Matemticas y su Didctica para Maestros

Manual para el Estudiante Edicin Febrero 2002

Proyecto Edumat-Maestros Director: Juan D. Godino http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/GEOMETRA Y SU DIDCTICA PARA MAESTROSJuan D. GodinoFrancisco Ruz

Proyecto Edumat-Maestros Director: Juan D. Godino http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

GEOMETRA Y SU DIDCTICA PARA MAESTROS

Juan D. GodinoFrancisco Ruiz

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GEOMETRA Y SU DIDCTICA PARA MAESTROS

Los autoresDepartamento de Didctica de la Matemtica Facultad de Ciencias de la Educacin Universidad de Granada18071 Granada

ISBN: 84-932510-1-1Depsito Legal: GR-340 /2002

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446Impresin: ReproDigital. C/ Baza, 6.La Mediana. Polgono Juncaril. Albolote. 18220-Granada.

Distribucin en Internet:http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/

Publicacin realizada en el marco del Proyecto de Investigacin y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnologa, BSO2002-02452.

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Captulo 1:FIGURAS GEOMTRICAS

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A. Contextualizacin ProfesionalProblemas sobre figuras geomtricas en primaria ..........................................................

B: Conocimientos matemticos1. La geometra y sus aplicaciones1.1. Naturaleza de los objetos geomtricos ............................................................1.2. Aplicaciones de la geometra ..........................................................................1.3. Situaciones introductorias ...............................................................................2. Componentes elementales de las figuras geomtricas2.1. Puntos, rectas, planos y espacio .....................................................................2.2. Segmentos y ngulos .......................................................................................3. Curvas y polgonos en el plano3.1. Curvas y regiones ............................................................................................3.2. Curvas poligonales y polgonos ......................................................................4. Los tringulos y su clasificacin4.1. Definiciones y propiedades .............................................................................4.2. Clasificacin de tringulos ..............................................................................4.3. Elementos notables. Construccin ..................................................................5. Los cuadrilteros y su clasificacin5.1. Situacin introductoria ....................................................................................5.2. Descripciones y propiedades de los cuadrilteros ...........................................6. Recubrimientos del plano con polgonos6.1. Teselaciones regulares del plano .....................................................................6.2. Teselaciones semiregulares del plano ..............................................................7. Figuras en el espacio7.1 Planos y lneas en el espacio .............................................................................7.2. Curvas, superficies y slidos ..........................................................................7.3. Los poliedros y su clasificacin .......................................................................7.4. Conos y cilindros .............................................................................................8. Taller matemtico ......................................................................................... .............

C. Conocimientos didcticos1. Orientaciones curriculares ..........................................................................................2. Desarrollo cognitivo y progresin en el aprendizaje2.1. Las investigaciones de Piaget sobre el desarrollo de conceptos geomtricos .2.2. El modelo de los niveles de van Hiele .............................................................3. Situaciones y recursos didcticos3.1. Juegos de psicomotricidad ..............................................................................3.2. Descripcin y clasificacin de objetos ............................................................3.3. Construccin y exploracin de polgonos .......................................................3.4. Construccin y exploracin de slidos ...........................................................3.5. Geometra dinmica (Logo y Cabr) ...............................................................4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluacin ..........................................5. Taller de didctica: anlisis de situaciones escolares .................................................

BIBLIOGRAFA ..........................................................................................................

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Captulo 2:TRANSFORMACIONES GEOMTRICAS. SIMETRA Y SEMEJANZA

A: Contextualizacin profesionalProblemas sobre transformaciones geomtricas en primaria ..........................................

B: Conocimientos matemticos1. Movimientos rgidos: traslaciones, giros, simetras, composicin de movimientos1.1. Traslaciones .....................................................................................................1.2. Giros ................................................................................................................1.3. Simetras ..........................................................................................................1.4. Composicin de isometras: la simetra con deslizamiento .............................2. Patrones y simetras2.1. Simetra axial ...................................................................................................2.2. Simetra rotacional ...........................................................................................2.3. Simetra central ................................................................................................2.4. Cubrimientos regulares del plano. Frisos y mosaicos .....................................3. Proporcionalidad geomtrica. Teorema de Thales .....................................................4. Transformaciones de semejanza4.1. Homotecias ......................................................................................................4.2. Semejanzas ......................................................................................................5. Movimientos y geometra de coordenadas. Estudio dinmico con recursos enInternet ............................................................................................................................6. Taller de matemticas .................................................................................................

C: Conocimientos didcticos1. Orientaciones curriculares ..........................................................................................2. Desarrollo cognitivo y progresin en el aprendizaje ..................................................3. Situaciones y recursos didcticos3.1. Juegos de psicomotricidad ...............................................................................3.2. Simetra axial ...................................................................................................3.3. Simetra rotacional ..........................................................................................3.4. Simetra de figuras tridimensionales ...............................................................3.5. Figuras semejantes ...........................................................................................4. Conflictos en el aprendizaje. Instrumentos de evaluacin ..........................................5. Taller de didctica .......................................................................................................

BIBLIOGRAFA .................................................................................................

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Captulo 3:ORIENTACIN ESPACIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA

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450A: Contextualizacin profesionalProblemas sobre orientacin espacial y sistemas de referencia en primaria ......

B: Conocimientos matemticos

1. Espacios y geometras1.1. Situacin introductoria: modelizar el espacio .................................................1.2. Espacio sensible y espacio geomtrico ...........................................................1.3. Diversos tipos de geometras ...........................................................................1.4. Topologa .........................................................................................................2. Localizacin y relaciones espaciales2.1. Localizacin de puntos: sistema de coordenadas cartesianas ..........................2.2. Sistema de coordenadas polares ......................................................................2.3. Sistemas globales de coordenadas para el posicionamiento de puntos sobrela superficie de la tierra ..........................................................................................3. Mapas y planos topogrficos3.1. Utilidad prctica de los mapas y planos ..........................................................3.2. Bases para la realizacin de los mapas: triangulacin y proyeccin ..............3.3. La red de coordenadas geogrficas ..................................................................3.4. Las escalas .......................................................................................................3.5. Representacin cartogrfica: altimetra y planimetra .....................................3.6. El rumbo y la orientacin del mapa .................................................................4. Taller de matemticas .................................................................................................

C: Conocimientos didcticos

1. Orientaciones curriculares ..........................................................................................2. Desarrollo cognitivo y progresin en el aprendizaje2.1. El desarrollo de sistemas de referencia ..........................................................2.2. La variable tamao del espacio .......................................................................3. Situaciones y recursos3.1. Bsqueda de un objeto escondido en clase ......................................................3.2. Bsqueda de un objeto escondido dentro del espacio escolar .........................3.3. Localizacin de objetos en el microespacio ....................................................3.4. Localizacin relativa de lugares conocidos en la ciudad ................................3.5. Construccin de una brjula y de un plano de la escuela ................................4. Taller de didctica4.1. Anlisis de experiencias de enseanza ............................................................4.2. Anlisis de textos y diseo de unidades didcticas .........................................

