1. 05 Funciones de densidad de probabilidad

• • Diego Andrs Alvarez Marn

• • Profesor Asistente

• • Universidad Nacional de Colombia

• • Sede Manizales

2. Contenido

FDP uniforme

FDP beta

FDP exponencial

FDP normal

FDP lognormal

FDP gamma

FDP Weibull

FDP Rayleigh

FDP Maxwell

3. Sobre la seleccin de las FMPs/FDPs

La eleccin de una FMP/FDP para representar un fenmeno de inters prctico debe estar motivada tanto por la compresin de la naturaleza del fenmeno en s, como por la posible verificacin de la FMP/FDP seleccionada a travs de la evidencia emprica.

4. FDP Uniforme ~ U ( a , b )

La variable aleatoria toma valores sobre un intervalo de manera que la medida de probabilidad se encuentra uniformemente distribuda sobre ese intervalo. Esto es, la probabilidad que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma.

5. FDP Uniforme ~ U ( a , b )

Momentos de la FDP:

Ejemplo: redondeo del peso de una persona:

67 kg significa un peso entre 66.5 kg y 67.5 kg

El error de redondeo se encuentra distribudo uniformemente en el rango [-0.5kg, 0.5 kg]

6. FDP Uniforme ~ U ( a , b ) 7. Principio de indiferencia de Laplace http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference

Elprincipio de indiferencia(tambin llamado elprincipio de razn insuficiente ) es una regla para asignar probabilidades epistmicas. Suponga por ejemplo que existenn >1 eventos mutuamente exclusivos y exhaustivos. El principio establece que si no se puede distingir estosneventos, entonces a cada evento se le debe asignar una probabilidad igual a 1/ n .

Ejemplo:La direccin segn la cual las ondas producidas por un terremoto pueden aproximarse a una estructura pueden considerarse en ausencia de informacin en contra, que se distribuye uniformemente en el intervalo [0 , 360 ).

8. FDP Uniforme con MATLAB

y = unifpdf(x,a,b); = f X (x;a,b)

p = unifcdf(x,a,b); = F X (x;a,b)

x = unifinv(p,a,b); = F X (-1) (p;a,b)

[m,v] = unifstat(a,b) ; = media y varianza

9. Ejemplo FDP Uniforme 10. FDP Beta ~B ( , )

La FDP Beta se utiliza para representar variables fsicas cuyos valores se encuentran restringidos a un intervalo de longitud finita ej: distribucin de artculos defectuosos sobre un intervalo de tiempo.

Como es una FDP muy flexible, generalmente se utiliza para la descripcin emprica de datos

11. FDP Beta ~ B ( , ) 12. 13. 14. La FDA Beta ~ B ( , ) 15. La FDP Beta de cuatro parmetros ~ B ( , , a , b ) 16. FDP Beta con MATLAB

y = betapdf(x, , ); = f X (x; , )

p = betacdf(x, , ); = F X (x; , )

x = betainv(p, , ); = F X (-1) (p; , )

[m,v] = betastat( , ) ; = media y varianza

17. FDP Beta de 4 parmetros con MATLAB

y = betapdf(( x-a )/( b-a ), , )/(b-a); = f X (x; , )

p = betacdf(( x-a )/( b-a ), , ); = F X (x; , )

x = a+betainv(p, , )*(b-a); = F X (-1) (p; ,,a,b )

18. FDP Beta con EXCEL

p = DISTR.BETA(x; ;;a;b ) = F X (x; ,,a,b )

x = DISTR.BETA.INV(p; ;;a;b ) = F X (-1) (p; ,,a,b )

19. Ejemplo: FDP beta

Para planear las direcciones de las pistas de los aeropuertos, se debe estudiar las dispersiones de contaminantes de aire procedentes de los alrededores. Aqu la direccin predominante y la variacin de estas son crticas.

En el siguiente programa simulamos tales direcciones del viento. Qu opina usted del modelo de la FDP beta para representar las direcciones del viento?

20. Ejemplo FDP Beta Resultado de la ejecucin: 21.

Observe que en este caso la FDP beta no es satisfactoria ya que existe una discontinuidad en la representacin del viento que viene del este.

22. FDP exponencial

Con la FDP exponencial se modela el lapso de tiempo entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante.

Ejemplo: intervalo de tiempo entre los arribos de vehculos a un punto

En forma ms general se usa para modelar tiempos entre los arribos en lneas de espera en un proceso de Poisson homogneo.

23. FDP exponencial

La FDP exponencial se puede entender como la contraparte continua de la FMP geomtrica, la cual describe el nmero de ensayos de Bernoulli requeridos para que un proceso discreto cambie de estado. La FMP exponencial describe el tiempo para que un proceso continuo cambie de estado.

24. Ejemplos FDP exponencial

Distancia entre grietas

Distancia entre animalitos pisados en una carretera.

