NGULOS Y SU CLASIFICACIN

Un ngulo es una figura geomtrica formada en

una superficie por dos lneas que parten de un mismo punto.

Tambin podemos decir que un ngulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen comn llamado vrtice.

El ngulo se anota:

Dos rectas con un origen comn determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ngulos, y .

Al ngulo se le llama ngulo convexo, mientras que el ngulo es cncavo.

MEDICIN Y TRAZO DE NGULOS

Para la medicin de ngulos se emplea un instrumento denominado Transportador, el cual puede ser circular semicircular.

El transportador circular, es un instrumento que est dividido en 360 partes iguales

nominadas grados, en el cual se ha marcado con toda exactitud el centro.

Para medir los ngulos el transportador se maneja de la siguiente manera: El centro del transportador se hace coincidir con el vrtice del ngulo y la divisin que indica cero, con uno de los lados, sobre la escala se obtiene la lectura en la marca que coincida con el otro

lado del ngulo.

Los ngulos se suelen medir en sentido positivo, es decir, en sentido contrario al de las manecillas del reloj, as como el tamao de un ngulo no depende de la longitud de sus

lados.

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS.

Los ngulos pueden clasificarse segn su medida en cinco tipos:

ngulo recto: es aquel cuya medida es de 90

= 90

ngulo agudo: es aquel cuya medida es menor que

90

= < 90

ngulo extendido: es aquel cuya medida es de

180

= 180

ngulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor

que 90 y menor que 180

= > 90 < 180

ngulo completo: es aquel cuya medida es de 360

= 360

NGULOS Y RECTAS.

RELACIONES ENTRE PAREJAS DE NGULOS.

En casi todas las figuras geomtricas donde intervengan rectas aparecen ngulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posicin en el plano.

As, dos ngulos pueden ser entre s complementarios, suplementarios o adyacentes.

Dos ngulos son complementarios si la suma de sus

medidas es 90

+ son complementarios

+ = 90

Dos ngulos son suplementarios si la suma de

sus medidas es 180

+ son suplementarios

+ = 180

Dos ngulos son adyacentes si

tienen un lado en comn y los otros dos estn en la misma recta.

a es adyacente con b A, B, C son colineales (estn en la misma recta), BD lado comn para a y b

Los ngulos adyacentes son suplementarios.

RECTAS SECANTES Y PARALELAS.

Como ya vimos, por definicin, un ngulo es una figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas rectas que parten de un mismo punto.

Fijando nuestra atencin en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).

Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ngulos. Cada ngulo

tiene dos lados y un vrtice.

Esta construccin en el plano nos permite relacionar entre s los ngulos as formados.

ngulos opuestos por el vrtice

Son los ngulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamadovrtice (V).

es opuesto por el vrtice con

es opuesto por el vrtice con

Como podemos verificar en la fgura: Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales

ngulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ngulos:

Esta distribucin numrica nos permite carecterizar parejas de ngulos segn su posicin, haciendo notar que los ngulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ngulos 1, 2, 7 y 8

son exteriores (o externos) respecto a las rectas:

ngulos internos (3, 4, 5 y 6)

Los ngulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180)

ngulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180)

ngulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180)

ngulos externos (1, 2, 7 y 8)

Los ngulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.

ngulos 1 y 7 son suplementarios (suman 180)

ngulos 2 y 8 son suplementarios (suman 80)

ngulos correspondientes:

Son aquellos que estn al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

1 y 5 son ngulos correspondientes (iguales), 1 = 5

2 y 6 son ngulos

correspondientes (iguales) 2 = 6

3 y 7 son ngulos correspondientes

(iguales) 3 = 7

4 y 8 son ngulos correspondientes

(iguales) 4 = 8

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos correspondientes es congruente entre s.

ngulos alternos internos:

Son aquellos ngulos interiores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

3 y 6 son ngulos alternos internos 3 = 6

4 y 5 son ngulos alternos internos 4 = 5

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos internos es congruente entre s.

ngulos alternos externos:

Son aquellos ngulos exteriores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto

lado de las paralelas.