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Geometra y su Didctica para Maestros

Captulo 1: FIGURAS GEOMTRICAS

Figuras geomtricas452

A: Contextualizacin Profesional

ANLISIS DE PROBLEMAS SOBRE FIGURAS GEOMTRICAS EN PRIMARIA

Consigna:Los enunciados que se incluyen a continuacin han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos,a) Resuelve los problemas propuestos.b) Indica los conceptos y procedimientos matemticos que se ponen en juego en lasolucin.c) Clasifica los enunciados en tres grupos segn el grado de dificultad que les atribuyes(fcil, intermedio, difcil).d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de latarea, de manera que uno lo consideres ms fcil de resolver y otro ms difcil.e) Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para losalumnos de primaria? Propn un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos.

Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria:

1. En cuntos puntos pueden cortarse cuatro rectas?

2. Dibuja un polgono convexo de siete lados y traza sus diagonales. cuntas diagonales tiene?

3. Cuntos grados mide el ngulo central de un decgono regular?

4. Repite esta plantilla seis veces y colorea en cada caso a) Un tringulo equilterob) Un tringulo issceles c) Un tringulo escalenod) Un trapecioe) Un rectngulof) Un rombo

J. D. Godino y F. Ruiz5. Corta un cuadrado y construye un romboide con las partes.

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A AA ANmero de lados4 5 6 7 8 9 10Nmero de tringulos26. En cada uno de estos polgonos traza las diagonales que parten del vrtice A. Cuentael nmero de tringulos en que ha quedado dividido cada uno de los polgonos y completa la tabla

7. Dibuja en papel cuadriculado:a) Un cuadriltero que tenga dos ngulos agudos, dos ngulos obtusos y dos pares delados paralelos.b) Un cuadriltero que tenga los cuatro ngulos rectos y los lados iguales dos a dos.

8. Cuenta el nmero de caras, aristas y vrtices de cada uno de estos poliedros y comprueba que: n de caras + n de vrtices = n de aristas + 2.

CARASVRTICESARISTASABCD

9. Dibuja el desarrollo de estos poliedros

10. Qu figura obtendras a partir de cada uno de estos desarrollos?

11. Escribe el nombre de cada uno de estos cuerpos geomtricos

12. a) Cuntas caras laterales tiene cada uno de estos prismas ?

c) Dibuja todos los polgonos que forman las caras de este poliedro construido con ocho cubos iguales:

b) A cul de los cuerpos de la izquierda corresponde el recortable?

d) Escribe en qu se parecen y en qu se diferencia estos dos polgonos:

B: Conocimientos Matemticos

1. LA GEOMETRA Y SUS APLICACIONES

1.1. Naturaleza de los objetos geomtricos

Antes de comenzar a estudiar la geometra y de ver cmo podemos ayudar a los nios a que aprendan geometra, consideramos necesario aclarar de qu trata esta rama de las matemticas y reflexionar sobre la naturaleza de sus objetos. El significado etimolgico de la palabra geometra, medida de la tierra, nos indica su origen de tipo prctico, relacionado con las actividades de reconstruccin de los lmites de las parcelas de terreno que tenan que hacer los egipcios, tras las inundaciones del Nilo. Pero la Geometra dej hace ya hace mucho tiempo de ocuparse de la medida de la tierra. Con los griegos la geometra se interes por el mundo de las formas, la identificacin de sus componentes ms elementales y de las relaciones y combinaciones entre dichos componentes.La geometra se ocupa de una clase especial de objetos que designamos con palabras como, punto, recta, plano, tringulo, polgono, poliedro, etc. Tales trminos y expresiones designan figuras geomtricas, las cuales son consideradas como abstracciones, conceptos, entidades ideales o representaciones generales de una categora de objetos. Por tanto, hay que tener en cuenta que la naturaleza de los entes geomtricos es esencialmente distinta de los objetos perceptibles, como este ordenador, una mesa o un rbol. Un punto, una lnea, un plano, un crculo, etc., no tienen ninguna consistencia material, ningn peso, color, densidad, etc.Un problema didctico crucial es que con frecuencia usamos la misma palabra para referimos a los objetos perceptibles con determinada forma geomtrica (el tringulo es un instrumento de percusin) y al concepto geomtrico correspondiente (el tringulo issceles). Adems, en la clase de matemticas, y en los textos escolares no se diferencian los dos planos (objeto abstracto, realidad concreta) y encontramos expresiones como: Dibuja una recta (un tringulo, etc). Como entidades abstractas que son, parece obvio que no se puede dibujar una recta o un tringulo. Lo que se dibuja es un objeto perceptible que evoca o simboliza el objeto abstracto correspondiente. La recta, como entidad matemtica, es ilimitada y carece de espesor, no as los dibujos que se hacen de ella. Del mismo modo, un tringulo no es una pieza de material de una forma especial, ni una imagen dibujada sobre el papel: Es una forma controlada por su definicin.Las entidades matemticas y tambin las geomtricas son creadas en ltima instanciamediante definiciones, reglas que fijan el uso de los trminos y expresiones. Ciertamente que no sern reglas arbitrarias, sino que se harn de manera que sean tiles para la descripcin del mundo que nos rodea o de mundos imaginarios-, pero su naturaleza es la que hace que establecer una propiedad geomtrica (por ejemplo, que la suma de los ngulos interiores de cualquier tringulo plano sea un ngulo llano) sea un acto esencialmente distinto a descubrir que todos los leones son carnvoros. Esta naturaleza es de tipo gramatical (puesto que se deriva de las reglas de uso de las palabras y expresiones) y es la que concede a las entidades matemticas su carcter necesario, universal y atemporal.El lenguaje geomtrico tiene su origen en nuestra necesidad de describir el mundo de las formas de los cuerpos perceptibles que nos rodean, su tamao y posicin en el espacio.

Pero superada la primera fase de clasificacin de las formas, de identificacin de las propiedades de las clases de objetos y la creacin de un lenguaje que permita su descripcin de manera precisa, la actividad geomtrica se ocupa de estructurar el mundo de entidades geomtricas creadas y de deducir las consecuencias lgicas que se derivan de los convenios establecidos. Rpidamente somos arrojados fuera del cmodo mundo de nuestras percepciones para entrar en el mundo del lenguaje, de la gramtica y de la lgica. Cuando pedimos a un nio que entre una coleccin de paralelogramos identifique los rectngulos, no le exigimos que discrimine la forma perceptible de los rectngulos de entre las restantes figuras, sino que sea capaz de aplicar los convenios que hemos establecido para el uso de la palabra rectngulo. Siendo un poco exigentes, incluso podemos criticar la pertinencia de esa tarea, ya que visualmente es imposible saber si un romboide cuyos ngulos miden 89 (y 91 ) debemos considerarlo o no como un rectngulo. La respuesta correcta que un nio debera dar sera algo as como,si estos ngulos de estas figuras son efectivamente rectos, entonces decimos que son rectngulos; tambin debera incluirlos cuadrados entre los rectngulos.

