1.4 probabilidad medida de -...

La probabilidad es una parte de las matemáticas; como tal, su construcción teórica es similar a la del álgebra o a la de la geometría: a partir de unas

cuantas premisas, llamadas axiomas, se deducen lógicamente otras afi rmacio-nes, denominados teoremas, los cuales constituyen un conjunto teórico más amplio.

La teoría axiomática de probabilidad fue desarrollada por el matemático ruso Andrei Kolmogorov, quien en 1933 estableció los tres axiomas en los que se sustenta, sin que pese la controversia en torno a las diferentes interpre-taciones del término probabilidad. Con independencia de la interpretación de probabilidad que se utilice en cada problema particular, esta teoría es correcta y puede ser aplicada en forma muy útil, si se satisfacen esos tres axiomas.

Familias de eventosSi un evento A de un experimento está constituido por elementos que son a

su vez eventos asociados al experimento, es decir, si AAA , entonces se dice que el evento A es una familia de eventos de .

Una familia de eventos es fi nita si el número de eventos que la constituyen es fi nito. Notación: 1 2 nA ,A ,...AAA

Y una familia de eventos es infi nita, si el número de eventos que la consti-tuyen es infi nito. Notación: 1 2 3üüüüBB

Las familias infi nitas siempre están asociadas a experimentos cuyo número de posibles resultados es infi nito.

La ocurrencia conjunta de los eventos pertenecientes a una familia de even-tos fi nita 1 2 nA ,A ,...AAA está dada por:

La ocurrencia de al menos uno de los eventos pertenecientes a una familia

de eventos fi nita 1 2 nA ,A ,...AAA está dada por:

Una familia de eventos 1 2 nA ,A ,...AAA es cerrada con respecto a una operación en particular: unión, intersección o complemento, si todos las ope-raciones de ese tipo que puedan realizarse con los eventos iA , i 1,2,...,n dan como resultado eventos que también pertenecen a la familia A.

1.4.1SIGMA ÁLGEBRA

MEDIDA DEPROBABILIDAD1.4

i

n

i iA i 1

A x | x A

AA

i

n

i iA i 1

A x | x A

AA

Si no es así, la familia de eventos A es abierta con respecto a esa operación en particular.

Álgebra de eventos.Cuando una familia A de eventos de es cerrada con respecto a las tres

operaciones fundamentales: unión, intersección y complemento, se dice que A�� es una álgebra de eventos o un campo de eventos.

Si A es un álgebra de eventos, entonces siempre tiene entre sus elementos al menos dos eventos mutuamente exclusivos, además de los eventos y .

Formalmente, un campo de eventos es una familia A de eventos del espacio muestral , que satisface las siguientes dos condiciones:

a) Si el evento Ai del espacio muestral pertenece a la familia A, entonces su complemento Ac también pertenece a la familia A: c

i iA A A AA Ab) Si los eventos Ai y Aj del espacio muestral pertenecen a la familia A,

entonces su unión i jA A también pertenece a la familia A:

A partir de estas dos condiciones, se obtienen otras:

Sigma-álgebra de eventosUna sigma-álgebra de eventos o sigma-campo, que se acostumbra escribir

en forma abreviada como: -álgebra, es una colección A, de eventos de , que cumple con las siguientes tres condiciones:

a) El espacio muestral pertenece a la familia A: AAb) Si el evento A pertenece a la familia A, entonces su complemento Ac

también pertenece a la familia A: ci iA A A AA A

c) Si los eventos 1 2 3A ,A ,A ,... pertenecen a la familia A, entonces su unión

también pertenece a la familia A: n

ii 1

A

AA

Así, una σ-álgebra es una colección no vacía de eventos del espacio mues-tral cerrada bajo las operaciones de complemento y de uniones infi nitas numerables, donde los elementos de A son eventos de interés del experimento aleatorio. Entonces, una σ-álgebra es una estructura que permite agrupar, de manera selectiva, aquellos eventos cuya probabilidad interesa obtener.

Es evidente que una -álgebra de eventos es una álgebra de eventos. La diferencia entre una álgebra y una σ-álgebra radica en que la primera es una co-lección cerrada bajo uniones fi nitas mientras que la segunda es una colección cerrada bajo uniones infi nitas numerables.

MEDIDA DE PROBABILIDAD

120

i j i jA , A A A A A AA A A

i j i jA , A A A A A AA A A

n

i ii 1

A , i 1,2,...,n A

A AA A

n

i ii 1

A , i 1,2,...,n A

A AA A

, A AA A

De manera general, una -álgebra es la estructura matemático sobre los que se pueden defi nir probabilidades de los eventos del espacio muestral . En el caso fi nito, las -álgebras son álgebras, porque no hay uniones infi nitas.

A un conjunto cualquiera no vacío C , se le pueden asociar varias σ-álgebras: desde la máxima -álgebra que contiene al conjunto C, que co-rresponde al conjunto potencia de , hasta la mínima -álgebra que contiene a ese conjunto C.

Si es un espacio muestral cualquiera no vacío, la colección 1 , AA es la mínima -álgebra que se le puede asociar a concardinal 2; la colección

c2 ,A,A , AA también es una -álgebra que se le puede asociar a con

cardinal 4; la colección c c c c3 ,A,B,A ,B ,A B,A B , , si A B AA

también es una -álgebra que se le puede asociar a concardinal 8; y así, sucesivamente.

Las propiedades de las álgebras y las -álgebras se refi eren a las operacio-nes de unión, intersección y complemento, que son precisamente las requeri-das para establecer los eventos.

Un evento A, como conjunto de puntos muestrales, es un subconjunto del espacio muestral : A y al mismo tiempo, es un elemento de la -álgebra A: AAA , y en esto se debe distinguir claramente el uso adecuado de los sím-bolos de continencia y pertenencia, respectivamente.

Si el espacio muestral es fi nito, su cardinal es n, y su máxima -álgebra A es el llamado conjunto potencia, cuyo cardinal es 2n.

Si el espacio muestral es infi nito numerable, su cardinal es el número transfi nito 0 , y su máxima -álgebra A estaría constituida por un número infi nito 02 de eventos.

Si el espacio muestral es continuo, contenido en el conjunto de los nú-meros reales: , su cardinal es el número transfi nito 1 , y su máxima -álgebra A estaría constituida por un número infi nito 12 de eventos.

