eii – 405 investigación de operaciones primer semestre 2007 robert barsby p. 2200821...

EII – 405 Investigación de

Operaciones

Primer Semestre 2007

Robert Barsby [email protected]@hotmail.com

Programa de Estudio

Objetivo

Familiarizar al alumno con las técnicas de modelamiento y metodologías de resolución de problemas de la Investigación de operaciones, con especial énfasis en la aplicación de algoritmos de solución para modelos de programación matemática, en especial modelos lineales

Contenido

Introducción • Investigación de operaciones• Modelos matemáticos• Programación Lineal

ProgramaciónLineal

• Formulación de modelos• Métodos Gráfico• Método Simplex• Problema de transporte• Método húngaro de asignación

Teoría de Inventario

• Introducción • Modelos Determinísticos• Sistemas Continuos/Periodicos

Teoría de redes • Introducción • Camino más corto• Vendedor Viajero• PERT / CPM

Modelos Estocásticos

• Teoría de Colas• Cadenas de Markov

ProgramaciónEntera

• Programación Lineal Entera• Programación Entera 0,1

Programa de Estudio

Bibliografía

• Hillier, Frederick y Lieberman, Gerald: “Introducción a la Investigación de Operaciones”, McGraw – Hill Interamericana

• Hadley, G.: “Linear Programming”, Addison – Wesley Pub. Co.

• Hamdy Taha: “Investigación de Operaciones”. Ed. AlfaOmega.

• Winston Wayne L.: “Investigación de Operaciones: Aplicaciones y Algoritmos”. Grupo Editorial Iberoamericana.

• Bronson, Richard: “Investigación de Operaciones”. Ed. Mc Graw-Hill.

Programa de Estudio

Elementos de Evaluación

• 3 Pruebas de Cátedras• 2 ó 3 Pruebas (trabajos) de Ayudantía• 1 Exámen

Cálculo de la Nota de Presentación a Examen (PE)

• Cátedra 70%• Ayudantía 30%

Si nota de Cátedra < 4,0 entonces

• Cátedra 85%• Ayudantía 15%

Evaluación

Examen

• Si PE >= 5,0 entonces Nota Final = PE• Si PE < 3,5 entonces Nota Final = PE• Si Nota Examen < 3,1 entonces Nota Final = Nota Examen

• Examen: 40% • PE: 60%

Evaluación

Toda toma de decisión empieza con la detección de un problema.

Definir el problema en forma clara

Identificar las restricciones

Identificar las alternativas de solución

Formular el o los objetivos

Evaluar las alternativas y elegir la mejor

Para tomar la decisión correcta, se debe:

Toma de Decisiones

¿Como se elige la mejor alternativa?

¿Como se elige la mejor alternativa?

Métodos Cualitativos

Métodos Cuantitativos

En base a la experiencia y al juicio profesional de la persona que toma la decisión

En base a la utilización de herramientas matemáticas que permitan maximizar la efectividad en la toma de decisiones.

Toma de Decisiones

La dificultad de tomar decisiones ha hecho que el hombre se aboque en la búsqueda de una herramienta o método que le permita tomar las mejores decisiones de acuerdo a los recursos disponibles y a los objetivos que persigue.

Este conjunto de herramientas o métodos es lo que llamaremos Investigación de Operaciones.

“Enfoque científico de la toma de decisiones que requiere la operación de sistemas organizacionales”.

Definición más formal

La IO nos ofrece una serie de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones.

La IO nos ofrece una serie de herramientas cuantitativas para la toma de decisiones.

Investigación de Operaciones

Para la aplicación de la IO se siguen los siguientes pasos:

• La IO comienza con la observación cuidadosa de la realidad.

• Formular el problema.

• Construir un modelo que intente abstraer la esencia del problema real.

• Solución del modelo.

• Análisis de sensibilidad, hay que ver como se comporta el modelo ante cambios en las restricciones y/o parámetros del modelo

• Implementar los resultados, se debe interpretar los resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del problema real

Investigación de Operaciones

Modelos de IO

Programación Lineal

MétodosClásicos

Determinísticos Híbridos Estocásticos

Transporte yAsignación

Prog Enteray 0,1

Redes

Optimización Lineal

Optimización no Lineal

Métodosde búsqueda

Programación no lineal

ProgramaciónDinámica

Teoría de Inventarios

Simulación

Pert / CPM

Heurísticas

Cadenas de Markov

Teoría de Colas

ProcesosEstocásticos

Teoría de Decisionesy Juegos


Prog Enteray 0,1

Redes

Optimización Lineal

Teoría de Inventarios

Pert / CPM

Transporte yAsignación

Teoría de Colas

Modelos de la Investigación de Operaciones

La Programación Lineal es una herramienta para resolver problemas de optimización que se caracterizan por tener como función objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de decisión.

