mó mdlii tdt ámodelación matemática de sistemas...

ELC-33103Teoría de Control

M d l ió M t áti d Modelación Matemática de Sistemas Físicos

Prof. Francisco M. Gonzá[email protected]

Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] © 2008

TEORÍA DE CONTROLModelación Matemática de Sistemas Físicos

http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm

1. Introducción

• En el análisis y diseño de sistemas de control, un pasosumamente importante; es la modelación matemáticasumamente importante; es la modelación matemáticadel proceso físico a ser controlado.

• La modelación consiste en la representación mediantepuna abstracción matemática de una situación físicareal.

• Siendo el modelo, la serie de ecuaciones que definenel comportamiento que se desea emular.



1. Introducción

• El proceso de crear un modelo no es sencillo.• Por el contrario en situaciones puede considerarse un• Por el contrario en situaciones puede considerarse un

proceso complejo y casi infinito que requiere seracotado.

• Se debe definir el conjunto de variables quedescriben las características dinámicas delfenómeno.

• Por ejemplo, cuando se considera un circuitoeléctrico, en éste típicamente las variables de interésson voltaje o corriente.



1. Introducción

• Las variables que definen las característicasdinámicas del sistema, están interrelacionadas entre sidinámicas del sistema, están interrelacionadas entre sia través de leyes físicas, las cuales conllevan a laformulación matemática de las ecuaciones delmodelo.

RIV =El voltaje (V) varia proporcionalmente con la

VXX proporcionalmente con la

corriente (I)

X X

X

XX

X

X

X

X

X

X



IXX

1. Introducción

• En función del fenómeno dominante, dentro delinterés, el énfasis en el modelado cambia.interés, el énfasis en el modelado cambia.

• El tipo de fenómeno puede llevar al uso deecuaciones del sistema, lineales o no lineales,, ,variantes o invariantes con el tiempo.

RIV =El voltaje (V) varia proporcionalmente con la

VXX proporcionalmente con la

corriente (I)

X X

X

XX

X

X

X

X

X

X



IXX

1. Introducción• Los modelos matemáticos pueden adoptar muchas

formas distintas.formas distintas.• La conveniencia del modelo depende de

circunstancias especificas.p f( )tv

+ −L( )

V+ −LjL( )ti LjωI

( ) ( )dt

tdiLtv = LIjV ω=



dt

1. IntroducciónSimplicidad Contra Precisión

• Mejorar a precisión de un modelo matemático• Mejorar a precisión de un modelo matemático,aumenta la complejidad.

• Debe haber un equilibrio entre simplicidad yDebe haber un equilibrio entre simplicidad yprecisión de los resultados.



1. IntroducciónSistemas Lineales• Cumple con el principio de superposición• Cumple con el principio de superposición.• Permite obtener la respuesta a varias entradas por el

calculo tratando una entrada a la vez y sumando loscalculo tratando una entrada a la vez y sumando losresultados

0.6

0.8

1

0.6

0.8

1

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )tx1( )tx2 ( ) ( ) ( )txtxtx 21 +=



( )tx ( )ty

1. Introducción

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

( ) -0 4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

0.8

1

( )tx1( )ty1

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

0.4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

( )tx2 ( )ty2 0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 1 2 3 4 5 6 71

1

1.5

2

( )y2 0 1 2 3 4 5 6 7

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

( ) ( ) ( )0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5



( ) ( ) ( )txtxtx 21 += ( ) ( ) ( )tytyty 21 +=

1. IntroducciónSistemas Lineales Invariante con el Tiempo• Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes• Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes

son contantes o son funciones solo de la variableindependiente.p

( ) ( )tftdy( ) ( )tfdty

=



1. IntroducciónSistemas Lineales Invariantes con el Tiempo• Sistemas dinámicos formados por parámetros• Sistemas dinámicos formados por parámetros

concentrados lineales e invariantes en el tiempo sedescriben mediante ecuaciones diferenciales linealesinvariantes en el tiempo (de coeficientes constantes).

LR( ) ( ) ( )tvtRi

dttdiL =+ +

( ) ( )

LR

dt ( )tv ( )ti



1. IntroducciónSistemas Lineales Variantes con el Tiempo• Sistemas dinámicos formados por parámetros• Sistemas dinámicos formados por parámetros

concentrados lineales y invariantes en el tiempo sedescriben mediante ecuaciones diferenciales linealesinvariantes en el tiempo (de coeficientes variables enel tiempo).

