Doris Yujra Quisberth6995996 LP

Modelaje y SimulacinGRUPO 4. FUNCION DE DENSIDAD DE PROBALIDAD

Funcin de densidad de probabilidad

Definicin.La funcin de densidad de unavariable aleatoriaXpermite trasladar la medida de probabilidad o "suerte" de realizacin de los sucesos de una experiencia aleatoria a la caracterstica numrica que define la variable aleatoria.Designando porfa la funcin de densidadX,distinguiremos el casodiscreto, donde los posibles valores deXforman unconjunto discreto(finito o numerable), del continuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es unintervalode la recta real: SiX es discretasu funcin de densidad se define por

En el caso de queX sea continuasu funcin de densidad debe permitir expresarF, lafuncin de distribucin de probabilidaddeX, en forma integral:

Objetivo Poder seleccionas la funcin de densidad de probabilidad ms adecuada para un proceso configurando sus parmetros Marco terico

Diagrama de Cajay funcin de densidad de probabilidad de unadistribucin normalN(0,2).En lateora de la probabilidad, lafuncin de densidad de probabilidad,funcin de densidad, o, simplemente,densidadde unavariable aleatoriacontinuadescribe la probabilidad relativa segn la cual dichavariable aleatoriatomar determinado valor.La probabilidad de que lavariable aleatoriacaigaen una regin especfica del espacio de posibilidades estar dada por laintegralde la densidad de esta variable entre uno y otro lmite de dicha regin.La funcin de densidad de probabilidad (FDPo PDF en ingls) es no-negativa a lo largo de todo su dominio y suintegralsobre todo el espacio es de valor unitario.

Funcin de densidad de probabilidad para ladistribucin normal.Una funcin de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una poblacin en tanto especifica la posibilidad relativa de que unavariable aleatoriacontinuaXtome un valor cercano a x.Unavariable aleatoriaXtiene densidadf, siendofuna funcin no-negativaintegrable de Lebesgue, si:

Por lo tanto, siFes lafuncin de distribucin acumulativadeX, entonces:

y (sifes continua enx)

Intuitivamente, puede considerarsef(x)dxcomo la probabilidad deXdecaeren elintervaloinfinitesimal[x,x+dx].Se define como el cociente entre la probabilidad de X de tomar un valor en elintervalo[x,x+dx] ydx, siendodxuninfinitsimo.La mayora de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o ms parmetros para especificarlas totalmente.Recprocamente respecto de la definicin ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes consideraciones.La probabilidad de que una variable aleatoria continuaXquede ubicada entre los valoresaybest dada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango entreayb.

La FDP es la derivada (cuando existe) de la funcin de distribucin:

As, siFes lafuncin de distribucin acumulativadeX, entonces:

y (sifes continua enx)

Descripcin Intuitiva-PrcticaEn situaciones prcticas, la FDP utilizada se elige entre un nmero relativamente pequeo de FDP comunes, y la labor estadstica principal consiste en estimar sus parmetros.Por lo tanto, a los efectos del registro, es necesario saber qu FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentacin de evaluacin de la incertidumbre.

La definicin formal de la funcin de densidad requiere de conceptos de lateora de la medida.Si una variable aleatoriaXsigue unafuncin de probabilidadX*P sudensidadcon respecto a una medida de referenciaes laderivada de RadonNikodym

Unavariable aleatoriacontinuaXcon valores en unespacio de medida(habitualmenteRncon conjuntos Borel como subconjuntos mesurables), tiene comodistribucin de probabilidad, la medidaXPen: ladensidaddeXcon respecto a la medida de referenciasobrees laderivada de RadonNikodym.

Siendof/; toda funcin medible con la siguiente propiedad:

para todo conjunto medible.Es decir,es una funcin con la propiedad de que...

...para cada conjunto medibleA.Funciones de Distribucin de ProbabilidadA diferencia de la probabilidad, unafdppuede tomar valores mayores que uno. Por ejemplo, ladistribucin uniforme continuaen el intervalo [0,] tiene una densidad de probabilidadf(x)=2 para 0x yf(x)=0 fuera de tal intervalo.Hay que advertir que la funcin de densidad no es propiamente nica: dos funciones distintas pueden representar la misma distribucin de probabilidad si slo difieren en un conjunto de medida nulo.Adems, puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de funcin de densidad.Esto ocurre cuando, sin serdiscretas, no le asignan probabilidad positiva a algunos puntos individuales presentan conjuntos de medida nula.Esto sucede con ladistribucin de Cantorcuando se toma la de Lebesgue como medida de referencia.Cuando, como ocurre normalmente en las aplicaciones,Xes una variable aleatoria real yes lamedida de Lebesgue, la funcin de densidad es una funcin tal que

De modo que siFes lafuncin de distribucindeX, entonces

y

Intuitivamente, se puede pensar que(x)dxes la probabilidad de queXasuma valores en elintervaloinfinitesimal[x,x+dx].PropiedadesDe laspropiedades de la funcin de densidadse siguen las siguientes propiedades de lafdp(a veces visto comopdfdel ingls): para toda. El rea total encerrada bajo la curva es igual a 1:

La probabilidad de quetome un valor en el intervaloes el rea bajo la curva de la funcin de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La grficaf(x) se conoce a veces comocurva de densidad.

Algunas FDP estn declaradas en rangos dea, como la de ladistribucin normal.Las probabilidades son las reas bajo la funcin de densidad.El rea bajo la funcin de densidad entre dos puntos a y b se interpreta como la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores comprendidos entreayb.Por tanto, siempre se cumple lo siguiente:

La funcin de densidad se expresa a travs de una funcin matemtica.La forma especfica de la funcin matemtica generalmente pasa por considerar a la variable aleatoria como miembro de una determinada familia de distribuciones, un determinado modelo de probabilidad. Estas familias generalmente dependen de uno o ms parmetros y sern objeto de un estudio especfico en un captulo posterior. La atribucin a una determinada familia depende de la naturaleza de la variable en cuestin.Podemos ver, nicamente con nimo ilustrativo, la expresin analtica y la grfica para los ejemplos comentados con anterioridad: Resultado de un generador de nmeros aleatorios entreayb. Modelo Uniforme.

Estatura de una persona elegida al azar en una poblacin.Modelo Normal.

Marco practico Para planear las direcciones de las pistas de los aeropuertos, se debe estudiar las dispersiones de contaminantes de aire procedentes de los alrededores. Aqu la direccin predominante y la variacin de estas son crticas. En el siguiente programa simulamos tales direcciones del viento.