guia de geometria analitica

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA

CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”

Departamento de Matérias Básicas

GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa

33ºº.. SSeemmeessttrree

GUÍA DE APRENDIZAJE Alma Alicia Benitez Pérez. Ofelia Santiago Escoto. J. Ventura Ángel Felícitos.

Guía de Estudio

Geometría Analítica

A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino

Objetivo General del Curso. El curso permitirá al alumno introducirse al estudio de los sistemas de coordenadas y los métodos de la Geometría Analítica, favoreciendo el uso e integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría y trigonometría y al mismo tiempo. El desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde un enfoque geométrico analítico y a su vez facilite a futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica. Justificación. El desarrollo del programa de Geometría Analítica se centra fundamentalmente en el planteamiento y solución de problemas, que promoverán las habilidades del pensamiento tales como: análisis, interpretación y síntesis, así como las preceptúales y también las de elaboración de conjeturas, argumentación, abstracción y generalización, incorporando con ello las líneas de orientación curricular propuestas en el modelo educativo. Indicaciones Generales. En este guía se presentan definiciones breves de cada uno de los temas del programa de Geometría Analítica por unidades, así como ejercicios resueltos, presentando un desarrollo claro de cada uno de ellos. Igualmente se integran ejercicios para su solución, con los cuales los alumnos podrán reforzar los conocimientos adquiridos.

Guía de Estudio



PROGRAMA

UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. Objetivo: conocer el plano cartesiano, la representación de los puntos en el, para calcular distancias, perímetros y áreas, así como la división de un segmento en una razón, que tenga aplicación en problemas teóricos, como en la vida real. 1.1 Distancia Entre Dos Puntos. 1.2 Perímetros y Áreas de Figuras Rectangulares. 1.3 División de un Segmento en una Razón Dada. 1.4 Aplicaciones. UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. Objetivo: desarrollar habilidades para analizar y describir las relaciones existenciales entre subconjuntos de puntos en el plano que cumple con una condición y las ecuaciones que los definen, para así comprender los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. 2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. UNIDAD 3. LA RECTA. Objetivo: identificar, obtener y transformar las diferentes formas de la recta, para interpretar y resolver problemas. 3.1 Formas de la Ecuación de la Recta. a) Punto Pendiente. b) Pendiente Ordenada al Origen. c) Abscisa y Ordenada al Origen. d) Ecuación General. e) Ecuación Normal.

Guía de Estudio



f) Distancia de un Punto a una Recta. 3.2 Aplicaciones. UNIDAD 4. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES. Objetivo: deducir y aplicar las ecuaciones de las cónicas incluida la circunferencia en la resolución de problemas teóricos y de la vida real. 4.1 Circunferencia. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Circunferencia, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Circunferencia. e) Aplicaciones. 4.2 Parábola. a) Con Vértice en el origen. b) Con Vértice Fuera del Origen. c) Dada la Parábola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Parábola. e) Aplicaciones. 4.3 Elipse. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Elipse, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Elipse. e) Aplicaciones. 4.4 Hipérbola. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Hipérbola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Hipérbola. e) Aplicaciones.

Guía de Estudio



UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Objetivo: conocer la importancia de las coordenadas polares y la relación con el plano cartesiano con la finalidad de resolver problemas teóricos y de la vida real. 5.1 Relación de Sistemas Rectangulares y Polares. 5.2 Trazo de Gráficas en el Sistema Polar. 5.3 Transformación de Ecuaciones de Segundo Grado con Dos Variables, de Rectangulares a Polares y Viceversa. UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. Objetivo: aplicar ecuaciones paramétricas en la resolución de problemas teóricos y reales. 6.1 Gráficas de Curvas en Forma Paramétrica 6.2 Ejercicios de Eliminación del Parámetro. 6.3 Aplicaciones en la Física. BIBLIOGRAFIA.

1) Geometría Analítica. Lehmann Charles H. LIMUSA. 2) Geometría Analítica. Joseph Kindle Mc. Graw Hill (libro de

texto). 3) Geometría Analítica. Gordon Fuller CECSA.

UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS.

1.1 Sistema Coordenado Bidimensional (Plano). Ejemplo. Trazar en el plano coordenado los siguientes puntos.

1) P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué figura representa?

Guía de Estudio



−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

P

Q

R

S

Un cuadrado

1.2 Distancia Entre Dos Puntos. Definición: Si )y,x( 11 y ( )y,x 22 son las coordenadas de dos puntos, la distancia entre ellas está dad por:

212

212 )yy()xx(d −+−=

Ejemplos. 1) Encontrar la distancia del segmento de recta definida por los puntos A (-2, 5) y B (12, -15).

Guía de Estudio



B(12,-15)

2

4

2

4x

y

A(-2,5)

0

A) Comprensión

212

212 )()()( yyxxABd −+−=

B) Planteamiento

uABdABa

ABd

ABd

41.24)(596)(

)20()14()(

)515())2(12()(22

22

==

+=

−−+−−=

2) Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su perímetro.

Guía de Estudio



D(3,8) C(9,8)

A(2,3) B(7,3)

x

y

0 Solución:

A) comprensión

B) Planteo Se determinan las distancias de los lado, para el perímetro

C) Resultados Distancia AB = 22 )33()71( −+−

= 0)6( 2 +− = 6 Distancia DC = 22 )88()93( −+−

= AB

3) Comprobar que los puntos A(1,1), B(0,5) y C(-3,0) son los vértices de un triángulo rectángulo. Dibujar las alturas del triángulo y calcular sus longitudes.

Guía de Estudio



B(0,5)

A(1,1)

C(-3,0) 0 x

y

A) Comprensión Por la distancia de vértice a vértice o longitudes de sus lados y le teorema de Pitágoras.

B) Planteamiento

17116)1()31(

17161)51()1(

34259)5()3(

:)()()(

22

22

22

222

=+=++=

=+=−+=

=+=+−=

+=

AC

AB

CB

LuegoACABCB

171734)17()17()34( 222

+=+=

Lo que se quiere demostrar

1.3 División proporcional de un segmento de recta.

Guía de Estudio



Definición: Las coordenadas del punto 0P que divide al segmento 21PP en la

proporción 2

1

rr están dadas por:

21

12210 rr

rxrxx++

= y 21

12210 rr

ryryy++

=

Ejemplos. 1) Si B es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos ),( 11 yxA y

)( 2,2 yxC , determinar las coordenadas de B.

A) Comprensión Supongamos que B tiene de coordenadas (x,y) y puesto que B es un punto medio del segmento AC, se tiene:

AB = BC

Y por lo tanto

1====BCBC

ABAB

BCABr

sustituyendo este resultado en las formulas :

1,1

21 −≠++

= rrryx

x 1,1

21 −≠++

= rrryy

y

Se tiene que:

211)(1 2121 xxxx

x+

=+

+=

2121

11)1(

yyyy

y +=+

+=

Guía de Estudio



2) Si el punto P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos de un segmento dirigido P1P2, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón P1P: PP2 =-3.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

P1

P2

P

PLANTEAMIENTO: r =P1P/ PP2=(x-x1)/(x2-x)=-3 ; r = P1P/ PP2=(y-y1)/(y2-y)=-3 DESARROLLO: (x +4)/(4-x)=-3; (y-2)/(6-y)=-3; x +4=-3(4-x); y-2=-3(6-y)

X +4=-12 +3x; y-2=-18 +3y 3x-x =4+12; 3y-y =-2+18 2x=16; 2y=16 x =8 ; y =8

Guía de Estudio



3) Los vértices de un triángulo son A (-1,3); B (3,5) y C (7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

2

−1

1

2

3

4

5

x

y

B

D

A

E

C

PLANTEAMIENTO: xD =(x1+ x2)/2; yD =(y1+ y2)/2; xE =(x1+ x2)/2; yE =(y1+ y2)/2; d =√((x2-x1)2+(y2-y1)2). DESARROLLO. xD =(3-1)/2; xD =2/2; xD =1. yD =(5+3)/2; yD =8/2; yD =4. xE =(3+7)/2; xE =10/2; xE =5.

yE =(5-1)/2; yE =4/2; yE =2. DE =√((5-1)2+(2-4)2); DE =√(42+(-2)2); DE=√(16+4); DE=√20; DE=4.472 u. AC/2=(√((7-(-1))2+(-1-3)2)/2; AC/2=(√(82+(-4)2))/2; AC/2=(√(64+16))/2; AC/2=(√80)/2; AC/2=8.944/2; AC/2=4.472 u. Demostrado.

Guía de Estudio



Ejercicios Propuestos.

1) A (0,0); B (3,4); C (8,4) y D (5,0) y; une los puntos indicados, ¿qué figura representa? Sol. » Un paralelogramo.

2) Uno de los dos extremos de un segmento es el punto P (7,8) y su punto medio M (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo Q. Sol. » Q (1, -2).

3) Una circunferencia tiene como diámetro al segmento con extremos P (-

3,4) y Q (5,-2). Encuentra las coordenadas del centro y el radio. Sol. » C (1, 1) y r =5 u.

4) Calcular el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(-

8,2), B(-1,5), C(7,-1) y D (-2,-6) y las longitudes de los lados AD y BC.

Sol.

uBC

uAD

uA

10

10

84 2

=

=

=

5) El segmento que une A(-2,-1) con el punto B(3,3) se prolonga hasta C.

Sabiendo que BC = 3AB, determinar las coordenadas del punto C. Hacer gráfica.

Sol. c(18, 15).

6) Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al

segmento formado por A82,-4) y B(8,12).

Sol. )3

20,6()34,4( 21 yPP .

7) Los puntos M(2,-1) y P (-2,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo. Hallar sus vértices.

Sol. A(-5,7), B(3,1) y C(1,-3)

Guía de Estudio



UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS.

2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. Ejemplos. 1) Construir la curva cuya ecuación es: 1=xy .

Primer Paso. Intersección con los ejes. x

y 1= ; si x =0 es infinito; y si

yx 1= ; y

=0 es también infinito; por lo tanto no pasa por el origen.

Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; x

y−

=1 ; como se altera la

ecuación; entonces la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por

–y; y

x−

=1 ; también se altera, por lo tanto la curva tampoco es simétrica con el

eje x. consecuentemente no hay simetría con el origen.

