Funcin matemtica 1

Funcin matemtica

En la imagen se muestra una funcin entre un conjunto de polgonos y unconjunto de nmeros. A cada polgono le corresponde su nmero de lados.

Una funcin vista como una caja negra, que transforma losvalores u objetos de entrada en los valores u objetos de

salida

En matemticas, se dice que una magnitud ocantidad es funcin de otra si el valor de laprimera depende exclusivamente del valor de lasegunda. Por ejemplo el rea A de un crculo esfuncin de su radio r: el valor del rea esproporcional al cuadrado del radio, A = r2. Delmismo modo, la duracin T de un viaje de trenentre dos ciudades separadas por una distancia dde 150 km depende de la velocidad v a la que estese desplace: la duracin es inversamenteproporcional a la velocidad, d / v. A la primeramagnitud (el rea, la duracin) se la denominavariable dependiente, y la cantidad de la quedepende (el radio, la velocidad) es la variableindependiente.

En anlisis matemtico, el concepto general defuncin, aplicacin o mapeo se refiere en a unaregla que asigna a cada elemento de un primerconjunto un nico elemento de un segundoconjunto (correspondencia matemtica). Porejemplo, cada nmero entero posee un nicocuadrado, que resulta ser un nmero natural(incluyendo el cero):

... 2 +4, 1 +1, 0 0,

+1 +1, +2 +4, +3 +9, ...

Funcin matemtica 2

Esta asignacin constituye una funcin entre el conjunto de los nmeros enteros Z y el conjunto de los nmerosnaturales N. Aunque las funciones que manipulan nmeros son las ms conocidas, no son el nico ejemplo: puedeimaginarse una funcin que a cada palabra del espaol le asigne su letra inicial:

..., Estacin E, Museo M, Arroyo A, Rosa R, Avin A, ...

Esta es una funcin entre el conjunto de las palabras del espaol y el conjunto de las letras del alfabeto espaol.La manera habitual de denotar una funcin f es:

f: A Ba f(a),

donde A es el dominio de la funcin f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el codominio de f, susegundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un ciertoobjeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (nico) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresin essuficiente para especificar la funcin por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemploanterior, las funciones cuadrado e inicial, llmeseles f y g, se denotaran entonces como:

f: Z Nk k2, o sencillamente f(k) = k2;g: V Ap Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del espaol} y A = {Alfabeto espaol}.Una funcin puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener laimagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con suimagen como las mostradas arriba, o como una grfica que d una imagen de la funcin.

Historia

Gottfried Leibniz acu el trmino funcin enen siglo XVII.

El concepto de funcin como un objeto matemtico independiente,susceptible de ser estudiado por s solo, no apareci hasta los iniciosdel clculo en el siglo XVII.[1] Ren Descartes, Isaac Newton yGottfried Leibniz establecieron la idea de funcin como dependenciaentre dos cantidades variables. Leibniz en particular acu los trminosfuncin, variable, constante y parmetro. La notacin f(x) fueutilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en suobra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una funcin se identificaba a efectos prcticos con unaexpresin analtica que permita calcular sus valores. Sin embargo, estadefinicin tena algunas limitaciones: expresiones distintas puedenarrojar los mismos valores, y no todas las dependencias entre doscantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichletpropuso la definicin moderna de funcin numrica como unacorrespondencia cualquiera entre dos conjuntos de nmeros, que asociaa cada nmero en el primer conjunto un nico nmero del segundo.

La intuicin sobre el concepto de funcin tambin evolucion. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso fsico, de modo que su expresin algebraica capturaba la ley fsica que corresponda a este. La tendencia a una mayor abstraccin se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin

Funcin matemtica 3

expresin analtica o representacin geomtrica sencillas, o sin relacin con ningn fenmeno natural; y por losejemplos patolgicos como funciones continuas sin derivada en ningn punto.Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudioprofundo de los nmeros reales, desarrollaron la teora de funciones, siendo esta teora independiente del sistema denumeracin empleado.[citarequerida] Con el desarrollo de la teora de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgi ladefinicin actual de funcin, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, nonecesariamente numricos. Tambin se asoci con otros conceptos vinculados como el de relacin binaria.

Introduccin

Representacin grfica de la velocidad de un cuerpo acelerado a 0,66 m/s2.

