geometria 5° 4b

39 40COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria GEOMETRÍA5to Año Secundaria

Denominamos región poligonal a la reunión de todos los puntos de un polígono con todos los puntos de su interior. Por ejemplo, una región triangular es la reunión de un triángulo y su interior.

Podemos decir, también que una región poligonal es la figura plana que se forma al reunir un número finito de regiones triangulares.

UNIDAD DE ÁREA

Es la medida de un cuadrado cuyo lado es la unidad de longitud empleada. En la vida diaria, el área se mide por el metro cuadrado m2; es decir, un cuadrado de lado igual. A un metro.

ÁREA DE UNA REGIÓN POLIGONAL

Expresamos el área de una región poligonal por medio de un número real positivo que le corresponde como medida. Éste indica el número de veces que la unidad de área está contenida en la región poligonal.

EL POSTULADO DE ADICIÓN DE ÁREASSi dividimos una región poligonal en dos o más regiones, entonces, su área total, es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales. En la figura,

atotal = a1 + a2 + a3

EL POSTULADO DE LA UNIDAD (área del cuadrado)El área de una región cuadrada, es igual al cuadrado de la longitud de su lado.

A = 2Denotaremos el área de una región poligonal por el símbolo A y para abreviar, nos referiremos simplemente: el área del cuadrado, el área del rectángulo, el área de un triángulo, etc. En cada caso. Entendemos desde luego, que se trata del área de la región correspondiente.

TEOREMA DEL ÁREA DEL RECTÁNGULOEl área de un rectángulo, es el producto de las longitudes de sus dos lados a los cuales llamaremos base (al lado mayor) y altura (lado menor).Hipótesis:Sean los rectángulos sombreados de iguales dimensiones.

Tesis: A = b – hDemostración:Paso 1: Las áreas de los dos cuadrados de la figura son b2 y h2 (Por el postulado anterior).Paso 2: El área de toda la figura es (b+h)2

Paso 3: También, de la figura, podemos observar que su área es b2 + 2ª + h2

b2 + 2A + h2 = (b + h)2 (del paso 2 y 3)

b2 + 2A + h2 = b2 + 2bh + h2

Paso 4: Finalmente, simplificando la igualdad anterior.

A = b.n

TEOREMA DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMOEl área de un paralelogramo, es igual al producto de las medidas de su base y altura.Hipótesis:Sea el paralelogramo NLCR.

Tesis: A = b.hDemostración:

Paso 1: Trazo y

prolongo hasta I (Construcción auxiliar).Paso 2: NIL REC ( , lados opuestos del rectángulo NIER y

, lados opuestos de un paralelogramo).Paso 3: ANICR = ANIL = ANICR – AREC (De la figura, A significa área y los subíndices) se refieren al polígono.Paso 4: Es decir, ANLCR = ANIER

(Simplificando la igualdad anterior).Paso 5: Pero ANIER = A = b.h (Teorema anterior) finalmente, de los pasos 4 y 5.

A = b.h

TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULOEl área de cualquier triángulo, es igual al semiproducto de la longitud de su base por la longitud de su altura.Hipótesis:

Sea el NMK

Tesis: A =

Demostración:

Paso 1: Trazo

Paso 2: GMK MKN y NMK MKGPaso 3: NMK MGK

S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5GE34B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

IV

REGIÓN


Paso 4: A NMK + AMKG = ANMGK

Paso 5: 2ANMK = ANMGK

Paso 6: ANMK = A = y como

ANMGK=A=b.h

Paso 7: Finalmente, A =

TEOREMA DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTEROEl área de todo triángulo equilátero, es igual al cuadrado de la longitud de su lado, multiplicado por la cuarta parte de la raíz de tres.

A =

TEOREMA DEL ÁREA DEL ROMBOPara hallar el área del rombo, multiplicaremos las medidas de sus diagonales y a este resultado lo dividiremos entre 2.

A =

TEOREMA DEL ÁREA DEL TRAPECIOEl área de un trapecio, es igual al producto de la longitud de su altura por la longitud de la mediana.

A =

Todos estos teoremas deben ser demostrados por el alumno.

EJERCICIOS RESUELTOS01. Encuentre la longitud de la base

de un rectángulo, si su altura mide 12m. y su área es de 384m2.Solución:Datos: A = 384 (área del rectángulo) h = 12 (altura del rectángulo)Por teoría, área del rectángulo A =b.h reemplazando datos en la igualdad anterior y resolviendo. 384 = (12) (b)

=b = b = 32

Finalmente, la longitud de la base es 32m.

02. La medida del área de un rectángulo es 500cm2, si la longitud de su base es cinco veces la longitud de su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones?Solución:Datos: A = 500 (área del rectángulo) b = 5h (relación entre base y altura)Sabemos que: A = b.h ... (I)Y del segundo dato b = 5h ... (II)Reemplazando el valor de A y la ecuación(II) en la ecuación (I). 500 = (5h) (h)

=h2

100 = h2 extrayendo la raíz

cuadrada

10 = h

Reemplazando el valor de h en la ecuación (II). b = 5(h) = 5(10) = 50Finalmente, las dimensiones del rectángulo son base 50 cm y altura 10cm.

03. El área del un terreno de forma cuadrada mide 900m2. si se desea cercar todo el terreno, ¿cuántos metros de alambre necesitamos?Solución:Dato: A = 900m2 (área del cuadrado)Sabemos que el área del cuadrado

A = ... (I)Reemplazando el dato en la ecuación (I) y resolviendo

900 = extrayendo raíz cuadrada. 30 =

Para cercar el terreno necesitamos conocer el perímetro del terreno. Recordemos:Perímetro del cuadrado P = 4Reemplazando valores, = 4(30)Resolviendo =120

Finalmente, necesitamos 120m de alambre.

04. Si el área de un paralelogramo es de 300cm2 y la longitud de su altura mide 6cm. Encuentra la longitud de su base.Solución:Datos: A = 300cm2 (área del paralelogramo)

h = 6cm (altura)Por teoría, área del paralelogramo A = b.h ... (I)Reemplazando los datos en la ecuación (I) y resolviendo.

300 = b(6)

= b Simplificando

50 = b

Finalmente, la longitud de la base del paralelogramo es 50cm.

05. Si el área de un paralelogramo es

18 000m2. Además, su altura es

de la base. Encuentre sus dimensiones.Solución:Datos: A = 18 000 (área del paralelogramo)



(relación entre altura y

base)Por teoría, A = b.h ... (I)

Del segundo dato: h = ... (II)

Reemplazando el valor de A, la ecuación (II) en la ecuación (I) y resolviendo:

A = b . h

18 000 = (b)

Efectuando 18 000 =

90 000 = b2

Extrayendo raíz cuadrada 300 = b

Reemplazando el valor del b en la ecuación (II).

h =

h = h = 60

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 0101. El área de un rectángulo es 300m2.

Encuentre las longitudes de sus lados, si su base es el triple que su altura.

a) 10m; 30m b) 15m;

25m c) 20m; 30m

d) 15m; 30m e) N.a

02.El perímetro de un rectángulo es de 140m. y su diagonal mide 50m. Encuentre su área.

a) 1 200m2 b) 1 300m2 c) 1 400m2

d) 1 500m2 e) 1 600m2

03. El solar de una casa tiene 64. de largo por 36m de ancho ¿Cuántas locetas cuadradas de 40cm de lado se necesitarán para cubrir el piso?

a) 16 000 b) 17 000 c) 15 000d) 14 000 e) 14 500

04. Si la base de un rectángulo es 16cm menos que el doble de su ancho. Encuentre su área, si su perímetro es de 112cm.

a) 768cm2 b) 770cm2 c) 778cm2

d) 678cm2 e) N.a

05. En un rectángulo, sus lados son como 3 es a 4 y la suma de sus longitudes es 20m mayor que la longitud de la diagonal. Encuentre su área.

a) 1 100m2 b) 1 150m2 c) 1 200m2

d) 1 300m2 e) N.a

06. El área de un rectángulo es 714,05m2. Al aumentar su ancho en 6m y quitarle esta misma cantidad a su base, su área aumenta en 6m2. Encuentre las dimensiones del rectángulo.

