fundamentos de probabilidad - unamprofesores.dcb.unam.mx/users/gustavorb/probabilidad/pe11.pdf ·...

Primera parte

FUNDAMENTOSDE PROBABILIDAD

La probabilidad es la rama de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios. Empecemos por distinguir fenómeno: Para la Real Academia

Española, un fenómeno es todo aquello que podemos percibir a través de los sentidos o de la conciencia; por ejemplo, la gravedad, la temperatura o el placer.

Fenómenos deterministas y aleatoriosCuando un fenómeno, bajo ciertas condiciones de observación, se presenta

con regularidad determinista, es decir, cuando siempre se percibe de la misma manera, se dice que se trata de un fenómeno determinista; por ejemplo, la aceleración de la gravedad en un punto de la superfi cie terrestre.

Un fenómeno aleatorio, en cambio, es aquel que al ser observado bajo las mismas condiciones, su percepción no es siempre la misma, es decir, se presenta con una regularidad de tipo estadístico; por ejemplo, el peso de un recién nacido. En general, la comunidad científica acepta la existencia de auténticos fenómenos aleatorios naturales, a nivel atómico. Los deterministas, sin embargo, consideran que tal aleatoriedad es aparente y lo que hay es un desconocimiento de las leyes físicas que los rigen, y defi nen un fenómeno aleatorio como aquel en el que un pequeño cambio en sus factores produce grandes diferencias en su resultado. En contraparte, también se reconoce la existencia de algunos fenómenos deterministas, cuya evolución futura no es posible predecir, de manera que pareciera que se comportan aleatoriamente.

En los fenómenos aleatorios no se puede predecir el resultado de cada experiencia y observación particular. Tener incertidumbre es simplemente

no poder asegurar lo que va a ocurrir y, en este sentido, existen muchísimas cosas inciertas para el hombre.

Incertidumbre probabilísticaLa incertidumbre proviene de tres elementos fundamentales: En primera instancia, el fenómeno mismo es incierto; son demasiados los factores que infl uyen en la ocurrencia del fenómeno y en la forma en que puede ocurrir, de manera tal que éste no pude predecirse con certeza aún con un cúmulo de información disponible y un alto grado de conocimiento del propio fenómeno. Esta es una incertidumbre probabilística, natural, intrínseca al fenómeno y, por tanto, irreducible.

1.1.1 FENÓMENOS

1.1.2 INCERTIDUMBRE

OBJETO DE LA PROBABILIDAD1.1

46

Incertidumbre estadísticaEl segundo elemento de incertidumbre es el proveniente de la falta de

información, de la ignorancia parcial respecto al fenómeno o desconocimiento de cómo es que puede ocurrir. Esta incertidumbre puede reducirse en la medida en que se cuente con más información respecto del fenómeno y de la ocurrencia del mismo, por lo que se dice que éste es un tipo de incertidumbre estadística.

Incertidumbre del modeloFinalmente, la incertidumbre proveniente del modelo, cuyo creador, al abs-

traer la realidad, al tratar de representarla en forma simplifi cada, puede sosla-yar propiedades que son relevantes. Esta incertidumbre también es reducible, depende más que nada del analista, del modelador; mientras más apegado sea el modelo a la realidad, mientras más representativo de ésta, menor será la incertidumbre. “Una inteligencia que conociera todas las fuerzas que actúan en la Naturaleza en un instante dado y las posiciones momentáneas de todas las cosas del universo, sería capaz de abarcar en una sola fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes y de los átomos más livianos del mundo, siempre que su intelecto fuera sufi cientemente poderoso como para someter a aná-lisis todos los datos; para ella nada sería incierto, y tanto el futuro como el pasado estarían presentes a sus ojos” Laplace

“Azar es una palabra vacía de sentido, nada puede existir sin causa” Voltaire

Los deterministas sostienen que la incertidumbre no es sino una medida de nuestra ignorancia, que todos los fenómenos son perfectamente predecibles con exactitud, partiendo de las relaciones causa-efecto de todos los elementos que intervienen; por lo tanto, la probabilidad es, para ellos, un mero ejercicio matemático. Pero resulta que el conocimiento humano casi nunca permite establecer tales relaciones y que, en todo caso, sería demasiado tardado y costoso tratar de conocerlas con exactitud. Quizá se les dé la razón dentro de algunos milenios, cuando hasta los humanos dejemos de ser impredecibles; mientras tanto, la probabilidad parece indispensable.

Creer que nuestro mundo es no-determinista no signifi ca que sea un mundo libre de relaciones causa-efecto, o un mundo sobre el que no podamos tener certezas; existen muchísimas cosas sobre las que los humanos tenemos absoluta certeza. Si la física cuántica nos enseña que este nuestro mundo está totalmente gobernado por leyes probabilísticas, ello no impide que muchas probabilidades interesantes converjan a 1, lo cual nos lleva a un mundo que también es determinista.

La incertidumbre que enfrenta el jugador es principalmente de tipo probabilístico, porque los juegos de azar son intrínsecamente azarosos, la in-certidumbre estadística para él no aplica y ocasionalmente puede llegar a tener incertidumbre atribuible al modelo, cuando el algoritmo de cálculo es complejo. En cambio, el estadístico, el experto y el neófi to, normalmente tienen que desa-fiar los tres tipos de incertidumbre, con distintos niveles de participación.

OBJETO DE LA PROBABILIDAD

4

Cuando un fenómeno es observado con la fi nalidad de conocer su com-portamiento, se dice que se está experimentando y, en este sentido, un

fenómeno puede ser provocado. Así, un experimento implica la observación del resultado de una acción; por ejemplo, el aforo en un río o la medición del fl ujo en un pozo petrolero. En atención a la certidumbre o incertidumbre en los resultados de los experimentos, éstos se clasifi can en dos tipos:

En los experimentos deterministas siempre se obtiene el mismo resultado y, por lo tanto, éste siempre puede ser predicho; por ejemplo, la velocidad de la luz.