Una funcin es un objeto matemtico que seutiliza para expresar la dependencia entre dosmagnitudes, y puede presentarse a travs devarios aspectos complementarios. Un ejemplohabitual de funcin numrica es la relacin entrela posicin y el tiempo en el movimiento de uncuerpo.

Un mvil que se desplaza con una aceleracin de0,66 m/s2 recorre una distancia d que est enfuncin del tiempo transcurrido t. Se dice que d esla variable dependiente de t, la variableindependiente. Estas magnitudes, calculadas apriori o medidas en un experimento, puedenconsignarse de varias maneras. (Se supone que elcuerpo parte en un instante en el que se convieneque el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse enuna tabla, anotando la distancia recorrida d en uncierto instante t, para varios momentos distintos:

Tiempo t (s) Distancia d (m)

0,0 0,0

0,5 0,1

1,0 0,3

1,5 0,7

2,0 1,3

2,5 2,0

La grfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma informacin. Cada punto de la curva rojarepresenta una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del planocartesiano. Tambin puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En estecaso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleracin est dada por la expresin:

d = 0,33 t2,donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entreambas magnitudes.

Funcin matemtica 4

Una funcin tambin puede reflejar la relacin de una variable dependiente con varias variables independientes. Si elcuerpo del ejemplo se mueve con una aceleracin constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es unafuncin entonces de a y t; en particular, d = at2/2. Las funciones tambin se utilizan para expresar la dependenciaentre otros objetos cualesquiera, no solo los nmeros. Por ejemplo, existe una funcin que a cada polgono le asignasu nmero de lados; o una funcin que a cada da de la semana le asigna el siguiente:

Lunes Martes, Martes Mircoles,..., Domingo Lunes

DefinicinLa definicin general de funcin hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos A y B, una funcin (tambin aplicacin o mapeo) entre ellos es una asociacin[2] f que acada elemento de A le asigna un nico elemento de B.Se dice entonces que A es el dominio (tambin conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es sucodominio (tambin conjunto de llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genrico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genrico b deldominio B es la variable dependiente. Tambin se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Estadefinicin es precisa, aunque en matemticas se utiliza una definicin formal ms rigurosa, que construye lasfunciones como un objeto concreto.Ejemplos Todos los nmeros reales tienen un cubo, por lo que existe la funcin cubo que a cada nmero en el dominio R

le asigna su cubo en el codominio R. Exceptuando al 0, todos los nmeros reales tienen un nico inverso. Existe entonces la funcin inverso cuyo

dominio son los nmeros reales no nulos R \ {0}, y con codominio R. Cada mamfero conocido se clasifica en un gnero, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una funcin

clasificacin en gneros que asigna a cada mamfero de la coleccin M = {mamferos conocidos} su gnero. Elcodominio de clasificacin en gneros es la coleccin G = {gneros de Mammalia}.

Existe una funcin rea que a cada tringulo del plano (en la coleccin T de todos ellos, su dominio), le asignasu rea, un nmero real, luego su codominio es R.

En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un nico voto, existe una funcin voto que asigna acada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P,y una funcin entre ellos.

Funciones con mltiples variablesExisten muchos ejemplos de funciones que necesitan dos valores para ser calculadas, como la funcin tiempo deviaje T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de nmeros realespositivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un nmero real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, unafuncin puede tener dos (o ms) variables independientes.La nocin de funcin de mltiples variables independientes no necesita de una definicin especfica separada de lade funcin ordinaria. La generalidad de la definicin anterior, en la que se contempla que el dominio sea unconjunto de objetos matemticos arbitrarios, permite omitir la especificacin de dos (o ms) conjuntos de variablesindependientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2),con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1y A2, y se denota por A1 A2.De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la funcin T, su dominio es el conjunto R+ R+, el conjunto de parejas de nmeros reales positivos. En el caso de ms de dos variables, la definicin es la misma, usando un conjunto ordenado de mltiples objetos, (a1,..., an), una

Funcin matemtica 5

n-tupla. Tambin el caso de mltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una funcindivisin puede tomar dos nmeros naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos nmerosnaturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta funcin tiene como dominio ycodominio el conjunto N N.

