CH-FyA-0491

Guía 75: Relaciones de cambio líneal

Guía

75 Meta 24

GRADO 8

GUÍA DEL ESTUDIANTE

RELACIONES DE

CAMBIO LINEAL

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 75

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Andrés Forero Cuervo

Guía

75 GRADO 8

RELACIONES DE CAMBIO LINEAL

GRADO 8 - META 25 - PENSAMIENTO VARIACIONAL

Guía 73

(Duración 13 h)

• Crecimiento cuadrático.

• Expresiones cuadráticas y su

representación visual.

• Multiplicación repetida,

crecimiento exponencial y notación

exponencial.

• Notación científica (para valores

mayores que 1).

Guía 74

(Duración 13 h) • Desarrollo de expresiones

cuadráticas.

• Trinomio cuadrado perfecto.

• Raíces de expresiones en una

variable.

• Factorización de expresiones

cuadráticas.

• Trinomio cuadrado perfecto

(factorización)

• Diferencia de cuadrados.

Guía 75

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Ecuaciones del tipo ax + b = c.

• Ecuaciones del tipo (x/a) + b = c.

• Ecuaciones y propiedad distributiva.

• Ecuaciones del tipo ax + b = cx + d.

• Función lineal y = mx.

ACTIVIDAD 2

• Función lineal y = mx + b.

• Gráficas y pendiente.

META DE APRENDIZAJE N. 25

Expreso utilizando las propiedades de notación científica medidas astronómicas y atómicas, y razono sobre

algunos errores al medirlas utilizando números reales. Analizo estrategias para factorizar o expandir

expresiones algebraicas calculando áreas y longitudes al armar rectángulos, dibujando, recortando y

reorganizando áreas. Describo e interpreto el tipo de cambio lineal en contextos de proporcionalidad,

identificando la razón de semejanza o el factor de proporción en situaciones de medición, el crecimiento

poblacional de bacterias o virus (función exponencial) y el movimiento parabólico o caída libre (función cuadrática)

mediante software o applets, y de esta forma explico más a fondo muchos fenómenos de mi entorno.

PREGUNTAS ESENCIALES GUÍA 75:

● ¿Cómo puedes resolver ecuaciones utilizando las fichas algebraicas? ● ¿En qué se parece una ecuación a una balanza? ● ¿Cómo puedes mover los pesos de un brazo de la balanza al otro manteniéndola en equilibrio? EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE GUÍA 75:

Actividad 1:

● Resuelve problemas a partir del planteamiento de ecuaciones utilizando fichas algebraicas.

● Aplica la propiedad distributiva para plantear y resolver ecuaciones.

● Utiliza esquemas con barras para ayudarse a entender mejor los problemas y a plantear las

ecuaciones.

● Reconoce relaciones de proporcionalidad en tablas, encuentra la constante de proporcionalidad y

expresa la relación mediante una expresión algebraica de la forma y=mx.

●

Actividad 2:

● Reconozco situaciones de variación lineal al analizar cómo cambian los datos en una tabla o al

analizar una gráfica.

● Encuentro la pendiente de una relación lineal a partir de una tabla de datos o de la grafica de

una función lineal.

● Dada una situación problema puedo identificar qué cantidad depende de la otra para tomar

valores, así reconozco los valores de entrada y de salida de una función lineal.

ACTIVIDAD 1: ECUACIONES Y FUNCIÓN DE

PROPORCIONALIDAD

Con esta actividad aprenderás a resolver diferentes tipos de ecuaciones de una incógnita

y aprenderás a expresar con álgebra situaciones de proporcionalidad.

A) Activando saberes previos

1. Utiliza la imagen de la balanza para plantear una ecuación y resolverla, teniendo en cuenta que el

peso de cada alimento se indica en la imagen y las cajas tienen un peso desconocido. Además las

cajas contienen los mismos alimentos que hay al otro lado de la balanza.

