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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Trigonometría

Curso de Extensión

PARTE C SESIONES 9 - 13

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.

MATERIAL EN REVISIÓN

Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

TRIGONOMETRÍA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL

DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007

SESIONES 5 - 8


SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007

SESIONES 14 - 16


1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Trigonometría

Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”

Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache

Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.


Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”

Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88

Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”

Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158

Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”

Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205

Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221




Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………

Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”

Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………

Tema 7 “Resolución de triángulos”

Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………

Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………

Respuestas a las Autoevaluaciones.

Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14

Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46

Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80

Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………




Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………




Introducción

Este curso está orientado hacia la capacitación del

estudiante para el uso de herramientas básicas de

trigonometría. Esta área, como parte de las

matemáticas trata del cálculo de los elementos de los

triángulos planos y esféricos, siendo las funciones

trigonométricas parte fundamental del análisis y del

cálculo desempeñando un importante papel tanto en las

matemáticas puras, como en las aplicadas.

Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los

estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de

trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones

prácticas en su quehacer profesional.

El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones

Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades

Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones

trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes

de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de

Los Andes.

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas de trigonometría.

Objetivos específicos

* Tema 1: Preliminares geométricos

Formular los conceptos básicos de la trigonometría.

* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo

rectángulo.

* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo

Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos

suplementarios

Resolver problemas aplicados.




* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos

Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de

problemas.

* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

* Tema 7: Resolución de triángulos

Resolver problemas de triángulos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,

voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes

satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta

modalidad le permitirá:

1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio.

2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,

M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL

CURSO:

Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada

tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser

analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse

en un tiempo determinado.

Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se

lograrán durante la interacción con cada sesión.

Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.

Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben

seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje

de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los

contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes

(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos

y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te




permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada

sesión.

Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el

autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario

empleado.

Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de

finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te

sientas preparado para presentar la evaluación final.

Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

• Leer pausadamente cada sesión de clase

• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada unidad

• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases

• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

• Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.



134 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo

Tema 3 / Sesión 9

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.


Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo

Sesión 9


* Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

Actividades

* Leer apuntes sesión 9. * Practicar los ejemplos resueltos de cada contenido. * Realizar la autoevaluación de la sesión 9.

Recursos

* Apuntes sesión 9.

Preliminares

Antes de comenzar el tema, el estudiante debe recordar las

definiciones realizadas en la sección 1.4 del Capítulo I en lo

concerniente a:

• Circunferencia

• Círculo

• Arco de circunferencia

• Longitud de arco de circunferencia

• Medida angular de un arco de circunferencia

• Radián

• Longitud de una circunferencia

1. Coordenadas cartesianas ó rectangulares en el plano

A continuación recordaremos algunas definiciones que serán de

suma importancia en el desarrollo del tema.

1.1. Par ordenado: dos números reales cualesquiera forman un par

(o pareja), y cuando el orden del par tiene importancia, se le llama

par ordenado. Si x es el primer número real e y el segundo, este

par ordenado se denota como ),( yx . Nótese que el par ordenado

)7,3( es diferente del par ordenado )3,7( .


Tema 3 / Sesión 9



1.2. Plano cartesiano: al conjunto de pares ordenados de números

reales lo llamaremos plano cartesiano y lo denotaremos por ℜ², y a

cada par ordenado ),( yx , punto en el plano. Para construir el sistema

de coordenadas cartesianas ó rectangulares (ó plano cartesiano) se

siguen los siguientes pasos:

- Se escoge una recta horizontal en el plano geométrico y se le

denomina eje x ó eje de las abscisas.

- Se elije una recta vertical y se le llama eje y ó eje de las

ordenadas.

- El punto de intersección del eje x y del eje y recibe el nombre de

origen y se denota por la letra O.

- Se escoge una unidad de longitud, que en general es la misma

en ambos ejes.

- Se establece que el sentido positivo en el eje x es hacia la

derecha del origen y se indica con una flecha en el extremo

derecho y que el sentido positivo del eje y es hacia arriba del

origen y se indica con una flecha en el extremo superior. Ver

figura 9.1.

Figura 9.1. Plano Cartesiano

Para representar un par ordenado (a,b) en el plano cartesiano

seguimos los siguientes pasos:

- Trazamos una recta vertical que pase por el punto x=a en el

eje de las abscisas.

- Trazamos una recta horizontal que pase por el punto y=b en el

eje de las ordenadas.

- La intersección de estas dos rectas es el punto P asociado al par

ordenado (a,b) que denotamos por P (a,b). Ver figura 9.2.

Eje x (Abscisa

)O Origen

Eje y (Ordenada)

-3 -2 -1 1 2 3

1

3

2

-1

-2

-3


Tema 3 / Sesión 9



El primer número a del par, recibe el nombre de abscisa (o

coordenada x) de P y el segundo número, b, es la ordenada (o

coordenada y) de P.

Figura 9.2. Un punto en el plano

Definición 9.1. Dado un punto P del plano, el par ordenado (a,b) de

números reales asociado a éste se llaman coordenadas cartesianas

o rectangulares del punto P.

La notación P(a,b) significa que (a,b) son las coordenadas

cartesianas del punto P.

Ejemplo 9.1

Identificar la abscisa y la ordenada de los puntos P (8,9), Q (6,-2) y R

(0,12)

Solución:

La abscisa de P es 8 y la ordenada de P es 9.

La abscisa de Q es 6 y la ordenada de Q es -2.

La abscisa de R es 0 y la ordenada de R es 12.

Si la abscisa de un punto P es positiva, entonces P está a la

derecha del eje y, mientras que si es negativa estará a la izquierda.

Si la ordenada es positiva, entonces P está arriba del eje x, mientras

que si es negativa, estará por abajo.

Ejemplo 9.2 Los puntos P (1,2), Q (-1,3), R (1,-1), A (-3,0) y B (0,2)

Solución:

Punto P (1,2): como la abscisa de P es positiva, entonces el punto se

representa a la derecha del eje y. Por otro lado, como su ordenada

es positiva, entonces P estará por arriba del eje x. Ver figura 9.3.

Eje y

o

Eje x O

y=b P(a,b)

x=a


Tema 3 / Sesión 9



Figura 9.3. Representación del punto P (1,2)

Punto Q (-1,3): como la abscisa de Q es negativa, entonces el punto

se representa a la izquierda del eje y. Por otro lado, como su

ordenada es positiva, entonces Q estará por arriba del eje x. Ver

Figura 9.4.

Figura 9.4. Representación del punto Q (-1,3)

Punto R (1,-1): como la abscisa de R es positiva, entonces el punto

se representa a la derecha del eje y. Por otro lado, como su

ordenada es negativa, entonces R estará por debajo del eje x. Ver

Figura 9.5.

oQ (-1,3)

-1

3

x

y

P(1,2) o

1

2

x

y

1

0


Tema 3 / Sesión 9



Figura 9.5. Representación del punto R (1,-1)

Punto A (-3,0): como la abscisa de A es negativa, entonces el punto

está a la derecha del eje y. Por otro lado, como su ordenada es

nula, entonces A estará sobre el eje x. Ver figura 9.6.

Figura 9.6. Representación del punto A (-3,0)

Punto B (0,2): como la abscisa de B es nula el punto B se encuentra

sobre el eje y; por otro lado, como la ordenada es positiva B se

encuentra por encima del eje x. Ver figura 9.7.

o -3

A(-3,0) x

y

0

R(1,-1) o

1

-1

x

y

0


Tema 3 / Sesión 9



Figura 9.7. Representación del punto B (0,2)

Los ejes x y y se denominan ejes coordenados, estos dividen al plano

en cuatro partes llamadas cuadrantes. El primer cuadrante es aquél

en el cual tanto la abscisa como la ordenada son positivas, los otros

cuadrantes se enumeran en sentido antihorario. Ver Figura 9.8.

Figura 9.8. Cuadrantes en el plano

Ejemplo 9.3

Diga en que cuadrantes están los puntos P (1,2), Q (-1,3) y R (1,-1).

Solución:

Las coordenadas x e y del punto P son ambas positivas, por lo

tanto P está en el primer cuadrante.

La coordenada x del punto Q es negativa, mientras que su

coordenada y es positiva, por lo tanto Q está en el segundo

cuadrante.

