Geometra NoEuclidianaRelataremos aqu una de las piezasms emocionantes de la Historia de lasMatemticas.El descubrimiento de las Geometras No-Euclidianas.Marco HistricoMarco HistricoLos actores principales de esta geometra, Gauss,Solyai, Lobachebsky y Riemann jugaron su papelsin ser conscientes de su importancia. SolamentedespusdelamuertedeRiemannlacomunidadmatemtica entendi su legado.Marco HistricoLa historia de la aparicin de las GeometrasNo-Euclidianas, corresponde a una pocarevolucionariaenlahistoriade laMatemtica, nosolamente porque estas geometras se desarrollaronprcticamente en el aire, sin un apoyo en la"realidad" de ese momento, sino porque, tambin, suaparicin cuestiona lo que es un sistema axiomtico,lo que es un axioma independiente y lo que significa laconsistencia de una teora matemtica.Marco HistricoEstas preguntas estaban presentes en el momento de la crisis de los fundamentos de la Matemtica (a finales del Siglo XIX y comienzos del XX) y daran comienzo, un poco ms adelante, a la estructuracin de la Lgica Matemtica. Marco HistricoAcomienzos del Siglo XIX, la Matemtica seencontraba madura para tratar de entenderaquellos conceptos que se venan utilizando en lasdistintas ciencias, pero que realmente no secomprendan del todo, Por ejemplo, desde lostrabajos de Fourier, la pregunta de lo que era unafuncin no tena an una respuesta clara yformal.Marco HistricoLaEsttica, laGeodesia, el ClculoDiferencial ylaGeometra Analtica estaban apoyadas comodamentesobre la Geometra Euclidiana. Una baseaparentemente firme y slida como para sostenerprcticamentetodoslosconocimientosmatemticosdeaquella poca.Marco HistricoEl quinto postulado estaba enequilibrio inestable. Y es,precisamente, esta inestabilidad la quepermitira el surgimiento de lasGeometras No-Euclidianas.Marco HistricoLaGeometraEuclidiana(oPlana), comosunombre lo indica se le debe a Euclides (300 a,c.).El primer librodelos Elementos deEuclides,recoge los conocimientos de Geometra Plana dela poca en 48 Proposiciones, las cuales sededucen lgicamente de un conjunto de 23definiciones, 5axiomasy5postulados. Sedicequesteesel primertratadodelaMatemticapura.Marco HistricoEl mtodo axiomtico y deductivo empleadopor Euclides en aquella obra es el preferidopor la mayora de los matemticos de hoy enda, puesgarantizalasolidezrelativadelateora que lo utilice.Marco HistricoEn la Geometra Euclidiana, las 23 definiciones explican losconceptos ms bsicos como "punto", "lnea", "plano","crculo", etc, Los 5axiomas recogenprincipios que setoman como verdades evidentes en cualquier ciencia y los 5postuladosestablecenlasverdades evidentes quecumplenalgunos de los conceptos bsicos incluidos en las 23definiciones, son por tanto, restringidos a la GeometraPlana.Marco HistricoLista de los axiomas y postulados mencionados:Axiomas:1. Las cosas que sean iguales a la misma cosa son iguales entres.2. Sia cantidadesigualesse le sumancantidadesiguales, lostotales sern iguales.3. S acantidadesigualesselerestancantidadesiguales, losresultados sern iguales.4. Las cosas que coinciden entre si son iguales entre s.5. El todo es mayor que una parte.Marco HistricoPostulados:1. Una recta puede trazarse desde un punto cualquiera hastaotro.2. Una recta finita puede prolongarse continuamente yhacerse una recta ilimitada o indefinida.3. Una circunferencia puede describirse con un centro y unadistancia.4. Todos los ngulos rectos son iguales entre s.Marco Histrico5. Si una recta que corte a otras dos, forma con stasngulos interiores del mismoladode ellaquesumados seanmenores quedos rectos, las dosrectas, si se prolongan indefinidamente, secortarn del lado en que dicha suma sea menorque dos rectos.Marco HistricoPodemos ver que el quinto postulado difiere de los otrospostulados por su especial complejidad. Estacaracterstica llam la atencin de los matemticosdesdeel principio, pueslocolocabamscercadelasproposiciones que de los postulados. El mismo Euclideslo sabia y lo introdujo solamente despus de laProposicin 28; quizs esperando poder deducirlolgicamente de los otros postulados. Lo introduce justoen el momento en el cual ya le era inevitable tener queusarlo.Marco HistricoMuchos fueronlos matemticos que se hicerongrandesesfuerzos para probar o simplificar este postulado. Como porejemplo: Ptolomeo (S, II a.c.); Proclus (412-485); Nadir-al-din-al-Tusi (1201-1274); Saccheri (1667-1733); Lambert(1728- 1777); D'Alembert (1717-1783); Lagrange(1736-1813); Legendre (1752-1833); Laplace (1749-1827); FarkasBolyai (1775-1856); Wachter (1792-1818); Taurinus (1794-1874) , entre otros mas.Marco HistricoAlgunosde ellos estaban convencidosde quedichopostulado no era independiente , de los otros cuatro,es decir que sera posible deducirlo de ellos. Proclusafirm que I dicho postulado deba ser posibledemostrarlo a partir de los otros, ya que surecprocoera la Proposicin 17, Otros trataron dereemplazarlo por enunciados equivalentes y msevidentes, restndole complejidad y acercndolo a losotros postulados.Marco HistricoHoy en da, utilizamos como quinto postulado elenunciado equivalente . reencontrado por Playfair en elSiglo XVII (Proclus ya lo haba utilizado). Este dice:Porunapuntodadoexterioraunarectaslopuedetrazarse otra (nica) paralela a ella.Marco HistricoLos trabajos de Saccheri y de Lambert fueron especialmenteimportantes en el descubrimiento de las Geometras No-Euclidianas, es decir, Geometras donde el quinto postuladono es supuesto como cierto.Sin embargo tanto Saccheri como Lambert se empearon endemostrar la no independencia del quinto postulado.Trataron infructuosamente de demostrarlo, y en su caminodescubrieron muchos de los teoremas de las Geometras No-Euclidianas. Por ello son considerados como precursores.Marco HistricoSaccheri trabaj con la afirmacin siguiente, la cuales equivalente al quinto postulado:'S en un cuadriltero un par de lados opuestos soniguales y si los ngulos adyacentes al tercer lado sonrectos, entonces los otros dos ngulos tambinsonrectos". Sin dificultad prob que los otros dos ngulossoniguales, yenseguidaempleandoel mtododedemostracin "por el absurdo" consider tresposibilidades:Marco HistricoA) Los ngulos son agudos.B) Los ngulos son rectos. ( Posibilidad equivalente al quinto postulado de Euclides)C) Los ngulos son obtusos. El sabia que si desechaba las posibilidades A) y C) quedaraprobada la B), es decir, probara el quinto postulada deEuclides. Teniendo en cuenta el Postulado 2, que dice que todarecta se puede extender ilimitadamente.Marco HistricoSaccheri problaimposibilidaddeC) ycometiendovarios errores prob la imposibilidad de A),concluyendo, errneamente, que el postulado deEuclides era cierto. Sin embarho se cree que Saccherise di cuenta de su error y retuvo la publicacin de sulibro. ste se public slo despus de su muerte.Marco HistricoPorsuparte, Lambert trabajconel enunciado: "Si enuncuadriltero tres de sus ngulos son rectos, el cuarto tambin loes", stetambines equivalenteal quintopostulado. Ensurecorrido fue ms all que Saccheri, pues encontr msteoremasdelasGeometrasNo-Euclidianas, perosuempeopor demostrar el quinto postulada lo llev, igualmente, acometer errores y a concluir falsamente que el quinto postuladono era independiente. Este error se los cobrara la Historia alllamarlos solamente precursores y no descubridores de lasGeometras No-Euclidianas.Marco HistricoAlgunos de los sorprendentes teoremas encontrados porSaccheri yLambert serefierenalasumadelosngulosinteriores de un tringulo. Por ejemplo:1) Enel casodelaposibilidadA)lasumadelosngulosinteriores de un tringulo es menor que 1800 .2) EnelcasodelaposibilidadC), lasumadelosngulosinteriores de un tringulo es mayor que 1800.En la Geometra Euclidiana o en la posibilidad B) se tiene que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 1800 Marco HistricoComo habamos dicho, Lambert avanza un poco ms yencuentra por ejemplo que en el caso de la posibilidad A), elreadeuntringuloesproporcionalalnmeronmenoslasumadesusngulos. Estacantidadsellamael defectodeltringulo. EncambioenlaGeometradeEuclides, el readepende del tamao de los lados y no de los ngulos.Marco HistricoTalinsistenciaparademostrarelquintopostuladose vea fortalecida por las consideracionesfilosficas de Kant (1724-1804) quien en su "Crticadelaraznpura"(1781) sostenaqueel espacioeuclidiano es "inherente en la estructura de nuestramente"ydeclaraba, anms, queel conceptodeespacio (euclidiano) no es emprico sino que es unanecesidad inevitable en el pensamiento humano.Marco HistricoAhora veamos como Bolyai y Lobachebsky se atrevena negar pblicamente el quinto postulado yconstruyen con su negacin (independientemente)una nueva geometra, tan consistente como la deEuclides, aunque en vida nunca lo supieran.Marco HistricoQuizs un poco ms anticipadamente, Gauss (1777-1855) ya haba hecho lo mismo en su mente, pero eltemor a las criticas le impidieron escribir y publcarsus resultados. Se sabe de esto por cartas personalesfechadas en 1817 (a Olbers), en 1824 (a Taurinus) yen 1829 (a Bessel).