( ) ( ) ( ) ( )tvtitRdt

tdiL =+dt



1. IntroducciónSistemas NO Lineales• NO se aplica el principio de superposicion• NO se aplica el principio de superposicion.• La respuesta a varias entradas no puede ser obtenida

por la sumapor la suma.• Es típico de componentes saturables en sistemas

mecánicos, hidráulicos, etc.mecánicos, hidráulicos, etc.( ) ( ) ( )tAseny

dttyd

dttyd ω=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

2

2

2

2

( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) 0122

2

=+−+ xdt

tdxxdt

txd

( ) ( ) 032 tdxtxd



( ) ( ) 032 =+++ xx

dtdt

1. IntroducciónSalida

Entrada

Salida

No linealidad de Saturación

N li lid d d EntradaNo linealidad de Zona Muerta

No linealidad de



No linealidad de Ley Cuadrática

2. Respuesta Impulsiva

• Un mecanismo ampliamente aceptado en los sistemasde control, y que se ha extendido a otrasde control, y que se ha extendido a otrasespecialidades, para la modelación de los sistemaslineales, es el uso de la función de transferencia.

• La clásica forma de la función de transferencia,efectúa la relaciones entre las variables de entrada-salida del sistema.




• Una forma de obtener la función de transferencia deun sistema lineal, es empleando la denominadaun sistema lineal, es empleando la denominadarespuesta impulsiva o respuesta al impulso.

x(t) ( )tδ( )tδ

t




• Esto se basa en considerar un sistema lineal einvariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y lainvariante en el tiempo, cuya entrada es x(t), y lasalida es y(t).

( ) ( )( )tx ( )tySistema Lineal e Invariante

en el Tiempo




• El sistema se puede caracterizar por su respuesta alimpulso g(t), que se define como la salida del sistemaimpulso g(t), que se define como la salida del sistemacuando la entrada es un impulso unitario δ(t).

x(t) ( )δ

( )tx ( )ty

( ) ( )tδ

( )tx ( )ty

t ( ) ( )tgty =t ( ) ( )tgty




• Una vez conocida la respuesta ante la entrada deimpulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t)impulso del sistema lineal, la salida del sistema y(t)para cualquier entrada x(t) se puede encontrarmediante la función de transferencia.

( )tx ( )t( )tx ( )ty

Función de Transferencia




• En el caso más simple, de un sistema lineal einvariante en el tiempo de una entrada y una salida,invariante en el tiempo de una entrada y una salida,la función de transferencia se define como latransformada de Laplace de la respuesta al impulsocon todas las condiciones iníciales iguales a cero.

( ) ( )tgty =( ) ( )tgty

( ) ( )[ ]tgLsG =Respuesta Impulsiva

ió d f i



( ) ( )[ ]gFunción de Transferencia


• Considere que G(s) representa la función detransferencia del sistema de una entrada y una salida;transferencia del sistema de una entrada y una salida;siendo x(t) la entrada y y(t) la salida, y sea g(t) larespuesta al impulso.

( ) ( )( )tx ( )ty( ) ( )tgty =( ) ( )tgty

( ) ( )[ ]tgLsG =

Respuesta Impulsiva




( ) ( )[ ]gFunción de Transferencia


• Entonces la función de transferencia de G(s) sedefine como:

( ) ( )[ ]define como:

• La función de transferencia G(s) se relaciona con la

( ) ( )[ ]tgLsG =

La función de transferencia G(s) se relaciona con latransformada de Laplace de la entrada y la salida dela siguiente forma: ( )sY( ) ( )

( )sXsYsG =

Sistema de Control

Senal Entrada

Senal Salida

( )sX ( )sYDr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]

Copyright © 2008TEORÍA DE CONTROLModelación Matemática de Sistemas Físicos

( )sX ( )sY


• Con todas las condiciones iniciales son supuestas acero, Y(s) y X(s) son las transformadas de Laplace dey(t) y x(t) respectivamente.

( )sX ( )sY( )sG

P l f ió d f i d i

( )sG

Diagrama de bloque mostrando la función de transferencia, y señales de entrada y salida

• Pese a que la función de transferencia de un sistemalineal se define en términos de la respuesta impulsiva,en la práctica, la relación entrada-salida, de unen la práctica, la relación entrada salida, de unsistema lineal e invariante en el tiempo, en tiempocontinuo, se describe muy frecuentemente mediante

ió dif i lDr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]


una ecuación diferencial.