Nótese que las tres colecciones anteriores asociadas al espacio muestral , efectivamente cumplen con las tres condiciones de la defi nición de -álgebra.

Una -álgebra también cumple con las cuatro siguientes condiciones:

SIGMA-ÁLGEBRA

12

AA

1 2 3 ii 1

A ,A ,A ,... A

A AA A

A,B A B A AA A

A,B A B B A A AA A

La intersección de dos -álgebras A1 y A2 asociadas a un evento C cual-quiera, también es un -álgebra asociado al evento C; la intersección puede ser fi nita, numerable o arbitraria. Evidentemente una -álgebra intersección es más pequeña que las dos colecciones intersectadas: 1 2 1 2, A A A AA A A A

Sigma-álgebra generadaSi C es una colección no vacía de eventos de , la σ-álgebra generada por

C, denotada por σ(C), es la colección: C A

C

AA ,

que es la intersección de todas aquellas σ-álgebras que contienen a C y, por ende, también es una σ-álgebra, es la mínima generada por C, porque es la σ-álgebra más pequeña que contiene a la colección C: C C A AA A

La -álgebra mínima contiene al menos a la colección C, a su complemento Cc, al espacio muestral y al conjunto vacío .

Las σ-álgebras generadas tienen dos propiedades que resultan muy útiles en la práctica:

a) La -álgebra generada de una -álgebra A es la -álgebra A: A AA A

b) Si C1 y C2 son dos colecciones de subconjuntos de , tales que la prime-ra está contenida en la segunda: 1 2C C , entonces 1 2C C .

Ejemplo 1.43. MOTORES. Considerando que x, y, z y w son las variables binarias 0, 1, que indican el funcionamiento respectivo del primero, segundo, tercero y cuarto motores de un avión, si el experimento consiste en observar el funcionamiento de los cuatro motores sobre un tablero e interesa el evento A “que no falle ningún motor”, determine la -álgebra generada por A y calcule su cardinal asociado.

El espacio muestral es:

El evento de interés es: A = {(0,0,0,0)}La -álgebra generada por A es: cA ,A,A , , donde cA A

y el cardinal de (A) es 4.

Ejemplo 1.44. CONMUTADOR. Si n representa el número de llamadas que entran al conmutador en un minuto e interesa el evento B, “que entren más de 10 llamadas”, determine la -álgebra generado por B y calcule su cardinal asociado.

El espacio muestral es: 0,1,2,3,... El evento de interés es: B n 10 11,12,13,... La -álgebra generada por B es: cB ,B,B , , donde

cB 0,1,2,...,10 y el cardinal de (B) es 4.


122

0,0,0,0 , 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 ,

0,0,0,1 , 1,1,0,0, , 1,0,1,0 , 1,0,0,1 ,

0,1,1,0 , 0,1,0,1 , 0,0,1,1 , 1,1,1,0 ,

1,1,0,1 , 1,0,1,1 , 0,1,1,1 , 1,1,1,1

Ejemplo 1.45. FUTBOL. Considere el experimento consistente en observar si el Atlante gana, empata o pierde su próximo partido; determine la -álgebra asociada a esa colección de tres resultados y calcule su cardinal asociado.

El espacio muestral es: gana,empata,pierde g,e,p Los eventos de interés son: {g}, {e} y {p}La -álgebra generada por esta colección de eventos es: g , e , p , g , e , p , g,e , g,p , e,p , g,e,p

y su cardinal es 8.En virtud de que aquí interesan los tres posibles resultados del experimento,

la -álgebra generada por esa colección de 3 eventos, corresponde al conjunto potencia de , con cardinal 23 = 8, porque el número de elementos de es 3.

Si se defi nen los eventos: G g , E e , P p y sus complementos: G e p , E g p , P g e ; entonces la -álgebra

puede expresarse como: ,G,E,P,G,E,P, A , donde A satisface las tres condiciones:

a) AA ; en efecto: g,e,p AA b) Si i iA A A AA A ; en efecto: yG g G e,p A AA A

c) Si i ii

A , i A

A AA A ; en efecto:

yG g , E e G E g,e A A AA A A

yG g , P p G P g,p A A AA A A

yE e , P p E P e,p A A AA A A

yG g , E e , P p G E P g,e,p A A A AA A A A

Sigma-álgebra de BorelSe le llama σ-álgebra de Borel de y se le denota por BB a la mínima

σ-álgebra generada por la colección de todos los intervalos abiertos (a,b) de , en donde a b :

Los elementos de BB se conocen como borelianos o conjuntos de Borel, que al estar defi nidos en son puntos aislados e intervalos abiertos y cerra-dos, obtenidos a través de uniones e intersecciones fi nitas o infi nitas numera-bles, así como por complementos.

Para cualesquiera números reales a b , los intervalos a,b , a,b , a,b , a,b , a, , b, , ,a , ,b , a, , b, , ,a , ,b , a , b son conjuntos borelianos, todos ellos elementos del -álgebra de Borel.

La -álgebra de Borel de se puede defi nir, de manera equivalente, como la mínima σ-álgebra generada por la gran colección de todos los subconjuntos abiertos de .

SIGMA-ÁLGEBRA

12

yE e E g,p A AA A

yP p P g,e A AA A

a,b | a b B

Es posible considerar también la σ-álgebra de Borel restringida a un seg-mento de los números reales; si se toma un segmento ABB , la σ-álgebra de Borel generada por A y denotada por B(A), se defi ne como:

El concepto de σ-álgebra de Borel se puede generalizar a n dimensiones. En el caso bidimensional se considera la colección C de todas los rectángulos abiertos de 2 : C a,b c,d | a b,c d ; los borelianos de 2 son los elementos de la -álgebra mínima generada por la colección C:

Ejemplo 1.46. VIGA. Considere una viga libremente apoyada de 10 m de longitud, sometida a una carga concentrada que varía entre 1000 y 2000 kg y que puede estar colocada en cualquier punto a lo largo de la viga. Determine la sigma-álgebra para el experimento consistente en observar las reacciones en los apoyos, cuando a bR R

El espacio muestral es:

El evento de interés es: a b a bH R ,R | R R , el cual se puede expresar como: a b a b a bH R ,R | 0 R 1000,0 R 2000,500 R R 2000

La -álgebra mínima generada por H es una -álgebra de Borel restringida a una región del plano que forma parte de todos los subconjuntos abiertos de

2 : 2 B B BB B B

Espacio probabilizableUn espacio probabilizable es una pareja (, A), donde es el espacio

muestral ligado al experimento aleatorio y A es una -álgebra sobre que constituyeun sistema de subconjuntos de .

