Funcin matemticaNo debe confundirse conFuncin (informtica).

En laimagense muestra una funcin entre un conjunto depolgonosy un conjunto denmeros. A cada polgono lecorrespondesu nmero delados.

Una funcin vista como una caja negra, que transforma los valores u objetos de entrada en los valores u objetos de salidaEnmatemticas, se dice que unamagnitudocantidadesfuncinde otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo elreaAde uncrculoes funcin de suradior: el valor del rea esproporcionalalcuadradodel radio,A=r2. Del mismo modo, la duracinTde un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distanciadde 150 km depende de la velocidadva la que este se desplace: la duracin es inversamente proporcional a la velocidad,d/v. A la primera magnitud (el rea, la duracin) se la denominavariable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es lavariable independiente.Enanlisis matemtico, el concepto general defuncin,aplicacinomapeose refiere a unareglaque asigna a cada elemento de un primer conjunto un nico elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemtica). Por ejemplo, cadanmero enteroposee un nicocuadrado, que resulta ser unnmero natural(incluyendo elcero):...2 +4,1 +1,0 0,

+1 +1,+2 +4,+3 +9,...

Esta asignacin constituye una funcin entre el conjunto de los nmeros enterosZy el conjunto de los nmeros naturalesN. Aunque las funciones que manipulan nmeros son las ms conocidas, no son el nico ejemplo: puede imaginarse una funcin que a cada palabra delespaolle asigne suletrainicial:...,Estacin E,Museo M,Arroyo A,Rosa R,Avin A,...

Esta es una funcin entre el conjunto de las palabras del espaol y el conjunto de las letras delalfabeto espaol.La manera habitual de denotar una funcinfes:f:ABaf(a),dondeAes eldominiode la funcinf, suprimerconjunto o conjunto de partida; yBes elcodominiodef, susegundoconjunto o conjunto de llegada. Porf(a) se denota la regla oalgoritmopara obtener laimagende un cierto objeto arbitrarioadel dominioA, es decir, el (nico) objeto deBque le corresponde. En ocasiones esta expresin es suficiente para especificar la funcin por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones cuadrado e inicial, llmeselesfyg, se denotaran entonces como:f:ZNkk2, o sencillamentef(k) =k2;g:VAp Inicial dep;si se convieneV= {Palabras del espaol} yA= {Alfabeto espaol}.Una funcin puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo oecuacionespara obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen como las mostradas arriba, o como unagrficaque d una imagen de la funcin.ndice[ocultar] 1Historia 2Introduccin 3Definicin 3.1Funciones con mltiples variables 3.2Notacin. Nomenclatura 3.3Imagen e imagen inversa 3.4Igualdad de funciones 4Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas 5lgebra de funciones 5.1Composicin de funciones 5.2Funcin identidad 5.3Funcin inversa 5.4Restriccin y extensin 6Representacin de funciones 7Definicin formal. Generalizaciones 8Vase tambin 9Referencias 10Enlaces externosHistoria[editar]

Gottfried Leibnizacu el trmino funcin en elsiglo XVII.El concepto de funcin como un objeto matemtico independiente, susceptible de ser estudiado por s solo, no apareci hasta los inicios delclculoen elsiglo XVII.1Ren Descartes,Isaac NewtonyGottfried Leibnizestablecieron la idea de funcin como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acu los trminos funcin, variable, constante y parmetro. La notacinf(x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut, y porLeonhard Euleren su obraCommentarii de San petersburgoen 1736.234Inicialmente, una funcin se identificaba a efectos prcticos con una expresin analtica que permita calcular sus valores. Sin embargo, esta definicin tena algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las dependencias entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837Dirichletpropuso la definicin moderna de funcin numrica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de nmeros, que asocia a cada nmero en el primer conjunto un nico nmero del segundo.La intuicin sobre el concepto de funcin tambin evolucion. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como unproceso fsico, de modo que su expresin algebraica capturaba laley fsicaque corresponda a este. La tendencia a una mayor abstraccin se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresin analtica o representacin geomtrica sencillas, o sin relacin con ningn fenmeno natural; y por los ejemplos patolgicos como funcionescontinuassinderivadaenningn punto.Durante el siglo XIXJulius Wilhelm Richard Dedekind,Karl Weierstrass,Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de losnmeros reales, desarrollaronla teora de funciones, siendo esta teora independiente delsistema de numeracinempleado.[citarequerida]Con el desarrollo de lateora de conjuntos, en los siglosXIXyXXsurgi la definicin actual de funcin, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente numricos.5Tambin se asoci con otros conceptos vinculados como el derelacin binaria.Introduccin[editar]

