumno podrá acceder al foro de la asignatura y

comunicarse con otros compañeros. - Geogebra es un programa que permite realizar construcciones geométricas.

Es gratuito y se puede descargar en: www.geogebra.org

Tutorización y seguimiento

Equipo docente de la asignatura: Antonio F. Costa González, despacho 129, de la Facultad de Ciencias de la UNED. Paseo Senda del Rey, 9. 28040 Madrid.

El horario de atención al alumno: Miércoles de 16:00 a 20:00.

Correo electrónico: acosta@mat.uned.es

Curso virtual: La tutorización y seguimiento se llevará a cabo sobre todo en el foro de la asignatura del curso virtual. Así las preguntas y respuestas serán visibles a todos los compañeros y también se da la oportunidad a que todos participen en los debates o conversaciones.

Evaluación de los aprendizajes La evaluación principal se llevará a cabo mediante un examen presencial de dos horas de duración. Constará de dos ejercicios y una pregunta de teoría. Se calificará de 1 a 10.

Evaluación continua También se evaluará un ejercicio que los alumnos redactarán en su casa y tendrán que depositar en la plataforma. En abril se propondrá tal ejercicio correspondiente a los capítulos 1 a 8.

Este ejercicio puede contar hasta dos puntos en la nota final del curso. Si la nota de la prueba presencial es inferior a 4 este tipo de evaluación no se tendrá en cuenta. Tampoco se valorarán estos dos puntos para superar una nota final superior a 9. En la calificación se tendrán en cuenta tanto aspectos matemáticos como de redacción.

Además se valorará hasta un punto las participaciones positivas en los foros de la virtualización.

SEGUNDA PARTE: GUIA DE ESTUDIO

Recomendación global: realizar una lectura completa de cada lección y, si es posible, resolver todos los ejercicios por uno mismo y sin consultar la solución. Los puntos importantes y los ejercicios recomendados que hemos destacado a continuación son los imprescindibles. En ocasiones escribimos “leer”, lo que supone que el alumno debe conocer esa parte del curso aunque no debe llevar a cabo un estudio profundo para poder presentar tal material en el examen. Por otra parte, en algunos teoremas hemos explicitado “demostración” lo que quiere decir que es exigible que un estudiante sea capaz de exponer tal demostración al acabar de estudiar el curso.

Todas las referencias que aparecen a continuación se refieren al Texto Base: Curso de Geometría Básica, Buser-Costa, Sanz y Torres, Madrid 2010.

Capítulo 1: Espacios métricos. Introducción. La palabra Geometría viene de medir y los espacios métricos son la estructura que se usa en matemáticas para este fin.

Objetivo fundamental. Conocer el concepto matemático de métrica o distancia y las transformaciones que conservan las distancias: las isometrías. También se trata el concepto de segmento y de alineación de puntos.

Puntos más importantes: Definición 1.1, Definición 1.5, Teorema 1.7, Definición 1.12.

Ejemplos y ejercicios recomendados: Ejemplo 1.11, Ejercicio 1.5.

Capítulo 2: Axiomas para la geometría plana. Introducción. Estudiaremos la geometría plana siguiendo el método axiomático que es usual en matemáticas. En este capítulo se introducen los axiomas que utilizaremos y se establecen las primeras propiedades geométricas.

Objetivo fundamental. Conocer los axiomas de la geometría plana, que serán de uso continuo en todo el resto del curso. Los conceptos de recta, semirrecta, semiplano, triángulo, congruencia, reflexión, ortogonalidad y paralelismo son también fundamentales.

Puntos más importantes: Este capítulo es totalmente esencial y por tanto se recomienda estudiarlo completo.

Ejemplos y ejercicios recomendados: Todos salvo el Ejercicio 2.7.

Recomendación adicional: Es muy útil instalar el programa de geometría dinámica geogebra (ver actividades complementarias).

Capítulo 3: Isometrías del plano. Introducción. Las isometrías o movimientos del plano se estudian clasificándose en cinco tipos: identidad, reflexiones, traslaciones, rotaciones y reflexiones con deslizamiento.

Objetivo fundamental. Estudiar, reconocer y clasificar los distintos tipos de isometrías del plano.

Puntos más importantes: Conocer las definiciones y propiedades de cada uno de los tipos de isometrías (3.5 a 3.14) así como su clasificación: Teorema 3.15 y Tabla 3.1.

Ejemplos y ejercicios recomendados: Todos.

Capítulo 4: Ángulos. Introducción. El concepto de ángulo es fundamental en geometría. Se establecen algunas de las propiedades esenciales, por ejemplo que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (que es un teorema que depende esencialmente del axioma de las paralelas).

