funciones de densidad de probabilidad generadas por métodos contractivos (funciones...

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO DE NUEVA ESPARTA

ESCUELA HOTELERIA Y TURISMO

PROGRAMA DE LIC. EN ESTADÍSTICA

SUB-COMISIÓN DE TRABAJO DE GRADO

FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD GENERADAS POR MÉTODOS CONTRACTIVOS

(FUNCIONES OMEGA-R)

Trabajo de Grado, Modalidad Investigación,

Presentado por:

Bladimir Saavedra S.

Como requisito parcial para optar al Título de:

Licenciado en Estadística

Guatamare, Marzo del 2008

FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD GENERADAS POR

MÉTODOS CONTRACTIVOS

(FUNCIONES OMEGA-R)

Aprobado por

________________________________

Prof. Nelson Bracho

(Asesor)

________________________________

Prof. Miguel Padrino

(Jurado Principal)

________________________________

Prof. Nicolás Urra R.

(Jurado Principal)

Dedicatoria iii

A mis Padres: Ana Rita Silva y Daniel Saavedra

Agradecimientos iv

AGRADECIMIENTOS

La realización de esta tesis no hubiera sido posible sin la valiosa colaboración

del Prof. José Nicolás Urra Ríos. Le agradezco sinceramente, el honor que me ha

conferido al enseñarme la Teoría de las Funciones Contráctiles, además de darme su

apoyo, estímulo y amistad. Valoro el tiempo, el esfuerzo, la paciencia y la

meticulosidad invertidos en las múltiples revisiones minuciosas de esta tesis. Su

ejemplo es la mejor Cátedra del riguroso quehacer científico.

Agradezco la asesoría, la disposición y el estímulo brindados a lo largo de mi

carrera por el Prof. Nelson Bracho, sin duda alguna, su conocimiento,

profesionalismo, juicio imparcial y sincero son el pilar que sostiene la carrera y el

orgullo y ejemplo de estudiantes y egresados de la Licenciatura en Estadística de este

núcleo.

Al Prof. Jesús Suniaga y hago justo reconocimiento por ser el creador del

programa de la Licenciatura en Estadística. Todos los estudiantes y profesores

estamos en deuda con él, por abrir una maravillosa oportunidad de estudio y trabajo

en está importante área del conocimiento. Además, su enseñanza ha encauzado a

muchos jóvenes por el camino de la investigación.

Al Dr. Adrián Sotomayor (USB-UPEL) por su interés en el estudio del

Cálculo Contractivo, sus valiosos comentarios y palabras de estímulo en el desarrollo

de esta teoría. Además, aprecio y aplaudo el esfuerzo y entusiasmo que se requiere

para iniciarse en esta área de la Matemática; a la par de realizar sus investigaciones

sobre las ecuaciones Súper-KDV en el prestigioso y exigente grupo de investigación

de física teórica de la Universidad Simón Bolívar, dirigido por los Drs. Álvaro

Restuccia (Premio Nacional de Ciencia, 1989 y Premio Fundación Polar, 1999) y

Stephen Andrea.

Agradecimientos v

Agradezco la colaboración, estimulo e interés en las investigaciones realizadas

en Cálculo Contractivo prestados por el Prof. José G. Hernández. Felicito su

iniciativa de representar al Núcleo de Nueva Esparta de la Universidad de Oriente con

la ponencia titulada: “Método analítico y numérico para la evaluación de la Función

Beta Incompleta” ante el IV encuentro Colombia-Venezuela de Estadística

(ECVE2007). Esta ponencia mostró la valiosa contribución de las funciones

contráctiles para facilitar el análisis y la evaluación de la función beta incompleta con

alta precisión.

A los Profesores: José E. González Muñoz, Wilmer Fermín, Albino Moino,

Julio Cedeño, Humberto Carvajal, Delfina Torcat y Melania Balan por su enseñanza.

También agradezco a las Profesoras Izaida Cabrera y Jennifer Moya por su excelente

trato y buena disposición para mi persona en los momentos previos a la tesis.

Doy gracias al personal de la biblioteca; especialmente, a la Lic. Teresa

Fermín de Rausseo, al Lic. Jesús López (Chúo) y al amigo Plinio Fernández por la

buena atención y colaboración que me brindaron a lo largo de la carrera.

A la secretaria de la Coordinación de Estadística Sra. Belkis Mago por su

buen trato y servicio.

A la Sra. Magdalena Barreto Mago por su buen trato y servicio.

A todo el personal docente, administrativo y obrero de la Universidad de

Oriente por todos los servicios que me dieron con la más amplia cordialidad durante

mi carrera.

Agradecimientos vi

También, agradezco a mis ex compañeros de estudio: Oswaldo Bello, Alberto

Alfonso, Juan José González, Jesús Salgado, Wilfredo Bonilla por su amistad y

colaboración.

A mis sobrinos: Wilmer, Wilfredo, Wendy y Winner Sánchez por su apoyo.

A Sarita y a Nicole por incluir la palabra Tesis dentro de sus primeras palabras de

vida. Espero que nunca la olviden y mañana me muestren las suyas.

A mis hermanos Gustavo, Marcos, Alexander, Arla, Alix, Daniel y William la

paciencia, tolerancia, colaboración y respeto que me dieron durante la carrera.

Por la colaboración que brindaron durante muchos instantes críticos a mis

amigos: Ana Díaz, Luís Subero, Carlos Intriago , Jhonny Rodríguez , Wilfredo

Eurresta, César Brito, Daniel E. Romero C. e Italo Newman.

A toda la Familia Urra: Sra. María Milagros Martínez Serrano, Nicolás

Andrés, Mariani Andreína y Luís Antonio, la excelente atención y apoyo que me han

dado. Estoy seguro que comparten con está tesis una gran satisfacción.

Índice General vii

ÍNDICE GENERAL

Descripción Pág.

Dedicatoria iii

Agradecimientos iv

Índice General vii

Índice de Figuras xi

Resumen xiii

Introducción 1

Planteamiento del Problema 4

Justificación 5

Capítulo I: Aspectos Preliminares

1.1 Objetivos de la Investigación 6

1.1.1 Objetivo General 6

1.1.2 Objetivos Específicos 6

1.2 Revisión de la Literatura 7

1.3 Materiales y Métodos 10

Capítulo II: Fundamentos Teóricos: Introducción al Cálculo

Contractivo-

11

Consideraciones Generales 12

2.1 Contracciones 13

2.2 Propiedades de las Contracciones Geométricas 17

2.3 Serie de Contracciones Geométricas 19

2.4 Propiedades de la Contracciones Factoriales 23

2.5 Suma Contractiva 24

2.6 Identidades Factoriales y otras proposiciones 31

Índice General viii

Descripción Pág.

2.7 Serie Factorial 34

2.8 Analogía Geométrico-Factorial 42

2.9 Forma Factorial para la Función Beta 45

2.10 Aplicación de la Contracción Factorial al Cálculo de Integrales

Impropias 54

2.11 Cuarta Identidad Factorial 76

2.12 Función Tau-Beta 84

2.13 Serie de Contracciones 99

2.14 Funciones Contráctiles 108

2.15 Aplicaciones de la Función Contráctil al Cálculo Integral 113

2.16 Ejemplos de Integración Numérica 114

2.17 Integración de Funciones Contráctiles 119

2.18 Relación entre la Función Contráctil uniparamétrica y la Función Beta 120

2.19 Integración bajo la Serie de Contracciones 123

2.20 Sobre la Función Contráctil biparamétrica 132

2.21 Función Contráctil Adyacente 151

2.22 Propiedades notables de la Función Contráctil Adyacente 157

2.23 Integración de Funciones Contráctiles biparamétricas 162

2.24 Función Contráctil Complementaria 167

2.25 Sobre la diversidad de formas que adopta la Función Contráctil 175

Capítulo III: Solución del Problema de valor inicial 1 y Generación de las

funciones de densidad de probabilidad de tipo ( ), ,n

p q rf

3.1 Determinación de la solución general de la ecuación diferencial (3.1) 187

3.2 Análisis de la condición de valor inicial 188

Índice General ix

Descripción Pág.

3.3 Estudio de las condiciones de los parámetros para que el valor

límite de

, ,p q r

rx 1, ( pq )x− tienda a cero cuando x tiende al infinito 189

3.4 Estudio del valor límite de 1, ( )pq x− cuando x tiende a cero por la

derecha 191

3.5 Estudio del valor límite de rx 1, ( )pq x− cuando x tiende a cero por la

derecha 191

3.6 Definición, propiedades y ejemplos de la función ( , )r p qϕ 192

3.7 Cálculo de

0

( , )( )r p q x dxϕ∞

∫199

3.8 Evaluación numérica de la Función Beta usando la Función Contráctil 201

3.9 Cálculo de la constante K de la función ( , )r p qϕ para que sea fdp. 204

3.10 Estudio de las condiciones de los parámetros para la existencia

de momentos de orden de las fdp

, ,p q r

s ( ), ,n

p q rf 205

3.11 Cálculo del -ésimo momento centrado para s ( ), ,n

p q rf 209

3.12 Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n

p q rf x 210

Capítulo IV: Solución del Problema de valor inicial 2 y Generación de las

funciones de densidad de probabilidad de tipo ( ), ,n

p q rg

4.1 Determinación de la solución general de la ecuación diferencial (4.1). 217

4.2 Estudio la condición de los parámetros para determinación de , ,p q r

lim r

xx

→∞

1, ( )pq x− 218

4.3 Estudio la condición de los parámetros , ,p q r para determinación de

0lim r

xx

+→

1, ( )pq x− 220

Índice General x

Descripción Pág.

4.4 Definición, propiedades y ejemplos de la función ( , )r p qψ 222

4.5 Cálculo de

0

( , )( )r p q x dxψ∞

∫228

4.6 Cálculo de la constante K para definir una fdp a partir de la función

( , )( )r p q xψ 230

4.7 Generación de la fdp y sus propiedades ( ), , ( )n

p q rg x 230

4.8 Estudio de las condiciones de los parámetros para la existencia

de momentos de orden de las fdp

, ,p q r

s ( ), ,n

p q rg 231

4.9 Cálculo del -ésimo momento centrado para s ( ), ,n

p q rg 235

4.10 Función de Distribución Acumulativa para ( ), ,n

p q rg 236

Capítulo V: Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r

5.1 Definición de la Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad

Omega-r 239

5.2 Ejemplos de la Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad

Omega-r 239

Capítulo VI: Conclusiones y Recomendaciones

6.1 Conclusiones 252

6.2 Recomendaciones 253

Referencias Bibliográficas 255

Anexos 260

Índice de Figuras xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. Descripción Pág.

3.1 Gráfica de 2 (1,3)ϕ 191

3.2 Gráfica de 5 (1,5)ϕ 191

3.3 Gráfica de 32

3( , 2)2

ϕ 192

3.4 Gráfica de 1

1( 2 , )2

ϕ 192

3.5 Gráfica de 2( 5, 3)ϕ 193

3.6 Gráfica de 2 (1, )qϕ 194

3.7 Gráfica de 1(1, )qϕ 194



3.10 Gráfica de 2 (2, )qϕ 196

4.1 Gráfica de 1(2,1)ψ 220

4.2 Gráfica de 13

1(2, )2

ψ 221

4.3 Gráfica de 517 3( , )3 2

ψ 221

4.4 Gráfica de 132

(5, 11)ψ 222

4.5 Gráfica de 1(2, )qψ 222

4.6 Gráfica de 13

(2, )qψ 223

Índice de Figuras xii

Fig. Descripción Pág.

4.7 Gráfica de 517( ,3

q)ψ 223

4.8 Gráfica de 132

(5, )qψ 224

5.1 Gráfica de ( )h x 236

5.2 Gráfica de ( )i x 238

5.3 Gráfica de ( )j x 240

5.4 Gráfica de ( )l x 242

5.5 Gráfica de ( )m x 243

5.6 Gráfica de 2 ( )m x 245

5.7 Gráfica de 3( )m x 245

Resumen xiii

RESUMEN

Con arreglo al objetivo general propuesto para este trabajo se construye una

familia de funciones de densidad de probabilidad mediante los métodos del Cálculo

Contractivo, a partir de las soluciones de los siguientes problemas de valor inicial:

1. ( )( ) 1

1' , 0 ,

1

r

qp

q p xxy ry x

x+

+= − >

+m 0.

xy

→∞ li = (Ecuación 1)

2. ( )( )

1

1

1' , 0 ,

1

r p

qp

pq xxy ry x

x

+ −

+

+= − >

+lim 0.x

y→∞

= (Ecuación 2)

, ,p q r +∈ .

Las funciones de densidad de probabilidad obtenidas se denominan

“Funciones de tipo Omega-r”, ( rΩ ).

La aplicación del Cálculo Contractivo al estudio de las funciones de

probabilidad es una innovación teórica; y al mismo tiempo un aporte a la Estadística

Matemática y sus métodos.

Introducción 1

INTRODUCCIÓN

Antes de entrar en materia, es necesario hacer referencia al objetivo general

propuesto para este trabajo: “Construir una familia de funciones de densidad de

probabilidades, a partir de las soluciones de dos problemas de valor inicial,

previamente especificados”.

Ahora bien, las ecuaciones diferenciales referidas en tales problemas de valor

inicial, contienen cada una, tres parámetros; con la restricción de ser números reales

positivos o no negativos. Estos tres parámetros, además de aparecer formando parte

de los coeficientes constantes, aparecen también en los exponentes de la variable

independiente y en los exponentes de expresiones que contienen dicha variable.

La revisión bibliográfica realizada no aportó información sobre la solución

general de las ecuaciones diferenciales involucradas en los problemas de valor inicial

que son objeto de esta investigación.

Para abordar entonces el problema planteado en este trabajo como “Objetivo

General”; se recurre al “Cálculo Contractivo”.

Por Cálculo Contractivo se entiende la “Teoría de las funciones Contráctiles”,

es decir, “El estudio de las propiedades analíticas y las aplicaciones de una familia de

funciones denominadas Funciones Contráctiles”.

En el Anteproyecto de Tesis, se propuso como primer objetivo específico:

“Formular los conceptos del Cálculo Contractivo necesarios para el estudio analítico,

el tratamiento algebraico y la evaluación numérica de la solución de las ecuaciones

diferenciales y de las funciones de densidad de probabilidad generadas a partir de

tales soluciones”.

Durante el desarrollo del Proyecto, se hizo evidente que una simple

descripción de conceptos, operadores y métodos utilizados, sería incompleta e

insuficiente para percatarse del poder de resolución del Cálculo Contractivo, como un

aporte al análisis estadístico.

Introducción 2

Por esta razón, se ha considerado necesario dar un mayor alcance al primer

objetivo específico del “Anteproyecto de Tesis”; y presentar aquí, como segundo

capitulo una “Introducción al Cálculo Contractivo”. Se pretende de esta manera,

hacer un aporte al conocimiento matemático y agregar nuevos métodos aplicables al

análisis estadístico.

También se pretende proporcionar un material de estudio utilizable por

estudiantes universitarios que deseen indagar en la búsqueda de nuevos métodos

matemáticos para sus propias investigaciones.

Algunos conceptos, operadores, funciones y métodos que se introducen en el

segundo capitulo son:

• Primera Contracción

• Contracción Geométrica

• Contracción Factorial

• Serie Factorial

• Serie de Contracciones. (Función Geométrico-Factorial)

• Función Contráctil

• Función Contráctil Complementaria

• Función Contráctil Adyacente

• Función Tau-beta

• Teorema de factorización para funciones Tau-beta

• Teorema de simplificación para funciones Tau-beta

• Evaluación numérica de la función Beta con alta precisión

• “Método de Integración bajo la Serie de Contracciones”.

Los conceptos, operadores y métodos proporcionados en el segundo capitulo

se aplican en los capítulos siguientes a la solución a los problemas de valor inicial que

son objeto de estudio; y a la caracterización de las funciones de densidad de

probabilidad generadas a partir de las soluciones de estos problemas.

Introducción 3

Es necesario todavía, hacer una nueva referencia a la Introducción al Cálculo

Contractivo que se presenta en el capitulo II. Se trata de lo siguiente:

El contenido matemático que se presenta en esta Introducción se expone en

una secuencia lógica siguiendo los estándares convencionales en Matemática en

cuanto a su redacción.

De esta manera, se ha sido consecuente con el propósito de producir un

material de estudio, independiente de los otros objetivos de la tesis, cuyo contenido

matemático, por su exposición didáctica y además pedagógica está al alcance de un

estudiante universitario de pregrado de una carrera en la cual la matemática es

fundamental.

Posteriormente, se presenta un programa de computación para evaluar las

funciones contráctiles, con alta precisión. Tal programa se elaboró en el lenguaje del

software Mathematica de Wolfram´s Research, y mediante las funciones

proporcionadas por este software es posible graficar e integrar las funciones

contráctiles.

Planteamiento del Problema 4

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En este trabajo se propone aplicar el Cálculo Contractivo para construir una

Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad generada por los problemas de

valor inicial:

1. ( )( ) 1

1' , 0 ,

1

r

qp

q p xxy ry x

x+

+= − >

+lim 0.x

y→∞

= (Ecuación 1)

2. ( )( )

1

1

1' , 0 ,

1

r p

qp

pq xxy ry x

x

+ −

+

+= − >

+m 0.

xy

→∞ li = (Ecuación 2)

, ,p q r +∈ .

Tales funciones serán denominadas Funciones de tipo Omega-r, ( ). La

expresión significará que

rΩ

rf ∈Ω f es una función de densidad de probabilidad

generada por una solución de alguno de los problemas de valor inicial 1 o 2.

Si los parámetros p, q, y r son números reales positivos, entonces las

ecuaciones diferenciales 1 y 2 admiten por soluciones particulares, funciones que

generan funciones de densidad de probabilidad. Tales soluciones aparecen bajo la

condición inicial Estas ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales, de

primer orden, no homogéneas; pueden resolverse aplicando el método de variación de

parámetros de Lagrange. Sin embargo, en el caso más general, las soluciones de estas

ecuaciones son funciones hipergeométricas (ver Anexo 1) y su análisis

estadístico requiere el uso del cálculo con funciones especiales superiores.

lim 0.x

y→∞

=

2 1F

Justificación 5

JUSTIFICACIÓN

La Estadística Matemática se nutre de los métodos del Cálculo y Análisis

Matemático y los avances o innovaciones en los métodos matemáticos conllevan al

progreso de la teoría estadística. El estudio del Cálculo Contractivo permite observar

que sus métodos constituyen una teoría matemática aplicable a la estadística (Urra,

2004).

Desde el punto de vista teórico y también práctico la aplicación del cálculo

contractivo facilita, en algunos casos, el análisis estadístico.

El aspecto más relevante de la investigación a realizar es la búsqueda de

nuevos conceptos y nuevos métodos matemáticos para el estudio de funciones de

probabilidad.

Capítulo I: Aspectos Preliminares 6

1.1 OBJETIVOS DE LA INVESTIGACIÓN

1.1.1 Objetivo General

Construir una Familia de Funciones de Densidad de Probabilidad, a partir de

las soluciones de las ecuaciones diferenciales planteadas en los problemas de

valor inicial 1 y 2, mediante la aplicación del Cálculo Contractivo (Funciones

Omega-r).

1.1.2 Objetivos Específicos

» Formular los conceptos del cálculo contractivo necesarios para el estudio

analítico, el tratamiento algebraico y la evaluación numérica de la solución de

las ecuaciones diferenciales 1 y 2, y de las funciones de densidad de

probabilidad generadas a partir de estas soluciones.

» Analizar las condiciones que deben satisfacer las soluciones particulares de

» inario y centrado de las funciones de

» e Distribución Acumulativa de las funciones de

» lgoritmo computacional para la evaluación de las Funciones

Contráctiles.

las ecuaciones 1 y 2 para generar Funciones de Densidad de Probabilidad.

Calcular el k-ésimo momento ord

densidad de probabilidad Omega-r.

Calcular la Función d

Probabilidad Omega-r.

Elaborar un A


1.2 REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

El Cálculo Contractivo es un proyecto de investigación en desarrollo. Esta

tesis constituye la primera aplicación de esta teoría a la Estadística Matemática.

Urra, J. N., Saavedra B. (2004). Presentaron un trabajo sobre las Funciones

Contráctiles y sus Funciones Adyacentes, en el V Congreso Científico de la

Universidad de Oriente de Venezuela. Allí, se presentó un Teorema de Integración

que permite, mediante las Funciones Contráctiles Adyacentes, calcular integrales de

funciones algebraicas de forma binómica con exponentes reales. El cálculo numérico

interactivo se realizó con el auxilio de una calculadora científica de uso común.

Urra, J. N., Saavedra B. (2006). En el Seminario “Innovaciones en

Educación con Énfasis en Matemáticas”, organizado por la Universidad de Oriente,

Núcleo de Guatamare, se muestra que las Funciones Beta y Tau-Beta pueden ser

consideradas como operadores de Cálculo. Además; usando el Método de la Sucesión

Asociada se calculó el valor límite de algunas series infinitas especiales, como la

Función Zeta de Riemann con la precisión deseada.

Urra, J. N., Saavedra B. (2006). Publican una monografía titulada

“Funciones Tau-Beta”. En está publicación se desarrolla la teoría de las funciones

Tau beta, se define las p-Funciones Tau y se hace aplicaciones de estos conceptos y

del triángulo Tau-beta al cálculo del valor límite de series infinitas. Además,

presentan una colección de fórmulas (85 fórmulas) relacionadas con el cálculo del

valor límite de series numéricas. También, se muestra una importante identidad que

relaciona la serie armónica con las funciones tau-beta.