a)20,45m; 30,46mb) 23,45m; 30,45mc) 21,46m; 30,46m d) 20,45m; 30,40me) N.a

07. Si un cuadrado tiene su diagonal igual a 30 m ¿Cuál será su área?

a) 899m2 b) 900m2 c) 901m2

d) 902m2 e) 903m2

08. El área de un cuadrado es 100m2. si sobre al diagonal de éste se construye otro cuadrado. ¿Cuál será su área?

a) 100m2 b) 200m2 c) 300m2

d) 400m2 e) N.a

09.El área de un cuadrado es 180m2. Encuentre el área de otro cuadrado, cuya diagonal mida diez veces el lado del primero.

a) 8 000m2 b) 9 000m2 c)

10 000m2

d) 7 000m2 e) N.a

10.Si las longitudes de un rectángulo son 270cm. De largo por 30cm de ancho. ¿Cuántos cm. Habrá que aumentar al ancho y cuántos disminuir al largo para que resulte un cuadrado de igual área?

a) 50cm; 160cm b) 50cm; 170cm

c) 60cm; 180cm d) 60cm; 190cm

e) N.a

11.Si a los lados de un cuadrado le agregamos 6cm y 9cm. Entonces su área se duplica. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?

a) 16cm b) 17cm c) 18cmd) 19cm e) N.a

12.El área de un rectángulo es 1 400m2. si a su base le aumentamos 20m y a su altura 50m, entonces resulta un cuadrado.

¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

a) 25,31m; 55,31m b) 25,32m; 55,32mc) 26,31m; 55,31 d) 26,32m; 55,32e) N.a

13. La base de un triángulo es 71m y su altura correspondiente mide los

de la base. Encuentre su área.

a) 1512,0m2 b) 1512,1m2c)

1512,2m2

d) 1512,3m2e) N.a

14. ¿Cuál será el área de un triángulo rectángulo, si su hipotenusa mide 40 m y uno de sus catetos es el doble de otro?

a) 640m2 b) 650m2 c) 660m2

d) 670m2 e) N.a

15.Si en un triángulo rectángulo isósceles su hipotenusa mide 20m. Encuentre su área.

a) 500m2 b) 400m2 c) 300m2

d) 200m2 e) N.a

16.La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con el cateto mayor, que mide 16 m, un ángulo de 30º. Encuentre su área.

a) 128 m2b) 127 m2c) 126

m2

d) 125 m2e) N.a



17.El área de un triángulo es 360m2. La suma de las longitudes de su base con su altura respectiva es 78m. Encuentre estas longitudes.

a) 67,3m; 10,5m b) 67,3m; 10,7m

c) 68,3m; 10,5m d) 68,3m; 10,7m

e) N.a

18. En un triángulo isósceles, sus lados congruentes miden 26cm y su base 20cm. Encuentre su área.

a) 220cm2 b) 240cm2 c) 260cm2

d) 280cm2 e) N.a

19. Los lados de un triángulo son 3 números enteros consecutivos. Si su perímetro es 90m. y la altura del lado mayor mide 25,086m. Encuentre su área.

a) 388,80m2 b) 388,82m2c) 388,84m2

d) 388,86m2e) N.a

20.Encuentre la longitud del lado de un triángulo equilátero, si su área es de 72 m2.

a) 10 m b) 11 m c) 12 m

d) 13 m e) N.a

21. Encuentre la longitud de la altura de un triángulo equilátero de área igual a 54 m2?

a) 9 b)8 c) 7

d) 6 e) N.a

22. Si un triángulo equilátero tiene una altura de longitud 16 m. Encuentre su área.

a) 253 m2b) 254 m2c) 255m2

d) 256 m2e) N.a

23. Si el área de un paralelogramo es de 366m2 y su base mide 15,25m. Encuentre la longitud de su altura.

a) 23m b) 24m c) 25md) 26m e) N.a

24. La altura de un paralelogramo es de 30m y su área es de 760,2m2. Encuentre la longitud de su base.

a) 25,33m b) 25,34m c) 25,35m

d) 25,36m e) N.a

25. Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 22m y 70m, respectivamente. Si su diagonal menor mide 90m. Encuentre su área.

a) 360,12m2 b) 360,11m2c)

363,12m2

d) 363,11m2e) N.a

26. Los lados consecutivos de un paralelogramo miden 34m y 15m respectivamente. El lado de 15m determina con su base un ángulo de 30º. Encuentre el área del paralelogramo.

a) 255m2 b) 260m2 c) 265m2

d) 270m2 e) N.a

27.Si la diagonal mayor de un paralelogramo es de 35,6m y dos de sus lados consecutivos miden 16m. y 24m. respectivamente. Encuentre su área.

a) 316,31m2 b) 316,32m2c) 316,33m 2

d) 316,34m2e) N.a

28. En un paralelogramo, su diagonal menor mide 58cm y su base 72cm. Encuentre su área, si el ángulo que forma la diagonal menor con el lado más pequeño es de 90º

a) 2447,33cm2 b) 2447,34cm2

c) 2447,35cm2 d) 2447,36cm2

e) N.a

29.El área de un rombo es 90m2, si una de sus diagonales mide 15m. ¿Cuál es la longitud de la otra diagonal?

a) 12m b) 10m c) 14md) 15m e) N.a

30.La diagonal mayor de un rombo mide 6m más que la otra. Encuentre sus longitudes, si el área del rombo es 340m2.

a) 22,25m b) 23,25m c) 24,25md) 25,25m e) N.a

31. En un rombo, sus diagonales están en la relación 5 a 12. Encuentre su área, si su perímetro es 52m.

a) 110m2 b) 130m2 c) 150m2

d) 100m2 e) 120m2

32. La relación de las diagonales de un rombo es como 8 es a 10 y la

diferencia de sus longitudes es 4m. Encuentra su área.

a) 160m2 b) 120m2 c) 170m2

d) 100m2 e) N.a

33.El perímetro de un rombo es 272m.

la diagonal menor es los de la

mayor. Encuentre el área. Del rombo.

a) 3820m2 b) 3840m2 c) 3860m2

d) 17 500 e) N.a

34. Si una de las diagonales de un rombo mide 10m más que la otra. Encuentre la longitud de cada diagonal, si el área del rombo es 336m2.

a) 21,3m; 31,3m b) 21,4m; 31,4mc) 21,5m; 31,5m d) 21,6; 31,6e) N.a

35.Si los lados de un rombo miden 10m y la relación entre sus

diagonales es . Encuentre el área

del rombo.

a) 1 000m2 b)2 000m2 c) 3 000m2

d) 4 000m2 e) N.a

36. El perímetro de un rombo es 180m y la suma de sus diagonales es 152m. Encuentre su área.

a) 3750m2 b) 3752m2 c) 3754md) 3756m e) N.a

37. El perímetro de un rombo es 68m y la diferencia de sus diagonales es 18m. Encuentre su área.



a) 206m2 b) 208m2 c) 202m2

d) 204m2 e) N.a

38. La diagonal de un rectángulo mide 50m. si su área es equivalente a la de un rombo cuya diagonal menor es igual a la altura del rectángulo y mide 30m. Encuentre la longitud de la diagonal mayor de rombo.

a) 80m b) 90m c) 70md) 60m e) N.a

TAREA DOMICILIARIA

01. Los lados de un triángulo isósceles ABC miden 20, el lado AC mide 24, se trazan , tal

que BP =5 y (F en ), tal que PF = 2 FC. Calcular el área APF.

a) 48 b) 72 c) 96d) 108 e) N.a.

02. En un triángulo isósceles ABC, AC = BC; se traza la mediana y la

altura intersectándose en F. Calcular el área AHFM, si el área del triángulo ABC es 72m2.

a) 6m2 b) 12m2 c) 24m2

d) 36m2 e) N.a.

03. El área de un triángulo es 60m2. Calcular el área del triángulo que tiene por vértices los puntos medios de dos lados y el baricentro del triángulo.

a) 5m2 b) 10m2 c) 12m2

d) 15m2 e) N.a.

04. En la siguiente figura,

; sABC= 16m2.

Calcular SAEC.

a) 5m2 b) 8m2 c) 10m2

d) 12m2 e) N.a.

05. El área de un triángulo ABC es 30, AB=10, BC=8; se traza la bisectriz exterior . Calcular el área ABF.

a) 70 b) 150 c) 300d) 150 e) N.a.