2 o B(0,2)

x

y

0

Eje y

Eje x O

I cuadrante II cuadrante

III cuadrante IV cuadrante


Tema 3 / Sesión 9



La coordenada x del punto R es positiva y su coordenada y es

negativa, por lo tanto R está en el cuarto cuadrante.

2. Ángulos en trigonometría

Recordemos que un ángulo es la porción de plano comprendida

entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Ese punto, origen

de ambas semirrectas, es el vértice del ángulo y las dos semirrectas

son los lados del ángulo.

Cualquier ángulo α es congruente a un ángulo que tenga su vértice

en el origen y un lado sobre el lado positivo del eje x. Un ángulo

dispuesto de tal forma, se dice que está en posición normal.

Generalmente, se le llama lado inicial al que está sobre el eje x, y

lado final al que junto con el primero forma el ángulo α. Ver Figura

9.9.

Figura 9.9. Ángulo α versus ángulo α en posición normal

En el estudio de problemas que incluyen ángulos de triángulos, la

medida de un ángulo suele darse en grados. Sin embargo, como

nos interesa evaluar las funciones trigonométricas en números

reales, usaremos la medida de ángulos en radianes, es decir,

utilizando el sistema circular definido en el primer tema de este

curso.

Observación: En el capítulo I estudiamos los ángulos a los cuales les

asignamos medidas en grados sexagesimales (º) ó radianes (rad.) y

cuya medida sería positiva (+) si el sentido de giro del lado final era

antihorario y negativo (-) si el sentido de giro era horario (el de las

agujas del reloj). En este capítulo se presenta una manera de medir

ángulos en la que la medida es un número real cualquiera.

α α

Ángulo α Ángulo α en posición normal

O A

B

O x

B

Lado inicial

Lado final

A


Tema 3 / Sesión 9



P

A

(x,y) = (cos t, sen

Eje y

Eje

OO

t

o

3. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera

3.1. Funciones trigonométricas en el círculo

A continuación daremos la definición de las funciones seno ( tsen ) y

coseno ( tcos ), donde t es la medida de un ángulo cualquiera en

radianes y para lo cual usaremos la circunferencia unitaria (radio

R = 1) con centro en el origen de coordenadas.

Definición 9.2. Sea t un número real arbitrario pero fijo, consideremos

el ángulo que mide t radianes. Representemos el ángulo t en su

posición normal, grafiquemos en el mismo dibujo la circunferencia

unitaria con centro en el origen, llamemos )0,(xA al punto de corte de

la circunferencia con el eje x en su sentido positivo, y llamemos

),( yxP al punto de intersección de la circunferencia con el lado final

del ángulo t, ver Figura 3.4.1. Entonces, la función coseno del ángulo

t se define como la abscisa del punto ),( yxP y la función seno del

ángulo t se define como la ordenada del punto ),( yxP . Es decir,

xt =)(cos y ytsen =)(

Tenemos entonces, que si ),( yxP es un punto de la circunferencia

unitaria, correspondiente a un ángulo t, entonces:

),(cos),( tsentyx =

Note que dado un número real t, siempre podemos encontrar un

ángulo AOP que tenga medida t en radianes, así, las funciones

)(tsen y )(cos t están definidas para cualquier valor de t. En la Figura

9.10. se puede observar el punto ),(cos),( tsentyx = cuando 2

0 π<< t (I

cuadrante). Y en la figura 9.11. se puede observar el punto

),(cos),( tsentyx = cuando 2π

π −<<− t (ó 2

3ππ << t , III cuadrante).

Figura 9.10. Circunferencia


Tema 3 / Sesión 9



(x,y) = (cos t,sen t) A

Eje y

Eje x O t o


El valor máximo que pueden tener, tanto la abscisa como la

ordenada, de cualquier punto sobre la circunferencia unitaria es 1 y

el mínimo es -1. Luego, las funciones seno y coseno toman valores en

el intervalo [-1,1], de hecho, las funciones )(tsen y )(cos t toman todos

los valores en ese intervalo.

Ejemplo 9.4 Hallar los siguientes valores

a) )0(sen y )0(cos

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛2πsen y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2cos π

Solución:

• Cuando t = 0, el ángulo t tiene sus dos lados sobre el eje x

en su sentido positivo. Luego, el punto de corte de la

circunferencia con el lado final del ángulo ocurre en el

punto )0,1( . Por lo tanto ,

))0(),0((cos)0,1( sen= ,

es decir,

1)0(cos = y 0)0( =sen

• Cuando 2π

=t , el ángulo t tiene su lado final sobre el eje Y en

su sentido positivo. Luego, el punto de corte de la

circunferencia con el lado final del ángulo ocurre en el

punto )1,0( . Por lo tanto ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2,

2cos)1,0( ππ sen ,

es decir,


Tema 3 / Sesión 9



02

cos =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π y 12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πsen

Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, para ciertos valores

de t, el coseno y el seno se pueden obtener a partir de la gráfica de

la circunferencia unitaria. En cualquier caso es conveniente recordar

que cualquier punto ),( yxP de la circunferencia unitaria, debe

cumplir la ecuación trigonométrica fundamental, que es una

consecuencia del teorema de Pitágoras:

1)()(cos 22 =+ tsent ,

y en términos de las coordenadas del punto es:

122 =+yx

Recordemos el teorema de Pitágoras definido en el capítulo II para

triángulos rectángulos: dado un triángulo rectángulo con catetos de

longitud X e Y, e hipotenusa de longitud C, se cumple que el

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de

los catetos. Ver figura 9.12.

Figura 9.12. El triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras

En símbolos, tenemos que: 222 yxc += .

Note que con un punto ),( yxP de la circunferencia unitaria siempre

se puede construir un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a

1, es por ello que podemos definir las funciones seno y coseno a

partir de ésta. De hecho, si el punto ),( yxP está en el primer

cuadrante (ver figura 9.13.) se tienen las siguientes relaciones:

1)( y

hipotenusaopuestocatetotsen == , de ahí que )(tseny = ;

x Cateto

Cateto

Hipotenusa c

c2=x2+y2


Tema 3 / Sesión 9



1)cos( x

hipotenusaadyacentecatetot == , de ahí que )cos(tx =

Estas relaciones siguen siendo válidas independientemente del cuadrante donde se encuentre el punto ),( yxP .

Figura 9.13. El triángulo rectángulo con uno de sus vértices en el punto ),( yxP

sobre la circunferencia de radio unitario

En la figura 9.14. podemos observar los valores correspondientes a

algunos ángulos notables:

( ) ( ) 00,10cos == sen ,

22

4,

22

4cos =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ sen ,

12

,02

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ sen ,

( ) ( ) 0,1cos =−= ππ sen ,

123,0

23cos −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ sen

Figura 9.14. Valores del seno y del coseno de algunos ángulos notables alrededor del círculo de radio unitario

(0,-1) = (cos 3π/2,sen 3π/2)

Eje y

Eje x

(1,0)=(cos 0, sen 0)

(√2/2,√2/2) = (cos π/4,sen π/4) (0,1) = (cos π/2,sen π/2)

(-1,0) = (cos π, sen π)

p(x,y)

y

x

t

1


Tema 3 / Sesión 9



La siguiente tabla muestra estos valores y algunos otros que se usan

con frecuencia.

Tabla 9.1. Valores correspondientes al primer cuadrante

Las demás funciones trigonométricas (tangente, secante,

cotangente y cosecante) se hallan de forma análoga a las

definidas en el capítulo II para el triángulo rectángulo.

t Sen(t) Cos(t)

0 0 1

6π

21

23

4π

22

22

3π

23

21

2π

1 0


Tema 3 / Sesión 9




Sesión 9: Ejercicios propuestos

1. En las siguientes figuras el punto P(a, b) se encuentran sobre una

circunferencia de radio unitario. Si se conoce la abscisa o la

ordenada, determine las coordenadas de P:

2. En las siguientes figuras, el punto P se encuentra sobre una

circunferencia de radio unitario. Determine el Sen α, cos α y tag

α y las coordenadas de P, si α en el ángulo medio en el sentido

señalado en las figuras.


Tema 3 / Sesión 9



3. En las siguientes figuras el punto P se encuentra sobre la

circunferencia de radio r =1, si conoce una de las coordenadas

de P determine sen α, cos α y tag α.