Tercer Paso. Extensión de la curva: x

y 1= ; para “x” todos los nos. Reales

excepto x =0 y; y

x 1= ; todos los nos. Excepto en y =0.

Cuarto Paso. Asíntotas. x

y 1= ; x ‡0; entonces se tiene una asíntota vertical en x

=0 y; y

x 1= ; y‡0, entonces se tiene una asíntota horizontal en y =0.

Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para x

y 1= ; Sí x =2 ; y =0.5 ; x =-

2 ; y =-0.5 ; ahora si y

x 1= ; y =2 ; x =0.5 ; y =-2 ; x =-0.5 ; etc.

−3 −2 −1 1 2 3 4

4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Guía de Estudio



2) Construir la curva cuya ecuación es: 32 xy = . Primer Paso. Intersección con los ejes. 3xy = ; si x =0; y =0; y si 3 2yx = ; si y =0; x =0; por lo tanto, pasa por el origen.

Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; ( )3xy −= ; la ecuación se altera; por lo tanto la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por –y;

( )3 2yx −= ; la ecuación no se altera; por lo tanto, la curva es simétrica con el eje x. Tercer Paso. Extensión de la curva: 3xy = ; x≥0 y; para 3 2yx = ; y son todos los nos. Reales. Cuarto Paso. Asíntotas. La ecuación no tiene denominadores ni para “x” ni para “y”. Por lo tanto, no hay asíntotas. Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para 3xy = ; si x =1; y =1; si x =2; y =2.8; x =3; y =5.2; si x =4; y =8. etc.

−1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

Guía de Estudio



2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. Definición: Para obtener la ecuación de un lugar geométrico:

• Se escogen los ejes coordenados que simplifiquen la forma de la ecuación resultante.

• Después de construir los ejes, se ubica el punto P(x,y) cuyo lugar geométrico se desea determinar en una posición representativa.

• Se expresa la solución que P debe cumplir en función de las coordenadas (x,y) y de otras constantes cualquiera que aparezcan en la definición del lugar geométrico.

Ejemplos.

1) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al punto (-4,0) sea igual al valor absoluto de su distancia al eje y.

Solución Sea P(x,y) un punto del lugar geométrico. Sea A el punto (-4,0) y B el pie de la perpendicular de P al eje y

La condición dada es, entonces, PA=PB

De donde;

22)4( yxPA ++= De acuerdo con la definición de abscisa, la distancia de P al eje y es x. Por tanto PB= x Utilizando (1),(2) y (3) se tiene

xyx =++ 22)4( Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado y simplificando, se obtiene y²+8x+16=0

Guía de Estudio



2) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (-1,2) y B (4,-1).

−1 1 2 3 4 5

3

−2

−1

1

2

3

x

y

A

B

PLANTEAMIENTO: Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces PA =PB;

( ) ( )22 21 −++= yxPA ; ( ) ( )22 14 ++−= yxPB . DESARROLLO:

( ) ( ) ( ) ( )2222 1421 ++−=−++ yxyx ;

12168

4412

22

22

++++−

=+−+++

yyxx

yyxx

0121684412

2

222

=−−−−+

−+−+++

yyxxyyxx

012610 =−− yx ; 0635 =−− yx ;

365 −

=xy ;

si x =0, entonces y =-2 y, si x =3, entonces y =3.

Guía de Estudio



3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje “y” es siempre igual a su distancia del plano A (4, 0). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico y, sea B el pie de la perpendicular bajada de P al eje “y”. Entonces PB = PA; por definición PB = x y PA =√((x-4)2+(y-0)2); de donde x =√((x-4)2+y2); x2 =x2-8x+16+y2;

8x-16 =y2; y2-8x+16=0;

8162 +

=yx ;

si y =0 entonces x =2; si y =±2 entonces x =2.5; si y =±4 entonces x =4

1 2 3 4 5 6

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

A

BP

Guía de Estudio



4) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

bcac mm =

12

12

xxyym

−−

=

13

+−

=xymAC

51

−−

=xymBC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=+−

512

13

xy

xy

( )( ) ( )( )11253 +−=−− xyxy 22221535 −+−=+−− yxxyxyxy

021525232 =++−−+−− yyxxxyxy 0177 =+−−− xyxy

0177 =−++ yxxy

717+−

=x

xy

si x =0 entonces y =2.4 si x =3 entonces y =1.4 si x =-3 entonces y =5 si x =-7 entonces y =∞ se tiene una asíntota vertical. Y en y =-1 se tiene una asíntota horizontal.

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

1

2

3

4

5

6

x

y

A

B

Guía de Estudio



5) Los extremos A y B de una barra de longitud 21 se mueve a lo largo de los ejes coordenados. ¿ Qué lugar geométrico describe C. Punto medio de la barra? Solución Dada la figura de acuerdo a las condiciones del problema

La figura da: X= tcosΦ Y= tsenΦ Las ecuaciones representan paramétricas representan el lugar geométrico buscado.

El ángulo Φ se llama parámetro De las ecuaciones se tiene

;cosφ=tx φsen

ty=

de las cuales

φ22

2

cos=tx φ22

2

senty

=

Y sumando

12

2

2

2

=+ty

tx

o sea, x²+y²=t² C describe, pues una circunferencia de centro (0,0) y radio 1.


Guía de Estudio



1) Construir la curva cuya ecuación es: a) 022 =−− yxyx b) 032 =−− yxy c) 012 =−− xxy d) 04 24 =−− yxx 2) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “y” disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje “x”. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Sol. » x-2y-3 =0. 3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4, 1) es siempre igual a su distancia del eje “y”. Sol. » 0172922 =+−−+ yxyx .

4) Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (-3, -2). A partir d su definición, hallar la ecuación de esta circunferencia. Sol. » 044622 =++++ yxyx .

5) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “x” es siempre igual a su distancia del punto A (0, 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Sol. »

01682 =+− yx .

6) Determinar la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (2,4) y (2,-2) es siempre igual a 8. Sol. 0411464716 22 =−−−+ yxyx 7) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C, si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC. Sol. xy + x +7y – 17=0

UNIDAD 3. LA RECTA.

Guía de Estudio



3.1 Inclinación y Pendiente. Definición: La inclinación (α ) es el ángulo( menor de 180° y medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) formado por una recta y por la parte positiva del eje X La pendiente (m ) de la recta que pasa por dos puntos está expresa por

12

12

xxyytanm

−−

=α=

Si dos rectas con pendiente 1m y 2m no nulas, son perpendiculares, sus

pendientes son recíprocas opuestas o negativas, entonces 1

21

mm −= y

121 −=mm Ejemplo. Una recta 1l pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y otra recta, 2l , pasa por el punto C(-7,1) y por el punto D cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que 1l perpendicular a 2l . Puesto que

12

12

xxyy

m−−

=

se tiene que

78

4362

1 =++

=m

........(1)

xxm

+=

−−+

=7

77

612

Ahora bien, si dos rectas perpendiculares se debe satisfacer

121 −=mm ........ (2) sustituyendo (1) en (2) se tiene:

,1)7

7)(78( =

+ x

de donde resulta: x=1

3.2 Angulo entre rectas.

Guía de Estudio



Definición: Si β es el ángulo formado por las rectas 1l y 2l con pendientes 1m y

2m respectivamente, entonces el ángulo que forman está dado por

21

12

1 mmmmtan

+−

=β

Ejemplos. 1) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7); La recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A.

Planteamiento

Llamemos B(3,9), C(9,7) y D(-2,1) los puntos dados, y si, designamos por 1my por 2m las pendientes de CD y AB respectivamente, entonces

116

116

9271

1 =−−

=−−−

=m .......(1)

puesto que ω = 45° se tiene que tan 45° = 1 .........(2) y como

12

12

1tan

mmmm

+−

=ω .......(3)

sustituyendo (1) y (2) en (3), obtenemos:

517

1161

1116

=−

+=m ..........(4)

y puesto que

12

12

xxyy

m−−

=

se tiene

11222 )( yxxmy +−= .........(5) Resultado

Sustituyendo (4) y las coordenadas de A y B en (5) resulta:

89)32(5

172 −=+−−=y

3.3 La recta como una curva de pendiente constante.

Guía de Estudio



Definición: Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, se toman dos puntos P( ),( 11 yx y Q ),( 22 yx de la recta, formándose un triángulo rectángulo. Si se toma otro par de puntos 1P y 1Q en la misma recta, se obtiene otro triángulo rectángulo, el cual es semejante con el anterior. Y por tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta es constante y puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.

1

1

xxyy

m−−

=

3.4 Condiciones que determinan una recta.

Guía de Estudio



Definición: Por dos puntos, pendiente y un punto Ejemplos. 1) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos

i) (3,4), (1,-2) ii) (0,-5), (2,1) iii) (4,7), (0,-5)

Comprensión Se identifican los puntos en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por esos puntos

Planteamiento Se sustituye cada una de las combinaciones de puntos en la fórmula de la pendiente

1

1

xxyy

m−−

=

Resultado

326

13)2(4

==−−−

=m

326

2015

=−−

=−−−

=m

34

1204

)5(7==

−−−

=m

Guía de Estudio



2) Trabajando sólo con el valor de la pendiente y el valor del punto que se proporciona graficar las siguientes rectas:

a) Trazar la recta de pendiente igual a 2, y que pasa por el punto por el punto Q(3,5)

Para graficar sin tabular se localiza el punto en un plano cartesiano para tomarlo como referencia para posteriormente trabajar con el valor de la pendiente.

b) Trazar la recta de pendiente igual a 2/3 y que pasa por el punto (0,-2)

32

=m P(0,-2)

Guía de Estudio



3.5 Formas de la Ecuación de la recta. Definición: Forma de punto y pendiente

)( 11 xxmyy −=−

Pendiente Intersección

bmxy +=

Forma de dos puntos

21

21

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

Forma con dos intersecciones 1=+

by

ax

Forma General

0=++ CByAx

en donde A, B y C son constantes

arbitrarias, m= BA

− y su ordenada al

origen BCb −=

Ejemplos. Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las

pendientes indicadas: a) (-3,2), m= 32

, b) (2,4), m=3

a) (-3,2), m= 32

,

a) Comprensión

La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura

b) Planteamiento

)3(322 +=− xy o 2x – 3y + 12 = 0

Guía de Estudio



b) (2,4), m=3. a) Comprensión


b) Planteamiento

y-4 = 3(x-2) o 3x-y-2 = 0

c) Hallar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación

es 2x + 3y – 12 =0. a) comprensión

Despejamos y en la ecuación 2x + 3y – 12 =0

y= 432

+− x de donde m= 32

− y b=4

b) Planteamiento

Guía de Estudio



d) Hallar la ecuación de la recta determinada por los dos puntos (-2,-2) y (5,2) . a) Comprensión


b) Planteamiento

67414784

)2(7)2(45222

22

21

21

1

1

=−−−=−−

+−=+−−−−−

=++

−−

=−−

yxyx

yxxy

xxyy

xxyy

e) Cambiar la ecuación 4x – 5y – 8 = 0 a su forma de dos intersecciones. a) Comprensión