Notacin. NomenclaturaLa notacin habitual para presentar una funcin f con dominio A y codominio B es:

Tambin se dice que f es una funcin de A a B o entre A y B. El dominio de una funcin f se denota tambin pordom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operacin o regla que permite obtener el elemento de B asociado a uncierto a A, denominado la imagen de a.Ejemplos La funcin cubo puede denotarse ahora como f: R R, con f(x) = x3 para cada nmero real x. La funcin inverso es g: R \ {0} R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo. La funcin clasificacin en gneros puede escribirse como : M G, donde (m) = Gnero de m, para cada

mamfero conocido m. La funcin rea se puede denotar como A: T R, y entonces A(t) = rea de t = B H/2, donde t es un tringulo

del plano, B su base, y H su altura. La funcin voto se puede escribir como v: E P, donde v(a) = Partido que a vot, para cada votante a.La notacin utilizada puede ser un poco ms laxa, como por ejemplo la funcin f(n) = n. En dicha expresin no seespecifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrn dados por el contexto en elque se especifique dicha funcin. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par(a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para ms variables.Existen adems terminologas diversas en distintas ramas de las matemticas para referirse a funciones condeterminados dominios y codominios: Funcin real: f: R R Funcin compleja: f: C C Funcin escalar: f: Rn R Funcin vectorial: f: Rn Rm

Tambin las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son losnmeros naturales. Las palabras funcin, aplicacin, mapeo, u otras como operador, funcional, etc.pueden designar tipos concretos de funcin segn el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabrafuncin para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son nmeros.

Funcin matemtica 6

Imagen e imagen inversa

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unaselecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como

una funcin.

Los elementos del codominio B asociados conalgn elemento del dominio A constituyen laimagen de la funcin.

Dada una funcin f : A B, el elemento deB que corresponde a un cierto elemento adel dominio A se denomina la imagen de a,f(a).

El conjunto de las imgenes de cadaelemento del dominio es la imagen de lafuncin f (tambin rango o recorrido de f).El conjunto de las imgenes de unsubconjunto cualquiera del dominio, X A,se denomina la imagen de X.

La imagen de una funcin f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notacin conjuntista lasimgenes de f y X se denotan:

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lovotaron.

La imagen de una funcin f es un subconjunto delcodominio de la misma, pero no sonnecesariamente iguales: pueden existir elementosen el codominio que no son la imagen de ningnelemento del dominio, es decir, que no tienenpreimagen.

La imagen inversa (tambin anti-imagen opreimagen) de un elemento b delcodominio B es el conjunto de elementosdel dominio A que tienen a b por imagen.Se denota por f1(b).

La imagen inversa de un subconjuntocualquiera del codominio, Y B, es elconjunto de las preimgenes de cadaelemento de Y, y se escribe f1(Y).

As, la preimagen de un elemento del codominiopuede no contener ningn objeto o, por el contrario, contener uno o ms objetos, cuando a uno o varios elementosdel dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notacin conjuntista, se escriben:

Ejemplos

Funcin matemtica 7

La imagen de la funcin cubo f es todo R, ya que todo nmero real posee una raz cbica real. En particular, lasraces cbicas de los nmeros positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo,f1(R+) = R+.

El recorrido de la funcin inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningn nmero real x cuyo inversosea 0, 1/x = 0.

Para la funcin clasificacin en gneros se tiene:(Perro) = Canis, y 1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Como el rea es siempre un nmero positivo, el recorrido de la funcin rea A es R+. En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la funcin voto v no coincide con el codominio, ya que el

partido C no recibi ningn voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v1(Partido A) tiene 2 elementos.

Igualdad de funcionesDadas dos funciones, para que sean idnticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la mismaimagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A B y g : C D, son iguales o idnticas si se cumple: Tienen el mismo dominio: A = C Tienen el mismo codominio: B = D Asignan las mismas imgenes: para cada x A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivasLa imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vaca, o contener varios objetos del dominio. Esto dalugar a la siguiente clasificacin:

Funciones Inyectiva No inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

Se dice que una funcin f : A B es inyectiva si las imgenes de elementos distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si slo asigna imgenes idnticas a elementos idnticos:

Una funcin f : A B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algn elemento del dominio:

Funcin matemtica 8

Las funciones inyectivas no repiten las imgenes: si b = f(a), ningn otro a' tiene por imagen a b, por lo que laanti-imagen de este ltimo slo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, porlo que ninguna anti-imagen puede estar vaca. La definicin de funcin suprayectiva asume que esta tiene uncodominio especificado previamente. De lo contrario, la nocin de suprayectividad no tiene sentido.Cuando una funcin tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyeccin entre ambos conjuntos:

Una funcin f : A B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.Las funciones biyectivas constituyen un emparejamiento perfecto entre los elementos del dominio y el codominio:cada elemento en A tiene una nica pareja en B como todas las funciones, y a cada elemento de B lecorresponde uno solo en A al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva.Ejemplos. La funcin cubo f: R R es biyectiva. Es inyectiva porque dos nmeros reales que tienen el mismo cubo son

idnticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R. La funcin inverso g: R \ {0} R es inyectiva, ya que el inverso de cada nmero real no nulo es nico (1/x =

1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}. La funcin de clasificacin de mamferos : M G no es inyectiva, ya que hay mamferos distintos en el mismo

gnero (por ejemplo, (Yak) = (Toro) = Bos). Sin embargo s es suprayectiva, ya que en cada gnero demamferos hay clasificada al menos una especie de mamferos.

La funcin rea A: T R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que puedenconstruirse con facilidad tringulos distintos con el mismo rea.

En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de carasC.

Funcin matemtica 9

lgebra de funcionesCon las funciones puede realizarse una operacin de composicin con propiedades similares a las de lamultiplicacin.

Composicin de funciones

La composicin g f acta sobre el objeto xtransformndolo segn f, y despus transformando f(x)

mediante g.

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar losvalores de salida de una de ellas como valores de entrada parala otra., creando una nueva funcin.

Sean dos funciones f : A B y g : C D, tales que elrecorrido de la primera est contenido en el dominio de lasegunda, Im(f) C. Entonces puede formarse lacomposicin de g con f, la funcin g f : A D que acada a en el dominio A le asocia el elemento (g f)(a) =g(f(a)).

Es decir, la composicin g f hace actuar primero la funcin fsobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que seobtenga:

La condicin Im(f) C asegura precisamente que este segundopaso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos La imagen de la funcin inverso g es R \ {0} puesto que

todo nmero real no nulo es el inverso de otro, y por tantoest contenido en el dominio de la funcin cubo f, que es R.La composicin f g: R \ {0} R acta entonces comof(g(x)) = f(1/x) = (1/x)3 = 1/x3.

Dadas las funciones reales h1: R R y h2: R R dadaspor h1(x) = x

2 y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composicinen ambos rdenes, h1 h2 y h2 h1. Sin embargo, sonfunciones distintas, ya que:

(h1 h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1, y

(h2 h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

La funcin que clasifica los mamferos en gneros puede componerse con la funcin : G Or que clasificalos gneros de mamferos en rdenes que forman el conjunto Or. La funcin asigna a cada mamferosu orden:

( )(Humano) = (Homo) = Primate, ( )(Guanaco) = (Lama) = Artiodactyla

Funcin matemtica 10

Funcin identidadEn cualquier conjunto puede definirse una funcin identidad, que teniendo como dominio y codominio al propioconjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la funcin identidad de A es la funcin idA : A A que a cada a A le asocia idA(a) = a.Tambin se denota como IA. La funcin identidad acta como un elemento neutro al componer funciones, ya que nohace nada.

Dada una funcin cualquiera f : A B se tiene:

Es decir, dado un elemento x A, se tiene que:

Funcin inversaUna funcin puede tener inversa, es decir, otra funcin que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismomodo que un nmero multiplicado por su inverso da 1.

Dada una funcin f : A B, se dice que g : B A es la inversa o recproca de f si se cumple:

La inversa se denota por g = f1, y tanto f como f1 se dicen invertibles.No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda funcin biyectiva f es invertible, y su inversa f1 es biyectiva a su vez. Recprocamente, toda funcininvertible f es biyectiva.

La notacin para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f1(b) puede denotar tantola anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la funcin inversa de f (un elementodel dominio), en el caso de que f sea invertible.Ejemplos. La funcin exponencial h: R R, que asocia a cada nmero real su exponencial, h(x) = ex, no es invertible, ya

que no es suprayectiva: ningn nmero negativo pertenece a la imagen de h. Existe una funcin que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las

monedas de la India y Guatemala), la conversin est dada (en 2011) por:Q(r) = 0,15 rEsta funcin de cambio tiene inversa, la conversin recproca de quetzales a rupias:R(q) = 6,65 q

La funcin cubo f(x) = x3 es invertible, ya que podemos definir la funcin inversa mediante la raz cbica, f1(x) =3x.