2. Encuentre diferentes valores que pueden tener los pesos para que la balanza esté en

equilibrio. Tenga en cuenta el peso que hay en el otro brazo de la balanza.

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos: mantengamos el equilibrio en la balanza

Una balanza en equilibrio se puede ver como una ecuación. Por ello al despejar la ecuación, todo lo que

quites o agregues en un brazo de la balanza lo debes agregar o quitar al otro lado de la balanza.

1. Trabaja con el compañero más cercano. Dibujen pesas o manzanas en la balanza hasta despejar la

incógnita, manteniendo el equilibrio de la balanza.

2. Alistamiento para la Mini-explicación.

En los anexos de esta guía encontrarás fichas algebraicas de rectángulos y cuadrados imprimibles. Debes

imprimirlas, recortarlas y tenerlas listas para la siguiente Mini-explicación.

3. Trabaja los ítem 3 y 4 con la estrategia Par 1 - Par 2. Utiliza las fichas

algebraicas para resolver las siguientes ecuaciones.

a. 5x = 20 b. 3t = -21 c. 4s = -8 d. -12 = 3x e. x+5 = 12 f. x-7 = 12

4. Utiliza las fichas algebraicas para resolver las ecuaciones y luego completa la tabla con la información

requerida.

Con fichas algebraicas (dibujos) Con álgebra

2x - 5 = 5

2x - 5 + 5 = 5 + 5

6. Completa una tabla como la anterior para resolver la ecuación 4y - 7 = 1

7. Estudia el ejemplo resuelto y soluciona las ecuaciones utilizando fichas algebraicas.

a. -x + 5 = 4 b. -2b + 5 = -1 c. -5t + 4 = -16

8. Estudia el siguiente problema resuelto. Reúnete con tus compañeros de

grupo, lean los pasos para resolver problemas y traten de seguirlos

mientras estudian cómo se llegó a la solución.

Tenía un saldo en el parqueadero de $4 000. Me cobraron $7 500 por cada hora que estuve allí

parqueada. Si en total pagué $60 250. ¿Cuántas horas estuvo mi auto parqueado?

9. Resuelve el siguiente problema siguiendo los pasos para resolver

problemas y socializa por turnos.

La temperatura amaneció a -18ºC, en el transcurso del día la temperatura fue

ascendiendo en promedio 0,2ºC cada hora. Si la temperatura llegó a -16,2ºC

¿cuántas horas transcurrieron?

10. Resuelve las siguientes ecuaciones y socializa por turnos.

a. -3x + 5 = 12 b. 3y + 5 = 12 c. 5a + 4 = 13

Comprobemos la respuesta en la ecuación. Al comprobar la respuesta es fácil

ver que el costo al que el papá de Carlos compra un jugo es de $1 600. Este

valor es el resultado de dividir el costo de una caja entre el total de jugos que

contiene. El valor al que el papá de Carlos compra un jugo es de $1 600 y lo

vende a $2 200, entonces la ganancia por cada jugo es de $600.

11. Ayudemos al papá de Carlos a calcular los costos de las cajas de arroz y

pan tajado.

a. Una caja de pan tajado trae 25 paquetes. Al vender cada paquete se aumenta el costo en $800. Si

cada bolsa de pan se vende en $5 500:

- ¿Cuál es el costo de compra de una caja de pan tajado?

- ¿Cuál es el costo de compra de un paquete de pan tajado?

- ¿Cuál es la ganancia por cada paquete de pan vendido?

b. Una bolsa trae 22 kilos de arroz. Al vender cada kilo se aumenta el costo en $900. Cada kilo de

arroz se vende a $4 400. ¿Cuál es el costo al que se compra una bolsa de 22 kilos de arroz? ¿Cuál

es el costo al que se compra un kilo de arroz? ¿Cuál es la ganancia por cada kilo de arroz vendido?

12. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando las fichas algebraicas y comprueba el valor de la

incógnita sustituyéndolo en la ecuación.

a. -3x + 2 = x - 8 b. 3y - 5 = 2 + 5y c. −𝑛

2+ 4 + 𝑛 = 3𝑛 − 5

13. En grupo resuelve el siguiente problema. Camila tiene algunas canicas y

Laura su amiga le regala 12 canicas más. Camila dice que el triple de las

canicas que tiene ahora son 60 canicas. ¿Cuántas canicas tenía al inicio?

14. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando la propiedad distributiva. Luego

verifica la solución en la ecuación. Socializa por Turnos.

a. -5 (3 + t) = 10 b. c. 0,3 (0,25 - 1) = 1,7 d.

15. Camila quiere preparar la receta de arroz con leche solo para ella por lo que quiere utilizar solo

una taza de arroz. Para que el arroz con leche tenga la consistencia de la receta original, quiere

saber cuánta leche debe agregar ¿cómo puede averiguar esto Camila?

16. En cada caso expresa la relación con una expresión algebraica, encuentra la constante de

proporcionalidad.

C) Resuelve y practica

1. Utiliza las fichas algebraicas para resolver las siguientes ecuaciones encontrando el valor de la

incógnita.

a. 3s = 9 b. -10 t = 12 c. 5 a = -20 d. -4 a = -1

2. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando fichas algebraicas.

a. 3 x + 5 = 11 b. -5 x = -10 c. -3 t + 3 = 6 d. -2 x + 3 = -1

2. Utiliza las fichas algebraicas para resolver las ecuaciones y luego completa la tabla haciendo

dibujos y con ecuaciones.

a.

Con fichas algebraicas (dibujos) Con álgebra

5x + 4 = -6

b.

Con fichas algebraicas (dibujos) Con álgebra

-4x - 2 = -10

4. Expresa con ecuaciones el perímetro de los siguientes rectángulos.

5. Expresa el perímetro con una ecuación y encuentra las medidas de cada lado del rectángulo.

6. Expresa los enunciados como ecuaciones y resuélvelas para encontrar su valor.

a. Un número y el siguiente suman 51. ¿Cuál es el número? (Si el número es x, el siguiente de x es

x + 1).

b. El triple de un número es 26. ¿Cuál es el número? (Si el número es S, el triple de S es

S+S+S = 3S).

c. La mitad de un número es 14,5 ¿Cuál es el número? (Si u es el número, la mitad de u es 𝑢 ÷ 2 =𝑢

2.

d. El doble de un número sumado 3 unidades es 10. ¿Cuál es el número?

7. Resuelve los siguientes problemas planteando y resolviendo las ecuaciones.

a. En un bus bi-articulado que solo para en las estaciones para recoger pasajeros, hay 12 personas. En

cada parada se suben aproximadamente 8 personas. Si al final hay 84 personas en el bus ¿cuántas

paradas hizo el bus?

b. Tengo un saldo pendiente por pagar de $23 000 en la tienda. Compré 15 frascos de jabón líquido y

al final tuve que pagar $94 250. ¿Cuál fue el costo de cada frasco de jabón?

8. Plantea las

ecuaciones de

acuerdo a los

diagramas y

resuélvelas

utilizando álgebra.

9. Utiliza la información de cada tabla para plantear una situación de proporcionalidad, encuentra la

constante de proporcionalidad y expresa la situación utilizando una ecuación de la forma y= mx, donde m

es la constante de proporcionalidad.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales)

Tema: Relaciones proporcionales y función de proporcionalidad.

(Mira los videos y responde las preguntas)

https://es.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-ratio-proportion/7th-

constant-of-proportionality/v/introduction-proportional-relationships

Tema: Ecuaciones con una incógnita

(Mira los videos y responde las preguntas)

https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-solving-equations

D) Resumen

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪

Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪

Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫

Comprendí

muy bien el

tema

1.

2.

3.

4.

Evidencias actividad 1:

● Resuelve problemas a partir del planteamiento de

ecuaciones utilizando fichas algebraicas.

● Aplica la propiedad distributiva para plantear y

resolver ecuaciones.

