geometria-vectorial-unalmed

Geometria Analítica y Vectorial

A b r a h a m A s m a r C h a r r i s P a t r i c i a R e s t r e p o d e P e l á e z

R o s a F r a n c o A r b e l á e zF e r n a n d o V a r g a s H e r n á n d e z

ResumenGeometría Vectorial y Analítica.Una introducción al Algebra Lineal

Abraham Asmar Charris Patricia Restrepo de Peláez Rosa Franco ArbeláezFernando Vargas Hernández

Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín.

Capítulo 1. Vectores geométricos en el plano

1.1 Conceptos básicos

V ector geom�etrico: Segmento de recta orientado o dirigido. Se denota por: �!u , �!v , �!w ,... o indicando elpunto inicial y �nal,

��!AB.

1.2 Suma de vectores

Regla del paralelogramoSi los vectores �!u y �!v no son paralelos, se hacen coincidir sus puntos inicialesy se construye el paralelogramo determinado por dichos vectores. El vector suma�!u +�!v se de�ne como el vector que va desde el punto inicial de �!u y de �!v ; hastael vértice opuesto a este punto (�gura).

1

Regla del triánguloSe dibuja �!v a partir del extremo �nal de �!u : El vector suma �!u +�!v se de�ne comoel vector que va desde el punto inicial de �!u al punto �nal de �!v (�gura).

Propiedades básicas de la suma de vectores:Sean �!u , �!v y �!z vectores geométricos cualesquiera.

1: �!u +�!v es un vector geométrico.2: �!u +�!v = �!v +�!u3:(�!u +�!v ) +�!z = �!u + (�!v +�!z )4: �!u +�!0 = �!u5: �!u + (��!u ) = �!0

Para todo par de vectores �!u y �!v se cumple la desigualdad

k�!u +�!v k � k�!u k+ k�!v k

la cual se denomina desigualdad triangular.La igualdad k�!u +�!v k = k�!u k + k�!v k se da únicamente cuando �!u y �!v son paralelos con la misma

dirección.

1.3 Producto de un escalar por un vector

De�nición:

� ka�!u k = jaj k�!u k� a�!u = �!0 si y sólo si a = 0 o �!u = �!0� a�!u es paralelo a �!u

Propiedades básicas del producto de un escalar por un vector:Cualesquiera sean los vectores �!u y �!v y los escalares a y b:

2

1: a�!u es un vector geométrico2: a(b�!u ) = (ab)�!u3: 1�!u = �!u4: a(�!u +�!v ) = a�!u + a�!v5: (a+ b)�!u = a�!u + b�!u

�!u y �!v son paralelos si y sólo si �!v es múltiplo escalar de �!uo �!u es múltiplo escalar de �!v :

Teorema de la proporción: Sean m y n números positivos y sea P el punto de unsegmento AB que lo divide de tal modo que �!AP ��!PB = m

n

Si O es cualquier punto del plano, entonces

��!OP =

n

m+ n

�!OA+

m

m+ n

��!OB

Como caso particular del teorema de la proporción se tiene que:

Si M es el punto medio de un segmento AB y O es cualquier punto del plano entonces

��!OM =

1

2

�!OA+

1

2

��!OB

1.4 Descomposición de un vector

Descomposición de �!z en las direcciones de los vectores �!u y �!v .

Si �!u y �!v son vectores no paralelos entonces para todo vector �!zexisten únicos escalares a y b tales que

�!z = a�!u + b�!v

3

1.5 Proyección de un vector sobre otro vector

Sea �!u un vector no nulo y �!z un vector cualquiera.� Si �!z = �!0 ; P roy�!u�!z =

�!0 :

En este caso la componente escalar de �!z en la dirección de �!u es 0:� Si �!z 6= �!0 y � es el ángulo entre �!z y �!u ;

Proy�!u�!z = (k�!z k cos�)

�!uk�!u k :

En este caso la componente escalar de �!z en la dirección de �!u esk�!z k cos�

� �!z = �!p +�!q ; donde �!p = Proy�!u�!z es paralelo a �!u y �!q es perpendicular a �!u (ver �gura).

1.6 Producto escalar

Dados dos vectores geométricos cualesquiera �!v y �!u , se de�ne el producto escalar �!v � �!u ; como sigue :

� Si �!u = �!0 o �!v = �!0 ; �!v � �!u = 0

� Si �!u 6= �!0 ; �!v 6= �!0 y � es el ángulo entre �!v y �!u ;

�!v � �!u = k�!v k k�!u k cos�

Como consecuencia:

�!v � �!u = 0 si y sólo si �!v y �!u son perpendiculares

Además:

4

j�!v � �!u j � k�!v k k�!u k

Esta desigualdad, la cual es válida también para �!u =�!0 o �!v =

�!0 ; se conoce como desigualdad de

Cauchy-Schwarz.

Propiedades del producto escalar: Cualesquiera sean los vectores �!u , �!v , �!w y el escalar r; se satisfacelo siguiente:

1. �!u � �!v = �!v � �!u2. �!u � �!u = k�!u k23. (r�!u ) � �!v = r(�!u � �!v ) = �!u � (r�!v )4. �!u � (�!v +�!w ) = �!u � �!v +�!u � �!w(�!u +�!v ) � �!w = �!u � �!w +�!v � �!w

1.7 Vectores geométricos en el plano cartesiano. Descomposición canónica

Si consideramos los vectores unitarios�!i y

�!j en las direcciones positivas de los ejes x y y respectivamente,

Para todo vector �!u , existen únicos escalares a y b tales que �!u = a�!i + b�!j

La descomposición �!u = a�!i + b�!j , de un vector �!u se llama descomposición canónica de �!u .

��!OP = a

�!i + b

�!j si y sólo si P =

�a

b

�

La �gura ilustra la descomposición para a < 0 y b > 0.

5

Si P =�a

b

�y Q =

�c

d

�entonces la descomposición canónica de

��!PQ es

��!PQ = (c� a)�!i + (d� b)�!j

y así��!PQ =

��!OR donde R =

�c� ad� b

�

La descomposición canónica de cualquier vector �!u es única, es decir:

Si �!u = a�!i + b�!j y �!v = a0�!i + b0�!j entonces�!u = �!v si y sólo si a = a0 y b = b0

En particular, como�!0 = 0

�!i + 0

�!j ;

Si �!u = a�!i + b�!j entonces�!u = �!0 si y sólo si a = 0 y b = 0

Si se conoce la decomposición canónica de vectores �!u y �!v es muy sencillo hallar �!u +�!v y también r�!u ;para cualquier r 2 R. En efecto, se tiene que:

Si �!u = a�!i + b�!j y �!v = c�!i + d�!j entonces� �!u +�!v = (a+ c)�!i + (b+ d)�!j� r�!u = (ra)�!i + (rb)�!j

Si �!u = a�!i + b�!j y �!v = c�!i + d�!j entonces �!u � �!v = ac+ bd

6

Si �!u 6= �!0 y �!v 6= �!0 ; el ángulo � entre �!u y �!v es tal que

cos� =�!u � �!vk�!u k k�!v k

Si �!u 6= �!0 ; la componente escalar de �!v en la dirección de �!u es�!u � �!vk�!u k

y así, Proy�!u�!v =

��!u � �!vk�!u k

� �!uk�!u k =

�!u � �!vk�!u k2

!�!u =

��!u � �!v�!u � �!u

��!u

7




Capítulo 2. Vectores coordenados o algebraicos.

2.1 Introducción

Considerando el plano dotado de un sistema cartesiano xy, se puede identi�car cada punto del plano con un

par ordenado�a

b

�de números reales:

Cada vector con punto inicial en el origen O determina un único punto P =�a

b

�del plano el cual es su

extremo �nal y, recíprocamente, cada punto P =�a

b

�del plano es el extremo �nal de un único vector con

punto inicial en el origen, el cual es el vector��!OP , es decir, el vector de posición del punto P .

Tenemos así la correspondencia biunívoca��!OP ! P

entre el conjunto de los vectores con su punto inicial en el origen y el conjunto de los puntos del plano, esdecir, entre el conjunto de los vectores de posición y el conjunto R2:

2.2 Suma y producto por escalar en R2

Estas operaciones en R2 se de�nen de tal modo que

X + U = R , ��!OX +

��!OU =

��!OR

rX = S , r��!OX =

�!OS

1

y en general,

rX + tU = T , r��!OX + t

��!OU =

�!OT

cualesquiera sean X;U; R; S; T en R2 y r; t en R.

Los elementos de R2 se llamarán también vectores coordenados o vectores algebraicos.

Dado X en R2; todo vector de la forma rX; con r 2 R; se dirá un múltiplo escalar de X.

� El vector algebraico�0

0

�es llamado el vector nulo o vector cero de R2 y se denotará por la letra O:

Este vector es tal queX +O = X para cualquier X 2 R2:

� El inverso aditivo del vector X =

�x

y

�; denotado �X; se de�ne como �X =

��x�y

�:

Se tiene queX + (�X) = O y �X = (�1)X:

Propiedades básicas: Para cualesquiera vectores X;Y; Z de R2 y todo par de números reales r y s:

1: X + Y 2 R22: X + Y = Y +X3: (X + Y ) + Z = X + (Y + Z)4: X +O = X5: X + (�X) = O6: rX 2 R27: 1X = X8: r(sX) = (rs)X9: r(X + Y ) = rX + rY10: (r + s)X = rX + sX

La diferencia X � U es:X � U =

�x

y

��u

v

�=

�x� uy � v

�:

��!UX =

��!OR con R = X � U

2

Además, cualesquiera sean U;X; Y; Z en R2 se tiene

��!UX =

��!Y Z si y sólo si X � U = Z � Y

Teorema de la proporción en R2: Si m y n son números positivos y P es el punto

del segmento AB que lo divide de tal modo que

�!AP ��!PB =m

n, entonces

P =n

m+ nA+

m

m+ nB:

Como caso particular del teorema de la proporción se tiene que

Si M es el punto medio de un segmento de recta AB entoncesM = 1

2 (A+B)

2.3 Magnitud, dirección y otros conceptos en R2

� Sea X =

�x

y

�en R2: Llamaremos magnitud de X; denotada kXk ; a la magnitud del vector de posición

��!OX (vea �gura), es decir,

kXk = ��!OX =px2 + y2

� Consideremos X 2 R2: Si X 6= O llamaremos dirección de X; denotada dir (X) ; a la dirección delvector de posición

��!OX (En la �gura, el ángulo � es la dirección del vector algebraico X).

3

La distancia entre los puntos U =�u

v

�y X =

�x

y

�es

kX � Uk =p(x� u)2 + (y � v)2

Dos vectores de R2 son paralelos si y sólo si uno de ellos es múltiplo escalar del otro.

� Un vector de R2 se dice un vector unitario si tiene magnitud 1: Los vectores unitarios de R2 conformanla circunferencia de centro en el origen y radio 1. Si X 2 R2 y X 6= O entonces el vector 1

kXkX es unitario,

pues 1

kXkX = 1

kXk kXk = 1;

4

y tiene la misma dirección de X ya que1

kXk > 0.

� En la misma medida en que son importantes los vectores geométricos �!i y�!j , lo son los vectores

E1 =

�1

0

�y E2 =

�0

1

�en R2; los cuales llamaremos vectores canónicos de R2:

La descomposición canónica de un vector X =

�x

y

�de R2 es

X = xE1 + yE2

El producto escalar de los vectores X =

�x

y

�y U =

�u

v

�es el escalar

X � U = xu+ yv

Propiedades del producto escalar entre vectores de R2: Cualesquiera sean X, U , Z en R2 y r 2 R;

1. X � U es un escalar2. X �X = kXk23. X � U = U �X4. (rX) � U = r(X � U) = X � (rU)5. X � (U + Z) = X � U +X � Z y (X + U) � Z = X � Z + U � Z6. jX � U j � kXk kUk (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

� Si X y U son vectores no nulos de R2; el ángulo entre X y U se de�ne como el ángulo entre losvectores

��!OX y

��!OU (�gura).

5

Si � es el ángulo entre los vectores no nulos X y U entonces

cos� =X � UkXk kUk

Vectores ortogonales:

X es ortogonal a U si y sólo si X � U = 0

Proyección de X sobre U :

ProyUX = P si y sólo si Proy��!

OU

��!OX=

��!OP

ProyUX =

�X � UkUk

�U

kUk = X � UkUk2

!U =

�X � UU � U

�U

6




Capítulo 3. La línea recta en el plano.

3.1 Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas

Cualquier vector no nulo��!AB paralelo a una recta se dirá un vector director de dicha recta.

Consideremos una recta L y sean P0 un punto �jo de L y��!OD un vector director de L.