15

82

1

18

52

854

=−

+

=+

=−

=−

yxby

ax

yxyx

Guía de Estudio



f) Los vértices de un cuadrilátero son: A(-2,1), B(2,5), C(9,6) y D(7,2). Determinar:

a) La pendiente del lado BC b) La ecuación del lado BC c) La ecuación del lado CD d) El punto medio del lado AB e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del

lado AB f) La ecuación del lado AB en la forma:

i) Pendiente- ordenada al origen ii) General iii) Simétrica y iv) Determinar la abscisa y ordenada al origen

g) La ecuación del lado CD en forma simétrica

Solución

a) Comprensión: El cuadrilátero antes citados, se ilustra a continuación.

a) La pendiente del lado BC Planteamiento

Resultado La pendiente del lado BC es:

Guía de Estudio



12

12

xxyym

−−

= 2956

−−

=m

71

=m

b) La ecuación del lado BC

Planteamiento De la ecuación de la recta se conoce la pendiente y dos puntos.

)2(

715

)( 11

−=−

−=−

xy

xxmyy

Resultado

033723572)5(7

)2(715

=+−−=−−=−

−=−

yxxyxy

xy

c) La ecuación del lado CD Planteamiento La ecuación de la recta tiene la forma

)7(79262

)( 112

121

−−−

=−

−−−

=−

xy

xxxxyyyy

Resultado

1422

)7(242

−=−

−=−

xy

xy

De donde la ecuación 2x-y-12=0

d) El punto medio del lado AB

Planteamiento A(-2,1) y B(2,5)

222

212

+−=

+=

m

m

x

xxx

2512

12

+=

+=

m

m

y

yyy

Resultado

020==mx 3

26==my

La pareja ordenada del punto medio es

)3,0(mP

e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del

lado AB

Guía de Estudio



Planteamiento D(7,2) y )3,0(mP

)0(07323

)( 112

121

−−−

=−

−−−

=−

xy

xxxxyy

yy

Resultado

xyxy

xy

−=−−=−

−=−

217)3(7

713

La ecuación es: x+ 7y –21 = 0

f) La ecuación del lado AB ecuación de la recta en la forma :

i) Pendiente-ordenada al origen ii) General iii) Simétrica iv) Determinar la abscisas y ordenada al origen

Planteamiento A(-2,1) y B(2,5)

)2(441

))2(()2(2

151

)( 112

121

+=−

−−−−−

=−

−−−

=−

xy

xy

xxxxyy

yy

y-1 = x+2

Resultado Pendiente – Ordenada al Origen

3+= xy General

x- y + 3 = 0

Simétrica x- y = -3

333

−=−

−−

yx

Abscisa al origen = -3 Ordenada al origen = 3

g) La ecuación del lado CD en forma simétrica.

Planteamiento C(9,6) y D(7,2)

Resultado

2x- y = 12

la ecuación pedida es

Guía de Estudio



01221422

)7(79262

)( 112

121

=−−−=−

−−−

=−

−−−

=−

yxxy

xy

xxxxyyyy

1126

=−yx

3.6 Forma Normal de la ecuación de la recta. Definición: Una recta está determinada por dos cantidades: (1) la distancia perpendicular desde el origen hasta la recta y (2) el ángulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X.

Ecuación de la Forma Normal pysenx =+ ωωcos

Fórmula de conversión de la 022=

+±

++

BACByAx

forma general a la forma normal

Ejemplos. Cambiar las siguientes ecuaciones a su forma normal:

a) 3x + 4y +5 = 0 b) 5x-12y –10=0 c) –5y + 7= 0 d) –3x-2 =0

Solución a) A=3 y B=4, aplicando la fórmula antes descrita se tiene:

05

54343

5432222

=++

=+

++=

+±

++ yxyxBACByAx

b) 013

1012514425

10125=

−−−

=+−−− yxyx

c) 057

2575

=−=−

+− yy

d) 032

923

=+=−

−− xx

Guía de Estudio



3.7 Distancia de un punto a una recta. Definición: Fórmula de la distancia de un punto a una recta

22

1111 cos

BA

CByAxpsenyxd

+±

++=−+= ωω

Ejemplo. Hallar las distancias desde los puntos (2,3) y (1,-4) hasta la recta 3x – 4y –8 =0. Planteamiento

Resultado Empleando la fórmula antes mencionada se tiene que:

05

843169

843

022

=−

−−+−−−

=+±

++

yx

yxBACByAx

Sustituimos a x=2 y y=3 para obtener la distancia desde (2,3)

514

58)3(4)2(3=

−−−

=d

El signo de d nos indica que el punto (2,3) está arriba de la recta. Sustituir a x=1 y y=-4 para obtener la distancia desde (1,-4)

511

58)4(4)1(3

−=−

−−−=d

El signo negativo indica que el punto está debajo de la recta

Guía de Estudio



3.8 Sistemas de Rectas. Definición: Una ecuación de primer grado en x y y que contiene una constante, representa un sistema de rectas y la constante arbitraria es un parámetro. Ejemplo. Escribir la ecuación del sistema de rectas paralelas a la recta 2x – 3y + 6= 0. Hallar la ecuación del sistema que pasa por el punto (4,3). Solución Cualquier recta paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente y se puede escribir como

2x – 3y = k Por lo que para cada valor de k esta ecuación representa una recta con

pendiente constante igual a 32 . Esto

dará un sistema de rectas paralelas a la recta dada con k como parámetro

Para obtener una recta del sistema que pase por el punto (4,3), se sustituye esas coordenadas en la ecuación del sistema a fin de encontrar el valor de k.

1)3(3)4(2

32

−==−

=−

kk

kyx

La ecuación pedida será

2x – 3y + 1= 0

Guía de Estudio



3.9 Rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas. Definición: La ecuación para hallar el sistema de rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas es 0)(( 222111 =+++++ CyBxAkCyBxA . Ejemplos 1) lar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas x – 2y + 4 = 0 y 2x + y + 6=0 y por el punto (3,-2). Solución Se escribe la ecuación del sistema de rectas que pasa por la intersección de las rectas dadas:

0)62()42( =++++− yxkyx Para escoger la recta del sistema que pasa por el punto (3,-2), se obtiene a k sustituyendo x=3 y y=-2 en la ecuación

(3+4+4)+ k(6-2+6)=0

10 K = -11 o k=1011

−

y este valor de k lo reemplazamos en la ecuación del sistema para obtener la recta solicitada

0263112

0)62(1011)42(

=++

=++−+−

yx

yxyx

2) Obtener ecuación de la recta que tiene pendiente 34 y pasa por la intersección

de las rectas 4x – 5y – 5 = 0 y 2x + 3y –11 = 0. Solución Aplicando la ecuación antes descrita se tiene:

0511)53()24(0)1132(554

0)( 222111

=−−−++=−++−−

=+++++

kykxkyxkyx

CyBxAkCyBxA

Se despeja para obtener la ecuación de la recta y = mx + b

53511)

3524(

−+

+−+

=kkx

kky

Entonces la pendiente es m = kk

3524

−+ .

Esta de debe ser igual a 34 y, así ,

kk

3524

−+ =

34 y k=

34 , Se sustituye este

valor de k y la ecuación se conviertes en:

0893344

0)1132(94)554(

=−−

=−++−−

yx

yxyx


Guía de Estudio



1.- Hallar el valor de la ordenada para que la recta que pasa por los puntos (3,y) y (-4,5) forme un ángulo de 135° con la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (9,1) Sol. y=9 2.- Determinar el valor de los coeficientes de A y B de la ecuación Ax – By + 4 =0. De una recta. Si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6) Sol. A= 29/19 B= 16/19 3.- Encontrar las ecuaciones de las medianas y un punto de intersección del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3,-2), B(-3,6) y C(4,4) 4.- Para un triángulo equilátero ABC, se conoce la ecuación de la lado AC: 2x – 3y –5 =0, y la del lado AB: x + y +1=0; Obtener la ecuación del lado BC si se sabe que éste pasa por el punto (1,1) Sol. 17x + 7 y –24 = 0 5.- Dados dos vértices de un cuadrado A(-1,3) y B(6,2) , determinar las ecuaciones de sus lados. Sol. 3x-4y+15=0; 4x+3y-30=0; 3x-4y-10=0, 4x+3y-5=0 6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-2) y determina sobre los ejes coordenados dos segmento cuya suma algebraica es 12. Sol. x-5y-15=0; 2x+y-8=0 7.- Se instala una empresa con una inversión de $ 50, 000, el costo de producción de un artículo es de $3,00 y se venderá al mercado en un precio unitario de $4,50. Determina la ecuación que representa la ganancia considerando que los artículos producidos son igual a los vendido y cuantos artículos hay que producir para tener una ganancia de $ 10,000. Sol. y =1.50x-5000 X= 40 000 artículos 8.- La pendiente de la recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a ¾. Hallar las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia de A. Sol. (5,7) y (-1,1)

Guía de Estudio



UNIDAD 4. ECUACIÒN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES 4.1 Circunferencia. Definición. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama Centro de la Circunferencia y la distancia constante se llama radio. Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x , y) y sin termino en xy representa una circunferencia, si los coeficientes de x² y y² son iguales. La ecuación de la circunferencia en forma ordinaria donde el centro (h , k) y radio r es: 222 )()( rkyhx =−+− Si el centro esta en el origen de coordenadas, o sea, h = 0 y k= 0, la ecuación toma la forma: 222 ryx =+ La ecuación de la circunferencia en su forma general es: 022 =++++ FEyDxyx Si tenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia 16)3()2( 22 =−++ yx Resolviendo los binomios tenemos 0169644 22 =−+−+++ yyxx Reduciendo términos determinamos así la ecuación general de la circunferencia. 0364 22 =−−++ yyxx

Guía de Estudio



Ejemplo 1) Los extremos de el diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) , B(-4,5). Hallar la ecuación de la curva.