• Considere que la relación entrada/salida de un sistemalineal invariante con el tiempo se describe mediantelineal invariante con el tiempo se describe mediantela siguiente ecuación diferencial de n-ésimo ordencon coeficientes reales constante:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbdt

tdxbdt

txdbdt

txdbtyadt

tdyadt

tydadt

tydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1 ++++=++++−

−

−−

−

− KK

• En donde los coeficientes de las ecuación: a0, a1, a2,…an-1, y b0, b1, b2, …, bm, son reales.

( ) ( )Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]


( )tx ( )ty


• Cuando la entrada del sistema x(t) sea especificada(t≥0), las condiciones iniciales del sistema son(t≥0), las condiciones iniciales del sistema sonconocida, la respuesta del sistema y(t) para t≥0, puedeser determinada, a partir de la resolución de laecuación diferencial antes plateada.

• Este procedimiento puede ser algo consumidor detiempo, y en etapa de análisis y diseño, resulta seralgo molesto. Resolver la Ecuación Diferencial

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbtdxbtxdbtxdbtyatdyatydatyd mmnn

01

1

101

1

1 ++++=++++−−



( ) ( )txbdt

bdt

bdt

btyadt

adt

adt mmmmnnn 01110111 ++++=++++

−−−− KK


• S han desarrollado programas computacionales paraefectuar una resolución eficiente de ecuacionesefectuar una resolución eficiente de ecuacionesdiferenciales

• La filosofía básica de la teoría de control lineal es eldesarrollo de herramientas de análisis y diseño queeviten la solución exacta de las ecuacionesdiferenciales del sistema.

• Excepto en los casos en que se desea las solucionesdi i l ió d imediante simulación en computadora para examinar

la presentación final del desempeño del sistema.



2. Respuesta Impulsiva• Para obtener la función de transferencia del sistema

lineal invariante en el tiempo, representado por:lineal invariante en el tiempo, representado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbdt

tdxbdt

txdbdt

txdbtyadt

tdyadt

tydadt

tydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1 ++++=++++−

−

−−

−

− KK

• Se debe tomar la transformada de Laplace de amboslados de la ecuación y se asumen condicioneslados de la ecuación y se asumen condicionesiníciales igual a cero.

( ) ( ) ( ) ( )∑ − ±⎥⎤

⎢⎡ −

nknn

n

YtydLk

01( ) ( ) ( )∑

=

±−=⎥⎦

⎢⎣ k

knnn yssYs

dtyL

10

Condiciones i í i l l



iníciales nulas

2. Respuesta Impulsiva• Para obtener la función de transferencia del sistema

lineal invariante en el tiempo, representado por:lineal invariante en el tiempo, representado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txbdt

tdxbdt

txdbdt

txdbtyadt

tdyadt

tydadt

tydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1 ++++=++++−

−

−−

−

− KK

• Haciendo lo antes descrito resulta:( ) ( ) ( ) ( )sXbsbsbsbsYasasas mmnn 11 ++++++++ +−( ) ( ) ( ) ( )sXbsbsbsbsYasasas mmn 011011 ++++=++++ −− KK


TEORÍA DE CONTROLModelación Matemática de Sistemas FísicosTEORIA DE CONTROL

Introducción

2. Respuesta Impulsiva• La función de transferencia G(s) es la relación

entrada salida en términos de transformada deentrada salida en términos de transformada deLaplace:

( ) ( ) 011

1 bsbsbsbsY mm ++++ +

( ) ( )( ) 01

11

011

asasasbsbsbsb

sXsYsG n

nn

mm

++++++++

== −−

−

K

K

( )sX ( )sY




• La función de transferencia es una definición que soloaplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, yaplica en sistemas líneas e invariantes en el tiempo, yque no esta definida en el caso de los sistemas nolineales.

• La función de transferencia, relaciona las entradas ysalidas del sistema lineal e invariante en el tiempo, entérminos de los parámetros del sistema,

( )sX ( )sY( )sG




• Es una propiedad del sistema en sí,independientemente de la entrada o la excitación.independientemente de la entrada o la excitación.