Tema 3 / Sesión 9



4. Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (0,5), B

(2,1) y C(6,1). El área en unidades cuadrada de dicho triángulo

es :

a) 4

b) 8

c) 12

d) 16

5. En los siguientes casos los puntos A, B, y C representan los vértices

de un triángulo en el plano cartesiano. Determine el área y el

perímetro de cada triángulo ABC

a) A(0,0) ; B(4,3) ; C(0,6)

b) A(0,1) ; B(5,4) ; C(0,4)

c) A(2,1) ; B(5,1) ; C(0,4)

d) A(-2,3) ; B(-2,1) ; C(-5,4)

e) A(2,0) ; B(-3,-2) ; C(-3,-5)


Tema 3 / Sesión 9




Sesión 9

Autoevaluación 9

Pregunta Nº 1

El punto P sobre una circunferencia de radio unitario tiene por

abscisa , como se muestra en la figura. Luego el seno del

ángulo es:

a. 1

b.

c.

d. Pregunta Nº 2

Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (2,1); B(4,1)

y C(5,5). El área en unidades cuadrada del triángulo ABC es:

a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 Pregunta Nº 3

SI P (a, b) es un punto sobre la circunferencia de radio unitario de

centro O y OP forma un ángulo = 225º con el eje OX en sentido

antihorario. Entonces las componentes a y b (abscisa y ordenadas)

de P son respectivamente:


Tema 3 / Sesión 9



a.

b.

c. d.

Pregunta Nº 4

Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (2,2); B

(5,2) y C(5,6). El perímetro del triángulo ABC es:

a. 10 b. 12 c. 14 d. 5

Pregunta Nº 5

Los vértices de un triángulo están dados por los puntos D (1,1); E

(7,1) y F (4,4). Luego, el triángulo DEF puede clasificarse como:

a. Isósceles y obtusángulo b. Rectángulo y escaleno c. Iso-rectángulo d. Solo equilátero

Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.


Tema 3 / Sesión 9




Sesión 9

Respuestas de la Autoevaluación 9 Pregunta Nº 1

b.

Pregunta Nº 2

a. 4

Pregunta Nº 3

b.

Pregunta Nº 4

b. 12

Pregunta Nº 5

c. Iso - rectángulo


Tema 3 / Sesión 10


Sesión 10


* Manejar las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera y su signo.

Actividades

* Leer apuntes sesión 10. * Realizar la autoevaluación de la sesión 10.

Recursos

* Apuntes sesión 10.

Funciones Trigonométricas de un ángulo cualquiera

Ahora, consideremos un ángulo cualquiera definido entre dos

semirrectas OA y OP (ángulo AOP ó α), sin tomar en cuenta el

círculo de radio unitario. Si fijamos un sistema de coordenadas

cartesianas de tal forma que el origen O coincida con el origen O

del ángulo AOP, la semirrecta OA es coincidente con el eje x

positivo, y la semirrecta OP tiene como punto final P un punto de

coordenadas (x0,y0) no situado en ninguno de los ejes

coordenados, como se muestra en la figura 10.1.

Eje y

A O

P(x0,y0)

α

x0

y0

Eje x

Figura 10.1. Angulo AOP ó α cualquiera en el sistema de coordenadas cartesianas




Tema 3 / Sesión 10

En este caso las funciones trigonométricas del ángulo α se definen

en forma análoga a las halladas para un triángulo rectángulo en el

capítulo II:

OPy

hipotenusaopuestocatetosen 0==α (3.4.1)

OPx

hipotenusaadyacentecateto 0cos ==α (3.4.2)

(3.4.3)

(3.4.4)

0cos1sec

xOP

adyacentecatetohipotenusa

===α

α (3.4.5)

0

1cosyOP

opuestocatetohipotenusa

senc ===

αα (3.4.6)

Donde, por el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo,

20

20 yxOP += (3.4.7)

Si el punto P se encuentra sobre los ejes coordenados se puede

presentar cualquiera de las situaciones que se ilustran en la figura

10.2.

Figura 10.2. Punto P situado sobre los ejes coordenados

P O

P

P

P

x

y




Tema 3 / Sesión 10

En este caso las funciones trigonométricas se definen tomando los

ángulos 0º, 90º, 180º y 270º respectivamente según el eje, positivo o

negativo, donde se encuentre.

Ejemplo 10.1

Determine las funciones trigonométricas del ángulo α presentadas

en la figura 10.3.

Figura10.3. Ángulo α

Solución:

En este caso, podemos utilizar las ecuaciones 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4,

3.4.5, 3.4.6 y 3.4.7 definidas anteriormente. En primer lugar,

necesitamos la distancia OP, luego con x0=3 y y0=2 del punto P, se

tiene:

Por la ecuación 3.4.7,

20

20 yxOP += = 134923 22 =+=+

y

3

P(3,2) Con la ecuación 3.4.1,

13132

1320 ===

OPysenα 2

Con la ecuación 3.4.2, 13

133133cos 0 ===

OPxα


0

0 ==xytagα

Con la ecuación 3.4.4, 231cot

0

0 ===yx

tagag

αα


cos1sec

0

===x

OPα

α

Oα

x -3 -2 -1 1 2 3

1

-1

-2

-3




Tema 3 / Sesión 10



Con la ecuación 3.4.6, 2131cos

0

===yOP

senc

αα

Ejemplo 10.2.

Determine las funciones trigonométricas de los ángulos XOA (α) y

XOB (β) presentadas en la figura 10.4.

Figura 10.4. Ángulos

Solución:

El punto A tiene coordenadas (-2,0) sobre el eje x negativo, luego el

ángulo α es de 180º y las funciones trigonométricas serán:

Sen 180º = 0

Cos 180º = -1

Tag 180º = 0

Cotag 180º = No existe

Sec 180º = -1

Cosec 180º = No existe

El punto B tiene coordenadas (0,-2) sobre el eje y negativo, luego el

ángulo β es de 270º y sus funciones trigonométricas serán:

Sen 270º = -1

Cos 270º = 0

Tag 270º = No existe

Cotag 270º = 0

Sec 270º = No existe

Cosec 270º = -1

y

β

α

B -2

-2 A

O x


Tema 3 / Sesión 10

1. Signo de una función trigonométrica

De la definición de las funciones seno y coseno, podemos conocer

la distribución de signos de éstas en el plano:

Si 2

0 π<< t (I cuadrante), entonces 0)(cos >t y , 0)( >tsen

Si ππ

<< t2

(II cuadrante), entonces 0)(cos <t y , 0)( >tsen

Si 23π

π << t (III cuadrante), entonces 0)(cos <t y 0)( <tsen y

Si ππ 223

<< t (IV cuadrante), entonces y 0)(cos >t 0)( <tsen

En la tabla 10.1. se puede apreciar la distribución de signos de las

funciones seno y coseno dependiendo del cuadrante en el cual se

encuentren.

Tabla 10.1. Signo del seno y del coseno

Los valores del seno y del coseno de los ángulos negativos, se

relacionan con los valores correspondientes a los ángulos positivos

mediante las siguientes identidades:

)(cos)(cos tt =− y )()( tsentsen −=− (3.5.1)

Las identidades (3.5.1) son válidas para cualquier número real t. En

la figura 10.5. puede observar geométricamente el significado de

estas ecuaciones:

y

Figura 10.5. Relación entre ángulos positivos y negativos

Así, dado un ángulo cualquiera t en radianes, podemos utilizar las

ecuaciones presentadas anteriormente para evaluar las funciones

Función \ cuadrante I II III IV

tangente + - + -

secante + - - +

Cosecante + + - -

cotangente + - + -

(cos t , sen t) = (cos -t, -sen -t) (x , y ) = ( x , -(-y) )

t t

-t -tx

y

x

-y -y




Tema 3 / Sesión 10

trigonométricas de ángulos negativos, utilizando los valores

correspondientes a los ángulos positivos respectivos.

Ejemplo 10.3

Si t toma los valores de π /4 y 15 π /2 se obtienen las siguientes

igualdades,

a. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−4

cos4

cos ππ

b. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−

44ππ sensen

c. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−2

152

15 ππ sensen

d. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−2

15cos2

15cos ππ

Para conocer el signo de las funciones tangente, secante,

cosecante y cotangente de un ángulo t, en cualquiera de los cuatro

cuadrantes, usamos su definición.

