FUNCIÓN LOGARÍTMICAGráfica de la función logarítmica :

a>1

0<a<1

  Estudio de la Función Logarítmica: Se llama función logarítmica a la función real de variable real :

La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R :

La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo

La función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... Debido a la continuidad de la función logarítmica, los límites de la forma

se hallan por medio de la fórmula :

LogaritmosA las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación.Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. Definición de logaritmo:

Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Que se lee: "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.La función logarítmica (o función logaritmo) es una aplicación biyectiva del conjunto de los números reales positivos, sin el cero, en el conjunto de los números reales:

Es la función inversa de la función exponencial.La operación logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1) Propiedades:

        Ecuaciones Logarítmicas:

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de logaritmación. La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas. (Principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos")

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas. Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:

Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes. Características útiles:

Si a > 1Los números menores que 1 tienen logaritmo negativoLos números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

Si 0 < a < 1Los números menores que 1 tienen logaritmo positivoLos números mayores que 1 tienen logaritmo negativo

Aplicaciones de la función logarítmica1. Magnitud de un terremotoLa escala de Richter (diseñada por el científico norteamericano C.F. Richter en el año de 1935) es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que proporcionan una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. Todos los terremotos se comparan con un Terremoto de nivel cero cuya lectura sismográfica mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100 kilómetros del epicentro. Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M(x) dada por:

Donde es la lectura de un terremoto de nivel cero a la misma distancia del epicentro. Richter estudió muchos terremotos ocurridos entre 1900 y 1950. El mayor, ocurrido en San Francisco en el año de 1906, tuvo una magnitud de 8.9 en la escala de Richter, y, el menor una magnitud de 0. Esto corresponde a una razón de intensidades de 800.000.000, así que, la escala de Richter proporciona números mucho más manejables para su trabajo.Cada unidad de incremento en la magnitud de un terremoto en la escala de Richter, indica una intensidad 10 veces mayor. Así, por ejemplo, un terremoto de magnitud 6 es 10 veces mayor que un terremoto de magnitud 5. Uno de magnitud 8, es 10 x 10 x 10 = 1000 veces mayor (en intensidad) que uno de magnitud 5. En general, puede probarse que la intensidad relativa de dos terremotos se puede determinar elevando 10 a una potencia igual a la diferencia de sus lecturas en la escala de Richter.

Función exponencial

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes.

Definición de función exponencial

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = ax, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica por cuanto se cumple que:

Representación gráfica de varias funciones exponenciales.

Función exponencial, según el valor de la base.

Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = ax, se cumplen las siguientes propiedades generales:

La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

f (0) = a0 = 1.

La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

f (1) = a1 = a.

La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

f (x + x?) = ax+x? = ax ax? = f (x) f (x?).

La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

f (x - x?) = ax-x? = ax/ax? = f (x)/f (x?).

La función ex

Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = ex. El número e, de valor 2,7182818285..., se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión:

(1 + 1/n)n

Cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos.

Ecuaciones exponenciales

Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería ax = b.

Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos:

Igualación de la base: consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes:

Ax = Ay.

En tales condiciones, la resolución de la ecuación proseguiría a partir de la igualdad x = y. Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver.

22x - 3 2x - 4 = 0 t2 - 3t - 4 = 0

Luego se deshace el cambio de variable.

Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.