Ecuación vectorial paramétrica o simplemente una ecuación vectorial para la recta L:

X = P0 + tD; t 2 R

Si la recta L pasa por el origen, una ecuación vectorial para L es X = tD; t 2 R y diremos que L es larecta generada por el vector D:

Ecuaciones escalares paramétricas o simplemente unas ecuaciones paramétricas de la recta que

pasa por�x0y0

�y que tiene vector director

�d1d2

�:�

x = x0 + td1y = y0 + td2

t 2 R

1

Segmento de recta PQ

Dados dos puntos P y Q, el segmento de recta PQ; se puede expresar así:

PQ =�X 2 R2 � X = P + t(Q� P ); 0 � t � 1

3.2 Ángulo de inclinación y pendiente

Consideremos una recta L no paralela al eje x: El ángulo de inclinación de L es el ángulo � que se formapartiendo del eje x y avanzando en sentido antihorario hasta encontrar por primera vez a L. (Ver �gura).

Si L es una recta horizontal diremos que su ángulo de inclinación es de 0� (o 0 radianes).Nótese que el ángulo de inclinación � de cualquier recta es tal que 0� � � < 180� (o 0 � � < � si � se

mide en radianes).

Pendiente de una recta:

m = tan�

La pendiente queda de�nida para todas las rectas del plano, exceptuando únicamente las verticales (para lascuales el ángulo de inclinación es de 90�).

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

La pendiente m; al igual que el ángulo de inclinación �; es una medida de la inclinación de la recta y setiene que

m > 0 si y sólo si 0� < � < 90�

m < 0 si y sólo si 90� < � < 180�

m = 0 si y sólo si � = 0�

2

Si P1 =�x1y1

�y P2 =

�x2y2

�son dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical L entonces la

pendiente m de dicha recta es:

m =y2 � y1x2 � x1

Dado un vector director D =

�d1d2

�para una recta no vertical L, la pendiente m de L es m =

d2d1:

Si m es la pendiente de una recta L entonces D =

�1

m

�es un vector director de L.

3

3.3 Ecuaciones escalares no paramétricas

Sea L una recta en el plano que pasa por el punto P0 =�x0y0

�.

� Si L es horizontal, una ecuación para L es

y = y0

� Si L es vertical, una ecuación para L es

x = x0

� Si L no es horizontal ni vertical y un vector director de L es D =

�d1d2

�, una

ecuación para L , en forma simétrica, es

x� x0d1

=y � y0d2

� Si L tiene pendiente m; una ecuación para L en la forma punto - pendiente, es

y � y0 = m(x� x0)

� Si L tiene pendiente m y corta al eje y en el punto�0

b

�; una ecuación para L en

la forma pendiente - intercepto, es

y = mx+ b

Toda recta en el plano tiene una ecuación de la formaax+ by = c

con a; b; c constantes, a 6= 0 o b 6= 0, y toda ecuación de esta forma, llamada forma general,corresponde a una recta en el plano.

4

Toda recta que pasa por el origen tiene una ecuación de la formaax+ by = 0

con a; b constantes, a 6= 0 o b 6= 0, y toda ecuación de esta formacorresponde a una recta que pasa por el origen.

3.4 Ecuación en forma normal

Todo vector no nulo perpendicular a algún vector director de una recta se dirá un vector normal a dicharecta

� Si N =

�a

b

�es un vector normal a una recta L que pasa por un punto P0; entonces

una ecuación para L esax+ by = c

donde la constante c = N � P0:� Si ax+ by = c es una ecuación para una recta L entonces N =

�a

b

�es un vector

normal a L y D1 =��ba

�y D2 =

�b

�a

�son vectores directores de L.

3.5 Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores correspondientes son ortogonales

Si las rectas L1;L2 tienen pendientes m1;m2 respectivamente entonces

L1 ? L2 si y sólo si m1m2 = �1:

L1 ? L2 , D1 y D2 son ortogonales

, D1 �D2 = 0, 1 +m1m2 = 0

, m1m2 = �1

5

3.6 Ángulo entre rectas

Llamaremos ángulo de L1 a L2 al ángulo medido en sentido antihorario desde L1 hasta encontrar porprimera vez L2:

En la �gura dicho ángulo es � y 180� � � es el ángulo de L2 a L1:

Consideremos la �gura siguiente en la cual � es el ángulo de L1 a L2; � el de L2 a L1 y �1; �2 los ángulosde inclinación de L1 y L2, respectivamente.

� = �2 � �1Si ninguno de los ángulos �; �1 y �2 es recto entonces

tan � = tan (�2 � �1) =tan �2 � tan �11 + tan �1 tan �2

Si m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2 respectivamente entonces tan �1 = m1 y tan �2 = m2 por lotanto

tan � =m2 �m1

1 +m1m2

Nótese que la fórmula anterior no es aplicable cuando alguna de las rectas es vertical o cuando las rectasson perpendiculares.

En cuanto al ángulo � tenemos que � = 180� � � y por tanto

tan� = tan (180� � �) = � tan � = m1 �m2

1 +m1m2

6

3.7 Distancia de un punto a una recta

La distancia d del punto X0 =�x0y0

�a la recta L con ecuación

ax+ by = c; es

d =jax0 + by0 � cjp

a2 + b2:

3.8 Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia e independencialineal

Si �!u y �!v son vectores geométricos del plano, todo vector de la forma

a�!u + b�!v

con a y b escalares, se dice una combinación lineal de los vectores �!u y �!v : De manera similar, si X y Yson vectores de R2; todo vector de la forma

aX + bY

con a y b escalares, se dice una combinación lineal de los vectores X y Y:

Dos vectores X;Y de R2 son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de los dos es múltiplo escalardel otro. En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente independientes (L.I.). De igualforma, dos vectores geométricos �!u y �!v se dicen linealmente dependientes (L.D.) si alguno de los doses múltiplo escalar del otro, es decir, si son paralelos; en caso contrario los vectores se dicen linealmenteindependientes (L.I.).

7




Capítulo 4. Transformaciones lineales del plano y matrices 2� 2.4.1 Transformaciones del plano

En este capítulo nos interesan sólo las funciones del plano en sí mismo, es decir, funciones de R2 en R2 alas cuales nos referiremos como transformaciones del plano. Dichas transformaciones las denotaremosmediante letras mayúsculas como P;Q;R; S; T::::

Proyección sobre la recta L.

Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Si X es un vector cualquiera de R2; el vectorProy

UX; el cual está sobre L, lo llamaremos también la proyección de X sobre L (Ver �gura).

Denotaremos PU la transformación del plano que asigna a cada vector X de R2; su proyección sobre larecta L. Es decir,

PU : R2 ! R2X 7! PU (X) = ProyUX

La transformación PU la llamaremos proyección sobre la recta L.

Re�exión respecto a la recta L.

Sean U un vector no nulo de R2 y L la recta generada por U: Denotaremos SU la transformación delplano que asigna a cada vector X de R2 la re�exión de X respecto a la recta L. Es decir, para cada X de R2;SU (X) es el otro extremo del segmento de recta trazado desde X perpendicularmente a la recta L y cuyopunto medio es el punto PU (X) : (Ver �gura).

1

De manera queSU : R2 ! R2

X 7! SU (X) = 2PU (X)�XA la transformación SU la llamaremos re�exión respecto a la recta L.

Transformación múltiplo escalar.

Sea Dr : R2 ! R2 la transformación que asigna a cada vector X de R2 el vector rX: (Si r = 2, ver �gura).

Dr : R2 ! R2X 7! Dr (X) = rX

Si X =

�x

y

�; entonces

Dr (X) = rX = r

�x

y

�=

�rx

ry

�:

Rotación por el ángulo �.

Fijemos un número real �; �2� < � < 2�: Consideremos la transformación R� : R2 ! R2; la cualllamaremos rotación por el ángulo �, de�nida como se indica a continuación: para cada X de R2; R� (X)es el punto �nal del vector de posición obtenido al rotar el vector

��!OX alrededor del origen un ángulo de �

radianes. Convenimos en realizar la rotación en el sentido contrario al movimiento de las agujas del relojcuando � > 0, y en el mismo sentido de dicho movimiento cuando � < 0. (Ver �gura).

2

R�

�x

y

�=

�x cos � � ysen�xsen� + y cos �

�Si�x0

y0

�= R�

�x

y

�; la igualdad anterior es equivalente a las ecuaciones:

�x0 = x cos � � ysen�y0 = xsen� + y cos �

conocidas como ecuaciones de rotación:

Traslación por el vector U:

Fijemos un vector U de R2 y consideremos la transformación TU ; de�nida por TU (X) = X + U; paratodo X de R2 (ver �gura). Es decir,

TU : R2 ! R2X 7! TU (X) = X + U

La transformación TU se llamará traslación por el vector U ya que para cada X de R2; TU (X) es elpunto que se obtiene trasladando el punto X en la dirección del vector U (o

��!OU) una distancia kUk :

Si X =

�x

y

�y U =

�x0y0

�entonces

TU (X) = X + U =

�x

y

�+

�x0y0

�=

�x+ x0y + y0

�

o también si�x0

y0

�= TU

�x

y

�entonces �

x0 = x+ x0y0 = y + y0

:

3

La transformación que a cada�x

y

�de R2 le asigna como imagen el mismo vector

�x

y

�; se llamará la

transformación identidad y se denotará I.

La transformación que a cada�x

y

�de R2 le asigna como imagen el vector

�0

0

�; se llamará la transfor-

mación nula y se denotará O:

Obsérvese que D0 = O; D1 = I; R0 = I y To = I:

4.2 Transformaciones lineales y matrices

Toda transformación T : R2 ! R2 del tipo T�xy

�=

�ax+ bycx+ dy

�con a; b; c; d constantes reales, es

llamada una transformación lineal del plano. La denominación �lineal�tiene que ver con la forma lineal

de las expresiones ax+ by y cx+ dy para las coordenadas del vector T�x

y

�:

Cada una de las transformaciones PU ; SU ; Dr; R�; Identidad y Nula, es una transformación lineal del

plano. La transformación TU es transformación lineal únicamente en el caso U =�0

0

�; caso en el cual TU = I.

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal de�nida por T�xy

�=

�ax+ bycx+ dy

�con a; b; c; d constantes:

Es claro que los números a; b; c; d y sus posiciones en las igualdades anteriores determinan de manera únicaa T: Pues bien, el símbolo o arreglo �

a bc d

�se llama matriz de T y se denotará m (T ) :

En general, todo arreglo de números como el anterior se dirá una matriz de dos �las y dos columnas,una matriz 2� 2, o una matriz de orden 2.

Dos matrices�a bc d

�y�a0 b0

c0 d0

�se dicen iguales, y se escribe

�a bc d

�=

�a0 b0

c0 d0

�si a = a0; b = b0; c = c0 y d = d0:

Si U =�21

�; las matrices de las transformaciones lineales PU ; SU ; Dr y R� antes consideradas son:

m (PU ) =

�4=5 2=52=5 1=5

�m (SU ) =

�3=5 4=54=5 �3=5

�

m (Dr) =

�r 00 r

�m (R�) =

�cos � �sen�sen� cos �

�Además,

m (I) =

�1 00 1

�y m (O) =

�0 00 0

�

La matriz m (I) se llamará matriz identidad de orden 2 y se denotará I2, mientras que la matrizm (O) se llamará matriz nula de orden 2 y se denotrá O:

4

Obsérvese que cada transformación lineal T determina una matriz 2�2 la cual es m (T ) y recíprocamente,

cada matriz�a bc d

�es la matriz de una única transformación lineal del plano, la cual es la transformación

T : R2 ! R2 de�nida por

T

�x

y

�=

�ax+ by

cx+ dy

�:

Queda así establecida una correspondencia biunívoca entre las transformaciones del plano y las matrices2� 2:

Sea T la transformación lineal de�nida por

T

�x

y

�=

�ax+ by

cx+ dy

�:

Como la matriz�a bc d

�determina la transformación T , es natural escribir, para cada

�x

y

�de R2;�

a bc d

��x

y

�= T

�x

y

�notación en la cual la matriz de T aparece sustituyendo al símbolo T:

De acuerdo con la igualdad anterior, la de�nición del producto de una matriz 2 � 2 por un vectorde R2; es: �

a bc d

��x

y

�=

�ax+ by

cx+ dy

�:

4.3 Propiedades básicas de las transformaciones lineales

Una transformación T : R2 ! R2 es una transformación lineal si y sólo si

T (X + U) = T (X) + T (U) y T (rX) = rT (X)

para todo par de vectores X;U de R2 y todo escalar r:

Las dos propiedades anteriores se pueden sustituir por la propiedad

T (rX + sU) = rT (X) + sT (U)

cualesquiera sean X;U en R2 y r; s en R:

Además toda transformación lineal T : R2 ! R2 tiene las siguientes propiedades:

� Para cualquier vector�x

y

�de R2;

T

�x

y

�= xT (E1) + yT (E2) :

Así, una transformación lineal T del plano queda completamente

determinada por los vectores T (E1) y T (E2) ; es decir, por las imágenesque ella asigne a los vectores canónicos E1 y E2:

� T (E1) =

�a

c

�y T (E2) =

�b

d

�si y sólo si m (T ) =

�a bc d

�:

� T

�0

0

�=

�0

0

�:

5

4.4 Imagen de un conjunto bajo una transformación

Sea T una transformación del plano y C un conjunto de puntos del plano. Llamaremos imagen de C bajoT al conjunto denotado T (C) y conformado por todos los vectores T (X) con X 2 C, es decir,

T (C) = fT (X) / X 2 C g :

Como una primera propiedad geométrica de las transformaciones lineales tenemos:

1. La imagen de una recta L bajo una transformación lineal T es una recta o es unconjunto con un solo punto. Más precisamente:

a) Si L es la recta que pasa por los puntos distintos P y Q entonces T (L)es la recta quepasa por T (P ) y T (Q) si T (P ) 6= T (Q) ; si T (P ) = T (Q) entonces T (L) = fT (P )g :b) Si L pasa por el punto P y tiene vector director U entonces T (L) es la recta quepasa por el punto T (P ) y tiene vector director T (U) si T (U) 6= O; si T (U) = O;entonces T (L) = fT (P )g :

2. La imagen de un segmento de recta PQ; bajo una transformación lineal T; es elsegmento de recta de extremos T (P ) y T (Q), el cual se reduce al conjunto fT (P )gcuando T (P ) = T (Q) :

La imagen bajo una transformación lineal T del paralelogramo determinadopor dos vectores X y U linealmente independientes, es el paralelogramodeterminado por T (X) y T (U) ; si estos vectores son linealmente independientes.Si T (X) y T (U) son linealmente dependientes entonces dicha imagen es un segmento

de recta o es el conjunto��0

0

��:

4.5 Operaciones con transformaciones lineales y con matrices

Sean T y S dos transformaciones del plano. La suma de T y S, denotada T + S, es la transformación delplano de�nida así,

T + S : R2 ! R2X 7! (T + S) (X) = T (X) + S (X)

Para cada transformación T del plano se tiene la transformación denotada �T y de�nida, para cadaX 2 R2, por

(�T ) (X) = � (T (X)) :La transformación �T es tal que T + (�T ) = O donde, como se ha convenido, O denota la transformaciónnula.