Si tenemos en cuenta el signo de las funciones seno y coseno en

cada cuadrante y utilizamos la regla de los signos para la división,

obtenemos la distribución de signos de las funciones tangente,

secante, cosecante y cotangente:




Tema 3 / Sesión 10


Sesión 10: Ejercicios Propuestos

1. Hallar, sin calcular, el signo de los siguientes valores.

a. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛125πsen

b. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3

4πsen

c. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3631cos π

d. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛44

73πtag

e. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛103cot πag

f. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛10

13sec π

g. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛4

7csc π

h. ( )π125tag

2. En las siguientes igualdades trigonométricas, seleccione la(s)

correcta(s):

a. )3

(3

ππ−= SenSen

b. )3

(3

2 ππ−= SenSen

c. )3

(3

2 ππ SenSen =

d. )3

(3

2 ππ−= CosCos

3. El mayor valor de cosxsenx + , es:

a. 1

b. 2

c. 2

d. 3

4. En la figura 1., el triángulo ABC es rectángulo con AB = 4 3 cm,

y α = 60º; entonces el área total de la figura es:

a. 24 3 + 18π

b. 12 3 + 9π




Tema 3 / Sesión 10



c. 3 + π

d. 3 - π

Figura 1. Triángulo ABC 5. En las siguientes figuras determine las funciones trigonométricas

del α:

α A

C

B 4 3


Tema 3 / Sesión 10




Tema 3 / Sesión 10


Sesión 10

Autoevaluación 10 Pregunta Nº 1

En la siguiente figura los valores de sen y cos son

respectivamente:

a.

b. c.

d.

Pregunta Nº 2

En la siguiente figura, el valor de cotag es igual a:

a. -3 b. 1 c. No existe d. 0



http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Calpha�


http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D+y+%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D+y+-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+-3+y+-4�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7D+y+%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Ctheta�


Tema 3 / Sesión 10

Pregunta Nº 3

En la siguiente figura, el valor numérico de (sen + cos ) es igual a:

a. b.

c.

d.

Pregunta Nº 4

En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo con AB= 10

cm, el arco BC media circunferencia y =30º, entonces el área total

de la figura es:

a.

b. c.

d.

Pregunta Nº 5

En la siguiente figura si |OP|= 10 cm y cos . Las coordenadas

rectangulares del punto P son:



http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cbeta�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cbeta�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac%7B%5Csqrt+%7B2%7D%7D%7B10%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+1�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B5%7D%7D%7B5%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B5%7D%7D%7B5%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Csqrt%7B3%7D�


http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Csqrt+%7B3%7D%2B%5Cpi�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%2832%5Csqrt+%7B3%7D%2B8%5Cpi%29�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize8%5Csqrt+%7B3%7D%2B16%5Cpi�


http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+%5Calpha%3D+-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D�


Tema 3 / Sesión 10

a. (-3,4) b. (-3,5) c. (6,8) d. (-6,8)




antes de continuar.




Tema 3 / Sesión 10


Sesión 10


b.

Pregunta Nº 2

d. 0

Pregunta Nº 3

c.

Pregunta Nº 4

b.

Pregunta Nº 5

d. (-6,8)



http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac%7B4%7D%7B5%7D+y+-%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize-%5Cfrac+%7B%5Csqrt+%7B5%7D%7D%7B5%7D�


165 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios

Tema 4/ Sesión 11

Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios

Sesión 11


* Resolver problemas aplicados utilizando los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios.

Actividades

* Leer apuntes sesión 11. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 11. * Realizar la autoevaluación de la sesión 11.

Recursos

* Apuntes sesión 11. * Ejercicios resueltos sesión 11. * Autoevaluación sesión 11.

Introducción

En al capítulo I, se señaló todo lo referente a los ángulos: medida,

ángulos positivos y negativos, tipos de ángulos y en particular las

definiciones de ángulos complementarios y suplementarios.

Como recordaremos:

• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas

angulares respectivas es igual a 90º.

• Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas

angulares respectivas es igual a 180º.

En el capítulo II se estudiaron las funciones trigonométricas de

ángulos agudos en un triángulo rectángulo, es decir,

implícitamente se estaban hallando las funciones trigonométricas

de ángulos complementarios.

En el capítulo III, por otra parte, se encontraron las funciones

trigonométricas de ángulos cualesquiera, en particular para

ángulos agudos y obtusos, positivos y negativos. Es decir, se

estaban hallando las funciones trigonométricas de un ángulo y su

complemento o suplemento según fuera el caso.




Tema 4/ Sesión 11

En este capítulo vamos a reflejar todos estos resultados, incluyendo

las funciones trigonométricas para ángulos cuya suma de sus

medidas sea igual a 180º; y ángulos cuya suma de sus medidas sea

igual a 360º.

Ángulos complementarios.

1. Funciones trigonométricas de (90º-α) y (90+α)

Definición 11.1. Como se señaló en el Capítulo I, dos ángulos son

complementarios si la suma de sus medidas angulares es igual a 90º

(π/2 radianes). En este caso se puede decir que son

complementarios por defecto. Ver figura 11.1.

Figura 11.1. Ángulos complementarios

En la figura 11.1 los ángulos α y β son complementarios, luego se

dice que α es el complemento de β o recíprocamente, β es el

complemento de α.

Nota: Si α y β son ángulos complementarios por defecto, entonces

también son válidas las siguientes igualdades:

a) α = 90º - β

b) β = 90º - α

Teorema 4.2.1. Si α y β son ángulos complementarios por defecto,

entonces tienen las siguientes igualdades trigonométricas:

a) senβ = sen(90º-α) = cosα (4.2.1)

b) cosβ = cos(90º-α) = sen α (4.2.2)

c) tagβ = tag(90º-α) = cotag α (4.2.3)

d) cotagβ = cotag(90º-α) = tagα (4.2.4)

e) secβ = sec(90º-α) = cosecα (4.2.5)

f) cosecβ = cosec(90º-α) = secα (4.2.6)

Ejercicio 11.1

Demostrar las ecuaciones 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4, 4.2.5 y 4.2.6

C

B

O

Ángulos complementarios por defecto α + β = 90º

A α

β




Tema 4/ Sesión 11



Solución:

Se pueden demostrar estas ecuaciones utilizando las definiciones de

las funciones trigonométricas vistas en el capítulo II en un triángulo

rectángulo. Para ello considere la figura 11.2, donde se ha trazado

un sistema de coordenadas cartesianas XY y una circunferencia (de

cualquier radio R) cuyo centro coincide con el origen de

coordenadas; y sean α y β ángulos complementarios.


Construyamos los triángulos rectángulos OAB y OBC, donde se

tienen las siguientes igualdades de las distancias de los catetos:

ACOBBCOA

=

=

De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas en un

triángulo rectángulo, vistas en al capítulo II, y las igualdades

anteriores, se tiene:

a) αβ cos===OCAC

OCOBsen

b) αβ senOCOA

OCBC

===cos

c) αβ agOAAC

BCOBtag cot===

d) αβ tagACOA

OBBCag ===cot

e) αβ ecOAOC

BCOC cossec ===

f) αβ seccos ===ACOC

OBOCec

x

y

α

β

O A

C B α = 90º - β


Tema 4/ Sesión 11



Definición 4.2.2. Dos ángulos α y β son complementarios por exceso

cuando la diferencia de sus medidas angulares es igual a 90º (β − α =

90º).

En la figura 11.3. los ángulos α y β están medidos en sentido positivo

a partir del eje x, describiendo arcos sobre una circunferencia de

radio R cualquiera, de tal manera que el ángulo BOC es recto; de

tal manera que se tiene la ecuación:

β – α = 90º

Y también, β = 90º + α

Figura 11.3. Ángulos complementarios por exceso

Observación: También se puede interpretar que el ángulo negativo,

que en este caso es α, es medido en sentido horario y por ende

también es válida la definición de ángulo complementario donde

β − α = 90º. Ver figura 11.4.