Urra, J. N., Saavedra B. (2007). Elaboran una monografía titulada “Sobre el

Número Pi (π) y la Constante Logarítmica: Ln 2. Aplicaciones de la Función Beta


Contractiva”. (De próxima publicación). En esta monografía se aplica la función

contráctil a la evaluación de la constante logarítmica Ln2, con alta precisión.

(Precisión extrema)

Por otra parte, se presentan aplicaciones de la función contráctil a la

determinación del valor límite de series numéricas relacionadas con la función beta

simétrica y la construcción de series convergentes al número Pi.

Urra, J. N., Saavedra B. (2007). (Trabajo inédito) Preparan como parte final

de la Lección Nº 3, las aplicaciones del Método de la Sucesión Asociada al cálculo

del valor límite de algunas series numéricas: Función Zeta de Riemann para valores

reales positivos arbitrarios, la Función Zeta de Hurwitz y las Funciones

Polilogarítmicas.

Gauss, C. F. (1813). En su famosa obra: Disquisitiones generales circa

seriem infinitam…publica la teoría de las funciones hipergeométricas. En esta obra se

muestra una lista de funciones elementales expresadas a través de funciones

hipergeométricas y se hace un estudio analítico de las funciones hipergeométricas.

Abramowitz, M., Stegun I., (1938-58). Publican el “HandBook of

Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables”. Esta

monumental obra, de 37 volúmenes, fue la culminación de un proyecto, de casi un

cuarto de siglo, impulsado por el National Bureau of Standards de Washington D.C.

Esta obra constituye una de la más completa compilación de fórmulas sobre

funciones y series hipergeométricas.

Rodríguez, J., et al. (2001). Hacen un estudio para estimar los parámetros de

las distribuciones discretas generadas por la Función Hipergeométrica

( )1 1 1 1 1,..., ; ,..., ;p p p pF α α γ γ λ+ + + , también conocidas como las distribuciones de Kemp.

En su trabajo aplican el método de los momentos, el de la mínima Chi-cuadrado y un


método mixto para la estimación de los parámetros de las distribuciones estudiadas.

Gourdon X., Sebah P.. (2003). Publican “π and its computation through the

ages”. En este artículo se resume la historia de las fórmulas y métodos usados en la

evaluación de la constante matemática Pi. Además, aparecen listadas el número de

cifras decimales exactas obtenidas por cada fórmula y el método empleado para su

evaluación.

Gourdon X., Sebah P.. (2004). En el ensayo “The Logarithmic Constant:

Log2”, hacen una introducción a la historia de la constante Log2 y su cálculo.

Además, muestran los métodos de evaluación del logaritmo de cualquier número real

positivo, con unos pocos decimales y también con alta precisión.

Batir N. (2005). Estudia las series de la forma: , obteniendo

algunas representaciones integrales de ellas y haciendo una evaluación explicita para

.

1

1

3 n k

k

kk x

k

−∞−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

0,1, 2n =


1.3 MATERIALES Y MÉTODOS

Para implementar el algoritmo computacional, que evalúe las funciones

contráctiles, se desarrolló un programa de computación usando la versión

demostrativa del software Mathematica®, v. 6.0, de la empresa Wolfram Research

Inc.

Para resolver las ecuaciones diferenciales 1 y 2 se utilizó el método de

variación de parámetros de Lagrange.

La construcción de las funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r se hizo

con arreglo a las definiciones de función de densidad de probabilidad, función de

distribución acumulada y otros conceptos que caracterizan a estas funciones.

Capítulo II: Fundamentos Teóricos

12

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO CONTRACTIVO

Consideraciones Generales.-

A modo de explicación general, puede decirse que por “Cálculo Contractivo”

se entiende el “Estudio teórico de las propiedades analíticas y las aplicaciones al

cálculo numérico de una familia de funciones denominadas Funciones Contráctiles”.

Las funciones contráctiles aparecen por primera vez relacionadas con ciertos

métodos de integración aplicables a la evaluación numérica de la integral definida:

( )0

, 01

r

qp

x dxx

α

α ≥+

∫

siendo , ,p q r números reales sin restricciones.

Sin embargo, estudios posteriores permitieron descubrir que las funciones

contráctiles son aplicables a la determinación del valor límite de series numéricas

relacionadas con las funciones beta, gama, coeficientes binomiales y una amplia

variedad de otras funciones (ver páginas de 175 a 185).

Estudios más recientes relacionan las funciones contráctiles con el análisis de

convergencia y evaluación del valor límite de series numéricas expresables en

términos de la función beta simétrica ( ), , 0, 1,2,... ,k k kβ α α α+ + ≥ = y de la

función beta incompleta.-

En este capitulo se desarrollan los fundamentos teóricos de las funciones

contráctiles, necesarios para abordar el tema central de esta tesis. El objetivo principal

consiste en construir una familia de funciones de densidad de probabilidad a partir de

la solución general de dos ecuaciones diferenciales previamente especificadas. Tales

soluciones se expresan en términos de funciones contráctiles.


13

La aplicación del Cálculo Contractivo al estudio de funciones de probabilidad

es una innovación teórica; y constituye un aporte a la Estadística Matemática y sus

métodos.

Aunque existen trabajos que tratan sobre las funciones contráctiles, publicados

previamente; es necesario advertir que el contenido matemático de este capitulo es en

rigor, la primera “Introducción formal” al estudio de esta familia de funciones.

2.1.- Contracciones

Las siguientes definiciones se aplican a cada par de números reales no

negativos α, q.

2.1.1.- La expresión ( ) 11α α −+ es referida como “Primera contracción de α ” y se

denota por 1 α⊕ .

2.1.2.- Por “q-contracción geométrica de α ” se entiende (1 q)α⊕ . Si 0α = , toda q-

contracción geométrica de α se considera nula.

2.1.3.- La “q-contracción factorial de α ” en grado k denotada por ( ,1 q k )α se define

por recurrencia mediante las relaciones:

2.1.3.1 ( ),01 1q α =

2. 1.3.2 ( ) ( )( ) ( ), , 11 1 .1 , 1, 2,...q k q kq k kα αα −= ⊕ + =

Nota: Si , se escribe 0q = (1 k )α en lugar de ( )0,1 k α .


14

Los siguientes ejemplos muestran la naturaleza de los algoritmos que pueden

representarse por medio de contracciones.

2.1.4.- Ejemplos.

2.1.4.1) 2 1 23= ⊕

2.1.4.2) 1 117 6= ⊕

2.1.4.3) 3 3111 8

= ⊕

2.1.4.4) Si 0 , entonces a b< < 1a ab b= ⊕

a−

2.1.4.5) 235 2 4 6 2 4 6 11 (1 )(1 )(1 ) . .

5 5 5 7 9 11 231

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ ⊕ ⊕ = =

6

2.1.4.6) 2,3 25 2 2 21 (1 ( 1) 2)(1 ( 2) 2)(1 ( 3) 2)

5 5 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ + ⊕ + ⊕ +

14 24 341 1 15 5

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛= ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 5

⎞⎟⎠

14 24 34. .19 29 39

=


15

2.1.4.7)

13,52 3 1 3 2 3 3 3 4 3 51 1 1 1 1 1

2 2 2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛+ + + += ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2

⎞+⎟⎟⎠

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5. . . .3 3 3 4 3 5 3 6 3 7+ + + + +

=+ + + + +

3 1 3 2.3 6 3 7+ +

=+ +

En general, si 0α > , la contracción factorial 1,

1q k

α⎛ ⎞⎜⎝

⎟⎠ puede escribirse en la

forma,

2.1.5.- ( )( ) ( )( )( ) ( )

1, 1 21

1 2

q k q q q kq q q

α

α α α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + +=

+ + + + + +K

K k , 1, 2,...k =

Si 0, 0,qα > = la fórmula (2.1.5) se reduce a la siguiente:

2.1.6.- ( )( ) ( )

1 !11 2

k kk

α

α α α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+ + +K , 1, 2,...k =

Si α es un entero positivo, entonces a partir de (2.1.6) se tiene:

2.1.7.- ( )

1 ! !1!

k kk

α αα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+ , 1, 2,...k =


16

De (2.1.7) se deducen los siguientes resultados importantes, para el caso en

que α es un número entero positivo,

2.1.8.- 11

1k kα α

α

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 1, 2,...k =

2.1.9.- 1 1

1 1k

kα

α⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝=

⎞⎟⎠ , 1, 2,...k =

La fórmula (2.1.9) además de constituir una importante identidad, tiene

incidencia significativa en operaciones numéricas. Obsérvense los siguientes

ejemplos:

2.1.10.- ( )1111 1k k

⎛ ⎞⎜⎝=

⎟⎠ , ( )2.1.9

11k

= ⊕

11k

=+

, 1, 2,...k =

2.1.11.- 1 113 221 1

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝= 13

⎞⎟⎠ , ( )2.1.9

1 21 113 13

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 2.14 15

=

1105

=


17

2.2.- Propiedades de las Contracciones Geométricas

2.2.1) 1 1α β α< ⇒ ⊕ < ⊕ β

2.2.2) 0 1 1,mínα α≤ ⊕ ≤

2.2.3) ( )( )1 1α α α⊕ + =

2.2.4) ( ) ( )11 1 1 ,α α α−⊕ + = > 0

0

0

2.2.5) ( ) 1 11 1 ,α α α− −⊕ = + >

2.2.6) ( ) 111 1 ,α α α−−⊕ = + >

2.2.7) ( )li m 1 1α

α→∞

⊕ =

2.2.8) ( ) ( )1 1 1p p pα α α− ⊕ = − ⊕

2.2.9) ( ) ( ) ( )11 1 1

q qp p pα α α α−− ⊕ = ⊕ − ⊕

qp

2.2.10.- Proposición.- Para cada número entero positivo n,

( ) ( )

0

(1 ) 1 (1 )k n

k q n knp p q p

k

nx x x

k

=− −−

=

⎛ ⎞⊕ = − ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠∑


18

Demostración.-

2.2.10.1.1) (1 ) (1 ) ( (1 ))np p q p q n p p nx x x x x− − −⊕ = ⊕ ⊕

( ) ( )( )1 1 1 , (2.2.8)nq np px x

−= ⊕ − ⊕

( ) ( ) ( )0

1 1k nq n kkp p

k

n1x x

k

=−

=

⎛ ⎞= ⊕ − ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( )

0

1 (1 )k n

k q n kp

k

nx

k

=− −

=

⎛ ⎞= − ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Ejemplo.

2.2.10.2) ( ) ( )5 512 3 4.3 31 1x x x x− −⊕ = ⊕

( ) ( ) ( )4 5 43

0

41 1

k kk

k

xk

= − −

=

⎛ ⎞= − ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 43 3 3 31 4 1 6 1 4 1 153x x x x= ⊕ − ⊕ + ⊕ − ⊕ + ⊕ x

El ejemplo (2.2.10.2) es equivalente a la siguiente descomposición en

fracciones parciales:


19

2.2.10.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 6 9 12 15

5 2 3 433 3 3 3

4 6 411 1 1 1

x x x x x xx 531x x x x x

= − + − +++ + + + +

2.3.- Serie de Contracciones Geométricas.

A partir de la relación 0 1 1, 0α α< ⊕ < > se deduce que la “Serie de

Contracciones Geométricas”

2.3.1.- ( )0

1 k

kα

∞

=

⊕∑

converge para cada número real positivo α .

2.3.2- Proposición. Para cada número entero no negativo n.

( ) ( ) ( )( )1

01 1 1 1 ,

k nk n

kα α α α

=+

=

⊕ = + − ⊕ >∑ 0

Demostración. Inducción Completa.

2.3.2.1) 0n =

Para el primer miembro de (2.3.2) se tiene,

( )0

01 1

kk

kα

=

=

⊕ =∑

y para el segundo miembro,


20

( ) ( )( ) ( ) ( )(0 11 1 1 1 1 1 )α α α α++ − ⊕ = + − + ⊕α

( )1 , 2α α= + − .2.4

1=

2.3.2.2) Hipótesis de Inducción.- Para algún número entero no negativo , n

( ) ( ) ( )( )1

0

1 1 1 1k n

k n

k

α α α=

+

=

⊕ = + − ⊕∑

2.3.2.3) Sea 1n n= +

( ) ( ) ( )0 0

1 1 1k n k n

k k

k k

nα α α= =

= =

⊕ = ⊕ + ⊕∑ ∑

( ) ( )( ) ( ) ( )11 1 1 1 , 2.3.2.2n nα α α+= + − ⊕ + ⊕

( ) ( )( ) ( )1 1 1 1n nα α α α= + − + ⊕ + ⊕

( ) ( )1 1 nα α α= + − ⊕

( ) ( )( )( )1 1 1 1 , (2.2.4)nα α α α= + − + ⊕ ⊕

( ) ( ) 11 (1 1 nα α )+= + − ⊕

2.3.3.- Proposición.- Para cada número real positivo α .

( )0

1 1k

kα α

∞

=

⊕ = +∑

Demostración.- Consideremos la relación,


21

2.3.3.1) ( )lim 1 0n

nα

→∞⊕ =

Ahora bien,

2.3.3.2) ( ) (0 0

1 lim 1k n

k k

nk k)α α

∞ =

→∞= =

⊕ = ⊕∑ ∑

( ) ( )( )1lim 1 1 1 ,n

nα α +

→∞= + − ⊕ (Prop. 2.3.2)

( )1 , 2.3.3.1α= +

2.3.4.- Proposición.- Para cada número entero no negativo n,

( ) ( )( )1 1 1 ,k n

k n

α α α α∞

=

⊕ = + ⊕ >∑ 0

k

Demostración.-

2.3.4.1) ( ) ( ) ( )1

0 0

1 1 1k n

k k

k n k k

α α α∞ ∞ = −

= = =

⊕ = ⊕ − ⊕∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 nα α α= + − + − ⊕

( )(1 1 n)α α= + ⊕

Ejemplos.-


22

2.3.5.- 3 3

2 217 5

k k

k k

∞ ∞

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

32 21 1 ,

5 5⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(Prop. 2.3.4)

22 2 8

5 7 245⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

2.3.6.- ( )2 2

1 1131 3

k

kk k

∞ ∞

= =

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠+∑ ∑

2

1 11 1 ,3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(Prop. 2.3.4)

1 1.3 1 3

=+

13 3

=+

2.3.7.- Problema.- Probar que para cada número real 1α > y cada número entero

0,n ≥

( ) 1

1 11k n

k n α α α

∞

−=

=−∑

Solución.-


23

2.3.7-1) ( )1 1(1 ) , 2.1.4.41

kk

k n k nα α

∞ ∞

= =

= ⊕−∑ ∑

1 1(1 )(1 ) ,1 1

n

α α= + ⊕

− −(Prop. 2.3.4)

( )11 1(1 ) , 2.2.31 1

n

α α−= ⊕

− −

1

1( 1). nα α −=

−

2.4.- Propiedades de las Contracciones Factoriales.

2.4.1) ( ),0 1 1q k α≤ ≤

2.4.2) ( ),lim1 0q k

k

α

→∞=

2.4.3) ( ),lim1 1 , 0, 1,2,...q k

qkα α

→∞= > =

2.4.4) ( ),lim1 1 , 1, 2,...q k kα

α→∞= =

2.4.5) ( ) ( ),

0lim1 1 , 1,2,...q k k

qkα α

→= =

2.4.6) ( ),

0lim1 0 , 1, 2,...q k kα

α→= =

2.4.7) ( ) ( ), ,1 1 , 1,2,...q k q k kα βα β≥ ⇒ ≥ =


24

2.4.8) ( ) ( ), ,1 1 , , 1,2,...q n q kn k n kα α> ⇒ ≤ =

Nota: Las propiedades anteriores son consecuencia directa de la definición de

Contracción Factorial.

2.5.- Suma Contractiva.

2.5.1.- Definición.- Para cada par de números reales no negativos ,α β se define la

“Suma Contractiva” α β⊕ del modo siguiente:

( )1lim 1x

xα

α β α β+

−

→⊕ = ⊕

Propiedades.-

2.5.2) 0 0 0β β⊕ = ⊕ =

2.5.3) ( ) 11 1 , ,α β α β α β−− −⊕ = + > 0

2.5.4) α β β α⊕ = ⊕

2.5.5) ( )( ) .α β α β α β⊕ + =

2.5.6) ( )1 1( ) 1 , ,α β α β α β− −⊕ + = 0>


25

2.5.7) ( )α β γ α β α γ⊕ = ⊕

2.5.8) ( ) ( )α β γ α β γ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕

2.5.9) 0 ,mínα β α≤ ⊕ ≤ β

2.5.10) ( )limα

α β β→∞

⊕ =

2.5.11) , , 0α α α β γβ γ β γ⊕ = >

+

Las propiedades anteriores muestran enlaces sintácticos muy fuertes entre el

operador de suma contractiva y el operador de suma usual en el conjunto de los

números reales.

En realidad, existen diferencias sintácticas no advertidas aquí; y además,

profundas diferencias semánticas entre ambos operadores.

El objetivo inmediato es la simplificación de algunos procesos de cálculo.

Obsérvese en detalle el siguiente ejemplo numérico de suma contractiva,

basado en la propiedad (2.5.11).

2.5.12) 2 5 4 10 20 20 20 20 20 203 8 9 7 30 32 45 14 30 32 45 14 121⊕ ⊕ ⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ = =

+ + +

La reducción de la suma contractiva a las operaciones usuales en los números

reales es apropiada y se ajusta perfectamente al contexto universal del cálculo

numérico.


26

El teorema siguiente registra una relación fundamental.- Este teorema es

referido como “Teorema de Multiplicación de Sumas” (T.M.S.).-

2.5.13.- Teorema . Sean 1

i ni i

x=

=, 1

i ni i

y=

=, , conjuntos de números reales

no negativos. Si existe un número real α, tal que para cada

2n ≥

,1 , ,i ii i n x y α≤ ≤ =

entonces,

1 1

i ni n

i ii i

x y α==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

donde, 1 21

i n

i ni

x x x x=

=

= ⊕ ⊕ ⊕⊕ K .

Demostración.- Distinguiremos dos casos.

2.5.13.1) 0α = ,

Si , entonces existe un índice para el cual En tal caso,

Por lo tanto, se tiene que

1

0i n

ii

y=

=

≠∑ 0i 0 0.iy ≠

. 0io io iox y x= ⇒ = 0.1

0i n

ii

x=

=

=⊕ , lo que prueba el

teorema.

2.5.13.2) 0α > ,

En este caso, razonaremos por Inducción Completa.


27

2.5.13.3) . La hipótesis del teorema se reduce a, 2n = 1 1 2 2. .x y x y α= =

Luego,

2.5.13.4) ( )( ) ( )( )1 11 2 1 2 1 2 1 2x x y y x x x xα α− −⊕ + = ⊕ +

( )( )1 11 2 1 2x x x xα − −= ⊕ +

α= , (2.5.6)

2.5.13.5) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para algún

número entero . 2n ≥

2.5.13.6) Sea 1n n= + . Consideremos dos conjuntos de números reales

no negativos 1

i ni i

x=

=, 1

i ni i

y=

= tales que, , 1i ix y i nα= ≤ ≤ ,

Luego,

2.5.13.7) 1 11 1

i n i ni n i n

i i n i ni ii i

ix y x x y y= == =

= == =

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

∑ ∑⊕ ⊕

Pero por Hipótesis de Inducción, debe ocurrir que,

2.5.13.8) 1 1

i ni n

i ii i

x y α==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

Además, n nx y α=

Razonando ahora en (2.5.13.7) de la misma forma en que se hizo para

(2.5.13.4) se tiene,


28

2.5.13.9) 1 1

i ni n

i ii i

x y α==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

Los siguientes ejemplos constituyen aplicaciones del T.M.S.

2.5.14.- Ejemplo.- Un capataz de obras contrata n obreros altamente

especializados, con el objeto de formar un equipo (trabajo simultáneo) para realizar

un trabajo de magnitud W . Como desea tener una estimación del tiempo en el cual

concluirá la obra; ejecuta una consulta individual sobre el tiempo en que cada

trabajador supone que realizará la tarea trabajando sólo. Los datos obtenidos son

. 1 2, , , nT T TK

El siguiente razonamiento permite al capataz obtener el valor buscado.-

“Cada obrero tiene una eficacia propia (trabajo por unidad de tiempo).

Luego, para cada , se tiene

ie

, 1i i≤ ≤ n i iT e W= .

La eficacia del equipo es 1

i n

ii

e=

=∑ . Si T es el tiempo buscado, debe ocurrir que

. Pero el T.M.S. afirma que 1

.i n

ii

T e W=

=

=∑

1 1

i ni n

i ii i

T e==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ W=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

Por lo tanto, es el tiempo estimado que el capataz desea conocer”. 1

i n

ii

T=

=

=⊕T


29

2.5.15. Ejemplo.- Supóngase que un móvil recorre rectilíneamente con velocidad

variable una distancia en un tiempo . Subdividamos en etapas , 1

(En general, diferentes) y t en periodos , donde es el tiempo de duración del

movimiento en la etapa correspondiente . Bajo estas condiciones, existen

números reales

s t s n kE k n≤ ≤

n kt kt

kE n

1 2, , , nλ λ λK con la propiedad 1

1i n

kiλ

=

=

=⊕ , tales que,

1

k nk

kk k

Est t

λ=

=

=⊕

En efecto, para cada índice ,1k k n≤ ≤ existe un número real kλ tal que

.k kE sλ = . Aplicando el T.M.S. se tiene,

1 1

k nk n

k kk k

E sλ==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕

Pero 1

k n

kk

E s=

=

=∑ , de donde 1

1k n

kk

λ=

=

=⊕ .