( )sX ( )sY( )sG( )sX ( )sY( )sG

( ) 1 bbbbY mm +

( ) ( )( ) 01

11

011

1

asasasbsbsbsb

sXsYsG n

nn

mm

mm

++++++++

== −−

+−

K

K




• La función de transferencia de un sistema lineal einvariante al tiempo, es un concepto que presenta lainvariante al tiempo, es un concepto que presenta ladinámica de un sistema de ecuación algebraica, de s.

• La potencia s más alta en denominador de la funciónpde transferencia es igual al orden del término de laderivada más alta de la salida.

( )sX ( )sY( )sX ( )sY

( ) ( )( ) 1

011

1 bsbsbsbsYsGm

mm

m ++++==

+− K



( ) ( ) 011

1 asasassX nn

n ++++ −− K

3. Sistema Mecánico de Traslación

• En general este sistema consta de resorte (k), masa(M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estos(M) y amortiguador (f), aunque puede presentar estoselementos.

kResorte

k( )tx

Masa

MAmortiguador

Masa

( )tyf



Sistema Mecánico de Traslación: Masa-Resorte-Pistón


• El amortiguador es un elemento que provee fricción oamortiguamiento.amortiguamiento.

• Se desea obtener la función de transferencia, endonde la entrada x(t) = Fin es la fuerza, y la salida es( ) in , yel desplazamiento y(t).

k SALIDA

M

( )txENTRADA

Fuerza

SALIDADesplazamiento

( )tyf




'x inamortigresorte FFFMa +−−=Diagrama de Cuerpo Libre

tFr

oramortiguadFrCuerpo Libre

'y

resorteF

( )txFentradarr

=+Sentido positivo

en la dirección de la entrada



( )ent ada

3. Sistema Mecánico de Traslación• Se procede a plantear la ecuación diferencial que rige

el sistema; por la Ley de Newton se conoce:el sistema; por la Ley de Newton se conoce:

• Para el caso del resorte se tiene:inamortigresorte FFFMa +−−=

Para el caso del resorte se tiene:

( )tkyF =k ( )tkyFresorte =

( )tdyM

( )tx

( )dt

tdyffvFpiston ==( )tyf



3. Sistema Mecánico de Traslación• La fuerza de entrada es Fin = x(t), entonces resulta:

( ) dtd 2

• Aplicando la transformada de Laplace en la ecuación

( ) ( ) ( )txtkydtdyf

dttydM +−−=2

2

• Aplicando la transformada de Laplace en la ecuaciónanterior:

( ) dtd ⎤⎡⎤⎡ 2 ( ) ( )[ ] ( )[ ]txLtkyLdtdyfL

dttydML +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡2

2

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )sXskYyssYfysysYsM +−−−=−− 00'02



3. Sistema Mecánico de Traslación• Si las condiciones iniciales son nulas: y(0) = 0, y’(0)

= 0, entonces se tiene:0, entonces se tiene:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )sXskYssYfsYsM +−−=2

• De tal modo, la función de transferencia del sistemamecánico queda dada por:mecánico queda dada por:

( )kf

sG = 21( )

kfsMs ++2



4. Sistema Mecánico de Rotación

• El sistema mecánico de rotación consiste de unacarga inercial (J) y un amortiguador viscoso.carga inercial (J) y un amortiguador viscoso.

( )tω( )tT ( )

J

( )

J



Sistema Mecánico de Rotación: Momento de Inercia-Amortiguamiento Viscoso


• El sistema mecánico de rotación consiste de unacarga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguadorcarga inercial y un amortiguador viscoso. Amortiguador

Carga Inercial

( )tω( )tT

J





• El sistema mecánico de rotación consiste de unacarga inercial y un amortiguador viscoso. SALIDA

V l id d A lcarga inercial y un amortiguador viscoso. Velocidad AngularENTRADA

Torque

( )tω( )tT

J




4. Sistema Mecánico de Rotación• En este sistema, se considera que la entrada

corresponde al torque T(t), que es aplicado y la salidacorresponde al torque T(t), que es aplicado y la salidaes la velocidad angular ω(t).

• El comportamiento dinámico de este sistemapmecánico de rotación puede ser modelado por mediode las leyes de Newton aplicada al movimientocircular.