En los experimentos aleatorios, en los que el resultado no puede predecirse con certeza, pues éste no es el mismo en todos los casos; por ejemplo, el aforo en un río.

Experimentos repetibles y no repetiblesAntes de intentar medir la posibilidad de ocurrencia de un resultado aso-

ciado a un experimento aleatorio, es menester saber en qué consiste tal expe-rimento.

Existen experimentos que pueden ser repetidos una y otra vez, en condicio-nes aparentemente idénticas o muy similares y que, cada vez que se realizan, se tiene incertidumbre en cuanto a su resultado. Son experimentos aleatorios repetibles indefi nidamente y cada realización de tales experimentos se le cono-ce como ensayo; por ejemplo, la precipitación pluvial en un suburbio.

Hay también experimentos que no pueden repetirse, pues corresponden a situaciones muy particulares, cuyas condiciones nunca se han presentado y no volverán a presentarse; se trata de experimentos aleatorios no repetibles; por ejemplo, el Big Bang.

En ocasiones se puede tener un experimento determinista que, si se repitie-ra una y otra vez, se obtendría siempre el mismo resultado; sin embargo, si el experimento nunca se ha realizado, su resultado puede ser totalmente incierto. En este caso se trata de experimentos deterministas inciertos.

Los frecuentistas afi rman que la teoría de la probabilidad sólo es aplica-ble a experimentos aleatorios repetibles indefi nidamente. Los subjetivistas, en cambio, también aceptan los experimentos no repetibles y los experimentos deterministas inciertos.

Experimentos simples y combinadosLos resultados de un experimento pueden tener una o varias componentes;

conforme a esto, los experimentos se clasifi can en dos tipos:Un experimento simple es aquel cuyos posibles resultados tienen una sola

componente.Un experimento combinado es aquel que considera simultáneamente dos o

más experimentos simples, o que involucra realizaciones repetidas del mismo experimento. Los posibles resultados de un experimento combinado tienen dos o más componentes.

EXPERIMENTOS

1.1.3EXPERIMENTOS

48

Ejemplo 1.1 MONEDA. Considere el experimento consistente en lanzar una moneda y observar la cara que queda hacia arriba. Tal experimento es aleato-rio, simple y repetible indefi nidamente.

Ahora considere el experimento consistente en repetir tres veces consecu-tivas el experimento simple descrito anteriormente, es decir, realizar tres en-sayos del lanzamiento de una moneda y la observación de su resultado. El experimento es aleatorio, combinado y repetible.

Otro experimento muy similar al anterior es el de lanzar tres monedas si-multáneamente y observar las caras que quedan hacia arriba. El experimento también es aleatorio, combinado y repetible. Ejemplo 1.2 POZOS PETROLEROS. Considere la perforación de n pozos petroleros; si un pozo resulta productor, en el tablero de control se enciende un foco verde y si no se enciende un foco rojo. Sea el experimento consistente en observar el tablero con n focos encendidos, unos verdes y otros rojos. Tal experimento es aleatorio y repetible indefi nidamente, pues cada uno de los pozo puede resultar productor o no, y es posible observar otros n pozos de la misma cuenca, de una similar o de otra parcialmente distinta. El experimento es combinado, ya que considera n experimentos simples idénticos: observar el resultado de cada uno de los n pozos por separado.

Ahora considere otro experimento consistente en sumar los focos verdes sobre el tablero de control, es decir contar el número de pozos que resultaron productores. Este experimento también es aleatorio y repetible, sólo que ahora es un experimento simple, puesto que su resultado tiene una sola componente.

Ejemplo 1.3 AGUAS PROFUNDAS. El Activo Regional de Exploración Norte tiene el objetivo de explorar, en aguas profundas, el área de Alaminos, una estructura geológica totalmente nueva que, de resultar exitosa, signifi caría para Pemex la incorporación de reservas que posiblemente compensen, en el mediano plazo, el decaimiento de Cantarell, pero en caso contrario implicaría una cuantiosa pérdida. Sea el experimento consistente en explorar el área, considerando que la empresa jamás ha realizado algo similar. El experimento es aleatorio simple, puesto que la estructura puede resultar productora o no, pero es un experimento que, como tal, no se volverá a repetir.

En todo caso, para cada experimento es de interés conocer el conjunto de los posibles resultados y la medida numérica que refl eja la posibilidad de ocu-rrencia de cada resultado.

Ha de ser posible conocer de antemano todos los posibles resultados del experimento, lo cual no signifi ca que éstos tengan que ser igualmente posibles.

Aunque no se puede predecir el resultado de cada experimento particular, ha de ser posible medir la posibilidad de ocurrencia de cada resultado básico o elemental. Los resultados elementales se defi nen de tal forma que no pueden ocurrir dos simultáneamente y debe ocurrir al menos uno de ellos, necesaria-mente.


4

Una vez identifi cado el experimento, procede entonces determinar cuáles son los posibles resultados.

El espacio muestral o espacio de eventos de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los resultados que pueden ocurrir. Notación: o S

Cabe hacer notar que, para el matemático, el experimento aleatorio termina con la observación del resultado, tal como ocurre; cualquier manipulación del resultado constituye una actividad posterior, que no se debe considerar parte del experimento; de manera que, por ejemplo, un experimento combinado que tiene dos componentes, necesariamente tiene asociado un espacio muestral de dos dimensiones.

Para el ingeniero, que no es tan estricto, el experimento aleatorio puede ser defi nido, de entrada, como la concatenación de dos actividades secuenciales: la observación del resultado y su manipulación aritmética posterior. Así que, por ejemplo, un experimento combinado de tres componentes puede ser traducido a un espacio muestral unidimensional.