Fig. 1

Como conclusin, debemos tener claro que cuando hablamos de figuras o formas geomtricas no nos referimos a ninguna clase de objetos perceptibles, aunque ciertamente los dibujos, imgenes y materializaciones concretas son, al menos en los primeros niveles del aprendizaje, la razn de ser del lenguaje geomtrico y el apoyo intuitivo para la formulacin de conjeturas sobre las relaciones entre las entidades y propiedades geomtricas.

1.2. Aplicaciones de la geometra

La Geometra estudia las formas de las figuras y los cuerpos geomtricos. En la vida cotidiana encontramos modelos y ejemplificaciones fsicas de esos objetos ideales de los que se ocupa la Geometra, siendo muchas y variadas las aplicaciones de esta parte de las matemticas.Una de las principales fuentes de estos objetos fsicos que evocan figuras y cuerpos geomtricos est en la propia Naturaleza. Multitud de elementos naturales de distinta especie comparten la misma forma, como ocurre con las formas en espiral (conchas marina, caracoles, galaxias, hojas de los helechos, disposicin de las semillas del girasol, etc.). Igualmente encontramos semejanzas entre las ramificaciones de los rboles, el sistema arterial y las bifurcaciones de los ros, o entre los cristales, las pompas de jabn y las placas de los caparazones de las tortugas. La Naturaleza, en contextos diferentes, utiliza un nmero reducido de formas parecidas, y parece que tuviese predileccin por las formas serpenteantes, las espirales y las uniones de 120. Pensemos en la disposicin hexagonal perfecta de las celdillas de los panales de las abejas, siendo su interior poliedros que recubren el espacio, como el rombododecaedro.El ser humano refleja en su quehacer diario y en sus obras de arte esas imgenes idealesque obtiene de la observacin de la Naturaleza: realiza objetos de cermica, dibujos, edificios y los ms diversos utensilios proyectando en ellos las figuras geomtricas que ha perfeccionado en la mente. El entorno artstico y arquitectnico ha sido un importante factor de desarrollo de la Geometra. As desde la construccin de viviendas o monumentos funerarios (pirmides de Egipto), hasta templos de los ms diversos estilos han impulsado constantemente el descubrimiento de nuevas formas y propiedades geomtricas.Muchas profesiones, adems de los matemticos, arquitectos e ingenieros necesitan y usan laGeometra: albailes, ceramistas, artesanos (objetos de taracea, trabajos de cuero, repujados

de latn, tejedores de alfombras, bordadoras, encajes de bolillos, etc.), decoradores, coregrafos, diseadores de muebles, etc. Todos ellos de una forma ms o menos consciente, utilizan el espacio y las formas geomtricas.Tambin se encuentra la geometra en los juegos: billar (bolas y mesa en forma de doble cuadrado, con rombos en los bordes), parchs, ajedrez, la rayuela, el juego de los barcos, as como multitud de juegos de ordenador. El mundo de los deportes est repleto de figuras geomtricas: ftbol (el rectngulo del campo, las reas, el baln, las porteras, etc.), baloncesto (canastas, zonas, campo, etc.), tenis, rugby, bisbol, etc.Seguramente el lector puede completar estas listas de situaciones y mbitos dondepodemos encontrar objetos geomtricos, y cuyo manejo facilita el conocimiento de tales mbitos.

Ejercicio:

1. Hacer una lista de figuras y conceptos geomtricos que encuentres en: Naturaleza; artes;msica; la calle; la casa; el deporte; los juegos; las profesiones.

1.3. Situaciones introductorias

A. Lista mnima de propiedades

En la figura adjunta hay representados diversos rectngulos. Listar todas las posibles propiedades de los rectngulos. Porejemplo:- tiene cuatro lados- los lados opuestos son paralelos- etc.

Fig. 2Elaborar una lista mnima de propiedades de tal manera que si una figura tiene esas propiedades podemos decir que es un rectngulo.

B. Deduccin informal

Demostrar si los enunciados siguientes son verdaderos o falso:- Si una figura (F) es un cilindro, entonces es un prima.- Si F es un prisma, entonces es un cilindro.- Si F es un cuadrado, entonces es un rombo.- Todos los paralelogramos tienen diagonales congruentes.- Todos los cuadrilteros con diagonales congruentes son paralelogramos.- Si dos rectngulos tienen la misma rea, entonces son congruentes.. Todos los prismas tienen un plano de simetra.- Todos los prismas rectos tienen un plano de simetra.- Si un prisma tiene un plano de simetra, entonces es un prisma recto.

2. COMPONENTES ELEMENTALES DE LAS FIGURAS GEOMTRICAS

2.1. Puntos, rectas, planos y espacio

En el cuadro adjunto hemos escrito las letras A, B, P, Q a la derecha de una diminuta marca redondeada. Decimos que dichas marcas son puntos. Igualmente diramos que se trata de puntos si en lugar de usar una impresora lser para hacer la impresin usramos un lpiz con una punta gruesa, o un lpiz imaginario que dibuja puntos tan finos que sean prcticamente imperceptibles.

. A . P . Q

Fig.3 . B

El punto, como objeto o figura geomtrica, se considera que no tiene dimensiones y se usa para indicar una posicin en el espacio.

En el cuadro siguiente decimos que hay representadas dos lneas rectas designadas con las letras r y s:

r

s

Fig. 4

Pero al objeto o figura geomtrica lnea recta se le atribuyen unas caractersticas que realmente no tienen los trazos marcados en el cuadro. Se considera que las rectas son ilimitadas por ambos extremos, as como que no tienen ningn espesor, lo que hace imposible "representar" las rectas. La caracterstica de ser ilimitadas por ambos extremos se suele indicar marcando flechas en cada extremo. Otras experiencias que sugieren la idea de recta pueden ser un hilo tirante, el borde una regla, etc.Se considera que dos puntos determinan una y slo una lnea recta que contiene adichos puntos. Tres o ms puntos pueden determinar varias rectas, pero si estn contenidas en una recta se dice que son colineales.

Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano, figura geomtrica que suele ser evocada por una hoja de papel apoyada sobre una mesa, la propia superficie de una mesa, la pizarra, etc. De nuevo al objeto o figura geomtrica designada con la palabra plano se le atribuyen unas caractersticas ideales que no tienen tales objetos perceptibles, como no tener lmites en ninguna direccin, ni tampoco ningn espesor.Se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Se considera el espacio como el conjunto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se considera como una figura geomtrica. El objetivo de la geometra ser describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geomtricas.Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningn punto en comn se dice que son paralelas. Si tienen un punto en comn se dice que son concurrentes. Una recta que corta a otras dos se dice que es una transversal.

Todo punto P divide a una recta que lo contiene en dos subconjuntos formados por los puntos que estn situados a un mismo lado respecto de P. Estos subconjuntos se dice que son semirectas o rayos de extremo P.Tambin se habla de semiplanos: cada una de las dos partes en que queda dividido un plano al quitar una recta del mismo. Tambin sern semiplanos abiertos o cerrados, segn que se incluya o no la recta a partir de la cual se forma.