Distancia entre las mutaciones en una cadena de ADN

Vida til de equipamiento electrnico

Tiempo hasta qie una partcula radioactiva decae o el tiempo entre los ruidos de un contador geiger

Dinero que las personas tienen en sus bolsillos

Cantidad de tiempo (empezando ahora) hasta que el siguiente terremoto ocurra

Tiempo que se debe esperar (desde ahora) antes de la siguiente llamada telefnica (entre las 2:30 y las 3:00 pm)

Duracin de una conversacin telefnica

25. FDP exponencial ~ Exp()

La FDP es:

La FDA es:

26. Parametrizacin alternativa de la FDP exponencial

La FDP es:

La FDA es:

Es decir

27. Interpretacin del parmetro

=1/ -> Tiempo medio de falla(mean time to failure - MTTF): es el periodo o lapso promedio entre dos eventos independientes de Poisson.

• Ejemplo:tiempo promedio entre fallas/arribos:

• • 5 segundos/vehculo.

=1/ -> es la frecuencia de falla o promedio de sucesos por unidad de tiempo

• Ejemplo:frecuencia de fallas/arribos:

• • 0.2 vehculos/segundo.

28. Interpretacin del parmetro

In real-world scenarios, the assumption of a constant rate (or probability per unit time) is rarely satisfied. For example, the rate of incoming phone calls differs according to the time of day. But if we focus on a time interval during which the rate is roughly constant, such as from 2 to 4 p.m. during work days, the exponential distribution can be used as a good approximate model for the time until the next phone call arrives

29. FDP exponencial ~ Exp() 30. Algunas frmulas FDP exponencial

Funcin cuartil:

Media:

Si usted recibe en promedio dos llamadas telefnicas por hora, se espera que usted tenga que esperar media hora por cada llamada

Varianza:

31. FDP exponencial con MATLAB

y = exppdf(x,1/ ); = f X (x; )

p = expcdf(x, 1/ ); = F X (x ; )

x = expinv(p, 1/ ); = F X (-1) (p; )

[m,v] = expstat( 1/ ) ; = media y varianza

32. FDP exponencial con EXCEL

y = DISTR.EXP(x; ;FALSO) = f X (x; )

p = DISTR.EXP(x; ;VERDADERO) = F X (x; )

x = DISTR.GAMMA.INV(p;1;1/ ) = F X (-1) (p; )

33. Ejemplo 1: FDP exponencial

Se sabe que la cantidad de tiempo que un empleado postal gasta con su cliente sigue una FDP exponencial, con un tiempo promedio de 4 minutos por cliente

Cual es la probabilidad que un empleado postal emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente seleccionado al azar?

34. Ejemplo 1: FDP exponencial

Cual es la probabilidad que un empleado postal emplee entre 4 y 5 minutos con un cliente seleccionado al azar?

35. Ejemplo 1: FDP exponencial

El 75% de los clientes son atendidos en cuanto tiempo?

36. Ejemplo 2: FDP exponencial

En promedio, un circuito de un computador dura 10 aos.

El tiempo que los componentes electrnicos duran siguen una distribucin exponencial. Cul es la probabilidad que ese tipo de circuitos duren ms de 7 aos?

37. Ejemplo 2: FDP exponencial

En promedio, un circuito de un computador dura 10 aos.

Cunto es el tiempo de duracin de 80% de los circuitos?

38. Ejemplo 2: FDP exponencial

Cul es la probabilidad que una parte de computador dure entre 9 y 11 aos?

39. Ejemplo 3: FDP exponencial

Suponga que la longitud de una llamada telefnica se modela como una variable aleatoria que sigue una distribucin exponencial. Suponga que el tiempo promedio de una llamada telefnica es 6 minutos. Si una persona llega al telfono pblico justo antes que usted, ms o menos cunto tiempo le tocar esperar? Cul es la probabilidad que le toque esperar ms de seis minutos?

40. Deduccin de la FDP exponencial 41. Notas FDP exponencial

Debido a la propiedad de estacionaridad y de independencia del suceso de Poisson, la PDF exponencial denota la probabilidad que no ocurra ningn suceso en un intervalo cualquiera de longitudt , comience o no en el tiempo 0. En resumen, los tiempos de interarribos de un proceso de Poisson son independientes y se distribuyen exponencialmente.

42. Propiedad de la falta de memoria

Cuando una variable aleatoria es exponencial, entonces la FDP obedece:

43. Propiedad de la falta de memoria 44. Ejemplo 45. FDP normal o gausianaX ~ N ( , )

Es lams importantey lams abusadade las FDPs

Las FDPs de muchas estadsticas muestrales tienden hacia la FDP normal conforme crece el tamao de la muestra.

46. FDP normal o gausianaX ~ N ( , )

La FDP normal fue descubierta porAbraham de Moivreen 1733 tomando un lmite de la FMP binomial, sin embargo comnmente se conoce como FDP gausiana ya queKarl Friedrich Gaussla cit en un artculo en 1809.