Por otra parte, para cada , 1k k n≤ ≤ ,

. .kk k

k

E t st

λ =

Luego, 1 1

.k nk n

kk k

k kk

E tt

λ==

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ s=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑⊕ , (T.M.S.)


30

donde, 1

k n

kk

t t=

=

=∑

Por lo tanto,

1

.k n

kk

k k

E st t

λ=

=

=⊕

Nota: El ejemplo (2.5.15) tiene aplicaciones relevantes en el estudio del movimiento

rectilíneo.

2.5.16.- Proposición.- Para cada conjunto 1

i ni i

x =

=de números reales positivos,

1

1

11

i n i n

i iii

x x−= =

−

==

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ⊕

Demostración.- Para cada 1, 1 , . 1i ii i n x x−≤ ≤ =

2.5.16.1) Luego, (T.M.S.) 1

1 1

1i ni n

i ii i

x x==

−

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑⊕ ,

De donde,

2.5.16.2) 1

1

1 1

i ni n

i ii i

x x−==

−

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑⊕


31

2.6.- Identidades Factoriales y otras Proposiciones.

2.6.1.- Primera Identidad Factorial. (P.I.F.)

( ) ( ) ( )1 ,1 .1 1 ,q k k q k q qα α−⊕ 0= >

Demostración.- Inducción Completa.

2.6.1.1) Para 0k = , la identidad es obvia.

2.6.1.2) Hipótesis de Inducción.- Sea válida la identidad para algún entero

. 0k ≥

2.6.1.3) Sea 1k k= + , luego,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1, ,11 .1 1 .1 . 1 .1q k q kk q kq k kqα α αα− −

−= ⊕ + ⊕

( )( )( )( ) ( )11 1 1 .1 k qkq k kq αα

− ⊕= ⊕ + ⊕

( ) ( )1 .1 , (2.6.1.2) , (2.2.4)k qkq k αα ⊕= ⊕ ⊕

( ) ( )1 ( ) .1 k qk q αα ⊕= ⊕ ⊕

( )1 k qα⊕=


32

La demostración de las siguientes proposiciones puede buscarse en la Lección

Nº 2 del curso sobre Cálculo Contractivo (www.contractil.com).

2.6.2.- Segunda Identidad Factorial (S.I.F.)

( ) ( ) ( )1 11 1 .1 , 1, 2,...k kk kα αα − ⊕= ⊕ =

2.6.3.- Tercera Identidad Factorial (T.I.F)

( ) ( ) ( ) ( ), , 1 111 1 .1 , 0, 1,2,...q k q kq k q q kα αα − ⊕−= + ⊕ ⊕ > =

2.6.4.- Proposición.-

( ) ( ) ( )1 1 11 1 1 , 1,2,...k k k kα α α⊕ − ⊕= ⊕ =


( ) ( )1

01 1 , 1, 2,...

i kk k

ikα α

=⊕

=

= =⊕

2.6.6.- Proposición.- Si son números enteros no negativos, entonces, ,n k

( ) ( ) ( ), ,1 1 .1q n k q n q n k,α α α+ +=


33

2.6.7.- Proposición.- Si son números enteros no negativos, entonces, ,n k

( ) ( ) ( ),1 1 .1n k n n kα α α+ =


( )1,1, 11 1 , 1, 2,...

qq k k k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

2.6.9.- Proposición.- Si son números enteros positivos, entonces, ,n k

1 1, ,

1 1q k q n

n k⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠=

Las fórmulas (2.6.8) y (2.6.9) son fórmulas de simplificación y tienen

incidencia significativa en operaciones numéricas.

Por ejemplo.

2.6.10.- ( )13,13,7 1 71 1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

3 117+

= ⊕

3 13 8+

=+


34

2.6.11.- 1 12 ,13 2 ,33 11 1

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ 3

⎞⎟⎠=

2 1 2 2 2 31 1 113 13 13

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + += ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

⎟⎟⎠

( )( )( )

( )( )( )2 1 2 2 2 3

2 14 2 15 2 16

+ + +=

+ + +

2.7.- Serie Factorial.

Para cada par de números reales no negativos ,qα , la serie

2.7.1.- ( ),

0

1 q k

k

α∞

=∑

es referida como “Serie Factorial”.

2.7.2.- Proposición.- La serie,

( )1

0

1 k

k

∞

=∑

es divergente.

Demostración.- Aplicando (2.1.10) se tiene,


35

2.7.2.1) ( )11 0

1 1 1, 2,...1

ksi k

si kk

=⎧⎪= ⎨

=⎪ +⎩

luego,

2.7.2.2) ( )1

0 0

1 111

k

k k kk k

∞ ∞ ∞

= =

= =+∑ ∑ ∑

1=

Por lo tanto, la serie ( )1

0

1 k

k

∞

=∑ es una representación de la serie armónica, la cual

es divergente.

2.7.3.- Proposición.- Para cada número real 0α ≥ la serie

( )1

0

1 k

k

α∞

+

=∑

es divergente.

Demostración.- Para cada número entero no negativo ,k

2.7.3.1) ( ) ( )1 11 1 ,k kα α+ ≥ 0≥ , (2.47)

Luego, comparando con la serie (2.7.2), se prueba la Proposición.


36

2.7.4.- Proposición.- Para cada par de números reales no negativos ,qα , la serie

( ), 1

0

1 q k

k

α∞

+

=∑

es divergente.

Demostración.- Es suficiente hacer la comparación con la serie (2.7.3).

2.7.5.- Teorema.- Para cada par de números reales no negativos , qα , y cada

número entero no negativo , n

( ) ( ), 1 , 1

0

1 (1 ( 1) ) (1 1k n

q k q n

k

qα αα=

⊕ +

=

= + + −∑ )

Demostración.-

2.7.5.1) Si 0α = , el teorema es evidente.

2.7.5.2) Para 0α > , razonamos por Inducción Completa.-

2.7.5.3) . Para el primer miembro de (2.7.5) se tiene: 0n =


37

( ) ( )0

, 1 ,0 1

0

1 1k

q k q

k

α α=

⊕ ⊕

=

1= =∑

y para el segundo miembro,

( ),0 1(1 ( 1) ) (1 1 ) (1 ( 1) )(1 (1 ( 1) )qq qα qα α α++ + − = + + − ⊕ + , (2.1.3)

1 ( 1) (1 ( 1) ) (1 ( 1) )q q qα α α= + + − + + ⊕ +

1 ( 1) ( 1)q qα α= + + − + , (2.2.3)

1=

2.7.5.4) Hipótesis de Inducción.- Para algún número entero positivo , n

( ) ( ), 1 , 1

0

1 (1 ( 1) ) (1 1k n

q k q n

k

qα αα=

⊕ +

=

= + + −∑ )

2.7.5.5) Sea 1n n= +

( ) ( ) ( ), 1 , 1 , 1

0 0

1 1 1k n k n

q k q n q k

k k

α α α= =

⊕ ⊕

= =

= +∑ ∑ ⊕

( ) ( ), 1 ,1 1( 1) ( 1 )1 (1 ( 1) ) (1 1q n q nq n q qα αα α+− −= + + + + + + + − ) (T.I.F.), (2.7.5.4)

( ), 11 1 1 1(1 ( 1) ) (1 (( 1) (1 ( 1) )).1 q nq q n q n αα α α +− − − −= + + + + + − + + +


38

( ), 1(1 ( 1) ) (1 1 )q nq αα += + + −

2.7.6.- Teorema.- Para cada número real no negativo α ,

( ), 1

0

1 1 (q k

k

qα 1)α∞

⊕

=

= + +∑

Demostración.-

2.7.6.1) ( ) ( ), 1 , 1

0 0

1 lim 1k n

q k q k

nk k

α α∞ =

⊕ ⊕

→∞= =

=∑ ∑

( ), 1lim(1 ( 1) ) (1 1 )q n

nq αα +

→∞= + + − , (Teor. 2.7.5)

1 ( 1)q α= + + , (2.4.2)

Observación.- La proposición (2.7.4) y el Teorema (2.7.6) se refieren al

comportamiento de la serie factorial.

( ),

0

1 ,q k x

k

x∞

=

≥∑ 0

1

En efecto, la Proposición (2.7.4) afirma que la serie diverge para y el

Teorema (2.7.6) afirma que la serie converge para

1x ≥

0 x≤ < , proporcionando además,

el valor límite de la serie.


39

Las notaciones usadas son útiles en cálculo contractivo. Es necesario

percatarse de lo siguiente: “Si α es un número real no negativo entonces

y ”. [ )1 1,α+ ∈ ∞ [ )1 0α⊕ ∈ ,1

2.7.7.- Teorema.- Para cada número real 0α ≥ ,

( ) ( ), 1 ,1 (1 ( 1) ).1 , 0,q k q n

k n

q nα αα∞

⊕

=

= + + =∑ 1,...

Demostración.-

2.7.7.1) ( ) ( ) ( )1

, 1 , 1 , 1

0 0

1 1 1k n

q k q k q k

k n k k

α α α∞ ∞ = −

⊕ ⊕

= = =

= −∑ ∑ ∑ ⊕

( ), 11 ( 1) (1 ( 1) ) (1 1 )q nq q αα α ⊕= + + − + + −

( ), 1(1 ( 1) )1 q nq αα ⊕= + + , (2.7.5, 2.7.6)

Los siguientes ejemplos muestran la naturaleza de las series que pueden

representarse mediante series factoriales.

2.7.8.- Ejemplo:

Estudiar el comportamiento de la serie:


40

7.11 7.11.15 7.11.15.1913.17 13.17.21 13.17.21.25

λ = + + +K

y determinar su valor límite si es convergente.

Solución.-

2.7.8.1) 7 11 7 11 151 1 1 1 16 6 6 6 6

λ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

K , (2.1.4.4)

3 4.1 3 4.2 3 4.1 3 4.2 3 4.31 1 1 1 16 6 6 6 6+ + + + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠K

3 2 3 2,2 ,34 3 4 31 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= + +K

3 2,4 3

2

1k

k

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑

Se observa de inmediato que la serie es convergente.

Escribiendo ahora 2 1 23= ⊕ , se tiene

2.7.8.2) 3, 1 24

2

1k

k

λ⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

=

= ∑

3,2 243(1 ( 1).2).1

4

⎛ ⎞⎜⎝= + +

⎟⎠ , (Teor. 2.7.7)


41

7 7 11 1 12 2 2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛= + ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

1⎞⎟⎠

7 11.2 13

=

7726

=

Esto es,

2.7.8.3) 7.11 7.11.15 7713.17 13.17.21 26

+ + =K

2.7.9.- Ejemplo:

Estudiar el comportamiento de la serie

8 8.10 8.10.128 2 (8 2)(10 2) (8 2)(10 2)(12 2)

σ = + + ++ + + + + +

K

Solución.-

2.7.9.1)

8 8 10 8 10 121 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2

σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ + ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

K,(2.1.4.4)


42

( ) ( )( ) ( )( )( )1 4 2 1 4 2 1 5 2 1 4 2 1 5 2 1 6 2= ⊕ + ⊕ ⊕ + ⊕ ⊕ ⊕ +K

( ) ( ) ( )3,1 2 3,2 2 3,3 21 1 1= + + +K

( )3, 2

1

1 k

k

∞

=

= ∑

La serie diverge con arreglo a la Prop. (2.7.4).

2.8.- Analogía Geométrico-Factorial.

Si se aplican los Teoremas (2.7.5), (2.7.6) y (2.7.7) para el caso 0q = , se

obtienen las siguientes fórmulas:

2.8.1.- ( ) ( )1 1

0

1 (1 )(1 1k n

k n

k

α αα=

⊕ +

=

= + −∑ )

2.8.2.- ( )1

0

1 1k

k

α α∞

⊕

=

= +∑

2.8.3.- ( ) ( )11 (1 )1k n

k n

α αα∞

⊕

=

= +∑

Por otra parte, para la serie de contracciones geométricas se tiene ( 0)α >

2.8.4.- (Prop. 2.3.2) ( ) ( ) 1

0

1 (1 )(1 1k n

k

k

α α α=

+

=

⊕ = + − ⊕∑ )n


43

2.8.5.- ( )0

1 1k

k

α α∞

=

⊕ = +∑ (Prop. 2.3.3)

2.8.6.- ( )1 (1 )(1k n

k n

)α α α∞

=

⊕ = + ⊕∑ (Prop. 2.3.4)

La perfecta analogía que se observa entre las parejas de fórmulas

, y (2.8.1) (2.8.4)↔ (2.8.2) (2.8.5)↔ (2.8.3) (2.8.6)↔ , tiene gran importancia

teórica; y es referida como “Analogía Geométrico- Factorial”.

Obsérvese que la analogía entre las fórmulas (2.8.2) y (2.8.5) es más profunda.

Resumiremos este resultado en la siguiente forma:

2.8.7.- ( )1

0 0

(1 ) 1 1 , 0kk

k k

αα α∞ ∞

⊕

= =

⊕ = = + >∑ ∑ α

El siguiente ejemplo permitirá ver el alcance de la relación (2.8.7).

2.8.8.- Ejemplo:

Considérense las siguientes series numéricas:

2 32 2 21

3 3 3σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠K

2 2.4 2.4.615 5.7 5.7.9

λ = + + + +K


44

Estas series pueden representarse de la siguiente manera:

( ) ( )1 2

0 0

1 2 , 1k k

k k

σ λ∞ ∞

⊕

= =

= ⊕ =∑ ∑

luego, según (2.8.7) debe tenerse que,

1 2 3σ λ= = + =

Es claro que σ puede obtenerse por métodos convencionales. En efecto,

1 3213

σ = =−


45

2.9.- Formas Factoriales para la Función Beta.

Se usará la definición siguiente:

2.9.1.- ( ) ( )1

11

0

, 1 , ,yxB x y t t dt x y−−= −∫ 0>

2.9.2.- Teorema.- Primera Forma Factorial de Beta. (PFFβ)

Para cada número real positivo α ,

( ) ( )111, .1 , 1, 2kk kαβ α α−−−= = K,

Demostración.- Inducción Completa.-

2.9.2.1) , 1k = ( )111 11 1 1

0

( ,1) .1B t dt ααα α α−−− − −= = =∫

2.9.2.2) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el teorema para algún número

. 1k ≥

2.9.2.3) Sea 1k k= +

( ) ( )1

1

0

, 1 kB k t tαα −= −∫ dt


46

( ) ( )1 1

1 11

0 0

1 1k kt t dt t t dtα α− −−= − − −∫ ∫

( ) ( ), 1 ,B k B kα α= − +

( ) ( ) ( )1 11 111 1 1k kαα α 1 (1 )α− −− −−= − +− + , (2.9.2.2)

( ) ( ) ( ) ( )1 111 1 11 1 1 1k kkα αα α α− −−− − −= − ⊕ +

( )11 1 1( (1 ) )1 kk k α

α α−

− − −= + − , (SIF)

( )111 k αα

−−=

Ejemplos.

2.9.2.4) 3422 3 3 3.6.9.12 729,5 .1 .

3 2 2 5.8.11.14 1540B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2.9.2.5) ( )1251 1 1.25,3 .1 .

5 5 (1 5)(2 5)B

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =

+ +

25(1 5)(2 5)

=+ +


47

2.9.3.- Teorema.- Segunda Forma Factorial de Beta (SFFβ).


( ) ( )111 , .1 , 1, 2,kk kk

αβ α−

+ = = K

Demostración.-

2.9.3.1) ( ) ( )11 (1 )11 , (1 ) .1 kk αβ α α−− +−+ = + , (PFFβ)

( )11 11(1 ).1 k αα

−− ⊕−= ⊕

( ) ( )11 1(1 ) 1 .1 kk αα α

−− −= ⊕ + , (SIF)

( )11 .1 k

kα−

=

2.9.4.- Teorema.-

Para cada número real positivo α , la serie

( )1

1 ,k

kβ α∞

=

⊕∑

es divergente.


48

Demostración.-

2.9.4.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )1

1 1

1 , 1 .1 k

k k

k αβ α α−∞ ∞

− ⊕−

= =

⊕ = ⊕∑ ∑ ) , (PFFβ)

( )11 11

1

(1 ).1 k

k

αα−∞

− +−

=

= +∑

( )111

0

(1 ).1 k

k

αα−∞

+−

=

= +∑

Pero la serie ( 11

0

1 k

k

α−∞+

=∑ )

)

)

es divergente con arreglo a la Prop. 2.7.3 . Luego, la

serie

(1

1 ,k

kβ α∞

=

⊕∑ también diverge.

Nota: Obsérvese que la serie también diverge. (1

1,k

kβ∞

=∑

2.9.5.- Teorema.- (J. N.Urra)


( ) 1

1

1 ,k

kβ α α∞

−

=

+ =∑

Demostración.-

2.9.5.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )1

1 1

1 , 1 .1 k

k k

k αβ α α−∞ ∞

− +−

= =

+ = +∑ ∑ ) , (PFFβ)


49

( )11 11

1

(1 ) 1 k

k

αα−∞

− ⊕−

=

= ⊕ ∑

( )111

0

(1 ) 1 k

k

αα−∞

⊕−

=

= ⊕ ∑

1(1 )(1 )1α α−= ⊕ + − , (2.8.2)

1α −= , (2.2.3)

2.9.6.- Teorema.- (Urra-Saavedra)


( ) ( )1 , , , 1, 2,...k n

k n nβ α β α∞

=

+ = =∑

Demostración.-

2.9.6.1) ( ) ( ) ( 11 (1 )11 , 1 1 k

k n k n

k αβ α α )−∞ ∞− +−

= =

+ = +∑ ∑ , (PFFβ)

( )111

1

(1 ) 1 k

k n

αα−∞

⊕−

= −

= ⊕ ∑

( )111 1(1 ) (1 )1 n αα α

−−− −= ⊕ + , (2.2.8.3)


50

( )1111 n αα−−−=

( ),nβ α= , (PFFβ)

2.9.7.- Proposición.- Para cada número real positivo α .

( ) ( ) ( )1 , , , 1 ,k m

k n

k n m m nβ α β α β α=

=

+ = − + ≥ ≥∑ 1

k

Demostración.-

2.9.7.1) ( ) ( ) ( )1

1 , 1 , 1 ,k m

k n k n k m

k kβ α β α β α= ∞ ∞

= = = +

+ = + − +∑ ∑ ∑

( , ) ( , 1)n mβ α β α= − +

0

1

, (Teor. 2.9.6)

Nota: Los Teoremas (2.9.4), (2.9.5) y (2.9.6)se refieren al comportamiento de la

“Serie de funciones Beta”

( )1

, ,k

x k xβ∞

=

>∑

En efecto, la serie diverge si 0 x< ≤ y converge solamente si . En tal

caso, el valor límite de la serie se determina mediante el Teorema de Urra-Saavedra.

1x >


51

Consideremos nuevamente la primera forma factorial de beta. Esto es,

2.9.8.- ( ) ( )11, 1 .1 , 0,1, 2,kk kαβ α α

−−+ = = K

Luego,

2.9.9.- ( ) ( )( ) ( )!, 1

1 2kk

kβ α

α α α α+ =

+ + +L , (2.1.6)

Si α es también un número entero, entonces,

2.9.10.- ( ) ( ) ( )( 1)!, ,

1 1k

k k k1,2,αβ α α

α−

= =+ + −

KL

Las fórmulas (2.9.9) y (2.9.10) permiten reconocer series que pueden

representarse por medio de funciones beta.

Ejemplos.

2.9.11.- Problemas.- Determinar el valor límite de la serie

3

1( 1)( 2)( 3)( 4)k k k k k k

∞

= + + + +∑

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie 9.11.

luego,

2.9.11.1) 3

1 4!4! ( 1)( 2)( 3)( 4)k k k k k k

λ∞

=

=+ + + +∑


52

( )3

1 5,24 k

kβ∞

=

= ∑

Aplicando ahora el Teorema de Urra-Saavedra se tiene,

2.9.11.2) 1 (4,3)24

λ β=

1 2!.24 4.5.6

=

11440

=

Esto es,

2.9.11.3) 3

1 1( 1)( 2)( 3)( 4) 1440k k k k k k

∞

=

=+ + + +∑

2.9.12.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie,

1

0

51k

kk

−∞

=

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑

Solución.-

2.9.12.1) ( )( )

1

0 0

5 1 !.4!1 5 !k k

k kk k

−∞ ∞

= =

+ +⎛ ⎞=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

∑ ∑

( )( )( )( )0

3!42 3 4 5k k k k k

∞

=

=+ + + +∑


53

( )0

4 4,k

kβ∞

=

= +∑ 2

( )2

4 4,k

kβ∞

=

= ∑

( )4 3,2β=

13

=

Esto es,

2.9.12.2) 1

0

5 11 3k

kk

−∞

=

+⎛ ⎞=⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑

2.9.13.- Observación Importante

La contracción factorial 1,

1q k

α⎛ ⎞⎜⎝

⎟⎠ se extiende al caso 0α = , definiendo,

2.9.13.1) 1 1, ,0

01 lim 1

q k q kx

x +

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

→=

⎞⎟⎠

Es necesario percatarse de los siguientes aspectos relevantes de la definición

(2.9.13.1).