Por eso es tan importante que la descripción del experimento, pues es claro que una ligera variación modifi ca radicalmente el espacio muestral.

Un punto muestral es cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio. Notación: o a, b, c, ...

Y el cardinal de un espacio muestral es el número de posibles resultados. Notación: n

Muestral es lo perteneciente o relativo a una muestra o porción de un con-junto, que puede ser considerada como representativa de éste; de modo que el espacio muestral es el conjunto del cual se pueden obtener muestras.

Espacios muestrales fi nitos e infi nitosUn espacio muestral fi nito es aquel que consta exactamente de n puntos

muestrales; es decir, aquel que está asociado a un experimento con n posibles resultados. Entonces, el cardinal de es n donde es el conjunto de los números naturales. Notación: ____ (1.1)

Un espacio muestral infi nito es aquel asociado a un experimento cuyo nú-mero total de posibles resultados es infi nito, esto es, está constituido por un número infi nito de puntos muestrales.

Un espacio muestral infi nito numerable es aquel constituido por un número infi nito de puntos muestrales, que pueden ser ordenados en forma se sucesión. En tal caso, el cardinal de es el número transfinito alef sub cero, . Notación: ____(1.2)

Espacios muestrales discretos y continuos.Un espacio muestral es discreto si es fi nito o infi nito numerable. Las suce-

siones de un espacio muestral discreto son: o

ESPACIOS MUESTRALES

1.1.4ESPACIOS MUESTRALES

0

1 2 3, , ,...

1 2 3 n, , ,..., 1 2 3, , ,...

1 2 3 n, , ,...,

1 2 3, , ,...

50

Un espacio muestral continuo es aquel constituido por un número infi nito de puntos muestrales pertenecientes a un continuo, es decir, es un intervalo del eje real. El cardinal de es el número transfi nito alef sub uno, . Notación:

____ (1.3) Los intervalos pueden ser de varios tipos:

Un intervalo cerrado es aquel que incluye sus valores extremos. Notación:

Un intervalo abierto es aquel que excluye sus valores extremos. Notación:

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye uno de sus valores extremos y excluye al otro. Notación:

Son de particular interés los intervalos de la forma:

Espacio muestral n-dimensionalUn espacio muestral n-dimensional es aquel que tiene n dimensiones, aquel

cuyos puntos muestrales tienen n componentes. Notación: ____ (1.4)

Los espacios muestrales n-dimensionales corresponden a experimentos combinados: n experimentos simples simultáneos o n ensayos repetidos del mismo experimento.

Al considerar dos experimentos simples E1 y E2, el primero con k1 posibles

resultados y el segundo con k2 posibles resultados; sus espacios muestrales correspondientes son:

Si se consideran simultáneamente los experimentos E1 y E2, se genera un

nuevo experimento E, cuyos posibles resultados son parejas ordenadas de la forma (i, j):

Todas las parejas ordenadas que se pueden formar con los k1 elementos de 1 y los k2 elementos de 2 constituyen un nuevo conjunto denominado pro-ducto cartesiano de 1 y 2. Notación:

____ (1.5)Y su número de elementos se obtiene del producto:

El espacio muestral del nuevo experimento E es un subconjunto del pro-ducto cartesiano de 1 y 2:


,a ó x a

a, ó x a

a,b ó a x b

a,b ó a x b

a,b ó a x b

a,b ó a x b

11 12 1n 21 22 2n, ,..., , , ,..., ,...

1 21 1 2 k 2 1 2 küüüüüü

1 2k k

1

1 2

1 2 i j i 1 j 2 1 2, | , ,i 1,2,...,k , j 1,2,...,k

i j i 1 j 2, | ,

Si los experimentos E1 y E2 están relacionados de alguna manera, incluso funcionalmente, el espacio muestral del experimento E es un subconjunto pro-pio del producto cartesiano de 1 y 2:

Si los experimentos E1 y E2 son independientes, es decir, si el resultado del experimento E1 no infl uye en el resultado del experimento E2, el espacio muestral del experimento E es precisamente el producto cartesiano de 1 y 2.

Generalizando, si E1, E2,..., En son experimentos simples cuyos espacios

muestrales correspondientes son 1, 2.,..., n., al considerar tales experi-mentos en forma conjunta se defi ne un experimento combinado cuyo espacio muestral es un subconjunto de producto cartesiano de 1, 2.,..., n.:

Por lo que es un espacio muestral n-dimensional.En particular, si un experimento combinado consiste en realizar n ensayos

repetidos de un mismo experimento simple, cuyo espacio muestral es S, el nuevo espacio muestral del experimento combinado es precisamente el pro-ducto cartesiano:

Los espacios muestrales más frecuentes en ingeniería son espacios conti-nuos y n-dimensionales. Notación:

Ejemplo 1.4. MONEDA. El espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda es: donde a y s son los puntos mues-trales del experimento simple, cuyos dos posibles resultados son águila y sol.

El espacio muestral es discreto, fi nito y unidimensional, pues consta de dos puntos muestrales que tienen una sola componente.

Si se considera el experimento combinado consistente en lanzar la moneda tres veces consecutivas y observar los resultados, el espacio muestral es en-tonces:

donde cada una de las ocho ternas, como la (a, s, a) es un punto muestral del experimento, puesto que es uno de sus ocho posibles resultados.