1 y 8 son ngulos alternos externos 1 = 8

2 y 7 son ngulos alternos externos 2 = 7

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos externos es congruente entre s.

NGULOS EN UN TRINGULO.

Los ngulos que se forman en un tringulo se relacionan entre s cumpliendo con las siguientes propiedades o caractersticas:

1.- La suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a dos ngulos rectos; es decir, suman 180.

En la figura, + + = 180. Recordar que = y que = por ser ngulos alternos internos.

2.- La suma de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es igual a 90.

En la figura, + = 90

3.- En todo tringulo, la medida de un ngulo externo es igual a la suma de las medidas de los ngulos internos no contiguos (opuestos).

En la figura, = +

4.- En todo tringulo la medida de un ngulo externo es mayor que la de cualquier ngulo interior no adyacente.

En la figura,

> (es mayor que)

> (es mayor que) e

5.- La suma tres ngulos exteriores de cualquier tringulo vale cuatro ngulos rectos; es decir, suman 360.

En la figura, + + = 360

TIPOS DE TRINGULOS.

1 Segn sus lados:

Tringulo equiltero: Tres lados iguales.

Tringulo issceles: Dos lados iguales.

Tringulo escaleno: Tres lados desiguales.

2 Segn sus ngulos:

Tringulo acutngulo: Tres ngulos agudos

Tringulo rectngulo: Un ngulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los

lados menores son los catetos.

Tringulo obtusngulo: Un ngulo obtuso.

TEOREMA DE THALES.

Si a dos rectas cualesquiera las cortan varias rectas paralelas, los segmentos

determinados en una de las rectas son proporcionales (tienen la misma longitud) a

los segmentos correspondientes en la otra.

EJEMPLOS

1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

2 Las rectas a, b son paralelas. Podemos afirmar que c es paralela a las rectas

a y b?

S, porque se cumple el teorema de Thales.

TEOREMA DE THALES EN UN TRINGULO.

Dado un tringulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados

del triangulo, se obtiene otro tringulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los

del tringulo ABC.

Ejemplo: Hallar las medidas de los segmentos a y b.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES.

El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.

Ejemplo: Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.

2 Tomando como unidad cualquier medida, se sealan en la semirrecta 3 unidades

de medida a partir de A

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al

segmento que une B con la ltima divisin sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos

en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

SEMEJANZA DE TRINGULOS

Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homlogos.

Son ngulos homlogos:

Dos tringulos son semejantes cuando tienen sus ngulos homlogos iguales y sus

lados homlogos proporcionales.(Tienen igual forma pero distinto tamao)

La razn de la proporcin entre los lados de los tringulos se llama razn de

semejanza.

La razn de los permetros de los tringulos semejantes es igual a su razn de

semejanza.

La razn de las reas de los tringulos semejantes es igual al cuadrado de su

razn de semejanza.

EJEMPLOS.

1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora

que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.

2 Los catetos de un tringulo rectngulo que miden 24 m y 10 m. Cunto medirn

los catetos de un tringulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOS.

1 Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos iguales.

2 Dos tringulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo

comprendido entre ellos igual.

Ejemplos: Determine si son semejantes los siguientes tringulos

1

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

2

180 100 60 = 20 Son semejantes porque tienen dos ngulos iguales.

3

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ngulo igual.

AREAS DE FIGURAS PLANAS.

1. TRIANGULO.

El tringulo es un polgono formado por tres lados y

tres ngulos.

La suma de sus tres ngulos siempre es 180 grados.

Para calcular el rea se emplea la siguiente formula:

A = (b h) / 2

(Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos)

2. CUADRADO.

El cuadrado es un polgono que tiene los cuatro lados y los cuatro ngulos iguales. Los cuatro ngulos son rectos.

La suma de los cuatro ngulos es 360 grados.