Ejercicios:2. En cuntas partes queda dividido un plano al quitarle:a) Dos rectas paralelas; b) Dos rectas concurrentes; c) Tres rectas, dos de las cuales son paralelas; d) Tres rectas concurrentes.

3. Se puede separar un plano en cinco partes quitando: a) tres rectas; b) cuatro rectas?

4. Cul es el mximo nmero de partes en que se puede cortar un plano por 7 rectas?

5. Describir el interior de la siguiente figura comointerseccin o unin de semiplanos: B

C

5. Describir el interior de un tetraedro como interseccin de semiespacios abiertos.

A D

Fig. 5

2.2. Segmentos y ngulos

En el siguiente cuadro decimos que est representado el segmento AB, conjunto de puntos comprendidos entre los puntos A y B, que se dice son los extremos del segmento.

A B

Fig. 6

La distancia entre los puntos A y B se dice que es la longitud del segmento AB. Dos segmentos AB y CD se dice que son congruentes si tienen la misma longitud.Un segmento se puede definir tambin como la interseccin de dos semirectas contenidasen una misma recta. Los segmentos pueden ser abiertos o cerrados segn que en las semirectas se consideren incluidos o no los extremos.

Un ngulo se puede considerar como la interseccin de dos semiplanos cerrados, obtenidos a partir de dos rectas incidentes. Ambas semirectas son los lados del ngulo y el punto de concurrencia es el vrtice. Tambin se usa la palabra ngulo para designar a la figura geomtrica formada solamente por el conjunto de los lados y el vrtice. La figura siguiente representa el ngulo formado por las semirectas AB y AC; se suele designar como ngulo

B

Fig. 7 A

CBAC o tambien como CAB

Un ngulo cuyos lados no estn sobre la misma recta separa al plano en dos partes, el interior y el exterior del ngulo. El subconjunto de puntos del plano formados por todos los segmentos que unen puntos situados sobre los lados AB y AC forman el interior del ngulo, y su complementario respecto del plano ser el exterior.El tamao de un ngulo se mide por la cantidad de rotacin requerida para girar uno de los lados del ngulo, tomando como centro de giro el vrtice, para que coincida con el otro lado. Como unidad de medida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de la circunferencia. La medida de un ngulo A la indicaremos por m( A )

Clasificacin de los ngulos por su medida

ngulo nulo, m( A) =0

Angulo agudo,0< m( B) < 90

Bngulo recto,m( C) = 90

C

ngulo obtuso,90 < m( D) < 180

Dngulo llano, m( E) = 180

Engulo reflejo,180 < m( A) < 360 F

Pares de ngulos y teoremas relacionados

Dos ngulos con medidas m1 y m2 se dice que son complementarios si y slo si m1 + m2 =90 . Se dice que son suplementarios si m1 + m2 = 180 .

Dos ngulos que tienen un lado comn y cuyos interiores no se solapan se dice que son adyacentes.

2 1 43

1 y 2 son ngulos adyacentes suplementarios

3 y 4 son ngulos adyacentes complementarios

Dos ngulos se llaman verticales cuando sus cuatro lados forman dos rectas que se cortan

Cuando dos lneas l y m se cortan en dos puntos por otra recta transversal t se forman cuatro pares de ngulos que se llaman ngulos correspondientes (Fig. 8).

1 l2 23 1 3 446 5 m7 8

1 y 3 son ngulos verticales2 y 4 son ngulos verticales

tngulos correspondientes:1 y 5 ; 2 y 6 ; 3 y 7 ; 4 y 8

Fig. 8

Ejercicios:

6. Intenta probar los siguientes teoremas sobre ngulos:1) Si dos rectas paralelas se cortan por una transveral los ngulos correspondientes son iguales.2) Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ngulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.3) Dos rectas cortadas por una transveral son paralelas si y slo si un par de ngulos alternosinternos son congruentes.4) Las bisectrices de dos ngulos suplementarios adyacentes forman un ngulo recto.5) Medida de los ngulos de un tringulo: la suma de los ngulos interiores de cualquier trangulo es un ngulo llano.

3. CURVAS Y POLGONOS EN EL PLANO

3.1. Curvas y regiones

Una curva plana se puede describir de manera intuitiva e informal como el conjunto de puntos que un lpiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lpiz nunca pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple. Si el lpiz se levanta en el mismo punto en que comenz a trazar se dice que la curva es cerrada. . Si el nico punto por el que el lpiz pasa dos veces es el del comienzo y final del trazado se dir que la curva es cerrada y simple. Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y otro final, por lo que las rectas, semirecta y ngulos no son curvas.

Ejemplos de curvasC

A

B

Teorema de la curva de Jordan:Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: lapropia curva, el interior, y el exterior de la curva. Esta propiedad parece obvia en casos

sencillos, pero enunciada en trminos generales requiere una demostracin matemtica nada fcil. Incluso la demostracin dada por el matemtico francs Camile Jordan (1838-1922) que enunci este teorema era incorrecta.

El interior y el exterior de una curva cerrada simple se designan tambin como regiones. De manera ms general el conjunto complementario, respecto del plano que las contiene, de conjuntos de rectas, semirectas y curvas est compuesto de una o ms regiones. Por ejemplo, una recta separa al plano en dos regiones llamadas semiplanos. Un ngulo, si no es nulo o llano, separa al plano en dos regiones llamadas el interior y el exterior del ngulo.

Curvas y figuras convexas

Una figura se dice que es convexa, si y slo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura. Las figuras no convexas se dice que son cncavas.

Figuras convexas: Figuras cncavas:

Fig. 9

La circunferencia es una curva cerrada, convexa, tal que la distancia de cualquiera de sus puntos a otro fijo es constante. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio (tambin se llama radio al segmento que uno el centro con cualquier punto de la circunferencia; un dimetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

sector circular

dimetro

tangente

segmentocircular crculoFig. 10

3.2. Curvas poligonales y polgonos

Una curva simple que est formada por segmentos unidos por sus extremos se dice que es una curva poligonal . Si dicha curva es cerrada se dice que es un polgono: a los segmentos que la forman se llaman lados y a los extremos de esos segmentos, vrtices. Si todos los lados de un polgono son iguales se dice que es regular.En principio, nada se dice sobre si las curvas poligonales, y los polgonos, han de ser planos. Tambin se puede hablar de poligonales y polgonos espaciales, aunque el estudio de los polgonos se suele restringir a los polgonos contenidos en el plano.

Los polgonos se nombran segn el nmero de lados o vrtices que tienen (tringulo, cuadrado, pentgono, hexgono, etc).Las semirectas que contienen a dos lados concurrentes en un vrtices determinan unngulo del polgono. En un polgono convexo el interior del polgono ser la interseccin de los interiores de los ngulos del polgono. Si en un ngulo interior de un polgono sustituimos una de las semirectas por su opuesta se obtiene otro ngulo distinto llamado ngulo exterior.