∑= TJα ∑



4. Sistema Mecánico de Rotación• En forma simple dice:(Momento de inercia) × (Aceleración angular) = (sumatoria de los torques)( ) ( g ) ( q )

• En este sistema, existe el torque aplicado Tin(t), yademás los torques asociados a la masa Tmasa(t), y eltorque asociado al amortiguador Tamortig(t):

amortigmasain TTT +=• Considerando la definición de los diferentes torques:

amortigmasain

( )tdJT ω( )

( )tfTdt

JT

amortig

masa

ω=

=



( )tfamortig ω

4. Sistema Mecánico de Rotación• Siendo J el momento de inercia del cuerpo giratorio,ω su velocidad angular y f el coeficiente de fricciónω su velocidad angular y f el coeficiente de fricciónviscosa.

• Ahora se procede a sustituir las respectivasp pdefiniciones:

( ) ( )tftdJT ω+

( ) ( )tfdt

JTin ω+=



4. Sistema Mecánico de Rotación• Para obtener la función de transferencia del sistema,

se procede a calcular la transformada de Laplace ense procede a calcular la transformada de Laplace enambos lados de la ecuación anterior que describe ladinámica. ( ) ( )ftdω( ) ( )tf

dttdJTin ωω+=

[ ] ( ) ( )[ ]tfLtdJLTL ω+⎥

⎤⎢⎡

• Sea, cada una de las transformadas de Laplace:

[ ] ( ) ( )[ ]tfLdt

JLTL in ω+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

, p( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tTLs

tLs==Ω

τω



( ) ( )[ ]tTLsτ

4. Sistema Mecánico de Rotación• Se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )ssfsJs τω =Ω+−Ω 0• Asumiendo las condiciones iniciales iguales a cero;ω(0) = 0 se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( )ssfsJs τω =Ω+−Ω 0

ω(0) 0, se tiene que:

( ) ( )( ) fJssssG

+=

Ω=

1τ ( ) fJss +τ



5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieSerie• Sea un circuito RLC serie como el que se muestra en

la Figura.la Figura.

R L

+ +

C( )tvin( )tvout( )ti

− −

Sistema Eléctrico: Circuito RLC serieDr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]


Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie

5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• Sea la señal de entrada vin(t) y vout(t) el voltaje de

salida el cual es medido sobre el capacitor. SALIDAsalida el cual es medido sobre el capacitor.

R LENTRADA

VoltajeAplicado

SALIDAVoltaje

en el Capacitor

+ +

Aplicado

C( )tvin( )tvout( )ti

− −

Sistema Eléctrico: Circuito RLC serieDr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected]


Sistema Eléctrico: Circuito RLC serie

5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• Se procede a establecer la ecuación que rige el

comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.

R L( ) ( ) ( ) ( )∫++=

T

in dttiC

tRidt

tdiLtv 1

R L

+ +

Cdt0

C+

( )tvin( )tvout( )ti

− −

( ) ( )∫=T

out dttiC

tv 1



∫C0

5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• Se procede a establecer la ecuación que rige el

comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.comportamiento dinámico eléctrico de este circuito.• Para ello se toma en consideración la Ley de Voltajes

de Kirchoff.

( ) ( ) ( ) ( )∫++=T

in dttiC

tRidt

tdiLtv 1∫Cdt0

( ) ( )∫=T

dttitv 1R L

( ) ( )∫=out dttiC

tv0 C

+

( )tvin

+

( )tvout( )ti



− −

5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• Aplicando la transformada de Laplace en ambas

expresiones, y en ambos lados se tiene, y asumiendoexpresiones, y en ambos lados se tiene, y asumiendoque las condiciones iniciales son cero:

( ) ⎤⎡⎤⎡T

tdi 1( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ∫in dtti

CLtRiL

dttdiLLtvL

0

1

( )[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= ∫

T

out dttiC

LtvL 1⎥⎦⎢⎣ 0



5. Sistema eléctrico de un circuito RLC SerieRLC Serie• De tal modo resulta:

( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( )sIsC

sRIsLsIsVin1

++=

( ) ( )sIsV 1=

Fi l t d d fi id l f ió d t f i

( ) ( )sIsC

sVout =

• Finalmente queda definida la función de transferenciacomo:



6. Sistema Rotacional

• Se desea obtener un modelo dinámico para un sistemarotacional desarrollando un diagrama que muestre larotacional desarrollando un diagrama que muestre ladirección de la velocidad angular y la correspondienteexpresión para todos los torques.

