Probabilidad y Estadstica Aplicada al Campo Petrolero.

Probabilidad y Estadstica Aplicada al Campo Petrolero. FUNCIN DE DENSIDADEn la teora de la probabilidad, la funcin de densidad de probabilidad, funcin de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa segn la cual dicha variable aleatoria tomar determinado valor.La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una regin especfica del espacio de posibilidades estar dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro lmite de dicha regin.La funcin de densidad de probabilidad (FDP o PDF en ingls) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.DefinicinUna funcin de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una poblacin en tanto especifica la posibilidad relativa de que unavariable aleatoriacontinuaXtome un valor cercano a x.Unavariable aleatoriaXtiene densidadf, siendofuna funcin no-negativaintegrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, siFes lafuncin de distribucin acumulativadeX, entonces:

y (sifes continua enx)

Intuitivamente, puede considerarsef(x)dxcomo la probabilidad deXdecaeren elintervaloinfinitesimal[x,x+dx].Se define como el cociente entre la probabilidad de X de tomar un valor en elintervalo[x,x+dx] ydx, siendodxuninfinitsimo.La mayora de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o ms parmetros para especificarlas totalmente.Recprocamente respecto de la definicin ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes consideraciones.La probabilidad de que una variable aleatoria continuaXquede ubicada entre los valoresaybest dada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango entreayb.

La FDP es la derivada (cuando existe) de la funcin de distribucin:

As, siFes lafuncin de distribucin acumulativadeX, entonces:

y (sifes continua enx)

Descripcin Intuitiva-PrcticaEn situaciones prcticas, la FDP utilizada se elige entre un nmero relativamente pequeo de FDP comunes, y la labor estadstica principal consiste en estimar sus parmetros.Por lo tanto, a los efectos del registro, es necesario saber qu FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentacin de evaluacin de la incertidumbre.

La definicin formal de la funcin de densidad requiere de conceptos de lateora de la medida.Si una variable aleatoriaXsigue unafuncin de probabilidadX*P sudensidadcon respecto a una medida de referenciaes laderivada de RadonNikodym

Unavariable aleatoriacontinuaXcon valores en unespacio de medida(habitualmenteRncon conjuntos Borel como subconjuntos mesurables), tiene comodistribucin de probabilidad, la medidaXPen: ladensidaddeXcon respecto a la medida de referenciasobrees laderivada de RadonNikodym.

Siendof/; toda funcin medible con la siguiente propiedad:

para todo conjunto medible.Es decir,es una funcin con la propiedad de que...

...para cada conjunto medibleA.Funciones de Distribucin de ProbabilidadA diferencia de la probabilidad, unafdppuede tomar valores mayores que uno. Por ejemplo, ladistribucin uniforme continuaen el intervalo [0,] tiene una densidad de probabilidadf(x)=2 para 0x yf(x)=0 fuera de tal intervalo.Hay que advertir que la funcin de densidad no es propiamente nica: dos funciones distintas pueden representar la misma distribucin de probabilidad si slo difieren en un conjunto de medida nulo.Adems, puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de funcin de densidad.Esto ocurre cuando, sin serdiscretas, no le asignan probabilidad positiva a algunos puntos individuales presentan conjuntos de medida nula.Esto sucede con ladistribucin de Cantorcuando se toma la de Lebesgue como medida de referencia.Cuando, como ocurre normalmente en las aplicaciones,Xes una variable aleatoria real yes lamedida de Lebesgue, la funcin de densidad es una funcin tal que

De modo que siFes lafuncin de distribucindeX, entonces

y

Intuitivamente, se puede pensar que(x)dxes la probabilidad de queXasuma valores en elintervaloinfinitesimal[x,x+dx].PropiedadesDe laspropiedades de la funcin de densidadse siguen las siguientes propiedades de lafdp(a veces visto comopdfdel ingls): para toda. El rea total encerrada bajo la curva es igual a 1:

La probabilidad de quetome un valor en el intervaloes el rea bajo la curva de la funcin de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La grficaf(x) se conoce a veces comocurva de densidad.

Algunas FDP estn declaradas en rangos dea, como la de ladistribucin normal.

FUNCIN ACUMULADA. DISTRIBUCIN. GRFICAS DE LOS ALUMNOS.Definicin. SeaXuna variable aleatoria continua. La funcin de distribucin acumulada (f.d.a) de la variable aleatoriaXse define como:

Ejemplo. Supngase deXes una variable aleatoria continua cuya f.d.p. est dada por:

Obtenga la f.d.p de la variable aleatoriaX.