Representacin grficade lavelocidadde un cuerpoaceleradoa 0,66 m/s2.Una funcin es un objeto matemtico que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a travs de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de funcin numrica es la relacin entre laposiciny eltiempoen elmovimientode un cuerpo.Un mvil que se desplaza con unaaceleracinde 0,66 m/s2recorre una distanciadque est en funcin del tiempo transcurridot. Se dice quedes la variable dependiente det, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo est= 0 s.)Los valores de las variables pueden recogerse en unatabla, anotando la distancia recorridaden un cierto instantet, para varios momentos distintos:Tiempot(s)Distanciad(m)

0,00,0

0,50,1

1,00,3

1,50,7

2,01,3

2,52,0

Lagrficaen la imagen es una manera equivalente de presentar la misma informacin. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos ycoordenadasdelplano cartesiano. Tambin puede utilizarse un regla oalgoritmoque dicte como se ha de calcularda partir det. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleracin est dada por la expresin:d= 0,33 t2,donde las magnitudes se expresan unidades delSI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes.Una funcin tambin puede reflejar la relacin de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleracin constante pero indeterminadaa, la distancia recorrida es una funcin entonces deayt; en particular,d=at2/2. Las funciones tambin se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los nmeros. Por ejemplo, existe una funcin que a cadapolgonole asigna su nmero delados; o una funcin que a cada da de la semana le asigna el siguiente:Lunes Martes, Martes Mircoles,..., Domingo LunesDefinicin[editar]Ladefinicingeneral de funcin hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.Dados dosconjuntosAyB, unafuncin(tambinaplicacinomapeo) entre ellos es una asociacin6fque a cada elemento deAle asigna unnicoelemento deB.Se dice entonces queAes eldominio(tambinconjunto de partidaoconjunto inicial) defy queBes sucodominio(tambinconjunto de llegadaoconjunto final).

Un objeto o valor genricoaen el dominioAse denomina lavariable independiente; y un objeto genricobdel dominioBes lavariable dependiente. Tambin se les llama valoresde entradayde salida, respectivamente. Esta definicin es precisa, aunque en matemticas se utiliza unadefinicin formalms rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto.Ejemplos Todos losnmeros realestienen uncubo, por lo que existe la funcin cubo que a cada nmero en el dominioRle asigna su cubo en el codominioR. Exceptuando al 0, todos los nmeros reales tienen un nicoinverso. Existe entonces la funcin inverso cuyo dominio son los nmeros reales no nulosR\ {0}, y con codominioR. Cadamamferoconocido se clasifica en ungnero, comoHomo,SusoLoxodonta. Existe por tanto una funcin clasificacin en gneros que asigna a cada mamfero de la coleccinM= {mamferos conocidos} su gnero. El codominio de clasificacin en gneros es la coleccinG= {gneros deMammalia}. Existe una funcin rea que a cadatringulodel plano (en la coleccinTde todos ellos, su dominio), le asigna surea, un nmero real, luego su codominio esR. En unaseleccionesen las que cada votante pueda emitir un nico voto, existe una funcin voto que asigna a cada elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electoresEy un conjunto de partidosP, y una funcin entre ellos.Funciones con mltiples variables[editar]Existen muchos ejemplos de funciones que necesitan dos valores para ser calculadas, como la funcin tiempo de viajeT, que viene dada por el cociente entre la distanciady la velocidad mediav: cada pareja de nmeros reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un nmero real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una funcin puede tener dos (o ms) variables independientes.La nocin de funcin de mltiples variables independientes no necesita de una definicin especfica separada de la de funcin ordinaria. La generalidad de la definicin anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto deobjetos matemticos arbitrarios, permite omitir la especificacin de dos (o ms) conjuntos de variables independientes,A1yA2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de lasparejas(a1,a2), con primera componente enA1y segunda componente enA2. Este conjunto se denomina elproducto cartesianodeA1yA2, y se denota porA1A2.De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la funcinT, su dominio es el conjuntoR+R+, el conjunto de parejas de nmeros reales positivos. En el caso de ms de dos variables, la definicin es la misma, usando un conjunto ordenado de mltiples objetos, (a1,...,an), unan-tupla. Tambin el caso de mltiples variablesdependientesse contempla de esta manera. Por ejemplo, una funcindivisinpuede tomar dos nmeros naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos nmeros naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta funcin tiene como dominio y codominio el conjuntoNN.Notacin. Nomenclatura[editar]La notacin habitual para presentar una funcinfcon dominioAy codominioBes:

Tambin se dice quefes una funcin deAaB o entreAyB. El dominio de una funcinfse denota tambin por dom(f), D(f), Df, etc. Porf(a) se resume la operacin o regla que permite obtener el elemento deBasociado a un ciertoaA, denominado laimagendea.6Ejemplos La funcin cubo puede denotarse ahora comof:RR, conf(x) =x3para cada nmero realx. La funcin inverso esg:R\ {0} R, cong(x) = 1/xpara cadaxreal y no nulo. La funcin clasificacin en gneros puede escribirse como:MG, donde(m) = Gnero dem, para cada mamfero conocidom. La funcin rea se puede denotar comoA:TR, y entoncesA(t) = rea det=BH/2, dondetes un tringulo del plano,Bsubase, yHsualtura. La funcin voto se puede escribir comov:EP, dondev(a) = Partido queavot, para cada votantea.La notacin utilizada puede ser un poco ms laxa, como por ejemplo la funcinf(n) = n. En dicha expresin no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrn dados por el contexto en el que se especifique dicha funcin. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1,a2) no se denota porf((a1,a2)), sino porf(a1,a2), y similarmente para ms variables.Existen adems terminologas diversas en distintas ramas de las matemticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios: Funcin real:f:RR Funcin compleja:f:CC Funcin escalar:f:RnR Funcin vectorial:f:RnRmTambin lassucesionesinfinitas de elementos tales comoa,b,c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son losnmeros naturales. Las palabras funcin, aplicacin, mapeo, u otras como operador, funcional, etc. pueden designar tipos concretos de funcin segn el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra funcin para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son nmeros.7Imagen e imagen inversa[editar]Artculo principal:Conjunto imagen

Dado un conjunto devotantesy un conjunto de posiblepartidos, en unaselecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una funcin.Los elementos del codominioBasociados con algn elemento del dominioAconstituyen la imagen de la funcin.Dada una funcinf:AB, el elemento deBque corresponde a un cierto elementoadel dominioAse denomina laimagendea,f(a).El conjunto de las imgenes de cada elemento del dominio es laimagen de la funcinf(tambinrangoorecorridodef). El conjunto de las imgenes de un subconjunto cualquiera del dominio,XA, se denomina laimagendeX.

La imagen de una funcinfse denota por Im(f), y la de un subconjuntoXporf(X) of[X]. En notacin conjuntista las imgenes defyXse denotan:

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.La imagen de una funcinfes unsubconjuntodel codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningn elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.Laimagen inversa(tambinanti-imagenopreimagen) de un elementobdel codominioBes el conjunto de elementos del dominioAque tienen abpor imagen. Se denota porf1(b).La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio,YB, es el conjunto de las preimgenes de cada elemento deY, y se escribef1(Y).

As, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningn objeto o, por el contrario, contener uno o ms objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notacin conjuntista, se escriben:

Ejemplos La imagen de la funcin cubofes todoR, ya que todo nmero real posee unaraz cbicareal. En particular, las races cbicas de los nmeros positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo,f1(R+) =R+. El recorrido de la funcin inversogno es igual a su codominio, ya que no hay ningn nmero realxcuyo inverso sea 0, 1/x= 0. Para la funcin clasificacin en gnerosse tiene:(Perro) =Canis, y1(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}. Como el rea es siempre un nmero positivo, el recorrido de la funcin reaAesR+. En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la funcin votovno coincide con el codominio, ya que el partido C no recibi ningn voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo,v1(Partido A) tiene 2 elementos.Igualdad de funciones[editar]Dadas dos funciones, para que sean idnticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:Dadas dos funcionesf:AByg:CD, sonigualesoidnticassi se cumple: Tienen el mismo dominio:A=C Tienen el mismo codominio:B=D Asignan las mismas imgenes: para cadaxA=B, se tiene quef(x) =g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas[editar]Artculos principales:Funcin inyectiva,Funcin suprayectivayFuncin biyectiva.La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vaca, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificacin:FuncionesInyectivaNo inyectiva