Objetivo fundamental. Conocer el concepto de ángulo, congruencia de ángulos, ángulos agudos, rectos y obtusos, bisectriz, suma de ángulos, ángulos de un triángulo, triángulos isósceles y equiláteros. Probar algunas propiedades esenciales: ángulos opuestos por el vértice o alternos-internos son congruentes, la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano.

Puntos más importantes: Todas las definiciones. Entre los Teoremas destacamos: 4.11 (ángulos opuestos por el vértice), 4.18 (barra transversal), 4.30 (simetría de los triángulos isósceles), 4.40 (ángulos alternos internos, con demostración), 4.41 (suma de los ángulos de un triángulo, con demostración).

Ejercicios recomendados: 4.7, 4.8, 4.9, 4.10.

Capítulo 5: El teorema de Tales. Introducción. El teorema de Tales es uno de los más importantes de la geometría euclidiana y sirve de fundamento para poder definir las razones trigonométricas de los ángulos.

Objetivo fundamental. Conocer y demostrar el teorema de Tales, estudiar las razones trigonométricas y la medida de ángulos.

Puntos más importantes: Concepto de Paralelogramo. Enunciado del teorema de Tales (Teorema 5.5, leer la demostración, y Corolario 5.6). Definición de las razones trigonométricas y de la medida de ángulos (5.8, 5.13, 5.18).

Ejercicios recomendados: 5.5, 5.6.

Capítulo 6: El teorema de Pitágoras. Introducción. No es necesario decir nada sobre la importancia del teorema de Pitágoras. En este capítulo se utilizará para obtener las fórmulas fundamentales para estudiar triángulos.

Objetivo fundamental. Conocer y saber demostrar el teorema de Pitágoras, establecer que la medida clasifica los ángulos y conocer las fórmulas del seno y del coseno.

Puntos más importantes: Teorema de Pitágoras (Teorema 6.1 con su demostración). El teorema 6.5 (la medida clasifica los ángulos). La noción de altura (6.6), la fórmula de coseno y del seno (6.8, 6.10), el recíproco del teorema de Pitágoras (6.9) y los criterios de congruencia de triángulos (6.12).

Ejercicios recomendados: 6.3, 6.5, 6.6, 6.8.

Capítulo 7: Semejanzas. Introducción. Las semejanzas son un tipo de transformaciones que permiten ampliar o reducir el tamaño de las figuras pero manteniendo otras propiedades geométricas invariantes. Son de gran utilidad y se presentan algunas aplicaciones.

Objetivo fundamental. Conocer y utilizar las homotecias y semejanzas. Conocer el concepto de razón de semejanza y que las semejanzas conservan rectas y ángulos. Estudiar el recíproco del teorema de Tales, los centros más famosos de un triángulo y demostrar el teorema de la recta de Euler.

Puntos más importantes: Definición de homotecia, centro y razón de una homotecia (7.1). Homotecias y distancias (Teorema 7.4). Homotecias y segmentos, rectas y ángulos (7.5, 7.6, 7.7). Noción de semejanza y propiedades (7.8, 7.10, 7.11, 7.12). Semejanzas y triángulos (7.15), recíproco del teorema de Tales (7.18). Centros de un triángulo: baricentro (7.21, con demostración), circuncentro (7.23), ortocentro (7.24, con demostración), teorema de la recta de Euler (7.25, con demostración).

Ejercicios recomendados: 7.2, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.

Capítulo 8: Circunferencias. Introducción. Las circunferencias son con los triángulos las figuras más importantes de la geometría euclidiana plana. Definiremos, usando las circunferencias, una nueva transformación del plano: la inversión.

Objetivo fundamental. Conocer el teorema sobre ángulos inscritos en una circunferencia. Estudiar la utilización y propiedades de la inversión respecto a una circunferencia.

Puntos más importantes: Definición de circunferencia y relación de rectas y circunferencias (8.1, 8.3, 8.4 y 8.5). Circunferencia que pasa por tres puntos (8.7). Teorema sobre ángulos inscritos en una circunferencia (8.11 con demostración y 8.12). Definición de inversión y potencia respecto a una circunferencia (8.13 y 8.16).

Propiedades de la inversión (8.18). Definición de razón doble (8.19) y su conservación por inversiones (8.21).

Ejercicios recomendados: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.8.

Capítulo 9: Introducción a la geometría hiperbólica. Introducción. La geometría hiperbólica es una geometría que se puede construir dentro de la geometría euclidiana y que verifica todos los axiomas de la geometría euclidiana salvo el axioma de las paralelas. De esta forma se prueba que tal axioma es independiente del resto, que era el problema abierto más famoso de los fundamentos de la geometría.

Objetivo fundamental. La construcción de la geometría hiperbólica dentro del plano euclidiano.

Puntos más importantes: Plano hiperbólico. Definición de la distancia hiperbólica (fórmula (****)). Rectas hiperbólicas, paralelismo y la no verificación del axioma P7 (9.6).