Abraham de Moivre (1667 1754), matemtico francs descubridor de la distribucin normal 47. FDP normal o gausianaX ~ N ( , )

La FDP:

La FDA:

debe integrarse numricamente, ya que no tiene solucin analtica 48. FDP normal o gausianaX ~ N ( , )

Media:

Varianza:

49. 50. Ejemplos de aplicacin

La resistencia a la compresin del concreto

Coeficiente de inteligencia ~N( =100,=15 )

51. Propiedades de la FDP gausiana

f X ( x ) es simtrica alrededor dex = , la cual es al mismo tiempo la media, mediana y moda de la distribucin, de hecho:

Los puntos de infleccin def X ( x ) ocurren enx = +yx=-

52. Dominio de la FDP normal

Tericamente el dominio de la FDP normalf X ( x ) es (- , ).

En la prctica puede ser til suponer que cierta variable, tal como la carga, el peso o el tiempo se limitan fsicamente a valores no negativos. Por lo tanto, es importante observar las colas para entender mejor como manejar el dominio terico (- , ).

53. La FDA normal estndar donde, FDP normal estndar:observe que es equivalente aF X ( x ;0,1) Cambio de variables: 54. Transformacin a la FDA normal estndar es una variable aleatoria normalmente distribuda ~ N ( =0, =1 ) por lo tanto, 55. Formulacin alternativa de la FDA normal estndar

La FDA normal estndar se puede escribir como:

donde la funcinerfest dada por:

NOTA: esta funcin ya est programada en MATLAB ( erf )y en MS EXCEL ( =ERF ) 56. Probabilidades bajo la FDP normal 57. FDP normal con MS EXCEL

p = DISTR.NORMAL(x; ;;FALSO ) = f X (x; ; )

p = DISTR.NORMAL(x; ;;VERDADERO ) = F X (x; ; )

x = DISTR.NORMAL.INV(p; ; ) = F X (-1) (x; ; )

p = DISTR.NORMAL.ESTAND( z ) = F X (p;0,1)

z = DISTR.NORMAL.ESTAND.INV( p ) = F X (-1) (p;0,1)

z = NORMALIZACION(x; ; )

58. FDP normal con MATLAB

y = normpdf(x, , ); = f X (x; , )

p = normcdf(x, , ); = F X (x; , )

x = norminv(p, , ); = F X (-1) (p; , )

[m,v] = normstat( , ); = media y varianza

59. Dibujando la FDP normal con MATLAB dentro de los lmites especificados

p = normspec(specs,mu,sigma)

60. Ejemplo: FDP normal

Una fbrica de tornillos debe producir un tornillo con especificacin del dimetro igual a 2cm 0.1cm. Si el dimetro de los tornillos se distribuyen segn ~N(2.02cm, 0.06cm), cul es la probabilidad de que un tornillo en la etapa de control de calidad sea desechado?

61. Dibujo de probabilidad normal en MATLAB connormplot http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_probability_plot Este es un test visual de normalidad. 62. Ejemplo 1: FDP normal

La resistencia de un cilindro de concreto se distribuye segn una FDP normal con media 220 kgf/cm 2y una desviacin estndar de 20 kgf/cm 2 .

Encuentre:

La probabilidad que f'c sea menor que 200kgf/cm 2

63. 64. Ejemplo 1: FDP normal

La resistencia de un cilindro de concreto se distribuye segn una FDP normal con media 220 kgf/cm 2y una desviacin estndar de 20 kgf/cm 2 .

Encuentre:

La probabilidad que f'c sea a lo ms 250kgf/cm 2

65. Ejemplo 1: FDP normal

La probabilidad que f'c est entre 210 y 240kgf/cm 2:

66. Ejemplo 2: FDP normal

La demanda mensual de un producto sigue una FDPN ( =200unidades , =40unidades ).

Qu tan grande debe ser el inventario disponible a principios de un mes de modo que la probabilidad de existencia de un producto sea de al menos 95%?

67. Ejemplo 2: FDP normal 68. Teorema del lmite central 69. Convergencia en distribucin 70. Teorema del lmite central

Este teorema ser vlido incluso si los sumandos deX ino son i.i.d., aunque algunas restricciones con respecto a los grados de dependencia y la tasa de crecimiento de los momentos deben ser an impuestas.

Por ejemplo, puede que las variables aleatoriasX ino sean idnticamente distribudas, siempre y cuando cada variable individual tenga poco efecto sobre la suma.

71. Teorema del lmite central

Puesto que la variable aleatoria en muchos fenmenos se origina a partir de variaciones aditivas, no es sorprendente que los histogramas que aproximan la FDP normal se observen frecuentemente en la naturaleza y que esta FDP se adopte a menudo como modelo en la prctica.

72. Ejemplo del teorema del lmite central 73. Ejemplos: el teorema del lmite central en la vida prctica

La prueba del ICFES (como suma de puntos).

Las cargas muertas y vivas de una estructura (se consideran como la suma de muchas fuerzas relativamente pequeas, suponiendo que ninguna de ellas domina al total).

La longitud total es la suma de las diferentes partes individuales: la longitud total de una distancia, el tiempo total gastado repitiendo varias operaciones idnticas en un programa de construccin suponiendo que los tiempos son independientes.

74. La combinacin lineal de variables aleatorias normales tambin es normal Ejemplo: 75. Deduccin de la FDP normal