Polgonos regulares

Un polgono que tiene todos sus lados iguales se dice que es equiltero (todos sus lados son congruentes).Un polgono convexo cuyos ngulos interiores son todos congruentes se dice que esequingulo.Un polgono convexo que es tiene sus lados y sus ngulos iguales se dice que es regular.En un polgono regular de n lados, cualquier ngulo con vrtice en el centro y cuyos lados contienen vrtices adyacentes del polgono se dice que es un ngulo central del polgono.

Fig. 11

Hexgono Hexgono Hexgono equilteroequingulo regular

Ejercicios:

7. Un material didctico conocido como geoplano es una herramienta til ..............de madera y 25 clavos dispuestos segn una malla cuadrada, como se .....indica en la figura. Se emplean gomas de colores para formar diversos .....polgonos tomando los clavos como sus vrtices. Cuntos cuadrados sepueden formar en este geoplano?en el estudio de los polgonos. Un geoplano 5x5 consiste en una plancha .

8. Probar que en un polgono regular de n lados, a) cada ngulo interior mide: (n-2). 180 /n b) cada ngulos exterior mide: 360 /nc) cada ngulo central mide: 360 /n

9. Un rectngulo ha sido dividido en dos partes congruentes. Qe forma pueden tener las partes formadas?

4. LOS TRINGULOS Y SU CLASIFICACIN

4.1. Definiciones y propiedades

Es un polgono de tres lados, es decir, una porcin de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el tringulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vrtices.En un tringulo se consideran dos tipos de ngulos: interior (formado por dos lados) yexterior (formado por un lado y la prolongacin de otro).

Algunas propiedades1. En todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es igual a dos rectos.2. En todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los dos ngulos interiores noadyacentes.3. Dos tringulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ngulos adyacentes.4. Dos tringulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ngulo comprendidos.5. Dos tringulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales.6. En todo tringulo, a mayor lado se opone mayor ngulo.7. Si un tringulo tiene dos lados iguales, sus ngulos opuestos son tambin iguales.8. En todo tringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

4.2. Clasificacin de tringulosLos tringulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ngulos.

Atendiendo a sus lados

a) Equilteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.

b) Issceles: Son los que tienen dos lados iguales.

c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados desiguales.

Atendiendo a sus ngulos:

a) Rectngulos: Son los que tienen un ngulo recto (90).

b) Acutngulos: Son los que tienen sus 3 ngulos agudos.

c) Obtusngulos: Son los que tienen un ngulo obtuso.

4.3. Elementos notables de un tringulo. Construccin de tringulos

Bisectriz es la semirrecta que divide a un ngulo en dos partes iguales.Las bisectrices de un tringulo secortan en un punto llamado Incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.

Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vrtice y el lado opuesto.Las alturas de un tringulo se cortan en un punto llamado Ortocentro.

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.Las mediatrices de los lados de untringulo se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Mediana es el segmento comprendido entre un vrtice y el punto medio del lado opuesto.Las medianas de un tringulo se cortan en un punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del tringulo.

Construccin de tringulosPara poder dibujar o construir un polgono basta con conocer algunos de suselementos. Los diferentes casos que pueden plantearse para el tringulo son: I. Conocidos los tres ladosII. Conocidos los tres ngulos (se pueden construir infinitos tringulos)

III. Conocidos dos lados y el ngulo comprendido entre ellos (el tercer lado viene automticamente determinado por situarse en los extremos de los otros dos)IV. Conocido un lado y los dos ngulos contiguos

En la siguiente pgina web del proyecto Descartes tienes la posibilidad de construir diversos tringulos en los supuestos anteriores, as como la de comprobar experimentalmente las propiedades citadas ms arriba. http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Triangulos/Triangu1.htm

Tringulos imposiblesNo todas las medidas de lados y ngulos son buenas para construir tringulos. Existenunas reglas que se deben cumplir para ello.Reglas

1. En todo tringulo se cumple:a + b > cb + c > a a + c > b

2. En cualquier tringulo acutngulo se cumple:c2 < a2 + b2.

3. En todo tringulo rectngulo se cumple:c2 = a2 + b2.

4. En todo tringulo obtusngulo se cumple:c2 > a2 + b2.

5. En cualquier tringulo es cierto que, a < b, si y solo singulo A < ngulo B.

6. Los tres lados de un tringulo son iguales si y solo si los tres ngulos lo son.

Ejercicio:

0. He aqu una serie de triul de las reglas anteriores n1 ngulos con unas medidas determinadas. Trata de construirlos. Sealac o cumplen aquellos que no se puedan construir:

5. LOS CUADRILTEROS Y SU CLASIFICACIN

Despus de los tringulos, los polgonos ms sencillos, por tener menor nmero de lados, son los cuadrilteros. Todos conocemos dibujos de diversos tipos de cuadrilteros (cuadrados, rectngulos, rombos, etc.) pero realizar clasificaciones de estos objetos geomtricos no solo ayuda a entender mejor sus propiedades sino a establecer relaciones entre ellos. Para clasificar hay que estudiar las caractersticas comunes que tienen estas figuras, lo que depender a su vez de los criterios o variables que observemos:- Paralelismo de lados- Igualdad de lados- Igualdad de ngulos- Nmero de ngulos rectos- Posicin relativa de las diagonales- Concavidad y convexidad

5.1. Situacin introductoria: Clasificacin de los cuadrilteros

Realiza un dibujo de cada uno de los cuadrilteros que conozcas y escribe el nombre. Da una definicin de cada cuadriltero y realiza una clasificacin de ellos. Escribe el criterio utilizado para su clasificacin. La figura 1 representa una clasificacin de cuadrilteros.- Conoces algn cuadriltero que no est en esa clasificacin?- Qu criterios crees que se han utilizado para hacer la clasificacin?- Cmo interpretas las flechas que unen cada grupo de cuadrilteros?Teniendo en cuenta las flechas dibujadas- Cmo definiras el rombo? Y el cuadrado? Se pueden definir de otra forma?- Qu cuadriltero responde a la condicin de tener dos pares de lados no consecutivosiguales?- Y si le pedimos que tenga dos pares de lados consecutivos iguales?Haz un dibujo de uno de estos cuadrilteros a los que llamaremos cometas. Sitalo en el esquema de la figura 12.- Qu forma tienen los cuadrilteros que solamente tienen un par de lados consecutivos iguales? Adelo al esquema de la figura 1 con el nombre de cometas oblicuos.

Cuadrilteros

Trapecios

Paralelogramos

Rectngulos Rombos

Cuadrados

Figura 12: Clasificacin de cuadrilteros

Si aadimos los cometas oblicuos y los cometas al esquema de la figura 12, obtendremos una clasificacin ms completa (figura 13). Observa la flecha que une las cometas con los rombos.- Qu relacin encuentras entre estos dos tipos de cuadrilteros? Cmo defines un rombo partiendo de una cometa?Observa el paralelismo que existe entre trapecios y paralelogramos por una parte y cometas oblicuos y cometas por otra..- Qu hay que exigirle a un paralelogramo (romboide) para que se convierta en un rectngulo?