De manera más general, un espacio probabilizable es un espacio medible, sobre el que se va a medir probabilidad, y los eventos del espacio muestral , pertenecientes a la familia A, son los conjuntos medibles.

Función de conjuntoUna función de conjunto es una regla de correspondencia m : AA que

asigna un número real m a cada conjunto Ai de una determinada colec-ción A. Esta defi nición se formaliza a través de dos condiciones que debe cumplir la función de conjunto:

a) La imagen del conjunto vacío debe ser el cero: m 0 b) Las imágenes de los conjuntos deben ser aditivas. La imagen de la unión

fi nita de conjuntos disjuntos pertenecientes al dominio de defi nición de la fun-ción, será igual a la suma de las imágenes individuales de esos conjuntos:


1.4.2FUNCIÓN

PROBABILIDAD

124

A A A B | B B B BB B B

2 C B B BB B B

a b a b a bR ,R | 0 R 2000,0 R 2000,1000 R R 2000

n n

i i i ji 1i 1

m A m A , A A , i j

Nótese que una función de conjunto es diferente de una función típica del cálculo, que se defi ne en una región del espacio n-dimensional: n

fD ; el dominio de defi nición de una función de conjunto, en cambio, es una colec-ción A de subconjuntos de un conjunto marco X, tal que a cada subconjunto

i iA X , A AA le corresponde un número real.Si la propiedad de aditividad se generaliza a colecciones infi nitas numera-

bles de conjuntos, entonces la función se denomina sigma-aditiva.

Una función de conjunto sigma-aditiva, se denomina medida de conjunto, si tal función asigna un número real no negativo a los subconjuntos Ai del con-junto dado X: i im A 0, A .

La noción intuitiva de todo esto se puede visualizar de manera muy sencilla a través de una analogía; una colección de fi guras geométricas cerradas, se toma como una colección de subconjuntos de un conjunto más general, que corresponde al plano; si a cada fi gura se le asocia su área, o a cada subconjunto se le asocia un número, entonces esas áreas o esos números cumplen con las propiedades exigidas a una medida de conjunto; la más distintiva es la propie-dad de aditividad, que en la analogía corresponde a la posibilidad de sumar las áreas de las fi guras, descontando los traslapes o intersecciones, cuando los haya.

Espacio probabilísticoUn espacio de medida es una terna (X, A, m), donde X es un conjunto cual-

quiera, A es una -álgebra sobre X y m es una medida defi nida en A.Un espacio probabilístico es una terna (, A, P) donde es el espacio

muestral ligado al experimento aleatorio, A es el conjunto de partes de , de-nominada -álgebra, y P es una función, denominada medida de probabilidad, defi nida de la -álgebra A al conjunto de los números reales en el intervalo [0,1]. Para que una medida de conjunto sea una probabilidad, lo único que se necesita es que la medida del conjunto completo sea uno.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

12

i i i ji 1i 1

m A m A , A A , i j

Función probabilidadLa probabilidad es una función de conjunto que asigna un número real entre

0 y 1, a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral , pertenecientes a la -álgebra A. Es una medida que parte de una -álgebra A de eventos de un espacio muestral y llega al intervalo real [0,1].

El dominio de la medida de probabilidad P es la -álgebra A, constituida por todos los subconjuntos del espacio muestral ; el codominio de P es el eje real y el recorrido de P es el intervalo [0,1].

La función probabilidad debe cumplir tres condiciones, denominados axio-mas de probabilidad. Si A1, A2,…, Ai,… subconjuntos del espacio muestral .

Axioma de no negatividadLa imagen de cualquier evento Ai, bajo P, es un número real no negativo:

____ (1.27)

Axioma de normatividadLa imagen del evento seguro o espacio muestral es uno:

____ (1.28)

Axioma de sigma-aditividadLa imagen de eventos mutuamente exclusivos, bajo P, es la suma de las

imágenes de los eventos individuales, bajo P:

___ (1.29)

En lenguaje llano, los axiomas de Kolmogorov se pueden expresar como:1. La probabilidad de todo evento debe ser no negativa2. Si un evento ocurre con certeza, entonces su probabilidad es uno.3. La probabilidad de un evento que es la unión de dos eventos mutuamente

exclusivos es la suma de las probabilidades individuales de esos dos eventos:

Nótese que éste fue el segundo teorema fundamental de la probabilidad. Esta propiedad aditiva de la probabilidad se satisface para cualquier número

fi nito de eventos disjuntos o incompatibles y, como propiedad sigma-aditiva, para cualquier sucesión infi nita de eventos disjuntos.

La elección de estas premisas por parte de Kolmogorov no es casual. No hay duda alguna de que él desarrolló la teoría de la probabilidad tomando como base la teoría de la medida; pero la motivación estuvo en las propieda-des de la frecuencia relativa: una fracción que está comprendida entre cero y uno; cero para el evento imposible y uno para el evento seguro, y la aditividad cuando los eventos son mutuamente exclusivos.

En lugar de éstos axiomas, se pudieron haber elegido los tres teoremas fun-damentales de la probabilidad, que en la práctica, de verdad lo fueron durante casi 300 años, pues la axiomatización de la probabilidad data apenas de 1933.


126

iP A 0

n n i jn 1n 1

P A P A A A , i j

P S 1

P A B P A P B , A B

Lo que es un hecho es que, una vez establecidas esas premisas, la probabi-lidad adquirió un carácter universal permanente, encontrando en el poder de la lógica, combinado con el de la intuición, una fuerza de expansión ilimitada. La probabilidad promueve un desarrollo matemático riguroso y no se atiene a la estadística, inherentemente incierta; sin embargo, confronta los modelos idealizados de la probabilidad pura, con los resultados empíricos de la realidad imperfecta.