La suma entre transformaciones del plano goza de las siguientes propiedades. En ellas T; S y R sontransformaciones del plano y O es la transformación nula.

1. T + S = S + T:2. (T + S) +R = T + (S +R) :3. T +O = T:4. T + (�T ) = O:

6

La suma entre dos matrices 2� 2 se de�ne de la siguiente manera:�a bc d

�+

�a0 b0

c0 d0

�=

�a+ a0 b+ b0

c+ c0 d+ d0

�:

Si T y S son transformaciones lineales del plano, con

m (T ) =

�a bc d

�y m (S) =

�a0 b0

c0 d0

�entonces T + S también es una transformación lineal del plano y

m (T + S) =

�a+ a0 b+ b0

c+ c0 d+ d0

�= m (T ) +m (S) :

Es de esperar que la suma entre matrices tenga las mismas propiedades algebraicas de la suma entretransformaciones lineales. En efecto si A;B;C son matrices 2 � 2 cualesquiera y O es la matriz nula 2 � 2,se tiene que:

1. A+B = B +A:2. (A+B) + C = A+ (B + C) :3. A+O = A4. A+ (�A) = O:

Sean r un escalar y T : R2 ! R2: El producto de r por T; denotado rT; es la transformación del planode�nida, para cada X de R2; por

(rT ) (X) = r (T (X)) :

Así,

rT : R2 ! R2X 7! (rT ) (X) = r (T (X))

Propiedades básicas: Cualesquiera sean las transformaciones T; S del plano y los números r; s,

1. r (sT ) = (rs)T = s (rT ) :2. 1T = T:3. r (T + S) = rT + rS:4. (r + s)T = rT + sT:

El Producto r�a bc d

�de un escalar r por una matriz

�a bc d

�se de�ne en la forma

r

�a bc d

�=

�ra rbrc rd

�:

Tenemos así que:

7

Si r es un escalar y T es una transformación lineal del plano con

m (T ) =

�a bc d

�entonces rT también es una transformación lineal del plano y

m (rT ) =

�ra rbrc rd

�= r (m (T )) :

El producto de un escalar por una matriz 2 � 2 hereda las propiedades algebraicas del producto de unescalar por una transformación lineal. Si A;B son matrices 2� 2 y r; s son escalares, se tiene que

1. r (sA) = (rs)A = s (rA) :2. 1A = A:3. r (A+B) = rA+ rB:4. (r + s)A = rA+ sA:

Se denomina compuesta de T y S; denotada T � S; a la transformación del plano de�nida, para cadaX de R2; así:

T � S : R2 ! R2X 7! (T � S) (X) = T (S (X))

Propiedades básicas de la composición entre transformaciones lineales: Si T; S;R son trans-formaciones lineales del plano, r es un escalar, I la transformación identidad y O la transformación nula,entonces:

1. T � (S �R) = (T � S) �R:2. T � I = T = I � T:3. T � (S +R) = (T � S) + (T �R) :4. (S +R) � T = (S � T ) + (R � T ) :5. (rT ) � S = r (T � S) = T � (rS) :6. T �O = O = O � T:

Se advierte al lector que algunas de dichas propiedades no son exclusivas de las transformaciones lineales.

La compuesta T � S de dos transformaciones lineales T y S es llamada producto de T y S y tambiénse denota TS:

Si T y S son transformaciones lineales del plano con

m (T ) =

�a bc d

�y m (S) =

�a0 b0

c0 d0

�entonces el producto (la compuesta) TS también es una transformaciónlineal del plano y

m (TS) =

�aa0 + bc0 ab0 + bd0

ca0 + dc0 cb0 + dd0

�= m (T )m (S) :

8

Con base en esta igualdad se de�ne el producto de dos matrices 2� 2 en la forma siguiente:�a bc d

��a0 b0

c0 d0

�=

�aa0 + bc0 ab0 + bd0

ca0 + dc0 cb0 + dd0

�:

El producto entre matrices 2� 2 no es conmutativo.

En general, el producto entre matrices 2�2 se comporta algebraicamente como el producto (compuesta)entre transformaciones lineales del plano. En efecto, se tiene que si A;B;C son matrices 2 � 2 y r es unescalar, entonces:

1. (AB)C = A (BC) :2. AI2 = A = I2A:3. A (B + C) = AB +AC:4. (B + C)A = BA+ CA:5. (rA)B = r (AB) = A (rB) :6. AO = O = OA:

Propiedades básicas del producto.de una matriz 2� 2 por un vector de R2: Cualesquiera seanlas matrices A;B; los vectores X;U de R2 y r en R se tiene:

1. A (X + U) = AX +AU:2. A (rX) = r (AX) :3. (A+B)X = AX +BX:4. (rA)X = r (AX) :5. (AB)X = A (BX) :

4.6 Inversas para transformaciones lineales y matrices

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal. Si existe una transformación linealS : R2 ! R2 tal que TS = ST = I decimos que T es invertible y su inversa es T�1 = S:

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con m (T ) =�a bc d

�:

Las siguientes a�rmaciones son equivalentes:

1. T es invertible.2. T es uno a uno y sobre.3. El único vector X de R2 tal que T (X) = O es X = O:

4. Las columnas�a

c

�y�b

d

�de m (T ) son linealmente independientes.

5. ad� bc 6= 0:

9

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con m (T ) =�a bc d

�:

Si T es invertible entonces

m�T�1

�=

�d=� �b=��c=� a=�

�= 1

�

�d �b�c a

�donde � = ad� bc:

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal. Si existe una transformación linealS : R2 ! R2 tal que TS = I entonces ST = I y por tanto T es invertible y T�1 = S:

Sea A una matriz 2 � 2 y sea T : R2 ! R2 la transformación lineal tal que m (T ) = A: Diremos que lamatriz A es invertible si la transformación lineal T es invertible. Si éste es el caso, a la matriz m

�T�1

�la

llamaremos la inversa de A y la denotaremos A�1:

Sea A =�a bc d

�:

1. Las a�rmaciones siguientes son equivalentes.

a) A es invertible.b) El único vector X de R2 tal que AX = O es X = O:c) Las columnas de A son linealmente independientes.d) ad� bc 6= 0:

2. Si ad� bc 6= 0 entonces A�1 = 1

�

�d �b�c a

�donde � = ad� bc:

3. Si existe una matriz B de orden 2 tal que AB = I2 entonces BA = I2y por tanto A es invertible y A�1 = B:

10




Capítulo 5. Sistemas de ecuaciones lineales 2� 2.5.1 Conceptos y resultados básicos

Recordemos que una ecuación lineal en dos variables x; y es una ecuación de la forma

ax+ by = u

en la cual a; b y u son números reales dados.

Una solución de una tal ecuación es un par ordenado�x0y0

�de R2 tal que al sustituir x por x0 y y por

y0; la ecuación se satisface, es decirax0 + by0 = u:

El conjunto de todas las soluciones de una ecuación lineal se dirá su conjunto solución. Dos ecuacioneslineales se dirán equivalentes si tienen el mismo conjunto solución; cuando se multiplican los dos miembrosde una ecuación por un escalar no nulo se obtiene una ecuación equivalente.

Como sabemos, si a 6= 0 o b 6= 0; la ecuación lineal anterior corresponde a una línea recta, de manera queen tal caso el conjunto solución de la ecuación lineal es dicha línea recta.

Consideremos ahora un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

ax+ by = ucx+ dy = v

(a; b; c; d; u y v son números reales dados).

Una solución de tal sistema es un par ordenado�x0y0

�de R2; el cual es solución de cada una de las dos

ecuaciones del sistema.

El sistema anterior se dice soluble o consistente si tiene al menos una solución; en caso contrario, elsistema se dice no soluble o inconsistente. El conjunto de todas las soluciones de un sistema como elanterior se dirá su conjunto solución.

Si en el sistema anterior se tiene a = 0 y b = 0 o se tiene c = 0 y d = 0; entonces el conjunto solución esuna recta , todo R2:o el conjunto vacío. En lo que sigue centraremos la atención en el caso no trivial

a 6= 0 o b 6= 0 y c 6= 0 o d 6= 0:

1

En este caso el conjunto solución de la primera ecuación es una línea recta L1 y el de la segunda una línearecta L2; por tanto, el conjunto solución del sistema es la intersección de L1 y L2:

Ahora bien, para dichas rectas L1, L2 se da una y sólo una de las tres posibilidades siguientes (ver �gura):

� L1 = L2:

� L1 y L2 son paralelas y L1 6= L2.

� L1 y L2 se cortan en un único punto.

Así, admitiendo lo anterior, podemos a�rmar lo siguiente:

Para el sistema de dos ecuaciones lineales, bajo la condición de no trivialidad, se da uno y sólo uno de lossiguientes casos:Caso 1. El sistema tiene in�nitas soluciones, siendo su conjunto solución

una línea recta. Cualquiera de las dos ecuaciones del sistema es unaecuación para dicha recta.

Caso 2. El sistema carece de soluciones.Caso 3. El sistema tiene solamente una solución, la cual es el punto de

intersección de las rectas L1 y L2:

Dos sistemas de dos ecuaciones lineales se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.Cuando se sustituye una de las ecuaciones de un sistema por la suma de esa ecuación y un múltiplo escalarde la otra, se obtiene un sistema equivalente.

Uno de los procedimientos más empleados para resolver un sistema es el llamado método de elimi-nación, el cual consiste en eliminar una de las incógnitas en alguna de las ecuaciones sin alterar el conjuntosolución del sistema.

5.2 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Un sistema de dos ecuaciones lineales puede escribirse, usando matrices 2� 2 y vectores de R2; en la formamatricial: �

a bc d

��x

y

�=

�u

v

�O sea

AX = U

2

con A =�a bc d

�; X =

�x

y

�y U =

�u

v

�:

Nótese que un vector X0 de R2 es una solución del sistema anterior si y sólo si AX0 = U:

Para cualquier matriz A de orden 2 y cualquier vector U de R2:se tiene:El sistema AX = U tiene solamente una solución si y sólo si la matriz Aes invertible.Cuando A es invertible, la única solución del sistema es X0 = A�1U:

Si en el sistema AX = U se tiene U =�0

0

�el sistema se dice homogéneo. Cualquiera sea la matriz A;

el sistema homogéneo AX = O es soluble ya que este sistema posee al menos la solución X =

�0

0

�; la cual

se dirá la solución trivial.

Posibilidades para el conjunto solución de un sistema homogéneo AX = O:

Cualquiera sea la matriz A de orden 2;a) El sistema AX = O tiene únicamente la solución trivial X = O

si y sólo si A es invertible.b) Si A no es invertible y A 6= O; el conjunto solución del sistema

AX = O es una línea recta que pasa por el origen.c) Si A = O; el conjunto solución del sistema AX = O es todo R2:

Dado un sistema no homogéneo AX = U; el sistema AX = O se dirá su sistema homogéneo asociado.