54

2.9.13.2) La definición (2.9.13.1) da sentido formal a la contracción factorial 1,01

q k⎛ ⎞⎜⎝

⎟⎠ pero no al cociente “ 1

0”.

2.9.13.3) En cada caso, 1,01 1 , 1, 2

q kk

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = = K,

Por otra parte,

2.9.13.4) “ La Definición (2.1.3) de contracción factorial puede aplicarse sin

modificaciones para números reales ”. 1q > −

Además son válidos para , todos los teoremas y proposiciones en los

cuales se aplica esta definición, siempre que no contemplen restricciones adicionales

para q.

1q > −

2.10.-Aplicaciones al Cálculo de Integrales Impropias


( ) ( )221 1 ,d x x x xdx

−⊕ = ⊕ > 0

Demostración.-

2.10.1.1) ( ) 11 ( (1 ) ) , (2.1.1)d dx x xdx dx

−⊕ = +


55

1 2(1 ) (1 )x x x− −= + − +

2(1 ) (1 )x x x−= + + −

(1 2)x −= + 2 2 1( (1 ) )x x x− −= +

2 2(1 )x x−= ⊕

Otra forma para la derivada de (1 )x⊕ es

( ) 21 (1 (1 )) , (2.2.8)d x xdx

⊕ = − ⊕ 2.10.2.-


1 2(1 ) (1 )p pd px px xdx

− −⊕ = ⊕

Demostración.-

2.10.3.1)

2 2(1 ) (1 ) .p p pd 1px x x pxdx

− −⊕ = ⊕ , (10.)

1 2(1 )p ppx x− −= ⊕


1 1(1 ) (1 )p q p p qd x pqx xdx

− − +⊕ = ⊕


56

Demostración.-

1 1(1 ) (1 ) (1 )p q p q p pd 2x q x px x2.10.4.1) dx

− − −⊕ = ⊕ ⊕ , (2.10.3)

q

1 1(1 )p ppqx x− − += ⊕

a la derivada de

(1 )p qx⊕ es: Otra forma par

2.10.5.- 1 1(1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q p qd x pq x x xdx

− −⊕ = ⊕ − ⊕ , (2.2.9)

2.10.6.- Problema.- Determinar el valor límite de la integral impropia,

( ) 10

, 0, 1, 21 k

x dx kx

α

α α ,+ + > =+∫ K

Solución.-

∞

2.10.6.1) ( )

( ) ( )11 1

1k

k dx xx

αα

−+ + = ⊕ ⊕

+∫ ∫1

0 0

1x x dxα∞ ∞

+

( ) 1

0

1 (1 (1 ))kx x dα∞

+= ⊕ − ⊕∫ x

Haciendo el cambio de variable 1 x t⊕ = , se tiene


57

( )( )

11

10 0

11

kk

x dx t t dtx

αα

α

∞−

+ + = −+∫ ∫ 2.10.6.2)

( )1 ,kβ α= +

Aplicando la S.F.F.β. se tiene,

2.10.6.3) ( )

1

10 1 kx+

1 .1 , 0, 1,2,k

kx dx kα

αα α

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + = > =∫ K

Puede comprobarse directamente, que con arreglo a la Definición (2.9.13.1);

la fórmula (2.10.6.3) es también válida para

0α = .

El siguiente teorema constituye un ación relevante de las contracciones

ctoria

2.10.7.- Teorema.- Para cada número real positivo

a aplic

fa les.-

y cada número entero p

positivo k,

( )(1 ) 1 k pp kx dx− = 1

∫

0

Demostración.- Haciendo el cambio de variable u x p= , se tiene,

( )11 1 1

2.10.7.1) 0 0

11 (1 )kp kpx dx u u du

−− = −∫ ∫

p

1 1( , 1)kβp p

= +


58

( )1 k p= , (PFFβ)

r (2.10.7) cepto

e contracción factorial.

.10.11.- Definición.- Para cada par de números reales positivos

La fórmula p oporcionada en el Teor. permite generalizar el con

d

se define 2 , pα

la Contracción Factorial Generalizada, por la relación,

( )1

0

1 (1 )p px dxα α

Para el , el cambio de variable

= −∫

caso 2p = x sent= induce la transformación

( )2

2 2 1

0

1 (cos )t d

π

α α+= ∫ 2.10.12.- t

La fórmula (2.10.12) puede ser usada en dos sentidos diferentes. Para calcular

iembro, o para calcular la contracción factorial del primer

iembro.

los s uientes ejemplos.

.10.12.1)

la integral del segundo m

m

Obsérvense ig

( )2

3 2 16π

7

0

cos 135

t dt = =∫ 2


59

( )2π

5 211

0

256s 1693

en t dt = =∫ 2.10.12.2)

1 222 21 cos t dt

0 4

π

π⎛ ⎞⎜ ⎟

2.10.12.3) ⎝ ⎠ = = =∫

.10.12 )

3 22212 .4 4

0

3cos16

t dt

π

π⎛ ⎞⎜ ⎟

= = =∫

La primera forma factorial para la función beta (PFFβ) se extiende también a

⎝ ⎠

contracciones factoriales generalizadas, tomando la forma siguiente:

1

1( ,1 ) 1 , 0, 0pp p2.10.13.- p

αβ α α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ = > ≥

En efecto,

dx

Haciendo el cam

1

1

0

( ,1 ) (1 )pp x x αβ α −+ = −∫ 2.10.13.1)

bio 1px t= se tiene,

2.10.13.2) 11

0

1( ,1 ) (1 )pp t dp

αβ α+ = −∫ x

11 .1 p

p

α⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=


60

El Teorema que sigue resume un e las propiedades más relevantes de las

contracciones factoriales generalizadas.

, e se obtiene

partir de su relación con la función gama.


a d

Previamente demostraremos una propiedad de la función beta qu

a

( ) ( ),1 1 ,x x y y x yβ β+ = +

Demostración.-

.10.14.1)

( ) ( ) (1 ),1( 1 )

x x yx x yx y

β Γ Γ ++ =

Γ + + 2

(1 ) ( )( 1 )

x y yx y

Γ + Γ=

Γ + +

(1 , )y x yβ= +

2.10.15.- Teorema.- Para cada par de números reales positivos , , pα

( ) ( )1 1pp αα− −

1 1=

ostración.- A partir de la PFFβ se tienen las siguientes relaciones:

Dem


61

( ) 11 p p 1( ,1 )pα β α−= + −2 .1.10.15 )

( )1 111 ( ,12.10.15.2) )

pp

αα β α

− −−= +

Aplicando la Prop. (2.10.14) se tiene,

2.10.15.3)

( ) ( )1 1pp αα− −

1 1=

Los siguientes ejemplos son aplicaciones del Teor. (2.10.15).

2.10.15.4)

11 32

3 2 61 1(1 2)(2 2)(3 2)

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =+ + +

2.10.15.5) 1 2 3 22 3 2 31 1

16π⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = , (2.10.12.4)

1 113 23

0∫2.10.15.6) 1 1x dx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− =

( )2 3 9114

= =

11 5

5 33

0

(1 )x−∫ 1dx⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= 2.10.15.7)

1351

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=


62

6=

(1 5)(2 5)(3 5)+ + +

Los siguientes problemas constituyen aplicaciones a la integración numérica.

.10.16.- Problema.- Calcular la integral definida.

2

4793

0

3(1 )2

I x dx= −∫

49

x t= Solución.- El cambio de variable induce la siguiente transformación.

.10.16.1) 1 7

3

0

4 (1 )9

I t dt= −∫ 2

7 13 24 .1

9

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

3274 .1

9⎜ ⎟⎝⎛ ⎞

⎠=

465

=


63

2.10.17.- Problema.- Calcular el valor límite la integral impropia.

4

200 3(1 )

xI dxx

∞

=+

∫

ción La integral puede escribirse en la forma,

.10.17 )

Solu .-

2 .183 (1

203

0

)I x x dx∞

= ⊕∫

,

−

Haciendo el cambio de variable 5(1 )u x= ⊕ se tiene

1 2

5 3

0

1 (1 )5

I u du= −∫ 2.10.17.2)

2 13 51 .1

⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞

5

3521 .1

5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

72913090

=


64

2.10.18.- P lema.- Probar que,

rob

1 1 , 0px dx p

∞ −

10 (1 ) px p+ = >

+∫

Solución.-

1

2 11

0 0

(1 )(1 )

pp

p

x dx x x dxx

∞ ∞−− +

+ = ⊕+∫ ∫ 2.10.18.1)

2 1

0

lim (1 )t

p

tx x d− +

→∞= ⊕∫ x

1lim (1 )0

p

t

tx

p→∞

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (Prop. 2.10.)

1lim (1 )t

tp→∞

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠

1p

= , (2.2.7)


65

2.10.19.- Teorema.- Forma Factorial Generalizada para la función Beta

Para cada par de números reales positivos

(FFGβ)

,x y ,

( ) ( ) ( )11 1, 1 y xx y x yβ

−− −= +

Demostración.- Consideremos la conocida relación,

.10.19.1)

( ) ( ) ( ), , 1 1,x y x y xβ β β= + + + 2 y

luego,

( ) ( )1 11 1( , ) .1 .1y x x yx y x yβ

− −

2.10.19.2) − −= +

, (PFFβ)

( ) ( )1 11 1.1 .1y x y xx y

− −− −= + , (Teor. 2.10.13)

( )11 1( ).1 y xx y

−− −= +

Ejemplos.-

1 222.10.19.3) 1 1( , ) (2 2β = + ).1

2 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , (2.10.12.3)


66

4.4π

=

π=

3 221 3 2( , ) (2 ).1

2 2 3β

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= + 2.10.19.4)

8 3.3 16

π= , (2.10.12.4)

2π

=

143( 3,4) ( ).1

43β ⎝ ⎠= + 2.10.19.5) 1 1 ⎛ ⎞

⎜ ⎟

4 3 24.4 3 (1 3)(2 3)(3 3)(4 3)+

=+ + + +

243(1 3)(2 3)(3 3)

=+ + +

Observación.- El Teorema (2.10.19) puede escribirse en la siguiente forma.-

.10.20.- ( )1x⎛ ⎞

⎜ ⎟2 1 ( ) , , , 0y x y x y x yβ⎝ ⎠ = ⊕ >

plícita la importante propiedad.

en la fórmula (2.10.20) yace im

1 1

1 1x y

y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 2.10.20.1)


67

2.10.21.- Proposición.- Para cada par de números reales , pα tales que 0, 1pα > > ,

11 1

0 1 )x1 1

(

p

p

x dxα

αα α

⎛ ⎞∞ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

2.10.21.1)

+∫

Demostración.-

11 1 1

0 0

(1 ) (1 )(1 )

pp

x dx x x dxx

αα

α

∞ ∞−− − +

+ = ⊕ ⊕+∫ ∫

1 1

0

(1 ) (1 (1 )) px x dα∞

− += ⊕ − ⊕∫ x

Haciendo el cambio de variable

1t x= ⊕ se tiene,

2.10.21.2) 11

1 1

0 0

pxα α∞ −

− −∫ ∫ (1 )(1 ) p dx t t dt

x α+ = −+

( ), pβ α=

( ), ( 1) 1 , ( 1 )p pβ α= − + >

111 1

pα

α

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= , (PFFβ)


68

2.10.22.- Proposición.- Para cada par de números reales positivos , , pα

1

10 )x α+∫

1 .1(1

pp

x dxp

α α⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + =

Demostración.-

2.10.22.1)

1 11

0 0

(1 ) (1 )(1 )

pp

x dx x x dxx

αα

α

∞ ∞− +

+ + = ⊕ ⊕+∫ ∫

1

0

(1 ) (1 (1 )) px x dα∞

+= ⊕ − ⊕∫ x

Mediante el cambio de variable

1t x= ⊕ se tiene,

1

11

0 0

(1 )(1 )

pp

x dx t t dtx

αα

α

∞−

+ + = −+∫ ∫ 2.10.22.2)

(1 , )pβ α= +

1

1 α⎛ ⎞⎜ ⎟

.1 p

p⎝ ⎠= , (PFFβ)

ota: L 10.22) es también válida si

0α =N a Prop. (2. .

2.10.23.- Teorema.- Para cada número real

, 1p >


69

11

pp pdx p

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟

0

.11 1px p

−⎝ ⎠=+ −∫

Demostración.- El cambio de variable pt x= induce la siguiente

trasformación:

1 11 1

20 0 0

1 1 (11 1 (1 )

p p

p

)t t tdt dtx p t p t

− −∞ ∞ +

=+ + +∫ dx∞

=∫ ∫2.10.23.1)

1 2 1 1 1 1

1 11

0 0

1 1

(1 ) (1 )p p

p p p p

p pt tdt dtp p

t t− −

+ +

−∞ ∞

= ++ +

∫ ∫ +

Aplicando a las integrales impropias del segundo miembro, respectivamente,

s pro sicion s (2.1 ) y (10.22) se tiene,

.10.23.2)

la po e 0.21

1 1 1p p⎛ ⎞ ⎛ ⎞

0

11 11 1

pp p p

p

dxx p

− −∞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

+ −∫

2

1 1

1 111 11

p pp p p p

p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= +

−

1

111

pp pp

p

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=

−

Ejemplo.


70

1 22

22 .3) .10.230 1

2.1 2.4 2

dxx

π π⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

Teorema.- Para cada par de números reales positivos tales que

+∫

2.10.24.- ,p r

1p r> + ,

1

( 1)

0

.11 ( 1)( ( 1))

r prp p r

p

x pdxx r p r

⎛ ⎞+∞ ⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠=+ + − +∫

Demostración.- Basta hacer el cambio de variable

1rt x += y aplicar el Teor.

bién si .

)

(2.10.23).

Nota: El Teor. (2.10.24) es aplicable tam 1r > −

Ejemplo.

1 22

30

4dx .11 3 3

xx

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ =

+

∞

=∫2.10.24.1

2.10.25.- Teorema.- Para cada par de números reales ,p q , tales que

10, pp qp+

> ≥ ,

1

0

1(1 )

pq pp

p q

dxx

⎛ ⎞+∞ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

+∫

Demostración.- Es suficiente con hacer el cambio de variable y aplicar

la Prop.(2.10.21).

pt x=


71

Ejemplos.

33 22

30

1(1 )px

⎝ ⎠=+∫ 2.10.25.1) dx ⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟

3 221

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

316π

= , (2.10.12.4)

2.10.25.2) 1 17 33 7

1130

11 1120(1 )

dxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =

+∫

210.26.- Teorema.- Si son números reales positivos tales que, , ,p q r

1r pqp

+ +≥ , entonces,

1

1

0

1 .1(1 ) 1

r p pr qp r

p q

x dxx r

⎛ ⎞+ +∞ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠=+ +∫

Demostración.- Basta con hacer el cambio de variable y aplicar el

.10.2 ).

ota: El Teor. (2.10.26) es todavía válido si

Ejemplos.-

1rt x +=

Teorema (2 5

1r > − . N


72

2.10.26.1) 1 222 3

2 30

1 .1(1 ) 3

x dxx

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠=

+∫

3 21 ⎛ ⎞

⎜ ⎟ 2.1

3⎝ ⎠=

π 16

=

13 482.10.26.2)

130

.14(1 )

dxx

=+∫

1x ⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

11980

=

15 03

2 40 ) 6∫2.10.26.3) 1 .1

(1x dxx

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠=

+

16

=

Las fórmulas proporcionadas en los teoremas (2.10.23), (2.10.24), (2.10.25) y

(2.10.26) están incluidas en la fórmula única:

(2.10.27).-

0

1 1,(1 )

r

p q

x rdx q 1rx p p p

β∞ ⎛ ⎞+ +

= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫


73

nvergencia de la integral impropia satisface las siguientes

laciones:

donde la condición de co

10, 1, rp r qrep+

> > − > .

La demostración de la fórmula (2.10.27) se reduce en cada caso, a la

aplicación de la primera forma factorial para la función beta.

Para el caso particular

0 , 1r q= = , la condición de convergencia es:

10,1pp

> >

Por lo tanto, debe ser 1p > . En tal caso, con arreglo a la fórmula (2.10.27) se

ene,

.10.27 )

ti

2 .1 dx 1 1 1,10 1 px p p p+ ⎝ ⎠

β∞ ⎛ ⎞

= −

El valor de

⎜ ⎟∫

1 1,1p p

β⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

se determina mediante el teorema de los

omplementos obteniéndose, c

1 1,1 .cscp p p

πβ π⎛ ⎞

− =⎜ ⎟⎝ ⎠

luego,

2.10.27.2) 0

.csc ,p

dx pπ π∞

= >∫ 11 x p p+


74

Por ejemplo,

2.10.27.3)

30

2 3.csc1 3 3 9

dxx

π π π∞

= =+∫

L u probos sig ientes lemas muestran el poder de resolución de la función beta y

de las contracciones factoriales, como operadores de cálculo numérico.

bar la igualdad

2.10.28.- Problema.- Pro

2 4

2 4 2 4)dx

x

0 0(1 ) (1x xdxx

∞ ∞

=+ +∫ ∫

a presenta un pequeño desafío a la

tuición.

.10.28.1)

Solución.- Obsérvese que este problem

in

2

2 40

1 3 3, 4(1 ) 2 2 2

x dxx

β∞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∫ , (2.10.27)

2

1 3 5,2 2 2β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 54 ,2 2β ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

52

4

2 40 (1 )

x dxx

∞

=+∫ , (2.10.27)


75

2.10.29.- Problema.- Probar que para cada par de números reales positivos

,p q , tales que 1pqp+

> ,

( )0 0

1(1 ) 1 1 (1 )

p

p q p q

x ddxx p q x

x∞

=+ − − +

Solución.-

.10.29.1)

∞

∫ ∫

20 (1

1 1 1,)

p

p q

x p pdx qx p p p

β∞ ⎛ ⎞+ +

= −⎜ ⎟+ ⎝∫ , (2.10.27)

⎠

1

11 . .1p

p pq pp⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

( 1) 1p p q− −⎝ ⎠=

− −, (PFFβ)

1 11

= .1( 1) 1

q pp

p q

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− −

1 1 1. . ,p q( 1) 1p q p p p− − ⎝ ⎠

β⎛ ⎞

= −⎜ ⎟ , (PFFβ)

0( 1) 1 (1 )p qp q x− − +

1 dx∞

= ∫ , (2.10.27)


76

2.11.- Cuarta Identidad Factorial (CIF)

2.11.1.- Teorema.- (CIF). Para cada par de números reales positivos

, pα ; y cada

ntero positivo ,k e

( ) ( ) ( ),1 1 .1k p p k pα α α+ =

Demostración.- (Inducción Completa).

2.11.1.1)

1k = .

( )1

1 1

0

1 (1 )p px dxα α+ += −∫ , (2.10.11)

1 1

0 0

(1 ) (1 )p p px dx x x dxα α= − − −∫ ∫

( )11

0

11 (1pt= − ∫ ) , ( )p pt dt t xp

α α− =

( ) 1 11 1p , 1α β α⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟

p p⎝ ⎠

( )

( )

1 111p pα α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

1 .11p α

+⎝ ⎠= −+

, (PFFβ)


77

( )

( )( 111 .

1p p

pα α

α+= −

+ )1 , (2.10.15)

.11.1.

luego,

( ) ( )11⎛⎜2 2) 1 .1 1

(p pα α

α+⎞

+ =⎟

De donde,

.11.1.3)

1) p+⎝ ⎠

( ) ( )11 1 (1 ( 1)p p )pα α α+ = ⊕ + 2

( ) ( ),11 .1p pα α=

1k = Mostrando que el eorem t a es válido para .

.11.1. entero

≥

.11.1.5) Sea

2 4) Hipótesis de Inducción.- Sea válido el Teorema para algún

k 1.

2 1k k= + .

( ) ( )11 1k p k pα α+ + +=

( ) ( )1 1,1 .1p kα α+ += p , (2.11.1.4)

( ) ( ) ( ),1 1,1 pα= .1 .1p k pα α+ , (2.11.1.3)


78

( ) ( ), 11 .1p k pα += α , (Prop. 2.6.6)

( ) ( ),1= .1 k pp αα

La Cuarta Identidad Factorial tiene importancia teórica y además, tiene

incidencia significativa en las aplicaciones del cálculo numérico contractivo.

Obsérvense en detalle los siguientes ejemplos:

2.11.2.-

72 228

0

cos 1t dt

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=∫ , (2.10.12)

1 3 221

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠=

1 12 ,3 22 21 .1

⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠ , (CIF) =

( )( )( )1 3 1 5 1 74π

= ⊕ ⊕ ⊕

35256π

=


79

1 22 5

0 0

5 3 2, .12 2 5

k

k k

kβ⎛ ⎞∞ ∞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑2.11.3.- , (PFFβ)

1 2 1 2,2 5 2 5

0

2 1 .15

k

k

⎛ ⎞ ⎛∞ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

=

= ∑⎞⎟⎠ , (CIF)

1 2⎛ ⎞

1 2, 1

2 5 2 3

0

21 15

k

k

⎛ ⎞∞ ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= ∑

2 5 1 2. . 1 15 32 2 3

π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠

⎝

8π

=

.11.4.- Teorema.- Fórmula de Reducción Factorial de Beta. (FRFβ).