El espacio muestral es la unión de todos los eventos simples: ii

e

Los eventos simples son mutuamente exclusivos: i je e , i j Por el tercer axioma: i i

ii

P e P e ;

y por el segundo: P S 1

Entonces, el tercer axioma implica que el segundo pueda escribirse como:

La base axiomática de probabilidad creada por Kolmogorov constituye el modelo teórico sobre el se trabaja; cuando entramos en el dominio del modelo, inevitablemente nos separamos, al menos temporalmente, de la realidad del fenómeno que pretendemos representar con el modelo.

En todo caso, sea cual sea el criterio de asignación de probabilidades que se adopte: clásico, frecuentista o subjetivo, la condición indispensable es que tal asignación cumpla con los tres axiomas de probabilidad, que no dependen de la forma en la que hayan sido asignadas las probabilidades. Si retomamos la analogía de las áreas de fi guras geométricas, nos percatamos fácilmente que la forma en que sean calculadas, no infl uye en el concepto de área; de manera similar, la forma en que hayamos asignado las probabilidades de los eventos, no incide en la noción de probabilidad.

Con el enfoque axiomático, a la probabilidad se le atribuye un carácter abs-tracto, sin signifi cado, a sabiendas que la probabilidad se puede percibir desde las perspectivas del jugador, del estadístico, del experto y del neófi to.

Desde punto de vista del jugador, la discriminación de casos igualmente verosímiles, resulta un tanto artifi cial, tan pronto se reconoció que la proba-bilidad a priori puede ser corroborada empíricamente. En los casos en que el experimento puede repetirse indefi nidamente, el recurso básico es la frecuen-cia relativa. En experimentos no repetitivos, quienes asignan probabilidades de manera subjetiva, solo pueden esperar a que se realice y recibir retroalimenta-ción de lo que realmente aconteció.

Si la frecuencia relativa de un evento, luego de realizar muchas pruebas, resulta de 0.467, al ser confrontada con la probabilidad del evento de 0.5, pos-tulada a priori, esta aproximación es indicativa de cercanía y conduce a una hipótesis: las frecuencias de un mismo evento aleatorio, en series numerosas de pruebas, empíricamente difi eren poco unas de otras, agrupándose la mayo-ría en torno de un valor central, que es la probabilidad del evento.

Aunque otra vez se recurre a la frecuencia relativa como medida experi-mental para calcular aproximadamente la probabilidad, ahora ya no se está aplicando una defi nición de probabilidad basada en la teoría, sino que se trata de una hipótesis, posterior a la formulación de la teoría, que permite verifi car los postulados de la teoría con los resultados de la observación.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

12

iiP e 1

Ejemplo 1.47. PROTOTIPO. Los dos posibles resultados son: a = aprobado y r = reprobado, por lo que el espacio muestral es: a,r .

Si se defi nen los eventos: yA a R r , el -álgebra queda consti-tuido como sigue: , a , r , a,r ,A,R,S A

Se genera el espacio probabilizable (, A), cuyo esquema se muestra:

Las probabilidades asignadas fueron: P A 0.63, P R 0.37 Cumplen con los tres axiomas:

Ejemplo 1.48. PRESA. Para una presa cuya cortina tiene 100 m de altura, el espacio muestral para el tirante de agua es 0,100 ; si únicamente nos interesa que el tirante no supere los 30 m, x 30 , entonces la -álgebra A�estará constituida por cuatro eventos: el vacío, el espacio muestral y los in-tervalos y0,30 30,100

A cada posible intervalo le corresponde una imagen bajo P, tal es el caso del evento B x | x 30 , o lo que es lo mismo, el intervalo 0,30 , cuya probabilidad es 0.118, conforme a lo que se había obtenido en el ejemplo 1.19

Las probabilidades asignadas fueron: P A 0.63, P R 0.37 Cumplen con los tres axiomas:

Ejemplo 1.49. FUTBOL. Según Jaime las probabilidades para el siguiente partido del Atlante son: 0.5 que gane, 0.3 que empate y 0.2 que pierda. Corro-bore que esta asignación cumple los axiomas de probabilidad.

1. P G 0.5 0, P E 0.3 0, P P 0.2 0

2. P S 1

3. G E y P G E P P 0.8; P G P E 0.5 0.3 0.8


128

1. P A 0, P R 0; 2. P 1; 3. P A R P A P R 1

1. P x 30 0.118, P x 30 0.882, 2. P 1

3. P x 30 x 30 P 0 x 100 0.118 0.882 1

G P y P G P P E 0.7; P G P P 0.5 0.2 0.7

E P y P E P P G 0.5; P E P P 0.3 0.2 0.5

P G E P P S 1; P G P E P P 0.5 0.3 0.2 1

Probabilidad de un eventoPuesto que un evento está asociado con uno o más puntos muestrales y dado

que estos puntos muestrales constituyen eventos simples y, por tanto, mutua-mente exclusivos, la probabilidad de un evento es la suma de las probabilida-des asignadas a los eventos simples con los cuales está asociado.

Si A a,b,c,d , entonces P A P a b c d y por el axioma de aditividad:

P A P a P b P c P d ____ (1.30)

La obtención de fórmulas para cálculo de probabilidades se facilita mucho al considerar eventos mutuamente exclusivos, como se podrá ver en seguida.

Probabilidad del complemento de un eventoPuesto que el evento A y su complemento Ac son eventos mutuamente ex-

clusivos: cA A ; por el axioma de aditividad: c cP A A P A P A Puesto que A y Ac son eventos colectivamente exhaustivos: cA A S , por

el axioma normativo: cP A A P S 1 ; entonces: cP A P A 1 ; por lo tanto: cP A 1 P A ____ (1.31)

También es cierto que: cP A 1 P A y por el axioma de no negatividad: cP A 0 ; por lo tanto: P A 1 . Otra vez por el axioma de no negatividad: P A 0 , por lo que la probabilidad de un evento es un número real mayor o

igual que cero y menor o igual que uno: 0 P A 1 ____ (1.32)

Nótese que éste fue el primer teorema fundamental de probabilidad.Este resultado tan obvio es de gran utilidad práctica, porque al conocer la

probabilidad de un evento, en automático se sabe la de su complemento, al restarla de uno; a veces es más fácil evaluar la probabilidad del complemento.