• Considerando el sistema rotacional que se describe enla figura siguiente.

J

( )tTK

J

( )t1ω1J 2J

( )t2ω



2B1B


• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales (entérminos de las velocidades angulares) quetérminos de las velocidades angulares) queproporcionara un modelo valido para el sistema.

J

( )tTK

J

( )t1ω1J 2J

( )t2ω

2B1B




1J

( )tTK

2J

• Considerando la suma de los torques mediante la

( )t1ω

2B1B

( )t2ω

• Considerando la suma de los torques, mediante laaplicación de las leyes de Newton para el movimientorotacional se tiene:rotacional se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )00

21111

1 st

TdtttKtBdt

tdJtT +−++= ∫ ωωωω

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )000

12222

2 st

TdtttKtBdt

tdJ −−++= ∫ ωωωω



7. Ejemplo Sistema de Traslación

• Considerando el sistema de la Figura siguiente.

2k( )ty 2

B2B

2M

( )ty2

1k

( )1MSistema trasnacional



( )ty11de varias masas


• Escribir un conjunto de ecuaciones diferenciales paradescribir el sistema en términos del desplazamiento y1describir el sistema en términos del desplazamiento y1y y2.

• Suponer que y1 y y2 son cero en la posición de reposop q y1 y y2 p pcon todos los resortes y masas incluidos, pero f = 0.

BB

2M

2k( )ty2

2B

2B

1k



( )ty11M


• Con las posiciones de referencia determinadas talcomo se ha especificado, un desplazamiento inicialcomo se ha especificado, un desplazamiento inicialdel resorte superior produce una fuerza que es igual yopuesta a M1g + M2g, y un desplazamiento inicial delresorte inferior produce una fuerza que compensa aM1g. Así, la ecuación se expresa

( ) ( ) ( ) ( )[ ]tytyKdt

tydMtf 21121

2

1 −+=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dt

tdyBtyKtytyKdt

tydM 2221212

22

20 ++−+=



dtdt

8. Ejemplo Mecánico de Traslación

• Considere el sistema mecánico trasnacional de lasiguiente figura, donde se ha supuesto que lasiguiente figura, donde se ha supuesto que lasuperficie es libre de rozamiento.

( )txk

( )tx

MB( )tf

Sistema mecánico de traslación



Sistema mecánico de traslación

8. Ejemplo Mecánico de Traslación

• Se construye el diagrama de cuerpo libre, como semuestra a continuación.muestra a continuación.

k( )tx

MB( )tf

( )dt

tdvMt

M( )tfdt

( )tB

( ) ( )00

a

t

fdttvk +∫



( )tBv

8. Ejemplo Mecánico de Traslación• Observe que la dirección x(t) supuesta de las fuerzas

producidas por los elementos pasivos se muestran enproducidas por los elementos pasivos se muestran enuna dirección opuesta a la velocidad v(t), que se haasumido.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0s

t

fdttvKtBvd

tdvMtf +++= ∫• Donde la velocidad v(t) es la variable dependiente y

( ) ( ) ( ) ( )so

fdt

f ∫( ) p y

f(t) es una fuerza de entrada no especificada.



9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias MasasTraslación: Varias Masas• Considere un sistema mecánico de dos masas, con

acoplamiento a través de resortes y elementosacoplamiento a través de resortes y elementosviscosos.

• Se supone que no hay rozamiento asociado con lasp q ysuperficies. La suma de las fuerzas en ambas masasproporciona dos ecuaciones en términos de dosvariables dependientes.

k( )tv1 ( )tv2

1M

k

B( )tf 2M



9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias MasasTraslación: Varias Masas