06. En un triángulo ABC, se trazan la mediana y la bisectriz intersectándose en P, si el área APB es 10m2; AB=5m y BC=6m. Calcular el área ABC.

a) 16m2 b) 32m2 c) 48m2

d) 64m2 e) N.a.

07. En un triángulo PQR, la mediana y la altura se intersectan

en O, tal que . Calcular

a) b) c)

d) e)

08. El área de un triángulo ABC es 30cm2. se traza la bisectriz interior

, de tal modo que AD =3m y DC=7m. Calcular el área del triángulo ABD

a) 5m2 b) 9m2 c) 12m2

d) 15m2 e) N.a.

09. El área de un triángulo ABC es 10m2, los lados miden 4m y 6m respectivamente; se traza la bisectriz interior . Calcular el área del triángulo AFB.

a) 2m2 b) 4m2 c) 6m2

d) 8m2 e) N.a.

10. En un cuadrilátero ABCD, AB=3m, CD=5m; AD=6, y AC=7m. Calcular el área de la región triangular ABC, si mBAC=mCDA

a) m2 b) m2 c) m2

d) m2 e) N.a.

11. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, siendo S1, S2 y S3 las áreas de las regiones sombreadas. Decir que relación se cumple.

a) S3=2(S1+S2) b) S3=2S1+S2

c) S3<2(S1+S2) d) S3>2(S1+S2) e) N.a.

12. En el gráfico, BC=5cm y EF=3cm, si el área de las región cuadrangular EFCB es de 16cm2. Hallar el área de la región triangular ABC.

a) 20cm2 b) 24cm2 c) 25cm2

d) 26cm2 e) 30cm2

13.Halle Sx, si ABCD es un paralelogramo S1=4m2; S2 =10m2.

a) 3m2 b) 5m2 c) 7m2

d) 9m2 e) 6m2

14. Calcular el área de la región sombreada, si BM=MC; I es incentro del triángulo MCD, AB=8m, AD=12M.



a) 16m2 b) 18m2 c) 20m2

d) 12m2 e) N.a.

15. El área del rectángulo BEFG es 50m2. Hallar el área de la región sombreada HFID.

a) 40m2 b) 50m2 c) 60m2

d) 70m2 e) 80m2

16. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado de lado a , donde M es punto medio de . Calcular el área de la región sombreada.

a) b) c)

d) e) N.a.

17. En un trapezoide ABCD,BD = 16m y la proyección de la diagonal Sobre una recta perpendicular a

en D mide 10m. Calcular el área del trapezoide.

a) 160m2 b) 80m2 c) 40m2

d) 120m2 e) N.a.18.Hallar el área de la figura

sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 60cm y el lado del cuadrado pequeño EFGH mide 12cm.

a) 1256cm2 b) 1512cm2 c) 1556cm2

d) 1656cm2 e) N.a.19. En la figura hallar el área del

cuadrilátero PQRS, si AB=12m y BC=9m. T es punto medio de , P

es punto medio de .

a) m2 b) m2 c) m2

d) m2 e) m2

20. ABCD es un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho, siendo P y Q

puntos medio de los segmentos

y , respectivamente. Calcular el área de la figura sombreada, si PQ mide 2 m

a) 5m2 b) 7 m2 c) 11m2

d) 5 m2 e) 6 m2

ÁREA DEL POLÍGONOTeorema 54El área de todo polígono regular, es igual al semiproducto de la medida del perímetro por la longitud de su apotema.

Hipótesis:Sea el hexágono regular NILCER conNI+IL+LC+CE+ER+RN=p (perímetro)y apotema.

Tesis : A=

Demostración :

Paso 1 : Uno O con los vértices par formar triángulos (Construcción auxiliar).Paso 2: Pero polígonoNILCER=NOI+IOL+OLC+OCE+OER+ORN (Por definición de región triangular).Paso 3: ANILCER=ANOI+AIOL+AOLC+AOCE+AOER+AORN

(Por el postulado de adición de áreas.)

Paso 4: ANOR= (Teorema del área

del triángulo).


ÁREAS DE


Paso 5: ANILCER=6 (Pues todos

los triángulos son congruentes).

Paso 6: Pero 6 =p, entonces, A=

AREA DEL CÍRCULOTeorema 55El área del círculo es igual al semiproducto de la longitud de la circunferencia por la longitud del radio.

Hipótesis:En la figura, el círculo de centro O tiene su radio de longitud R y su circunferencia de Longitud C.

Tesis: A =

Demostración:

Paso 1: Inscribo un polígono regular de n lados, de apotema a y perímetro p.

Paso 2: Apol= (Teorema anterior).

Paso 3: Aumentado indefinidamente el número de lados de este polígono hasta tal punto que el perímetro de éste se confunda con el de la circunferencia, la apotema con el radio,

y el área del polígono con el área del círculo.

Paso 4: Finalmente, de los pasos anteriores

A =

COROLARIO 1El área de todo círculo, es igual al producto de por la longitud de su radio elevado al cuadrado.

A = R2

COROLARIO 2El área de la corona circular, es igual a por la diferencia de los cuadrados de las longitudes de los radios de los círculos que la forman.

A = (R2 – r2)

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR ATeorema 56El área de todo el sector circular, es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la longitud de su radio.

A =

Demostrar este teorema.También podemos encontrar el área del sector circular como el semiproducto de la medida del ángulo expresado en radianes por el cuadrado de la longitud de su radio.

A = ó A =

Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales emplee la segunda igualdad.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02

01. Halla el área del polígono regular, si su perímetro es 6cm y su apotema mide 3cm.

a) 9cm2 b) 8cm2 c) 7cm2

d) 6cm2 e) 5cm2

02. Calcule el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 3m y su apotema es 1m.

a) 5m2 b) 6m2 c) 7m2

d) 8m2 e) 9m2

03. Hallar el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio R.

a) 2R2 b) 4R2 c) 6R2

d) 8R2 e) 1R2

04. Calcular el área de un triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia de radio R.

a) b) c)

d) e)

05. Hallar el apotema de un hexágono regular, inscrito en una circunferencia de radio R.

a) R b) R c) R

d) e) N.a.

06. Calcule el área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de radio r.

a) 6.2 r2 b) 6.6 r2 c) 6.4 r2

d) 6.8 r2 e) N.a.07. Calcule el radio de una

circunferencia, si el lado del cuadrado inscrito mide 8cm.

a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm

d) 4 cm e) N.a.08. Determine el área del hexágono

regular, inscrito en una circunferencia de radio R.

a) b) c)

d) e) N.a.



09. Determine el área del octógono regular inscrito en una circunferencia, en función del radio R.

a) 8cm b) 6cm c) 4cm

d) 2cm e) N.a

10. El área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia mide 50 m2. Calcule su apotema.

a) 3m b) 5m c) 7m

d) 9m e) 6m

11. En un triángulo rectángulo los catetos miden 6cm y 8cm, respectivamente. Calcule el radio de la circunferencia inscrita.


d) 2cm e) 5cm

12. Calcule el radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo, cuyos lados miden 1cm, cm y 2cm respectivamente.

a) b) c)

d) e) N.a.