● Utiliza esquemas con barras para ayudarse a

entender mejor los problemas y a plantear las

ecuaciones.

● Reconoce relaciones de proporcionalidad en tablas,

encuentra la constante de proporcionalidad y

expresa la relación mediante una expresión

algebraica de la forma y=mx.

ii) Preguntas de comprensión

1) Resuelve las siguientes ecuaciones y

elige en cada caso el valor correcto de la

incógnita.

a. -4 (2x -1) = 12

1[ ] 0,5[ ] -1[ ]

b. 0,5 x + 0,3 = 1,2 - 0,4x

2[ ] 0,3[ ] 1[ ]

2) Plantea una situación de

proporcionalidad, completa los datos que

faltan en la tabla y expresa la relación

como una función de la forma y=mx.

Tiempo en que el

grifo está abierto

(min).

Cantidad de agua

que se desperdicia

(litros - l)

2 23,4

1,5 ?

3,7 ?

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema María tiene un presupuesto de $110 400 para comprar camisetas en las que promocionará la marca de

su empresa. El costo de cada camiseta es de $9 200. Ya ha seleccionado 8 camisetas y no sabe cuántas

más podrá comprar. Plantea una ecuación, utiliza la propiedad distributiva y averigua cuántas

camisetas podrá comprar María.

ACTIVIDAD 2: RELACIONES LINEALES

En esta actividad aprenderás a utilizar funciones lineales para expresar relaciones de cambio lineal.

Aprenderás a interpretar la pendiente de estas relaciones cuando esta se representa en el plano y en

tablas.

A) Activando saberes previos

1. En cada caso encuentra el valor de la incógnita.

a. 2s - 4 = 4 b. 3x - 1 = 1,5 + 4x c. 2(x+3) = -1 (x-2)

2. Verifica si el valor de x mantiene la igualdad de la ecuación.

a. -2x + 1 = -7 x = -1, x = -0,5, x = 4.

b. 6x - 5 = 7 x = -1, x = 2, x = 0,5

2. Utiliza la información de la tabla para escribir una situación de proporcionalidad, completa la tabla y

encuentra la constante de proporcionalidad de la relación.

Verifica las respuestas de la

sección A con tu profesor.

B) ¿Qué situaciones puedo resolver con ecuaciones de la forma y = mx + b?

Exploremos situaciones que se pueden modelar con funciones de la forma y = mx + b.

El primer piso de este edificio es un vestíbulo que tiene de altura

3,6 m. Los otros pisos tienen de alto 2,8 m.

La altura del edificio si tuviera 1 piso además del vestíbulo se

puede expresar como: 2,8 · (1) + 3,6 =6,4

La altura del edificio sería 6,4 m.

La altura del edificio si tuviera 2 pisos más además del vestíbulo

se puede expresar como: 2,8 · (2) + 3,6 = 9,2

La altura del edificio sería 9,2 m.

La altura del edificio si tuviera 3 pisos más además del vestíbulo se puede expresar como: 2,8 · (3) + 3,6 =

12

La altura del edificio sería 12 m.

La altura del edificio si tuviera 4 pisos más además del vestíbulo se puede expresar como: 2,8 · (4) + 3,6 =

14,8

La altura del edificio sería 14,8 m.

Así podríamos seguir expresando la altura del

edificio según la cantidad de pisos que este tiene.

Si x es la cantidad de pisos que tiene el edificio,

entonces 2,8 · x es la altura de esa cantidad x de

pisos. A esto se le suma la altura del vestíbulo del edificio. Esta es la altura del edificio, que podemos

representar con la letra y.

Organiza en esta tabla algunos de los valores que resultan de esta relación:

x es la cantidad de pisos y es la altura del edificio

2,8 · x + 3,6 = y

0

1

1. Responde las preguntas con tu compañero más cercano.

● Utiliza la tabla para encontrar la altura de un edificio que tiene 13 pisos.

● Si sabes que la altura del edificio es 59,6 m ¿puedes averiguar de cuántos pisos es el

edificio?