El espacio muestral S2 es discreto y fi nito, puesto que su cardinal es 8. Y es tridimensional, ya que sus puntos muestrales tienen tres componentes. Co-rresponde a un experimento combinado que considera tres ensayos repetidos del experimento cuyo espacio muestral es S1; en consecuencia: 3

2 1S S . Y el cardinal de S2 es: 2 2 2 8

Ejemplo 1.5. DADOS. Considere el experimento consistente en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. Su espacio muestral co-rrespondiente es:

ESPACIOS MUESTRALES

1 2

1 2 n...

nS S ... S S n

S águila,sol a,s ,

2S a,a,a , a,a,s , a,s,a , s,a,a , a,s,s , s,a,s , s,s,a , s,s,s ,

1

(1,1), (1,2 ), (1,3 ), (1,4 ), (1,5 ), (1,6 ),(2,1),(2,2 ),(2,3 ),(2,4 ),(2,5 ),(2,6 ),(3,1),(3,2 ),(3,3 ),(3,4 ),(3,5 ),(3,6 ),

S(4,1),(4,2 ),(4,3 ),(4,4 ),(4,5 ),(4,6 ),(5,1),(5,2 ),(5,3 ),(5,4 ),(5,5 ),(5,6 ),(6,1),(6,2 ),(6,3 )

,(6,4 ),(6,5 ),(6,6 )

1 2

52

Donde cada uno de los 36 arreglos de dos dimensiones, como el (3,4) es un punto muestral, puesto que es un posible resultado del experimento.

El espacio muestral es discreto y fi nito, ya que su cardinal es 36 y es bidi-mensional, ya que sus puntos muestrales tienen dos componentes; cada com-ponente forma una sucesión fi nita {i}, donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

El experimento puede verse como la combinación de dos experimentos simples idénticos, simultáneos e independientes, por lo que el espacio mues-tral del experimento combinado es el producto cartesiano de dos espacios: donde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si el experimento hubiera consistido en sumar los valores de las caras que quedan hacia arriba, el espacio muestral sería entonces:

S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}Tal espacio es discreto, fi nito y unidimensional, constituido por 11 puntos

muestrales con una sola componente, formado por una sucesión fi nita {i}, donde i = i + 1, i = 1, 2, 3,…, 11.

Ejemplo 1.6. POZOS PETROLEROS. El espacio muestral correspondiente a la perforación de 4 pozos, que pueden resultar productivos (1) o no (0) es:

Donde cada uno de los 16 arreglos ordenados de cuatro dimensiones, tales como el dado por (1, 0, 1, 0) es un punto muestral, pues corresponde a uno de los posibles resultados del experimento.

El espacio muestral es discreto y fi nito, pues consta de 16 puntos muestra-les. Y es tetradimensional, ya que sus puntos muestrales tienen cuatro compo-nentes; cada componente es una variable binaria 0, 1.

El experimento simple consistente en observar el resultado de cada pozo por separado, conduce al espacio muestral S2 = {0, 1}. El considerar simultá-neamente el resultado de los cuatro pozos es un experimento combinado, cuyo espacio muestral S1 es el producto cartesiano de cuatro espacios S2:

y el cardinal de S1 se obtiene multiplicando entre sí los cardinales de los cuatro espacios S2:

Si el experimento consistiera en sumar los valores observados en los cuatro casilleros, el espacio muestral sería entonces: S = {0, 1, 2, 3, 4}. Tal espacio es discreto, fi nito y unidimensional, constituido por 5 puntos muestrales con una sola componente, formando una sucesión {i}, donde i = i + 1, i = 1, 2, 3, 4, 5.

Ejemplo 1.7. INTERRUPCIONES EN LA PERFORACIÓN. Considere el experimento consistente en observar el número de interrupciones en la perfo-ración de un pozo, durante un día.


21S S ,

1

(0,0,0,0 ), (1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 ),(0,0,0,1), (1,1,0,0 ), (1,0,1,0 ), (1,0,0,1),

S(0,1,1,0 ), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,1,1,0 ),(1,1,0,1), (1,0,1,1), (0,1,1,1), (1,1,1,1)

41S S ,

2 2 2 2 16

El experimento es simple, aleatorio y puede repetirse indefi nidamente; su resultado puede ser: ninguna interrupción, una interrupción, dos interrupcio-nes, etc., y teóricamente puede haber un número infi nito de interrupciones. El espacio muestral correspondiente es entonces: = {0, 1, 2, 3,...}Donde cada uno de los valores pertenecientes a , como el 7, es un punto muestral del experimento: • • • • • 0 1 2 3 4 ...

El espacio muestral es infi nito numerable, por lo que su cardinal es , por lo tanto es discreto. Es un espacio unidimensional, ya que sus puntos muestra-les tienen una componente. Los puntos muestrales forman una sucesión {i}, donde i = i - 1, i = 1, 2, 3,...

Ejemplo 1.8. PRESA. El espacio muestral correspondiente al nivel de agua de una presa con cortina de 125 m es:

Donde cada uno de los valores pertenecientes al intervalo [0, 125), como el 47.83, es un punto muestral.

El espacio muestral es continuo, por lo que su cardinal es 1 y es unidi-mensional, pues sus puntos muestrales tienen una sola componente.

Ejemplo 1.9. VIGA. Considere una viga libremente apoyada de 10 m de lon-gitud, sometida a una carga concentrada que varía entre 1000 y 2000 kg y que puede estar colocada en cualquier punto a lo largo de la viga. Sea el experi-mento consistente en observar las reacciones en los apoyos.

El espacio muestral del experimento está constituido por los pares ordena-dos (Ra, Rb), tales que, tanto Ra como Rb pueden tomar cualquier valor en el intervalo [0, 2000], pero cuya su suma está en el intervalo [1000, 2000]:

Donde cada uno de los valores pertenecientes a S, como el [1500, 500], es un punto muestral del experimento.

Este espacio muestral es continuo, por lo que su cardinal es . Y es bidi-mensional, pues sus puntos muestrales tienen dos componentes.

