Formulación de Modelos de Programación Líneal

Primer Semestre 2007

EII 405

1.- Problema de Producción

Un taller tiene 3 tipos de máquinas A, B y C y fabrica 2 tipos de productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden, primero a la máquina A, luego a la B y finalmente a la C.

La tabla muestra:1) Las horas requeridas en c/máquina por unidad de producto.2) Las horas totales disponibles para c/máquina por semana.3) La ganancia por unidad vendida de cada producto

Máquina Producto 1 Producto 2 Horas Sem.A 2 2 16B 1 2 12C 4 2 28

Ganancia 1 1,5

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¿Qué cantidad de cada producto debe producirse por semana para obtener la máxima ganancia?¿cuántas horas semanales sobran en cada máquina?

Definición de variables:

Xj: Unidades semanales a producir del producto j (j = 1 y 2)

F.O:

Max Z = X1 + 1,5X2

S a:

2X1 + 2X2 16 Horas disponibles en máquina A

X1 + 2X2 12 Horas disponibles en máquina B

4X1 + 2X2 28 Horas disponibles en máquina C

Xj 0 y entero j = 1 y 2 No negatividad

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2.- Problema de la Dieta

Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2.000 kCal., 55 grs. de proteínas y 800 mg. de Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de mínimo costo a partir de los alimentos indicados en la siguiente tabla:

Alimento Porciones max Energía (kCal) Proteínas Calcio (mg) $ x porción1.-Avena 4 110 4 2 32.-Pollo 3 205 32 12 243.-Huevos 2 160 13 54 134.-Leche 8 160 8 285 95.-Pastel 2 420 4 22 206.-Cerdo 2 260 14 80 29

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En este caso resulta natural definir la variable de decisión como:

Xi: la cantidad de alimento tipo i (i = 1...6) a consumir.

Definición de variables:

Función Objetivo:

Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisión por su respectivo coeficiente y construir la función objetivo a minimizar.

Min Z = 3X1 + 24X2 + 13X3 + 9X4 + 20X5 + 29X6Min Z = 3X1 + 24X2 + 13X3 + 9X4 + 20X5 + 29X6

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Restricciones:

Las restricciones obedecen a los límites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energía, proteínas y calcio que debe cumplir la dieta, además, de la no negatividad de las variables.

110X1 + 205X2 + 160X3 + 160X4 + 420X5 + 260X6 2000 (Energía)4X1 + 32X2 + 13X3 + 8X4 + 4X5 + 14X6 55 (Proteínas )2X1 + 12X2 + 54X3 + 285X4 + 22X5 + 80X6 800 (Calcio)X1 4 (Avena)X2 3 (Pollo)X3 2 (Huevo)X4 8 (Leche) X5 2 (Pastel)X6 2 (Cerdo)Xi 0 i = 1...6

110X1 + 205X2 + 160X3 + 160X4 + 420X5 + 260X6 2000 (Energía)4X1 + 32X2 + 13X3 + 8X4 + 4X5 + 14X6 55 (Proteínas )2X1 + 12X2 + 54X3 + 285X4 + 22X5 + 80X6 800 (Calcio)X1 4 (Avena)X2 3 (Pollo)X3 2 (Huevo)X4 8 (Leche) X5 2 (Pastel)X6 2 (Cerdo)Xi 0 i = 1...6

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3.- Problema de Asignación de Recursos

Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno.

El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios del día. Las características de cada bloque se muestran en la siguiente tabla:

Formulación de Modelos

Hora del Día Turno N° Mínimo de enfermeras02:00 - 06:00 1 2506:00 - 10:00 2 6010:00 - 14:00 3 5014:00 - 18:00 4 3518:00 - 22:00 5 5522:00 - 02:00 6 40

Las enfermeras ganan US$40 al día cuando empiezan a trabajar en los turnos 2, 3 y 4 y US$50 en los otros turnos. ¿Cuál debe ser la planificación de los turnos que minimizan los costos por salarios?

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Definición de variables:

Xi: Número de enfermeras que comienzan a trabajar en la hora i (i = 2, 6, 10, 14, 18, 22)

Función Objetivo:

Min Z = 50X2 + 40X6 + 40X10 + 40X14 + 50X18 + 50X22Min Z = 50X2 + 40X6 + 40X10 + 40X14 + 50X18 + 50X22

Restricciones:

Para construir las restricciones es conveniente construir la siguiente tabla

Horario N° enfermeras 1 2 3 4 5 602 - 06 25 x x06 - 10 60 x x10 - 14 50 x x14 - 18 35 x x18 - 22 55 x x22 - 02 40 x x

Turnos

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De la gráfica anterior se observa que en cada bloque horario trabajan las enfermeras que comenzaron su turno en dicho bloque, pero también las enfermeras que empezaron en el bloque anterior.