13. En la figura, AC=5cm, AS=3cm. Calcule el área del círculo.

a) cm2 b) 2cm2 c) 1cm2

d) 4cm2 e) 3cm2

14. Calcular el área de un círculo de 8m de diámetro.

a) 16m2 b) 18m2 c) 14m2

d) 12m2 e) 10m2

15. Hallar la longitud de una circunferencia cuyo círculo tiene un área de 5m2.

a) 6 m b) 2 m c) 4 m

d) 3 m e) N.a16. Calcular el área de un círculo

circunscrito a un cuadrado, si el apotema mide 2m.

a) 8m2 b) 10m2 c) 6m2

d) 4m2 e) 2m2

17. Hallar el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 30º y un radio de 3m.

a) m2 b) m2 c) m2

d) e) N.a

18. Calcule el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, sabiendo que la longitud de la circunferencia es igual a 8m.

a) b) c)

d) e) N.a

19. Calcular el área de un sector circular comprendido en un ángulo de 60º, si el área del círculo es 12m2.

a) 2m2 b) 4m2 c) 6m2

d) 8m2 e) 10m2

20. Calcular el ángulo correspondiente a un sector, cuya área es 2m2 y el área del círculo es de 12m2.

a) 20º b) 30º c) 40º

d) 50º e) 60º

21. Calcular el área de la corona circular, si los radios de los círculos concéntricos, miden 3m y 2m respectivamente.

a) 5m2 b) 5,5m2 c) 6m2

d) 6,5m2 e) N.a22. Calcule el área de una corona

circular entre dos círculos de (

+1)m y ( -1)m de radio, respectivamente.

a) 4 m2 b) 3 m2 c) 2m2

d) m2 e) N.a.23. Calcule el área del sector

mostrado, si r= m y =30º

a) m2 b) m c) m2

d) 2/4m e) N.a24. Calcule el área de un círculo en

forma aproximada, si su radio mide

m.

a) 1m2 b) 1,2m c) 1,3m2

d) 2m2 e) 2,1m2

25.Calcule el área de la región sombreada (Trapecio circular )de radios R=6cm y r=3cm, y =60º

a) cm2 b) cm2 c) m2

d) e) N.a

26. Hallar el área de la región sombreada (segmento), si =30º y r= m.



a) 6 m2 b) m2

c) 6 m2 d) 5 m2

e) 6 m2

27. Calcular el área del círculo.

a) 42m2 b) 32m2 c) 4m2

d) 3m2 e) N.aTAREA DOMICILIARIA

01. Si el hexágono de la figura es regular, siendo P, Q y R puntos medios de los lados. Calcular el área de la región sombreada, si r=4m.

a) 15 m2 b) 14 m2 c) 13m2

d) 11 m2 e) 16 m2

02. El triángulo ABC es equilátero. Calcular el área de la figura sombreada, si el área del triángulo ABC es 4 m2.

a) 8(4+3 )m2 b) 8(3+ ) m2

c) 7(3+2 )m2 d)

e) N.a.

03. En el triángulo ABC, P, Q y R son puntos medios. Calcular el área de la figura sombreada, si AB=12m.

a) 18(2 +)m2 b) 18(2 -)m2

c) 18(2 +3)m2 d) 18( +)m2

e) N.a.

04. Calcular el área de la figura sombreada, si es perpendicular a CB.

a) 3R2 b) 2R2 c) 4R2

d) 6R2 e) R2

05. En la figura, las tres circunferencias son iguales y de

radio R=12m. calcular el área de la figura sombreada.

a) 144 m2 b)95 m2 c)100

m2

d) 120 m2 e) N.a.

06. El lado de un cuadrado mide 4(+1)m. calcular el área de la figura sombreada.

a) (4 - )m2 b) 4( - 2)m2

c) 4(4 - )m2 d) 4m2

e) 2(4 - )m2

07. En la figura, es diámetro y

; determinar el área de la

región sombreada, si R=2 m

a) (21 -4)m2 b) (17 -3)m2

c) (21 - 5)m2 d) (21 -3)m2

e) N.a.08. Halle el área de la región

sombreada, si el radio mide 1m. siendo diámetros perpendiculares.

a) ( - 2)m2 b) m2

c) m2 d) (3-2 )m2

e) m2

09. Calcular el área de la figura sombreada, si el radio mide m.

a) m2 b) m2 c) m2

d) m2 e) m2

10. Determinar el área de la porción sombreada, si el radio de la circunferencia mide 1m.



a) 2m2 b) 6m2 c) 8m2

d) 16m2 e) N.a.

11. Halle . Si AO=OB y OP=PQ

a) R b) c) R

d) e) 2

12. Hallar el área de la región

sombreada

a) b)

c) d)

e)N.a.


sombreada.

a) b) c)

d) e) N.a


sombreada.

a) a2 b)2ª2 c) 3ª2

d) e)

15. Hallar el área de la región sombreada, si OA=OB, R=2 m y mAOB=30º

a) (15-6 )m2 b) (14-3 )m2

c) (30-6 )m2 d) (25-6 )m2

e)N.a.

16. Determinar el área de la región sombreada, si el área del cuadrado ABCD es a2.

a) b)

c) d)

e)a2 ( -1)17. Hallar el área de la región

sombreada, si CE= m y ABCD es un cuadrado.

a) 3m2 b) 6m2 c) 1,5m2

d) 4,5m2 e) 8m2

18. Si ABCD es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada.

a) b) c)

d) e)

19. En la figura, encontrar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que FE=9cm; AE=15cm y DE=13cm

a) 16cm2 b) 18cm2 c) 19cm2

d) 25cm2 e) 36cm2

20. En la figura mostrada, se pide el área de la región sombreada, si r=4cm y el lado del cuadrado ABCD mide 2 cm.

a) (6 - )cm2 b) 3(2 - ) cm2



c) 6(2 - )cm2 d) 3(4 - )cm2

e) 4(3 - )cm2

21. Una circunferencia de 2cm de radio está inscrita en un triángulo de 10cm de hipotenusa. Calcular el área de dicho triángulo

a) 36cm2 b) 24cm2 c) 18cm2

d) 20cm2 e) N.a.22. La figura muestra un cuarto de

círculo y un semicírculo AM=MO=2m. Hallar el área de la región

sombreada.

a) (5 - 6 )m2 b) (5 + 6 )m2

c) (4 - )m2 d) (4 + )m2

e) (10 - 3 )m2

23. Hallar el área de la región sombreada, si AOB es un sector circular de ángulo central 60º y radio R= cm.

a) ( + )cm2 b) (2 - ) cm2

c) ( + 2 - )cm2 d) (2 + )cm2

e) ( - )cm2

24. Calcular el área de la región sombreada, si el radio de la circunferencia mide u.

a) u2 b) 3 u2 c) 4 u2

d) u2 e)

25. En la figura, m = m ; E es punto de tangencia. Determinar el área del triángulo ABC, si R=(+1).

a) ( + 1)u2 b) u2

c) u2 d) ( - 1) u2

e) N.a.26. En la siguiente figura, hallar el

área de la lúnula MCND, si el área de la figura curvilínea AOEM + BOFN mide 10m2.

a) 102m2 b) 200m2 c) 100m2

d) 110m2 e) N.a27. Los diámetros de la

semicircunferencias son AC=DB, CD Y AB. Si el radio del círculo de diámetro FE mide 8m. Calcular el área de la parte sombreada que se indica en la siguiente figura.

a) 56 m2 b) 64 m2 c) 55 m2

d) 44 m2 e) N.a.


ESTRUCTURA


BREVES NOCIONES DE GEOMETRÍA ESPACIAL

Antes de empezar esté capítulo te recomiendo revisar las definiciones dadas de plano, posiciones relativas de rectas y planos dados al iniciar el estudio de la geometría.

ÁNGULO DIEDROSabemos que al intersecarse dos rectas coplanares, determinan cuatro ángulos, tal como se aprecia en la figura (a).

Si tenemos dos planos en el espacio que se intersecan en una línea recta, como muestra la figura (b), entonces los planos P1 y P2 y la recta l1, forman cuatro figuras, cada una de las cuales tiene la forma que se muestra en la figura (c). Una figura de esta clase recibe el nombre de ángulo diedro y el segmento arista del ángulo diedro.

DEFINICIÓNCuando dos semiplanos no pertenezcan a un mismo plano y compartan la misma arista, entonces la unión de dicho semiplanos en su arista forman

un ángulo diedro la recta común recibe el nombre de arista del ángulo diedro y la unión de cualquier semiplano con la arista se llama cara del ángulo diedro.

NOTACIÓNPara describir un ángulo diedro, necesitamos conocer qué recta constituye su arista. Podemos hacer esto nombrando dos puntos N y G de la arista. Entonces denotamos el ángulo diedro por NG.

MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDROEn la figura, tenemos el ángulo diedro NG, y el plano Q perpendicular a su arita. La intersección del plano perpendicular con el ángulo diedro, se llama ángulo rectilíneo del ángulo diedro.

La medida de un ángulo diedro es un número real que es la medida de cada uno de los ángulos rectilíneos. Un ángulo diedro recto, es aquel cuyos ángulos rectilíneos son ángulos rectos. Dos planos son perpendiculares, si contienen un ángulo diedro recto.

ÁNGULOS TRIEDOSSi tenemos tres rectas no coplanarias l1, l2 y l3 que se cortan en un solo punto K, entonces éstas determinan tres planos: P1, P2 y P3, como muestra la figura, y tres ángulos diedros de aristas NK, IK, y KC.