Para hallar el rea se utiliza la siguiente formula:

A = l l

(Es decir, el rea es igual al valor de un lado ( l ) multiplicado por si mismo. )

3. RECTANGULO.

El rectngulo es un polgono de 4 lados, que son iguales

dos a dos.

Los ngulos de un rectngulo son todos iguales y rectos.

Suman en total 360 grados.

Para hallar el rea de un rectngulo se utiliza la siguiente formula:

A = a b

(Es decir, el rea es igual a multiplicar el valor de la base (a) por el valor de la altura (b).)

4. ROMBO

El rombo es un polgono que tiene los cuatro lados iguales y los ngulos son iguales dos a dos. ( Dos

ngulos son agudos y los otros dos obtusos)

Para hallar el rea se utiliza la formula siguiente:

A = (D d) / 2

(Es decir, el rea es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal menor (d) y el resultado se divide entre dos)

5. TRAPECIO

El trapecio es un polgono que tiene 4 lados, de ellos, dos son paralelos.

Los cuatro ngulos son distintos de 90. La suma de

los 4 ngulos es 360 grados.

El rea se halla con la siguiente formula:

A = (B + b) h / 2

(Es decir, el rea es igual a la suma de las dos bases (B y b), multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos.

6. PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polgono que tiene 4 lados,

que son iguales y paralelos, de dos en dos.

Los ngulos son distintos de 90. La suma de los 4 ngulos es de 360 grados.

El rea se halla con la formula siguiente.

A = b h

(Es decir, el rea es igual al producto de la base (b) por la altura (h))

7. POLGONO REGULAR

En este apartado estn los polgonos regulares que tienen ms de 4 lados iguales. Los ngulos tambin son iguales.

El de 5 lados se llama pentgono. El de 6 lados hexgono, etc.

Para calcular el rea de estos polgonos se utiliza la siguiente formula:

A = (P a) / 2

(Es decir, el rea es igual al permetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido entre dos.)

8. CRCULO

El crculo es la regin delimitada por una circunferencia. La circunferencia es el

lugar geomtrico de los puntos que equidistan del centro.

Para hallar el rea del crculo se utiliza la siguiente formula:

A = r 2

(Es decir, se multiplica 3,14 por el radio (r) elevado al cuadrado)

VOLUMENES DE FIGURAS GEOMETRICAS. 1. PRISMA

El prisma regular es un cuerpo geomtrico limitado por 2 polgonos regulares, llamados bases, y por tantos rectngulos como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polgono de la base. (Ejemplo: Prisma pentagonal).

Podemos hallar el rea lateral , rea total y volumen de este

cuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas:

REA LATERAL

AL = P h

(Es decir, es rea lateral es igual al permetro del polgono de la base multiplicado por la altura (h) del prisma)

REA TOTAL

AT = AL + 2 Ab

(Es decir, el rea total es igual al rea lateral ms el rea de los polgonos de las 2 bases)

VOLUMEN

V = Ab h

(Es decir, el volumen es igual al rea del polgono de la base multiplicado por la altura ( h ) del prisma)

2. PIRMIDE

La pirmide regular es un cuerpo geomtrico limitado por un polgono regular, llamado base, y por tantos tringulos

como lados tenga la base.

Se nombran diciendo PIRMIDE y el nombre del polgono de la base. (Ejemplo: Pirmide cuadrangular).