Ejercicio recomendado: 9.1.

Capítulo 10: Polígonos. Construcciones con regla y compás. Introducción. Los polígonos son figuras que no pueden dejar de ser estudiadas en un curso de geometría. Su construcción usando regla y compás generó otro problema maravillosamente resuelto por los matemáticos.

Objetivo fundamental. Definición de polígonos, polígonos convexos y polígonos regulares. Simetrías de los polígonos regulares. Saber que se entiende por figuras constructibles con regla y compás. Construcción del pentágono regular y la razón áurea. Teorema de Gauss sobre constructibilidad de polígonos regulares.

Puntos más importantes: Definición de polígono (10.1, 10.4, 10.6) y sus elementos: vértices, lados, ángulos, diagonales. Polígonos convexos (10.8, 10.10). Polígonos regulares (10.12, 10.15). Simetrías de los polígonos regulares (10.17, 10.19). Construcciones con regla y compás (texto página 175). La razón de oro y su construcción (10.24, 10.26). Construcción del pentágono regular y el triángulo de oro (10.27, 10.28, 10.29, 10.30). Teorema de Gauss (10.31)

Ejercicios recomendados: 10.1, 10.4, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9.

Capítulo 11: Axiomas para la geometría euclidiana espacial. Introducción. En este capítulo se introducen los axiomas de la geometría del espacio que modela la geometría del espacio que nos rodea.

Objetivo fundamental. Concepto de plano y axiomática del espacio. Ortogonalidad y paralelismo en el espacio.

Puntos más importantes: Axiomas de la geometría del espacio, alineación en el espacio (11.1), concepto de plano (11.2), igualdad de rectas en el plano y en el

espacio (11.4), paralelismo de rectas (11.6). Ortogonalidad en el espacio (11.8 a 11.18). Paralelismo entre planos 11.19, 11.20.

Ejemplos y ejercicios recomendados: Todos.

Capítulo 12: Isometrías del espacio. Introducción. Las isometrías del espacio se clasifican en este capítulo, de forma análoga a como se hizo en el plano pero con un grado de complejidad mayor.

Objetivo fundamental. Descripción y clasificación de las isometrías del espacio. Definición de reflexión, rotación, traslación, movimiento helicoidal, reflexión rotación, y reflexión con deslizamiento. Clasificación de las isometrías.

Puntos más importantes: Definición de cada uno de los tipos de isometrías y su descripción como productos de reflexiones (12.14, 12.18, 12.20, 12.21, 12.22). Clasificación de isometrías: Tabla 12.1.

Ejercicios recomendados: 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5.

Capítulo 13: Poliedros. Introducción. Los poliedros son las figuras más importantes que estudiaremos en el espacio. Los poliedros regulares o sólidos platónicos son por su belleza e importancia, objetos que no pueden dejar de ser estudiados en un curso de geometría básica.

Objetivo fundamental. Definición de poliedro, sus elementos: caras, vértices y aristas. Poliedros convexos y establecimiento del teorema de Descartes-Euler. Poliedros regulares, definición, idea de por qué solo existen cinco tipos, descripción y estudio de sus simetrías.

Puntos más importantes: Definición de poliedro (13.1) y poliedro convexo (13.2). El teorema de Descartes-Euler (Teorema 13.9, leer la demostración y los elementos previos de la sección anterior necesarios: ciclos poligonales, componentes conexas, teorema de la curva de Jordan). Definición de poliedro regular, tipo de un poliedro regular (13.11), restricción sobre los posibles tipos de poliedros regulares (13.13). Existencia y unicidad de poliedros regulares de un determinado tipo fijada la longitud de la arista y salvo posición en el espacio (13.14 y 13.16). Descripción de los poliedros regulares (páginas 225, 226). Simetrías de los poliedros regulares (última sección del capítulo).

Ejemplos y ejercicios recomendados: Ejemplo 13.10, todos los ejercicios.

Capítulo 14: Introducción a la geometría analítica. Introducción. En este capítulo acabamos el curso introduciendo las coordenadas cartesianas del plano y del espacio. Se trata de un capítulo que es una introducción a la geometría analítica que es un tipo de geometría que no se ha estudiado en este curso.

Objetivo fundamental. Definición coordenadas cartesianas y expresión de la distancia en función de las coordenadas.

Puntos más importantes: Definición de sistemas de coordenadas y coordenadas cartesianas en el plano y en el espacio (páginas 235, 238, 239). Expresión de la distancia en coordenadas (Teoremas 14.4 y 14.7). Introducción al espacio euclidiano n-dimensional: leer la última sección del capítulo.

Ejemplos y ejercicios recomendados: 14.1, 14.4, 14.5.