DEFINICIÓNLlamamos ángulo triedro o triedro, al conjunto de los puntos comunes a estos tres ángulos diedros.El punto de intersección de las tres rectas se denomina vértice del triedro, las semirectas que se determinan a partir de sus vértices se llaman aristas, los ángulos planos NKI, IKC y NKC son las caras del triedro y los diedros de aristas KN, KI, y KC son los diedros del triedro.

NOTACIÓNPodemos describir un ángulo triedro de las siguientes cuatro formas, teniendo en cuenta la figura anterior.a) Por sus aristas: triedro KC.b) Por su vértice y sus tres aristas:

triedro KNIC.c) Por su vértice: triedro K, sólo

cuando va aislado.

d) Por sus caras: triedro n, i, c. La cara se designa con la letra minúscula de su arista opuesta.

RELACIÓN ENTRE SUS CARASPROPIEDADESa) En todo triedro, una cara es menor

que la suma de las otras dos y mayor que su diferencia. En la figura.

c – n < i < c + nb) En todo triedro se cumple que la

suma de sus caras es menor que dos ángulos llanos.

c) Al sumar los ángulos diedros de un triedro, obtenemos un número comprendido entre 180º y 540º.

CLASIFICACIÓNEl cuadrado siguiente muestra como se clasifican los triedros.

TRIEDROS RECTOS

ORTOEDRO O RECTÁNGULO

Son todos los triedros que tienen una de sus caras formada por un ángulo recto.

BIORTOEDRO O BIRECTÁNGULO

Son todos los triedros que tienen dos caras que son ángulos rectos.

TRIORTOEDRO O TRIRECTÁNGULO

Cuando sus tres caras son ángulos rectos.

ISOEDRO

TRIEDRO ISÓSCELES O

ISOEDRO

Es aquel triedro que tiene la medida de los ángulos de sus caras iguales y de sus diedros opuestos, también iguales.



POLIEDROSConsideremos el espacio interior encerrado por una caja o el espacio encerrado por las paredes de una habitación. En ambos casos podemos apreciar que las paredes son los confines de este espacio encerrado. Este es un ejemplo sencillo de un poliedro.

DEFINICIÓNSi cuatro o más planos encierran un espacio, de manera que los límites de dicho espacio son estos planos. Entonces, estos límites forman el poliedro o sólido geométrico.

ELEMENTOSCARASSon cada una de las regiones poligonales que limitan el poliedro. En la figura, una de ellas es NIGR.ARISTASSon los lados de las regiones poligonales; es decir, de sus caras. En la figura, tenemos , , etc.VÉRTICESLugar geométrico de donde se encuentran tres o más aristas. En la figura, tenemos N, I, L, etc.ÁNGULOS DIEDROSSon los diedros formados por cada dos caras consecutivas. En la figura, GR, LC, etc.ÁNGULOS POLIEDROS

Son los ángulos de los vértices. En la figura, estos son R, E, C, etc.DIAGONALEn el segmento de recta que une dos vértices que no están en una misma cara. En la figura, podemos apreciar a

CLASIFICACIÓNEl siguiente cuadro muestra la clasificación de los poliedros

Por su número de Caras

4=tetraedro, 5=pentaedro, 6=hexaedro, 8=octaedro, etc.

Por su Sección Plana

Convexos

Cuando todas sus secciones planas son convexas.

Cóncavos

Cuando por lo menos una de sus secciones planas en cóncava.

Por la regularidad e irregularidad de sus elementos

Regulares

Cuando todas sus caras son polígonos regulares congruentes, así como sus diedros y anguloides.

Irregulares

Cuando sus caras son polígonos irregulares y desiguales y anguloides desiguales.

POLIEDROS REGULARESA continuación mostramos los únicos poliedros regulares que existen; éstos son sólo cinco y son los siguientes:

Tetraedro Formado por 4 triángulos Equiláteros

Hexaedro Formado por 6 rectángulos (cubo)

Octaedro Formado por 8 triángulos equiláteros

Dodecaedro Formado por 12 pentágonos regulares

Icosaedro Formado por 20 triángulos equiláteros

Poliedros regulares

Número de caras

Número de

Aristas

Número de

Vértices

Número de

Caras por

vértice

Tetraedro

4 Triángulos Equilátero

s

6 4 3

Hexaedro6

Cuadrados12 8 3

Octaedro

8 Triángulos Equilátero

s

12 6 4

Dodecaedro

12 Pentágono

s regulares

30 20 3

Icosaedro

20 Triángulos equilátero

s

30 12 5

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

EL PRISMATodo prisma está formado por dos regiones paralelas (a las cuales se les denomina BASES) y por un número de paralelogramos igual al número de lados que tienen los polígonos de las bases (los cuales reciben el nombre de CARAS LATERALES) como se muestra en la figura.

ELEMENTOS

VÉRTICEEn la figura, éstos son N; I; L; C; E; R, etc.

ARISTASEn la figura, podemos apreciar NR; RE; EC; CU; IA; etc.



BASESSon las regiones poligonales paralelas y congruentes. En la figura, tenemos POLIGONONILCER y POLIGONOMANUE’L’

CARAS LATERALESEn la figura, tenemos NRL’M; REE’L’; CEE’U; CLNU; LIAN y

INMA.

ALTURAEs la distancia entre sus bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMASEl siguiente cuadro muestra la clasificación de los prismas.

Prismas Rectos.

Si las aristas laterales son perpendiculares a sus bases.

Prismas Oblicuos

Si las aristas laterales son oblicuas a sus bases.

Prismas Regulares

Si sus bases son polígonos regulares y además, es un prisma recto.

Prismas Irregulares

Sus bases son polígonos irregulares.

Según el número de sus caras laterales

Estos pueden ser triángulos, cuadrangulares, pentagonales, etc.

EL PARALELEPIDEDOEste es un prisma cuyas bases son dos paralelogramos y se clasifican en

ORTOEDRO O RECTOEDROEn este paralelepipedo, sus caras son rectángulos y se le suele denominar paralelepipedo rectángulo.

ROMBOEDROCuando todas sus caras son rombos.

HEXAEDRO REGULARCuando todas sus caras son cuadrados. A este paralelepipedo lo conocemos como cubo.

PROPIEDADES1. En un paralelepipedo sus caras

opuestas son iguales y paralelas.2. Todas las diagonales del

paralelepipedo se cortan en su punto medio.

3. Si un plano corta a cuatro de sus aristas paralela, determinan un paralelogramo sobre el plano.

4. La diagonal de un ortoedro es igual a d2=a2+b2+c2 donde a,b y c son las longitudes de sus aristas.

EL TRONCO DEL PRISMASi tenemos un plano no paralelo a las bases de un prisma, entonces cuando este plano corte a las aristas laterales del prisma, determinará una región poligonal no paralela a las bases del prisma. La porción del espacio encerrado por este polígono y una de sus bases se denomina prisma truncado. El tronco de prisma puede ser triangular o de mayor números de caras y puede ser recto o oblicuo.

LA PIRÁMIDEEs el poliedro cuya base es una región poligonal y sus caras son triángulos que tienen un vértice común

CLASIFICACIÓNa) Por el número de lados de su base

éstos pueden ser triangulares o tetraedros, cuadrangulares, pentagonales, etc.

b) Por la forma de su base pueden ser: Regulares e irregulares, convexas o cóncavas.

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Entiéndase por revolución al giro o vuelta alrededor de un punto o un eje, como por ejemplo, la revolución o giro del la tierra alrededor de su eje.Entonces una superficie de revolución es aquella que se genera por cualquier línea, recta o curva, a la cual denominaremos generatriz, al girar alrededor de una recta fija llamada eje.

Podemos generar muchas superficies de revolución de distintas formas, pero nuestro interés, sólo estará puesto en tres de ellas, las cuales son

CILÍNDRICAPodremos generar una superficie cilíndrica, si hacemos girar una recta paralela a la recta eje. En la figura, se aprecia como se genera una superficie cilíndrica de revolución y sus elementos.

CÓNICAGeneramos una superficie cónica, cuando una recta que es secante con la recta eje, gire alrededor de ésta formando con la recta eje un ángulo invariable. La figura muestra sus elementos.