● ¿Puedes encontrar la altura de un edificio de cualquier cantidad de pisos utilizando la tabla

o utilizando la relación? Describe de forma general cómo lo harías.

● ¿Conoces otra situación similar a esta que creas que se puede expresar mediante una

relación parecida? Comenta a tus compañeros la situación y prueben cuál podría ser su

expresión general.

● ¿Qué dato necesitas conocer para poder calcular la altura del edificio?

2. Con tu compañero más cercano respondan las siguientes preguntas:

● ¿Qué valor necesitas conocer para calcular la cantidad de agua que hay en el tanque?

● Si x = 5 significa que la llave ha durado abierta 5 minutos. ¿Cuánta agua hay en el tanque al

cabo de este tiempo?

● ¿Cuánta agua habrá en el tanque al cabo de 12 minutos, de 20 minutos?

● Completen la tabla con los datos que se indican

x: cantidad de minutos que duró abierto

el grifo

y: cantidad de agua del tanque

0 y = 5 (0) + 4,5 = 4,5

1

2

3

4

5

10

12

20

25

3. Reflexiona con tu compañero más cercano y respondan las siguientes preguntas:

● ¿Qué valores se ubican en cada eje del plano cartesiano?

● ¿Cómo son los valores que están en los ejes del plano? ¿son los mismos en cada eje?

● ¿Qué indica cada coordenada de los pares ordenados en el contexto del problema del

tanque de agua y el grifo abierto?

4. Encuentra los valores que faltan en las coordenadas utilizando la expresión y = 2x + 3,2.

Luego organiza las coordenadas en una tabla de valores.

● (2, ?), (1,2 , ?), (2,3, ?), (?, 5)

5. Verifica si las coordenadas satisfacen la relación y = -2 x - 1,5. Luego organiza las

coordenadas en una tabla de valores.

● (0, 1,5), (1,2 , 3,9), (-1 , 0,5), (-0,5 , -0,5)

6. Continúa trabajando con tu compañero más cercano. En un día caluroso en los países ubicados en

las zonas del trópico a las 12 pm se registra una temperatura de 20º y a partir de este momento

hasta las 3 pm la temperatura aumenta en promedio 1,2º cada hora.

a. Encuentra una expresión que relacione las cantidades involucradas en esta situación.

b. Completa la tabla y representa la función en el plano.

7. Trabaja los ítem 7, 8 y 9 en grupos y luego socializa con la estrategia “Por

turnos”. Utiliza los datos de las tablas para encontrar la pendiente de la

relación, en el caso en el que sea posible.

8. Encuentra la pendiente de la recta graficada, verifica que este valor es constante para cualesquiera

dos puntos diferentes de la recta.

9. Encuentra la pendiente de la recta graficada, verifica que este valor es constante para cualquiera de

los puntos de la recta.

C) Resuelve y practica

1) a) Grafica 3 funciones lineales distintas, tales que todas valgan lo mismo cuando x = 0. Escribe la

ecuación de cada recta. ¿Cómo se comparan sus pendientes?

b) Grafica 3 funciones lineales distintas, tales que todas tengan la misma pendiente. Escribe la ecuación

de cada recta.

c) Es posible graficar 2 funciones lineales distintas tales que ambas valgan lo mismo cuando x = 0 y tengan

la misma pendiente? Explica tu respuesta de forma visual.

2) En un juego de video, Sandra empieza con 24 vidas y cada hora ella pierde 3 vidas.

La ecuación y = 24 − 3x es una recta y representa esta situación. Responde:

a) ¿Qué representa x en la ecuación?

b) ¿Qué representa y en la ecuación?

c) ¿Qué representa el 24 en la ecuación?

d) ¿Qué representa el 3 en la ecuación?

e) ¿Cuál es la pendiente de la recta? ¿Qué representa en términos del juego?

f) Dibuja la ecuación lineal en el plano. No olvides etiquetar los ejes.

g) ¿Cuántas horas jugará Sandra? Explica.