1

2

3

4

5

6

7

8

01234 1 2 3 4

c(-1,4)(-4,5)

(2,3)

X

Y

Guía de Estudio



Planteamiento: A (2,3) , B (-4,5) Por punto medio encontramos el centro de la circunferencia.

xm = 2

21 xx + ym =

221 yy +

= 2

42 − = 2

53 +

= 22− =

28

= -1 = 4 C ( -1 , 4 ) Desarrollo: Con el centro C ( -1 , 4 ) y un punto A ( 2 , 3 ) determinamos el radio con la fórmula de distancia entre dos puntos

d = 22 )()1( yyxx −+− r = 22 )34()21( −+−− r = 19+ r = 10 Resultado: Sustituimos en la ecuación general de la circunferencia, centro y radio. 222 )()( rkyhx =−+− 10)4()1( 22 =−++ yx Ecuación de la circunferencia

Ejemplo 2) La ecuación de una circunferencia es 20)3()4( 22 =−+− yx . Hallar la ecuación de la tangente a este circulo en el punto ( 6 , 7 ).

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Y

9

10

X

C(4,3)

(6,7)X + 2Y - 20 = 0

Guía de Estudio



Planteamiento: De la ecuación 20)3()4( 22 =−+− yx determinemos Centro y Radio. C ( 4 , 3 ) r = 20 Con el C ( 4, 3 ) y el punto de tangencia ( 6 , 7 ) determinamos su pendiente con la relación.

m = 12

12

xxyy

−−

m = 6473

−−

m = 24

−−

m = 2 Desarrollo:

Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es :

m = -21

Con la ecuación punto pendiente )( 11 xxmyy −=− Determinamos la ecuación de la recta tangente en el punto ( 6, 7 ) Resultado:

020206142

6142

)6(217

)( 11

=−+=−−+

+−=−

−−=−

−=−

yxyx

xy

xy

xxmyy

Ejemplo 3) Determinar centro y radio de la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (1 , -2) , B (5 , 4) y C (10 , 5) Planteamiento: Como los tres puntos dados están sobre la

circunferencia sus coordenadas deben satisfacer la

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7

8

9

10

11

12

13

11 12 13 14 15 16 17

(10,5)(5,4)

(1,-2)C(9,-3)

X

Y

Guía de Estudio



ecuación

051025100)5,10(0451625)4,5(

0241)2,1(022

=++++=++++

=+−++−=++++

FEDCFEDB

FEDAFEyDxyx

Deduciendo:

3.........1255102............41451................52

−=++−=++−=+−

FEDFED

FED

Desarrollo: Resolviendo el sistema de ecuaciones. Con 1 y 2 D – 2E + F = -5………Mult (-5) 5D + 4E + F = -41 -5D +10E - 5F = 25 5D + 4E + F = -41 14E – 4F = -16………. 4 Con 4 y 5 14E – 4F =-16…………Entre (2) -3E - F = -43…………Mult (-2) 7E – 2F = -8 6E + 2F = 86 13E =78

E = 1378 E = 6

Resultado: Cálculo de F

2525

18434318

43)6(3433

=−=−

+−=−−=−−−=−−−=−−

FFF

FF

FE

Cálculo de D

181230

12255525)6(2525

−=+−=

+−−=−=+−−=+−

DDDD

FED

Sustituyendo en la Ecuación General E, D Y F

025618

0

22

22

=++−+

=++++

yxyx

FEyDxyx

Ejemplo 4) Una circunferencia pasa por los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4) y su centro esta sobre la recta 02323 =−− yx . Hallar la ecuación, graficar.

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

12346 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

7891011 11 12 13 14 15 16 17

Y

9

10

X

(1,4)

(-3,3)

C(2,8.5)

3x -

2y -

23 =

0

8x + 3y + 1 = 0

Guía de Estudio



Planteamiento: Por lugar geométrico determinamos otra recta que pasa por el centro, con los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4)

22 )3()3( −++ yx = 2)4()1( 2 −+− yx Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:

2222 )4()1()3()3( −−=−++ yxyx Desarrollando binomios

168129696

22

22

++++−

=+−+++

yyxxyyxx

Reduciendo 0128 =++ yx

Y con la ecuación que pasa por el centro 3x – 2y – 23 = 0 resolvemos el sistema para encontrar el centro. Desarrollo: 8x + 2y + 1 = 0 3x – 2y – 23 = 0 11x - 22 = 0

x = 1122

x = 2 8(2) + 2y + 1 = 0

16 + 2y +1 = 0 2y = -17

y = 2

17 C ( 2 ,

217

− )

Determinamos el radio con el centro y el punto A(-3,3)

r = 22 )32

17()32( −−++

r = 2)223(25 +

r = 4

5294

100+

r = 2629

Resultado Sustituyendo en la Ecuación ordinaria

4629)

217()2( 22 =++− yx

Ecuación de la circunferencia Ejemplo 5) Una circunferencia es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2 , 5), y el centro esta sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuación de la circunferencia. Graficar.

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

123 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17X

Y

9

10

x + y = 9

x + 2y - 12 = 02x -

y +

1= 0

C(6,3)

(2,5)

Guía de Estudio



Planteamiento De la ecuación de la tangente determinamos la pendiente 2x – y + 1 = 0 Despejamos “y” -y = -2x – 1 y = 2x + 1 m = 2 La recta que es perpendicular a la tangente es la recta del radio y pasa por el centro, por lo tanto su

pendiente será21

−

Desarrollo: Con la ecuación punto pendiente, determinamos la ecuación del radio que pasa por el punto (2 , 5) punto de tangencia.

0122)2(102

)2(215

)1(1

=−++−=−

−−=−

−=−

yxxy

xy

xxmyy

Resolviendo el sistema.

x + 2y – 12 = 0 x + y - 9 = 0……. Mult (-1) x + 2y – 12 = 0 -x – y + 9 = 0 y - 3 = 0 y = 3 x + 2(3) =12 x =12 – 6 x = 6 C (6 , 3) Resultado: Calculo del radio

r = 22 )53()26( −+− r = 416+ r = 20 Sustituyendo centro y radio en la Ecuación ordinaria

20)3()6( 22 =−+− yx Ecuación de la circunferencia

Ejemplo 6) Reducir la ecuación 02561822 =++−+ yxyx a su forma ordinaria.

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

3

4

5

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

7

8

9

10

11

12

13

11 12 13 14 15 16 17

r = 8.09

X

Y

Guía de Estudio



Planteamiento: Completando el trinomio cuadrado perfecto factorizamos para reducir la ecuación. Desarrollo: Ordenamos términos La mitad del coeficiente del término lineal se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la igualdad.

98125968118 22 ++−=++++− yyxx Se factoriza el trinomio 65)3()9( 22 =++− yx

Resultado: 65)3()9( 22 =++− yx C(9 , -3) r = 65

Guía de Estudio



Ejercicios Propuestos. 1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) que pasa por el punto (-1,5). Sol. 5641022 =+−+ yxyx 2) Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) (-3,7) Sol. 226222 =−−+ xyx 3) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (5,3), (6,2) y (3,-1) Sol. 0122822 =+−−+ yxyx 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (2,3) y (-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta 0113 =−− yx Sol. 0145722 =−+−+ yxyx 5) Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas 02132 =+− yx , 0623 =−− yx , 0932 =++ yx Sol. 13)2()1( 22 =−++ yx 6) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea tangente a la recta 01643 =−+ yx Sol. 16)2()4( 22 =−++ yx 7) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,3) y que sea tangente al eje “y” Sol. 096822 =+−++ yxyx 8) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pase por el punto (6,0) Sol. 03622 =−+ yx 9) Hallar de la circunferencia que pase por el origen de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6 Sol. 0161222 =−++ yxyx , 0161222 =+++ yxyx 10) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,5), (3,-2), (1,-4) Sol. 0445722 =−−++ yxyx 11) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta 092 =+− yx Sol. 0476622 =−−++ yxyx 12) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11,2) y es tangente a la recta 2x + 3y – 18 = 0 en el punto (3,4) Sol. 07371429855 22 =+−−+ yxyx 13) Una circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0, hallar su ecuación. Sol. 25)3()6( 22 =++− yx 14) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que tienen pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia 2622 =+ yx Sol. 5x – y -26 = 0 , 5x – y + 26 = 0 15) Determina las ecuaciones de las circunferencias que tienen sus centros en el origen y son tangentes a la circunferencia 074422 =++−+ yxyx

Guía de Estudio



Sol. 82922 −=+ yx , 82922 +=+ yx 4.2 Parábola. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija “directriz” de la parábola.

En donde; V es el vértice, F el foco, P un punto cualquiera, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, MM’ cuerda y, FP radio focal o radio vector. 4.2.1 Ecuación de la Parábola con Vértice en el Origen y Eje Focal un Eje Coordenado. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “x” la ecuación será pxy 42 = .

En donde; el F(p, 0); la ecuación de la directriz es x=-p; LR=l4pl y;

Si p>0 la parábola abre a la derecha. Pero si p<0 la parábola abre a la izquierda. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “y” la ecuación será pyx 42 = .

En donde; el F(0, p); la ecuación de la directriz es y=-p; LR=l4pl y;

Si p>0 la parábola abre hacia arriba. Pero si p<0 la parábola abre hacia abajo.

Guía de Estudio



Ejemplos.

1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y”, pasa por el punto (4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente.

Planteamiento:

pyx 42 = Desarrollo: ( ) p44 2 = (-2); 16=-8p; p =16/-8; p =-2

Por tanto la ecuación buscada es:

yx 82 −= ; F (0, -2); y =-(-2); y =2 directriz. LR =4(-2); LR =8

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

4

−3

−2

−1

1

2

x

y

F

V

y=2

Guía de Estudio



2) Discutir la ecuación xy 62 −= y dibujar la curva. Planteamiento: De acuerdo con el análisis la curva coincide con el eje “x” y p es (-). Por lo tanto la curva abre hacia la izquierda. Desarrollo:

6

2

−=

yx : si y =0; x =0: si y =±2; x =-0.7:

si y =±4; x =-2.7 LR =4p; LR =4(-6); LR =-24 Directriz: x =-p; x =-(-6); x =6 F (p, 0); F (-6, 0) V (0, 0).