Figura 11.4. Ángulos complementarios con una medida negativa

Teorema 4.2.2. Si α y β son ángulos complementarios por exceso

entonces se tienen las siguientes igualdades trigonométricas:

x

y

0 α

β

B

C Ángulos complementarios por exceso

β – α = 90º

x

y

0 −α

β

B

C

Ángulos complementarios con medida negativa β – α = 90º


Tema 4/ Sesión 11



a) sen β = sen(90º+α) = cosα (4.2.7)

b) cos β = cos(90º+α) = -senα (4.2.8)

c) tag β = tag(90º+α) = -cotagα (4.2.9)

d) cotag β = cotag(90º+α) = -tagα (4.2.10)

e) sec β = sec(90º+α) = -cosecα (4.2.11)

f) cosec β = cosec(90º+α) = secα (4.2.12)

Demostración: para la demostración se puede proceder

análogamente al caso anterior para ángulos complementarios por

defecto; para ello considere la figura 11.5 donde se tienen los

ángulos complementarios α y β, y los triángulos OAB y ODC

Figura 11.5. Ángulos Complementarios

Los triángulos rectángulos OAB y ODC son congruentes donde las

longitudes:

OCOBODBóODAB

CDOA

=

=−−=

=

A

De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas

presentadas en el Capítulo II, y con las igualdades anteriores, se

tiene:

a) αβ cos===OBOA

OCCDsen

b) αβ senOBAB

OBAB

OCOD

−=−=−

==cos

c) αβ agABOA

ABOA

ODCDtag cot−=−=

−==

d) αβ tagOAAB

OAAB

CDODag −=−=

−==cot

x

y

O α

β

B

C

A D


Tema 4/ Sesión 11

e) αβ ecABOB

ABOB

ODOC cossec −=−=

−==

f) αβ seccos ===OAOB

CDOCec




Tema 4/ Sesión 11



1. Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas usando

las propiedades correspondientes para el ángulo de la forma

(π/2 + α ).

a) Sen(π/2 - π/3)

b) Cos( 90º + 30º)

c) Tag( 90º+45º)

d) Cos (135º)

e) Sen ( 2 π/3)

f) Cosec (π/2 + π/4)

g) Sec ((π/2 - π/6)

h) Cotag (135º)

i) Tag (120º)

j) Cosec (150º)

k) Cos (11 π/2)

l) Tag (7 π/2)

m) Sen (5 π/2)

n) Sec (15 π/2)

2. En la siguiente figura, si AOB es un ángulo recto, determinar las

funciones trigonométricas del ángulo α

3. En la siguiente figura, el punto B tiene coordenadas (-4, 3), y el

ángulo AOB es recto. SI |OA|=10, determine las funciones

trigonométricas del ángulo β y las coordenadas rectangulares

del punto A.




Tema 4/ Sesión 11

4. En la siguiente figura, el triángulo POQ es recto y las

coordenadas de P son (6,8). Si |OQ|= 20, determine las

funciones trigonométricas del ángulo α y las coordenadas del

punto Q

5. Desarrollar las siguientes expresiones utilizando las propiedades

correspondientes

a) Sen (π/2 + α) + Sen (π/2 - α) Tag (π/2 + α)

b) Cosec (π/2 -α) + Cosc (π/2 + α) Cotg (π/2 -α)

c) Sen 2 (π/2 + α) + Cos 2 (π/2 -α) Tg 2 (π/2 + α)

d) √Sec 2 (α - π/2) + Cosc 2 (α - π/2)

6. En la siguiente figura α = 30º y β = 45º. Si |OP| = 4 √ 2 cm y

|OQ| = 8 cm, la distancia |PQ| es:




Tema 4/ Sesión 11

a) ( 8 – 4 √ 2) cm

b) ( 4 √ 3 - 4) cm

c) 8 cm

d) 4 √ 2 cm




Tema 4/ Sesión 11


Sesión 11

Autoevaluación 11

Pregunta Nº 1

Al desarrollar la expresión: el resultado es: a. b. c. d.

Pregunta Nº 2

En la siguiente figura, el triángulo POQ es recto y el punto P tiene

coordenadas (2 , 2). Si la longitud del segmento OQ es |OQ| =

8 cm, las coordenadas del punto Q son:

a.

b.

c.

d.



http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Cfrac%7Bcos%28%5Calpha+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29+-+cos%28%5Calpha+-+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%7D%7Bcotg%28%5Calpha+%2B+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%29%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+2Cos%5Calpha�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+Sen%5Calpha�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+0�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+Cos%5Calpha�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%5Csqrt+%7B3%7D�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%2C+-4%5Csqrt+%7B3%7D%29�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%28-4%5Csqrt+%7B3%7D%2C+4%29�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%5Csqrt+%7B3%7D%2C+-4%29�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%282%5Csqrt+%7B3%7D%2C+-8%29�


Tema 4/ Sesión 11



Pregunta Nº 3

En la siguiente figura, si AOB es un ángulo recto, y αes el ángulo

AOX, entonces tag α es igual a:

a. -1

b. 0c. 1d. no existe

Pregunta Nº 4

En la siguiente figura, el punto B tiene coordenadas (-6,8) y el

ángulo AOB es recto. Si la longitud del segmento OA es

|DA| = 5 cm, las coordenadas rectangulares del punto A son:

a. (2,1) b. (4,3)

c. (3,4)d. (4,-3)

Pregunta Nº 5

Si cos (α + π/2) = - sen α y sen3π =0, entonces el cos(7 π/2) es igual

a:

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%2C+-4%5Csqrt+%7B3%7D%29

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%28-4%5Csqrt+%7B3%7D%2C+4%29

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%5Csqrt+%7B3%7D%2C+-4%29


http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%2C+-4%5Csqrt+%7B3%7D%29




Tema 4/ Sesión 11



a. 0 b. -1

c. 1)d. no existe




antes de continuar.




Tema 4/ Sesión 11




Sesión 11


a.

Pregunta Nº 2

a.

Pregunta Nº 3

c. 1

Pregunta Nº 4

b. (4,3)

Pregunta Nº 5

a. 0

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+2Cos%5Calpha�

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize%284%2C+-4%5Csqrt+%7B3%7D%29�




Tema 4/ Sesión 12


Sesión 12


* Resolver problemas aplicados utilizando los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios.

Actividades

* Leer apuntes sesión 12. * Practicar los problemas resueltos de esta sesión. * Realizar la autoevaluación de la sesión 12.

Recursos

* Apuntes sesión 12. * Autoevaluación sesión 12.

Ángulos suplementarios.

1. Funciones trigonométricas de (180º- α)

Definición 4.3.1. Dos ángulos α y β son suplementarios por defecto si

la suma de sus medidas angulares es igual a 180º (π radianes).

α+ β = 180º

En la figura 12.1. los ángulos α y β son suplementarios por defecto;

luego, se dice que α es el suplemento de β ó recíprocamente β es

el suplemento de α.

B

β α

C O A

α + β = 180º

Figura 12.1. Ángulos suplementarios por defecto




Tema 4/ Sesión 12

Observación: también son válidas las igualdades:

α = 180º - β

β = 180º - α

Teorema 4.3.1. Si α y β son ángulos suplementarios por defecto,

entonces se tienen las siguientes igualdades:

a) sen β = sen(180º-α) = senα (4.3.1)

b) cos β = cos(180º-α) = -cosα (4.3.2)

c) tag β = tag(180º-α) = -tagα (4.3.3)

d) cotag β = cotag(180º-α) = -cotagα (4.3.4)

e) sec β = sec(180º-α) = -secα (4.3.5)

f) cosec β = cosec(180º-α) = cosecα (4.3.6)

Ejercicio 12.1


Solución: considere los ángulos α y β suplementarios que se señalan

en la figura 12.2. y en el cual se ha trazado un sistema de

coordenadas cartesianas XY, y una circunferencia de radio R de tal

manera de construir los triángulos rectángulos congruentes OA’B’ y

OAB.