La funcin de clasificacin en gneros : M G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada gneropueden existir varios mamferos clasificados en l.

La funcin que asigna a cada da de la semana su siguiente tiene por inversa la funcin que asigna a cada da de lasemana su antecesor:

Lunes Domingo, Martes Lunes,..., Domingo Lunes

Funcin matemtica 11

Restriccin y extensin

La funcin que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restriccinde la funcin que a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restriccin de una funcin dada es otra funcindefinida en una parte del dominio de la original,pero que acta igual que esta. Se dice tambinque la primera es una extensin de la segunda.

Dadas dos funciones f : A B y g : C D, de forma que el dominio de g sea unsubconjunto del dominio de f, C A, ycuyas imgenes coinciden en estesubconjunto:

se dice entonces que g es la restriccin de fal subconjunto C, y que f es una extensinde g.

La restriccin de una funcin f: A B a unsubconjunto C A se denota por f|C.

Representacin de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras: usando una relacin matemtica descrita mediante una expresin matemtica: ecuaciones de la forma

. Cuando la relacin es funcional, es decir satisface la segunda condicin de la definicin de funcin,se puede definir una funcin que se dice definida por la relacin, A menos que se indique lo contrario, se suponeen tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusin) y que el codominio son todos los Reales.El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la funcin.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.Ejemplo: "Para todo x, nmero entero, y vale x ms dos unidades".

Como tabulacin: tabla que permite representar algunos valores discretos de la funcin.Ejemplo:

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teora de grafos.Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Como grfica: grfica que permite visualizar las tendencias en la funcin. Muy utilizada para las funcionescontinuas tpicas del clculo, aunque tambin las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

Funcin matemtica 12

5 X

4 X

3 X

2 X

1 X

0 X

y / x -2 -1 0 1 2 3

Definicin formal. GeneralizacionesLas funciones pueden definirse en trminos de otros objetos matemticos, como los conjuntos y los pares ordenados.En particular, una funcin es un caso particular de relacin binaria, luego su esta definicin est basada en la que seadopte para las relaciones. En el enfoque extensivo se identifica una funcin con su grfica:

Una funcin es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primeracomponente:

El dominio (la imagen) de la funcin es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

En la definicin extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde est contenido elrecorrido. En algunas reas de las matemticas es importante preservar esta distincin, y por tanto se usa unadefinicin distinta:[3]

Una funcin es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que:1. G(f) A B2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a A, existe un b B tal que (a, b) G(f)3. Esta imagen es nica: si (a, b), (a, c) G(f), entonces b = c.

Con esta definicin, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide. Tambin se hablaen ocasiones de funciones parciales, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen,en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominan totales. A las funciones parcialestambin se las llama correspondencias o relaciones unvocas.

Referencias[1][1] Esta seccin est basada en[2] En general una funcin est caracterizada por una regla o mtodo que describe la asociacin entre los elementos en estos conjuntos. Sin

embargo en disciplinas ms avanzadas de las matemticas esto no siempre ocurre, como por ejemplo con las funciones de eleccin. Por ello ladefinicin general de funcin se centra en la asociacin entre los objetos, y no en la regla o algoritmo.

[3][3] Sobre la diferencia entre ambas definiciones, vase por ejemplo

Dorronsoro, Jorge; Hernndez, Eugenio (1996). Nmeros, grupos y anillos. Adison-Wesley Iberoamericana.ISBN0-201-65395-8.

Funcin matemtica 13

Enlaces externos Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre funciones. Commons The Wolfram Functions Site (http:/ / functions. wolfram. com/ ). Archivo de funciones matemticas. FooPlot (http:/ / fooplot. com/ ?lang=es). Graficador de funciones matemticas. Historia del concepto de funcin (http:/ / www. astroseti. org/ articulo/ 4379/ ). Artculo traducido de MacTutor

History of Mathematics archive.