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

x=6

V

F

Guía de Estudio



4.2.2 Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen y Eje Focal Paralelo a un Eje Coordenado.

( ) ( )hxpky −=− 42 ; ( ) ( )kyphx −=− 42

Ejemplos.

1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y la gráfica correspondiente.

Planteamiento: ( ) ( )kyphx −=− 42 Desarrollo: P=-2; ( ) )4)(2(43 2 −−=− yx

)4(8962 −−=+− yxx

02386032986

32896

2

2

2

=−+−

=−++−

+−=+−

yxxyxx

yxx

y=6 LR=4p; LR=4(2); LR=8

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y

PF

V

y=6

Eje Focal

Directriz

Guía de Estudio



2) Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (-3, 1) y cuya directriz es la recta x=3. Hallar también su lado recto y trazar la gráfica correspondiente.

Planteamiento: ( ) ( )hxpky −=− 42 p=-3; ( ) )0)(3(41 2 −−=− xy Desarrollo:

)(12122 xyy −=+−

011221212

2

2

=++−

−=+−

xyyxyy

( )12

;34;4

=−=

=

LRLR

pLR

V (0, 1).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Dire

ctriz

x=3

VF

Eje Focal

Guía de Estudio



4.2.3 Ecuación General de la Parábola. 022 =++++ FEyDxCyAx

Δ Sí A=0; C≠0 y D≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”.

02 =+++ FEyDxCy

Δ Sí A≠0; C=0 y E≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”.

02 =+++ FEyDxAx

Ejemplos. 1) Demostrar que la ecuación 09724204 2 =+−− yxx representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento:

;09724204 2 =+−− yxx es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “y”. Dividiendo entre 4;

04

97652 =+−− yxx

Desarrollo:

497

4256

25

;04

976425

4255

2

2

−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−−+−

yx

yxx

( )

( )

.29,

25;3,

25

23;6;4

;23;

46;64

;3625

;3424

25;

2726

25

2

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===

===

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

FV

yDirectrizLRpLR

ppp

yx

yxyx

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

V

F

Directriz y=3/2

Eje

Foca

l

(5/2, 3)

(5/2, 9/2)

Guía de Estudio



2) Verificar que la ecuación 7120484 2 =−− yxy representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento:

7120484 2 =−− yxy es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “x”.

Dividiendo entra 4; 4715122 =−− yxy

Desarrollo:

49612

25

;425

47112

4255

2

2

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++=+−

xy

xyy

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−===

===

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

25,1

;25,2

;5;12;4

;3;4

12;124

;21225;2412

25 22

F

V

xDirectrizLRpLR

ppp

xyxy

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

FV

Eje Focal(1, 5/2)(-2, 5/2)

Dire

ctriz

x=-5

Guía de Estudio



4.2.4 Dado tres puntos de la Parábola y cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenados.

022 =++++ FEyDxCyAx ;

Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “x”, entonces A=0; y la ecuación queda

02 =+++ FEyDxCy ;

Dividiendo la ecuación entre C;

02 =+++CFy

CEx

CDy ;

y tomando CFF

CEE

CDD === ';';' ;

la Ecuación finalmente queda.

.0'''2 =+++ FyExDy

Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “y”, entonces C=0; y la ecuación queda

02 =+++ FEyDxAx ;

Dividiendo la ecuación entre A;

02 =+++AFy

AEx

ADx ;

haciendo AFF

AEE

ADD === ';';' ;

la Ecuación finalmente queda.

.0'''2 =+++ FyExDx

Guía de Estudio



Ejemplos .

1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralela al eje “x” y pasa

por los puntos ( ) ( )7,65,0;1,23

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − y .

Planteamiento:

.0'''2 =+++ FyExDy

( )

( )( )349''7'6;0''7'649

225''5;0''525

11'''23;0'''

231

−=+−−=+−−−=+=++

−=+−=+−+

FEDFEDFEFE

FEDFED

Desarrollo: Tomando la (1) y (3), al multiplicar (1) por

4.

( )453'5'11_________________

49''7'64'4'4'6

−=+−

−=+−−−=+−

FE

FEDFED

Ahora tomando la (2) y (4), al multiplicar (2) por -5

72'36_______________

53'5'11125'5'25

=−

−=+−=−−

E

FEFE

; ;36

72'−

=E

E’=-2; sustituyendo E’ en (2) 5(-2)+F’=-25; F’=-25+10; F’=-15 sustituyendo E’ y F’ en (1)

8'

)12(32';2151'

23

;1)15()2('23

=

=−+−=

−=−+−−

D

DD

D

( ) ( )( ).1,0;4

;2;8;281

16812115812

;158201528

2

2

2

2

2

FxDirectrizpLRxy

xyyxyy

xyyyxy

=−==−−=−

+−=+−

++−=+−

+−=−

=−−+

−2 −1 1 2 3 4 5

4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Dire

ctriz

x=

4

V (2, 1)F (0, 1)Eje Focal

Guía de Estudio



2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje “y” y pasa por los puntos ( ) ( ) ( )1,34,8;0,0 y− .

Planteamiento:

.0'''2 =+++ FyExDx

( )( )29''3;0'''39

164''4'8;0''4'864;0'

−=++=+++−=+−=+−+

=

FEDFEDFEDFED

F

Desarrollo: Tomando la (1) y (2), al multiplicar (2)

por 4.

( )3100'5'20_________________

64''4'836'4'4'12

−=+

−=+−−=++

FD

FEDFED

Sustituyendo F’ en (3).

5';20100'

100)0(5'20

−=−

=

−=+

DD

D

Sustituyendo D’ y F’ en (2) 3(-5)+E’+0=-9; E’=-9+15; E’=6 Quedando la ecuación:

.2411,

25;

2461

;23;6;

24256

25

61*

4256

25

4256

4255

;65065

2

2

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−=+−

−=−

=+−

FyDirectriz

pLRyx

yx

yxx

yxxyxx

−1 1 2 3 4 5 6 7

4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

V (5/2, 25/24)

F (5/2, -11/24)

Directirz y=61/24

Eje

Foca

l

Guía de Estudio



4.2.5 Aplicaciones. Ejemplos.

1) Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150 m., y la depresión de 20 m.

( ) ( )

.4

1125;)16

1125(4

.16

1125;80

5625;805625;20475;4

22

22

yxyx

pppppyx

==

=====

2) Un arco de forma parabólica mide 6 m de largo en su base, su vértice está a 2.4 m arriba de la misma. Hállese la longitud de una viga paralela a la base y 1.8 m arriba de la misma.

( ) ( )

( ) .3;232;2.

23;

49;6.0

16154

.1615;

6.99;6.99;4.243;4

2

22

mllxlxxx

pppppyx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==∴==−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=−=−=−=−=

Guía de Estudio




1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “x”, pasa por el punto (-4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.

Sol. » xy −=2 ; F (-1/4, 0); x=1/4 y; LR=1. 2) Discutir la ecuación 042 =− yx y trazar la curva correspondiente. Sol. » p=1; F (0, 1); y=-1 y; LR=4. 3) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen,

Siendo su directriz la recta y-5=0. Así como sus demás elementos. Sol. » p=-5; F(0, -5); LR=20; .202 yx −= 4) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » .12;7;0391262 =−==−−− LRxxyy 5) La directriz de una parábola es la recta y-1=0 y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente.

Sol. » .2;8;024882 −===++− pLRyxx

6) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » 7) La directriz de una parábola es la recta x+5=0 y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente. Sol. »

8) Verificar que la ecuación indicada represente una parábola, encontrando sus elementos y la gráfica correspondiente.

a) 01672249 2 =+++ yxx

Sol. » ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2,

34;2,;8;2;8

34 2

FyDirectrizLRpyx

Guía de Estudio



b) 742 =+ xy

Sol. » ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 0,

43;

411,;4;1;

4742 FxDirectrizLRpxy

c) 15948124 2 =++ yxx Sol. »

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−==−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

21,

23;

213,;12;3;

2712

23 2

FyDirectrizLRpyx

9) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 6), (4, -2) y (6, -3) y cuyo eje focal es paralela al eje “y”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »

( ) ( ) ( )2,6;4,;4;1;346;024412 22 −−===+=−=+−− FyDirectrizLRpyxyxx 10) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (6, 7), (7/2, -3) y (8, 3), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »

( ) ( ) ( )3,6;10,;8;2;883;0556 22 FxDirectrizLRpxyyxy ==−=−−=−=−−+ 11) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (7, 17), (1, 5) y (7, -7), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »

( ) ( ) ( )2,6;4,;4;1;346;024412 22 −−===+=−=+−− FyDirectrizLRpyxyxx 12) Una cuerda de la parábola 042 =− xy es un segmento de la recta x-2y+3=0. Hallar su longitud. Sol. » 13) Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola 082 =+ yx que es paralela a la recta 0743 =−+ yx . Sol. » 14) Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola 092 =− xy , cuya ordenada es igual a 6. Sol. »

Guía de Estudio



4.3 Elipse. Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Los puntos fijos se llaman focos de la elipse y la suma constante es igual a “2a” que equivale al eje mayor. Teorema: Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x,y) y sin termino x,y, representa una elipse, si los coeficientes de las variables al cuadrado son numéricamente distintos, pero de igual signo. La ecuación general es: 022 =++++ FEyDxCyAx A y C ≠ 0 Ecuaciones de la elipse forma ordinaria, ejes de la elipse son paralelos al los ejes cartesianos: >

1)()(2

2

2

2

=−

+−

bky

ahx → Elipse con eje focal paralelo al eje X

1)()(2

2

2

2

=−

+−

aky

bhx → Elipse con eje focal paralelo al eje Y

Si el centro C( h , k ) esta en el origen, las ecuaciones anteriores se reducen a:

12

2

2

2

=+by

ax ; 12

2

2

2

=+ay

bx

Guía de Estudio



V2 V1

B1

B2

F2 F1Cc a

b

R

L L

R

Elementos de la ELIPSE: a = Distancia del centro a cualquiera de los vértices. b = Distancia del centro a cualquiera de los extremos del eje menor. c = Distancia del centro a cualquiera de los focos V1V2 = Eje mayor B1B2 = Eje menor

C ( h , k ) LR = ab22

ace = y e < 1 22 ba >

Guía de Estudio



X

Y

L

R

B1

L

R

CF2 F1

B2

V2

V1

Ejercicio 1 En la siguiente ecuación 4002516 22 =+ yx . Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Graficar. Planteamiento y Desarrollo:

400400

40025

40016 22

=+yx

11625

22

=+yx

39

1625

1625

22

2

2

==

−=

−=

=

=

cc

c

bac

ba

Resultado: Eje mayor = a2 = 10 Eje menor = b2 = 8

TR = 4.65

325

)16(22 2

===ab

e = 53

=ac

Guía de Estudio



X

Y

L

R

B1

CF2 F1

B2

V2 V1

R

L

Ejercicio 2 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0), (-2,0) y su

excentricidad es igual 32

Planteamiento:

ace =

32

=e

23

==

ca

92 =a

22 cab −=

Desarrollo:

5

49

=

−=

b

b 52 =b

3

103

)5(22 2

===abTR

Resultado:

159

22

=+yx

Guía de Estudio



X

Y

B1 C

F2

F1

B2

V2

V1

Ejercicio 3

Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto )3,27( tiene su centro en

el origen, su eje menor coincide con el eje “x” y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. Planteamiento: Si C(0,0) y eje menor coincide con eje “x”, su ecuación es:

12

2

2

2

=+ay

bx

Si pasa por )3,27(

Sustituimos “x” y “y” en la ecuación de la elipse.