PROBABILIDADES DE EVENTOS

1.4.3PROBABILIDADES DE EVENTOS

12

Probabilidad de un evento imposibleEl evento imposible implica la no ocurrencia del espacio muestral: S ; por

lo que P P S . Sabiendo que P S 1 P S y por el axioma de norma-tividad: P S 1 . Entonces P S 0 y, por lo tanto: P 0 ____ (1.33)

Sin embargo, que el recíproco de este resultado no es cierto; es decir, puede haber un evento que tenga probabilidad cero, siendo absolutamente posible.

Eventos independientesLa independencia de eventos es uno de los concepto centrales en la teoría

de probabilidad y uno de sus rasgos distintivos. Aunque ésta es una propiedad que se presenta frecuentemente de manera natural en la práctica,simplifi cando el cálculo de probabilidades, su correcta interpretación y aplicación requiere de una discusión más amplia, que haremos en el capítulo 1.5.

Por el momento diremos que dos eventos son independientes, si la ocurren-cia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro; nos referiremos en principio a eventos que no están relacionados físicamente, de manera que se les puede considerar físicamente independientes; en ocasiones, lo que luce como independencia física, en ocasiones no lo es; siempre puede existir una relación física insospechada, que solo la información estadística es capaz de descubrir.

Es muy importante distinguir la diferencia entre eventos mutuamente exclu-sivos y eventos independientes; son conceptos a tal punto antagónicos, que si dos eventos son mutuamente exclusivos, no pueden ser independientes.

La única excepción se da en el caso degenerado en el que A o B, o ambos, es un evento imposible. Considere, por ejemplo que A ; entonces P A 0 A y B son mutuamente exclusivos: P A B P A P B , A B , pues P B P P B , B ; P B P B

A y B son independientes porque P A B P A P B , pues A B , P A B 0; P B P P B , 0 0

Recurriendo a una analogía geométrica, la idea de exclusión mutua se equi-para con paralelismo, en tanto que la noción de independencia en probabilidad se identifi ca con perpendicularidad. Fundados en tal equivalencia, algunos au-tores han adoptado el símbolo de perpendicularidad para denotar la indepen-dencia entre eventos. En este texto los hemos emulado: la notación A B tendrá por signifi cado que los eventos A y B son independientes. Cabe decir que el símbolo de paralelismo no se usa para los eventos excluyentes, porque para ellos ya existe una notación muy clara que los defi ne: A B

La ausencia de intersección si nos indica la imposibilidad de independen-cia; pero la existencia de intersección, no permite concluir nada respecto a si los eventos son o no independientes.

En problemas en los que los eventos parecen no estar relacionados físi-camente, conviene en principio suponer independencia, a reserva de que se pruebe lo contrario.


130

Probabilidad conjunta de eventos independientesLa probabilidad conjunta de dos eventos A y B es la probabilidad de su

intersección: P A B , es decir, es la probabilidad de que los dos eventos ocurran conjuntamente.

La probabilidad conjunta de dos eventos independientes A y B es igual al producto de sus probabilidades individuales. A B P A B P A P B ____ (1.34)

Esta expresión para calcular la probabilidad conjunta de eventos indepen-dientes, se conoce como ley de multiplicación de probabilidades para eventos independientes, ofreciendo una defi nición alternativa para independencia entre eventos: dos eventos A y B son independientes, si la probabilidad conjunta es el producto de sus probabilidades individuales.

Nótese que éste fue el tercer teorema fundamental de probabilidad.La ocurrencia conjunta de eventos no signifi ca ocurrencia simultánea, pues

los eventos pueden ocurrir conjuntamente, desfasados en el tiempo.Si los eventos A y B se consideran independientes por no estar relacionados

físicamente y si las probabilidades P(A) y P(B) son conocidas, entonces su producto se puede asignar como valor de la probabilidad conjunta P A B .

Si se conocen las probabilidades individuales P(A) y P(B) y la probabili-dad conjunta P A B , al comparar ésta con el producto de las dos primeras, cuando existe coincidencia, se asegura que los eventos son independientes, y cuando hay diferencia, hay indicio de que los eventos son dependientes.

Generalizando, los eventos A1, A2,…, An son mutuamente independientes, si y sólo si, la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad de ocurren-cia de los otros, ni las de sus ocurrencias conjuntas; esto es:

i n i i n i ni n i n

P A | A P A , i n, P A | A P A , P A 0

,

considerando todas las posibles intersecciones de 2 en 2, de 3 en 3,…, de n-1 en n-1. Este resultado se traduce en lo que se conoce como la ley de multipli-cación de probabilidades para varios eventos independientes. Si los eventos son mutuamente independientes, su probabilidad de ocurrencia conjunta es el producto de sus probabilidades individuales de ocurrencia.

n n

i ii 1i 1

P A P A

____ (1.60’)


1

Probabilidad implicadaSi un evento A es subconjunto de otro evento B: A B . El evento A B , satisface la igualdad: A A B A A A B S A B A B pero como A B , entonces A B B , de modo que se puede escribir:

B A A B y P B P A A B .

Los eventos y ( )A A B son mutuamente exclusivos: A A B , y por el axioma de aditividad: üüüü , y por el axioma de no negatividad: P A B 0

Por lo tanto: P A A B P A , que es lo mismo que: P B P A . En resumen: A B P A P B ____ (1.35)

Otro resultado inmediato que se desprende del anterior es el siguiente: üüüü ____ (1.35’)

La implicación práctica de este resultado es que cuando ocurre el evento A, de manera automática ocurre el evento B, por lo que el evento B es al menos tan probable como lo es el evento A.

Ley de adición de probabilidadesSean los eventos A y B mutuamente exclusivos o no. Consideremos los

eventos 0 0A A B B A B y

0A A A B , por ende: 0P A P A A B ;pero 0A A B y por el axioma de aditividad:

0 0üüüü , por ende: 0P A P A P A B

0B B A B , por ende: 0P B P B A B ;


132

pero 0B A B y por el axioma de aditividad: 0 0P B A B P B P A B , por ende: 0P B P B P A B

0 0A B A B A B por lo que: 0 0P A B P A B A B pero 0 0 0 0A B , A A B , B A B , y por el axioma de aditividad: 0 0 0 0P A B P A B A B P A P B P A B ;sustituyendo: P A B P A P A B P B P A B P A B

obteniendo: P A B P A P B P A B ____ (1.36)

Este resultado se conoce como ley de adición de probabilidades, la cual establece que la probabilidad de ocurrencia de al menos uno de dos eventos es la suma de sus probabilidades individuales menos la probabilidad de su ocu-rrencia conjunta. Es evidente que cuando los eventos A y B son mutuamente exclusivos, la ley de adición de probabilidades se traduce en el tercer axioma de probabilidad.