La observación de las reacciones Ra y Rb, por separado, constituye dos ex-perimentos simples, cuyos espacios muestrales son: S1 = S2 = [0, 2000] , los que a pesar de ser idénticos, guardan cierta relación; por lo tanto, el espacio muestral de S, asociado al experimento combinado, es un subconjunto propio del producto cartesiano de S1 y S2: 1 2S S

Un evento es un conjunto de resultados que pueden ocurrir. Notación: A, B,...

Nótese que, al defi nir espacio muestral y evento, se utilizó el concepto de conjunto; manejar eventos es manejar conjuntos y, por lo tanto, toda la teoría de conjuntos y el álgebra de conjuntos son aplicables a eventos.

Sin embargo, conviene puntualizar que los eventos son una clase particular de conjuntos; un evento siempre tiene un signifi cado físico que implica ocu-rrencia, es un conjunto asociado a un experimento.

ESPACIOS MUESTRALES

1.1.5EVENTOS

0

0

a b a b a bS R ,R | 0 R 2000,0 R 2000,1000 R R 2000 1

1

S e | 0 e 125

54

Si un evento A está constituido por los puntos muestrales a y b, es decir, si A = {a, b}, entonces a y b pertenecen a A y c no pertenece a A.

_____ (1.6) En el desarrollo de la teoría de la probabilidad es de gran utilidad el empleo

de diagramas de Venn-Euler, que son la manera más sencilla de representar los eventos gráfi camente. Se considera que el experimento consiste en seleccionar de manera aleatoria un punto en el plano S y que los eventos son conjuntos de puntos de ese plano.

En el diagrama, representa el espacio muestral, en el que A y B son dos eventos, y a, b, c, d y e son puntos muestrales.

Eventos simples y eventos compuestosUn evento es simple si consta de un sólo punto muestral, es decir, si no puede ser expresado en términos de resultados más simples. Por ser un evento con un sólo elemento, también se le conoce como evento elemental. Notación:

B = {} _____ (1.7)

Obsérvese que {}tiene un signifi cado de evento, mientras que se refi ere a un punto muestral.

Un evento compuesto es el constituido por dos o más puntos muestrales. Notación: A = {a, b, c, d} _____ (1.8)

Evento seguro y evento imposible.Un evento es seguro si existe la absoluta seguridad de que, al realizar el ex-

perimento, siempre ocurre. El espacio muestral es el evento seguro, pues está constituido por todos los puntos muestrales asociados al experimento. Nota-ción: S.

Un evento es imposible si existe la absoluta seguridad de que, al realizar el experimento, nunca ocurre. El conjunto vacío es el evento imposible, pues no tiene asociado al experimento, punto muestral alguno. Notación:

Eventos igualmente posibles.Dos eventos son igualmente posibles si no hay ninguna razón para sospe-

char que uno pueda ocurrir con más frecuencia que el otro.


a A, b A, c A

Este concepto de equiposibilidad se usa generalmente para indicar la ocu-rrencia de eventos asociados con juegos de azar; en general, es bastante raro que se puede hacer extensivo a otro tipo de experimentos.

Espacio muestral condicional.Un espacio muestral condicional es un espacio muestral reducido, resulta-

do de suponer la ocurrencia de un evento.

Ejemplo 1.10. MOTORES. Si x, y, z y w representan, respectivamente, el funcionamiento del primero, segundo, tercero y cuarto motores de un avión, y sabiendo que son variables binarias 0, 1, sean los eventos:

El evento A signifi ca que ocurre la falla de un motor, cualquiera de los cua-

tro; de manera que: A = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Los cuatro puntos muestrales de A son resultados posibles del experimento, por lo que: 0,1,0,0 A y, por ejemplo, 1,1,1,1 A

El evento B signifi ca que no falla ningún motor y es un evento simple, pues tiene únicamente un punto muestral: B = {(0, 0, 0, 0)}.

El evento C signifi ca que el primer motor falla, independientemente del funcionamiento de los otros tres; de manera que el evento C es compuesto y consta de 8 elementos: C = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1)}.

El evento D es un evento seguro, pues cualquiera que sea el resultado que se observe en el tablero, siempre cumplirá con la condición de que la suma es menor de 5; D es, de hecho, el espacio muestral: D = S.

Los eventos F y G son igualmente posibles, si se considera que los motores segundo y cuarto son idénticos y tienen exactamente el mismo tipo de fun-cionamiento. En cambio, los eventos F y H no son igualmente posibles, aún cuando ambos tiene un solo punto muestral; es de suponer que es mucho más fácil que sólo falle un motor a que fallen tres.

Si se supone que no pueden fallar dos motores del mismo lado, el espacio muestral se reduce a: S’ = {(0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)}, que es un espacio muestral condicional, dada la ocurrencia de un evento.

Ejemplo 1.11. VIGA. Suponiendo que los valores que pueden tomar la magnitud y la posición de

la carga son igualmente posibles, sean los eventos:

EVENTOS

A x,y,z,w | x y z w 1 , B x,y ,z,w | x y z w 0

C x,y,z,w | x 1 , D x,y,z,w | x y z w 5

E x,y,z,w | y z 3 , F 0,1,0,0

G 0,0,0,1 , H 1,0,1,1

a b a b a b a

a b a b a b b

A R ,R | R R 1000 , B R ,R | R 1000

C R ,R | R 3500,R 500 , D R ,R | R 2000

56

El evento A es un evento simple, pues consta de un solo punto muestral y signifi ca que la carga P es de 2000 kg y que está en el centro de la viga.

El evento B es un evento compuesto, constituido por un número infi nito de puntos muestrales y signifi ca que la reacción en el apoyo a es mayor de 1000 kg. La condición Ra > 1000 implica que Rb 1000 y, entonces:

El evento C = {(3500, 500)} es imposible, pues cualquiera que sea la mag-

nitud y la posición de la carga P, la reacción Ra no podrá ser nunca de 3500 kg. El evento C es el conjunto vacío: C = .