Sea A una matriz 2� 2 no nula y no invertible y sea U un vector no nulo de R2:Si X0 es una solución particular del sistema AX = U y la recta

L0= ftD j t 2 Rg (D 2 R2; D �jo)

es el conjunto solución del sistema homogéneo asociado AX = O entoncesel conjunto solución del sistema AX = U es la recta

L = fX0 + tD j t 2 Rges decir, la recta

L = TX0(L0)

la cual pasa por el punto X0 y es paralela a L0:

El sistema AX = U es soluble si y sólo si el vector U es combinaciónlineal de las columnas de la matriz A:

Sea A =�a bc d

�: Si A es no nula y no invertible entonces el conjunto de los vectores�

u

v

�para los cuales el sistema AX =

�u

v

�es soluble es la recta generada por

�a

c

�si�

a

c

�6=�0

0

�; o por

�b

d

�si�b

d

�6=�0

0

�:

3




Capítulo 6. Determinantes de orden 2.

6.1 De�nición y resultados básicos.

Consideremos una matriz A =�a bc d

�o bien la transformación lineal T : R2 ! R2 cuya matriz es A:

El escalar ad�bc es llamado determinante de la matriz A o también determinante de la transformaciónT: Lo denotaremos de cualquiera de las formas siguientes:�� a b

c d

�� ; det (A) o det (T ) :Empleando el concepto de determinante, podemos reescribir algunos resultados de capítulos previos así:

Sea T : R2 ! R2 la transformación lineal cuya matriz es

A =

�a bc d

�:

� A es invertible si y sólo si det (A) 6= 0� T es invertible si y sólo si det (T ) 6= 0.� Si det (A) 6= 0;

m�T�1

�= A�1 = 1

det(A)

�d �b�c a

�:

� Las columnas de la matriz A son linealmente independientessi y sólo si det (A) 6= 0:

� Cualquiera sea el vector�u

v

�; el sistema A

�x

y

�=

�u

v

�tiene

solución única si y sólo si det (A) 6= 0:

1

6.3 Determinantes y áreas de paralelogramos

Si P es el paralelogramo determinado por dos vectores X1 =

�x1y1

�y

X2 =

�x2y2

�; linealmente independientes, entonces

Área de P = valor absoluto de�� x1 x2y1 y2

��

Si T : R2 ! R2 es una transformación lineal invertible y P es el paralel-

ogramo determinado por dos vectores linealmente independientes X1 =

�x1y1

�;

X2 =

�x2y2

�entonces

Área de T (P) = jdet (T )jÁrea de P:

6.4 Fórmulas de Cramer

Las siguientes fórmulas para x y y en un sistema de dos ecuaciones lineales ( de solución única) se conocencomo fórmulas de Cramer.

Si

�� a bc d

�� 6= 0; el sistemaax+ by = ucx+ dy = v

tiene una y sólo una solución dada por

x =

�� u bv d

�� a bc d

��y y =

�� a uc v

�� a bc d

��

2

6.5 Propiedades

Cualesquiera sean las matrices A y B de orden 2;

det (AB) = det (A) det (B)

De esta propiedad se sigue que

Si A es una matriz 2� 2 invertible entoncesdet

�A�1

�=

1

det (A)

Otras propiedades del determinante.

1.

�� a cb d

�� = �� a bc d

�� :Es decir, det

�AT�= det (A) donde AT denota la transpuesta de la matriz A.

2.

�� c da b

�� = � �� a bc d

��.Es decir, cuando se intercambian las �las de una matriz A el determinante de la nueva matriz es �det (A) :

3.

�� ta tbc d

�� = t �� a bc d

�� y

�� a btc td

�� = t �� a bc d

�� :Es decir, cuando se multiplica una de las �las de una matriz A por un escalar t, el determinante de la

nueva matriz es tdet (A) :

4.

�� a+ a0 b+ b0

c d

�� = �� a bc d

��+ �� a0 b0

c d

�� y�� a bc+ c0 d+ d0

�� = �� a bc d

��+ �� a bc0 d0

��5.

�� a bta tb

�� = 0 y

�� tc tdc d

�� = 0:Es decir, si las �las de una matriz A son linealmente dependientes entonces det (A) = 0:

6.

�� a bc+ ta d+ tb

�� = �� a bc d

�� y

�� a+ tc b+ tdc d

�� = �� a bc d

�� :Es decir, si una �la de una matriz A se sustituye por la suma de ella con un múltiplo escalar de la otra

�la de A; el determinante de la nueva matriz es igual a det (A) :

Nótese que las propiedades 2: a 6: se re�eren a movimientos, operaciones o sustituciones en las �las de lamatriz. Se sigue de la propiedad 1: que dichas propiedades 2: a 6: también son válidas si esos movimientos,operaciones o sustituciones se re�eren a las columnas de la matriz.

3




Capítulo 7. Valores propios y vectores propios.

7.1 De�niciones. Cálculo de valores y vectores propios

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal y sea � un escalar. Si existe un vector X de R2; X 6= O; tal que

T (X) = �X

se dice que � es un valor propio de T: Si � es un valor propio de T; cada vector no nulo X de R2 tal queT (X) = �X se dice un vector propio de T correspondiente a �:

La ecuación �� a� � bc d� �

�� = 0:con � como su incógnita, se llama ecuación característica de T (de A); desarrollando el determinante,dicha ecuación se convierte en

(a� �) (d� �)� bc = 0que también podemos escribir como

�2 � (a+ d)�+ (ad� bc) = 0:

Las raíces reales de esta ecuación son entonces los valores propios de T (de A).

Sea T : R2 ! R2 una transformación lineal con matriz A =�a bc d

�y sea

� un número real.

� � es un valor propio de T (de A) si y sólo si � es una raíz de la ecuacióncaracterística de T (de A) �� a� � b

c d� �

�� = 0:� La transformación T (la matriz A) tiene a lo más dos valores propios distintos.

� Si � es un valor propio de T (de A), los vectores propios de T (de A)correspondientes a � son las soluciones no triviales del sistema homogéneo�

a� � bc d� �

��x

y

�=

�0

0

�:

1

7.2 Factorización A = PDP�1

Sea A una matriz 2� 2. Si�x1y1

�;

�x2y2

�son vectores propios de A linealmente

independientes, correspondientes respectivamente a los valores propios �1; �2de A (puede ser �1 = �2) entonces

A = PDP�1

donde

P =

�x1 x2y1 y2

�y D =

��1 00 �2

�:

Una matriz A es factorizable en la forma PDP�1 si y sólo siA tiene dos vectores propios linealmente independientes.

De una matriz de la forma��1 00 �2

�se dice que es una matriz diagonal.

7.3 Valores propios y vectores propios de matrices simétricas

Una matriz 2� 2 se dice simétrica si tiene la forma�a bb d

�o equivalentemente, si ella es igual a su traspuesta.

Sea A una matriz simétrica de orden 2:� Las raíces de la ecuación característica de A son ambas reales y por tantoA siempre tiene valores propios.

� Si A es de la forma�a 00 a

�entonces los valores propios de A son �1 = �2 = a:

� Si A no es de la forma�a 00 a

�entonces A tiene dos valores propios distintos.

Sea A una matriz 2� 2 simétrica. A siempre podrá factorizarse en la forma

A = PDP�1

con P matriz invertible y D matriz diagonal.

Una matriz P de orden 2; invertible y con la propiedad P�1 = PT es llamada una matriz ortogonal.Esta denominación se debe a que las matrices con tal propiedad son las que tienen sus columnas ortogonalesy unitarias.

2

Sea A una matriz simétrica de orden 2; con dos valores propios distintos �1; �2:Si X1; X2 son vectores propios de A correspondientes a �1; �2 respectivamenteentonces

X1 ? X2

Otras propiedades de las matrices simétricas:

1: Para toda matriz simétrica A; con valores propios �1; �2 (no necesariamentedistintos) existe una matriz ortogonal P tal que

P�1AP =

��1 00 �2

�o, equivalentemente , tal que

PTAP =

��1 00 �2

�:

2: Si A es una matriz simétrica no diagonal, entonces A siempre tiene dos vectorespropios (unitarios y ortogonales) de la forma�

cos �

sen�

�y��sen�cos �

�con 0 < � < �

2 . La matriz

Q =

�cos � �sen�sen� cos �

�la cual es la matriz de la rotación R�, es una matriz ortogonal tal que

QTAQ =

��1 00 �2

�donde �1; �2 son los valores propios de A y �1 denota aquel valor propio al

cual corresponde el vector propio�cos �

sen�

�: Ver �gura siguiente.

3




Capítulo 8. Secciones Cónicas.

Introducción

Los antiguos geómetras griegos descubrieron que cortando un cono circular recto de dos hojas (o mantos)con planos que no pasan por el vértice del cono, se obtienen tres tipos básicos de curvas, las cuales sedenominan secciones cónicas, o simplemente cónicas.Un cono circular recto de dos hojas es una super�cie en el espacio conformada por todas las rectas que

pasan por un punto �jo P y forman un ángulo constante �; 0 < � < 90�; con una recta �ja L que pasa porP (ver �gura). La recta L es el eje del cono, el punto P es el vértice del cono y cada recta que es parte delcono se dice un elemento del cono. El vértice P separa al cono en dos partes, a las que se llama hojas.

Cuando un plano, que no pasa por el vértice P; corta todos los elementos de una sola hoja, la curvaintersección del plano con el cono se llama elipse (ver �gura a); si el plano es paralelo a un elemento, lacorrespondiente curva intersección se llama parábola (ver �gura b), y si el plano corta ambas hojas, la curvaresultante se llama hipérbola (ver �gura c). Cuando se corta el cono con un plano que pasa por el vérticedel cono, la intersección resultante puede ser un punto, una recta o dos rectas que se cortan en el vértice. Aeste tipo de intersecciones se les llama cónicas degeneradas.

1

Un caso particular de elipse es la circunferencia, curva que se obtiene cortando al cono con un plano queno pase por el vértice y que sea perpendicular al eje del cono.Se ha encontrado que las secciones cónicas se pueden de�nir (sin hacer referencia a un cono) como ciertos

lugares geométricos del plano, es decir, como ciertos conjuntos de puntos del plano que cumplen determinadascondiciones.

8.1 La circunferencia

Se denomina circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan (están a igual distancia)de un punto �jo del plano. Al punto �jo se le llama centro y a la distancia del centro a cualquier punto dela circunferencia se le llama radio. (Ver �gura a.)

Consideremos ahora el plano dotado de un sistema de coordenadas cartesianas xy; (ver �gura b)

Una ecuación para la circunferencia con centro en el punto�h

k

�y radio r es

(x� h)2 + (y � k)2 = r2:

Si el centro es el origen (es decir, h = 0 y k = 0), la ecuación anterior adopta la forma más simple

x2 + y2 = r2

2

la cual es llamada forma canónica de la ecuación de la circunferencia.

En general, una circunferencia tiene una ecuación de la forma:

x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0:

la cual, puede llervarse a la forma anterior completando los cuadrados en las variables x y y:

Se advierte al lector que no toda ecuación de la forma anterior representa una circunferencia,.porque esposible que al completar los cuadrados se obtenga una ecuación de la forma

(x� h)2 + (y � k)2 = d

con d = 0 o con d < 0: Es claro que en el primer caso la ecuación sólo es satisfecha por el punto�x

y

�=

�h

k

�;

mientras que en el segundo caso ningún punto�x

y

�de R2 la satisface.

8.2 Traslación de ejes

La forma de una ecuación para una curva dada, referida a un cierto sistema cartesiano, depende de laubicación de la curva respecto a los correspondientes ejes coordenados.

En muchos casos es posible transformar una ecuación dada para una curva, referida a un sistema xy, enuna ecuación más simple, cambiando a un nuevo sistema cartesiano x0y0: Debe tenerse presente que cuandose efectúa un tal cambio de sistema, cada punto P del plano con coordenadas x; y relativas al sistema xy;adquiere nuevas coordenadas x0; y0 relativas al nuevo sistema x0y0: Es necesario disponer de la relación entrelas viejas coordenadas x; y y las nuevas x0; y0 para poder pasar de un sistema al otro.

Traslación de ejes. Es el cambio más sencillo de un sistema cartesiano xy a otro sistema cartesianox0y0: aquel en el cual los nuevos ejes x0; y0 son respectivamente paralelos a los ejes x; y; están orientados enel mismo sentido y además se conserva en cada uno de ellos la unidad de medida (ver �gura).

Supongamos que se trasladan los ejes coordenados x; y de modo que el

nuevo origen es el punto O0 =�h

k

�; respecto al sistema xy:

Si�x

y

�y�x0

y0

�son, respectivamente, los vectores de coordenadas de un

mismo punto P del plano, respecto al sistema xy y respecto al nuevo sistema x0y0

entoncesx = x0 + h y y = y0 + k

o, equivalentemente,x0 = x� h y y0 = y � k:

3

8.3 La parábola

Se denomina parábola al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto �jo (del plano)llamado foco, y de una recta �ja (también del plano) llamada directriz, la cual no contiene al foco. En la�gura, el punto F es el foco y la recta L es la directriz.

La recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L se llama eje focal. El punto en elcual el eje focal intersecta la parábola se llama vértice; es claro que este punto (el cual es el punto V en la�gura) está ubicado a la mitad de la distancia entre el foco F y la directriz L.

La recta que pasa por el foco F y es paralela a la directriz L corta a la parábola en dos puntos P 0 y P ;el segmento P 0P es llamado lado recto de la parábola. (Ver �gura anterior).

� Una ecuación para la parábola con vértice en el origen y foco F =�0

p

�; p 6= 0; es

y =1

4px2:

Si p > 0; la parábola abre hacia arriba y si p < 0; la parábola abre hacia abajo.

� Una ecuación para la parábola con vértice en el origen y foco F =�p

0

�; p 6= 0; es

x =1

4py2:

Si p > 0; la parábola abre hacia la derecha y si p < 0; la parábola abre hacia la izquierda.

Estas ecuaciones son las más simples para la parábola, por tal razón a ellas se les llama formas canónicas.

4

La parábola es simétrica respecto a su eje focal. La longitud del lado recto de P es kP � P 0k = 4 jpj : Así,entre más grande sea jpj ; más abierta es la parábola y entre más pequeño sea jpj ; más cerrada es la misma.Vale la pena resaltar que el número p, es tal que jpj es la distancia del foco F al vértice, como también delvértice a la directriz.

Una parábola se dice vertical, respecto a un sistema cartesiano xy; si su eje focal coincide con el ejey o es paralelo a dicho eje. Si el eje focal coincide con el eje x o es paralelo a este eje, la parábola se dicehorizontal.

5

� Una ecuación para la parábola vertical con vértice V =�h

k

�y

foco F =�

h

k + p

�; p 6= 0; es

y � k = 1

4p(x� h)2 :

Si p > 0; la parábola abre hacia arriba y si p < 0; la parábola abre hacia abajo.

� Una ecuación para la parábola horizontal con vértice V =�h

k

�y

foco F =�h+ p

k

�; p 6= 0; es

x� h = 1

4p(y � k)2 :

Si p > 0; la parábola abre hacia la derecha y si p < 0; la parábola abre hacia la izquierda.

Es claro que en cualquiera de los dos casos anteriores, jpj sigue siendo la distancia del foco al vértice y deéste a la directriz, y que la longitud del lado recto sigue siendo también 4 jpj :

� Toda parábola vertical tiene una ecuación de la formay = ax2 + bx+ c; a 6= 0

con a > 0 si la parábola abre hacia arriba y a < 0 si la parábola abre haciaabajo. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior representa unaparábola vertical, la cual abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0:

� Toda parábola horizontal tiene una ecuación de la formax = ay2 + by + c; a 6= 0

con a > 0 si la parábola abre hacia la derecha y a < 0 si la parábola abre haciala izquierda. Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior representa unaparábola horizontal, la cual abre hacia la derecha si a > 0 y hacia la izquierdasi a < 0:

Cada una de las ecuaciones

y � k = 1

4p(x� h)2 y x� h = 1

4p(y � k)2 :

6

se puede llevar a una ecuación de la forma

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

con A 6= 0 y C = 0 o bien A = 0 y C 6= 0:

Podemos a�rmar entonces que toda parábola horizontal o vertical tiene una ecuación de la forma anterior.Ahora, si se parte de una ecuación de la forma anterior para una parábola dada, podemos transformarla enuna ecuación de la forma y � k = 1

4p (x� h)2 o en una de la forma x� h = 1

4p (y � k)2, según corresponda,

completando el cuadrado en la variable x si A 6= 0 o en la variable y si C 6= 0:

Algunas ecuaciones de esta última forma, con A y C como se ha indicado, no representan parábolas.Dependiendo de sus características puede representar un par de rectas paralelas o una sola recta. Tambiénpuede ocurrir que no represente lugar geométrico alguno.

8.4 La elipse

Se denomina elipse al conjunto de todos los puntos P del plano tales que la suma de las distancias de Pa dos puntos �jos del plano F 0 y F es constante, siendo esa constante mayor que la distancia entre dichospuntos. Los puntos �jos F 0 y F son llamados focos de la elipse (ver �gura).

La recta L que pasa por los focos se llama eje focal, y los puntos V 0; V donde el eje focal corta la elipse,se llaman vértices. El segmento V 0V se llama eje mayor. El punto C; el cual es el punto medio delsegmento F 0F ; se llama centro. La recta L0 que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal, se llamaeje normal. El segmento A0A; donde A0 y A son los puntos de corte del eje normal con la elipse, se llamaeje menor.

7

Sea E una elipse con focos F 0 y F tal que la suma de las distancias de cada uno de suspuntos a los focos es la constante 2a:

� Si F 0 =��c0

�y F =

�c

0

�; 0 � c < a entonces una ecuación para la elipse E es

x2

a2+y2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = a2 � c2.

� Si F 0 =�0

�c

�y F =

�0

c

�; 0 � c < a entonces una ecuación para la elipse E es

y2

a2+x2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = a2 � c2.

Las ecuaciones anteriores son las más simples para la elipse y se les llama formas canónicas.

La elipse E es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje normal. De estas dos simetrías se sigue quela elipse E también es simétrica respecto a su centro (el origen).

Cuando el eje mayor de la elipse está sobre el eje x, los vértices son los punstos V 0 =��a0

�y V =

�a

0

�y los extremos del eje menor son los puntos A =

�0

b

�y A0 =

�0

�b

�.

Cuando el eje mayor de la elipse está sobre el eje y; y el centro es el origen, los vértices son los puntos

V 0 =

�0

�a

�y V =

�0

a

�y los extremos del eje menor son los puntos A0 =

��b0

�y A =

�b

0

�.

En ambos casos, el número a es la distancia del centro a cada vértice, el número b es la distancia delcentro a cada extremo del eje menor. Así, la longitud kV � V 0k del eje mayor es 2a y la longitud kA�A0kdel eje menor es 2b.

Supongamos que se mantiene �jo el número a (la mitad de la longitud del eje mayor). Nótese que:

8

� Si los focos se acercan más y más (es decir, c tiende a 0), el número b tiende al número a�pues b =

pa2 � c2

�y la elipse se parece cada vez más a una circunferencia; de hecho se convierte en una circunferenciacuando F 0 = F (es decir, cuando c = 0).

� Si los focos se alejan más y más (es decir, c tiende al número a), el número b tiende a 0 y la elipse seva achatando cada vez más; de hecho se convierte en un segmento de recta cuando F = V (es decir,cuando c = a). Es de señalar que este caso extremo no está contemplado en la de�nición de elipse.

De manera que la apariencia o forma de la elipse está asociada con la razónc

a; la cual se llama excen-

tricidad de la elipse; la denotaremos mediante la letra e: Se tiene entonces que e =c

ay como 0 � c < a

entonces 0 � e < 1: Si e es próxima a 0; pero e 6= 0; la elipse parece una circunferencia; si e = 0; la elipse esuna circunferencia. Si e es próxima a 1; la elipse se asemeja a un segmento de recta.

Una elipse cuyo eje focal coincide con el eje x o es paralelo a este eje se dirá horizontal; si el eje focalcoincide con el eje y o es paralelo a este eje, la elipse se dirá vertical.

Consideremos una elipse con centro en el punto�h

k

�; la distancia entre los focos 2c

(c � 0) y con la constante mencionada en la de�nición de elipse igual a 2a (a > c) :� Si la elipse es horizontal, una ecuación para ella es

(x� h)2

a2+(y � k)2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = a2 � c2:� Si la elipse es vertical, una ecuación para ella es

(y � k)2

a2+(x� h)2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = a2 � c2:


(x� h)2

a2+(y � k)2

b2= 1 y

(y � k)2

a2+(x� h)2

b2= 1:

9

se puede llevar a la formaAx2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde las constantes A y C son no nulas y del mismo signo.

Así, toda elipse horizontal o vertical tiene una ecuación de la forma anterior, con A y C como se haindicado. Ahora, si partimos de una ecuación de esta forma para una elipse dada, podemos llevarla a la

forma(x� h)2

a2+(y � k)2

b2= 1 o a la forma

(y � k)2

a2+(x� h)2

b2= 1 según corresponda, completando los

cuadrados en las variables x y y.

Algunas ecuaciones de la forma anterior, con A y C no nulos y del mismo signo, no representan elipses.Puede ocurrir que ella represente un único punto o no represente lugar geométrico alguno.

8.5 La hipérbola

Se denomina hipérbola al conjunto de todos los puntos P del plano tales que el valor absoluto de la diferenciade las distancias de P a dos puntos �jos del plano F 0 y F es constante, y esa constante es positiva y menorque la distancia entre estos puntos. Los puntos F 0 y F se llaman focos de la hipérbola.

El aspecto de la hipérbola es como se muestra en la �gura siguiente; las dos curvas que la conforman sonllamadas ramas de la hipérbola. La recta L que pasa por los focos se llama eje focal. Los puntos V 0; Vdonde el eje focal corta la hipérbola, se llaman vértices. El segmento V 0V se llama eje transverso. Elpunto C; el cual es el punto medio del segmento V 0V y también del segmento F 0F ; se llama centro. Larecta L0 que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal se llama eje normal.

10

� Una ecuación para la hipérbola con focos F 0 =��c0

�y F =

�c

0

�; c > 0; y con

la constante que se menciona en la de�nición de hipérbola igual a 2a (0 < a < c) esx2

a2� y

2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = c2 � a2:

Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas

y =b

ax y y = � b

ax

las cuales conforman el conjunto solución de la ecuaciónx2

a2� y

2

b2= 0; es decir, de

�xa� yb

��xa+y

b

�= 0:

� Una ecuación para la hipérbola con focos F 0 =�0

�c

�y F =

�0

c

�; c > 0; y con

la constante que se menciona en la de�nición de hipérbola igual a 2a (0 < a < c) esy2

a2� x

2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = c2 � a2.

Las asíntotas de esta hipérbola son las rectas

y =a

bx y y = �a

bx

las cuales conforman el conjunto solución de la ecuacióny2

a2� x

2

b2= 0; es decir, de

�ya� xb

��ya+x

b

�= 0:

Las ecuaciones anteriores son las más simples para la hipérbola y se les llama formas canónicas.

La hipérbola H es simétrica respecto a su eje focal, respecto a su eje normal y respecto a su centro. Lahipérbola no corta su eje normal.

11

Cuando el eje focal de la hipérbola es el eje x, y su centro el origen, los vértices de H son los puntos

V 0 =

��a0

�y V =

�a

0

�:

Cuando el eje focal de la hipérbola es el eje y; y su centro el origen, los vértices de H son los puntos

V 0 =

�0

�a

�y V =

�0

a

�.

Para ambos casos, la longitud del eje transverso es kV � V 0k = 2a y por tanto el número a, qu es la mitadde la longitud del eje transverso, es también la distancia del centro a cualquiera de los vértices. El segmento

A0A con A0 =�0

�b

�y A =

�0

b

�se llama eje conjugado de la hipérbola; su longitud es kA�A0k = 2b:

La excentricidad de la hipérbola se de�ne como e =c

a; puesto que 0 < a < c entonces e > 1; mientras

que para la elipse 0 � e < 1: Para e muy cercana a 1 (c muy próximo a a) la hipérbola es una curva muycerrada, mientras que para e muy grande la curva es muy abierta.

Cuando a = b; las asíntotas de la hipérbola forman ángulo recto en su punto de corte, en tal caso, lahipérbola se dice equilátera.

Una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje x o es paralelo a este eje se dirá horizontal; si el eje focales el eje y o es paralelo a este eje, la hipérbola se dirá vertical.

12

Consideremos una hipérbola con centro en el punto�h

k

�; distancia entre los focos

2c (c > 0) y con la constante mencionada en la de�nición de hipérbola igual a 2a(0 < a < c) :� Si la hipérbola es horizontal, una ecuación para ella es

(x� h)2

a2� (y � k)

2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = c2 � a2:Las asíntotas son las rectas

y � k = b

a(x� h) y y � k = � b

a(x� h)

las cuales conforman el lugar geométrico de la ecuación

(x� h)2

a2� (y � k)

2

b2= 0; es decir, de

�x� ha

� y � kb

��x� ha

+y � kb

�= 0:

� Si la hipérbola es vertical, una ecuación para ella es

(y � k)2

a2� (x� h)

2

b2= 1

donde b es el número positivo tal que b2 = c2 � a2:Las asíntotas son las rectas

y � k = a

b(x� h) y y � k = �a

b(x� h)

las cuales conforman el lugar geométrico de la ecuación

(y � k)2

a2� (x� h)

2

b2= 0; es decir, de

�y � ka

� x� hb

��y � ka

+x� hb

�= 0:


(x� h)2

a2� (y � k)

2

b2= 1 y

(y � k)2

a2� (x� h)

2

b2= 1

se puede llevar a la formaAx2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde las constantes A y C son no nulas, pero de signos distintos (en el caso de la elipse A y C son del mismosigno).