Podemos hallar el rea lateral , rea total y volumen de

este cuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas:

REA LATERAL

AL = P a / 2

(Es decir, es rea lateral es igual al permetro del polgono de la base multiplicado por la altura de una cara lateral ( a ) de la pirmide y dividido entre 2)

REA TOTAL

AT = AL + Ab

(Es decir, el rea total es igual al rea lateral mas el rea del polgonos de la base)

VOLUMEN

V = Ab h / 3

(Es decir, el volumen es igual al rea del polgono de la base multiplicado por la altura (h ) de la pirmide y dividido entre 3)

4. CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geomtrico engendrado por un rectngulo al girar en torno a uno de sus lados. Podemos hallar el rea lateral , rea total y volumen de este cuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas:

REA LATERAL

AL = 2 r g

(Es decir, es rea lateral es igual a 2 multiplicado por ( pi ), el resultado multiplicado por el radio de la base (B) y

multiplicado por la generatriz ( g ) del cilindro)

REA TOTAL

AT = AL + 2 Ab

(Es decir, el rea total es igual al rea lateral ms las reas de los dos crculos de las bases)

VOLUMEN

V = Ab h

(Es decir, el volumen es igual al rea del crculo de la base multiplicado por la altura ( h ) del cilindro)

5. CONO

. El cono es un cuerpo geomtrico engendrado por un

tringulo rectngulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Podemos hallar el rea lateral , rea total y volumen de este cuerpo geomtrico, utilizando las siguientes formulas:

REA LATERAL

AL = r g

(Es decir, es rea lateral es igual a (pi) multiplicado por el

radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz ( g ) del cono)

REA TOTAL

AT = AL + Ab

(Es decir, el rea total es igual al rea lateral ms el rea del circulo de la base)

VOLUMEN

V = Ab h/ 3

(Es decir, el volumen es igual al rea del circulo de la base multiplicado por la altura ( h ) del cono y dividido entre 3)

6. ESFERA

La esfera es un cuerpo geomtrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su dimetro.

Podemos hallar el rea y el volumen de este cuerpo

geomtrico, utilizando las siguientes formulas:

REA

A = 4 r2

(Es decir, es rea es igual a 4 multiplicado por (pi), y el resultado se multiplica por el cuadrado del radio de la esfera)

VOLUMEN

V = 4/3 r3

(Es decir, el volumen es igual a 4 multiplicado por (pi), el resultado se multiplica por el cubo del radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3)

CLCULO DE REAS SOMBREADAS Y VOLUMENES

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS RESUELTOS

1) En la figura se tiene un cuadrado de lado = 4 cm. En las esquinas se tiene 4

cuadrados de lado /3. Calcular el rea de la regin sombreada

Solucin:

a) Clculo del rea del cuadrado de = 4 cm

A = 2 = (4cm)2 = 16 cm2

b) Clculo del rea del cuadrado de lado /3

=

c) Clculo del rea de la regin sombreada

rea Sombreada = A - 4 =

rea Sombreada =

2) Calcular el rea de la regin sombreada

Solucin:

a) Clculo del rea del crculo

22

2

78,19

16

3

4cmcmcm

)78,1(416 22 cmcm

222 88,812,716 cmcmcm

b) Clculo del rea del cuadrado

Si el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir

que el rea del cuadrado es:

A = 2 = (8cm)2 = 64 cm2

c) Clculo del rea de la regin sombreada

Se obtiene al restar el rea del crculo de la del cuadrado

3) Calcular el rea de la regin sombreada (sector circular) en donde cm y el

ngulo es un tercio de 3600

Solucin:

a) Clculo del radio r:

Si

b) Clculo del ngulo

c) Clculo del rea del sector circular:

22222 24,501614,316)4( cmcmcmcmArA

3

1

27

1

r

cmr3

1

27

1

cmr 32727

1

27 33

13

1

00 1203603

1

4) Calcular el rea de la regin sombreada (corona circular) en donde cm.

Solucin:

a) Clculo del radio sub dos:

Si

b) Clculo del radio sub uno:

Si

c) Clculo del rea del crculo de radio sub dos:

d) Clculo del rea del crculo de radio sub uno:

e) Clculo del rea de la corona circular

5) Calcular el rea de la regin sombreada (trapecio circular) en donde cm.