Cardano fue el primero en expresar intuitivamente este resultado, en térmi-nos de casos, en vez de probabilidades. Jacob Bernoulli se percató de que la probabilidad de la unión no era la suma de las probabilidades cuando los even-tos no son mutuamente exclusivos, pero no supo explicar el por qué. Quien formuló el teorema de adición de probabilidades fue Thomas Bayes, en su obra póstuma de 1763, distinguiendo el caso de los eventos no disjuntos, a los que él llamó inconsistentes.

La ley de adición de probabilidades generaliza fácilmente por inducción

matemática. Dados los eventos A1, A2,… An, la probabilidad de su unión es:

n n

i i i j i j l 1 2 ni 1 i j n i j l ni 1

P A P A P A A P A A A ... P A A ... A

(+), si n es par; (), si n es impar. Para n = 1:

1 1

i i 1 1i 1i 1

P A P A ; P A P A

Para n = 2:

2 2

i i i j 1 2 1 2 1 2i 1 i j 2i 1

P A P A P A A ; P A A P A P A P A A

Para n = k: considerando k par y suponiendo cierto que:

k k

i i i j i j l 1 2 ki 1 i j k i j l ki 1


Para n = k + 1: (k + 1 resulta impar)

k 1 k k k

i i k 1 i k 1 i k 1i 1 i 1 i 1 i 1

P A P A A P A P A P A A

k k

i k 1 i k 1i 1 i 1

P A P A P A A

k k

i k 1 i k 1 i j k 1 1 2 k 1i 1 i j ki 1

P A A P A A P A A A ... P A A ... A


1

Sustituyendo yk k

i i k 1i 1 i 1

P A P A A

por sus respectivos desarrollos:

k 1 k

i i i j i j l 1 2 ki 1 i j k i j l ki 1


k

k 1 i k 1 i j k 1 1 2 k 1i 1 i j k

P A P A A P A A A ... P A A ... A

k 1 k k

i i k 1 i j i k 1i 1 i j k i 1i 1

P A P A P A P A A P A A

i j l i j k 1 1 2 ki j l k i j k

P A A A P A A A ... P A A ... A

k 1 k 1

i i i j i j l 1 2 k 1i 1 i j k 1 i j l k 1i 1


A manera de ejemplo, considere ley de adición de probabilidades para tres eventos cualesquiera A, B y C: P A B C P A P B P C P A B P A C

P B C P A B C

Desigualdad de BooleCuando los eventos son mutuamente exclusivos: A B , la probabilidad

conjunta es nula: P A B P 0 y la expresión (1.36) se reduce al axioma de aditividad: P A B P A P B

En todo caso, por el axioma de no negatividad: P A B 0 , por lo que la ley de adición de probabilidades verifi ca la inecuación conocida como desigual-dad de Boole: P A B P A P B ____ (1.37)

Obviamente, también se cumple la desigualdad de Boole, en su forma gene-

ralizada: n n

i ii 1i 1

P A P A

Ejemplo 1.50. SERVICIOS DE TELECOMUNICACIONES. Los usuarios de la compañía Telex tienen contratado además del servicio de telefonía local, algunos otros servicios: 9 de cada 20 usuarios tienen cobertura ilimitada en llamadas de larga distancia nacional (N), 1 de cada 4 tienen cobertura ilimitada en llamadas de larga distancia a nivel mundial (M), 3 de cada 10 cuentan con conexión a Internet de banda ancha (I) y 1 de cada 5 cuentan con señal de tele-visión satelital (T). No hay usuarios con señal de televisión que no cuenten con larga distancia; el 12% tienen señal de televisión y larga distancia nacional, el 20% tiene Internet, pero no señal de televisión, el 23% no tiene larga distancia ni Internet, el 5% cuenta con larga distancia mundial, televisión satelital, pero no Internet y el 7% tiene larga distancia mundial e Internet, pero no señal de televisión.


134

Sean los eventos: larga distancia nacionalN , P N 9 / 20 0.45

larga distancia mundialM , P M 1 / 4 0.25

Internet de banda anchaI , P I 3 / 10 0.30

televisión satelitalT , P T 1 / 5 0.20

Si se elige un usuario al azar, cuál es la probabilidad de que:a) no tenga servicio de larga distancia P L 1 P L ; P L P N M P N P M 0.45 0.25 0.70

P L 1 0.70 0.30

b) tenga larga distancia pero no Internet P I L ?, I I L I L , P I P I L I L P I L P I L

P I 1 P I 1 0.30 0.70; P I L P I P I L 0.70 0.23 0.47

c) tenga al menos uno de los servicios P I L T P I P L P T P I L P I T P L T P I L T

P I L ?, L I L I L , P L P I L I L P I L P I L

P I L P L P I L 0.70 0.47 0.23

P I T ?, I I T I T , P I P I T I T P I T P I T

P I T P I P I T 0.30 0.20 0.10

P L T ? T L T L T , P T P L T L T P L T P L T

P L T P T P L T 0.20 0 0.20

P I L T ? I T I L T I L T , P I T P I L T I L T P I T P I L T P I L T , P I L T P I T P I L T 0.10 0 0.10

P I L T 0.30 0.70 0.20 0.23 0.10 0.20 0.10 0.77

d) no tenga ninguno de los servicios P I L T P I L T 1 P I L T 1 0.77 0.23


1

e) solo tenga larga distancia P I L T ? I T I L T I L T , P I T P I L T I L T

P I T P I L T P I L T , P I L T P I T P I L T

P I T P I T 1 P I T , P I T P I P T P I T 0.30 0.20 0.10 0.40

P I T 1 0.40 0.60, P I L T 0.60 0.23 0.37

f) tenga larga distancia nacional e Internet, pero no señal de televisión P I N T ? I T I N T I M T I L T