13)27(

2

2

2 =+ab

Desarrollo:

baba

ba

24

)2(22

===

:

2164

497

4149

47

149

47

1)2(

947

2

222

22

22

=

==+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =+

=+

=+

bb

b

bbb

bb

bb

12

416

22

=

−=

−=

c

c

bac

42

)4(22

2 2

=

=

=

LR

LR

bLR

Resultado: 1164

22

=+yx

Guía de Estudio



Ejercicio 4 El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, se excentricidad y las coordenadas de sus focos. Planteamiento: C (-2,-1) V (3,-1) a = 5

1.310

10202

524

24

2

2

2

2

==

=

=

=

=

=

bb

bb

babLR

LR

Desarrollo y Resultado:

7.0515

8.315

1025

22

=

=

=

==

−=

−=

e

e

ace

cc

c

bac

)1,8.5()1,8.1(

),(,:cos

2

1

−−−±−

FF

KhCFfo

sCoordenada

110

125

2=

++

+ yxipseEcuaciónEl

X

Y

B1

CF2 F1

B2

V2 V1

L

R

L

R

Guía de Estudio



X

Y

B1

CF2 F1

B2

V2 V1

L

R

L

R

Ejercicio 5 Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, determinar todos sus elementos y graficar.

037183294 22 =+−++ yxyx Planteamiento:

24

39

)1,4(

4)1(

9)4(

.3636

36)1(9

36)4(4

96437)12(9)168(437_189_324

tan037183294

2

2

22

22

22

22

22

==

==

−

=−

++

=−

++

++−=+−+++

−=+−+++

=+−++

bbaaC

yxElipseEc

yx

yyxxyyx

trinomiodoComple

yxyxDesarrollo:

6.238

3)4(2

2

5

49

2

22

=

=

=

=

=

−=

+=

LR

LR

LR

abLR

c

c

bac

74.0335

=

=

=

e

ace

Eje mayor = 6 Eje menor = 4

Guía de Estudio



X

Y

(-40,0)

(-15,y)(0,30)

(15,y)

(40,0)

Ejercicio 6 Un arco de 80m de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 metros hallar la altura del arco en un punto situado a 15m del centro. Planteamiento:

900)16001375(

16001375

900

16002251

900

19001600

225

19001600

1

2

2

2

2

22

2

2

2

2

=

=

−=

=+

=+

=+

y

y

y

y

yxby

ax

Desarrollo:

my

y

y

y

y

81.27455154

1237516

123751600

12375002

=

=

=

=

=

y = 27.81 m de altura

Guía de Estudio



Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Para cada uno de los ejercicios, hallar las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes mayor y menor, los extremos de cada lado recto y graficar.

12549

22

=+yx Sol: F ( )0,24± , ( )0,7±V

( )5,0 ±B

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

725,24 ,

1925

22

=+xy Sol: F )4,0( ± , V )5,0( ±

)0,3(±B

)4,59(),4,

59( −±±

44 22 =+ yx Sol: F )0,3(± , V )0,2(± )1,0( ±B

)21,3(),

21,3( ±−±

1832 22 =+ yx Sol: )0,3(),,3( ±± VOF )60( ±B )2,3(),2,3( ±−±

( ) ( ) 19

216

3 22

=−

+− yy Sol: )2,43(),73( ±± VF

)32,3( ±B

)492,73(),

492,73( ±−±+

2.- Reducir la ecuación y graficar.

04002001602516 22 =++++ yxyx Sol: 116

)4(25

)5( 22

=+

++ yx

0321632416 22 =−−++ yxyx Sol. 116

)2(4

)1( 22

=−

++ yx

060122423 22 =+−++ yxyx Sol: 13

)3(2

)4( 22

=−

++ yx

Guía de Estudio



3.- Escribe la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los ejercicios.

Centro en (5,1) vértice en (5,4), extremo de su eje menor (3,1).

Sol: 14

)1(4

)5( 22

=−

+− yx

Vértice en (-1,3) y (5,3), la longitud del eje menor es 4.

Sol: 14

)3(9

)2( 22

=−

+− yx

Centro en (-2,2), un vértice en (-2,6), extremo en un eje menor (0,2)

Sol: 14

)2(16

)2( 22

=−

+− xy

4.- Resuelve los siguientes problemas.

La orbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de los focos. La longitud del eje mayor es 186 000 000 mi y la excentricidad es o.o167. Hallar las distancias de los extremos del eje mayor al sol.

Sol:91.4millones de millas 94.6millones de milas El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 60 pies de ancho y

20 pies de altura. Hallar el claro de la orilla de un carril si la orilla esta a 20 pies del punto medio.

Sol: pies53

20

Hallar la ecuación de la trayectoria de un punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia a (-4,0) es igual a dos tercios de la distancia de la recta x=-9

Sol: 12036

22

=+yx

Guía de Estudio



4.4 Hipérbola. Tema: Definición Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la diferencia a dos puntos fijos, es una constante. Los dos puntos fijos se denominan focos y el punto medio del segmento que los une se llama centro de la hipérbola.

12

2

2

2

=−by

ax

V

F(c,0)F´

x=ax= -a

a

bc

(0,b)

(a,0)V´

(0,-b)

L

R

La asíntotas de una curva es una línea recta tal, que la distancia perpendicular trazada desde la recta a un punto sobre la curva es, y permanece, menor que cualquier valor positivo que se le asigne a medida que el punto en la curva se aleja indefinidamente del origen.

bx – ay = 0 y bx + ay =0

Guía de Estudio



Ejemplos: Dada la hipérbola 1961649 22 =− xy , hallar: (a) los valores de a, b y c; (b) las coordenadas de los focos, de los vértices y delos extremos de los lados rectos; c) la longitud del lados recto y d) las ecuaciones de las asíntotas, e) Dibujar la curva

a) Reducir la ecuación a la forma ordinaria

1

4494196

1619640 2222

=−=−xyxy

Por lo tanto, a = 24 = y

27

449 ==b

Y así

6521

449

41622 =+=+= bac

y 6541

==ace

b) Como el término que

contiene a y es positivo, sabemos que el eje transverso está incluido en el eje Y. Podemos ahora obtener las coordenadas de los puntos buscados:

Focos: FF´= )6521,0(),0( ±=±c

Vértices VV´= )2,0(),0( ±=±a Extremos de los latera recta L,R y L´R´=

)6521,

849(),(

2

±±=±± cab

c) La longitud del lado resto es

4492 2

=ab

d) Las ecuaciones de las asíntotas son: 7y-4x=0 y 7y+4x=0

Guía de Estudio



Tema: Hipérbola, c (h,k) Definición: Utilizando las fórmulas de traslación x´=x-h y y=y-k, como en el caso de la elipse, se puede obtener la ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k) y el eje transverso paralelo al eje X:

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

Y si el eje transverso es paralelo al eje Y, la correspondiente ecuación es:

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

Forma General de la Hipérbola 022 =++++ FEyDxCyAx

Ejemplos Dada la hipérbola 029181694 22 =−+−− yxyx , determinar: a) los valores de a, b, c y e; (b) las coordenadas del centro de os focos y delos vértices; (c) las longitudes de los lateras recta y los ejes transverso y conjugado; (d) las ecuaciones de los ejes principales y de las asíntotas de la hipérbola, (e) Obtener la ecuación de la hipérbola conjugada y dibujar ambas curvas Completando cuadrados para expresar en su forma ordinaria

14

)1(9

)2(36)1(9)2(4

22

22

=−

−−

=−−−

yxyx

El término que contiene a x es positivo, puesto que indica que el eje transverso es paralelo al eje X y la ecuación es de la forma

1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

Entonces:

1331,13

24,39

22 ===+=

====

acebac

ba

b) Las coordenadas del centro son (h,k)=(2,1)y, por consiguiente, los focos son FF´= ykch ),1,132(),( ±=± los vértices V(h+a,k)=(5,1) y V´(h-

b) Las longitudes del lado recto y los jes transverso y conjugado son: respectivamente:

382 2

==abLR , 2ª = 6 , 2b = 4

c) La ecuación del eje principal es y – 1 = 0.