Sobreyectiva

Biyectiva

No sobreyectiva

Se dice que una funcinf:ABesinyectivasi las imgenes de elementos distintos son distintas:

o, de modo equivalente, si slo asigna imgenes idnticas a elementos idnticos:

Una funcinf:ABse dicesuprayectiva(osobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algn elemento del dominio:

Las funciones inyectivas no repiten las imgenes: sib=f(a), ningn otroa'tiene por imagen ab, por lo que la anti-imagen de este ltimo slo contiene al elementoa. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vaca. La definicin de funcin suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la nocin de suprayectividad no tiene sentido.Cuando una funcin tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyeccin entre ambos conjuntos:Una funcinf:ABse dicebiyectivasi es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un emparejamiento perfecto entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento enAtiene una nica pareja enBcomo todas las funciones, y a cada elemento deBle corresponde uno solo enAal menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva.Ejemplos. La funcin cubof:RRes biyectiva. Es inyectiva porque dos nmeros reales que tienen el mismo cubo son idnticos, y es suprayectiva porque Im(f) =R. La funcin inversog:R\ {0} Res inyectiva, ya que el inverso de cada nmero real no nulo es nico (1/x= 1/yimplica necesariamente quex=y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) =R\ {0}. La funcin de clasificacin de mamferos:MGno es inyectiva, ya que hay mamferos distintos en el mismo gnero (por ejemplo,(Yak) =(Toro) =Bos). Sin embargo s es suprayectiva, ya que en cada gnero de mamferos hay clasificada al menos una especie de mamferos. La funcin reaA:TRno es sobreyectiva, ya que Im(A) =R+. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad tringulos distintos con el mismo rea. En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pincelesPy un conjunto de carasC.lgebra de funciones[editar]Con las funciones puede realizarse una operacin de composicin con propiedades similares a las de lamultiplicacin.Composicin de funciones[editar]

La composicingfacta sobre el objetoxtransformndolo segnf, y despus transformandof(x) medianteg.Artculo principal:Composicin de funcionesDadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva funcin.Sean dos funcionesf:AByg:CD, tales que el recorrido de la primera est contenido en el dominio de la segunda, Im(f) C. Entonces puede formarse lacomposicindegconf, la funcingf:ADque a cadaaen el dominioAle asocia el elemento (gf)(a) =g(f(a)).

Es decir, la composicingfhace actuar primero la funcinfsobre un elemento deA, y luegogsobre la imagen que se obtenga:

La condicin Im(f) Casegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.Ejemplos La imagen de la funcin inversogesR\ {0} puesto que todo nmero real no nulo es el inverso de otro, y por tanto est contenido en el dominio de la funcin cubof, que esR. La composicinfg:R\ {0} Racta entonces comof(g(x)) =f(1/x) = (1/x)3= 1/x3. Dadas las funciones realesh1:RRyh2:RRdadas porh1(x) =x2yh2(x) =x+ 1, puede tomarse la composicin en ambos rdenes,h1h2yh2h1. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:(h1h2)(x) =h1(h2(x)) =h1(x+ 1) = (x+ 1)2=x2+ 2x+ 1, y(h2h1)(x) =h2(h1(x)) =h2(x2) =x2+ 1 La funcinque clasifica los mamferos en gneros puede componerse con la funcin:GOrque clasifica los gneros de mamferos enrdenesque forman el conjuntoOr. La funcinasigna a cada mamfero su orden:()(Humano) =(Homo) = Primate, ()(Guanaco) =(Lama) = ArtiodactylaFuncin identidad[editar]Artculo principal:Funcin identidadEn cualquier conjunto puede definirse una funcin identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.Dado un conjuntoA, lafuncin identidaddeAes la funcin idA:AAque a cadaaAle asocia idA(a) =a.