4 2

2 4r

4 2

2 4r cmcmcmcmr 24442 12

1

4

2

2

cmrcmrrr 4222 1121

222

2

2 56,12414,3)2(14,3 cmcmcmArA

2

1

116

1

r

Solucin:

a) Clculo del radio sub uno:

Si cm = cm = cm

cm

b) Clculo del radio sub uno:

Si

c) Clculo del sector circular de radio sub uno:

d) Clculo del sector circular de radio sub dos:

e) Clculo del rea del trapecio circular:

6) De una pizza se ha comido

como indica la figura:

2

1

116

1

r

2

1

11

16

r 2

1

16 2 116

41 r

2

1

2

rr cm

cmr 2

2

42

La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene 160 cm de permetro.

Calcular el rea y la longitud del arco de la parte comida.

Solucin.

a) Clculo del lado de la caja cuadrada

Si el permetro es

b) Clculo del radio de la pizza

Si

Si

c) Clculo del rea total de la pizza

d) Clculo del rea de la parte comida

e) Clculo del permetro de la pizza

f) Clculo de la longitud del arco de la parte comida

4P4

P cm

cm40

4

160

cmDDimetrocm 40)(40

cmcm

rD

rradiocmD 202

40

2)(40

cmcmPrP 6,1252014,322

cmcmaPa 7,156,1258

1

8

1

7) Calcular el rea de la regin sombreada en donde d = cm y b =8cm.

Solucin:

a) Clculo de la diagonal:

Si d = cm

b) Clculo de la altura aplicando el Teorema de Pitgoras:

c) Clculo del rea de la regin pintada, la misma que es un tringulo:

A =

9) Si d = cm. Calcular el rea de la regin sombreada

Solucin:

a) Clculo del lado del cuadrado

Por Pitgoras

2

1

100

2

1

100 cmcmd 101002 1

22222 bdabad

cmcmcmcmcmcma 63664100)8()10( 22222

22

242

48

2

68

2cm

cmcmcmab

22

222222 ddd

b) Clculo del rea del cuadrado

c) Clculo del rea del tringulo sin sombrear

d) Clculo del rea sombreada

10) Calcule la longitud de la arista de un cubo de 343 m3 de volumen.

Solucin: La arista medir 7 m, ya que 7 7 7 = 343 m3

11). Halla el peso de un bloque cbico de hormign de 1,9 m de lado. (Un metro cbico

de hormign pesa 2350 kg)

Solucin: El volumen del bloque es V = = 6,859 m3. Su peso ser

m= 2350 6,859 = 16.118,7 Kg.

12). La base de un prisma es un pentgono de lado 4 cm y apotema 3 cm. Calcula su

volumen sabiendo que su altura es 6 cm.

Solucin: El rea de la base es

El volumen es V = 30 6 = 180

cmcm

cmcm636

2

236

2

26 22

2

13) La base de una pirmide es un octgono regular de lado 3 cm y apotema 4cm.

Calcula su volumen sabiendo que su altura es 7 cm.

Solucin: El rea de la base es

El volumen es V= 48. 7 =

= 112

14) Se echan 7 de agua en un recipiente cilndrico de 3 cm de radio .Qu altura

alcanzar el agua?

Solucin: V= despejando h =

=

=0,24 cm

15) Cuntos cubos cilndricos, de 47 cm de altura y 16 cm de radio, se tienen que

vaciar en una piscina de 10x6x1,5 m para llenarla?

Solucin: La capacidad de cada cubo es V= 3,14 16cm = 110980,16

La capacidad de la piscina es V= 10 6 1,5 = 90 = 90.000.000

Sern necesarios

16) Cuntas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cnico de

cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm?

Solucin: La capacidad de cada copa es V=

Teniendo en cuenta que 6 Lt son 6000 se pueden llenar con

17) Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilndrico de 3,1

cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el

recipiente.

Solucin: El volumen del cilindro es V = 3,14. . 3,1 = 21,9015

El volumen de la bola es V =

Para llenar el recipiente, hay que aadir 21,9015 4,1866 = 17,7149