FO: Max o Min Z = C XSujeto a A X B Xj 0 ; j = 1, 2,...., n

Conceptos Básicos:

• Variables de Decisión• Función Objetivo• Restricciones• Restricciones de Signo


Consideremos el siguiente ejemplo para describir los conceptos básicos presentes en todo problema de programación lineal (PPL)

1.- Una mueblería produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27.000 y se requiere $10.000 en materiales para su construcción, además, el costo unitario por mano de obra es de $14.000. En el caso de las sillas, el precio de venta es de $21.000 y los costos de materiales y mano de obra son $9.000 y $10.000 respectivamente.

La fabricación de cada producto requiere de dos labores: carpintería y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpintería y 2 de terminaciones, mientras que la silla requiere de 1 hora en cada labor.


Cada semana, la mueblería puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpintería. La demanda por mesas no está limitada, mientras que la demanda por sillas es de 40 unidades.

Formule un modelo matemático que permita maximizar las utilidades de la mueblería.

Variables de decisión: Variables de decisión:

Se debe comenzar definiendo las variables de decisión relevantes. En un PPL las variables de decisión deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan ser tomadas y todas las variantes que existan.


Antes de definir las variables de decisión es importante definir las unidades involucradas en el problema.

En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda semanal. De acuerdo a ello, una buena opción para definir las variables de decisión consiste en asociar las variables al número de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos definir:

X1 = Número de mesas producidas por semana.X2 = Número de sillas producidas por semana.

X1 = Número de mesas producidas por semana.X2 = Número de sillas producidas por semana.


Función Objetivo: Función Objetivo:

En un PPL, se debe tomar la decisión de maximizar (usualmente las utilidades) o de minimizar (usualmente los costos) cierta función de las variables de decisión.

En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de X1 o X2 por lo tanto basta concentrarse en maximizar la diferencia entre:

La función que se va a optimizar se llama Función Objetivo (FO) y en ella no aparece ningún término independiente o constante. Los valores de las variables de decisión son independientes de cualquier constante.

Ingresos Semanales – Costos de Materiales – Costos por mano de obraIngresos Semanales – Costos de Materiales – Costos por mano de obra


Luego se deben expresar los términos anteriores en función de las variables de decisión X1 y X2.

Por lo que la función objetivo queda (expresada en miles de $):

(27X1 + 21X2) – (10X1 + 9X2) – (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2 (27X1 + 21X2) – (10X1 + 9X2) – (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2

Así, el objetivo de la mueblería es escoger los valores X1 y X2 tal que se maximice 3X1 + 2X2

Denotando por Z el valor de la FO para cualquier PPL, la función de la mueblería es:

Max Z = 3X1 + 2X2 Max Z = 3X1 + 2X2

El coeficiente que acompaña a cada variable en la FO se denomina coeficiente en la función objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable a la función objetivo


Restricciones: Restricciones:

En las medidas que las variables crecen, la FO aumenta su valor. Por lo tanto si se pudiera escoger arbitrariamente el valor de la variables, la mueblería podría hacer crecer el valor de sus utilidades en forma infinita. En la práctica esto no es posible y en el ejemplo el valor que toman las variables está limitado por las siguientes 3 restricciones:

• Máximo 100 horas semanales para terminaciones.• Máximo 80 horas semanales para carpintería.• Producción máxima de 40 sillas semanales.

Luego, el próximo paso consiste en formular matemáticamente las restricciones anteriores en función de las variables de decisión.


Para formular la primera restricción en función de las variables X1 y X2 observamos que:

Hrs. terminaciones x mesa + hrs. terminaciones x silla hrs. disponibles para terminaciónHrs. terminaciones x mesa + hrs. terminaciones x silla hrs. disponibles para terminación

Por lo que la restricción queda:

2X1 + X2 1002X1 + X2 100

Es importante notar que todos los valores en la expresión anterior son por semana, ya que las variables de decisión se han escogido con esa referencia.


Análogamente la segunda restricción queda:

X1 + X2 80

X1 + X2 80

Finalmente, la tercera restricción sólo limita el valor de la variable X2

X2 40

X2 40

Restricciones de Signo: Restricciones de Signo:

Para completar la formulación del modelo es importante definir si existe alguna restricción de signo para cada variable de decisión.

Si una variable de decisión Xi debe cumplir condiciones de NO NEGATIVIDAD, debemos agregar la siguiente restricción:

Xi 0Xi 0


Si la variable de decisión Xi puede asumir valores positivos o negativos se dice que Xi no tiene restricción de signo (SRS).

Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matemático para este problema de optimización, quedando de la siguiente forma:

En el ejemplo ambas variables de decisión se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son no negativas. Sin embargo, en otros ejemplos las variables pueden ser SRS, por ejemplo en el caso de que Xi se refiere al saldo de alguna cuenta.


Definición de variables:

X1: número de mesas producidas por semana.X2: número de sillas producidas por semana.

F.O:

Max Z = 3X1 + 2X2

S a:

2X1 + X2 100 Horas disponibles para terminaciones por semana

X1 + X2 80 Horas disponibles para carpintería por semana

X2 40 Producción máxima de sillas por semana

Xj 0 j = 1 y 2 No negatividad


Dado un conjunto de m desigualdades o ecuaciones lineales, con n variables, se requiere hallar valores de estas variables que satisfagan las restricciones y maximicen o minimicen alguna función lineal de las variables

Generalización:




Matemáticamente

Max o Min Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn XnMax o Min Z = C1 X1 + C2 X2 +...+ Cn Xn

Sujeto a

a11 X1 +...+ a1j Xj +...+ a1n Xn ó b1

. . . . . .ai1 X1 +...+ aij Xj +...+ ain Xn ó bi

. . .

. . .am1 X1 +...+ amj Xj +...+ amn Xn ó bm

Xj 0 j = 1, 2,..., n

a11 X1 +...+ a1j Xj +...+ a1n Xn ó b1

. . . . . .ai1 X1 +...+ aij Xj +...+ ain Xn ó bi

. . .

. . .am1 X1 +...+ amj Xj +...+ amn Xn ó bm

Xj 0 j = 1, 2,..., n

Hallar Xj ; j = 1, 2,..., n

Para


1.- Una función f(X1, X2, ..., Xn) de X1, X2, ..., Xn es una función lineal sí y sólo sí para un conjunto de constante C1, C2, ..., Cn se tiene:

XXXX 4142321 loga XXXX 4142321 loga

2.- Asume las propiedades aditivas y multiplicativas

• Si una unidad tipo 1 necesita 2 horas en la máquina A y una unidad tipo 2 necesita 3 horas, entonces ambas necesitan 5 horas.• Si una unidad tipo 3 necesita 1 hora en la máquina B, entonces 5 unidades necesitan 5 horas

Linealidad asume que no pueden haber términos del siguiente tipo:

f(X1, X2, ..., Xn) = C1X1 + C2X2 + ... + CnXnf(X1, X2, ..., Xn) = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn

Características de la PL

4.- Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción debe ser una ecuación o desigualdad lineal.

5.- Existe una restricción de signo asociada a cada variable. Para toda variable Xi la restricción de signo especifica si Xi debe ser no negativa o bien sin restricción de signo.

6.- En las m restricciones no deben considerarse las condiciones de no negatividad de las variables (Xj 0)

3.- La función que se va a optimizar se llama Función Objetivo y en ella no aparece ningún término independiente o constante. Los valores de las Xj son independientes de cualquier constante


8.- Supuesto de Certeza: exige que cada parámetro, es decir, coeficientes de la función objetivo, coeficientes del lado derecho de las restricciones, etc. sean conocidos con certeza, es decir, no se acepta incertidumbre en sus valores

7.- Supuesto de Divisibilidad, requiere que cada variable puede tomar valores fraccionarios. En el ejemplo anterior, el supuesto se traduce en que es aceptable producir 2,4 sillas o 1,6 mesas. Evidentemente este supuesto no es válido en el ejemplo, en este caso se puede proceder a formular el problema como un problema de programación lineal entera (PPE), problema en que una o más variables deben ser enteras. Cuando no se satisface el supuesto de divisibilidad, una posibilidad es redondear la solución obtenida a un valor entero, sin embargo, no existe garantías que dicha solución sea la mejor.


Regiones Factibles y Soluciones Óptimas

Dos de los conceptos más fundamentales en los PPL son el de región factible y de solución óptima de un problema. Llamaremos punto a la especificación de un valor para cada variable de decisión.

La región factible para un PPL es el conjunto de puntos que satisfacen todas las restricciones (incluidas las de signo) del problema.

En el caso de un problema de maximización, una solución óptima del PPL es un punto de la región factible que está asociado al mayor valor posible de la función objetivo. Similarmente, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto que está asociado al menor valor.


Cualquier conjunto Xj que satisface las restricciones se llama “solución al problema”. Si satisface la condición de no negatividad se llama “solución factible” y si además optimiza la función objetivo se llama “solución factible óptima”

Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas se tiene que tratar de

hallar, en lo posible, una óptima.

Usualmente hay un número infinito de soluciones factibles al problema, de todas estas se tiene que tratar de

hallar, en lo posible, una óptima.


eii – 405 investigación de operaciones primer semestre 2007 robert barsby p. 2200821...

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