Cuadrilteros

Trapecios

Cometas oblicuos

Paralelogramos

Cometas

Rectngulos Rombos

Cuadrados

Figura 13: Cometas y cometas oblicuos

- Cmo sera una cometa con uno, dos o tres, ngulos rectos? Llamemos a estos cuadrilteros cometas rectangulares. Completa el diagrama de la figura 2 aadiendo estas nuevas cometas (figura 3).Teniendo presente el diagrama de la figura 14:- Qu criterios se han utilizado para clasificar los cuadrilteros?- De cuntas formas podras ahora definir un cuadrado?

Cuadrilteros

Trapecios

Cometas oblicuos

Paralelogramos

Cometas

Rectngulos Rombos

Cometas rectangulares

Cuadrados

Figura 14: Clasificacin de cuadrilteros

La figura 15 representa otra forma de clasificar los cuadrilteros. Observa las inclusiones e intersecciones de conjuntos de cuadrilteros. Aade los que falten siguiendo los criterios en cuanto a la forma de dibujar los contornos de los conjuntos, respetando la forma de cada conjunto de cuadrilteros.Otra forma de clasificar los cuadrilteros es atendiendo a las diagonales (se cortan en elpunto medio, son perpendiculares).

(rombide)

Figura 15: Clasificacin figurada de cuadrilteros

5.2. Descripciones y propiedades de los cuadrilteros

Un cuadriltero es un polgono que tiene cuatro lados. Los cuadrilteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vrtices y dos diagonales. En todos los cuadrilteros la suma de los ngulos interiores es igual a 360 . Los paralelogramos son los cuadrilteros que tienen paralelos los dos pares de lados opuestos.Entre las propiedades de los cuadrilteros que se derivan de las de los polgonos engeneral tenemos,- La suma de los ngulos interiores de un cuadriltero es igual a cuatro ngulosrectos.- La suma de los ngulos exteriores es igual a cuatro rectos.- Los cuadrilteros son los nicos polgonos para los cuales la suma de los ngulos exteriores es igual a la suma de los ngulos interiores.

Propiedades de los paralelogramos:En todo para1elogramo:- los lados opuestos son congruentes.- los ngulos opuestos son congruentes- las diagonales se cortan mutuamente en partes congruentes

Rectngulo

Se llama rectngulo al paralelogramo que tiene sus cuatro ngulos rectos.El conjunto de los rectngulos est incluido en el conjunto de los paralelogramos.

Propiedades del rectngulo:

El rectngulo tiene una propiedad que le es caracterstica.- Las diagonales de un rectngulo son congruentes.

RomboSe llama rombo al paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.La condicin necesaria y suficiente para que un paralelogramo sea rombo es que tenga dos lados consecutivos congruentes.El rombo tiene una propiedad que le es caracterstica.Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisectrices delos ngulos cuyos vrtices unen

CuadradoSe llama cuadrado al paralelogramo que tiene sus cuatros ngulos y sus cuatro lados congruentes.

Cuadrado ABCD AB = BC = CD = DA A = B = C = D El cuadrado es rectngulo y rombo a la vez

Propiedades del cuadrado- Por ser el cuadrado un paralelogramo tiene las propiedades de los paralelogramos engeneral, es decir:- Sus diagonales se cortan en partes congruentes.- Por ser el cuadrado un caso particular del rectngulo, tiene las propiedades especiales de este ltimo, es decir:- Sus diagonales son congruentes.- Por ser el cuadrado un caso particular del rombo tiene las propiedades especiales de este ltimo, es decir:- Sus diagonales son perpendiculares y bisectrices de los ngulos cuyos vrtices unen.

Trapecio y Trapezoides

Los cuadrilteros que no son paralelogramos se clasifican en trapecios y trapezoides.

TrapecioSe llama trapecio al cuadriltero que tiene nicamente dos lados opuestos paralelos.As, el cuadriltero de la figura es un trapecio, porque tiene paralelos nicamente los lados AD y BC.Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.AD es la base mayor del trapecio; BC es la base menor del trapecio.

Clasificacin de los trapecios

Cuando el trapecio tiene los lados no paralelos congruentes, se llama trapecio issceles; en caso contrario, trapecio escaleno. Dentro de los trapecios escalenos, puede ocurrir que uno de los lados no paralelos sea perpendicular a las bases, y en tal caso se dice que el trapecio es rectngulo.

Trapecio issceles Trapecio escaleno Trapecio escaleno rectngulo

Trapezoide

Es el cuadriltero que no tiene ningn par de lados paralelos.El cuadriltero MNPQ es un trapezoide, pues no tiene ningn par de lados paralelos.

Cometa

Se llama as al trapezoide que tiene dos lados consecutivos congruentes y los otros dos lados distintos de los anteriores, pero tambin congruentes entre s.El cuadriltero ABCD de la figura es una cometa, por no tener lados paralelos y ser:

AB = BC AD = CD

La diagonal de la cometa que une los vrtice a que concurren los pares de lados congruentes se llama diagonal principal.En la cometa considerada, BD es la diagonal principal.

Propiedad de la cometa: La diagonal principal de la cometa es bisectriz delos ngulos cuyos vrtices une, y corta perpendicularmente a la otra diagonal en el puntomedio.

Ejercicios

11. Subraya la respuesta correcta:a) Las diagonales del rectngulo ...Tienen igual medida.No son perpendiculares.Se cortan en el punto medio.b) Los ngulos opuestos de un rombo son ...De igual medida. Distinta medida.c) Cuadriltero que tiene sus lados opuestos congruentes ...Cuadrado. Cometa. Paralelogramo.

12. Clasifica los cuadrilteros siguientes:

Completa la tabla, colocando en cada columna la letra correspondiente al cuadriltero que cumpla la condicin indicada:Con los lados paralelosUn solo par Dos pares Sin lados paralelos

13. Marca con una X las propiedades que cumplen las diagonales

TrapecioRomboide Rombo Paralelo- Rectngulo Cuadrado gramo

Son congruentes

Son perpendicularesUna de ellascorta a la otra en punto medio Cortan mutuamenteen el punto medio