Figura 12.2. Ángulos Suplementarios

α

β

O A

B

C

α + β = 180º β = 180º - α

y

B’

x A’

α




Tema 4/ Sesión 12



Como los triángulos OA’ B’ y OAB son congruentes, se tiene que las

distancias de sus catetos y la hipotenusa son iguales:

OBOBOAOAóOAOA

ABBA

=

−=−=

=

'''

''

Y de acuerdo a las definiciones vistas en el Capítulo II de funciones

trigonométricas en un triángulo rectángulo, se tienen:

a) αβ senOBAB

OBBAsen ==='''

b) αβ cos''cos −=−=

−==

OBOA

OBOA

OBOA

c) αβ tagOAAB

OAAB

OABAtag −=−=

−==

'''

d) αβ agABOA

ABOA

BAOAag cot

'''cot −=−=

−==

e) αβ sec''sec −=−=

−==

OAOB

OAOB

OAOB

f) αβ ecABOB

BAOBec cos

'''cos ===

Definición 4.3.2.- Dos ángulos α y β son suplementarios por exceso si

la diferencia de sus medidas angulares es igual a 180º, ver figura

12.3.

Figura 12.3. Ángulos suplementarios por exceso, β – α = 180º

Con respecto a los ángulos suplementarios por exceso, es válido el

siguiente teorema, cuya demostración se deja como ejercicio al

estudiante.

α β

O A

B

C

β − α = 180º ó

β = 180 + α


Tema 4/ Sesión 12

Teorema 4.3.2. Si α y β son ángulos suplementarios por exceso,

entonces son válidas las siguientes igualdades trigonométricas:

a) sen β = sen(180º+α) = -senα (4.3.7)

b) cos β = cos(180º+α) = -cosα (4.3.8)

c) tag β = tag(180º+α) = tagα (4.3.9)

d) cotag β = cotag(180º+α) = cotagα (4.3.10)

e) sec β = sec(180º+α) = -secα (4.3.11)

f) cosec β = cosec(180º+α) = -cosecα (4.3.12)

2. Funciones trigonométricas de (360º-α) y de ángulos

negativos

Teorema 4.4.1. Si β = 360º - α, son válidas las siguientes igualdades

trigonométricas:

a) sen β = sen(360º-α) = -senα (4.4.1)

b) cos β = cos(360º-α) = cosα (4.4.2)

c) tag β = tag(360º-α) = -tagα (4.4.3)

d) cotag β = cotag(360º-α) = -cotagα (4.4.4)

e) sec β = sec(360º-α) = secα (4.4.5)

f) cosec β = cosec(360º-α) = -cosecα (4.4.6)

Ejercicio 4.4.1


Solución:

Considere la figura 12.4 donde se han seleccionado los ángulos α y

β de forma tal que β = 360º - α. De tal manera que se construyen los

triángulos congruentes AOB y AOC, donde:

OCOByBCyDEcon

OEODACAB

=

−=−====

Figura 12.4. Ángulos

α β

O A

B

C

y

−α

D

x

E

β = 360º - α




Tema 4/ Sesión 12

De las definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo

rectángulo, se tiene:

a) αβ senOBAB

OCACsen −=−==

b) αβ coscos =−==OBOA

OCOA

c) αβ tagOAAB

OAACtag −=−==

Se deja como ejercicio al estudiante la comprobación de las

definiciones trigonométricas cotag β, sec β y cosec β.

Teorema 4.4.2. Análogamente a los casos anteriores, tomando las

mismas consideraciones, se puede llegar a las siguientes igualdades

de funciones trigonométricas de ángulos negativos.

a) sen α = -sen(-α) (4.4.7)

b) cos α = cos(-α) (4.4.8)

c) tag α = -tag(-α) (4.4.9)

d) cotag α = -cotag(-α) (4.4.10)

e) sec α = sec(-α) (4.4.11)

f) cosec α = -cosec(-α) (4.4.12)




Tema 4/ Sesión 12



1. En la siguiente figura, si B = 120º, determine las funciones

trigonométricas del ángulo α.

2. Determine el valor de las siguientes funciones trigonométricas

usando las propiedad correspondiente para ángulos de la

forma (180º ± α).- (π ± α)

a) Cos (π + π) g) Cosec (180º +30º) 3

b) Sen (π - π) h) Cos (5 π) 3

c) Cos (π - π) i) Sen (6 π) 4

d) Tag (π + π) j) Tag (π + π) 4 3

e) CoTag (π + π) k) Sec (108º -30º) 2

f) Sec (60º-180º) l) CoSec (π + π) 6

m) Tg (π + π/4) n) Sen 150º

o) Cos (210º)

3. Evaluar las siguientes expresiones usando las propiedades

correspondientes.

a) Tag (108º + α) – Tg ( 180º - α )

Sen (180º + α) + Sen (360º - α)

b) [ Sec (180º- α) . CoSec (360º - α) ]

CoTag (180º + α)

c) 1 + Sen ( 1 08 º - α)

Sen (360º - α) + Tg (180º + α)




Tema 4/ Sesión 12

4. Determine el valor de las siguientes funciones trigonométricas

usando la propiedad correspondiente para ángulos de la forma

(360º ± α) o (2 π ± α)

a) Sen (2π + π) f) Sen 6 π

3

b) Cos (2 π- π/6) g) CoSe (360º - 60º)

c) Sen (2 π- π/4) h) Tg (12 π)

d) Tg Sen (2π - π) i) Cos (1800º)

3

e) Sec Sen (π + 2π)

3

5. En las siguientes figuras determine las funciones trigonométricas

del ángulo α y las coordenadas del punto P.




Tema 4/ Sesión 12

6. En la siguiente figura α es un ángulo interior y β un ángulo

exterior del triangulo OBP. Si las coordenadas de los puntos B y P

son B (8,0) P (4,3), el resultado de la suma de Sen α +Sen β es:

a) 3 c) 7/5 5

b) 3 d) 1 2 2

7. En la siguiente figura α y β son ángulos interiores del triangulo

OAB. Si O es el origen de coordenadas y los vértices A y B

tienen coordenadas A (11,0) B (8,6); el resultado de la suma

Tag α + Tag β es:




Tema 4/ Sesión 12

a) 14/5 c) 4 + 3√10 5 20

b) 9/10 d) 11/4




Tema 4/ Sesión 12




Sesión 12

Autoevaluación 12

Pregunta Nº 1

En la siguiente figura, si β=30º, Sen α es igual a:

a. 1/2

b. √2/2c. √3/2d. √3

Pregunta Nº 1

En la siguiente figura, si │OP│ = 10 y Cos α = 4/5 las coordenadas

rectangulares del punto P son:

a. (-4, -3) b. (-8, -6) c. (-4, -5) d. (-8, -10)

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+2Cos%5Calpha

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+Sen%5Calpha

http://moodle2.ula.ve/filter/tex/displaytex.php?%5Cbegin%5Crm%5Cnormalsize+Sen%5Calpha






Tema 4/ Sesión 12

Pregunta Nº 3

En la siguiente figura si │OP│= 2 √3 y O = 300º las coordenadas del

punto P son :

a. (-√3,2) b. (3,- √3) c. (√3,-3) d. (1,-3)

Pregunta Nº 4

Al evaluar la expresión : Tag (108º α) + Tag ( 360º - α ) el

resultado es : 1+ Cos (180º - α)

a. Sen α b. cos α c. -1 d. 0

Pregunta Nº 5

En la siguiente figura el punto P tiene coordenadas ( 2√6 – 5) ,

luego Cos β es igual a :




Tema 4/ Sesión 12

a. -2√6/7 b. -5/7 c. -2√6/5

d. 5/2√6

Pregunta Nº 6

En la siguiente figura α es un ángulo interior y β es una ángulo

exterior del triangulo OBP. Si O es el origen de coordenadas, los

vectores B y P son los puntos B (7,0) y P (3,4), el resultado de la

suma │Cos α + Sen β│ es:

a. 7/3 b. 5 + 4√2 c. 4/5 + √2/2

d. 3/5 + √2/2




antes de continuar.




Tema 4/ Sesión 12




Sesión 12

Respuestas a la Autoevaluación 12

Pregunta Nº 1

a. 1/2

Pregunta Nº 2

b. (-8, -6)

Pregunta Nº 3

c. (√3,-3)

Pregunta Nº 4

d. 0

Pregunta Nº 5

b. -5/7

Pregunta Nº 6

d. 3/5 + √2/2



191 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios

Tema 4/ Sesión 13

Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios

Sesión 13


* Resolver problemas utilizando ángulos mayores a 360° con reducción al primer cuadrante.

Actividades

* Leer apuntes sesión 13. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 13. * Realizar la autoevaluación de la sesión 13.