Tambin se denota como IA. La funcin identidad acta como unelemento neutroal componer funciones, ya que no hace nada.Dada una funcin cualquieraf:ABse tiene:

Es decir, dado un elementoxA, se tiene que:

Funcin inversa[editar]Artculo principal:Funcin inversaUna funcin puede tenerinversa, es decir, otra funcin que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un nmero multiplicado por suinversoda 1.Dada una funcinf:AB, se dice queg:BAes lainversaorecprocadefsi se cumple:

La inversa se denota porg=f1, y tantofcomof1se diceninvertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:Toda funcin biyectivafes invertible, y su inversaf1es biyectiva a su vez. Recprocamente, toda funcin invertiblefes biyectiva.

La notacin para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominiob,f1(b) puede denotar tanto la anti-imagen deb(un subconjunto del dominio), como a la imagen debpor la funcin inversa def(un elemento del dominio), en el caso de quefsea invertible.Ejemplos. La funcin exponencialh:RR, que asocia a cada nmero real suexponencial,h(x) =ex, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningn nmero negativo pertenece a la imagen deh. Existe una funcin que calcula el cambio entre dosdivisas. En el caso del cambio derupiasaquetzales(las monedas de laIndiayGuatemala), la conversin est dada (en 2011) por:Q(r) = 0,15 rEsta funcin de cambio tiene inversa, la conversin recproca de quetzales a rupias:R(q) = 6,65 q La funcin cubof(x) =x3es invertible, ya que podemos definir la funcin inversa mediante la raz cbica,f1(x) =3x. La funcin de clasificacin en gneros:MGno es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada gnero pueden existir varios mamferos clasificados en l. La funcin que asigna a cada da de la semana su siguiente tiene por inversa la funcin que asigna a cada da de la semana su antecesor:Lunes Domingo, Martes Lunes,..., Domingo SbadoRestriccin y extensin[editar]Artculo principal:Restriccin de una funcin

La funcin que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restriccin de la funcin que a cada miembro del electorado le asigna su voto.La restriccin de una funcin dada es otra funcin definida en una parte del dominio de la original, pero que acta igual que esta. Se dice tambin que la primera es una extensin de la segunda.Dadas dos funcionesf:AByg:CD, de forma que el dominio degsea un subconjunto del dominio def,CA, y cuyas imgenes coinciden en este subconjunto:

se dice entonces queges larestriccindefal subconjuntoC, y quefes unaextensindeg.

La restriccin de una funcinf:ABa un subconjuntoCAse denota porf|C.Representacin de funciones[editar]Artculo principal:Representacin grfica de una funcinLas funciones se pueden presentar de distintas maneras: usando unarelacin matemticadescrita mediante unaexpresin matemtica:ecuacionesde la forma. Cuando la relacin es funcional, es decir satisface la segunda condicin de la definicin de funcin, se puede definir una funcin que se dice definida por la relacin, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusin) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama eldominio natural, de la funcin.Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.Ejemplo: "Para todox, nmero entero,yvalexms dos unidades". Comotabulacin: tabla que permite representar algunos valores discretos de la funcin.Ejemplo:

Comopares ordenados:pares ordenados, muy usados enteora de grafos.Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)} Comogrfica:grficaque permite visualizar las tendencias en la funcin. Muy utilizada para lasfunciones continuastpicas delclculo, aunque tambin las hay parafunciones discretas.Ejemplo:5X

4X

3X

2X

1X

0X

y / x-2-10123

Definicin formal. Generalizaciones[editar]Las funciones pueden definirse en trminos de otros objetos matemticos, como losconjuntosy lospares ordenados. En particular, una funcin es un caso particular derelacin binaria, luego su esta definicin est basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque extensivo se identifica una funcin con sugrfica:Unafuncines un conjuntofde pares ordenados tal que no contiene dos paresdistintoscon la misma primera componente:

Eldominio(laimagen) de la funcin es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

En la definicin extensiva no aparece el concepto decodominiocomo conjunto potencial donde est contenido el recorrido. En algunas reas de las matemticas es importante preservar esta distincin, y por tanto se usa una definicin distinta:8Unafuncines una terna de conjuntosf= (A,B,G(f)), eldominio, elcodominioy elgrafodef, tales que:1. G(f) AB2. Todo elemento del dominio tiene imagen: para cadaaA, existe unbBtal que (a,b) G(f)3. Esta imagen es nica: si (a,b), (a,c) G(f), entoncesb=c.

Con esta definicin, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide. Tambin se habla en ocasiones defunciones parciales, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominantotales. A las funciones parciales tambin se las llamacorrespondenciasorelacionesunvocas.9