Para cada par de números reales positivos

2

,x y ,

( ) ( ) ( )11,, , .1 y k xx y k x yβ β −+ = , 0,1,k = K

Demostración.-

.11.4.1)

−

( ) ( )111, .1 y k xx y k xβ−+ −−+ = . 2 , (PFFβ)

( ) ( )1 11 1,1.1 .1y x y k xx− −− −−= , (CIF)


80

( ) ( )11,, .1 y k xx yβ−−

=

jemp s.-

.11.4.

E lo

1 5 1 1,2 2

⎞ ⎛ ⎞, 22 2

β β⎛ = +⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2) ⎜⎝ ⎠

1 , 21 1 ⎛−⎜⎛ ⎞ 22, .1

2 2β

⎞⎟

⎝ ⎠= ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )1 1 1 3π= ⊕ ⊕ , (2.10.19.3)

1 3. .2 4

π=

38π

=

7 5 1 5, 32

β ⎛ ⎞ = +⎜⎝

2.11.4.3) ,2 2 2

β ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

1 2, 32 51 5, .1

2 2β

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )3 1 31 1 18 5 5π ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⊕ ⊕ ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

1 , (2.14.4.2)


81

3 1 3 1. . . 8 6 8 2π

=

3256π

=

.11.4.4)

1 19 1 3, ,4 4 4 4

β β⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

2 4⎞⎟⎠

1 , 4 441 3, .1

4 4β

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )( )( )1 3 1 7 1 11 1 154 41 3,β ⎛ ⎞ = ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

⎝ ⎠

⎜ ⎟

1 3 3 7 11 15, . . . .4 4 4 8 12 16

β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1155 1 3,2048 4 4

β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Aplicando ahora el Teorema de los complementos se tiene,

1 19 1155, .4 4 2048 4

cscπβ π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

1155 22048π

=


82

2.11.5.- Teorema.- (Urra-Saavedra). Para cada par de números reales

, positivos , pα

Demostración.-

.11.5.1)

( ) ( )1 , , , 0,1,k n

p k p n nβ α β α∞

=

+ + = + =∑ K

( ) ( ) ( )11, (1 )1 , 1 , .1 p k2k n= k n

p k p αβ α β α−∞ ∞

− +

=

+ + = +∑ ∑ , (FRFβ)

( ) ( )11, 11 , 1 p k

k n

p αβ α−∞

− ⊕

=

= + ∑

( )( ) ( )11, 111 , 1 .1 p np p αβ α α−− ⊕−= + + , (Teor. 2.7.7)

( ) ( ) ( ) ( )1 11,1 1,1, 1 1 .1p pp pα αβ α α− −− −−= +

n , (FRFβ)

( )( )( ) ( )11,1 1, 1 1 .1 p np p p αβ α α α−−− −= ⊕ +

( ) ( )11,, .1 p np αβ α−−

= , (2.2.4)

( ), p nβ α= + , (FRF β)


83

Ejemplos.-

32 2

1 13 7 11(3 4 )(7 4 )(11 4 ) 44 4 4

k kk k k k k

∞ ∞

= =

=+ + + ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝

2.11.5.2) k ⎞⎟⎠

∑

∑

2 3 32!.64 k k= ⎛ ⎞⎛1 2!

31 24 4 4

k k

∞

=⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ + +⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

2

1 3∞ ⎛3,128 4k

kβ=

⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1 32, 2 128 4

β ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

, (Teor. 2.11.5)

1 12,128 4

β ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1

11320

=

.11.5.

( ) ( )4, 2=∑ ∑5 3

4, 2 2k k

k kβ β∞ ∞

= =

− + − 2 3)

( )3,5 2β= − , (Teor. 2.11.5)

( )( )( )

27 2

=−

5 2 6 2− −


84

2.11.5.4) ), 1( ) (1 1 1

, 1k n k

k p n k pβ α β α∞ ∞ ∞

= = =

+ + = + − +∑∑ ∑

( ), pβ α , , 0pα= >

tidad Serial de Beta”.

2.12.- Funciones Tau-Beta (

Nota: La fórmula (2.11.5.4) es la “Iden

zτ )

Definición.- Para cada número real positivo ,

2.12.1.- z

( )( ) ( ),

, 0x y

x yβ

, ,,z x y

z yτ

β= >

Ejemplos de evaluación de funciones tau-beta.

( ) ( )( )

( )( )

( )2

23, 2 2 2 1 2 1

3, 2 12, 22 2 1

βτ

β

+ += =

+

2.12.1.1)

22 2

=+

( ) ( )( )

1,1

,1 1,1z

x zxxz

z

βτ

β= =

x=2.12.1.2)


85

2.12.1.3) Si es un número entero positivo, entonces, k

(

( ) ( )( )

)( )( ) ( )

1 !k −

( )( )( ) ( )

, 1 2 1,

1 2 1

x k x x x x kx k

z z z z k

βτ

1 !,z kz kβ+ + + −

= =−

+ + + −

K

K

( )( ) ( )( )( ) ( )

1 2 11 2

z z z z kx x x x k 1

+ + + −=

+ + + −K

K

.12.1.4) ( )2( )( )( )5

35.6.7.83, 4

3 1 3 2 3 3τ =

+ + +

( )( )( )

16803 3 1 3 2 3 3

=+ + +

2.12.1.5) ( ), 1z z yτ =

3

1 1,β2.12.1.6) 1 1 152 2, 1612 2 163,

152

π π

β

⎞ ⎝ ⎠= = =⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

Las proposiciones siguientes se refieren a propiedades de la función tau-beta.

Proposición.-

τ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛

⎜

2.12.2.-

( ) ( ), . , 1z xx y z yτ τ =


86

Demostración.-

2.12.2.1) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

, ,, . , . 1

x y z yx y z y

β βτ τ

, ,z x z y x yβ β= =

2.12.3.- Proposición.- Primera Identidad Tau-Beta. (PITβ)

( ) ( ), ,z zz x y z y xτ τ+ = +

Demostración.- Ambos miembros de esta igualdad tienen el valor común,

.12.3.1)

( ) ( )( ) ( )x z y zz x y z

Γ + Γ +Γ Γ + +

2

.12.4.- Proposición.- Segunda Identidad Tau-Beta. (SITβ)

2

( ) ( ), ,z x z yz y zτ τ+ += x

Demostración.-

.12.4.1)

( ) ( )1,

,z xz

z yz x y

ττ+ =

+ , (Prop. 2.12.2)

2

( )

1,z z y xτ +

= , (PITβ)


87

( ),z y z xτ + , (Prop. 2.12.2) =

Las identidades Tau-Beta tienen incidencia significativa en operaciones

Obsérvense los ejemplos siguientes:

numéricas.

2.12.4.2) ( ) ( )32 3235,27 32 3,27τ τ= +

( ) 32 32 27,3τ= + , (PITβ)

( )32 59,3τ=

32.33.3459.60.61

= , (2.12.1.3)

299217995

=

2.12.4.3)

( ) ( )27 25 225,49 25,49τ τ +=

( )25 49 25,2τ +=

( )74 25, 2τ=


88

74.75=

25.26

11113

=

2.12.5.- Teorema de Factorización.- (TF)

( ) ( ) ( ), , . , , , ,a a a yx y z x y x y z a x y zτ τ τ ++ = + > , 0

Demostración.-

.12.5.1)

( ) ( )( )

,,2

,a

x y zx y z

βτ

a y zβ+

+ =+

( ) ( )( ) ( )

, ,y

, ,y

x y y z xβ τ +=

a y y z aβ τ + , (2.12.1)

( ) ( )( )

,,a

y ,y x y z

y zτ +

, (PITβ)

x ya

ττ

=+

( ) ( )( )

,,

,a

x y zx y

a y zβ

τβ

+=

+ , (2.12.1)

( ) ( ), . ,a a yx y x yτ τ += + z , (2.12.1)


89

El Teorema de Factorización tiene gran importancia teórica; y también en el

álculoc numérico.

2.12.6.-Corolario

( ) ( ), 1 ,a aa yx y x yτ τx y+

+ =

Demostración.-

2.12.6-1)

+

( ) ( ) ( ), 1 , ,1a a a yx y x y x yτ τ τ ++ = + , (TF)

( ),aa y x yx y

τ+ =+

El Teorema de factorización es también aplicable a la función beta, en la

.12.7.-

siguiente forma.-

( ) ( ) ( ), , y ,x y z x y x y zβ β τ+ = + 2

La fórmula (2.12.7) es compatible con la siguiente definición.

Definición:

( ) ( ), , ,y x2.12.8.- 0 , 0x y x yτ β= >

efi función beta en la fam de las funciones

Obsérvese que la Prop. (2.12.2) no es aplicable a la función

La D nición (2.12.8) incluye a la ilia

Tau-Beta.

( )0 ,x yτ .


90

2.12.9.- Definición.- Para cada par de números reales ,x z tales que

,

0, 0x z≥ >

( ),0 1z z xτ + =

ón e compatible con la primera identidad Tau-Beta. En efecto,

2.12.9.1)

Esta definici s

( ) ( ),0 0,z zz x zτ τ+ = + x

( ),z z xτ=

1=

2.12.10.- Teorema de Simplificación.-

( ) ( ) ( ), . , , , , , 0a xz y z a x y zτ τ ,ax y zτ= >

Demostración.-

( ) ( ) ( )( )

( )( )

, ,, . , .

, ,a x

x z yx z y z

a z x zβ β

τ τβ β

= 2.12.10.1)z

( )( )

,,

y za z

ββ

=

( ),a y zτ=


91

0a = El Teorema de simplificación es aplicable también si . En efecto,

2.12.10.2) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 , . , , .

,xx y y z x z,y z

x zτ τ β

β=

β

( ),y zβ=

( )0 ,y zτ=

ema.- Forma Tau-Beta de las Contracciones Factoriales.-

2.12.11.- Teor

( ),1

11 1 , , 1, 0,q kq q k q kα τ α

α+⎛ ⎞= + + > − > =⎜ ⎟⎝ ⎠

K 0,1,

Demostración.- Consideremos la fórmula de reducción factorial de beta.-

.12.11.1)

( ),1 1,1 ,1 .1 q kq k q αβ βα α⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟2⎝ ⎠ ⎝ ⎠

De donde,

( ),11

q k α

11 ,

1 ,

q k

q

βα

βα

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠=⎛ ⎞

2.12.11.2)


92

111 ,q kτ q α+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Si , entonces el teorema (2.12.11) queda,

⎛ ⎞= + +

0q =

( )1

11 1 ,k kα τα

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2.12.11.3)

.12.12.- Teorema.- La Serie de Funciones tau-beta

onverge si y diverge si

2

( ), , 0, 0, 1, 2,...zk n

x k x z nτ∞

=

> ≥ =∑

1x z> + 1x z≤ +c .

emostración.- Si 0z = D , el teorem a la s de funciones beta.

Para , distinguiremos dos casos:

.12.12.1)

a se refiere erie

0z >

2 . En este caso se tiene, x z≤

( ) ( )( )

,, 1 , 1, 2,...

,z

x kx k k

z kβ

τβ

= ≥ =

ostrando que la serie (2.12.12) diverge. m


93

2.12.12.2) ,

x z>

( ) ( )( )

,,

,zk n k n

x kx k

z kβ

τβ

∞ ∞

=∑ ∑

= =

( )( )

,,k n

x z k zx z z

ββ

∞

=

− +=

−∑

La últim escra serie ita en (2.12.12.2) es una serie de funciones beta. Por lo

nto, converge si y diverge si 1x z− > 1x z− ≤ta .

.12.13.- Teorema.- Para cada par de números reales positivos

2 ,x z ,

Demostración.-

.12.13.1)

( ) ( ) ( )11 , , , , 1, 2,...z x zk n

x z k x z x z n nτ τ τ∞

+=

+ + = + =∑

( ) ( )( )

1 ,1 ,

,zk n k n

x z kx z k

z kβ

τβ

∞ ∞

= =

+ ++ + =∑ ∑2

( )( )

1 ,1 ,k n

x k zx zβ=

β∞ + ++

=∑

( )( )

,1 ,x n z

x zββ

+ =

+ , (Teor. 2.11.5)


94

( ) ( )( ) ( )

, ,1 , ,x z x n z

x z x zβ ββ β

+ =

+

( ) ( ), ,x zx z z n xτ + 1τ +=

( ) ( )1 , ,x zx z z x nτ τ+= +

a.- Para cada trío de números reales positivos

2.12.14.- Teorem , ,x y z ,

,...

.12.14.1)

( ) ( ) ( )11 , , , , 1, 2z x zk n

x z y k x z x z y n nτ τ τ∞

+=

+ + + = + + =∑

Demostración.-

( ) ( )( )

1 ,1 ,

,zk n k n

x z y kx z y k

z y kβ

τβ

∞ ∞

= =

+ + +2 + + + =

+∑ ∑

( )( )

1 ,1 ,k n

x y k zx z

ββ

∞

=

+ + +=

+∑

( )( ),1 ,

x y n zx z

ββ

+ +=

+ , (Teor. 2.11.5)

( ) ( )( ) ( ), ,1 , ,

x z x y n zx z x z

β ββ β

+ +=

+


95

( ) ( )1 , ,x zx z z x yτ τ+ n= + +

Consideremos nuevamente el Teor. (2.12.13). Esto es,

.12.15.-

+=

+ + = + > =∑

2

( ) ( ) (∞

)11 , , , , , 0, 1, 2,...z x zk n

x z k x z x z n x z nτ τ τ

Aplicando la segunda identidad Tau-Beta se tiene,

2.12.15.1) ( ) ( ) ( )1 , ,1 ,z x z zk n

x z k x x z nτ τ τ∞

+=

+ + = +∑

( ),zx z x z n

xτ+

=

a (2. 2.15.1) permite obtener la siguien a simplificada para el

Teor. (2.12.13),

.12.15.2)

+

La fórmul 1 te form

( ) ( )1, 11a a ,bb k b nτ τ

∞ −= −∑

1, 1, 2,...+ =

2k n b a= − −

donde, , ,a b b a n> >0

2.12.15.3) ( ) ( )1, 1,bb p k b p nτ τ∞ −

1a ak n b a=

+ = − +∑ − −

bajo las hipótesis, , 0, 1, 0, 1, 2,...a b b a p n> > + ≥ =


96

Obsérvense los siguientes ejemplos:

2.12.15.4) ( ) ( )56τ∑ 5

2

8 8 5. 109, 8, 2 .3 3 8.9 9k

k τ∞

=

= = =

( ) ( )3 31

6 2.3.4.5 57, 2 6,32.12.15.5) 3k 6.7.8 14

kτ τ∞

=

= =

y (2.12.14); así como

us formas simplificadas (2.12.15.2) y (2.12.15.3), son una consecuencia de las

ed

a fór ) es aplicable también cuando

+ =∑

Las fórmulas proporcionadas en los teoremas (2.12.13)

s

fórmulas de Urra-Saav ra.

0n =Nota: L mula (2.12.15.2 . En tal caso se

ene,

2.12.15.6)

ti

( ) ( )0

1, 11a a

k

bb k bb a

τ τ∞

=

−= −

− −∑ ,0

11

bb a

−=

− − , (2.12.9.1)

os sig ientes mas constituyen aplicaciones de la serie de funciones

Tau-Beta.

.12.16 roble a.- D mite de la serie,

L u proble

2 .- P m eterminar el valor lí

( )( ) ( )( )( ) ( )1

3 3 1 3 2 3

1 2k

k

kπ π π π

∞

=

+ + +

+ + +∑K

K


97

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie,

2.12.16.1) ( )31

, 1k

kλ τ π∞

=

= +∑

( )3

1 1,23 1

π τ π π

−= −

− − , (2.12.15.3)

( )( )3 3 11 .

13 1π

π ππ

+−=

−− −

( )( )3 3 1

3 1π π −

+=

−

luego,

( )( ) ( )2.12.16.2)

( )( ) ( )( )

( )1 1 2 3 1k kπ π π π π π=

=+ + +

3 3 1 3 2 3 3 3 1k∞ + + + +

− −∑

K

K

2.12.17.- ie, Problema.- Determinar el valor límite de la ser

( )2

!4 !k

kk

∞

= +∑

Solución.-


98

( )( )( )2 2

1.2.3. . 1 1! 14 ! 4! 5.6.7. . 5 1k k

kk∞

2.12.17.1) k k

∞

= =

+ −=

+ + −L

L

∑ ∑

( )12

1 5,4! k

kτ∞

=

= ∑

( )11 5 1. 44! 5 1 1

τ , 2−=

− −

1 1.2.18 4.5

=

1180

=

2.12.18.- Problema.- Determinar el valor límite de la serie,

11

1.3.5. .(1 2 )2 .3.4.5. .(3 )k

k

kk

∞

+=

++∑ L

L

Solución.- Sea λ el valor límite de la serie,

( ) ( )11 1 2

1 3 5 1. . . .2 2 2 2 3, 1

3.4.5. . 3k k

kk

kλ τ

∞ ∞

= =

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= =+∑ ∑

L

L 2.12.18.1) +

( )12

2 2, 213 12

τ=− −

, (2.12.15.3)


99

1 3.4 2 2.3 2.3

=

16

=

luego,

2.12.18.2) 11

1.3.5 .(1∞ +. 2 ) 12 .3.4.5. .(3 ) 6k

k

kk+

=

=+L

2.13.- Serie de Contracciones.

.13.1.- Definición.- Por “Serie de Contracciones” se entenderá la serie,

∑ L

2

( ) ( )1 ,

0

1 .1q k q k pp

kα

∞ + +

=

⊕∑

( ) ( ), 0,pα ≠ . donde , ,p qα so nún meros reales no negativos, tales que 0

La serie de contracciones es también referida como: “Serie Geométrico-

n

Nota:

Factorial”.

2.13.2.- Proposició .-

( ) ( ) ( )1 ,

0

1 .1 1q k qq k pp p

kα α pα

+ +

=

⊕ ≤ ⊕∑ ∞


100

Demostración.- Po r comparación de series se tiene,

2.13.2-1) ( ) ( ) ( )1 1,

0 0

1 .1 1q k q kq k pp p

k kα α

∞ ∞+ + + +

= =

≤ ⊕

1 1q kp pα α

∞+= ⊕ ⊕∑

⊕∑ ∑

( ) ( )1

0k=

( ) ( )11 . 1

qp pα α+

= ⊕ +

( )1qp pα α= ⊕

De la Prop. (2.13.2) se deduce que la serie de contracciones es convergente.-

Para cada par de números reales no negativos , la serie de contracciones define

una función continua y derivable

,p q

,

:p q+ → , definida de la manera siguiente:

.13.3.- ( ) ( )1 ,,

0

( ) 1 .1q k q k pp

p qk

x x∞ + +

=

= ⊕∑

unción

2

,p q La f es referida como “Función Geométrico-Factorial”.

e escribe

p en lugar de ,0p Si 0q = , s . En tal caso se tiene,

2.13.3.1)

( ) ( )1

0

( ) 1 .1k k pp

pk

x x∞ +

=

= ⊕∑

.13.4.- Proposición.- Para cada par de números reales no negativos 2 ,p q ,


101

( )1 , ( ) 1 1p q x q p⊕ ≤ + +

Demostración.- Por comparación de series se tiene,

( ), 11 ,

0

( ) 1 q k pp q

k

x∞

⊕⊕

=

≤∑ 2.13.4.1)

( )1 1q p= + +

siciones (2.13.2) y (2.13.4) se concluye que,

De la propo

1 11 , ( ) (1 ) ,1 ( 1)p p q

p q x mín x x q p⊕ ⊕⊕ ≤ ⊕ + + 2.13.5.-

.13.6.- Proposición.- 2

limx→∞ 1 , ( ) 1 ( 1) , 0p q x q p p⊕ = + + >

Demostración.-

.13.6-1)

limx→∞

( ) (1 , 111 ,

0

( ) lim 1 .1q k q k pp

p q x kx x

∞ + + ⊕⊕⊕ →∞

=

= ⊕∑ )2

( ), 1

0

1 q k p

k

∞⊕

=

= ∑

1 ( 1)q p= + +


102

.13.7.- Proposición.-

x→

2

, ( ) 0 , 0p q x p= > 0

lim

Demostración.- Esta proposición es una consecuencia directa de la Prop.

.13.2).

x

(2


, ( ) 0 , , 0p q x q p= > 2.13.8.1) lim px−

0→

2.13.8.2) lim p

xx−

→∞ , ( ) 1 , , 0p q x q p≤ >

Demostración.- Con arreglo a la Prop. (2.13.2) se tiene,

.13.8.3)

( ), ( ) 1qp p

p q x x x≤ ⊕ 2

luego,

px− ( ), ( ) 1qp

p q x x≤ ⊕ 2.13.8.4)

De (2.13.8.4) se deduce la igualdad (2.13.8.1) y también la desigualdad

2.13.9.- Ejemplos de Series de Contracciones:

(2.13.8.2).