14. Completa la tabla siguiente:

PropiedadCuadriltero(s) que cumple(n)dicha propiedad

Diagonales iguales

Todos sus lados iguales

Lados opuestos iguales

Sus diagonales se cortan en el punto medio

Diagonales perpendiculares

ngulos opuestos iguales

Sus diagonales son bisectrices

Una diagonal corta a la otra en su punto medio y viceversa

Todos sus lados desiguales

Slo dos ngulos interiores congruentes

La suma de sus ngulos exteriores es 360

Sin ngulos interiores congruentes

6. RECUBRIMIENTOS DEL PLANO CON POLGONOS

El arte de los recubrimientos, o teselaciones, del plano mediante figuras poligonales tiene una historia tan antigua como la propia civilizacin. Diversos e imaginativos patrones han decorado las construcciones y objetos ms diversos (muros, alfombras, ventanales, etc.). En tiempos recientes el inters por las teselaciones ha ido ms all de su inters puramente decorativo. Por ejemplo, en metalurgia y cristalografa interesa saber cmo se disponen de manera natural de una forma peridica. En arquitectura interesa conocer cmo se pueden combinar componentes estructurales simples para crear complejos constructivos ms grandes, y los fabricantes de ordenadores esperan poder integrar los patrones de circuitos electrnicos simples para formar potentes procesadores, como son las redes neuronales. El anlisis matemticos de los patrones de recubrimientos es una respuesta a estas necesidades contemporneas. Al mismo tiempo la creacin y exploracin de las teselaciones o recubrimientos del plano proporciona un contexto interesante para la investigacin geomtrica y la resolucin de problemas en las clases de matemticas de educacin primaria y secundaria.

Fig. 16: Ejemplos de teselaciones

El diccionario de la Real Academia Espaola de la Lengua indica que la palabra tesela (del latn, tessella) significa "Cada una de las piezas cbicas de mrmol, piedra, barro cocido o cualquier otra material, con que los antiguos formaban los pavimentos de mosaico"Desde un punto de vista matemtico ms general consideramos que una tesela es cualquier curva cerrada simple, con su interior. Un conjunto de teselas forma una teselacin de una figura si dicha figura est completamente cubierta por las teselas sin solapamientos de puntos interiores de dichas figuras.El caso particular de recubrimientos del plano que nos interesa son los formados por polgonos; la figura que se recubre suele ser el plano completo.

6.1. Teselaciones poligonales del plano

Qu polgonos, por s mismos, cubren el plano sin dejar huecos ni solapamientos? La respuesta a esta pregunta pasa por estudiar los ngulos de tales polgonos, y tratar de sumar con ellos 360 en torno a un vrtice. Empecemos por el tringulo. Sabemos que la suma de los ngulos interiores de un tringulo cualquiera es de 180 . Dibujemos un tringulo en el que marcamos los ngulos con 1, 2 y 3, y hagamos suficientes copias de l. La experiencia consiste en recortar dichos tringulos y colocarlos de forma que, en torno a un vrtice, obtengamos 360 para cubrir el plano sin dejar huecos ni solapamientos.Tres de ellos los podemos unir colocando en torno a un vrtice cada uno de los tresngulos del tringulo, que sabemos suman 180 y repetirlo dos veces (Fig. 17)

Fig. 17:

Repitiendo el proceso se consigue una teselacin triangular (Fig. 18).

Fig. 18:

Ejercicio:

15. Repite el proceso anterior con un cuadriltero cualquiera (trapezoide), marca los ngulos y comprueba si cualquier cuadriltero tesela por s mismo el plano.

Qu ocurre con el pentgono? Dibujemos un pentgono cualquiera. Despus de marcar los ngulos y recortarlo,coloquemos los ngulos de manera contigua, como indicala figura 19. Veremos que no es posible obtener 360 entorno a un vrtice.

Le ocurre lo mismo a Fig. 19:

todos los pentgonos? Qu ocurre con el pentgono regular? El ngulo interior vale 108 , y por tanto no podemos conseguir 360 . Significa esto que no existen teselaciones pentagonales? La figura20 nos sacar de dudas.

Fig. 20: Teselaciones pentagonales (no regulares)

Una forma de obtener hexgonos es uniendo dos cuadrilteros. Sabemos que los cuadrilteros s teselan el plano por s mismos. Partiendo de una teselacin de cuadrilteros, podemos remarcar parejas de cuadrilteros contiguos y borrar el lado comn (Fig. 21).

Podemos comprobar as que estos hexgonos especiales, obtenidos uniendo dos cuadrilteros, tambin teselan el plano.Qu caractersticas tienen estoshexgonos? Qu ocurre con el caso del hexgono regular? Dado que el ngulo interior de un hexgono regular es de 120 , con tres de ellos podemos obtener 360 alrededor de un vrtice. A este tipo de teselaciones con un solo tipo de polgonos regulares se les llama teselaciones regulares.

Ejercicio:

Fig. 21: Teselacin de cuadrilteros

16. Investiga otras teselaciones regulares distintas de las descritas.

6.2. Teselaciones semirregulares

PolgonoN dengulointeriorladosTringulo360Cuadrado490Pentgono reg.5108Hexgono reg.6120Heptgono reg.7128 4/7Octgono reg.8135Nongono reg.9140Decgono reg.10144Dodecgono reg.12150Pentadecgono reg.15156Octadecgono reg.18160Icgono20152Si utilizamos diversos tipos de polgonos regulares, podemos indagar las combinaciones de ellos que producen un cubrimiento del plano. Para ello debemos conocer los ngulos interiores de algunos polgonos regulares, valores que tienes en la tabla siguiente:

Fig. 22: Teselacin de hexgonos formados con dos cuadrilteros

Algunas de esas combinaciones dan lugar a teselaciones con todos los vrtices iguales. Esas teselaciones les llamamos semirregulares, y son 8 (Fig. 23). Las series de nmeros puestos debajo de cada figura indican el orden de colocacin de los distintos polgonos (3.3.3.4.4, quiere decir que se unen tres tringulos seguidos y a continuacin dos cuadrados)En cambio existen otras combinaciones de polgonos regulares que cubren el planopero no producen vrtices idnticos. Algunas de esas combinaciones estn en la figura 24.

Fig. 23.Combinaciones de polgonos regulares que originan teselaciones semirregulares

Fig.24. Combinaciones de polgonos regulares que NO originanteselaciones semirregulares

Un recubrimiento del plano formado por ms de un tipo de polgono regular y con idnticos vrtices de figura se dice que es un recubrimiento semirregular. Esta condicin adicional sobre los vrtices de figura supone que los mismos tipos de polgonos deben concurrir en cada vrtice, y deben ocurrir en el mismo orden.

Se puede demostrar que existen 18 modos de formar vrtices de figuras con polgonos regulares de dos o ms tipos. De estas 18 formas, ocho corresponden a teselaciones semiregulares, que son las indicadas en la figura 25.

Fig. 25: Las ochos teselaciones semiregulares

Ejercicio:17. Cules de los siguientes polgonos recubren el plano? (Reproduce en cartulina las figuras yexperimenta con ellas)

(a) Tringulo escaleno: (b) Cuadriltero convexo:

(c) Cuadriltero no convexo (d) Pentgono con un par de lados parelelos:

7. FIGURAS EN EL ESPACIO

7.1 Planos y lneas en el espacio

Cada plano separa los puntos del espacio en tres conjuntos disjuntos: el propio plano y dos regiones llamados semiespacios. Dos planos en el espacio pueden tener una intereccin comn, que ser una recta, o bien ser disjuntos, en cuyo caso se dice que son paralelos. El ngulo formado por dos planos que se cortan se llama ngulo diedro. La medida de dicho ngulo es la correspondiente al ngulo formado por dos semirectas contenidas en los semiplanos que lo forman y que sean perpendiculares a la recta de interseccin correspondiente.