3) Lucas va a trabajar en un supermercado. Le van a pagar un precio base de $40 000 por el día, más

$12 000 por cada hora extra que trabaje.

Sea X = # de horas extra

Y = dinero que le van a pagar a Lucas.

a) Si Lucas trabaja 0 horas extra, él gana $40 000. ¿Cuánto gana si trabaja 3 horas extra?

b) Escribe Y como función de X, indica lo que significa cada parte de tu ecuación y haz una gráfica de la

recta correspondiente en el plano.

c) Al día siguiente, a Lucas le proponen el siguiente cambio en su paga: le pagan solo $30 000 de base,

pero ahora le pagan $18 000 por cada hora extra.

¿Debería aceptar Lucas? Analiza en detalle la situación, usando una nueva gráfica en el mismo plano

cartesiano.

4) Considera esta tabla:

y 0 4 8 16 24 40

x 7 13 19 31 43 67

a) Según los datos de la tabla, ¿la relación entre y y x parece ser una función lineal? Justifica por qué sí

o por qué no.

b) Suponiendo que la relación es lineal, completa esta tabla:

y 0 2 4 8 12 16 20 24 28 32

x 7 10 13 19 25 31 37 43 49 55

c) La función y = f(x) es una línea recta: y = mx + b. Calcula m, la pendiente, de por lo menos 3 formas,

usando las tablas anteriores. Finalmente, escribe la función (y = mx + b).

5) Considera la función lineal y = 3(2x − 4).

Juan dice que la pendiente es 3.

Vilma dice que es 2.

Paco dice que es 6. Lola dice que es −12

Completa la tabla y gráfica para saber quién tiene la razón. Justifica tu respuesta.

x 0 1 2 3 4

y

6) A continuación presentamos 10 triángulos que representan distintas pendientes: +1

2, +2, −

1

2 y −2.

Separa los triángulos, según la pendiente que representen.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY (u otros portales)

Tema: Funciones lineales

(Mira los videos y responde las preguntas)

https://es.khanacademy.org/math/algebra-ii-pe-pre-u/xcb2d1a1723269f75:funcion-lineal

Tema: Funciones lineales

(Mira los videos y responde las preguntas)

https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-linear-equations-functions/8th-

slope/v/introduction-to-slope

D) Resumen

E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪

Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪

Voy bien

pero quiero

más práctica

⚫⚫⚫

Comprendí

muy bien el

tema

5.

6.

7.

8.

Evidencias actividad 2:

● Reconozco situaciones de variación lineal al

analizar cómo cambian los datos en una tabla o

al analizar una gráfica.

● Encuentro la pendiente de una relación lineal a

partir de una tabla de datos o de la grafica de

una función lineal.

● Dada una situación problema puedo identificar

qué cantidad depende de la otra para tomar

valores, así reconozco los valores de entrada y

de salida de una función lineal.

ii) Preguntas de comprensión

1) Observa la siguiente tabla, la cual

representa una función lineal (y en

función de x):

a) Completa la tabla, suponiendo que el

crecimiento es lineal.

2) Solo mirando la tabla identifica la

pendiente de la recta y elige la opción

correcta:

2,5 [ ] -1 [ ] 1,5 [ ]

3) Grafica la recta en el plano para verificar

tu respuesta.

4) Elige la expresión que representa la

relación lineal.

y = 1,5 x - 2 [ ]

y = -2,5 x -3 [ ]

y = 2,5 x + 2,5 [ ]

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema Camila lee libros a un ritmo de 4 mensuales. Ella se propuso haber leído al menos 60 libros para el 31

de diciembre de 2027. El primero de enero de 2027, ella ha leído 13 libros.

a) Dibuja una recta en el plano que represente la situación. ¿Cómo interpretarías la pendiente en esa

gráfica?

b) ¿Alcanzará Camila su meta? Explica tu razonamiento.

ANEXOS - FICHAS ALGEBRAICAS