ESFÉRICAGeneramos una superficie esférica al girar una semicircunfe-rencia alrededor



de su diámetro. La figura, señala sus elementos.

CILÍNDROEs aquella porción del espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y dos planos paralelos entre si y perpendiculares al eje del cilindro. En la figura, se indican sus elementos. Podemos generar un cilindro si hacemos girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La longitud del lado que sirve de eje será la altura del cilindro y la longitud del otro lado será el radio del cilindro.

CONOObtendremos un cono, si a una superficie cónica de revolución la cortamos por un plano perpendicular a su eje. En la figura, se indican sus elementos.

Podemos generar un cono, si hacemos girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos entonces, la longitud de este cateto será la altura del cono, mientras que la longitud del otro cateto, será el radio de la circunferencia base.

ÁREAS Y VOLUMENES DE SÓLIDOSPRISMAp: perímetro de la base.a: arista lateral.

PRISMA RECTOÁrea lateral(SL) SL= (a) (p)

Área Total (ST) ST = SL + 2SBASE

Volúmen (V) V = (SBASE) (a)

PRISMA OBLÍCUOPR: perímetro de la sección recta

Sección Recta (SR): Es la sección del prisma con un plano perpendicular a las aristas laterales.

Área lateral(SL)

SL= (a) (pR)Área Total (ST)

ST = SLATERAL + 2SBASE

Volúmen (V) V = (SBASE)h= (SR)(a)

PARALELEPIPEDOÁrea Total (ST)

ST = 2(ab+bc+ac)

Volúmen (V) V = abc

CUBOÁrea Total (ST)

ST = 6ª 2

Volúmen (V) V = a3

CILINDROÁrea lateral(SL)

SL=2 rgÁrea Total (ST)

ST = 2r(g+r)

Volúmen (V) V = r2h

PIRÁMIDE REGULARAPOTEMA DE UNA PIRÁMIDE REGULAR (Ap)

Es el segmento perpendicular trazado desde el vértice de la pirámide a una arista de la base.

Del gráfico,

Área lateral(SL)

SL=Semiperímetro de la base X apotema

Área Total (ST)

ST = SLATERAL+ Sbase

Volúmen (V) V = Sbase (h)

CONO RECTO



Área lateral(SL)

SL= rgÁrea Total (ST)

ST = r (g+r)

Volúmen (V) V = r2h

ESFERA

Área Total (ST)

ST = 4R2

Volúmen (V) V = R3

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03

01. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

a) La intersección de dos semiplanos es una recta ( )

b) La intersección de un plano perpendicular con el ángulo diedro se llama ángulo rectilíneo.

( )

c) Un ángulo diedro es un poliedro.( )

d) Si la medida de un ángulo diedro es 90º, entonces los semiplanos son perpendiculares entre si. ( )

e) Tres rectas no coplanares que se cortan en un punto, determinan dos planos. ( )

f) Los triedros son ángulos poliedros de 3 caras ( )

g) En todo triedro, una cara es menor que su diferencia de las otras dos y mayor que la suma. ( )

h) En todo triedro, si sus caras son diferentes, sus ángulos diedros son también diferentes. ( )

i) En todo triedro, la suma de sus caras es menor que 180º. ( )

j) En un triedro, cuando dos de sus caras miden 90º cada uno, entonces se llama triedro birectángulo. ( )

k) Un poliedro es una región del espacio formado por cuatro o más regiones poligonales planas.

( )

l) Los vértices de los ángulos poliedros, son también, los vértices del poliedro. ( )

m) El icosaedro es un poliedro regular. ( )

n) El hexaedro es un poliedro irregular formado por 6 caras.( )

02. Responda las siguientes

preguntas:

a) ¿Cuántas caras tiene un ángulo poliedro de un tetraedro regular?

.....................................................

........

b) ¿Cuánto mide cada ángulo diedro de un hexaedro regular?

.....................................................

........

c) ¿Cuántas caras tiene un tetraedro regular?

.....................................................

........

d) ¿Qué poliedro regular se forma por 12 pentágonos regulares?

.....................................................

........

e) ¿Qué poliedro regular se forma con 20 triángulos equiláteros?

.....................................................

........

f) ¿En qué poliedro regular concurren 4 aristas ?

.....................................................

........

g) ¿En qué poliedro sus diagonales son perpendiculares y de igual longitud?

.....................................................

........

03.

a) El prisma de la figura se llama prisma

.....................................................

........

b) La región ABCD se llama

.....................................................

........

c) se llama

.....................................................

........

d) se llama

.....................................................

........

e) Si fuera perpendicular al plano de la base, entonces el prisma se llamaría

.....................................................

........

f) La región paralelográmica BB’ C’ C se llama

.....................................................

........

g) La reunión de las caras laterales se llama

.....................................................

........

h) Si el cuadrilátero ABCD fuera paralelogramo, el prisma se llamaría.

.....................................................

........

04. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

a) Todo prisma es un poliedro limitado por dos regiones



poligonales paralelas.( )

b) La distancia entre las bases es la arista de un prisma. ( )

c) La pirámide es un poliedro. ( )

d) En toda pirámides el pie de su altura se confunde con el vértice de la pirámide.

( )

e) Si hacemos girar un cuadrado alrededor de uno de sus lados se genera un cilindro. ( )

f) Todo cilindro no es una superficie de revolución. ( )

g) Todo como un sólido geométrico.( )

h) Toda esfera no es una superficie esférica. ( )

PARTE PRÁCTICA

01. Hallar la suma de las medidas de los ángulos de las caras de un ángulo poliedro de un octaedro.

a) 210º b) 220º c) 230ºd) 235º e) 240º

02. Hallar la suma del número de aristas de un dodecaedro y un icosaedro regular.

a) 45 b) 50 c) 55d) 60 e) 65

03. Calcular la suma del número de vértices de un tetraedro regular y un octaedro regular.

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

04. Hallar la diagonal de un hexaedro regular de arista a.

a) a b) c)

d) a e) N.a05. Calcular la longitud de la diagonal

de un octaedro regular de arista a.

a) b) c) a

d) a e) N.a06. La arista de un hexaedro regular

mide 2m. ¿Cuánto mide su diagonal?

a) 2 b) c)

d) 4 e) N.a.

07. Hallar la diagonal de un ortoedro, si sus aristas miden 1cm; 2cm y 3cm respectivamente.

a) cm b) cm c) cm

d) cm e) N.a.08. En un paralelepípedo rectángular

la diagonal mide 17cm las aristas de la base miden 5cm y 8cm. Respectivamente. Calcular la altura.

a) 8 b) 9 cm c) 10

cm

d) 11 e) N.a.

09. La diagonal de un cubo mide m. Hallar la arista.

a) 3m b) 4m c) 3.5md) 4.5m e) N.a.

10. Hallar el área lateral de un prisma recto de 10cm de altura y cuya base es un triángulo cuyos lados miden 3cm, 5cm y 7cm respectivamente.

a) 140cm2 b) 150cm2 c) 160cm2

d) 170cm2 e) N.a.11. Calcular el área lateral y total de

un prisma recto de 15cm de altura y cuya base es un cuadrado de 4cm de lado.

a) 240cm2;230cm2 b) 245cm2;271cm2

c) 230cm2;272cm2 d) 235cm2;271cm2

e) 240cm2;272cm2

12. Calcular el área total de un cubo de 6cm de arista y su volúmen.

a) 216cm2;216cm2 b) 218cm2;218cm2

c) 217cm2;217cm2 d) 215cm2;215cm2

e) 219cm2;219cm2

13. Cuánto mide la arista de un hexaedro regular, si su área total es 24m2.

a) 2m b) 4m c) 6md) 8m e) N.a.