103

( ) ( )1 1 1, 11,12.13.9.1)

0k=(1) 1 1 .1k k

∞+ += ⊕∑

( )220

1 . 2 ,12k

k

kτ∞

+=

= +∑

( )22

1 . ,12k

kkτ

∞

=

= ∑

2

1 2.2k

k k

∞

=

=∑

2

12.2k

k k

∞

=

= ∑

Esto es,

1,1(1) 2=2

1.2k

k k

∞

=∑

.13.9.2)

2 1 12,

31,2 0

23 k=

1 11 .18 2

k k+ + ⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

( )330

1 . 3 ,33k

k

kτ∞

+=

= +∑


104

( )33

1 . ,33k

kkτ

∞

=

= ∑

( )( )3

1 3.4.5.3 1k

k k k k

∞

=

=2+ +∑

( )( )3

160∞

= ∑ 1 2 .3k

k k k k= + +

luego,

1,23 8⎝ ⎠ ( )(

1⎛ ⎞⎜ ⎟ )3 1k k k k= + +

1602 .3k

∞

= ∑

1 11 , 23 3

12, 03

1 11 .15 25

k k

k

⎛ ⎞+ +∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ 2.13.9.3)

440 33

1 4. ,3 226

kkkτ

∞

+=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 1

430 3

. ,26 626 26 k

kkτ

=

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 1 1 11∞ ⎛ ⎞

3

1

4 7 10 4. . . . 1k⎛ ⎞⎛ ⎞1 1 3 3 3 31 .

11 17 23 112626 26 . . . . 16 6 6 6

kk k

∞

=

+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟+⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑L

L

=


105

3

1

4 7 10 1. . . .1 1 3 3 3 31 .

11 17 23 52626 26 . . . .6 6 6 6

kk

k

k

∞

=

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ = +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

∑L

L

( )( )3

1 13 11.17.23. . 5 626 26 k k= +⎝ ⎠L

4.7.10. . 1 31 11 .k

k∞⎛ ⎞+= +⎜ ⎟⎜ ⎟∑

L

Esto es,

( )( )1 32,

1 1 115 13k

∞⎛ ⎞⎛ ⎞ = +⎜⎜ ⎟ ⎜ ∑13

4.7.10. . 1 3.11.17.23. . 5 626 26 k

kk=

+⎟⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

L

L

2.13.9.4) ( ) ( ) ( )1 , 00,

0

1 1 .1q k q kq

k

x∞

+ +

=

= ⊕∑

( ), 01

0

1 .12

q kq k

k

∞

+ +=

= ∑

Pero,

( ), 0 1 01

0 1, ..si k 2,.q k si k =⎧

= ⎨

Luego,

=⎩

( )0, 1

12q qx +=


106

Los ejemplos (2.13.9.1), (2.13.9.2), (2.13.9.3) y (2.13.9.4) muestran algunas,

de las variadas formas que puede adoptar la serie de contracciones.

El teorema que sigue muestra una relación funcional entre la función

eométrico-factorial y su primera derivada.

.13.10.- Teorema.-

g

2

ddx

1, ( ) (( 1)p q x x p−= − 1

, ( ) (1 )(1 ) )p qp q x pq x ++ + ⊕

Demostración.- Consideremos el caso . Derivando término a término la

tracciones se obtiene:

0p >

serie de con

ddx

( ),2 1,

0

( ) ( 1) (1 ) .1 q k pp q k pp q

k

x q k x px∞

+ + − −

=

= + + ⊕∑

2.13.10.1)

( ), 12 1 1

0

( 1) (1 ) .1 (1 ( 1) 1)k pp q k p

kq k x px q k p

∞++ + − − − −

=

= + + ⊕ + + +∑

q

( )( ) ( ) ( ) ( )q k 2 q k 2q,k 1p q,k 1pp p 1 p p 1

k 0 k 0

q k 1 1 x px 1 1 x x 1∞ ∞+ + + ++ +− − − −

= =

= ∑ + + ⊕ + ⊕∑

Cambio de índices: i k 1= +

2.13.10.2)

( )( ) ( ) ( ) ( )q i 1

q i 1 q,i p q,i pp p 1 p p 1p,q

i 1 i 1(x) = q i 1 x px 1 1 x x 1

+ +ddx

∞ ∞+ + − − − −

= =

+ ⊕ + ⊕∑ ∑


107

( ) ( ) ( ) (q i 1

q i 1 q,i p q,i pp p 1 p p 1+ +∞ + + − − − −= ⊕ ⊕ )

i 1 i 11 x px 1 1 x px 1

∞

= =

+∑ ∑

p 1px− −− p 1p,q (x) x− −+ ( ) ( )q 1 q 1p 1 p p 1 p

p,q (x) x 1 x pqx 1 x+ +− − − −− ⊕ − ⊕

( )( ) ( ) ( )q i 1 q,i pp p 1 p 1

i 1

q i 1 1 x px 1 p 1 x∞ + + − − − −

=

= + + ⊕ − −∑ , ( )p q x

( ) ( )q 1p 1 p1 pq x 1 x+− −− + ⊕

De donde,

2.13.10.3) ddx , ( ) (1 )p

p qdx xdx

−= + 1, ( ) (( 1)p

p q x x p , ( )p q x + − −− −

)(1q 1(1 ) )p qp x ++ ⊕

luego,

d 1, ( ) (( 1)p q x x p−= − 1

, ( ) (1 )(1 ) )p qp q x pq x ++ + ⊕ 2.13.10.4)

dx

Para el caso se tiene,

2.13.10.5)

0q =

d 1( ) (( 1)x x p−= − ( ) (1 ))pppdx

x x+ ⊕


108

2.14.- Funciones Contrá tilesc .

Definición.- Para cada par de números reales no negativos , se

n Con

,p q

entenderá por “Funció tráctil”, la función,

1, ( ) p

p q x x −= , ( ) , 0p q x x > 2.14.1.-


, ( )p q x x≤

Demostración.- De la Prop. (2.13.2) se tiene,

, ( ) (1 )p pp q

qx x x≤ ⊕ 2.14.2.1)

De donde,

.14.2.2)

1 px −

, ( ) (1 )p qp q x x x≤ ⊕ 2

x≤

Esto es,

, ( )p q x x≤ 2.14.2.3)

De la desigualdad (2.14.2) se deduce que


109

2.14.2.4) li mx→0 , 0p q ( )x =

do la exten n continua de

,p q permitien sió al dominio de los números reales no

egativos, definiendo:

.14.2.5)

n

, (0) 0p q = 2

Si , se escribe 0q = p en lugar de ,0p .

Esto es,

1( ) p ( )x x −= , 0> 2.14.2.6) p p x x

2.14.3.- Teorema.-

ddx

1, ( ) (1 ) (1 ) , 0p p q

p q x pq x x x− += + ⊕ >

Demostración.-

ddx

1, ( ) ( p

p qdx xdx

−= , ( ) )p q x 2.14.3.1)

(1 ) pp x−= − 1, ( ) p

p qdx xdx

−+ , ( )p q x


110

1 1, ( ) . (( 1)p

p q x x x p− −+ − 1, ( ) (p− (1 )p x= − 1 )(1 ) )p q

p q x pq x ++ + ⊕

(Teor. 2.13.10)

q

1(1 ) (1 )p ppq x x− += + ⊕

ra derivada de la función contráctil es:

2.14.3.2)

Otra forma pa la

ddx

1, ( ) (1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q

p q x pq x x += + ⊕ − ⊕

Si , el teorema (2.14.3) queda,

.14.3.3)

0q =

ddx

( ) 1 pp x x−= ⊕ 2

O de otra forma,

ddx

1( )1p px

x=

+ 2.14.3.4)

La función p es referida como “Función Contráctil Uniparamétrica”.

niparamétrica se extiende a valores reales

, definiendo:

.14.3.5)

El concepto de Función Contráctil U

negativos de p

( )p x x− = − ( ) , 0p x p ≥ 2


111

Para p− se tiene,

ddx

1( )1p px

x− −=+

2.14.3.6)

Las fórmulas (2.14.3.4) y (2.14.3.6) se resumen en la siguiente:

d 1( ) ,1p px p

x= ∈

+ 2.14.3.7)

dx

De la fórmula (2.14.3.7) se deduce,

2.14.3.8) 0 1 p

dxx

α

=+∫ ( ) , , 0p pα α∈ ≥

Para p los casos articulares 1p = y 2p = se tiene,

( )1( ) 1 , 0Lnα α α= + ≥ 2.14.3.9)

( )2 ( ) , 0Arctgα α α= ≥ 2.14.3.10)

Además de las funciones contráctiles 1 y 2 , existen otras que también pueden escribirse en términos de funciones elementales. Algunos ejemplos son:

2.14.3.11)

( )12

x 2 x 2Ln(1 x)= − +


112

( ) 3 2 3 313

3x ( x 2 x 2Ln(1 x2

= − + +2.14.3.12) ) )

2.14.3.13) ( ) 4 3 4 414

4x x 2 x 4 x 4Ln(1 x )3

= − + − +

2.14.3.14) ( ) 3 323

x 3 x 3Arctg x= −

2.14.3.15) ( ) 5 3 5 525

5x ( x 3 x 3Arctg x3

= − + )

2.14.3.16) ( )31x6

= 1 2

3x 31 x x 3⎛ ⎞ +⎜ ⎟− +⎝ ⎠

2x 1 3Arctg183

− π⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2.14.3.17) ( )1 2x 2 Arcth(1 x)= ⊕

2.14.3.18) ( )1 xy 1 Ln x Ln y− = + , x , y ≥ 1

2.14.3.19) 2,1 2

3( ) ( ( ) )2 1

xx Arctg xx

= −+

2.14.3.20) 11,2

( ) 3( ( 1 ) 1 )x Ln x x x= + + − ⊕

2.14.3.21) 1 22,2

1( ) 2(1 )1

xx

= −+

La representación de la función contráctil mediante funciones elementales

conocidas, permite la evaluación inmediata.- Sin embargo no siempre es posible

hacer tal representación. En general, la función contráctil se evalúa a través de la serie

de contracciones.


113

2.15.- Aplicaciones de la Función Contráctil ( p ) al Cálculo Integral.

Las siguientes fórmulas pueden ser comprobadas directamente por simple

erivación.

2.15.1.-

d

p0

dx1 x

α

=+∫ ( )p α , 0α ≥

r

p0

x dx 11 x 1 r

α

=+ +∫ ( )1 r

p1 r

+

+

α , 0 , r 1α ≥ > − 2.15.2.-

p

dx 1x(1 x ) p

∞

α

=+∫ ( )p

1−α , 0 , p 0α > > 2.15.3.-

2.15.4.- r

dxx (1 p

1x ) r

∞

α

=1

( )1 rp

1 r

−

−

α+ −∫ , 0, p 0, r 1α > > >

2.15.5.- p

dx 11 x p 1

∞

α

=+ −∫ ( )1 p

pp 1

−

−

α , 0 , p 1α > >

2.15.6.- r

p

x dx 11 x p (1 r)α + − +

∞

=∫ ( )1 r pp

p (1 r)− +

+ −α r

, 0 , p 1α > > +


114

2.16.- Ejemplos de Integración Numérica.

2.16.1.- 23

dx1 x

∞

=+∫ ( )1

2 ( 3)−

( ), 2.15.5

1Arctg3

=

6π

=

2.16.2.- 3

20

dx1 x

=∫ + ( )2 3

( ), 2.15.1

Arctg 3=

3π

=

y (2.16.2) se tien

2.16.3.

Es claro que de (2.16.1) e:

- 20

dx∞

1 x 2π

=+

2.16.4.-

∫

2 21

dxx (1 x )

∞

=+∫ ( )2 1−

( ), 2.15.4

1= − ( )2 1

1 A= rctg1−

14π

= −


115

2.16.5.- 52 x(1 x

dx 1) 5

∞

=+∫ ( )5

1 2−

( ), 2.15.3

1 3Ln5 3

= 32

2.16.6.- 4

3 43

dx 1∞

x (1 x ) 2= ( )24( 3)− ( ), 2.15.4

+∫ 2−

12

= 213−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1(2 3

= − 21 )⎛ ⎞

⎜ ⎟ 3⎝ ⎠

1 1 1( Arctg2 3 3

= − )

1 1( )2 3 6

π= −

216.7.- 1

5 2 5 2 5 21

dx dx dxx (1 x ) x (1 x ) x (1 x )

∞ ∞

= −+ + +∫

1 1∫ ∫2 2

14

= 412

1 1( )2 4

−

−

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12

1−

( ), 2.15.4

1 (164

= − ( )12

116 ) (14

− − ( )12

1 )


116

9 2Ln 2 2Ln 54

− +=

2.16.8.-

( ), 2.14.3.11

2

8 8 3

2 5

813

3

1

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3 3x x 1

31

dx x dxx

−

= =+∫ ∫

+

3(= ( )3 2 − ( )3 1 )

3 3 3 6 26

Lnπ + −= Ln

.16.9.-

( ), 2.14.3.16

8 27 8 27

31 x

331 3(1 )

x x

x

dydx dydxx y yx

x

=+

+∫ ∫ ∫ ∫ 2

27

13

)y x

y x

y dxx

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8 2

3(1

x= ∫

(= ( )13

27 − ( )8 2

313 1

1 ) x dx∫

93 (5

= ( )13

27 − ( )13

1 )

279(2 2)5

Ln+ = , (2.14.3.12)

2.16.10.- 3 3

2 2

2 28 2

1 121

x x

x x

x xdydx dy dxx y y

x+ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

2

4(

36 3 =

3

23 2 )

y xy dx

=⎛ ⎞⎜ ⎟

y xx =⎝ ⎠1

x= ∫


117

2

4

1

(x= ∫ ( )3 x − ( )3 1 )dx

42

( )2

43

1

1 x dx∫ ( )1

x= ∫ 3 x dx −

Integrando por partes la primera integral del segundo miembro de la igualdad

2.16.10.1)

anterior se tiene,

24

1

x∫ ( )5

3 5xx dx = ( )

2 52

3

1 x3 1

15 1x dx

+∫ x

−

32 ( )3125

− ( )311 (

30− ( )1

2

64 − ( )12

1 ) 5

=

Por otra parte,

2.16.10.2) ( )2

4 311 x dx = ( )3 1 31 5∫

Introduciendo (2.16.10.1) y (2.16.10.2) en (2.16.10); y haciendo las

valuaciones correspondientes queda:

2.16.10.3)

e

3

2

2 8

6 31

16 3 54 3 99 2 2145

x

x

x Lndydxx y

π Ln+ − −=

+∫ ∫


118

El ejemplo siguiente es importante desde el punto de vista teórico.

l tales que,2.16.11.-Si a, b, r, t son números rea es b a 0, r 2, t 0,> > > > entonces,

0

12

b tx dydx ( ) 2 2

1 1( )r r rta b− −− r r

a x y r=

+ −∫ ∫

2.16.11.1)

En efecto,

10 0

1((1 )

b

rr ra a r

dydx dydxb tx b tx

rax y xy

xx

−= =+ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫0

)y tx

ry

y dxx

=

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+

1

1( r

b

a x −= ∫ ( )r t dx

1 ( ) 2 2

1 1( )r r rta b− −−

2r=

−

Caso particular.

.16.11-2)

3

4 422 0 x +

12

x dydxy

=∫ ∫ ( )4 2 2

1 112 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, (2.16.11)

( )( )5 2 1 2

288 2

Lnπ + + =


119

2.17.- Integración de la Función Contráctil ( p )

2.17.1.-

0

α

∫ ( )p x dx = α ( )p12

α − ( )212

α , 0 , pα ≥ ≥ 0

2.17.2.-

∫0

α

( )rp x dx = α ( ) ( )r

p 1 rα − ( ) ( )1 rp 1 r

+⊕ α , 0 ,⊕ p, r 0α ≥ >

Nota.- En (2.17.1) y (2.17.2) se practicó integración por partes,

2.17.3.-

Ejemplos.

1 13

0 0

Arctg x dx =∫ ∫ ( )32 x dx

= ( )2114

− ( )12

1

( ), 2.17.2

= ( )1Arctg1 2 2 Ln24

− − ( ), 2.14.3.11

=2Ln2 2

4π+ −

2.17.4.- 3

0∫ ( )2

12

x dx 3= ( )12

293

− ( )13

27 ( ), 2.17.2

3(2 9 2Ln(1 9))= − + − 3 3 32 3. ( 729 2 27 2Ln(1− + + 27)) 3 2

( ), 2.14.3.11, 2.14.3.12

= 15 16 Ln2−


120

2. Relación entre la Función Contráctil ( p ) y la Función Beta.- 18.-

2.18.1.- Definición.- Para cada número real 1p > , la función,

( )p1x

p 1=

−( )1 p

pp 1

x −

−

, x 0>

será referida como Complemento Contráctil de p .

stituyen pr edades de p y pLas siguientes relaciones con opi .

d p pp (x)) (1 x p1) (1 x )(1 p)x

p 1− −+ ⊕ −

−

= ⊕2.18.2.- (dx p (x ) +

p p(1 x ) (1 x )− −= ⊕ − ⊕

0= , x 0>

Luego, existe una constante tal que, para cada número real

.18.3.-

A(p) x 0> ,

2 p (x ) + p (x ) A(p)=

hora en,

A bi


121

2.18.4.- xlim→∞ p x

1(x) limp 1 →∞

=−

( )1 pp

p 1

x −

−

, p > 1

0=

mite en (2.18.3) se tiene,

De donde, aplicando lí

xlim→∞ p (x ) A(p)= , p > 2.18.5.- 1

De (2.18.5) se deduce que para , la función

p 1> p es acotada y tiene como

ecta asíntota horizontal la r y A(p)= . (A tráctil de síntota Con p )

bién

Por otra parte, de (2.18.3) se obtiene tam

x 0lim→ p (x ) A(p)= 2.18.6.-

lo que permite la extensión continua de p a x 0= , definiendo:

p (0) A (p)= 2.18.7.-

Consideremos nuevamente la fórmula (2.15.1)

p0

dx1 x

α

=+∫ p ( )α , 0α ≥ 2.18.8.-


122

Sea

ahora p 1>

t

p pt2.18.9.-

0 1 0

dx dxlimx 1 x

∞

→∞=

+ +

∫ ∫

tlim→∞

= ( )p t

( )A p=

arte,

2.18.10.-

Pero, por otra p

p0

dx 1 1 1,11 x p p p

∞ ⎛ ⎞= β −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

∫ , p > 1

cscp pπ π

=

De (2.18.9) y (2.18.10) se tiene,

2.18.11.-

1 1 1A(p) ,1p p p

⎛ ⎞= β −⎜ ⎟

⎝ ⎠, p > 1

O bien,

2.18.12.- A(p) cscp pπ π

= 1

De otro modo,

, p >


123

( )p1 1 10 ,1p p p

⎛ ⎞= β −⎜ ⎟

⎝ ⎠, p > 2.18.13.- 1

cscp pπ π

=

Relaciones má

s fuertes entre p y la función beta, aparec n en el proceso de

integración bajo la serie de contracciones. Presentaremos aquí, algunos ejemplos en

los cuales se observa el poder de resolución de las funciones contráctiles, la función

beta, las funciones tau racciones factoriales.

2.19.- Ejemplos. (Integración bajo la Serie de Contracciones)

2.19.1.- Ln 1 x dx∞ ∞

−

e

-beta y las cont

( )3

0 0

+ =∫ ∫ ( )3x d−

1 x ( ), 2.14.3.9

0

∞

= ∫ ( )31 x dx− ( ), 2.14.2.6

( ) ( )k 1 k 131 x .1 dx+−⎛ ⎞

k 00

∞ ∞

=

= ⊕ 2.1 ⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ , ( )

( )( )k 1

k 13k 0 0

dx 11 x

∞∞

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∫

( )k 1

k 0

1 1 1, k 1 13 3 3

∞

=

⎛ ⎞= β + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( )1k 0

1 1 2, k 1 k,13 3 3

∞

=

⎛ ⎞= β + τ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( ), 2.12.11.3,2.10.27


124

( ) ( ) ( ), 2. 2 1k 0 3

1 2,3 3 1,k 2,k3

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠= τ τ∑ 7,2.12.3

12.

( )2k 0 3

1 2,3 3 2,k3

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠= τ∑ ( ), 2.12.10

1 2,13 3 . 23 2 13

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=

− −( ), 2.12.9.1

1 2,3 3

⎛ ⎞= β⎜ ⎟⎝ ⎠

csc3π

= π

2 33π

=

Esto es,

.19.1.1)

( )3

0

2 3Ln 1 x dx3

∞− π

+ =∫ 2

4

0 0

Arctg x dx∞ ∞

− =∫ ∫ ( )42 x dx− 2.19.2.-

= 4

0

x∞

( )42 x dx−∫

( ) ( )k 1 k 24 8

k 00

x 1 x .1 d∞ ∞ +−

=

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠∑∫ x


125

( )( )

4k 2

k 18k 0 0

x dx .11 x

∞∞

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∫

( )k 2

k 0

1 5 5, k 1 .18 8 8

∞

=

⎛ ⎞= β + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1k 0

1 5 3 1, k . 1 k,8 8 8 2

∞

=

⎛ ⎞ ⎛= β + τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∑ ⎞⎟⎠

( )3 1k 0 8

5 3,3 8 8 1,k ,k

8 2

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

3k 0 8

5 3,38 8∞

⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛⎝ ⎠ , k8 2=

⎞= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

5 3 1,8 8 2. 38 3 1

2 8

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=

−

−

5 3,8 82

⎛ ⎞β⎜ ⎟⎝ ⎠=

3csc2 8π π

=

4 2 2π −=

2

es,

Esto

2.19.2.1) 4 4 2 2Arctg x dx∞

− π −=∫

0 2


126

2.19.3.- Teorema.- Si 1, 1p α≥ > , entonces,

( ) 0

∞

∫ ( )p x dx cscp p

1−α α − ππ

ostración.-

En efecto,

2.19.3.1)

=α

Dem

0

∞

∫ ( ) pp

0

x dx x∞

−α α −α= ∫ ( )p x dx−α

( ) ( )k 1 k pp p

k 00

(x 1 x .1 )dx∞ ∞ +α −α −α

=

= ⊕∑∫

( )( )

pk p

k 1pk 0 0

x dx .11 x

∞ α −α∞

+α=

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∫

1k 0

1∞ 1 1 1(1 ,k ) 1 k,p p p p=

⎛ ⎞α − α −= β − + τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑

( )1 1k 0 p

1 1 1 1(1 , ) 1,k 1 , kp p p p

∞

α−= α

⎛ ⎞α − α −= β − τ τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑

1k 0 p

1 1 1 1(1 , ) 1 ,kp p p p

∞

α−= α

⎛ ⎞α − α −= β − τ +⎜ ⎟α α α ⎝ ⎠∑

11 1 1 p(1 , ). 1 1p p p 1 1

p p

α − α −= β −

α −α α α + − −α

1 1(1 , )p p

1p

α − α −= β −

α α


127

( )1csc

p pα − π

π=

α

Es claro que la fórmula (2.19.3) incluye los casos (2.19.1) y (2.19.2).