Así, toda hipérbola horizontal o vertical tiene una ecuación de la forma anterior, con A y C como se haindicado. Si se parte de una ecuación de la forma anterior para una hipérbola dada, podemos transformarla

en una de la forma(x� h)2

a2� (y � k)

2

b2= 1 o en una de la forma

(y � k)2

a2� (x� h)

2

b2= 1 según corresponda,

completando los cuadrados en x y en y:

Algunas ecuaciones de la forma

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

13

con A y C no nulos y de signos contrarios, no representan hipérbolas. Si después de completar los cuadradosen una ecuación del tipo anterior se obtiene

b2 (x� h)2 � a2 (y � k)2 = G

con G 6= 0; la ecuación representa una hipérbola, pero si G = 0; ella representa un par de rectas que secortan.

8.6 La ecuación Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

Consideremos la ecuación de segundo grado en las variables x; y (sin término xy)

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0; A 6= 0 o C 6= 0:

� Si A 6= 0; C = 0 y E 6= 0; la ecuación representa una parábola vertical. Si A 6= 0;C = 0 y E = 0; la ecuación representa dos rectas distintas paralelas al eje y; una solarecta paralela al eje y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de la ecuaciónAx2 +Dx+ F = 0 sean reales y distintas, reales e iguales o no reales.Similarmente, si A = 0; C 6= 0 yD 6= 0; la ecuación representa una parábola horizontal.Si A = 0; C 6= 0 y D = 0; la ecuación representa dos rectas distintas paralelas al ejex; una sola recta paralela al eje x o ningún lugar geométrico, según que las raíces dela ecuación Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y distintas, reales e iguales, o no reales.

� Si A y C son no nulas y del mismo signo, la ecuación representa una elipse de ejesparalelos a los ejes coordenados o representa un punto o no representa lugar geométricoalguno.

� Si A y C son no nulas y de signos contrarios, la ecuación representa una hipérbolade ejes paralelos a los ejes coordenados o representa un par de rectas distintas que secortan.

8.7 Rotación de ejes

Un nuevo sistema cartesiano x0y0 se obtiene manteniendo el origen y rotando los ejes x; y un ángulo �alrededor del origen y conservando la la unidad de medida en los ejes (ver �gura). Un cambio de sistema deeste tipo se dice una rotación de ejes por el ángulo �:

14

Supongamos que se efectúa una rotación de los ejes coordenados x; y un ángulo �:

Si�x

y

�y�x0

y0

�son, respectivamente, los vectores de coordenadas de un mismo

punto P del plano, respecto al sistema xy y respecto al nuevo sistema x0y0 entonces

x = x0 cos � � y0sen�y = x0sen� + y0 cos �

o, equivalentemente,

x0 = x cos � + y sen�y0 = �x sen� + y cos �

8.8 Ecuación general de segundo grado

La ecuación general de segundo grado en dos variables x; y es de la forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde A 6= 0 o B 6= 0 o C 6= 0.

Un caso particular de la ecuación anterior es la ecuación

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

con A 6= 0 o C 6= 0, la cual carece de término en xy. De esta última ecuación ya sabemos que ella representauna cónica con eje focal paralelo a (o coincidente con) alguno de los ejes coordenados, representa una cónicadegenerada o no representa lugar geométrico alguno.

La ecuación Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0con B 6= 0 puede transformarse siempre en otraecuación de segundo grado de la forma

A0 (x0)2+ C 0 (y0)

2+D0x0 + E0y0 + F 0 = 0

(sin término en x0y0) mediante una rotación de ejes por un ángulo �,

el cual puede escogerse de tal modo que 0 < � <�

2:

Una ecuación de segundo gradoAx2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

con B 6= 0; representa una cónica con eje focal no paralelo a(ni coincidente con) ninguno de los ejes coordenados x; y; o representauna cónica degenerada o no representa ningún lugar geométrico.

Retornemos a la ecuación de segundo grado transformada,

�1 (x0)2+ �2 (y

0)2+D0x0 + E0y0 + F 0 = 0

en la cual �1; �2 son los valores propios de la matriz simétrica

M =

�A B=2B=2 C

�; B 6= 0

15

asociada con la ecuaciónAx2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0:

Teniendo en cuenta que dicha ecuación es de la forma

Ax2 + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0; A 6= 0 o C 6= 0:

podemos a�rmar que:

Dada la ecuación �1 (x0)2+ �2 (y

0)2+D0x0 + E0y0 + F 0 = 0 :

� Si �1�2 = 0 (es decir �1 = 0 o �2 = 0) entonces dicha ecuación representauna parábola, un par de rectas distintas paralelas, una sola recta o ningún lugar geométrico.

� Si �1�2 > 0 (es decir, �1 y �2 son no nulos y del mismo signo) entoncesdicha ecuación representa una elipse, un punto o ningún lugar geométrico.

� Si �1�2 < 0 (es decir, �1 y �2 son no nulos y de signos contrarios) entonces dichaecuación representa una hipérbola o un par de rectas distintas que se cortan.

Ahora bien, teniendo en cuenta la igualdad

QTMQ =

��1 00 �2

�vemos que

�1�2 =

�� 1 00 �2

�� = ��QTMQ�� = ��Q�1MQ�� = jQj�1 jM j jQj = jM j = AC � B24es decir,

�1�2 =4AC �B2

4

y así, la información �1�2 = 0; �1�2 > 0; �1�2 < 0 viene en el escalar 4AC � B2 o también en B2 � 4AC:Optaremos por leer esa información en el número B2 � 4AC; el cual se llama indicador o discriminantede la ecuación

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

pues él indica o determina el tipo de lugar geométrico que corresponde a dicha ecuación.

En términos del discriminante � = B2 � 4AC; el resultado en el recuadro anterior se puede expresar así:

Dada la ecuación Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 :

� Si � = 0; dicha ecuación representa una parábola, un par de rectasdistintas paralelas, una sola recta o ningún lugar geométrico.

� Si � < 0; dicha ecuación representa una elipse, un punto oningún lugar geométrico.

� Si � > 0; dicha ecuación representa una hipérbola o un par de rectasdistintas que se cortan.

16




Capítulo 9. Vectores en el espacio.

9.1 Vectores geométricos. Conceptos básicos y operaciones

Vector geométrico en el espacio es exactamente lo mismo que vector geométrico en el plano, solo que paraun vector geométrico

��!AB en el espacio, el punto inicial A y el punto terminal B son puntos del espacio.

La magnitud ��!AB de un vector ��!AB del espacio se de�ne, al igual que en el plano, como la longitud

del segmento AB. La dirección de un vector geométrico��!AB del espacio se expresa comúnmente empleando

un sistema de tres semirrectas orientadas, mutuamente perpendiculares, que parten del punto inicial A delvector, como se ilustra en la �gura. La dirección del vector

��!AB queda determinada por los tres ángulos �; �

y mostrados en la �gura, cada uno de los cuales se considera entre 0� y 180�:

Los conceptos de igualdad entre vectores, ángulo entre dos vectores, vectores paralelos, vectoresperpendiculares, misma dirección, dirección opuesta, vector unitario, vector nulo se de�nen parael espacio de la misma forma que para el plano.

Las operaciones suma y multiplicación por escalar también se de�nen de igual manera que para elplano. Dichas operaciones conservan todas las propiedades que ellas tienen en el caso del plano.

Consideremos ahora tres vectores del espacio �!u ;�!v y �!z ; todo vector del espacio de la forma

a�!u + b�!v + c�!z

con a; b; c escalares, se dice una combinación lineal de �!u ;�!v y �!z .

1

Al igual que para vectores del plano, dos vectores �!u y �!v del espacio se dicen linealmente dependientes(L.D.) si alguno de los dos es múltiplo escalar del otro; de lo contrario los vectores se dicen linealmenteindependientes (L.I.). Tres vectores �!u ,�!v y �!z del espacio se dicen linealmente dependientes (L.D.)si alguno de ellos es combinación lineal de los otros dos; si esto no sucede los vectores se dicen linealmenteindependien-tes (L.I.).

Si �!u ;�!v ;�!z son vectores L.I. del espacio, entonces todo vector �!w del espacioes expresable de manera única como combinación lineal de �!u ;�!v y �!z ,es decir, existen escalares únicos a; b; c tales que

�!w = a�!u + b�!v + c�!z :

Los conceptos de proyección de un vector sobre otro, componente escalar de un vector en la direcciónde un vector dado, como también el producto escalar de dos vectores, se de�nen para vectores en el espaciode la misma manera que para vectores en el plano.

9.2 Sistema de coordenadas cartesianas para el espacio

Una terna ordenada de números reales está conformada por tres números. La terna ordenada que consta

de los números a; b y c, siendo a el primero, b el segundo y c el tercero se denotará

0@ abc

1A :0@ abc

1A =

0@ a0

b0

c0

1A si y sólo si a = a0; b = b0 y c = c0:

Denotaremos R3 el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales, es decir,

R3=

8<:0@ abc

1A / a; b; c 2 R

9=; :La noción de sistema de coordenadas cartesianas (o rectangulares) para el espacio, es una extensión

de la noción de sistema de coordenadas cartesianas para el plano. Se consideran tres ejes coordenados (ejex; eje y; eje z) con igual unidad de longitud, con un mismo origen O y mutuamente perpendiculares.

Si las direcciones positivas de dichos ejes son como se muestra en la �gura a; diremos que se trata de unsistema cartesiano derecho. En la �gura b se muestra un sistema cartesiano izquierdo. Nosotros siem-pre usaremos un sistema cartesiano derecho, al cual nos referiremos simplemente como un sistema cartesianoxyz:

2

Dado un sistema cartesiano xyz para el espacio, llamaremos plano coordenado xy o simplemente planoxy al plano que contiene al eje x y al eje y; signi�cado similar tienen las expresiones plano (coordenado)xz y plano (coordenado) yz: (Ver �gura).

Una vez escogido un sistema cartesiano xyz para el espacio, se establece de manera natural unacorrespondencia biunívoca entre el conjunto de todos los puntos del espacio y el conjunto R3 de todaslas ternas ordenadas de números reales. A cada punto P del espacio se le hace corresponder una terna orde-

nada

0@ abc

1A. Los números a; b; c se dicen las coordenadas cartesianas o rectangulares del punto P(respecto al sistema xyz); a se dice la coordenada x; b la coordenada y y c la coordenada z:

Cada punto P del espacio se identi�ca con su terna de coordenadas

0@ abc

1A : Escribiremos P =0@ abc

1A :En adelante supondremos que el espacio está provisto de un sistema cartesiano xyz:

9.3 Descomposición canónica para vectores geométricos

Denotaremos�!i ;�!j ,�!k a los vectores unitarios en las direcciones positivas de los ejes x, y; z respectivamente.

Como estos vectores son linealmente independientes, se tiene:

Todo vector �!u del espacio es expresable de manera única como combinación lineal de�!i ;�!j y

�!k ; es decir, para todo vector �!u del espacio existen únicos escalares a; b y c

tales que�!u = a�!i + b�!j + c�!k

En general, se tiene que

��!OP = a

�!i + b

�!j + c

�!k , P =

0@ abc

1A

3

Si P =

0@ abc

1A y Q =

0@ a0

b0

c0

1A entonces

��!PQ = (a0 � a)�!i + (b0 � b)�!j + (c0 � c)�!k

y así

��!PQ =

��!OR con R =

0@ a0 � ab0 � bc0 � c

1A

La descomposición�!u = a�!i + b�!j + c�!k

de un vector �!u se llama descomposición canónica de �!u : Los números a; b; c se dicen las componentesescalares o simplemente las componentes de �!u ; a se dice la componente x, b la componente y y c lacomponente z.

Dada la unicidad de la descomposición canónica de un vector se tiene que:

Si �!u = a�!i + b�!j + c�!k y �!v = a0�!i + b0�!j + c0�!k entonces�!u = �!v si y sólo si a = a0, b = b0 y c = c0

En particular, �!u = �!0 si y sólo si a = 0, b = 0 y c = 0

Magnitud de un vector:

Si �!u = a�!i + b�!j + c�!k entonces

k�!u k =pa2 + b2 + c2

Si �!u = a�!i + b�!j + c�!k entonces (ver �gura) �!u = ��!OP con P =

0@ abc

1A

4

Cuando el espacio está provisto de un sistema cartesiano xyz, la dirección de un vector no nulo �!u quedadeterminada por los ángulos �, � y entre el vector �!u y los vectores

�!i ,�!j y

�!k , respectivamente (ver

�gura); es entonces natural expresar la dirección del vector �!u empleando dichos ángulos. Esos ángulos �, �y se llaman ángulos directores del vector �!u y diremos que la dirección de �!u , denotada dir (�!u ) ; es la

terna

0@ ��

1A. También nos referiremos a los ángulos directores de un vector �!u como los ángulos entre elvector �!u y los semiejes positivos x; y; z:

Si �, � y son los ángulos directores del vector no nulo�!u = a�!i + b�!j + c�!k entonces� cos� =

a

k�!u k , cos� =b

k�!u k , cos =c

k�!u k

� cos2�+cos2�+cos2 = 1

� �!u = k�!u k ((cos�)�!i + (cos�)�!j + (cos )�!k )

Los números cos�, cos�, cos se llaman cosenos directores del vector �!u :

Operaciones entre vectores:

Si �!u = a�!i + b�!j + c�!k y �!v = a0�!i + b0�!j + c0�!k entonces� �!u +�!v = (a+ a0)�!i + (b+ b0)�!j + (c+ c0)�!k� r�!u = (ra)�!i + (rb)�!j + (rc)�!k ; r 2 R

Si �!u = a�!i + b�!j + c�!k y �!v = a0�!i + b0�!j + c0�!k entoncesel producto escalar de �!u y �!v es

�!u � �!v = aa0 + bb0 + cc0

El producto escalar de vectores en el espacio goza de las mismas propiedades que él tiene para vectoresen el plano.