P I T P I N T I M T I L T P I N T P I M T P I L T

P I N T P I T P I M T P I L T , L T I L T I L T

P L T P I L T I L T P I L T P I L T

P I L T P L T P I L T , L L T L T , P L P L T L T

P L P L T P L T , P L T P L P L T 0.30 0 0.30

I L T 0.30 0.23 0.07, P I N T 0.20 0.07 0.07 0.

g) solo tenga larga distancia mundial P I M T ? I L T I N T I M T , P I L T P I N T I M T

P I L T P I N T P I M T , P I M T P I L T P I N T

P I N T ? N T I N T I N T , P N T P I N T I N T

P N T P I N T P I N T , P I N T P N T P I N T

N N T N T , P N P N T N T P N T P N T

P N T P N P N T 0.45 0.12 0.33, P I N T 0.33 0.06 0.27

P I M T 0.37 0.27 0.10

Ejemplo 1.51. DEFECTUOSOS. En una muestra de 200 tornillos producidos por la fábrica Tor hubo 7 con defectos en la cuerda, 11 con dimensiones fuera de tolerancia, y de estos dos conjuntos, hubo 5 con ambos defectos. Si se elige un tornillo aleatoriamente, calcule la probabilidad de que:


136

Sean los eventos: defecto en cuerdaC

dimensiones fuera de toleranciaF

a) tenga ambas clases de defectos

N C F 5P C F 0.025N 200

b) esté defectuoso

N C N C N C FP C F P C P F P C F

N N N

7 11 5 13 0.065

200 200 200 200

c) no tenga defecto alguno P C F P C F 1 P C F 1 0.065 0.935

Ejemplo 1.52. RÍOS CONTAMINADOS. El río Papaloapan se alimenta de los ríos Santo Domingo y Valle Nacional; a su vez, los afl uentes del Santo Domingo son los ríos Grande y Salado, como se aprecia en el esquema de la fi gura. Las probabilidades de que estén contaminados los ríos Grande, Salado y Valle Nacional son 1/6, 1/5 y 1/4, respectivamente y se supone que los com-portamientos de los ríos Grande y Salado son independientes, al igual que los de los ríos Valle Nacional y Santo Domingo.

Se pide determinar la probabilidad de que el río Papaloapan esté contami-nado.


1

Sean los eventos: P = Papaloapan contaminado V = Valle Nacional contaminado; P(V) = 1/4 D = Santo Domingo contaminado G = Grande contaminado; P(G) = 1/5 S = Salado contaminado; P(S) = 1/6

Si el río Grande o el Salado están contaminados, el Santo Domingo también lo está. Es claro que los eventos G y S son independientes física y estadística-mente: G S

P D P G S P G P S P G S P G P S P G P S

1 1 1 1 1 1 1 6 5 1 10 15 6 5 6 5 6 30 30 30 3

Si el río Valle Nacional o el Santo Domingo están contaminados, el Pa-paloapan también lo está. Es claro que los eventos V y D son independientes física y estadísticamente: V D

P P P V D P V P D P V D P V P D P V P D

1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 6 14 3 4 3 4 3 12 12 12 2

Ejercicio 1.53. CIRCUITO ELÉCTRICO.

En el circuito esquematizado en la fi gura, los 3 interruptores funcionan in-dependientemente, con la misma probabilidad de falla p.

Se pide determinar la probabilidad de que fl uya corriente de la terminal 1 a la 2, expresada como una ecuación en p, simplifi cada al máximo.

Sea el evento: Ci = Interruptor i cerrado; P(Ci) = p Ai = Interruptor i abierto; P(Ai) = 1 - p F = hay fl ujo de corriente entre 1 y 2Considerando eventos mutuamente exclusivos:

P F P C C C C C A C A C A C C C A A A C A A A C

P C P C P C 3P C P C P A 3P C P A P A

3 2 2 2 3 2 21 p 3 1 p p 3 1 p p 1 3p 3p p 3p 1 2p p 3p 1 p

2 3 2 3 2 3 31 3p 3p p 3p 6p 3p 3p 3p 1 p

Por la ley de adición de probabilidades: 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3P F P C C C P C P C P C P C C P C C P C C P C C C

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C P C

2 3 2 2 33 1 p 3 1 p 1 p 3 3p 3 1 2p p 1 3p 3p p

31 2 31 P A A A 1 P A P A P A 1 ppp 1 p

Por complemento: 3

1 2 3P F 1 P A A A 1 P A P A P A 1 ppp 1 p


138

La mayor parte de los problemas que involucran probabilidades se pueden resolver de varias maneras, todas igualmente válidas; a quien le toca obtener la solución de un problema particular, le puede parecer que una forma es más sencilla que otra, sin que sea necesariamente la más corta. Un ejemplo de esto es el ejercicio anterior, resuelto por tres procedimientos distintos, con la idea de que los lectores se percaten lo útil que es el recurso de darle la vuelta al problema; si no quiere salir de una manera, intentarlo por otro camino, y si no, por otro más.

Red de ganadores

Una supuesta empresa especializada en pronósticos deportivos ofrece a cada uno de sus clientes, por la módica suma de $500, enviarles vía correo electrónico, el vaticinio sobre el ganador de un determinado evento deportivo específi co, que tendrá lugar el siguiente fi n de semana; con la garantía de la devolución total de su dinero, si la predicción no es acertada. A la empresa no le importa que hace el cliente con ese pronóstico, pero aunque no sea su propósito, lo induce a apostar en favor del vaticinio, la cantidad que él quiera y donde él quiera.

Si cada semana la empresa recibe en promedio 300 solicitudes de pronós-tico, el acumulado medio semanal es de $150,000, mismos que tendría que devolver, si su pronóstico falla. Pero ¿qué sucede, si la empresa le da un pro-nóstico a la mitad de sus clientes y a la otra mitad le da el pronóstico contrario?

Nos percatamos de que en esta red de ganadores, lo único seguro es que ningún cliente gana, que la mitad de ellos pierde $500 cada uno, por haber recibido el pronóstico acertado y la que gana siempre es la empresa.

Para enrolar a más personas en el embuste, la empresa se puede dar el lujo de ofrecer la devolución de $750 en vez de los $500 de la apuesta, si el pronós-tico es fallido; y la empresa de todas maneras gana, pues se queda con $250 de cada cliente “satisfecho”, $37,500 a la semana, $150,000 al mes. Gran nego-cio; desde luego, fraudulento.