Comentario.- En los ejemplos (2.19.1), (2.19.2) y (2.19.3) sólo se

uestra la técnica de gración bajo la serie de contracciones. Sin embargo, para

plicar dicha técnica es necesario conocer en cada caso, las condiciones de

onver ncia d la int l mpropia cuyo valor límite se intenta calcular.

Además, se deben satisfacer las condiciones para el intercambio entre

l sign l y el signo de sumatoria en la serie de contracciones.-

En los ejemplos citados anteriormente tales condiciones aparecen

1≥ α > ).

Obsérvese en detalle el siguiente ejemplo:

m inte

a

c ge e egra i

e o integra

señaladas en (2.19.3) ,( p 1

0

∞

∫ ( )p0

1x dxp 1

∞

=−∫ ( )1 p

pp 1

x dx , p >−

−

1, (2.18.1)

2.19.4)

0

xp 1

∞

=−∫ ( )1 p

pp 1

x dx , p > −

−

1

0

x(p 1

∞

=−∫ ( )

pkk 1 p 1p

k 01 x .1 )dx

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+ −− ⎝ ⎠

=

⊕∑

0

1(p 1

∞

=−∫ ( )

pkp 1

k 1pk 0

x .1 )dx1 x

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟−⎝ ⎠+

= +∑

Ahora bien, la integral impropia


128

2.19.4.1 ( )k 1p

0

x∞

dx1 x

++

∫

onver cada número entero .c ge para k 0,1, ..= , solamente si p > 2.

En tal caso, (2.19.4) queda,

.19.4-2)

2

∞

0∫ ( )

pkp 1

p k 1pk 0

1 x(x) dx d .1p 1 1 x

⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟

0

x −⎝ ⎠+

=

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟− +⎝

∑ ∫ , p 2> ⎠

1k 0

1 1 2 2 p 1, k 1 1 k,p 1 p p p p

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ −= β + − τ +⎜ ⎟ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝

∑ ⎞⎟⎠

( ) ( )2 11k 0 p

2 2,1p p p 11, k . 1 , k

p p 1 p

∞

−=

⎛ ⎞β −⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎝ ⎠= τ τ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑

( ) 21k 0 p

2 2,1p p p 11 ,

p p 1 p

∞

−=

⎛ ⎞β −⎜ ⎟ ⎛ ⎞−⎝ ⎠= τ +⎜ ⎟− ⎝ ⎠

∑ k

( )

2 2 p 1,1p p p.

p p 1 p 1 21 1p p

⎛ ⎞ −β −⎜ ⎟⎝ ⎠=

− ⎛ ⎞− 1+ − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 2,1p p p

⎛ ⎞= β −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2cscp pπ π

= , p 2>

Considérese el siguiente ejemplo de integración numérica.


129

2.19.5.- 0

∞

∫ ( )4 x dx csc4 2 4π π π

= = (2.19.4.2)

eg l impropia en (2.19.5) puede calcularse también mediante

.19.3).

.19.5.1)

,

La int ra

(2

En efecto,

0

∞

∫ ( )40

1x dx3

∞

= ∫ ( )343

x dx− 2

1 2. .csc4 43

3.3 3

π π= (2.19.3)

,

4π

=

c dando con (2.19.oncor 5).

Consideremos nuevamente la función p , p 1> .

Tenemos que,

ddx

( )pd 1x (

dx p 1=

−( )1 p

pp 1

x ) , p−

−

> 2.19.6.- 1

( )p p1 (1 x ) 1 p xp 1

−= ⊕ −−

p(1 x )−= − ⊕

p

11 x

= −+

Luego, entonces,

2.19.6.1

si p 1>

t

p pt

dx dxlim , 01 x 1 x

∞

→∞α α

= α ≥+ +∫ ∫


130

t(x) ) lim (

t→∞= − p α

tlim (→∞

= − ( )p t + ( )p )α

Pero tlim→∞

( )p t 0 , p 1= >

,

2.19.6.2)

Por lo tanto

p

dx1 x

∞

α

=+∫ ( )p , p 1, 0α > α ≥

Obs rvese el siguiente ejemplo:

é

2

26

x1 y+∫ ∫

0 x 0

dy dx x∞

= ∫∞ ∞

( )6 x dx , (2.19.6.2) 2.19.7.-

2

0

x5

∞

= ∫ ( )565

x dx−

3

0

15

∞

= x∫ ( )565

x dx−

( )6kk 13 6 5

k 00

1 (x 1 x .1 )dx5

⎛ ⎞∞ ∞ + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

=

= ⊕∑∫

( )63 k5

k 16k 0 0

1 x( dx).15 1 x

⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

=+

∑ ∫

1k 0

1 1 2 2 5, k 1 . 1 k,5 6 3 3 6

∞

=

⎛ ⎞ ⎛= β + − τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∑ ⎞⎟⎠


131

( )1 1k 0 3

2 1,113 3 1,k . , k

30 6

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1k 0 3

2 1,113 3 ,k

30 6

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

2 1 56.

⎛ ⎞

=,

3 311 1

β⎜ ⎟⎝ ⎠

30 16 3− −

2 1⎛ ⎞,3 3

β⎜ ⎟⎝ ⎠=

18

csc18 3π π =

9 3π

=

Esto es,

.19.7.1)

2

60 x

x dy dx1 y 9 3

∞ ∞ π=

+∫ ∫ 2

E jen el e mplo que sigue se aplica directamente la fórmula (2.15.6).

2.19.8.- ( )20 0x 41+

7 2x y xdydx∞ ∞ ∞

= ( )72x y∫ ∫ ∫ 16− x dx7

4

13

0

1= x

4

∞

∫ ( )16− 74

x dx


132

( )7kk 113 28 4

k 00

14

⎛ ⎞∞+ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

=

(x 1 x .1 )dx∞

= ⊕∑∫

( )

713 k4

k 128k 0 0

1 x dx .14 1 x

⎛ ⎞∞∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

+=

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎝ ⎠

∑ ∫

1k 0

1 1 1 1 4, k . 1 k,4 28 2 2 7

∞

=

⎛ ⎞ ⎛= β + τ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

∑ ⎞⎟⎠

( )1 1k 0 2

1 1,112 2 1,k . , k

112 7

∞

=

⎛ ⎞β⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠= τ τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1k 0 2

11,k112 7

∞

=

π ⎛ ⎞= τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

47.11 1112 1

7 2

π=

− −

14π

=

Esto es,

2.19.8.1) ( )2

21 x y

7 2

70 x

x y dydx14

∞ ∞ π=

+∫ ∫

.20.- Sobre la Función Contráctil biparamétrica ( p , q2 )

otaciones: Para cada número entero positivo n, se usarán las siguientes

otaciones:

N

n


133

( ) ( )k n 1 q k 12.20.1.- q , k p( n ) p

p ,qk 0

(x) 1 x .1 , p, q 0= − + +

=

= ⊕ ≥∑

.20.2.-

(n ) 1 pp,q (x) x −= ( n )

p ,q (x) , p, q 0≥2

Teorema.- Para cada número entero positivo n,

.20.3.1)

2.20.3.-

p ,q (x ) = ( )q , n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+ 2

2.20.3.2) p ,q (x ) = ( )q , n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+

.20.3.3)

Demostración.-

( ) ( )q k 1 q , k∞ + + pp

p ,qk 0

(x) 1 x .1=

= ⊕∑ 2

( )1

( ) ( ) ( )1 1, ,

0

1 .1 1 .1k n q k q kq k p q k pp p

k k nx x

= − ∞+ + + +

= =

= ⊕ + ⊕∑ ∑

= ( ) ( )q n k 1 q ,n k p( n ) pp ,q

k 0(x) 1 x .1

∞ + + + +

=

+ ⊕∑

Pero, con arreglo a la Proposición (2.6.6) se tiene,

2.20.3.4)

( ) ( ) ( )q ,n k p q ,n p q n ,k p1 1 .1+ +=

Introduciendo (2.20.3.4) en (2.20.3.3) queda:

p ,q (x ) = ( ) ( ) ( )q n k 1q , n p q n , k p( n ) pp ,q

k 0(x)2.20.3.5) 1 1 x .1

∞ + + + +

=

+ ⊕∑


134

= ( )q , n p( n )p ,q p ,q n (x )+ (x ) 1+

Ahora, multiplicando ambos miembros de (2.20.3.5) por , se tiene:

.20.3.6)

1 , 0px x− >

p ,q (x ) = ( )q ,n p( n )p ,q (x ) 1+ p ,q n (x )+ 2

.3) tiene gran impo tancia teórica. La fórmula (2.20.3.2)

ermite reducir el problema de la evaluación de la función contráctil a la evaluación

El Teorema (2.20 r

p

de una función contráctil p , q tal que 0 q 1≤ < .

Una forma equivalente para la forma (2.20.3.2) es:

.20.3.7)

2

( )( ) 1q ,n p(x) 1 (−

= p , q( n )p , q (x) ) , n 1, 2, ... , p 0= > (x ) −p , q n+

érvense en d alle los siguientes ejemplos.

.20.4.-

Obs et

( )( ) 10 , 1 22,0 (x ) − (1)

2,0 (x) ) , (2.20.3.7) (x) 1 (−

=2 2,1

( )( ) 11 21 (−

= 2 (x ) − (1)2 (x ) )

( )( ) 11 21 (−

= 2 (x ) − (1)2 (x ) )

) ( ) ( )0 11 11 2

0

(1 2= ⊕ ( 1 .1k k k

kArctg x x x

= +− −

=

− ⊕∑

1 23 ( (12

))Arctg x x x= −− ⊕


135

2

3 ( )2 1

xArctg xx

= −+

52,2

(x ) = 12, 22

(x )+

2.20.5.-

1,2 22 1(1 ) (

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= 12,

( 2 )12,

, (2.20.3.7) (x ) −2 2

(x) )

.20.5.1)

Pero,

( )( )1 ,2

22

2 3 5 51 1 3 1 5 .4 6 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ ⊕ = =

2.20.5.2)

1 22,2

1(x) 2(1 )1 x

= −+

, (2.14.3.21)

2.20.5.3) ( )11k 1 , kk 1 2( 2 ) 2 2

1 (x ) 1 x .1⎛ ⎞= ⎜+ +⎝= ⊕∑

2

2, k 02

⎟⎠

=

( ) ( )13 5 , 1 222 22 21 1 .1x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ⊕ + ⊕

( ) ( )3 5

2 22 231 14

x x= ⊕ + ⊕

luego,

2.20.5.4) 3 3

2 22 25 22,2

8 2 3(x) (2 (1 x ) (1 x ) )5 41 x

= − − ⊕ − ⊕+


136

41,3

(x ) = 11, 13

(x )+

2.20.6.-

1 , 1 13 1(1 ) (

⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠= (1)

1 11,3

(x ) −1,

3

(x) )

2.20.6.1)

Pero,

1,1 13 4 41 1

3 7

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = ⊕ =

3 2 3 311,3

3(x) ( x 2 x 2Ln(1 x )2

= − + + , (2.14.3.12) 2.20.6.2)

2.20.6.3) ( )1k 0 1 , k 1k 1 3(1) 3

11, k 03

(x ) 1 x .1⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

=

= ⊕∑

( )431 x= ⊕

luego,

4

3 2 3 3 32.20.6.4) 41,3

(x ) ( ( x 2 x 2Ln(1 x )) (4 2

= − + + −7 3 1 x) )⊕

eorema (2.20.3) puede ser utilizado para extender el concepto de función

ontráctil a valores negativos del parámetro . Para ello es necesario hacer algunos

importantes ajustes en las notaciones.

El T

c q


137

2.20.7.- Se usará la notación 1 α⊕ en lugar de 1( ) 1α α+ para cada número

al

−

1α ≠ − .

Ejemplos:

re

31 ( 3)2

⊕ − = 2.20.7.1)

1 11 ( )5 4

⊕ − = − 2.20.7.2)

En general,

2.20.7.3)

1 ,a a a bb a b

⎛ ⎞⊕ − = ≠⎜ ⎟ −⎝ ⎠ .

Para cada par de números reales y cada número entero no

egativo ; la notación

2.20.8.- , , 0p q p ≥

k ( ),1 q k pn será usada con el siguiente significado:

( ),01 1q p = 2.20.8.1)

( ) ( ) ( ), , 11 1 ( ) .1 , 1, 2,...q k p q k pq k p k−= ⊕ + = 2.20.8.2)

siempre que, para cada entero , 0 ,i i k< ≤ ocurra que 1( )p q i+ ≠ − .


138

Ejemplos.

( 2,4 3)− s vese que en este caso se tiene que para cada

. Luego,

1 . Ob ér2.20.9.- , 0 4,i i< ≤

3( 2 ) 1i− + ≠ − ( )2,4 31 − está definido con arreglo a (2.20.8.2).

Por otra parte,

.20.9.1)

2( ) ( ) ( )( )( )2,4 31 1 ( 2 1)3 1 ( 2 2)3 1 ( 2 3)3 1 ( 2 4)3− = ⊕ − + ⊕ − + ⊕ − + ⊕ − +

(1 ( 3))(1 0)(1 3)(1 6)= ⊕ − ⊕ ⊕ ⊕

0=

.20.10.-

15 , 37 4 3 21 1 1 1

7 7 7

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊕ − ⊕ − ⊕ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

2

4 3 2( )( )( )3 4 5

= − − −

2 5

2.20.11.-

= −

1 ⎞4 , 521

⎛ −⎜ ⎟⎝ ⎠ no está definido con arreglo a (2.20.8.2), puesto que

1 ( 4 2) 12

+ = − .

−

(20.8) de rmina la existencia de la suma parcial definida en

.20.1).

La definición te

(2

Esto es,


139

( )k n 1

)q (x2.20.12.- q , k p( n p q k 1

p ,k 0

) (1 x ) .1 , (2.20.1)= −

+ +

=

= ⊕∑

En efecto, para que (n )p ,q (x) exista, debe estar definido ( )q , k p1 con arreglo a

.20.8), para cada entero(2 , 0 1k k n< ≤ − .

Por ejemplo (3)1 , 42

(x)−

no está definido porque 14 , 221

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ no lo está. Obsérvese

que 1 ( 4 2) 12− + = − . Sin embargo, ( 2)

1 , 42

(x)−

está definida y toma el valor

11k 1

( 2 )=

2.20.12.1) 4, k

4 k 1 22

k 0

(x) (1 x ) .1⎛ ⎞−⎜ ⎟− + + ⎝ ⎠

=

= ⊕∑

1 , 42−

11 14, 1

3 222 2(1 ) 1 (1 )x x⎛ ⎞−⎜ ⎟− −⎝ ⎠= ⊕ + ⊕

1 1

3 22 23(1 ) (1 ( ))(1 )2

x x− −= ⊕ + ⊕ − ⊕

1 1

3 22 2(1 ) 3(1 )x x− −= ⊕ + ⊕

Las definiciones que se dan a continuación permiten ampliar la teoría de las

ones.-

funciones contráctiles. En cada caso , ,p q x son números reales tales que

0, 0p x≥ > .

2.20.13.- Definici

11, 2 (x) (1 x) Ln x−− = ⊕2.20.13.1) −


140

2.20.13.2) Si , ( 1) 1p q + = −

p qp, q (x) x(1 x )= ⊕ − p

1, q (x )−

2.20.13.3) Si ,

( 1) 1p q + ≠ −

( )q , 1 p1 p p qp , q (x) x (1 x ) 1−= ⊕ + p , q 1 (x )+

Observación.- En las definiciones (2.20.13.2) y (2.20.13.3) es necesario que

s funciones contráctiles p1, q (x )− y p , q 1 (x )+la estén previamente definidas.

ple derivación que las funciones definidas en (2.20.13)

siguen la misma regla de derivación demostrada en el Teorema (2.14.3) o su forma

quivalente (2.14.3.2).

ot a parte, s

Puede probarse por sim

e( )q, n p1 está definido para algún número entero pos tiv Por r i i o

ntonces el Teorema (.20.3.2) es aplicable a

n ,

e p , q , para ese valor de .

2.20.14.- Teorema.- Si

n

1pq = − , entonces p , q está definido en 0x = y

además p , q (x ) 1= para cada número real

Demostración.- Derivando

0x ≥ .

p , q (x ) , 0x > con arreglo al Teor. (2.14.3) se tiene,

2.20.14.1) ddx

p pp , q (x) (1 pq)x (1 x )q 1− += + ⊕

q 1(1 ( 1)) (1 )p px x− += + − ⊕


141

0=

mostrando que p , q es una función constante en el intervalo abierto ( )0,∞ .

Ahora bien, como pq 1− , entonces 1= ( )p q n+ ≠ − para cada entero

lo que implica que 1, 2,...n = ( )q , k p1 está definido para cada entero

según (2.20.8).

> un número entero tal que

0,1, 2,...k =

Sea ahora n 1 0q n+ ≥ . Es claro que (n )p ,n (x) y

p , q n+ están definidos, (aunque por razones diferentes).

Teor. (2.20 .2) se tiene,

.20.14 )

Aplicando el .3

p , q (x ) (p , q n (x )+ )2 .2 q , n p( n )

p ,n (x ) 1+=

Donde,

( n ) 1 pp ,n (x) x −= (n )

p ,q (x) 2.20.14.3)

( ) ( )1 1 ,1

0

1 .1k n q k q k pp p

k

x x= − + +−

=

= ⊕∑

( ) ( ) ( )11 ,1

0

1 1 .1k nq k q k pp p p

k

x x x= −+−

=

= ⊕ ⊕∑

( ) ( ) ( )11 ,1

1

. 1 (1 1 .1k nq k q k pp pq p p p

k

x x x x= −+− + −

=

= ⊕ + ⊕∑ )

( )

( ) ( )1

,1

1

1 (1 1 .1 ) , 1, 1 1

k n k q k ppqp k

x pq nx

= −

+=

= + ⊕ = − >+

∑

De (2.20.14.3) se deduce que


142

( n )p ,n (0) 1 , pq 1= = 2.20.14.4) −

, como Por otra parte 0q n+ ≥ , entonces

2.20.14.5)

, (0) 0 , (2.14.2.5)p q n+ =

0x = , Introduciendo (2.20.14.4) y (2.20.14.5) en (2.20.14.2) y evaluando para

se tiene

2.20.14.6) ,p q (0) 1 , 1pq= = −

De (2.20.14.6) y (2.20.14.1) se tiene el resultado,

, ( ) 1 , 1 ,p q x pq= = − 2.20.14.7) 0x ≥

.20.15.- Proposición.- Sea un número entero positivo y un número real

,

n p2

positivo. Si ( ) 1, 0p n i i n≠ − < ≤ entonces

− +

, ( )p n x− = ( n )p , n (x) , x 0− >

Demostra - Aplicando el ción. Teor. (2.20.3.2) se tiene,

.20.15.1) , ( )p n x− = ( )n , n p( n )p , n (x ) 1 −− + , 0 ( )p x 2


143

Pero, ( ),1 0n n p− =

uego,

.20.15 )

L

(n )p , n (x)− 2 .2 , ( )p n x− =

Ejemplos.-

, 1( )p x− =2.20.15.3) (1)p , 1 (x)−

1 px −= (1)p , 1 (x)−

( )0

1,1 1 1

0

(1 ) .1k

k pp p k

k

x x=

−− − + +

=

= ⊕∑

( )0

1,1

0k=(1 ) .1

kk pp p kx x

=−−= ⊕∑

x x−= >

e si en (2.20.15.3) se coloca

p 1 , 0

Obsérvese qu , entonces se obtiene 1p =

2.20.15.4) ( ) 1 , 0x x1, 1− = >

Concordando con el Teorema (2.20.14).