5

En términos del producto escalar podemos expresar el coseno del ángulo entre dos vectores, la proyecciónde un vector sobre otro y, por supuesto, la componente escalar de un vector en la dirección de otro vector.Las fórmulas son exactamente las mismas que para el plano.

9.4 Producto vectorial

Se de�ne el producto vectorial �!u ��!v de dos vectores cualesquiera �!u , �!v del espacio, así:a) Si �!u = �!0 o �!v = �!0 , �!u ��!v = �!0b) Si �!u 6= �!0 y �!v 6= �!0 , �!u ��!v es aquel vector tal que:i) k�!u ��!v k = k�!u k k�!v k sen�; donde � es el ángulo entre �!u y �!v :ii) �!u ��!v es perpendicular tanto a �!u como a �!v y apunta en la dirección en que avanza un tornillo

de rosca derecha cuando gira de �!u hacia �!v siguiendo el ángulo �. Otra regla, a menudo más conveniente,para indicar hacia donde apunta �!u ��!v es la Regla de la mano derecha (ver �gura).

El producto vectorial también se conoce como producto cruz.

Una consecuencia inmediata de la de�nición del producto vectorial �!u ��!v es la siguiente:

�!u ��!v =�!0 si y sólo si �!u y �!v son paralelos

En particular�!u ��!u = �!0

Para los vectores�!i ,�!j y

�!k se tiene que:

�!i ��!i =

�!0 ;

�!j ��!j =

�!0 ;

�!k ��!k =

�!0

�!i ��!j =

�!k ;

�!j ��!k =

�!i ;

�!k ��!i =

�!j

�!j ��!i = ��!k ;

�!k ��!j = ��!i ;

�!i ��!k = ��!j

El producto vectorial no es conmutativo, tampoco es asociativo. Sin embargo, el producto vectorial tienelas siguientes propiedades algebraicas, válidas cualesquiera sean los vectores �!u , �!v , �!z del espacio y cualquierasea el escalar r.

1: �!v ��!u = � (�!u ��!v )2: (r�!u )��!v = r (�!u ��!v ) = �!u � (r�!v )3: �!u � (�!v +�!z ) = (�!u ��!v ) + (�!u ��!z )4: (�!u +�!v )��!z = (�!u ��!z ) + (�!v ��!z )

6

Descomposición canónica del producto vectorial:

Utilizando las propiedades y las relaciones anteriores entre los vectores unitarios se obtiene que para losvectores

�!u = a1�!i + a2

�!j + a3

�!k y �!v = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k

el producto vectorial �!u ��!v está dado por:

�!u ��!v = (a2b3 � a3b2)�!i + (a3b1 � a1b3)

�!j + (a1b2 � a2b1)

�!k

Para recordar más fácilmente la descomposición canónica del producto �!u ��!v y para usos posteriores, in-troducimos aquí el concepto de determinante de orden 3, el cual se puede de�nir en términos de determinantesde orden 2, como se indica a continuación:��

c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3

�� =��a2 a3b2 b3

�� c1 � ��a1 a3b1 b3

�� c2 + ��a1 a2b1 b2

�� c3De este modo:

Si �!u = a1�!i + a2

�!j + a3

�!k y �!v = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k entonces

�!u ��!v =

��!i

�!j

�!k

a1 a2 a3b1 b2 b3

�� =��a2 a3b2 b3

��!i � ��a1 a3b1 b3

��!j + ��a1 a2b1 b2

��!k

Una aplicación geométrica del producto vectorial:

El área A del paralelogramo determinado por dos vectores no paralelos �!u y �!v es

A = k�!u ��!v k :

Producto mixto:

Los productos escalar y vectorial pueden combinarse para formar un producto del tipo

�!u � (�!v ��!z )

el cual se llama producto mixto de los vectores �!u , �!v y �!z . Como el resultado es un escalar, dicho productotambién se llama triple producto escalar de �!u , �!v y �!z :

El producto mixto tiene las siguientes propiedades:

7

Sean �!u , �!v , �!z vectores geométricos cualesquiera del espacio.� Si �!u = a1

�!i + a2

�!j + a3

�!k , �!v = b1

�!i + b2

�!j + b3

�!k y

�!z = c1�!i + c2

�!j + c3

�!k entonces

�!u � (�!v ��!z ) =

��a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

�� El volumen del paralelepípedo determinado por �!u , �!v y �!z es

V = j�!u � (�!v ��!z )j� �!u � (�!v ��!z ) = 0 si y sólo los vectores �!u , �!v y �!z son L.D.� �!u � (�!v ��!z ) = �!v � (�!z ��!u ) = �!z � (�!u ��!v )

Otra propiedad geométrica del producto mixto es la siguiente:

Cuatro puntos P;Q;R y S del espacio son coplanaressi y sólo si

��!PQ �

� �!PR��!PS

�= 0

El triple producto vectorial de los vectores �!u , �!v y �!z es �!u � (�!v ��!z ) y se puede calcular así:�!u � (�!v ��!z ) = (�!u � �!z )�!v � (�!u � �!v )�!z

Esta igualdad no sólo proporciona una manera rápida de calcular el vector �!u � (�!v ��!z ), sino que nosmuestra que este vector es combinación lineal de los vectores �!v y �!z .

9.5 Vectores coordenados o algebraicos

Operaciones y conceptos básicos:

� Dados X =

0@ x1x2x3

1A, Y =

0@ y1y2y3

1A en R3 y r 2 R, se de�ne la suma X + Y y el producto rX como

X + Y =

0@ x1 + y1x2 + y2x3 + y3

1A y rX =

0@ rx1rx2rx3

1ADebe tenerse presente que la suma y el producto por escalar de�nidas en R3 corresponden a la suma y el

producto por escalar para vectores geométricos del espacio, en el siguiente sentido:Cualesquiera sean X, Y , Z en R3 y r, s en R,

8

rX + sY = Z , r��!OX + s

��!OY =

�!OZ

Los elementos de R3 (a los que nos veníamos re�riendo como �puntos�), también se denominarán enadelante vectores coordenados, vectores algebráicos o simplemente vectores con tres componentes.

El vector

0@ 000

1A se dice el vector nulo o vector cero de R3; se denotará (como en R2) por la letra O.

Dicho vector es tal que, para cualquier X de R3,

X +O = X

Dado X =

0@ x1x2x3

1A en R3, el vector �X =

0@ �x1�x2�x3

1A ; también en R3, se llama inverso aditivo delvector X. Este vector es tal que:

X + (�X) = O y �X = (�1)X:

Dados X y Y en R3, la diferencia Y �X se de�ne como el vector Y + (�X). Así, si X =

0@ x1x2x3

1A y

Y =

0@ y1y2y3

1A entonces

Y �X =

0@ y1 � x1y2 � x2y3 � x3

1A :Se tiene, al igual que en el plano, que

��!XY =

��!OR , R = Y �X

Se sigue que, cualesquiera sean X;Y; Z y W en R3,

��!XY =

��!ZW , Y �X =W � Z

En R3; las operaciones antes de�nidas tienen las mismas propiedades básicas que en R2.

� La magnitud del vector X =

0@ x1x2x3

1A de R3, denotada kXk, se de�ne como la magnitud del vector

��!OX. Así,

kXk =qx21 + x

22 + x

23

Las propiedades de la magnitud en R3 son exactamente las mismas que listamos para la magnitud en R2.La distancia entre dos puntos X, Y de R3 se de�ne como el número kX � Y k :

� Sea X 2 R3, X 6= O. Llamaremos ángulos directores y cosenos directores de X a los ángulosdirectores y cosenos directores, respectivamente, del vector geométrico

��!OX. También llamaremos dirección

de X, que denotaremos dir (X), a la dirección de��!OX.

9

Los conceptos misma dirección, dirección opuesta y paralelismo entre vectores de R3 se de�nen deigual forma que en R2.

� Sean X;Y y Z vectores de R3. Estos vectores se dicen linealmente dependientes (L.D.) sialguno de ellos es combinación lineal de los otros dos; si esto no sucede los vectores se dicen linealmenteindependientes (L.I.). Por otra parte, todo vector de la forma

aX + bY + cZ

con a; b; c escalares, se dice una combinación lineal (C.L.) de X;Y y Z.

Si X; Y y Z son vectores L.I. de R3 entonces todo vector W de R3es expresable de manera única como C.L. de X; Y y Z.

� Los vectores E1 =

0@ 100

1A, E2 =

0@ 010

1A y E3 =

0@ 001

1A son llamados vectores canónicos de R3.

Cualquiera sea X =

0@ x1x2x3

1A en R3, se tiene que

X = x1E1 + x2E2 + x3E3

La anterior expresión se llama descomposición canónica del vector X.

� Producto escalar:

Si X =

0@ x1x2x3

1A y Y =

0@ y1y2y3

1A son vectores de R3,

el producto escalar de X y Y es el escalarX � Y = x1y1 + x2y2 + x3y3

El producto escalar en R3 goza de las mismas propiedades que él posee en el caso de R2.

� Si X y Y son vectores no nulos de R3, el ángulo entre X y Y se de�ne como el ángulo entre los vectoresgeométricos

��!OX y

��!OY . Al igual que en R2, si � es el ángulo entre X y Y entonces

cos� =X � YkXk kY k

Los vectores X y Y (puede ser X = O o Y = O) se dicen ortogonales, lo cual se denota X ? Y , si losvectores

��!OX y

��!OY son perpendiculares. Se tiene entonces que

X ? Y si y sólo si X � Y = 0

� Sean X y U vectores de R3, U 6= O. La proyección de X sobre U se de�ne y se denota como en el casoX y U en R2.

10

Si L es la recta que pasa por el origen y por U , ProyUX es el punto P donde la perpendicular trazadadesde X a la recta L, corta a esta recta, como se ilustra en la �gura anterior. Al igual que para vectores deR2,

ProyUX =

�X � UkUk

�U

kUk = X � UkUk2

!U =

�X � UU � U

�U

Además, X se descompone como

X = ProyUX + (X � ProyUX)

donde ProyUX es paralelo a U y X � ProyUX es ortogonal a U:

� Producto cruz o producto vectorial:

Si X =

0@ x1x2x3

1A y Y =

0@ y1y2y3

1A son vectores de R3, entonces

X � Y =

��E1 E2 E3x1 x2 x3y1 y2 y3

�� =��x2 x3y2 y3

��E1 � ��x1 x3y1 y3

��E2 + ��x1 x2y1 y2

��E3Propiedades del producto cruz: Cualesquiera sean los vectores X, Y , Z en R3 y cualquiera sea el

escalar r,

1: X � Y es ortogonal tanto a X como a Y , es decir,X � (X � Y ) = 0 y Y � (X � Y ) = 0

2: X � Y = O si y sólo si X y Y son paralelos3: Y �X = � (X � Y )4: (rX)� Y = r(X � Y ) = X � (rY )5: X � (Y + Z) = (X � Y ) + (X � Z)6: (X + Y )� Z = (X � Z) + (Y � Z)7: Si X 6= O y Y 6= O,

kX � Y k = kXk kY ksen�donde � es el ángulo entre X y Y .8: Si X y Y no son paralelos, kX � Y k es el área del paralelogramodeterminado por X y Y:

11

El producto mixto o triple producto escalar de X, Y y Z es:

X � (Y � Z)

Para este producto se tiene, de manera completamente análoga a lo obtenido para vectores geométricos delespacio, lo siguiente:

Sean X, Y , Z vectores cualesquiera de R3:

1: Si X =

0@ x1x2x3

1A, Y =

0@ y1y2y3

1A y Z =

0@ z1z2z3

1A entonces

X � (Y � Z) =

��x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

��2: El volumen del paralelepípedo determinado por X, Y y Z es

V = jX � (Y � Z)j3: X � (Y � Z) = 0 si y sólo si los vectores X, Y , Z son L.D.4: X � (Y � Z) = Y � (Z �X) = Z � (X � Y )

En el numeral 2. del resultado anterior se entiende que el paralelepípedo determinado por los vectoresX, Y y Z; cuando éstos son linealmente independientes, es el paralelepípedo determinado por los vectoresgeométricos

��!OX,

��!OY y

�!OZ.

12




Capítulo 10. Rectas y planos.