14. Hallar el volúmen de un prisma oblicuo, si su base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 2 m y su altura mide 8m.

a) 48 m2 b) 38 m2

c) 48 m3 d) 38 m3

e) N.a15. Hallar el área lateral de una

pirámide regular de 10cm de apotema y cuya base es un cuadrado de 6cm de lado.

a) 100cm2 b) 110cm2 c) 120cm2

d) 130cm2 e) 140cm2

16. Calcular el área total de una pirámide regular, si su base es un triángulo equilátero de 2 m de

lado y su apotema de la pirámide mide 10m.

a) 31 m2 b) 32 m2 c) 33m2

d) 34 m2 e) N.a.17. Calcular la apotema de una

pirámide regular de 160cm2 de área lateral, si su base es un cuadrado de 8cm de lado.

a) 2cm b) 4cm c) 6cmd) 8cm e) 10cm

18. La altura de una pirámide regular mide 10cm y la base es un triángulo rectángulo de catetos 8cm y 6cm respectivamente. Hallar su volumen.

a) N.a. b)20cm3 c) 40cm3

d) 60cm3 e) 80cm3

19. Hallar el área lateral de un cilindro recto de revolución de 3cm de radio y 7cm de altura.

a) 40cm2 b) 42cm2 c) 44cm3

d) 40cm3 e) 42cm3

20. Calcular el área lateral y total de un cilindro generado por la rotación de un rectángulo de 5cm de largo por 4cm de ancho, alrededor de su lado menor.

a) 40cm2;80cm2 b) 40cm2;90cm2

c) 40cm2;70cm2 d) 40cm2;80cm2

e) 40cm2;90cm2

21. Hallar el volumen de un cilindro de revolución de radio m y 4m de altura.

a) 8m3 b) 10m3 c) 12m3

d) 6m3 e) N.a.22. Un pozo cilíndrico de 10m de

diámetro y 4m de profundidad contiene agua hasta 1m del borde. Calcular la superficie mojada.



a) 50m2 b) 55m2 c) 60m2

d) 65m2 e) N.a.

23. Al sumergir un cuerpo en el agua contenida en un cilindro circular recto de 100cm de diámetro el nivel del agua sube 10cm. ¿Cuál es el volumen del cuerpo sumergido?

a) 5 x103cm3 b) 10 x103cm3

c) 15 x103cm3 d) 20 x103cm3

e) 25x103cm3

24. El área lateral de un cilindro de revolución y su volumen son numéricamente iguales, luego el radio de la base mide.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

25. Hallar el área lateral de un cono de revolución de 12cm de generatriz y cuya base tiene 4cm de radio.

a) 44cm2 b) 48cm2 c) 52cm2

d) 56cm2 e) N.a.26. El área lateral de un cono de

revolución es 24m2, si el radio de la base mide 4m. ¿Cuánto mide la generatriz del cono?

a) 3/m b) 4/m c) 5/md) 6/m e) N.a.

27. ¿Cuántos metros cuadrados de tela, serán necesarios para construir una carpa cónica de circo de 30m de generatriz y 30m de diámetro del círculo?

a) 440m2 b) 450m2 c) 460m2

d) 470m2 e) N.a.28. Hallar el área lateral y total de un

cono de revolución de 12cm de altura, si su base es un círculo de 9cm de radio.

a) 216cm2;135cm2 b) 135cm2;216cm2

c) 217cm2;216cm2 d) 115cm2;215cm2

e) N.a29. El área total de un cono circular

recto es 62.80cm2. Calcular el radio de su base, sabiendo que su generatriz mide 8cm.


30. Un cuadrado de 12cm de diagonal, realiza una revolución completa alrededor de una de sus diagonales, calcular el volumen del sólido engendrado.

a) 140cm3 b) 144cm3 c) 148cm3

d) 152cm3 e) N.a.

31. En el sólido formado por un cono circular recto de 13m de generatriz y 12m de radio y por un cilindro circular recto de 10m de altura. Calcular el volumen del sólido.

a) 1650m3 b) 1660m3 c) 1670m3

d) 1680m3 e) N.a.

32. Hallar el área de una superficie, esférica si su radio mide 2m.

a) 16m2 b) 18m2 c) 20m2

d) 14m2 e) N.a.

33. Calcular el área de la superficie y el volumen de la esfera inscrita en un cubo de arista a.

a) A=2; V= b) A=3; V=

c) A=2; V= d) A=3; V=

e) N.a.

34. Calcular el producto y el cociente del área de la superficie y el volumen de una esfera de radio R.

a) 2R5; b) 2R2;

c) R2; d) 2R5;

e) N.a35. Si el área de una superficie

esférica es de 113,04cm2, el radio de la esfera mide.

a) 1cm b) 2cm c) 3cmd) 4cmº e) 5cm

36. Los volúmenes de dos esferas están en la razón 125:1728; ¿Cuál es la razón de sus diámetros?

a) 5:14 b) 5:10 c) 5:18d) 5:16 e) 5:12

TAREA DOMICILIARIA

01. Hallar la altura de un tetraedro regular de arista 3ª.

a) a b) 3ª c) 2ª

d) e)

02. Hallar la arista de un tetraedro regular de altura m.

a) 4m b) 3m c) 2m

d) 1m e) 3 m03. Se tiene un triedro O-AOB,BOC y

COA miden 60º, 60º y 90º, Respectivamente, hallar el ángulo que forma la arista con la cara AOC. Si OB=2k.

a) 15º b) 30º c) 45ºd) 60º e) 90º

04. En un triedro O-ABC los diedros A y B miden 70º y 60º, respectivamente si se traza bisectriz del ángulo AOB y además mFOC=mAOF. Hallar el diedro C.

a) 30º b) 60º c) 90ºd) 120º e) 130º

05. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del triángulo dado, calcular el diedro que forma el triangulo con el plano de proyección.

a) 15º b) 30º c) 60ºd) 90º e) N.a.

06. En un triedro trirectangular O-ABC, las áreas de sus caras catetos son AOB=30cm2; BOC=40cm2; AOC=50cm2. Hallar el área de la cara de la hipotenusa ABC.

a) 50cm2 b) 50 cm2 c) 100 cm2

d) 25 cm2 e) 25cm2

07. En un poliedro, el número de caras más el número de vértices suman 14. ¿Cuántas aristas tiene dicho poliedro?

a) 10 b) 12 c) 14d) 16 e) Faltan datos

08. En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir



a) 40º b) 60º c) 90ºd) 200º e) N.a.

09. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de los polígonos que forman las caras de un dodecaedro regular.

a) 3 600º b) 6 450º c) 6 480ºd) 7 560º e) 6 400º

10. Dos caras de un triedro miden 140º y 160º respectivamente, la tercera cara puede medir:

a) 10º b) 20º c) 40ºd) 60º e) 80º

11. La siguiente figura representa un cubo cuya arista mide a cm, ¿cuál es el área de la parte sombreada?

a) 2ª cm2 b) 3ª2cm2 c) a2

cm2

d) a2 cm2 e) a2 cm2

12. En un triedro equilátero sus ángulos diedros pueden medir

a) 40º b) 60º c) 90ºd) 200º e) N.a.

13. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) Todo prisma es un paralelepípedob) Un paralelepípedo, es siempre un cuboc) Un cubo es un prisma.d) Un ortoedro es un paralelepipedo cuadrangular.e) N.a.

14. Un rombo cuyas diagonales miden 8m y 6m respectivamente es la base de un prisma recto de 18m de

altura. Calcular el área total del prisma, y su volumen

a) 48; 432 b) 24; 216 c) 12; 436d) 24; 436 e) N.a.

15. Calcular la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular cuya altura mide 7cm y cuya base es un cuadrado de 36cm2 de área.


16. En un tetraedro regular de arista a. Hallar la distancia de un vértice al plano de la cara opuesta.

a) b) c)

d) e)

17. En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es cm. El área de una cara es

a) 6cm2 b) 8cm2 c) 9cm2

d) 16cm2 e) N.a.

18. La superficie total de un paralelepípedo rectangular es 180cm2, la diagonal de la base mide 10cm. y la suma de las 3 dimensiones miden 17cm. ¿Cuál es la magnitud de las dimensiones?

a) 8cm, 4cm, 5cm b) 4cm, 5cm, 6cmc) 3cm, 6cm, 8cm d) 5cm, 6cm, 7cme) N.a.

19. La diagonal de un rectoedro mide 10m y su área total es de 261m2. Calcular la suma de todas sus aristas.

a) 70m b) 76m c) 82md) 96m e) N.a.