La funcin de distribucin acumulada es importante por varias razones. Esto es particularmente cierto cuando tratamos con una v.a. continua, ya que en este caso no podemos estudiar la conducta probabilstica deX. Al calcular la probabilidad: P(X = x), ya que esta siempre es igual a cero. Sin embargo, podemos hacer preguntas acerca de: P(X 0, entonces

lo cual es independiente dex. Este hecho es el que le da su nombre a la distribucin.Uniforme estndarSi se restringey, a la distribucin resultanteU(0,1) se la llamadistribucin uniforme estndar.Una propiedad interesante de la distribucin uniforme estndar es que si u1es una distribucin uniforme estndar, entonces 1-u1tambin lo es.Distribuciones relacionadasSiXtiene una distribucin uniforme estndar, entonces: Y= -ln(X)/ tiene unadistribucin exponencialcon parmetro . Y= 1 -X1/ntiene unadistribucin betacon parmetros 1 yn. (Notar que esto implica que la distribucin uniforme estndar es un caso especial de la distribucin beta, con parmetros 1 y 1).Relaciones con otras funcionesSiempre y cuando se sigan las mismas convenciones en los puntos de transicin, la funcin densidad de probabilidad puede tambin ser expresada mediante lafuncin escaln de Heaviside:

en trminos de lafuncin rectngulo

No existe ambigedad en el punto de transicin de lafuncin signo. Utilizando la convencin de la mitad del mximo en los puntos de transicin, la distribucin uniforme se puede expresar a partir de la funcin signo como:

AplicacionesEnestadstica, cuando se utiliza unp-valuea modo de prueba estadstica para unahiptesis nulasimple, y la distribucin de la prueba estadstica es continua, entonces la prueba estadstica esta uniformemente distribuida entre 0 y 1 si la hiptesis nula es verdadera.Muestreo de una distribucin uniformeExisten muchos usos en que es til realizar experimentos de simulacin. Muchoslenguajes de programacinposeen la capacidad de generarnmeros pseudo-aleatoriosque estn distribuidos de acuerdo a una distribucin uniforme estndar.Siues un valor muestreado de una distribucin uniforme estndar, entonces el valora+ (ba)uposee una distribucin uniforme parametrizada porayb, como se describi previamente.Muestreo de una distribucin arbitrariaLa distribucin uniforme resulta til para muestrear distribuciones arbitrarias. Un mtodo general es elmtodo de muestreo de transformacin inversa, que utiliza ladistribucin de probabilidad(CDF) de la variable aleatoria objetivo. Este mtodo es muy til en trabajos tericos. Dado que las simulaciones que utilizan este mtodo requieren invertir la CDF de la variable objetivo, se han diseado mtodos alternativos para aquellos casos donde no se conoce el CDF en una forma cerrada. Otro mtodo similar es elrejection sampling.Ladistribucin normales un ejemplo importante en el que el mtodo de la transformada inversa no es eficiente. Sin embargo, existe un mtodo exacto, latransformacin de Box-Muller, que utiliza la transformada inversa para convertir dos variables aleatorias uniformes independientes en dos variables aleatorias independientesdistribuidas normalmente.

APROXIMACIN DE LA BINOMIAL A LA NORMALTeorema de Movire-Laplace: si X es una variable discreta que sigue una distribucin binomial de parmetros n y p, B(n,p) y se cumple que n>10, np>5 y nq>5 resulta una aproximacin bastante buena suponer que la variable X (recordemos que en la binomial =np y se aproxima a la variable normal Resulta mucho ms sencillo trabajar con la variable normal X que con la binomial X, pues recordemos que los valores de la normal estn tabulados. Correccin de continuidad o de Yates: cuando aproximamos una distribucin binomial mediante una normal, estamos convirtiendo una variable X discreta (toma un nmero determinado de valores) en una continua X (toma valores en un intervalo). Los valores de la probabilidad para valores fijos de la variable continua son cero (ya que sera el rea de un punto), y necesitamos definir un intervalo. Para evitar este problema en la aproximacin de los valores fijos estos se corrigen (correccin de continuidad o de Yates) sustituyndolos por un intervalo centrado en el punto y de valor unidad. En el siguiente esquema se muestran todas las situaciones posibles:

APROXIMACIN POISSON A LA NORMALAproximacin normalComo consecuencia delteorema central del lmite, para valores grandes de, una variable aleatoria de PoissonXpuede aproximarse por otranormaldado que el cociente

Converge a una distribucin normal de media nula y varianza 1.

Ricardo Montejo Hernndez 4 Ing.Petrolera