Paradoja de las tres puertasTambién conocido como el problema de Monty Hall, pues este conductor

de televisión fue quien lo presentó en su programa “Let’s Make a Deal”. Supón que estás participando en un concurso televisivo frente a tres puertas cerradas; se sabe que detrás de una de ellas hay un automóvil, mientras que tras las otras dos hay sendas cabras. El presentador te pide que elijas una de las tres puertas y te dice que te llevarás lo que hay detrás de la puerta elegida. Cuando tú ya has elegido una puerta, deseoso de ganarte el coche, el presentador abre una de las otras dos puertas y detrás de ella hay una cabra; es claro que tras las dos puertas cerradas está el automóvil y la otra cabra, y tú ya elegiste una de ellas. En ese momento el presentador te preguntará si quieres cambiar de puerta o quedarte con la elegida inicialmente. ¿Qué debes hacer? ¿Cambias a la otra puerta o te quedas con la que habías seleccionado inicialmente? ¿Te trae algún benefi cio hacer un cambio de elección?

PROBLEMAS CLÁSICOS

1.4.4PROBLEMASCLÁSICOS

1

Muchas personas consideran que la probabilidad inicial de 1/3 se modifi ca a 1/2, cuando se descubre una puerta con una cabra; por lo tanto piensan que modifi car tu elección no aumentaría tus posibilidades de ganar el automóvil. Sin embargo, ese razonamiento es incorrecto, ya que el cambio de puerta in-crementa tus posibilidades de ganar el coche a 2/3. Cuando se publicó por primera vez esta solución en la revista “Parade”, hubo muchos lectores, algu-nos de ellos con doctorado, que escribieron a los editores para decirles que tal solución estaba equivocada. Y es que el jueguito parece ser una afrenta total al sentido común.

La solución se basa en que el presentador siempre abre una puerta, que escoge entre las dos restantes, después de que tú has hecho tu elección, y tras esa puerta que abre, siempre hay una cabra; además, siempre ofrece hacer el cambio y no como estrategia usada a su conveniencia. En primera instancia teníamos 3 puertas, por lo que la probabilidad de que el coche estuviera detrás de la puerta que tu selecciones es de 1/3, mientras que la probabilidad de que esté detrás de alguna de las otras dos puertas es de 2/3. Luego, cuando el con-ductor abre una puerta en la que hay una cabra, la probabilidad de coche en esa puerta es cero, por lo que la probabilidad de 2/3 la tiene la puerta cerrada que no elegiste.

Hay que entender muy claramente que tu cambio de elección no garantiza que ganarás el auto; solamente incrementa tus posibilidades. Si te lo ganas, nadie te podría decir nada, pero si lo pierdes, la gente y hasta tu mismo dirán: ¿por que cambiaste tu elección? Tu respuesta es: porque con ella tenía mayores probabilidades.

Paradoja del cumpleaños¿Cuál tendría que ser el tamaño mínimo de un grupo de personas, para que

la probabilidad de haya al menos dos de ellas que cumplan años el mismo día, sea superior al 50%?

Si las personas del grupo son demasiado pocas, comparadas con los 365 días del año, pareciera que no cabría esperar repeticiones. Claro que sería di-fícil esperar repetición de un día de cumpleaños específi co, pero si la coinci-dencia puede darse entre cualesquiera parejas de personas, a mayor número de personas, mayor número de parejas posibles y mayor número de posibilidades de coincidencia.

Considerando las combinaciones de n personas tomadas de dos en dos, ten-dríamos que: En una pareja sólo hay 1 posibilidad entre 365, de que su cum-pleaños coincida; en un grupo de tres personas, se pueden formar tres parejas, por lo que son 3 las posibilidades de coincidencia; cuando el grupo es de cua-tro, las posibilidades suben a 6; y con un grupo de diez, llegan a 45; cuando el grupo es de 23 personas, se pueden formar 253 parejas distintas y, por tanto existen 253 posibilidades de cumpleaños coincidentes, y con un grupo de 46 personas, las posibilidades son ya de más de 1000 parejas distintas.

A = {Hay al menos dos personas del grupo que cumplen años el mismo día}Ac = {Todas las personas del grupo cumplen años en un día diferente}


140

Este es uno de esos problemas en que es más fácil calcular la probabilidad del evento complementario. Usando el criterio de asignación a priori, de casos favorables entre casos totales, tenemos:

Número de casos totales con n personas en el grupo: N = (365)n Número de casos favorables de no coincidencia: N(Ac) = 365x364x363x…

x(365-n+1)

Podemos establecer una fórmula de recurrencia, para calcular el valor para cada n: c c

n n

365 364 363 365 n 1 365 n 1P A ... P A365 365 365 365 365

La paradoja del cumpleaños fue planteada en la “American Mathematical Monthly”, en 1938; se trataba de calcular la probabilidad de que en un grupo de personas dos o más de ellas cumplieran años el mismo día. Si el grupo está formado por 23 personas la probabilidad es de 50.7%. Si el grupo es de 60 o más personas, la probabilidad es mayor del 99%. Y obviamente para un grupo de 366 personas la probabilidad es del 100%, considerando años bisiestos.

En sentido estricto ésta no es una paradoja, ya que no hay contradicción lógica alguna; es una verdad matemática que contradice el sentido común; en general la gente estima que esta probabilidad es mucho más baja, y que hacen falta muchas más personas para alcanzar una probabilidad del 50%.

No hay que malinterpretar lo que dice esta paradoja. Si llegas a un lugar en el que hay 22 personas, la probabilidad de que cualquiera de ellas cumpla años el mismo día que tú, no es del 50%, sino mucho más baja: menos del 6%, porque sólo hay 22 parejas posibles; tendría que haber 253 personas para que hubiera más de un 50% de probabilidades de coincidencia con tu cumpleaños.

B = {Probabilidad de coincidencia con tu cumpleaños}

n 22, P B 0.0586; n 253, P B 0.5005 si si

PROBLEMAS CLÁSICOS

14

cn

365 364 363 ... 365 n 1P A

365

cn n

P A 1 P A

n

c 364P B 1 P B 1365

1.4 probabilidad medida de -...

Documents