Por lo tanto las restricciones de personal mínimo para cada bloque horario quedan de la siguiente manera:

X2 + X22 25 (02:00 – 06.00)X2 + X6 60 (06:00 – 10.00)X6 + X10 50 (10:00 – 14.00)X10 + X14 35 (14:00 – 18.00)X14 + X18 55 (18:00 – 22.00)X18 + X22 40 (22:00 – 02.00)

Además, hay que considerar las restricciones de signo

Xi 0 y entero (i = 2, 6, 10, 14, 18 y 22)

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Una empresa del sector textil dispone de dos plantas de fabricación, una en Santiago y otra en Concepción con capacidad de 900 y 1500 unidades respectivamente. Posee también 4 almacenes regionales de distribución, que sirven a los clientes de sus respectivas zonas, en: Iquique, La Serena, Viña del Mar y Osorno con demandas de 700, 800, 500 y 400 unidades respectivamente.

En los próximos años la empresa espera un crecimiento de la demanda del 25% lo cual ha generado la necesidad de construir una nueva fábrica que cubra dicho aumento.

A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Antofagasta y Copiapó.

4.- Problema de Localización de Planta

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Iquique La Serena Viña del Mar OsornoSantiago 6 4 2 6Concepción 2 3 7 5Antofagasta 6 4 4 8Copiapó 6 3 4 2

La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores.

La tabla muestra los costos de transporte entre cada planta y almacén.

Tenemos que resolver dos problemas, uno para cada nueva plantaAntofagasta y Copiapó

Tenemos que resolver dos problemas, uno para cada nueva plantaAntofagasta y Copiapó

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Definición de variables:

Xij: Unidades a enviar desde planta i al almacén j con i = S (Santiago), C (Concepción) y A (Antofagasta)con j = I ( Iquique), L (La Serena), V (Viña del Mar) y O (Osorno)F.O: Min Z = 6XSI + 4 XSL + 2XSV + 6XSO +2XCI + 3XCL + 7XCV + 5XCO +

6XAI + 4XAL + 4XAV + 8XAO

S. aXSI + XSL + XSV + XSO 900XCI + XCL + XCV + XCO 1500XAI + XAL + XAV + XAO 600 (25%)XSI + XCI + XAI = 875 (700 * 1,25)

XSV + XCV + XAV = 625XSO + XCO + XAO = 500

XSL + XCL + XAL = 1000

Xij 0 y entero

Restricciones de planta (producción)

Restricciones de demanda de almacén

(demanda futura)

No negatividad

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5.- Problema de Planificación de Producción

La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 meses. Actualmente Sil Computer tiene 5.000 computadores en inventario.

La demanda esperada para los próximos meses son 7.000, 15.000, 10.000 y 8.000. La empresa tiene el material y la capacidad de producir 10.000 computadores cada mes, a un costo de US$2.000 por computador.

Empleando personal de sobretiempo se pueden producir hasta 2.500 computadores más a un costo individual de US$2.200.

Los computadores producidos en un mes pueden ser usados para satisfacer la demanda de ese periodo, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente.

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Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$100 por periodo de almacenaje.

¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo mínimo?

Definición de variables:En este caso la decisión a tomar corresponde a la producción de computadores por mes, como se pueden fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos tipos de producción en variables distintas. Además, se debe decidir cuantas unidades se guardan en inventario en cada periodo, entonces las variables son:

Xt: producción en horario normal en el periodo tYt: producción en sobretiempo en el periodo tIt: Inventario al final del periodo tcon t = 1, 2, 3 y 4

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Función Objetivo:

Min Z = 2000 (X1 + X2 + X3 + X4) + 2200 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4) + 100 (I1 + I2 + I3)

Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4

7.000 15.000 10.000 8.000

5.000 0I1 I3I2

X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4

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S.a

X1 + Y1 + 5000 = I1 + 7000 Mes 1X2 + Y2 + I1 = I2 + 15000 Mes 2X3 + Y3 + I2 = I3 + 10000 Mes 3X4 + Y4 + I3 = 8000 Mes 4X1 10000X2 10000X3 10000X4 10000Y1 2500Y2 2500Y3 2500Y4 2500Xt, Yt, It 0 t = 1, 2, 3 y 4Xt, Yt enteros