El evento D es un evento seguro, pues cualquiera que sea la magnitud y la posición de la carga P, la reacción Rb será, cuando más, de 2000 kg. El evento D es el espacio muestral: D = S.

Los eventos A = {(1000,1000)} y E = {(2000,0)} son igualmente posibles, pues una carga P de 2000 kg puede estar colocada en cualquier punto de la viga; cuando está en el centro de la viga, se presenta el evento A y cuando está sobre el apoyo a, se produce el evento B.

Los eventos B y F son igualmente posibles, puesto que el área de B y el área de F son iguales:

Si se sabe que la carga P es exactamente de 1500 kg, el espacio muestral se re-

duce a: a b a b a bS' R ,R | 0 R 1500,0 R 1500,0 R R 1500 , el cual es un espacio muestral condicional, dada la ocurrencia de ese evento.


a b a b a b bE R ,R | R 2000,R 0 , F R ,R | R 1000

a b a b a bB R ,R |1000 R 2000,0 R 1000,1000 R R 2000

Ejemplo 1.12. CONMUTADOR TELEFÓNICO. Si n representa el número de llamadas que entran al conmutador en un minuto, n N, sean los eventos:

Los eventos A y B son simples, pues constan de un solo elemento.Los eventos C, D, E y F son eventos compuestos. El evento C consta de 4

puntos muestrales: C = {0, 1 ,2 ,3}. El evento D tiene 5 puntos muestrales: D = {0, 1, 2, 3, 4}. Los eventos E y F constan de un número infi nito de puntos muestrales: E = {5, 6, 7,...} y F = {4, 5, 6,...}.

Si se supone la ocurrencia del evento F, el espacio muestral se reduce a: S’ = {4, 5, 6,...}, el cual es un espacio muestral condicional.

Los eventos aleatorios son conjuntos del espacio muestral, de manera que es aplicable el álgebra de conjuntos. Se distingue con claridad, que las opera-ciones entre eventos son también eventos.

No ocurrencia de un eventoLa no ocurrencia de un evento A es expresada a través de su complemento.

El evento complementario de un evento es el evento contrario del evento A. Notación: cA ,A' o A

Como el evento seguro siempre ocurre, su complemento nunca ocurre, por-que es el conjunto vacío:

Como el evento imposible nunca ocurre, su complemento siempre ocurre, porque es el espacio muestral:

El complemento del complemento de un evento es el evento mismo, porque negar la ocurrencia de un evento es afi rmarla: ccA A

Eventos mutuamente exclusivos.Dos eventos A y B son mutuamente exclusivos o excluyentes si, y sólo si,

la ocurrencia de uno impide la ocurrencia del otro, es decir, si y solo si, A y B no tienen puntos muestrales en común; su intersección es nula. Notación: ____ (1.9)

Se lee: “A y B son eventos mutuamente exclusivos”. También se dice que A y B son conjuntos disjuntos o eventos incompatibles, porque es imposible que ocurran simultáneamente.

ÁLGEBRA DE EVENTOS

1.1.6ÁLGEBRADE EVENTOS

A B

A n | n 3 , B n | n 3 , C n | n 4 ,

D n | n 4 , E n | n 4 , F n | n 4

58

Los eventos complementarios son mutuamente exclusivos: cA A Los eventos simples son mutuamente exclusivos. Notación:

Generalizando, los eventos A1, A2,..., An son mutuamente exclusivos si y sólo si, la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros; la in-compatibilidad se garantiza si, al tomar los eventos por parejas, éstos no tienen puntos muestrales en común. Notación:

Ocurrencia conjunta.Si dos eventos A y B no son mutuamente exclusivos, es decir, si la ocu-

rrencia de uno no impide la ocurrencia del otro, signifi ca que tienen puntos muestrales en común, que son compatibles y pueden ocurrir conjuntamente.

La ocurrencia conjunta de dos eventos A y B es expresada a través de su intersección. El evento de intersección es el conjunto formado por todos los puntos muestrales que pertenecen a A y B, a la vez. Notación: A B , que se lee: “ocurre A y ocurre B”.

La ocurrencia conjunta de un evento cualquiera A y del evento seguro, se da cuando ocurre el evento A: A S A

La ocurrencia conjunta de un evento cualquiera A y un evento imposible, no es posible: A

La ocurrencia conjunta de dos eventos A, idénticos, se da cuando ocurre el evento A: A A A

La operación intersección es conmutativa: A B B A La operación intersección es asociativa: A B C A B C


i j , i j , i , j 1,2,...,n

i jA A , i j , i , j 1,2,...,n

Generalizando, la ocurrencia conjunta de los eventos A1, A2,..., An es ex-presada a través de su intersección, que es el evento constituido por todos los puntos muestrales comunes a esos eventos. Notación:

Ocurrencia de al menos un eventoLa ocurrencia de al menos uno de dos eventos A y B, es expresada a través

de su unión. El evento unión es el conjunto formado por los puntos muestrales que pertenecen a A o bien que pertenecen a B, incluyendo los que están en am-bos simultáneamente. Notación: A B, que se lee: “ocurre A o B, o ambos”

La ocurrencia de al menos uno de los eventos: uno cualquiera A y el otro el evento seguro, es un evento seguro: A S S

La ocurrencia de al menos uno de los eventos: uno cualquiera A y el otro el evento imposible, se da cuando ocurre ese evento cualquiera: A A

La ocurrencia de al menos uno de dos eventos A, idénticos, se da cuando ocurre el evento A: A A A