Las asíntotas son los factores del miembro izquierdo de la ecuación ordinaria igualado a cero:

4(x-2)²-9(y-1)²=(2x-3y-1)(2x+3y-7) entonces las asíntotas serán: 2x-3y-1=0 y 2x+3y – 7=0

d) La forma ordinaria de la ecuación es:

19

)2(4

)1( 22

=−

−− xy o 1

4)1(

9)2( 22

−=−

−− yx

Guía de Estudio



a,k)= (-1,1)

Determinar la ecuación de una hipérbola con centro en (-3,2) y una distancia del centro al foco de 5 unidades. La longitud del semieje conjugado es de 3 unidades. El problema no menciona si eje es paralelo al eje X o al eje Y, de donde

a) 1)()(2

2

2

2

=−

−−

bky

ahx

b) 1)()(2

2

2

2

=−

−−

bhx

aky

Para ambos casos se requiere el valor de los parámetros a, b, h y k. Se tienen los valores de h= -3, k= 2 y b= 3, faltando el valor del parámetro a , pero se sabe que la hipérbola cumple la relación c² = a²+ b², entonces se puede calcular el valor de a

a² = c² - b² luego entonces a² = 5² - 3² = 16; a=4 Con este valor se tiene que:

19

)2(16

)3( 22

=−

−+ yx

si se desarrolla 9(x+3) ² - 16(y-2) ² = (16)(9)

que equivale a

9x² - 16y² + 54x + 64y –127=0

Para el caso b se obtiene la siguiente ecuación

-16x² +9y² -96x +36y + 36 =0

Guía de Estudio



Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las

rectas 4x – 3x + 11 = 0 y 4x + 3y + 5 = 0 sea igual a 25

144

Sea P(x,y) un punto cualquiera

25144)

5534)(

51134( =

−++

−+− yxyx

Simplificando

116

)1(9

)2(

0891864916

22

22

=−

−+

=−++−

yxobien

yxyx

Guía de Estudio



Problemas Propuestos

1.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes: a) Eje real 8, focos ( )0,5± Sol. 9x²-16y²=144 b) Centro (0,0), un foco (8,0), un vértice (6,0) Sol. 7x²-9y²=252 2.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos igual a 24.

Sol. 3y² -x² = 108 3.- Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( )0,6± y asíntotas 6y = +7x.

Sol. 49x² - 36y² = 1.764 4.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las pendientes de las rectas que los une con los puntos fijos (-2,1) y (3,2) es igual a 4, representa una hipérbola

Sol. 4x²-y²-4x+3y-26=0 5.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas cuyos focos y vértices son: (a) F, F´=( )1,5(),1,3´();1,7(),1,5(´)();

21,0(´),1,0(´);0,2(´),0,3( =−=−=±=±=±=± VVFFcVVFFVV

Sol.

120

)1(16

)1(3412

154

22

22

22

=−

−−

=−

=−

yxxy

yx

6.- 2.- Determinar las ecuaciones de las hipérbolas conjugadas de: (a) 0789)(;14/)(;1)(;3694 22222222 =−+−=−=−=− xxydxycyxbyx

Solución

19

)4()

14

)

1)

194

)

22

22

22

22

=−−

=−

=−

=−

yxd

yxc

xyb

xya

Guía de Estudio



7.- Escribir la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados simétricamente con respecto al origen sobre el eje X, tal que satisfaga las siguientes condiciones:

a) 2a= 10, 2b = 8 b) La distancia entre los focos es 10 unidades y el eje conjugado mide 8

unidades. c) La excentricidad es 3/2 y 2c = 6 d) El eje transverso mide 10 unidades y e = 5/4

Soluciones.

13664

)

154

)

1169

)

11625

)

22

22

22

22

=−

=−

=−

=−

yxd

yxc

yxb

yxa

8.- Dada la hipérbola 144916 22 −=− yx , hallar: a) las longitudes de los semiejes; b) las coordenadas de los focos; c) la excentricidad, d) las ecuaciones de las asíntotas.

Soluciones.

xyd

ec

FFbbaa

34)

35)

)0,5(´,)3,4)

±=

=

±===

Guía de Estudio



Y

Xx

yr

P(x,y)

UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Ecuaciones de Transformación.

22

222

yxr

yxr

+=

+=

sen Ө = ry y = r sen Ө

cos Ө = rx x = r cos Ө Ө

tan Ө = xy Ө = arc tan

xy

sen Ө =22 yx

y+

cos Ө =22 yx

x+

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. P ( x,y ) coordenadas rectangulares, Q ( r, Ө ) coordenadas polares. Ejercicio 1 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordinas polares son; ( 4,120° ). Solucion: r = 1 Ө=120° Por tanto x = r cosӨ y = r senӨ x = 4 cos120° y = 4 sen120°

x = 4 (-21 ) y = 4 )

23(

x = 2 y = 2 3

Guía de Estudio



Ejercicio 2 Hallar un par de coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares son (3,-5). Solución: X = 3 y = -5 r = 22 yx +± r = 259+± r = 34±

Ө = arctan xy

Ө = arctan (35− )

Ө = 300° 58´

Ө 34±

Ejercicio 3 Hallar la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es

012422 =+−−+ yxyx Solución: Podemos remplazar

22 yx + por 2r , y Y por r senӨ Por lo tanto la ecuación polar buscada es:

2r - 4 r cosӨ - 2r senӨ + 1 = 0

222 yxr += y = r senӨ

Y

X

-5

3

P(3,-5)

Guía de Estudio



Ejercicio 4 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar. 036222 22 =+−++ yxyx Solución :

0362)(2036222

22

22

=+−++

=+−++

yxyxyxyx

Sustituimos por las ecuaciones de transformación

222 yxr += x = r cosӨ y = r senӨ

+22r 2 r cosӨ - 6 r senӨ + 3 = 0

Ejercicio 5 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar 0222 =−+ yyx Solución:

yyx 222 −+ Sustituyendo ecuaciones de transformación:

222 yxr += y = r senӨ 2r -2 r senӨ = 0 Dividiendo entre r r – 2 senӨ = 0 r = 2 senӨ

Guía de Estudio



Ejercicio 6 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es:

φcos12

−=r

Solución: antes de sustituir quitar decimales

φcos12

−=r

r ( 1 - cosӨ) = 2 r – r cosӨ = 2 Sustituyendo R = 22 yx + y x = r cosӨ

xyx

xyx

+=+

=−+

2

222

22

Elevamos al cuadrado ambos miembros

( ) ( )

4444

2

2

222

2222

+=

++=+

+=+

xyxxyx

xyx

Ecuación rectangular (Parábola)

Ejercicio 7 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es :

φcos22

−=r

Solución:

( ) ( )( )

222

222

2222

22

22

4444444

22

cos22

2cos2

2cos22)cos2(

cos22

xxyxxxyx

xyx

ryx

ryx

rrr

r

++=+

++=+

+=+

+=+

=−+

=−=−

−=

φ

φ

φφφ

04443 22 =−−+ xyx Ec. Rectangular (Elipse)

Guía de Estudio



Ejercicio 8 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es: r = 2(1-cosӨ) Solución :

)cos1(2 φ−=r Multiplicamos la ecuación por ( r )

φ

φ

cos22)cos1(2

2

2

rrrrr−=

−=

Sustituimos por las ecuaciones de transformación

xyxyx 22 2222 −+=+

( ) ( )( ) ( )xyxyx

xyxyx

xyxyx

24

22

22

2222

222222

2222

++=+

++=+

++=+

Ecuación Rectangular (Cardioide)

Ejercicio 9 Escribir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares e identificar la

curva. φsen

r211

−=

Solución:

( ) ( )

01443441

21

21

121)21(

211

22

222

2222

22

=−−−

++=+

+=+

+=+

=−=−

−=

yxyyyx

yyx

rsenyx

rsenrsenr

senr

φ

φφφ

Ec. Hipérbola

Guía de Estudio



Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Hallar las coordenadas rectangulares del punto determinado por las coordenadas polares (6,120°). Sol: (-3 , 3 3 ) 2.- Expresa las coordenadas rectangulares (-2 , 2) en terminos de coordenadas polares. Sol: (2 2 , 45°) 3.- Transformar la ecuación r = 4senӨ a coordenadas rectangulares. Sol: yyx 422 =+ 4.- Trasformar la ecuación en coordenadas polares a rectangulares:

φφ sen

r3cos

1+

= Sol: x + 3y = 1

5.-Transformar las ecuaciones siguientes a las correspondientes ecuaciones en coordenadas polares.

32 =+ yx Sol: φφ sen

r+

=cos2

3

03 =+ yx Sol: ( ) 0cos3 =− φφ senr yx 42 = Sol: φφ senr 4cos2 = 922 =+ yx Sol: 3=r 092 =− yx Sol: 09cos2 =− φφ senr 42 22 =− yx Sol: 4)31( 22 =− φsenr yyx 222 =+ Sol: φsenr 2= 6.- Transformar la ecuaciones a las correspondientes ecuaciones en coordenadas rectangulares. 4cos =φr Sol: 4=x φcos6=r Sol: xyx 622 =+ φsenr 8= Sol: yyx 822 =+

φcos1

2−

=r Sol: ( )142 += xy

φφ cos43

3+

=sen

r Sol: 334 =+ yx

Guía de Estudio



φsen

r212

+= Sol: 483 22 =+− yyx

∆ Ecuaciones Polares de la Recta, la Circunferencia y las Cónicas. ● Ecuación de la Recta. ( )ωθ −= cosrp . 1) Si ω=0° » p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la derecha del origen. 2) Si ω=180° » -p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la izquierda del origen. 3) Si ω=90° » p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades arriba del origen. 4) Si ω=270° » -p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades debajo del origen. Ejemplos. 1) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ┴ al eje polar. a) 4u a la derecha del polo. b) 4u a la izquierda del polo.

a) si ω=0° » p=r cosθ; r cosθ=4

−4 −3 −2 −1 1 2 3

2

−1

1

2

x

y

P

R

pO

) t

l

A

(r, t)

b) si ω=0° » -p=r cosθ; r cosθ=-4

−2 −1 1 2 3 4 5

2

−1

1

2

x

y

P

R

O

A

l

-p

t)

(r, t)

Guía de Estudio



2) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ║ al eje polar. a) 4u debajo del eje. b) 4u arriba del eje.

a) si ω=270° » -p=r senθ; r senθ=-4

−1 1 2 3 4 5

2

−1

1

2

3

4

x

y

R

OA

l

p

b) si ω=90° » p=r senθ; r senθ=4

−1 1 2 3 4 5

5

−4

−3

−2

−1

1

x

y

AO

R

l

p

Si una recta no pasa por el origen, puede deducirse a.

.cos θθ senBA

cr+

=

Esto es, si Ax + By = C cuando C ≠ 0 y A y B ambas no igual a cero. Ejemplos. 1) Trazar la gráfica de la ecuación polar y encontrar la ecuación rectangular correspondiente.

Planteamiento y Desarrollo:

Guía de Estudio



.442.44

;2;4cos2

4

=−∴=−=

=−

=

yxCyB

Asen

rθθ

−1 1 2 3 4

3

−2

−1

1

x

y

O

A

2) Escribir la ecuación polar de la recta horizontal que pasa por el punto (3, 90°).