Recursos

* Apuntes sesión 13. * Ejercicios resueltos sesión 13.

Funciones trigonométricas de ángulos mayores a 360º

Función periódica. Periodicidad de las funciones seno,

coseno y tangente

Cuando se trabaja con ángulos superiores a 360º, las funciones

trigonométricas de dicho ángulo se pueden hallar:

• Utilizando la periodicidad de las funciones trigonométricas

• Por reducción del ángulo al primer cuadrante.

Vamos a comenzar utilizando la periodicidad de las funciones seno

coseno y tangente, trabajando con ángulos medidos en radianes,

aunque se puede trabajar también en el sistema sexagesimal.

Definición 4.5.1. Una función es llamada periódica de período

, si se cumple que

)(tf

p )()( ptftf += para todos los números t y

t+p para los cuales tenga sentido la función.

Ejemplo 13.1

De la definición de las funciones trigonométricas usando la

circunferencia unitaria, surgen identidades importantes.




Tema 4/ Sesión 13

Algunas de ellas, que usaremos para calcular el seno y el coseno de

ángulos mayores que π2 (360º), y que son válidas para todo

número n entero y x real, son las siguientes:

( ) ( )tt cos2cos =+ π ,

( ) ( )tsentsen =+ π2 ,

( ) ( )tnt cos2cos =+ π , (4.5.1)

( ) ( )tsenntsen =+ π2 . (4.5.2)

( ) ( )ttagttag =+ π

( ) ( )ttagnttag =+ π (4.5.3)

Por ello se dice que las funciones trigonométricas seno y coseno son

2 π periódicas y la función tangente es π periódica, y estos

valores son utilizados para hallar las funciones trigonométricas de

ángulos superiores a 360º.

Observación: Se ha definido la periodicidad de las funciones seno

coseno y tangente utilizando el concepto de función seno, coseno y

tangente como tal. En el capítulo VII se revisará el concepto y

gráfica de una función trigonométrica como tal.

Un ejemplo lo representa la función seno definida como f(t) = sen(t),

siendo t cualquier número real (ó en radianes), es 2π periódica

puesto que:

f (t+2π) = Sen(t+2π) = sen(t) = f(t)

En la figura 13.1. se aprecia el significado de estas igualdades. 2 π

radianes es equivalente a una vuelta (360º) en el sistema

sexagesimal; lo que indica que el segmento OP describe el mismo

ángulo t (medido desde el eje x) cada vez que gira 2 π radianes, y

por tanto tiene el mismo valor trigonométrico seno y coseno (y el

mismo punto P).




Tema 4/ Sesión 13

Figura 13.1. Periodicidad de las funciones Seno y coseno

De las ecuaciones anteriores se puede deducir que los valores de las

funciones seno y coseno de un ángulo t, se repiten a medida que

avanzamos en intervalos de longitud 2 π Es decir, el valor del seno

en un ángulo t es el mismo valor del seno en el ángulo t+2 π .

Ejemplo 13.2 Comprobar que la función tangente es π periódica

Solución: Eje y

Considere la función tangente como f(t)= tag(t).

Calcular f(t+π) = tag(t+π)

Por el teorema 4.3.2 y la ecuación 4.3.9 con α=t y 180º = π radianes,

se tiene que:

Tag(t+π) = tag(t)

Lo cual demuestra que la función tag(t) es periódica con p=π.

Ejemplo 13.3

Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

49πsen d) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

29cos π

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

49cos π

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

325πsen

c) ( )π5sen f) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

325cos π

Solución: Utilizando la periodicidad de las funciones seno y coseno,

ecuaciones 4.5.1 y 4.5.2, se tiene que:

Eje x O

P(x,y)=(cos t, sen t) =(cos(t+2π), sen(t+2π))

O 1 -1

y

t x

t+2π




Tema 4/ Sesión 13



a) ( )22

442

448

418

49

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ sensensensensen

b) ( )22

4cos

42cos

448cos

418cos

49cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ

c) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0221225 ==+=+= πππππ sensensensen x

d) ( ) 02

cos2

)2(2cos22

8cos218cos

29cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ

e) ( )23

338

3324

3124

325

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ sensensensensen

f) ( )21

3cos

38cos

3324cos

3124cos

325cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ

1. Reducción de ángulos al primer cuadrante y funciones

trigonométricas

Ahora abarcaremos el problema de encontrar el valor de una

función trigonométrica de un ángulo positivo arbitrario, ya que si el

ángulo es negativo, usamos las relaciones (3.5.1) y la tabla 11.1,

presentadas en el Capítulo III, sección 3.5 (signo de una función

trigonométrica), para luego trabajar con los ángulos positivos

correspondientes.

Dado un ángulo medido en radianes, con t π20 << t . Siempre es

posible encontrar un ángulo entre y s 0 2/π , es decir, en el

primer cuadrante, el cual podemos usar para evaluar las funciones

seno y coseno del ángulo . Este proceso se llama, reducción del

ángulo al primer cuadrante.

tt

Consideremos todos los casos posibles; comencemos con un

ángulo arbitrario en el I cuadrante, luego uno arbitrario en el II

cuadrante, luego uno en el III cuadrante, uno en el IV cuadrante y

finalmente consideraremos cualquier ángulo mayor que π2 .

En lo que resta de la sección vamos a suponer que el ángulo

medido en radianes, tiene la forma

tπrt = , siendo r un número

real.

Caso (i): 0< t < 2π

Sea un ángulo, con t2

0 π<< t , entonces el ángulo está en el

primer cuadrante y las funciones

t

( )tsen y ( )tcos son positivas.


Tema 4/ Sesión 13

Caso (ii): ππ<< t

2

Sea t un ángulo, con ππ<< t

2 , entonces el ángulo t está en el

segundo cuadrante, de manera que ( )tsen es positivo y ( )tcos es

negativo. Los valores respectivos pueden hallarse reduciendo el

ángulo t al primer cuadrante; esto se logra realizando una

transformación ó cambio de variable del ángulo, de la forma:

s = π − t

Ver Figura 13.2.

Eje y

Figura 13.2. Reducción de un ángulo t en el II cuadrante, π/2< t < π, al

primer cuadrante con 0 < s < π/2

Entonces s es un ángulo en el primer cuadrante. El valor de la

función evaluada en va a coincidir con el valor de la función

evaluada en , pero tomando en cuenta el signo de dicha función

(seno, coseno ó tangente) en el segundo cuadrante y que fue

estudiada en el capítulo III, sección 3.5, o utilizando las igualdades

4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 y 4.3.6 definidas en la sección 4.3 de

este capítulo para ángulos suplementarios por defecto.

ts

Eje x O

1

O

t s

A’ A π

s 1 -1

-1

s = π - t




Tema 4/ Sesión 13

Ejemplo 13.4

Calcular sen ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43π

y cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43π

por reducción del ángulo al primer

cuadrante

Solución:

a) 22

443

43

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

π sensensen . En este caso 4

3π=t

y 4π

=s . Note que el seno tiene signo positivo en el segundo

cuadrante.

b) 22

4cos

43cos

43cos −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

π. En este caso

43π

=t y 4π

=s . Note que el coseno tiene signo negativo en el

segundo cuadrante, por tanto se le coloca al evaluar el coseno de

la diferencia.

En general, si está en el segundo cuadrante, realizando la

transformación:

t

ts −= π

Y tomando en cuenta el signo de la función correspondiente, se

obtienen las siguientes ecuaciones:

( ) )(ssentsen = ,

y (4.5.4)

( ) )(coscos st −=

Con 2

0 π<< s

Caso (iii): π < t < 3π / 2

Sea t un ángulo, con π < t < 3π/2 , entonces t está ubicado en el

tercer cuadrante y la transformación a utilizar es:

s = t −π

Ver figura 13. 3.




Tema 4/ Sesión 13

Figura13.3. Reducción de un ángulo t en el III cuadrante,

π < t < 3 π / 2, al primer cuadrante con 0 < s < π / 2

En este caso, s estará en el I cuadrante y como t está en el III

cuadrante, se tienen las siguientes relaciones:

( ) )(ssentsen −= , (4.5.5)

( ) )(coscos st −= ,

Pues tanto el seno como el coseno toman valores negativos en el

tercer cuadrante.