La operación unión es conmutativa: A B B A La operación unión es asociativa: A B C A B C La operación unión es distributiva respecto a la intersección: La operación intersección es distributiva respecto a la unión:

Generalizando, la ocurrencia de al menos uno de los eventos A1, A2,..., An es expresada a través de su unión, que es el evento constituido por todos los puntos muestrales que pertenecen a alguno d esos eventos. Notación:

Ocurrencia de uno y no ocurrencia del otroLa ocurrencia del evento A y la no ocurrencia del evento B, es expresada

a través de su diferencia. El evento diferencia es el conjunto formado por los puntos muestrales que pertenecen a A y no pertenecen a B. Notación: A B, que se lee: “ocurre A y no ocurre B”

ÁLGEBRA DE EVENTOS

n

i 1 2 3 ni 1

A A A A ... A

A B C A B A C

A B C A B A C

n

i 1 2 3 ni 1

A A A A ... A

60

El evento diferencia se puede expresar a través de la ocurrencia conjunta de los eventos A y B :

La operación diferencia no es conmutativa: A B B A Un evento complementario siempre puede expresarse a través de un evento

diferencia:

Leyes de De MorganLas leyes de De Morgan, que combinan las tres operaciones fundamentales

entre conjuntos: unión, intersección y complemento, merecen una mención muy especial, por su gran utilidad en el cálculo de probabilidades.

El complemento de la unión de dos eventos es igual a la intersección de sus complementos: ____ (1.14)

El complemento de la intersección de dos eventos es igual a la unión de sus complementos: ____ (1.15)

La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las nega-

ciones

La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las nega-

ciones.


A B A B

A S A

A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

Las Leyes de Morgan permiten cambiar el operador de conjunción por el operador de disyunción y viceversa.

Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afi rmadas o negadas, en todo o en sus partes.

Si tenemos una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva, con cada uno de sus miembros negados.

Si tenemos una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados.

Si tenemos una proposición conjuntiva afi rmada, la ley de Morgan nos per-mite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.

Si tenemos una proposición disyuntiva afi rmada, la ley de Morgan nos per-mite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.

La generalización de las leyes de De Morgan se expresa como:

Eventos colectivamente exhaustivos Los eventos A1, A2,..., An son colectivamente exhaustivos si, y sólo

si, ocurre al menos uno de ellos en cualquier realización del experimento, es decir, si su unión abarca todo el espacio muestral. Notación: ____ (1.12)

Los eventos complementarios son colectivamente exhaustivos: puesto que al realizar el experimento, alguno de los dos eventos ocurre.

Partición del espacio muestralSi los eventos A1, A2,..., An son mutuamente exclusivos y colectivamente

exhaustivos, entonces los eventos Ai, i = 1, 2,..., n constituyen un grupo com-pleto de eventos o una partición del espacio muestral S, similar a un rompe-cabezas.

ÁLGEBRA DE EVENTOS

c cn n n nc c

i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

A A A A

n

ii 1

A S

62

Los eventos complementarios constituyen una partición de S, puesto que son mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos.

Descomposición de un eventoSi un evento B es la unión de n eventos Ai mutuamente exclusivos, se dice

que el evento B puede descomponerse en los eventos A1, A2,..., An.

Ocurrencia de un subeventoSi la ocurrencia de un evento A implica ocurrencia de otro evento B, es

decir, si todos los puntos muestrales de A pertenecen a B, se dice que A es subevento de B, que A está contenido en B, o que B contiene a A. Notación:

Todo evento es subconjunto de sí mismo: A A Todo evento es subconjunto del evento seguro: A S El evento imposible es subconjunto de cualquier evento: A Todo evento es subconjunto de su unión con otro: A A B, B A B Toda intersección de eventos es subconjunto de ellos:


A B A, A B B

ÁLGEBRA DE EVENTOS

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si, su ocurrencia conjunta se da cuando ocurre el evento A:

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si,

la ocurrencia de al menos uno de ellos se da cuando ocurre el evento B:

La ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B si, y sólo si, la no ocurrencia del evento B implica la no ocurrencia del evento A:

La ocurrencia de un evento implica la ocurrencia de otro y viceversa si, y sólo si, éstos son idénticos:

Si la ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento B y la ocu-rrencia del evento B implica la ocurrencia del evento C, entonces la ocurrencia del evento A implica la ocurrencia del evento C:

Ejemplo 1.13. MOTORES. Considere los siguientes eventos, algunos de los cuales ya fueron defi nidos en el ejemplo 1.10, pero se transcriben aquí para pronta referencia:

La no ocurrencia del evento A es expresada a través de su complemento: cA x,y ,z,w | x y z w 1 y signifi ca que no ocurre ninguno de los

4 puntos muestrales pertenecientes a A, que la suma de las cifras del tablero no es 1, que la falla de un solo motor no ocurre. O también signifi ca que ocurre el evento Ac, que ocurre alguno de los 12 puntos muestrales pertenecientes a Ac, que la suma de puntos del tablero es 0, 2, 3 o 4, que fallan dos o más motores, o ninguno.

Los eventos A y B son mutuamente exclusivos: A B , pues no hay nin-gún punto muestral de A, que pertenezca a B y, por lo tanto, la ocurrencia de A, que falle un motor, impide la ocurrencia de B, que no falle ninguno, y vi-ceversa.

Los eventos A, B y L son mutuamente exclusivos, pues es imposible que, a la vez, no falle ningún motor, falle uno y fallen dos:

Los eventos J y K son mutuamente exclusivos; pues uno es complemento del otro: J K , que fallen menos de dos impide que fallen dos o más.