10.1 La línea recta

Un vector geométrico no nulo paralelo a una recta L se dirá vector director de L.

Si una recta L pasa por el punto P0 y��!OD es un vector director de L (ver �gura) entonces L está

conformada por todos los puntos X de R3 tales que��!P0X = t

��!OD; t 2 R

Así que un punto X de R3 está sobre la recta L si y sólo si X es de la forma

X = P0 + tD; t 2 R

Esta ecuación se dice una ecuación vectorial paramétrica o simplemente una ecuación vectorialpara la recta L; la variable t es el parámetro.Diremos indistintamente que

��!OD es un vector director de L o que D es un vector director de L.

Si X =

0@ xyz

1A ; P0 =0@ x0y0z0

1A y D =

0@ d1d2d3

1A ; la ecuación anterior es0@ xyz

1A =

0@ x0y0z0

1A+ t0@ d1d2d3

1A ; t 2 R

1

la cual es equivalente a las tres ecuaciones escalares

x = x0 + d1ty = y0 + d2tz = z0 + d3t

; t 2 R

que se denominan ecuaciones escalares paramétricas o simplemente ecuaciones paramétricas de larecta L.

Si d1; d2; d3 son todos distintos de cero, es fácil ver que un punto

0@ xyz

1A satisface la ecuación anterior

para algún valor de t si y sólo six� x0d1

=y � y0d2

=z � z0d3

expresión conocida como unas ecuaciones simétricas para la recta L.

Si alguna de las componentes d1; d2; d3 del vector director D es cero entonces L no tiene ecuaciones deltipo anterior. Sin embargo, si una sola de esas componentes es cero todavía es posible describir la recta Lmediante dos ecuaciones que no involucran el parámetro t. Por ejemplo, si d1 = 0 pero d2 6= 0 y d3 6= 0,podemos escribir,

x = x0,y � y0d2

=z � z0d3

A ecuaciones de este tipo también nos referiremos como ecuaciones simétricas.

Se tiene que una ecuación vectorial para la recta L que pasa por los puntos P y Q del espacio, con P 6= Q;es

X = P + t (Q� P ) ; t 2 R

pues Q� P es un vector director de L:En particular, el segmento de recta PQ puede describirse en la forma

PQ =�X 2 R3 j X = P + t (Q� P ) ; 0 � t � 1

Es de señalar que, a diferencia de lo que ocurre en el plano, para una recta en el espacio no se tiene el

concepto de pendiente, ni se cuenta con una ecuación análoga a la ecuación ax+ by = c.

La ecuación de una recta L que pasa por el origen y por un punto dado D; D 6= O, es

X = tD; t 2 R:

así, que la recta está conformada por los múltiplos escalares de D. Por ello nos referiremos a dicha recta Lcomo la recta generada por D, tal como lo hicimos en el caso del plano.

10.2 Ángulo y posiciones relativas entre dos rectas

Sean L1 y L2 dos rectas del espacio y sean D1 y D2 vectores directores de L1 y L2 respectivamente.Para las rectas L1 y L2 destacamos las siguientes posiciones relativas:

� L1 y L2 se cortan.Se entiende por esto que L1 y L2 tienen un único punto en común, el cual es el punto de corte.

� L1 y L2 son paralelas.Esto ocurre si y sólo si los vectores directores D1; D2 son paralelos. Si las rectas L1 y L2; además deser paralelas, tienen un punto en común entonces ellas son coincidentes, es decir L1 = L2:

2

� L1 y L2 son perpendiculares.Se entiende por ello que los vectores D1; D2 son ortogonales (no importa si L1 y L2 se cortan o no).

� L1 y L2 se cruzan (son oblicuas o son ajenas)

Se entiende por ello que L1 y L2 no se cortan ni son paralelas. Nótese que esta situación se presenta si ysólo si L1 y L2 no están en un mismo plano.

Continuemos con las rectas L1, L2 y sea �:el ángulo entre los vectores directores D1 y D2Es claro que si L1 y L2 se cortan, el ángulo � es uno de los ángulos que se forman en el punto de corte,

es decir, es uno de los ángulos entre L1 y L2: Pues bien, dicho ángulo � se considerará un ángulo entre L1 yL2, aún en el caso en que L1 y L2 no se corten. Si � = 90�; éste se tomará como el ángulo entre L1 y L2; si� 6= 90�; tomaremos como el ángulo entre L1 y L2 el menor entre � y 180� � �:

Así que el ángulo entre L1 y L2 es el ángulo � tal que 0 � � � 90� y

cos� =jD1 �D2jkD1k kD2k

Nótese que L1 y L2 son paralelas si y sólo si el ángulo entre L1 y L2 es � = 0; y que son perpendicularessi y sólo si el ángulo entre ellas es � = 90�:

10.3 Distancia de un punto a una recta

Consideremos en el espacio una recta L y un punto X1: Supongamos que L pasa por el punto P0 y tiene alvector D como un vector director.

Sea P el paralelogramo mostrado en la �gura, donde P es el punto de L tal que ��!P0P =��!OD.

3

Nótese que la distancia d; de X1 a la recta L, es la altura del paralelogramo P, relativa a la base P0P .Por lo tanto, el área A de P es

A = ��!P0P d

y como también A = ��!P0P ��!P0X1

= kD � (X1 � P0)k y ��!P0P = kDk, entoncesd =

kD � (X1 � P0)kkDk

Observe que si X1 es un punto de la recta L entonces el vector X1 � P0 es paralelo a vector D y asíD � (X1 � P0) = O obteniéndose que d = 0.

Si la recta L pasa por el origen podemos tomar P0 = O, con lo cual

d =kD �X1kkDk

10.4 Planos

Un plano en el espacio queda completamente determinado dando tres de sus puntos que no sean colinealeso también dando uno de sus puntos y un vector geométrico no nulo perpendicular al plano. Se entiende queun vector �!n del espacio es perpendicular a un plano P si �!n es perpendicular a todo vector ��!P0X con P0 y Xen P (ver �gura). Todo vector geométrico no nulo y perpendicular al plano P se dirá un vector normal adicho plano. Diremos también que un vector N de R3 es un vector normal al plano P, si el vector geométrico��!ON es un vector normal a P.

� Si N =

0@ abc

1A es un vector normal a un plano P y P0 =

0@ x0y0z0

1A es un punto de P entonces un

punto X =

0@ xyz

1A está en el plano P si y solamente si

N � (X � P0) = 0

La ecuación anterior es llamada ecuación en forma normal para dicho plano P y es equivalente a laecuación escalar

a (x� x0) + b (y � y0) + c (z � z0) = 0

4

la cual también se puede expresar en la forma

ax+ by + cz = d

donde d = ax0 + by0 + cz0:

� Recíprocamente, toda ecuación de la forma

ax+ by + cz = d

con a 6= 0 o b 6= 0 o c 6= 0 corresponde a un plano con vector normal N =

0@ abc

1A : El plano pasa porel origen si y sólo si d = 0:

� Una ecuación de la formaax+ by + cz = d

se dice una ecuación en forma general para el plano P.

� Si P; Q y R son puntos no colineales de un plano entonces un vector normal a dicho plano es

�!n = ��!PQ��!PR

10.5 Posiciones relativas entre dos planos y entre una recta y un plano

Posiciones relativas entre dos planos:

Sean P1; P2 dos planos en el espacio con vectores normales �!n1;�!n2 respectivamente.

Para los planos P1 y P2 destacamos las siguientes posiciones relativas:

� P1 y P2 son paralelos.Esto ocurre si y sólo si los vectores normales �!n1;�!n2 son paralelos. Si los planos P1 y P2, además de serparalelos, tienen un punto común entonces ellos son coincidentes, es decir, P1 = P2:

� P1 y P2 se cortan (no son paralelos o son secantes).Se entiende por ello que la intersección de P1 y P2 es no vacía. En este caso, P1 \ P2 es una línearecta L como se ilustra en la �gura. Como dicha recta L está contenida en ambos planos entonces todovector director

�!d para L será perpendicular tanto a �!n1 como a �!n2; es decir, será paralelo a �!n1 � �!n2.

Así que un vector director de L es �!d = �!n1 ��!n2:

5

� P1 y P2 son perpendiculares.Esto ocurre si y sólo si los vectores normales �!n1 y �!n2 son perpendiculares; nótese que éste es un casoparticular de planos que se cortan.

Si los planos P1, P2 se cortan se forman cuatro ángulos diedros, de los cuales hay dos pares de ánguloscongruentes y dos pares de suplementarios. Se puede probar que la medida del ángulo entre los vectoresnormales �!n1 y �!n2 es también la de uno de esos ángulos diedros; por ello consideraremos el ángulo � entre �!n1y �!n2 como uno de los ángulos entre P1 y P2: Otro de los ángulos entre P1 y P2 será 180� � �: Convenimosen tomar como el ángulo entre P1 y P2 al menor entre � y 180� � � si � 6= 90�, o a 90� en caso contrario.En el caso en el que P1 y P2 son paralelos, diremos que el ángulo entre P1 y P2 es de 0�.

Así que el ángulo entre P1 y P2 es el ángulo � tal que 0 � � � 90� y

cos� =j�!n1 � �!n2jk�!n1k k�!n2k

Posiciones relativas entre una recta y un plano:

Consideremos ahora una recta L con vector director �!d y un plano P con vector normal �!n : La recta Lpuede tener, con relación al plano P; una de las posiciones siguientes:

� L es paralela al plano P:Este caso ocurre si y sólo si

�!d es perpendicular a �!n : En particular, ocurre cuando L está contenida

en P (vea �gura).

� L corta (es secante o no es paralela) al plano P:Se entiende por ello que L y P tienen un único punto común, el cual es el punto donde L corta a P:Esto ocurre si y sólo si

�!d no es perpendicular a �!n : En el caso particular en que �!d y �!n sean paralelos,

L es perpendicular al plano P:

10.6 Distancia de un punto a un plano

La distancia d� de un punto X0 =

0@ x0y0z0

1A del espacio a un plano P con ecuación

ax+ by + cz = d

está dada por

d� =jax0 + by0 + cz0 � djp

a2 + b2 + c2

La distancia entre dos rectas L1 y L2 que se cruzan es la longitud de aquel segmento de recta con unextremo en L1; el otro en L2 y que es perpendicular tanto a L1 como a L2

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Hay varias maneras de obtener dicha distancia; una de ellas consiste en calcularla como la distancia de unpunto cualquiera en una de las rectas, al plano paralelo a esa recta y que contiene a la otra, como se ilustraen la �gura siguiente, en la cual P es el plano paralelo a L2 que contiene a L1 y d� es la distancia entre L1y L2: (Si

�!d1 y

�!d2 son vectores directores de L1 y L2 respectivamente entonces un vector normal al plano P

antes mencionado es�!d1 �

�!d2).

10.7 Ecuaciones paramétricas para un plano

Consideremos el plano P que pasa por un punto P0 y dos vectores�!u y �!v no paralelos entre si, contenidos

en P y con punto inicial en P0 (ver �gura).

Para X 2 R3, el punto X 2 P si y sólo si el vector ��!P0X es combinación lineal de los vectores �!u y �!v ; esdecir, el plano P está conformado por los puntos X de R3 tales que

��!P0X = t�!u + s�!v ; t; s 2 R

Ahora, si �!u = ��!OU y �!v = ��!OV ; la igualdad anterior puede expresarse en forma equivalente como

X = P0 + tU + sV ; t; s 2 R

De manera que la anterior es una ecuación para el plano P, de la cual diremos que es una ecuaciónvectorial paramétrica para dicho plano; las variables t y s son los parámetros.

Si X =

0@ xyz

1A ; P0 =0@ x0y0z0

1A ; U =0@ u1u2u3

1A y V =

0@ v1v2v3

1A ; la ecuación anterior es equivalente alas tres ecuaciones escalares

x = x0 + tu1 + sv1y = y0 + tu2 + sv2z = z0 + tu3 + sv3

; t; s 2 R

las cuales se llaman ecuaciones (escalares) paramétricas para el plano P.

Si el plano P pasa por el origen, la ecuación vectorial paramétrica se reduce a

X = tU + sV ; t; s 2 R

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Nótese que en este caso el plano P pasa también por los puntos U y V: Así, P es el plano que pasa porlos puntos no colineales O;U y V ; nos referiremos a P como el plano generado por U y V , pues P constade todas las combinaciones lineales de U y V .

Observe que si tres vectores de R3 están en un mismo plano que pasa por el origen entonces uno de esosvectores tiene que ser combinación lineal de los otros dos y en consecuencia los tres vectores son linealmentedependientes. Recíprocamente, si tres vectores de R3 son linealmente dependientes, entonces existe un planoque pasa por el origen que contiene a los tres. De manera que tres vectores de R3 son linealmente dependientessi y sólo si los tres están en un mismo plano que pasa por el origen.

Dados tres puntos no colineales P;Q y R; una ecuación vectorial paramétrica del plano que ellos deter-minan es

X = P + t (Q� P ) + s (R� P ) ; t; s 2 R

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