Eje y Ejemplo 13.5


⎜⎝⎛

43π

y cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

43π

, usando reducción al primer

cuadrante

Solución:

a) 23

334

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ sensen . Note que 3

4π=t está en el III

cuadrante, entonces 33

4 πππ=−=s .

b) 21

3cos

34cos −=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ. Note que

34π

=t está en el III

cuadrante, entonces 33

4 πππ=−=s

Caso (iv): ππ 22

3<< t

Eje x O

t s

O s

s = t - π




Tema 4/ Sesión 13



Sea t un ángulo, con 3π / 2 < t < 2π, entonces t está en el IV

cuadrante. En este caso, realizamos la transformación: s = 2π −t

(ver figura 13.4)

Como en este cuadrante el coseno es positivo y el seno es negativo,

tenemos las siguientes relaciones:

( ) )(ssentsen −= , (4.5.6)

( ) )(coscos st =

Con s un ángulo en el primer cuadrante.

Figura 13.4. Reducción de un ángulo t en el IV cuadrante, 3π/2 < t < 2π, al

primer cuadrante con 0 < s < π/2

Ejemplo 13.6


⎜⎝⎛

35π

y cos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

35π

usando reducción al primer cuadrante

Solución:

Sea 3

5π=t (300º sexagesimales) que está en el IV cuadrante,

entonces, para reducir al primer cuadrante, hacemos: t

33522 ππ

ππ =−=−= ts

Entonces,

a) 23

335

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ sensen

b) 21

3cos

35cos =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ

Note que 3/5π está en el cuarto cuadrante, pues

ππππππ 2

612

35

610

69

23

=<=<= .

Eje y

Eje x O

t s

-s O

s = 2π - t


Tema 4/ Sesión 13



Caso (v): t > 2π

Si tenemos un ángulo t mayor que π2 , entonces descomponemos t

como:

t = (2 π)n + s

Donde n indica el número de vueltas a dar alrededor del origen y s

el ángulo que le falta a (2 π)n para llegar a ser t. De esta forma, t va

a ser congruente al ángulo s (ver Figura 13.5).

Figura 13.5. Reducción de un ángulo t > 2π (ángulo mayor a 360º)

a un ángulo s en cualquier cuadrante del sistema, 0 < s < 2π

Las funciones trigonométricas del ángulo t serán las mismas del

ángulo s congruente.

Ejemplo 13.7

Dado el ángulo t =2

23π, determine el número de vueltas y el

ángulo s congruente con t

Si 2

23π=t , entonces como

2310

2)320(

223 π

πππ

+=+

=

23)2(5

223 π

ππ

+= ,

De donde n = 5 y s = 3π/2, lo cual nos indica que el ángulo t lo

formamos dando 5 vueltas alrededor del origen en sentido

antihorario y luego avanzar 2/3π radianes.

Luego, con este ángulo se pueden evaluar las funciones

trigonométricas como en cualquiera de los casos anteriores.

s

Ejemplo 13.8

Calcular sen ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2

23π y sen ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛6

13π usando la reducción

correspondiente

Eje y

Eje x O

t

s

O

s = 2π - t


Tema 4/ Sesión 13

Solución:

a) 123

23)2(5

223

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

π sensensen . Note que se dan 5

vueltas y restan 3π/2 radianes.

b) 21

662

6612

6)112(

613

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πππ

ππππ sensensensensen . Note que

se gira una vuelta y restan π/6 radianes.

Las herramientas anteriores se pueden aplicar en el cálculo de los

valores de las funciones: tangente, secante, cosecante y

cotangente, realizando antes el despliegue de la función, para

escribirlas usando las funciones seno y coseno.

Ejemplo 13.9 Hallar el valor de las funciones trigonométricas

a) tag ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

611π

,

b) sec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

47π

,

c) cosec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

223π

y

d) cotag ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

613π

usando las igualdades y reducciones

correspondientes.

Solución:

En este ejemplo se hallarán algunos valores de funciones

trigonométricas, describiendo, en el lado derecho de la ecuación,

cada paso efectuado.

a)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

611cos

611

611

π

ππ

sentag (Despliegue de la función)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

6112cos

6112

ππ

ππsen

(11π/6 está en el IV cuadrante)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

6cos

6π

πsen (Reducción al I cuadrante)




Tema 4/ Sesión 13

2321

−= (Evaluación de las funciones usando tablas)

33−

= (Simplificación y resultado final)

b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

47cos

14

7secπ

π (Despliegue de la función)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=

472cos

1π

π (7π/4 está en el IV cuadrante)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4cos

1π (Reducción al I cuadrante)

221

= (Evaluación de las funciones usando tablas)

2= (Simplificación y resultado final)

c) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

2231

223cos

ππ

senec (Despliegue de la función)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

23

220

1ππsen

(23π/2 es mayor que 2π)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

23

1πsen

(Seno es periódica)




Tema 4/ Sesión 13

11−


= (Simplificación y resultado final) 1−

d)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

613

613cos

613cot

π

ππ

senag (Despliegue de la función)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

6612

6612cos

ππ

ππ

sen (13π/6 es mayor que 2π)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

6

6cos

π

π

sen (Reducción al I cuadrante. Seno y

coseno son periódicas)

2123


3= (Simplificación y resultado final)




Tema 4/ Sesión 13



1. Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas usando

la propiedad y reducción correspondiente.

a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322 π

πsen ll) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322sec π

π

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342 π

πsen m) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342sec π

π

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672 π

πsen n) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672sec π

π

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5sen ñ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5sec

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322cos π

π o) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322cos π

πec

f) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342cos π

π p) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342cos π

πec

g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672cos π

π q) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672cos ππec

h) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5cos r) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5cosec

i) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322 π

πtag s) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

322cot π

πag

j) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342 π

πtag t) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

342cot π

πag

k) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672 π

πtag u) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

672cot π

πag

l) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5tag v) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − π

π 23

5cotag

2. Usando la propiedad y reducción correspondiente calcular el

valor de las siguientes funciones trigonométricas:

a) Sen (11π)

4

b) Cos (8 π)

3

c) Tag (19 π)

6

d) Sec (10 π)

3

e) Cotag (11 π)

3

f) Cosec(1500º)




Tema 4/ Sesión 13

g) Sen(4680º)

h) Tag(11 π)

2

i) Sec (7 π)

j) Cos (1620º)

k) Sen (1710º)

l) Cosec (10 π)

3. Resolver las siguientes expresiones, usando la propiedad y

reducción correspondiente:

a) Cos 1620º + Sen 1710º

Cos 4680º - Sen 630º

b) Sec 7π – Tag (17 π/4)

+ Cosec (1470º)

c) √ Tag²(1500º) + Sen 1170º

d) Cotag (15π) – Sec (11π)

Sen 8 π + Tag 19 π




Tema 4/ Sesión 13


Sesión 13

Autoevaluación 13

Pregunta Nº 1

Al calcular el valor numérico de Sen (4620º) el resultado es: a. 0 b. -1 c. -1/2 d. -√3/2

Pregunta Nº 2 Al resolver la expresión Sec (9π) – Cotag (13 π/4) 1+ Sen (4680º) a. 0 b. -1 c. 1 d. -2

Pregunta Nº 3

El valor numérico de Cotag (11 π)

6

a. 1 b. 1/3 c. _ √3/2 d. _ √3/3

Pregunta Nº 4

En la siguiente figura y β son ángulos inferiores del triangulo OAB.

Si O es el origen de coordenadas A (11, 0) y B (8, 6), el resultado de

la suma Cos + Tag β es:




Tema 4/ Sesión 13

a. 11/4 b. 14/5 c. 10+2 √10 d. 9/10 Pregunta Nº 5 Al calcular la diferencia Sec (12π) – Tag (11π) el resultado es:

a. 1 b. -1 c. 0 d. no existe




antes de continuar.




Tema 4/ Sesión 13


Sesión 13

Respuestas a la Autoevaluación 13

Pregunta Nº 1

d. -√3/2

Pregunta Nº 2

d. -2

Pregunta Nº 3

d. _ √3/3

Pregunta Nº 4

b. 14/5

Pregunta Nº 5

a. 1



guía didáctica: trigonometría - universidad de los …críticos) a través de clases...

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