A B A B A

A B A B B

c cA B B A

A B y B A B A

A B y B C A C

A x,y,z,w | x y z w 1 , B x,y ,z,w | x y z w 0

C x,y,z,w | x 1 , D x,y,z,w | x y z w 5

E x,y,z,w | y z 3 , F 0,1,0,0

G 0,0,0,1 , H 1,0,1,1

I 1,1,0,1 , J x,y ,z,w | x y z w 2

K x,y,z,w | x y z w 2 , L x,y ,z,w | x y z w 2

M x,y,z,w | x y z w 2

A B , A L , B L ;

64

Los eventos D y E son mutuamente exclusivos, en virtud de que son com-plementarios; si ocurre uno el otro no puede ocurrir.

Los eventos B, F, G, H e I son mutuamente exclusivos, puesto que todos ellos son eventos simples.

Los eventos A y C no son mutuamente exclusivos, puesto que tienen un punto muestral en común: {(1, 0, 0, 0)} y, por ende, pueden ocurrir conjunta-mente; la intersección de estos eventos es: A C x,y,z,w | x y z w 1 . Para la ocurrencia conjunta del evento A, que falle un motor, y el evento C, que falle el primer motor, se requiere precisamente que ocurra el evento A C, que falle únicamente el primer motor.

Para que ocurran conjuntamente los eventos K, que fallen dos o más mo-tores, L, que fallen dos motores, y M, que fallen dos o menos motores, se re-quiere que ocurra precisamente el evento K L M, que fallen dos motores.

Para que ocurra al menos uno de los eventos A, que falle un motor, o C, que falle el primero, se requiere que ocurra alguno de los once puntos muestrales del evento A C, es decir, que falle un sólo motor o que falle el primero, sin importar si los otros tres fallan o no.

Para que ocurra al menos uno de los eventos K, que fallen dos o más mo-tores, L, que fallen dos motores, o M, que fallen dos o menos, se requiere que ocurra el evento seguro y ése siempre ocurre; esto es, cualquiera que sea el resultado del experimento, es seguro que siempre ocurrirá el evento K L M.

Los eventos K, L y M son colectivamente exhaustivos, pues K L M S obsérvese que, en este caso, K L M L, esto es, los eventos no son mutua-mente exclusivos.

Los eventos A, B y K son colectivamente exhaustivos, puesto que: A B K S pero nótese que, en este caso, A B , A K , B K ; esto es, los eventos también son mutuamente exclusivos. Por ende, los eventos A, B y K constituyen una partición de S.

Los eventos J y K son colectivamente exhaustivos: J K S, puesto que son complementos y como también son mutuamente exclusivos, igualmente constituyen una partición de S.

El evento M se puede descomponer en los eventos A, B y L, que son mu-tuamente exclusivos, puesto que su unión es el evento M: A B L M

Los eventos A, B y L son subconjuntos del evento M, puesto que todos los puntos muestrales de cada uno de esos tres eventos también son puntos mues-trales de M. Si el evento M no ocurre, no puede ocurrir ninguno de los eventos A, B y L.

Ejemplo 1.15. VIGA. Considere los siguientes eventos, algunos de los cuales ya fueron defi nidos en el ejemplo 1.11, pero se transcriben aquí para pronta referencia:


a b a b a b a

a b a b a b b

a b a b a b b

a b b a b b

A R ,R | R R 1000 , B R ,R | R 1000

C R ,R | R 3500,R 500 , D R ,R | R 2000

E R ,R | R 2000,R 0 , F R ,R | R 1000

G R ,R | R 1000 , H R ,R | R 1000

La no ocurrencia del evento B es expresada a través de su complemento: c

a b aB R ,R | R 1000 y signifi ca que no ocurre ninguno de los puntos muestrales pertenecientes a A, que la reacción Ra no es mayor de 1000 kg. O también signifi ca que ocurre el evento Ac, que ocurre alguno de los puntos muestrales pertenecientes a Ac, que la reacción Ra es menor o igual a 1000 kg.

Los eventos F y G son mutuamente exclusivos, pues no hay ningún punto muestral de F, que pertenezca a G y, por lo tanto, la ocurrencia de F, que la reacción Rb sea mayor que 1000 kg, impide la ocurrencia de G, que sea menor o igual que 1000 kg.

Los eventos H e I no son mutuamente exclusivos, puesto que tienen puntos muestrales en común: 500 Rb < 1000 y, por ende, pueden ocurrir conjun-tamente; la intersección de estos eventos es: a b bH I R ,R | R 1000 H. Para que ocurran de manera conjunta el evento H, que la reacción Rb sea ma-yor o igual que 1000, y el evento I, que la reacción Rb sea mayor o igual que 500, se requiere que ocurra precisamente el evento H, que la reacción Rb sea mayor o igual que 1000.

Para que ocurra al menos uno de los eventos: I, que la reacción Rb sea ma-yor o igual que 500, o J, que la reacción Rb sea mayor que 500, se requiere que ocurra el evento seguro y ése siempre ocurre; esto es, cualquiera que sea el resultado del experimento, es seguro que siempre ocurrirá el evento I J

Los eventos F y G son colectivamente exhaustivos, pues F G S; ob-sérvese que, en este caso, F G , esto es, los eventos son mutuamente exclusivos, por lo que F y G constituyen una partición de S.

El evento H se puede descomponer en los eventos F y K, que son mutua-mente exclusivos, puesto que su unión es el evento H: F K H

Los eventos F y K son subeventos de H, puesto que todos los puntos mues-trales de cada uno de esos dos eventos también son puntos muestrales de H. Si el evento H no ocurre, no puede ocurrir ninguno de los eventos F y K.

ÁLGEBRA DE EVENTOS

a b b a b b

a b b

I R ,R | R 500 , J R ,R | R 500

K R ,R | R 1000

fundamentos de probabilidad - unamprofesores.dcb.unam.mx/users/gustavorb/probabilidad/pe11.pdf ·...

Documents