Planteamiento y Desarrollo:

.

190;090cos90

;3;cos

BCr

sen

rsenBA

Cr

=

∴=°=°∴°=

=+

=

θθθ

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

l

A

0

-p=rseno

● Ecuación de la Circunferencia. ( )αθ −−+= cos2222 rccra . O bien

( ) 222 cos2 acrcr =+−− αθ 1) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma θcos2 ar ±= ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. 2) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma θcos2 ar ±= ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. Ejemplos. 1) Hallar la ecuación del círculo con centro en (5, 60°) y radio 3.

Guía de Estudio



Planteamiento:

( ) 222 cos2 acrcr =+−− αθ

Desarrollo:

( ).016)60(cos10

92560cos)5(22

=+°−−

=+°−−

θ

θ

rrrr

2) Si θcos4=r . Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.

Planteamiento:

.cos2 θar ±=

Desarrollo:

.2)0,2(;02.

;2;cos)2(2

=°===

==

ayCdeciresyacpolarejeelsobreestacentrosuypoloelporpasa

nciacircunferelaar

θ

θ

● Ecuaciones de las Cónicas.

1) Si un foco está en el polo y la directriz D es ┴ al eje polar y esta situada p unidades a la izquierda del polo, la ecuación es:

.cos1 θe

epr−

=

Guía de Estudio



2) Si un foco está en el polo y la directriz está a p unidades a la derecha del polo, la ecuación es:

.cos1 θe

epr+

=

Eje Polar

P (r, O)

Direc

triz

pOrigen

r

O)B

_

_

>

>

3) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades arriba del eje polar, la ecuación es:

.1 θsene

epr+

=

4) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades debajo del eje polar, la ecuación es:

.1 θsene

epr−

=

Directriz

A

Eje Polar

R

P (r, O)p

Origen

r

O)

_

_

Ejemplos. Trazar la gráfica de las ecuaciones.

1) θcos33

8+

=r .

Planteamiento y Desarrollo: Dividiendo el numerador y denominador entre 3.

7.238270

180

;7.23890

==∴°=

=∴°=

==∴°=

r

yerrorr

rSi

θ

θ

θ

Guía de Estudio



.3.1340.

.381;

38

.1;cos138

==∴°=

=∴==

∴=+

=

rSi

pecomoep

parábolaunaeser

θ

θ

1 2 3 4

x

y

F

180°

90°

270°

0° A

2) θcos23

15−

=r .


150

.2

1532;5

.32;

cos321

5

=∴°=

=∴==

∴=−

=

rSi

pecomoep

elipseunaeser

θ

θ

52703180

;590

=∴°==∴°==∴°=

ryr

rSi

θθ

θ

1 3 4 6 7 9 10 12 13 15 16

x

y

A

0°

90°

180°

270°

F

3) θsen

r32

4+

= .


42702180

;8.05490

−=∴°==∴°=

==∴°=

ryr

rSi

θθ

θ

Guía de Estudio



;20.

.34

23;2

..23;

231

2

=∴°=

=∴==

∴=+

=

rSi

pecomoep

hipérbolaunaesesen

r

θ

θ

1 2 3 4 5

x

y

F0°

A

90°

180°

270°

Ejercicios Propuestos. 1) Escribir la ecuación polar de cada una de las rectas descritas:

a) recta horizontal que pasa por el punto (-3, 90°). b) recta vertical que pasa por el punto (4, Π). 2) Hallar la ecuación del círculo con centro en (4, 0°) y radio 4. 3) Si .32cos2 θθ senr += Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente. 4) Hallar la ecuación del círculo con centro en (7, 120°) y radio 5. 5) Si .0522cos222 =−−− θθ senrrr Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.

6) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

43,6 y radio 4.

7) Si .033cos2 =−−+ θθ senrrr Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.

Guía de Estudio



8) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

67,3 y pasa por el punto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

34,2 .

9) .cos44

8θ+

=r S » Parábola.

10) .cos236

θ−=r S » Elipse.

11) .4515

θsenr

−= S » Hipérbola.

12) .cos22

9θ+

=r S » Parábola.

13) .cos212

θ−=r S » Elipse.

14) .cos324

θ+=r S » Hipérbola.

15) .3310

θsenr

−= S » Parábola.

16) .2

12θsen

r+

= S » Elipse.

17) .cos212

θ−=r S » Hipérbola.

Guía de Estudio



UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. 6..1 Ejercicios de Graficación. Ejemplos. Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. 1)

712310

32;1

==∴==−=∴=

+=−=

yyxtyyxt

tyytx

−3 −2 −1 1 2 3 4

2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

2)

Guía de Estudio



142320

1023;2 2

−==∴===∴=

−==∴−=−=+=

yyxtyyxtyyxt

tyytx

−1 1 2 3 4 5 6

4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

6.2 Eliminación del Parámetro. Ecuación Cartesiana de una Trayectoria Dada Parametricamente. Ejemplos. Hallar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes). 1)

( )( ) .0623;32;132

.

1sec;2

sec;3

.sec23 222222

=−−=−∴

=−====

xyxyricatrigonométidentidadlapor

tgcomoyxtgyytgx θθθθθθ

−1 1 2 3 4 5 6

1

1

2

3

4

x

y

2)

Guía de Estudio



( )

.04

;1;44;44;4;4;14;44

;44;14

4;14

;

;1cos;4

;2

;cos.2;cos

22

222

222

222

==

−=−=−===−−=+−=

=+=+

=+∴

=+=====

kyh

pppLRpLRxyxy

xyxyxyricatrigonométidentidadlapor

sencomoysenysenxsenyx θθθθθθθ

−3 −2 −1 1 2 3 4

4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

6.3 Ecuaciones Paramétricas. Ejemplos. Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes: 1) La recta que pasa por los puntos (2, 6) y (-3, -4).

( ) ( ).610;106);64(6

.25;52);23(2;4,36,2 21

+−=−=−−−=−+−=−=−−−=−−−

tytytytxtxtxPyPSí

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

2)

Guía de Estudio



( ) ( ) ( ).241;481

;24

1;4

1;2;2

1.221

22

22222

−−=−−=−

−=−−

=−=−

=−=+=

yxyx

yxigualandoxtytxttyytx

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

4

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

∆ Tiro Parabólico. Ejemplos. 1) Se lanza una piedra con una velocidad de 160 ft/seg, con una dirección de 45° respecto a la horizontal. Hallar la distancia hasta la cual llega la piedra y su altura máxima. Planteamiento y Desarrollo:

Guía de Estudio



( )

( )

( )( )

( )( ) ( ) .200400.200800400

;160000800400;800400400800;800800

;800800.Re.800

;2560032;

2125600

16

;

4225600

16;

2225600

16;45cos160

322145

...200200400

22516

225280.

;0800800;251625280

.800;25280;.25;16

280

;28016;1628000,

;16280.280;2216032

2145160

;45cos160./32;45;/160

2

22222

2222

2

2

2

22

2

2

2

2

22

22

0

==−−=−

+−=−−=−+−−=−

−=−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

°−°=

=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∴

=−=−=

====

=−=∴=

−===−°=

°==°==

kyhenvérticeConyx

yxyxxyxx

xxyduciendoxxyxxyxxy

xxyxxyxxtgy

rrectángulaEcuaciónmáximaalturafty

ymáxinaalturaladaránostiempodelmitadla

simétricaesparábolaunacomoyy

ftxxxentdosustituyenttt

ttttysueloalllegapiedralacuando

ttytxtxttseny

txsegftgsegftV α

100 200 300 400 500 600 700 800 90

50

50

100

150

200

x

y

2) Un picher lanza una a horizontalmente con una velocidad inicial de 108 ft/g. Si el punto del disparo está 6 ft arriba del suelo: a) ¿a qué altura llega la pelota a la base meta, que está a una distancia de

60.5 ft del montículo? b) ¿cuál será la respuesta a esta pregunta si la velocidad inicial fuera de

132 ft?

Guía de Estudio



Planteamiento.

( )

.56.0

;108

5.60;1085.605.60

.108;1108;0cos108.

.21cos

./32;0;/108

200

0

segt

ttxSi

txtxtxDesarrollo

tgtsenVyytVx

segftgsegftV

=

===

==°=

−==

=°==

θθ

θ

( ) ( )( )

( )( ) .386.3;46.03221

.46.0;132

5.60;132;/132)

.018.5

56.0322156.00108

2

0

ftyy

segtt

txsegftVafty

seny

=−=

==

===

−°=

Ejercicios Propuestos: 1) Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.

tyytsenxdsenyyxctyytxbtyytxa

cos);2cos)134);11) 2

====+=−=+=+=

θθ

Guía de Estudio



2) lar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes).

( ) ( )

6.2;3;4;5.4;1169

;cos43)

.2;2;122;2cos2)22

22

=====+⇒==

===−+−⇒+=+=

cbaLRyxSyysenxb

khxySsenyyxa

θθ

θθ

3) Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes:

( ) ( )

( ) ( )

.1.sec)

.14

34

2.cos2322)

.19

416

3.cos3443)

22

22

22

=−⇒==

=−

++

⇒+=+−=

=+

+−

⇒+−=+=

xySyytgxc

yxSyysenxb

yxSyysenxa

θθ

θθ

θθ

4) Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 192 ft/seg y con un

ángulo de 30° arriba de la horizontal. Hallar las coordenadas de su posición al final de:

a) 2 seg. b) ¿en qué tiempo está el proyectil a 96 ft arriba del suelo? c) ¿cuál es el alcance máximo que alcanza el proyectil? d) ¿cuál su altura máxima?

S » a) x=332.554 ft; y=128 ft. b) t1=4.7 seg. y t2=1.3 seg. c) x=997.661 ft. y d) y=144 ft.

5) Un proyectil que se dispara formando un ángulo de 12 ° con la horizontal, tiene una velocidad inicial de 678 mts. Háyanse: a) las ecuaciones paramétricas de su trayectoria. b) la altura máxima alcanzada. c) su alcance horizontal hasta los 91.4 m, más próximos.

S » a)

.2;2;2

;21;cos 00

2202

00 gsenvt

gsenvD

gsenvHtgtsenvytvx θθθθθ ===−==

b) x=19033.4 m.; c) y=5.5 m.

guia de geometria analitica

Documents