Fuentes y contribuyentes del artculo 14

Fuentes y contribuyentes del artculoFuncin matemtica Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=76318500 Contribuyentes: .Sergio, 4lex, Aalvarez12, Acratta, Airunp, AlfonsoERomero, Antur, Ascnder, Asqueladd,Balles2601, Belgrano, Beto29, Bucephala, Carliitaeliza, Carmin, Chuffo, Cinabrium, Cobalttempest, Cratn, Ctrl Z, Daniel JG, DasAuge, David0811, Davius, DefLog, Dianai, Diegusjaimes,Digigalos, Dnu72, Dodo, Domaniom, Edmenb, Eduardosalg, Elvenbyte, Elwikipedista, Erik Jack, FAR, Farisori, Fenicio, Fibonacci, Foundling, FrancoGG, Fsd141, Gaeddal, Gato ocioso,Gengiskanhg, GermanX, Guilloip, Gtz, HUB, Haitike, HiTe, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, IrwinSantos, Isha, J.M.Domingo, JMPerez, JacobRodrigues, Jarisleif, Javier Carro,Javierito92, Jjafjjaf, Jkbw, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Juan diego perez, Julian Mendez, Kekkyojin, Kismalac, Klrinion 72, Kn, Kraton, Kved, Lauranrg, Loco91, Lt.CiberShark, Lucianobello, Lucien leGrey, Mafores, Mahadeva, Maldoror, Manolo456, Manuelt15, Manw, Marianov, Matdrodes, Merdalro, Metrnomo, Miguel2706, Moriel, Mortadelo, Mrbim, Muro de Aguas, Nicop, Nihilo, Oblongo, OboeCrack, Odranoel6211, Oscar ., Paintman, Pedvi, Petronas, PhJ, Poco a poco, Plux, Queninosta, Raulshc, Raystorm, Rehernan, Retama,Ricardogpn, Rich410, RoyFocker, Sabbut, Sgarg0, Siabef, Sking, Spirit-Black-Wikipedista, SunriseProjector, Superzerocool, Taichi, Tano4595, Technopat, Timichal, Tirithel, Tuncket, UA31,VanKleinen, Vitamine, Vivero, Wewe, XMJA, Xenoforme, Yrithinnd, Yukimy, 545 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:PolygonsFunction.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PolygonsFunction.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:User:kismalacArchivo:FunctionMachine.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunctionMachine.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: kismalacArchivo:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Licencia: Public Domain Contribuyentes:AndreasPraefcke, Auntof6, Beria, Bernd Schwabe in Hannover, Beyond My Ken, Boo-Boo Baroo, Cirt, Davidlud, Ecummenic, Eusebius, Factumquintus, FalconL, Gabor, Jianhui67, Leyo,Luestling, Mattes, Rilegator, Schaengel89, Shakko, Svencb, Tomisti, Trijnstel, 12 ediciones annimasArchivo:ConstantAcceleration.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:ConstantAcceleration.svg Licencia: Creative Commons Zero Contribuyentes: User:KismalacArchivo:VotingApplication.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:VotingApplication.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes:Toilets_unisex.svg: AIGA symbol signs collection derivative work: kismalacArchivo:InverseVotingApplication.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:InverseVotingApplication.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0Contribuyentes: Toilets_unisex.svg: AIGA symbol signs collection derivative work: kismalacArchivo:Correspon 1602.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Correspon_1602.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: HiTeArchivo:Correspon 1502.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Correspon_1502.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: HiTeArchivo:Correspon 1402.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Correspon_1402.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: HiTeArchivo:Correspon 1302.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Correspon_1302.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: HiTeArchivo:FunctionMachinesComposition.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FunctionMachinesComposition.svg Licencia: Creative Commons ZeroContribuyentes: User:KismalacArchivo:VotingApplicationRestriction.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:VotingApplicationRestriction.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike3.0 Contribuyentes: Toilets_unisex.svg: AIGA symbol signs collection derivative work: kismalacArchivo:Commons-logo.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: SVG version was created by User:Gruntand cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Funcin matemticaHistoria Introduccin Definicin Funciones con mltiples variables Notacin. Nomenclatura Imagen e imagen inversa Igualdad de funciones

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas lgebra de funciones Composicin de funciones Funcin identidad Funcin inversa Restriccin y extensin

Representacin de funciones Definicin formal. Generalizaciones Referencias Enlaces externos

Licencia