Fig. 26: ngulos diedros y sus medidas

Dos lneas que no se cortan en el espacio se dice que son paralelas si estn contenidas en el mismo plano; si no estn en el mismo plano se dice que se cruzan. Una lnea l que no corta a un plano P se dice que es paralela al plano. Una lnea m es perpendicular a un plano Q en el punto A si cada lnea del plano que pasa por A forma con m un ngulo recto.

lnea l paralela a P

lneas paralelas lneas que se cruzan lnea m perpendicular a Q

Fig. 27 : Lneas y planos en el espacio

7.2. Curvas, superficies y slidos

El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras dibujadas por un lpiz "mgico" cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una regin hueca -su interior- se dice que es una superficie cerrada simple.La unin de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los puntos de su interior forman una figura espacial llamada un slido.Una superficie cerrada simple es convexa si el segmento que une cualquier par de puntos de la superficie est contenido en el interior de dicha superficie; esto es, el slido limitado porla superficie es un conjunto convexo en el espacio. Por ejemplo, la esfera, que es el conjunto de puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es convexa.

7.3. Los poliedros y su clasificacin

En la Naturaleza existen objetos con formas polidricas. Por ejemplo, en cristalografa (cristales), biologa (virus, radiolarios), las colmenas de las abejas en forma de rombododecaedros, con la fachada hecha de celdillas hexagonales, etc. Tambin encontramos poliedros en obras y actividades realizadas por el hombre, como en el Arte, Arquitectura, Escultura, Artesana, ... Los poliedros fueron estudiados por filsofos y matemticos clebres como Platn, Euclides, Arqumedes, Kepler, Poincar, Hilbert, Coxeter, ...

Definicin:Un poliedro es el slido delimitado por una superficie cerrada simple formada porregiones poligonales planas. Cada regin poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vrtices y lados de las regiones poligonales se dicen que son los vrtices y lados del poliedro.En las figura 28 se muestran tipos de pirmides y primas que son ejemplos de poliedros.

Pirmides:

Prismas rectos y oblicuos:

Fig. 28

Ejercicio:

18. Imagnate un prisma hexagonal regular recto.a) Cules son las medidas de los ngulos diedros formados por las caras que se cortan?b) Cuntos pares de planos paralelos contienen a las caras de este prisma?

Para clasificar los poliedros podemos atender a diversos criterios, como por ejemplo, la regularidad y nmero de caras que concurren en los vrtices.Otros criterios de clasificacin de los poliedros son:Inclinacin (rectos y oblicuos)Poliedros con bases (con una base, o varias bases)Segn la construccin del modeloo Con polgonos regulares (Poliedros regulares, semirregulares, deltaedros)o Con polgonos iguales (Poliedros de caras iguales: Poliedros regulares,deltaedros, bipirmides de base regular)o Con vrtices iguales (Poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos de base regular, ...)Combinaciones de distintos criteriosEjes y planos de simetra, diagonales, ngulos.

7.3.1. Poliedros regulares:Un poliedro regular es un poliedro con las siguientes caractersticas:- la superficie es convexa;- las caras son regiones poligonales regulares congruentes;- concurren el mismo nmero de caras en cada uno de los vrtices.

La suma de los ngulos interiores de los polgonos que forman las caras de un poliedro regular que concurren en un mismo vrtice debe ser menor de 360 , de lo contrario no podran cerrar un espacio interior. Los ngulos interiores del tringulo equiltero miden 60 ; por tanto, podemos formar poliedros regulares cuyas caras son tringulos cuando ponemos 3, 4 o 5 de tales tringulos concurriendo en cada vrtice, ya que la suma de sus ngulos cumple la condicin indicada. Esos poliedros son el tetraedro, el cubo y el icosaedro.Con caras que sean cuadrados slo se puede formar el hexaedro o cubo, en el que concurren 3 cuadrados en cada vrtice. Si utilizamos pentgonos regulares como caras de un poliedro se obtiene el dodecaedro.

Ejercicio:

19. Completa el cuadro adjunto y responde a las siguientes cuestiones:

Tipo de caras (ngulo interior)n de caras por vrticeSumade los ngulosSmbolo del poliedro

n de caras

n de vrtices

n de aristas

C+V- A

Nombre

en cadavrtice

Tringulo equiltero (60 )3180{3,3,3}4462Tetraedro

4

5

6

Cuadrado(90 )3

4360Cubo

Pentgono(108 )3

4

Hexgono(120 )3

a) Cmo vara el ngulo de los polgonos regulares a medida que aumenta el nmero de lados?b) Podras formar un poliedro uniendo 4 cuadrados por cada vrtice? Por qu?c) Qu condicin crees que se debe exigir a este proceso para poder obtener un poliedro regular?d) Qu ocurre en el caso de los hexgonos regulares?e) Puede existir un poliedro regular formado solamente con hexgonos regulares? Y con heptgonos regulares? Por qu?f) Cmo es en cada caso la columna que mide C+V-A (n de caras +n de vrtices menos el dearistas)? ese nmero constante se llama caracterstica de Euler. Calcula ese nmero para otros poliedros que conozcas que no sean regulares. Qu obtienes?

Ejercicio:

20. Demuestra que slo existen cinco poliedros regulares basndote en la suma de los ngulos de las caras que concurren en los vrtices.

Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

La frmula de Euler para los poliedros:

Teorema:En cualquier poliedro se cumple que la suma del nmero de vrtices y el de caras es igual alnmero de aristas ms 2.

Ejercicio:

21. Comprueba que el teorema de la frmula de Euler es cierto para los poliedros regulares, para una pirmide pentagonal y un prisma hexagonal.

Utilizando el teorema de Euler, vamos a demostrar que solo existen 5 poliedros regulares convexos.Llamemos:C = n de caras de n lados ( n> 2)V = n de vrtices de orden m (m>2) A = n de aristasDebido al teorema de Euler se cumple(1) C + V A = 2;El nmero de aristas A lo podemos expresar de dos formas, en funcin de las caras C y de los vrtices V:

(2) A

A

nC (cada arista pertenece a 2 caras)2mV (cada arista une 2 vrtices)2

Sustituyendo (1):

2 An

2 A A 2m

2mA + 2nA mnA =2mn;Sacando factor comn y operando:A (2m + 2n mn) = 2mn ;2m + 2n mn>0 por ser A>0 y 2mn>02m + 2n mn 4 > -4 -(m-2)(n-2) > -4; (m-2)(n-2) < 4

Dando valores enteros a n y m (con n >2; m>2):

nMResultados en (m-2)(n-2) < 4Poliedro(n de polgonos porFigura

vrtice)

3

3

1(m-2)< 4; m