( )tv1 ( )tv2

1M( )tf

( )1

dtdvM 1

1

af 2M

( )2

af dvM 221M( )f af

bf2M

bf dt2

M2M1

( ) ( )[ ] ( )021 s

t

a fdttvtvkf +−= ∫0

( ) ( )[ ]tvtvBfb 21 −=



9. Ejemplo Sistema Mecánico de Traslación: Varias MasasTraslación: Varias Masas

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )21211

1 0fdttvtvktvtvBtdvMtft

+−+−+= ∫( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

( )2

021211 0

tvd

fdttvtvktvtvBdt

Mtf

t

s+++=

∫

∫

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )22

20

2121 0dt

tvdMfdttvtvktvtvB s =+−+− ∫

1M( )tf

( )tv1

dtdvM 1

1

af

f2M

( )tv2

af

bf dtdvM 2

2

bf bf

( ) ( )[ ] ( )00

21 s

t

a fdttvtvkf +−= ∫



0

( ) ( )[ ]tvtvBfb 21 −=

10. Diagrama de Bloque

• El diagrama de un sistema es una representacióngráfica de las funciones realizadas por cadagráfica de las funciones realizadas por cadacomponente y el flujo de las señales de tal formaindica las relaciones e interacciones de loscomponentes.

• En un diagrama de bloques todas las variantes delsistema son enlazadas entre si a través de bloquesfuncionales.U bl f i l í b l d l ió• Un bloque funcional es un símbolo de la operaciónmatemática que el bloque produce en la salida, sobrela señal que tienen a la entrada



la señal que tienen a la entrada.

10. Diagrama de Bloque• Un bloque funcional es un símbolo de la operación

matemática que el bloque produce en la salida, sobrematemática que el bloque produce en la salida, sobrela señal que tienen a la entrada.

( ) SalidasY( ) ( )( ) Entrada

Salida==

sXsYsG

( )sX ( )sY

( )sG



10.1 Detector de error

• El detector de error produce una señal que es ladiferencia de entrada y la señal de realimentación deldiferencia de entrada y la señal de realimentación delsistema de control.

( )sR+

( )sE( )sR

( )sC−

( )sE

• El símbolo positivo o negativo en la punta de la flechaindica si la señal ha se ser sumada o restada.



10. Diagrama de Bloque• Un punto de bifurcación es el punto desde el cual la

señal de salida de uno o varios bloques es tomada yseñal de salida de uno o varios bloques es tomada ydesviada hacia el punto de suma.

( )sR ( )sC+ ( )sE( )sR +

−

( )sE ( )sG

( )sH



10. Diagrama de Bloque• La relación entre la señal de realimentación B(s) y la

señal de error actuante E(s) se denomina función de( ) ftransferencia de lazo abierto.

( )sR ( )sC+ ( )sE( )sR +

−

( )sE ( )sG

( )sH( )sB

( )sE( )( )sBsE




Lazo Abierto


( )sR ( )sC+ ( )sE ( )sG−

( )sH( )sB

( )sH

( )( ) ( ) ( ) AbiertoLazodeciaTransferendeFuncion == sHsG

EsB( ) ( ) ( )sE( )( ) ( ) ( )

actuanteErrorcionRealimenta de Senal

== sHsGsEsB

( )( ) ( ) Directo Paso de ciaTransferen deFuncion sGsEsC=

( ) actuanteError sE



( )sE

10. Diagrama de Bloque• La relación entre la salida C(s) y la señal de error

actuante E(s) se denomina función de transferencia.actuante E(s) se denomina función de transferencia.

( )( )sR ( )sC+

−

( )sE ( )sG−

( )sH( )sB

( ) ( ) ( )sEsGsC =

( ) ( ) ( )sBsRsE −=



( ) ( ) ( )sCsHsB =


Senal de Entrada

( ) ( ) ( )GC

( ) ( ) ( )sBsRsE −=

( )sR +

−

( )sE ( )sG

Realimentacion

( ) ( ) ( )sEsGsC =

( )sH( )sB

Realimentacion

( ) ( ) ( )sCsHsB =

( )sG( ) ( )( ) ( ) ( )sR

sHsGsGsC

+=

1



11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbaciónuna Perturbación

( )sN

( )sR + ( )sE ( )sC+( )sG2

+

( )sG1

−

( )sH

• Cuando un sistema lineal están presente dos o masseñales cada entrada puede ser tratadai d di t t d l t d lindependientemente de la otra o se pueden sumar lassalidas correspondientes a cada una de las entradasindependientes para obtener la salida total.



p p

11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbaciónuna Perturbación• Sea CN(s) la respuesta producida solo por la

perturbación.perturbación.( )( )

( )( ) ( ) ( )sHsGsG

sGsNsCN 2

1+=

• Por otra parte, sea CR(s) la salida debido solamente ala entrada R(s).

