Una universidad, todo un país

AREA DE CIENCIAS BASICAS

CALCULO VECTORIAL

AUTOR: PATRICIA LOPEZ SALAZAR

Mc DOCENCIA E INVESTIGACIÓN UNIVERSITARIA.

ENFASIS EN MATEMATICAS

TEMA: FUNCION VECTORIAL Y DERIVADAS PARACIALES

OBJETIVOS:

1. Comprender los conceptos de función vectorial y sus aplicaciones

2. Comprender el concepto de función multivariada y realizar las operaciones de calculo correspondientes.

TIEMPO: 20 horas

TEMATICAS QUE SE DESARROLLA

1. Límites, derivadas e integrales en funciones vectoriales

2. Analisis de movimientos en funciones vectoriales

3. Las funciones multivariadas

4. Límites y derivadas en funciones multivariadas.

1. Halle la curvatura de la elipse tx cos3 , tseny 4 en los puntos (3,0) y (0,4)

2. En el punto P la velocidad y la aceleración de una partícula que se mueve en el plano son: y

. Calcule la curvatura de la partícula en P.

3. Determine T, N, para la curva

4. Una fórmula para la curvatura es = 3

)(

)()(

tr

trtr

, la gráfica en el plano tiene

automáticamente la parametrización y la formula vectorial Use estas

fórmulas para mostrar que si es una función de dos veces diferenciable entonces (x) =

232))((1

)(

xf

xf

Utilice esta última fórmula para determinar la curvatura de compare su respuesta con el ejercicio

anterior.

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE

COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERIA SEDE

BOGOTA

AREA:CIENCIAS BASICAS

CURSO: CALCULO

VECTORIAL

GUIA DE

DESARROLLO No. 2

FECHA: 2014 - II

Una universidad, todo un país

5. Calcule la longitud de arco de la curva dada por: kttjtitr )1(22)( 2 desde (0,0,1) hasta

0,2,2

6. Cada una de las ecuaciones a, b, c describe el movimiento de una partícula en la circunferencia unitaria x2 + y

2 =

1. Pero el comportamiento de la partícula es distinto. Para cada una responda lo siguiente:

i. ¿La partícula tiene rapidez constante?. En tal caso cuál es su rapidez?

ii. El vector aceleración es siempre ortogonal a su vector velocidad?

iii. En que dirección se mueve la partícula?

iv. La partícula parte del punto (1,0)?

Tenga en cuenta: )()( trtv

Rapidez = )(tv

)()( tvta

a. 0,)()(cos)( tjtsenittr

b. 0,)2

()2

cos()( tjtsenittr

c. 0,)()(cos)( 22 tjtsenittr

FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES.

1. Calcule el límite yx

yxyx

yx

22lim

)0,0(),( con

2. Dada r

t

t

rsenu ln compruebe que 0

r

ur

t

ut

3. Dada la función yzsenezyxf x),,( , mostrar que las derivadas parciales yyxyxyxyy fff ,, son iguales.

4. La ecuación de Laplace tridimensional 02

2

2

2

2

2

z

f

y

f

x

f se satisface por las distribuciones de

temperatura estacionarias en el espacio por los potenciales gravitatorios y los potenciales

electroestáticos. Muestre que la función 2/1222 )(),,( zyxzyxf Satisface la ecuación de Laplace.

5. En física la ecuación de onda está dada por 2

22

2

2

x

wc

t

w

, donde es la altura de la onda, es la variable de

distancia, es la variable del tiempo y es la velocidad de propagación de la onda. Muestre que la función ctxectxw )33cos(5 es solución de la ecuación de ondas.

6. Suponga que sustituimos las coordenadas polares y ,

en una función diferenciable

a) Muestre que: senffr

wyx

cos y

cos

1yx fsenf

w

r

,

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b) Muestre que :

2

2

2

22 1)()(

w

rr

wff yx

7. Si ),( yxfu , donde tex s cos y tseney s demuestre que.

22

2

22

t

u

s

ue

y

u

x

u s

8. Determine la dirección en que )632ln(),,( zyxzyxf , crece y decrece más rápidamente en

, y calcule la derivada de en cada dirección. Además calcule la derivada de en en la dirección

de

9. La densidad en kg/m2 en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano es

3

1

22

yx . La densidad se mide en metros. Halle la razón de cambio de la densidad en el punto (3,2) en

la dirección del vector unitario jseni3

2

3

2cos

. Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de

cambio en (3,2).

10. Muestre que la derivada direccional de 222),,( zyxzyxf en el origen es igual a 1 en cualquier

dirección zyx ,, pero que f no tiene gradiente en el origen.

11. Para cuales valores de la constante ocurre que el criterio de la segunda derivada garantiza que 22),( ykxyxyxf tenga un punto de silla en (0,0)? ¿Y un mínimo local en (0,0)?. ¿Para cuales valores de

el criterio de la segunda derivada no da ninguna información?

12. Muestre que los únicos máximos y mínimos posibles para en la superficie 27933 xyyxz ocurren

en (0,0) y en (3,3). Demuestre que no hay un máximo ni un mínimo en (0,0) y determine si tiene un máximo o un

mínimo en (3,3).