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6.- Problema de Mezcla

Una refinería de petróleos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de petróleo nacional refinado y de petróleo importado refinado que tiene la refinería y deben cumplir la especificaciones que se muestran en el siguiente cuadro

Las características del inventario de petróleos refinado se muestran en la siguiente tabla

Presión máxima de vapor

Octanaje Mínimo

Dda máxima (barril/semana)

Entregas mínimas (barril/semana)

Regular 23 88 100.000 50.000Extra 25 93 20.000 5.000

Formulación de Modelos

Presión de vapor Octanaje

Inventario (barril)

Costo (US$/barril)

Nacional 25 87 40.000 8Importado 15 98 60.000 15

Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la refinería. Suponga que no existen pérdidas en el proceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presión de vapor se pueden mezclar linealmente.

Definición de variables:

De acuerdo al supuesto debemos definir variables que nos permitan controlar que proporción de cada tipo de petróleo se empleará para fabricar cada tipo de gasolina, así:

Xij: Barriles de petróleo refinado tipo i para fabricar gasolina jcon i = N (nacional) e I (importado) j = R (regular) y E (extra)

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Función Objetivo:

Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petróleo, las FO se reduce a maximizar las utilidades

Max Z = 12(XNR + XIR) + 14(XNE + XIE) – 8(XNR + XNE) – 15(XIR + XIE)

Restricciones:

Las restricciones respecto de inventario disponible y demanda de cada tipo de gasolina son:

XNR + XNE 40.000 Inventario petróleo nacionalXIR + XIE 60.000 Inventario petróleo importadoXNR + XIR 50.000 Demanda mínima de gasolina regularXNR + XIR 100.000 Demanda máxima de gasolina regularXNE + XIE 5.000 Demanda mínima de gasolina extraXNE + XIE 20.000 Demanda máxima de gasolina extra

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Las restricciones de presión de vapor y de octanaje mínimo deben ser normalizadas respecto de la cantidad total fabricada

(25XNR + 15XIR) / (XNR + XIR) 23 Presión de vapor máx. gas. regular(25XNE + 15XIE) / (XNE + XIE) 25 Presión de vapor máx. gas. extra(87XNR + 98XIR) / (XNR + XIR) 88 Octanaje mínimo gas. regular(87XNE + 98XIE) / (XNE + XIE) 93 Octanaje mínimo gas. extra

XNR, XIR, XNE, XIE 0

Finalmente, las condiciones de signo

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7.- Problema de Producción y Asignación de Personal

Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 hrs. semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora y el tercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este periodo.

Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variable son de $1 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.

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Los dispositivos terminados se vende a $15 cada uno sin restricciones de mercado.

Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0,5 horas de trabajador calificado.

Un dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no calificado y 0,5 horas de obrero calificado.

Plantear el modelo de programación lineal que permita determinar cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades

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Definición de variables:Podemos definir los siguientes tipos de productos: intermedio (1), intermedio que se acaba (2) y acabado (3), por lo que las variables serán:

Xi: cantidad de producto tipo i fabricado, con i = 1, 2 y 3

Como todos los obrero trabajan 40 horas semanales fijas, sólo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de trabajo, por lo tanto diremos que:

Ej: horas extraordinarias de los trabajadores tipo j.

Donde j = 1 (obreros no calificados) y 2 (obrero calificado)

Función Objetivo:

Por la información que se posee podemos plantearlo como uno de maximización de utilidades, para lo cual debemos expresar la diferencia entre los ingresos y costos en función de las variables de decisión.

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I = 6,5 X1 + 15 (X2 + X3)

Ingresos:

Costos:

C = 2 * 40 * 0,4 + 0,6 E1 sueldo obreros no calificado + 40 * 0,6 + 0,9 * E2 sueldo obrero calificado + 1 * (2 * 40 + E1) + 2,4 (1 * 40 + E2) gastos de operación variable + 800 costos fijos

Max Z = 6,5 X1 + 15X2 + 15X3 – 1,6 E1 – 3,3 E2 – 1032

Restricciones:

X1 100 Límite inferior demanda producto intermedioX1 150 Límite superior demanda producto intermedio

No es necesario incorporarlo

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Disponibilidad de mano de obra para producción

0,5 (X1 + X2) + 0,6 X3 80 + E1 Tiempo utilizado por obreros no calif.0,25 X1 + 0,75 X2 + 0,5 X3 40 + E2 Tiempo utilizado por obreros calif.E1 20 Horas Extras disponibles para o.n.c.E2 10 Horas Extras disponibles para o.c.

Finalmente, las condiciones de signo

X1, X2, X3, E1, E2 0

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