( ) ( ) ( ) ( )sHsGsGsN 211+

la entrada R(s).( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )sHsGsG

sGsGsRsCR

21

21

1+=( ) ( ) ( ) ( )sHsGsGsR 211+



11. Sistema de Lazo Cerrado Sometido a una Perturbaciónuna Perturbación• Finalmente, se tiene: ( ) ( ) ( )sCsCsC NR +=

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]sNsRsG

sHsGsGsGsC +

+= 1

21

2

1 ( ) ( ) ( )21



12. Reducción de Diagramas de Bloques

• Se pueden conectar los bloques en serie solamente sila salida de un bloque no es afectada por la del bloquela salida de un bloque no es afectada por la del bloquesiguiente.

• Si hay efectos de carga entre los componentes, esy g p ,necesario combinarlos en un bloque único.

• Cualquier cantidad de bloques en cascada querepresenten componentes sin carga puede sustituirsecon un solo bloque, cuya función de transferencia seai l l d d l f i dsimplemente el producto de las funciones de

transferencia individuales.




• La función de transferencia puede ser obtenidaeliminando la salida y entrada intermedia.eliminando la salida y entrada intermedia.

( )sX1 ( )sX 3( )sX 2

• Por definición de conoce que:

( ) ( )sX 2 ( ) ( )sXG 3

• De tal modo que se desea estimar una función de

( ) ( )( )sXsXsG

1

21 = ( ) ( )

( )sXsG

2

32 =

• De tal modo que se desea estimar una función detransferencia correspondiente a la asociación de losdos bloques en cascada.



dos bloques en cascada.


( )sX1 ( )sX 3( )sX 2

( ) ( )( )XsX

sG 3=( ) ( )sX1

( ) ( ) ( )sGsGsG 21=( ) ( ) ( )21

( )sX 3( )sX1




• En el caso de un diagrama de bloques complicado(como son normalmente lo sistemas reales) que(como son normalmente lo sistemas reales) quecontenga muchos lazos de realimentación, el procesode simplificación se realiza mediante unreordenamiento paso a paso mediante las reglas delálgebra de los diagramas de bloques.

• Algunas de estas reglas importantes aparecen en laTabla siguiente, sin embargo, todas son simplepropiedades de señales que son fácilmentepropiedades de señales que son fácilmentededucibles.




Diagrama de bloque original Diagrama de bloques equivalente

A BAG −G A G+

GBA−

BAGA+−

B

A G

G1

−

GB

BAG −

G1

A AGG A AGG

AG G AG

A AGG A AGG

11A A

G1G1AG

A B1G−

+A B1G

−

+G1

1

1GA 2G

2G 2G

A B1G−

+

21

1

1 GGG

+A B



2G 2G211 GG+


• Se pueden representar en un único bloque cualquiercantidad de bloques en cascada que representencantidad de bloques en cascada que representencomponentes que no carga, cuya función detransferencia es simplemente el producto de lasfunciones de transferencias individuales.– Al simplificar bloques se puede tomar en cuenta:– El producto de las funciones de transferencia en la

dirección de alimentación directa debe mantenerseconstante.

– El producto de las funciones de transferencia alrededor dellazo debe mantenerse constante.



13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de OgataTomado de Ogata

• Considere el sistema que aparece representado en elsiguiente diagrama de bloques.siguiente diagrama de bloques.

2H

C−

+2G 3G

+

+

R +

− 1G+

1H



13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de OgataTomado de Ogata• Se desea efectuar la reducción del diagrama de

bloques.bloques.• Inicialmente se procede a mover el punto de suma del

lazo de realimentación negativa que contiene H2,g q 2,hacia fuera del lazo de realimentación positiva quecontiene H1. 2

GH

C−

+2G

1G

3G+

+

R +

− 1G++

1H



13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata• Se procede a eliminar el lazo de realimentación

positiva se obtiene:

Tomado de Ogata

positiva se obtiene:

1

2

GH

C−

1G

3GR +

21

1 HGGGG

3+− 1211 HGG−



13. Ejemplo de Reducción de Bloques: Tomado de Ogata• La eliminación del lazo que contiene H2/Gl produce:Tomado de Ogata

CR +

− 232121

321

1 HGGHGGGGG+−

C

321232121

321

1 GGGHGGHGGGGG

++−R

321232121



mó mdlii tdt ámodelación matemática de sistemas...

Documents