20. En un paralelepípedo rectangular la base mide 50m2, la suma de las medidas de todas sus aristas es 23m y la suma de los cuadrados de las tres dimensiones es 189m2. Calcular la altura del paralelepípedo

a) 6m b) 8m c) 16md) 12m e) 18m

21. Cuál es el volumen de un prisma oblicuo, cuya base es el triángulo equilátero de 1,2m de lado y cuya arista lateral es de 2,8m de longitud y forma con la base un ángulo de 30º.

a) 0,837m3 b) 0,846m3 c) 0,872m3

d) 0,885m3 e) 0,892m3

22. Se conocen las áreas del fondo, del frente y del lado de una caja rectangular. El producto de estas áreas es igual a:

a) El volumen de la caja.b) La raíz cuadrada del volumen.c) El cuadrado del volumen.d) El doble del volumen.e) El cubo del volumen.

23. Con una lámina rectangular de 6cm de largo y 5cm de ancho, se construye una caja abierta, cortando un cuadrado de 1cm de lado en cada esquina. Hallar el volumen de la caja resultante.

a) 12cm3 b) 15cm3 c) 16cm3

d) 20cm3 e) 24cm3

24. La base de un prisma recto de 12cm de altura es un triángulo equilátero. Cuánto mide el lado de este triángulo si el área lateral del prisma es 108cm2.


d) 4cm e) 5cm25. Hallar el volumen de un prisma

recto cuya altura mide 12cm y su base es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 3cm de radio.

a) 54 cm3 b) 48 cm3 c) 81

cm3

d) 75 cm3 e) 72 cm3

26. Calcular el área total de un cubo, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 2m.

a) 16m2 b) 15m2 c) 14m2

d) 13m2 e) 12m2

27. La altura de un prisma recto mide 6m su base es un rectángulo, en el que un lado es el doble del otro; el área total es 144m2. ¿Cuál es la longitud de una de las diagonales del prisma?

a) 5m b) 8m c) 6md) 9m e) N.a.

28. Un cilindro recto, contiene agua

hasta en de volumen, hallar en

que relación se encuentran las alturas, de los dos volúmenes respectivamente.

a) b) c)

d) e)

29. Si el diámetro de la base de un

cilindro de revolución mide 6 pies.

Entonces el número de pulgadas que mide su radio es



a) 13 b) 26 c) 39

d) 19 e) 78

30. Un depósito de forma cilíndrica, se desea cambiar por otro de la misma forma, pero aumentando en un 50% la longitud de la circunferencia de la base. ¿En que porcentaje se incrementará el volumen del nuevo cilindro, respecto al primero?

a) 125% b) 175% c) 150%d) 225% e) 50%

31. La figura mostrada es un ortoedro, el punto H es la posición de una hormiga y el punto C la posición de su comida. Hallar la longitud del menor camino que debe recorrer la hormiga para llegar al punto C.

Si PH = HQ = 1m. RC = 3m; CM =4m

a) 3m b) 4m c) 5md) 6m e) 8m

32. Un vaso cilíndrico de 20cm de diámetro y 40cm de altura está lleno de agua, si se vierte esta agua en otro vaso de 40cm de diámetro. ¿Hasta qué altura subirá el agua?

a) 5cm b) 10cm c) 12cmd) 8cm e) N.a.

33. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube en 3,5cm. si el diámetro del cilindro es

8cm. ¿Cuál es el volumen el pedazo metálico?

a) 176cm3 b) 88cm3 c) 264cm3

d) 0,226l e) N.a.

34. La altura de un pirámide es

m. ¿A qué distancia del vértice pasará un plano paralelo a la base de la pirámide, de tal manera que los volúmenes obtenidos por este corte sean iguales?

a) m b) m c) 3m

d) 2m e) m

35. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero y las caras laterales son triángulos rectángulos isósceles. Si las aristas laterales miden 4m el área total de la pirámide será.(Considerar =1,73)

a) 25,84m2 b) 26,84m2 c) 34,6m2

d) 37,84m2 e) N.a.36. En una pirámide regular de base

cuadrangular de 10m de lado. ¿Cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano?

a) 2,5m2 b) 50m2 c) 75m2

d) 25m2 e) 100m2

37. Calcular el área total de la pirámide cuadrangular regular P-ABCD de 12 u de arista en la base, sabiendo que el área del triángulo PAC es 48 u2

a) 224u2 b) 324 u2 c) 240 u2

d) 384 u2 e) 440 u2

38. El área lateral de un cono de revolución es 65 u2 y el área de su base es 25u2. Hallar su volumen.

a) 300u3 b) 200u3 c) 100u3

d) 150u3 e) N.a39. Calcular el volumen de un cono

circular, recto cuya generatriz mide 18cm y su área total es igual a la de un círculo de 12cm de radio.

a) 136 cm3 b)136 cm3

c) 144 cm3 d) 144 cm3

e) 150 cm3

40. Se tiene un cono circunscrito a dos esferas cuyos radios miden 1cm y 3cm. ¿Cuál es el volumen del cono?

a) 27cm3 b) 81cm3 c) 36cm3

d) 45cm3 e) 90cm3

41. Si construimos un cono de revolución con una cartulina, dándole por área lateral la de un sector circular de 120º de ángulo central y 6cm. de radio. Calcular el volumen de dicho como de revolución.

a) cm3 b) 16 cm3

c) cm3 d) 16 cm3

e) N.a42. Si la generatriz de un cono circular

y el diámetro de su base son iguales entre sí, luego la razón, entre el área lateral del cono y la superficie de la esfera inscrita en el como, es.

a) b) c)

d) e)

43. Si la altura de un cono recto de revolución es de 4m y su generatriz es de 5m. Determine a qué

distancia del vértice se debe hacer pasar un plano paralelo a la base, de modo que el área del círculo determinado sea igual al área lateral del tronco de cono formado.

a) rm b) 5m c) 10m

d) m e) N.a

44. La figura mostrada es una circunferencia cuyo radio mide 2m se prolonga el diámetro AB hasta F, de modo que BF=2m. Por F se traza la tangente . Calcular el área de la superficie engendrada por la línea mixta QMF.

a) 10m2 b) 15m2 c) 18m2

d) 20m2 e) 25m2

45. Hallar el área de una superficie esférica inscrita en un cono recto de altura 12m. y radio 5m

a) 100 m2 b) 200m2 c) 300m2

d) m2 e) N.a.

46. Dos esferas apoyadas sobre una horizontal son tangentes. Hallar la distancia de sus apoyos cuando ambas giran en sentidos contrarios, 2 vueltas y media si su radio son de 20cm y 10cm respectivamente.

a)(100+60)cm b)(150+20 )cmc) 150cm d) 120cme) (150 + 60)cm



47. Una esfera de volumen V, es calentada hasta que su radio se incrementa en un décimo. El nuevo volumen de la esfera será.

a) 10-3 V b) 1,1V c) 1,21 Vd) 1,030 V e) 1,331 V

48. Si un sólido de forma cúbica de un metro de lado se divide en cubitos de un milímetro de lado, entonces, ¿qué altura alcanzará una columna formada por todos los cubitos unos encima de otros?

a) 10 km b) 1 km c) 10 kmd) 1 000km e) 3 km

49. Se tiene un terreno de forma cuadrada. En un vértice se coloca un poste de 7m, de altura y en el vértice opuesto otro de 8m, cuyos extremos están unidos por un cable de 45m de longitud. Hallar el área del terreno.

a) 1 000m2 b) 1 012m2 c) 2 024m2

d) 2 025m2 e) N.a.50. Los radios de dos esferas secantes

miden 5u y 12u, si la distancia entre sus centros es 13u. ¿Cuánto mide el radio de la sección común?

a) 5,6u b) 4,6u c) 4,3ud)4,8u e) 5,8u

51. Determinar el volumen de una esfera circunscrita a un cubo de arista a.

a) a3 b) a3 c) a3

d) a3 e) a3

52. Hallar el área de una superficie esférica, si el área lateral del cono equilátero circunscrito a la esfera mide 18 u2.

a) 6 u2 b) 8 u2 c) 9u2

d) 4 u2 e) 12 u2

SOLUCIONARIO

NºEjercicios

01 02 0301. A A E02. A E D03. A A A04. A E A05. C B D06. B C A07. B D A08. B A C09. B A10. C B B11. C D E12. A C A13. D A A14. A A C15. D B C16. A A C17. B C E18. B B E19. C A B20. C E B21. A A A22. D A B23. B C E24. B A A25. C D B26. A E A27. D A B28. D B29. A A30. B B31. E D32. A A33. B A34. E D35. B C36. E E37. B38. A39.40.


geometria 5° 4b

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