144

, 2 ( )p x− = ( 2 )p , 2 (x) , p 1− ≠ 2.20.15.5)

1 px −= (2 ) p, 2 (x)−

( )1

2,1 2 1

0

(1 ) .1k

k pp p k

k

x x=

−− − + +

=

= ⊕∑

( )2,11 1((1 ) 1 )pp px x −− −= ⊕ +

1 (1 (1 ))p px x p− −= + + ⊕−

1 (1p )1

p px x−= +p

− +−

1 1 22 1 , 1,1

p pp x x p xp

− − 0−= + ≠

− >

Para el caso 1p = se t nie e la definición (2.20.13.1). Esto es,

11, 2 ( ) (1x− = ⊕ ) , 0x Ln x x− − >

Proposición.- Sea

2.20.15.6)

p un número real positivo y un número entero n2.20.16.-

1 ,

1n p

p⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠positivo. Si existe y tiene un valor diferente de cero, entonces,


145

1 ,

11,( )n pp

p− (1 ) (1

n ppx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − ( n )

1p ,p

(x ) )−

Demostración orema (2.20.- Aplicando el Te .3) en su forma (2.20.3.7) se tiene,

.20.16.1)

1 ,

11,( ) (1 ) (

n pp

n ppp

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠

− = 1,( )

pp

x−

− ( n )1p ,p

(x ) )−

2

Pero, 1,( ) 1

pp

x−

= , (Teor. 2.20.14)

luego,

1 ,

11,( ) (1 ) (n pp

p

x ⎝ ⎠− = 1

n pp

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ − − ( n )2.20.16.2) 1p ,

p

(x ) )−

esario percatarse de la importancia teórica y práctica de la Prop.

(2.20.16).

Nota: Es nec

Ejemplos.-

1 ( )2,

2

x = 1 (2, 1

2

)x− +

2.20.16.3)


146

1,1 22 1(1 ) (1

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (1)

12,(x) ) ,

−2

(Prop. 2.20.16)

Pero, 1,1 22 1 11 1 ( 1) 2

2⎝ ⎠ = ⊕ − + 1 1

2

⎛ ⎞−⎜ ⎟

= ⊕ =

(1) 112,2

(x) x −

−= (1)

12,2

(x)−

110 , 21 21 2 2

0(1 ) .1

k kk

kx x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟− + +− ⎝ ⎠

=

= ⊕∑

1

1 2 2(1 )x x−= ⊕

2

11 x

=+

luego,

1 22,2

1( ) 2(1 )1

xx

= −+

2.20.16.4)

Nota: L apa fórmula (2.20.16.4) arece referida en (2.14.3.21).

2 ( )3,

3

x = 1 ( )3, 1

3

x− +

2.20.16.5)


147

1,1 33 1(1 ) (1

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (1)

13,(x) ) ,

−3

(Prop. 2.20.16)

( )

23 3

3 1(1 )2 1 x

= −+

Las fórmulas (2.20.16.4) y (2.20.16.5) son casos particulares de una fórmula

ral.

2.20.16.6)

más gene

1 1,

1( ) (1 )1

(1 )p ppp p p

pxp

x− −= −

−+

.20.16.7)

2 1,5 2

( )x = 2 5, 35 2

( )x− +

2

5 2, 33 5 1(1 ) (1

⎛ ⎞−⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − (3)

2 5,(x) )

−

5 2

Pero,

.20.16.8)

5 2, 32 5

⎛−⎜ 5 2 5 2 5 2( 1) 1 ( 2) 1 ( 3)2 5 2 5 2 5

⎞⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⊕ − + ⊕ − + ⊕ − +⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1⎝ ⎠ = ⎜

⎝2

3 1 11⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⊕1 ( ) ( ) 15 5 5

= ⊕ − − ⊕⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


148

3 1 12 4 6

⎛= − ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

116

=

3

(3) 52 5

(3)2 5,5 2

(x)−

2.20.16.9) ,

5−

2

(x ) x=

5 23 22

5 5(1k

x x=

= ⊕∑5 ,1 2 52

0) .1

kk

k

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + +⎝ ⎠

=

5 2 5 23 2 2 23 1,1 , 22 5 2 55 5 5 52 2((1 ) 1 (1 ) 1 (1 )x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ⊕ + ⊕ + ⊕

12 )

.3 3 2 1 2 1 23 1 1

5 5 5 52 23 3(1 ) (1 ) )8

x x x x− − − − −− −⎛ ⎞+ − ⊕ + ⊕⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 5 5 2( (1 )2

x x x= ⊕

1

2 3 2 2 1 55 5 5 5 2

2 15 2

3 3(1 ) (1 )2 8(1 )

xx x xx

= + − + ++

6.9) se obtiene el resultado: De (2.20.16.8) y (2.20.1

1

2 3 2 2 1 55 5 5 5 2

2 1 2,5 2 5

6( ) 16 16(1 ) 24 (1 )

1

xx x x x

x

= − + − + +

+

2.20.16.10)


149

Observación.- La función contráctil 1, 2 no puede determinarse escribiendo

1, 2 ( )x = 1, 1 3 ( )x− + y aplicando el Teor. (2.20.3) en su forma (2.20.3.7) porque

( )1, 3 11 no está definid− o.

Si se quiere determinar una forma elemental para 1, 2 ( )x , puede seguirse el

nto:

.20.17.-

siguiente procedimie

1, 2 ( )x = 1, 0 2 ( )x+ 2

( )0, 2 1 1(1 ) (−= 1,0 ( )x − ( 2 )1, 0 (x) )

1 ( )2 1 1(1 ) (−= ( )x − ( 2 )1 (x ) )

Pero, ( )2 1 1 2 11 (1 )(1 2) .2 3

= ⊕ ⊕ =

13=

( ) (1 )x Ln x= + 1

) = ( 2 )1 (x ) ( 2 )

1 (x

( )11

0

1 .1 kk

k

+

=

= ⊕∑

1

( )k

x=

( )1 12(1 ) (1 ) .1x x= ⊕ + ⊕


150

2(1 )(1 )2xx ⊕

= ⊕ +

luego,

.20.17.1) 2

1, 2(1 )( ) 3( (1 ) (1 ) ) , 0

2xx Ln x x x⊕

= + − ⊕ − 2 ≥

En el caso general, para evaluar la función contráctil es necesario recurrir a la

plo.

.20.18.- Sea

Def. (2.14.1).

Obsérvese el siguiente ejem

0, 1.qα > > − 2

1, q α⎜⎝1⎛ ⎞ =⎟⎠ 1,q

1⎛ ⎞⎜ ⎟α⎝ ⎠

( )1

, 1

0

11 .1q k

q k

k α

+ +∞

=

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

(110

1 ,(1 )q k

kτ

α ++ +=

=+∑ )1 1 ,q q k

∞

+ + (Teor. 2.12.11)

( )11

1 τ∞

=∑ ,1(1 ) qq k

k

q kα ++

=

++

1

1 1(1 ) ( )(1 )q k

k

qk qα α

∞

=

+=

+ + +∑

Esto es,


151

( ) ( )( )1,q q kk 1

1 1 q 1∞+⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ∑2.20.18.1) , q 1, 01 k q 1=

> − α >α⎝ ⎠ + α + + α

Si

0, 1,q α= = de (2.20.18.1) se obtiene una serie logarítmica para 2Ln .

2.20.18.2) 1 .2k

k k=

12Ln∞

=∑


152

2.21.- Función Contráctil Adyacente , q p

2.21.1.- Definición.- Para cada par de números reales , se entenderá por

dyacente” la función,

, , 0p q p ≥

“Función Contráctil A

p q 1 − ( ), 1 , 0p q x x− > p , q (x) x(1 x= ⊕ ) −

.21.1.1)

Ejemplos.-

2 p 1p, 0 (x) x(1 x )−= ⊕ − ( ), 1p x−

1(1 )p px x x− −= + −

x=

Es decir,

p , 0 (x ) x= , x 0≥

2.21.1.2)

0 q 10,q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( )0, 1q x−

12 2q q

x x−= −

2q

x=


153

Esto es,

0,q q) , x 02

= ≥ x(x

p , 1 (x ) x= − ( )1 x 2.21.1.3)

Si 1p = y se tiene respectivamente,

2p =

1, 1 (x ) x Ln (1 x) , x 0= − + ≥

2, 1 (x ) x ArcTg (x ) , x 0= − ≥

( )1

2 212,2

(x ) x 1 x−

= ⊕ − ( )12,2

x−

2.21.1.4)

1

2 2(1 ) 1x x−= + −

21 1x= + −

Esto es,

212,2

(x ) 1 x 1 , x 0= + − ≥


154

2.21.2.- Teorema.-

ddx

p qp ,q (x) (1 x ) , x 0= ⊕ >

Demostración.-

2.21.2.1) ddx

p q 1 p p q p p qp ,q (x) (1 x ) p(q 1)x (1 x ) (1 p(q 1))x (1 x )− − −= ⊕ + − ⊕ − + − ⊕

1(1 ) (1 )p q p p qx x x− −= ⊕ − ⊕

x

1 1(1 ) ((1 ) (1 ) )p q p q p qx x− −= ⊕ − ⊕ − ⊕

(1 )p qx= ⊕

.21.3.- Aplicaciones del Teorema (2.21.2).-

2

1 13 3

32 220 0 2(1 ) 1 (1 )

x xdx dxx x x

=+ + +

∫ ∫ 2.21.3.1)

1 3

3 2 2

0

(1 )x x d−= ⊕∫ x

1 3

2 2(1 )0

x dx= ⊕∫

= 13 02,2

(x) , (Teor. 2.21.2)


155

3 = 32,2

(1) −2 ,

2

(0)

.21.3.2)

Pero,

21

2 232 ,2

(x ) x (1 x )= ⊕ − ( )12,2

,x (Def. 2.21.1)

Además,

2.21.3.3)

( )1 22,2

12(1 ) ,1

xx

= −+

(2.20.16.4)

Lu

.21.3.4)

ego,

1

2 23 22,2

1(x ) x(1 x ) 2(1 )1 x

= ⊕ − −+

, (2.21.3.2)

De donde,

.21.3.5)

2

32,2

3 2 4(1)2−

= 32,2 (0) 0 ,=

2

Por lo tanto,

2.21.3.6)

1 3

2 20

3 2 4 ,2(1 ) 1

x dxx x

−=

+ +∫ (2.21.3.1)


156

2.21.3.7) 1 14x dx

114 6 2

0

(1 )x x dx−= ⊕

)

6 20 (1 )x+∫ ∫

1

2 6(1 2

0

x x= ⊕∫ dx

13

= 3 12, 2 0(x ) , (Teor. 2.21.2)

1 (3

= 2 , 2 (1) − 2 , 2 (0))

Pero,

2.21.3.8)

22, 2 (x) x(1 x )= ⊕ − ( )2,1 ,x (Def. 2.21.1)

Además,

.21.3.9)

( )2,1 2

3 ( )2 1

xx ArcTg xx

= −+

,2 (2.14.3.19)

.21.3.10)

Luego,

22, 2 2

3 x(x ) x (1 x ) (Arctg x )2 1

= ⊕ − −+

2x

De (2.21.3.10) se obtienen los valores:


157

(0) 0 ,= 2, 210 3(1)2.21.3.11) 2, 2 24

− π=

De (2.21.3.7) y (21.3.11) se obtiene el resultado:

.21.3.12)

1 14

6 2

10 3(1 ) 24

x dxx

20

π−=

+∫

.21.3.13)

22 25x 5 3 2

3 2 (1 )(1 )

dx x x dxx

−= ⊕+∫ ∫

0 0

2

1 3 2

0

(1 )x x dx−= ⊕∫

2

2 3 3 2

0

. (1 )x x x−= ⊕∫ dx

2

2 3 3 2

0

((1 ) (1 ) )x x x= ⊕ − ⊕∫ dx

13

= 3 21, 1 0(x ) −

13

3 21, 2 0(x )

13

= 1, 1 (8) −13 1, 2 (8)

Nota: (0) 0 ,= (0) 0= 1, 1 1, 2


158

Por otra parte,

2.21.3.14) 1, 1 (x ) x Ln(1 x)= − +

1, 2 (x ) x (1 x )= ⊕ − ( )1,1 x

(1 ) 2( (1 ) (1 ))x x Ln x x= ⊕ − + − ⊕

.21.3. )

De (2.21.3.14) se tiene,

1, 1 (82 15 ) 8= 2Ln (3)−

1, 280(8) 4Ln(3)9

= −

De (2.21.3.13) y (2.21.3.15) se obtiene el resultado:

( )2 5

3 2

2 9 3 4) 27

x dx Lnx

= −

ables de

2.21.3.16) 0 (1+∫

2.22.- Propiedades Not p , q

Consideremos nte la Def. (2.21.1), esto es, nuevame

p q 1p , q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( ), 1 , 0p q x x− > 2.22.1.-


159

2.22.2.- Propo .- Si 0p > , entonces, sición

p p

p 1p ,p

(x) 1 x 1− = + −

straci

.22.2.1)

Demo ón.-

1

p pp 1p ,

p

(x ) x(1 x )−

− = ⊕ − 1p ,p

(x )−

2

( )1

1 1p px−−= ⊕ −

( )1

1 1p px= + −

1 1p px= + −

De (2.22.2.1) se deduce que p 1p ,p−

admite una extensión continua a 0x = y

además, p 1p ,p

(0) 0 , p 0− = >

Por ejemplo,

2.22.2.2)

1 , 23

(0) 0−

=


160

Obsérvese que para 1, 1− se tiene,

.22.2.3)

21, 1 (x) x(1 x)−− = ⊕ − ( )1, 2 , 0 ,x x− >2 (Def. 2.21.1)

(Def.2.20.13)

1 2 1(1 ) ((1 ) ) ,x x x Ln x− −= + − ⊕ −

1 2 1(1 2 ) (1 )x x x x Ln− − −= + + − + + x

0>

1= + + ,x Ln x x

La función 1, 1− no está definida en 0x = .

, entonces

2.22.3.-Teorema.- Si 1pq ≠ −

( ), , 0p q x x > ( )p qp, q (x) x(1 x ) 1 pq= ⊕ − ⊕

.-

.22.3.1)

Demostración

p q 1p , q (x) x(1 x ) −= ⊕ − ( ), 1 , 0p q x x− > 2

Pero implica,

2.22.3.2)

1pq ≠ −

( ), 1p q x− = ( )q 1, 1 p(1)p , q 1 (x ) 1 −

− + ( ),p q x

1 (1 ) (1 )p p qx x pq−= ⊕ + ⊕ ( ),p q x


161

Luego,

.22.3.3)

p q 1 1 p p qp , q (x) x(1 x ) x (1 x ) (1 pq)− −= ⊕ − ⊕ − ⊕ ( ),p q x 2

p q 1 p q 1 p qx (1 x ) x((1 x ) (1 x ) ) (1 pq)− −= ⊕ − ⊕ − ⊕ − ⊕ ( ),p q x ,

0x >

p qx (1 x ) (1 pq)= ⊕ − ⊕ ( ),p q x

2.22.4.-Teorema.- Si , entonces

0q ≥ p , q admite una extensión continua a

= y además, 0 p,x q 0 . (0) =

mostración.- al Teor. (2.22.3) se tiene,

.22.4.1)

De Con arreglo

p qp, q (x) x(1 x ) (1 pq)= ⊕ − ⊕ ( ), , 0p q x x > 2

Ahora bien, ra 0q ≥ , , (0) 0p q = pa . Luego, el segundo miembro de la

ualdad (2.22.4.1) define una función continua, definida en ig 0x = y además, se anula

para ese valor de la variable.


162

2.22.5.-Teorema.- Si 0q ≥ , entonces,

p , q 11(x)

1 pq+ =+

( ), , 0p q x x ≥ p , (x ) −q

ostración.- La diferencia de funciones Dem p, q − p , q 1+ es una función

continua en y además, 0x =

p , q (0) − p , q 1 (0) 0 ,+ =2.22.5.1) (Teor. 2.22.4)

11 pq

=+

( ), 0 ,p q q ≥ 0

or otra parte,

2.22.5.2)

P

(ddx p , q (x ) − p q p q 1

p, q 1 (x)) (1 x ) (1 x ) , x 0++ = ⊕ − ⊕ >

p p q 1x (1 x )− += ⊕

d 1(dx 1 pq

=+

( ), )p q x


163

2.23.- Integración de las Funciones Contráctiles

.23.1.-Teorema.- Si

, ,q r α son números reales tales que, 0, 0,q rα ≥ > , 2

entonces,

0

α

∫ ( ),r

p q x dx α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1

(1 ),r

p r q α +⊕

mostraci .- Integrando por partes se tiene, De ón

0

α

∫ ( ),r

p q x dx α= ( ) 1,

0

(1 ) (1 )r r pr prp q r pq x x d

α

α − +− + ⊕∫ 2.23.1.1) q x

α= ( ) 1,

0

(1 ) ((1 ) (1 ) )r r pr q prp q r pq x x x d

α

α +− + ⊕ − ⊕∫ q x

α= ( ),(1 ) (

1r

p qr pq

rα +

−+

r 1pr , q

r 1

( )+

+

α − r 1pr , q 1

r 1

( )+

++

α )

α= ( ), (1 )(1 )(rp q r pqα − ⊕ + r 1

p (1 r ), q ( )+⊕ α − r 1

p(1 r), q 1( )+⊕ + α )

α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1

(1 ),r

p r q α +⊕ , (Teor. 22.5)


164

2.23.2- Teorema.- Si , ,q r α son números reales tales que, 0, 0,q rα ≥ > ,

entonces,

0

α

∫ ( ),r

p q x dx α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1

(1 ),r

p r q α +⊕

ostración.- Integrando por partes se tiene,

.23.2.1) ∫

Dem

α

( ),r

p q x dx α= ( ),0

(1 )r r pr qp q r x x dx

α

α − ⊕∫ 20

α= ( ), 1r

p q rα −

r+

( )1

,1

rpr q

r

α +

+

α= ( ), (1 )rp q rα − ⊕ ( )1

(1 ),r

p r q α +⊕

.23.3 Aplicaciones a la Integración Numérica.

2

( )1 17

7 66

0 0 0 0

11

y yx dx dy x x dx dyx

−= ⊕+∫ ∫ ∫ ∫ 2.23.3.1)

( )1

6

0 0

1y

x x dx dy= ⊕∫ ∫

1

0

1(2

= ∫ ( )23,1 0

)x y

xx dy

=

=


165

1

0

12

= ∫ ( )23,1 y dy

1 (2

= ( )3,1213

− ( )2,1 1 ) , (Teor. 2.22.4)

1 (12

= − 32(1) (13

− − ( )2 1 )

1 1 2(2 3 3

= + ( )2 1 − 3 (1))

o: ( )2 14π

= Per , (2.14.3.10)

( )33 21

9 3Lnπ

= + , (2.14.3.16)

De donde,

.23.3.2)

( )1 7

60 0

2 3 31 21 6 36

y

6x Lndx dy

x

π−= − −

+∫ ∫ 2

1 12 2

3 3

0 0

1 (1+x dx+ =∫ ∫ ( )23,3

)x dx 2.23.3.3)


166

1 12 2

= + 23,3

1 12 2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2,2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 (12

= + 23,3

1 1)2 2

⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2,2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

31 112 8

= + 12

− 3 2,2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (Prop. 2.22.2)

ien,

Ahora b

( )2332

3 2,2 3

(1 ) (1 1)x x x= ⊕ − ⊕ ( )3 2,2 3

x 2.23.3.4)

luego,

.23.3.5)

23

3 2,2 3

1 1 1 12

(1 )4 4 8

⎛ ⎞ = ⊕ −⎜ ⎟⎝ ⎠

3 2,2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

De (2.23.3.3) y (2.23.3.5) se tiene,

.23.3.6)

12 3

3 3

0

17 9 1172 4

x dx+ = +∫ 3 2,2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

Pero,

3 2,2 3

1 24

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 3 2,

2 3

14

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2.23.3.7)


167

5 2 3,3 3 2

0

12 1 .18

k k

k

⎛ ⎞+∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= ⊕⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

550 33

1 5 22 ,3 39

kkkτ

∞

+=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

3

51 3

2 9 1 7(1 , )81 9 3k

kkτ

∞

=

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

3

1

2 9 5.8.11. .(2 3 )(1 )81 9 .7.10.13. (4 3 )k

k

kk

∞

=

+= +

+∑ L

L

Sustituyendo (23.3.7) en (23.3.6) queda:

.23.3.8)

12 3 9 157 5.8.11. .(2 3 )k∞ +L3 3

10

1 ( )162 4 9 .7.10.13. (4 3 )k

kx dx

k=

+ = ++∑∫ L

2


168

2.24.- Función Contráctil Complementaria p , q

Definición.- Para cada par de números reales tales que

se entenderá por “Función Contráctil Complementaria” la función:

2.24.1.- ,p q

1, 1,p pq> >

p , q1(x)

pq 1=

−1 p

p , q 1p 1

(x ) , x 0−

−−

>

algunas asiones,Nota: En oc p , q será referida como “Complemento Contráctil” de

p , q .

Obsérvese que si , entonces 1q = p , q se reduce al complemento contráctil de

p , p 1> , definido en (2.18.1).

En efecto,

p , 11(x)

p 1=

− ( )1 pp , 0

p 1

x ,−

−

(2.24.1)

11 ( )1 p

pp 1

x −

−

p

=−

= p (x ) (2.18.1)

,


169

2.24.2 Teorema.-

limx→∞ p ,q (x ) 0=

Demostrac Bión.- asta probar que,

2.24.2.1

limx→∞

1 pp , q 1

p 1

(x ) 0 , p 1, pq 1−

−−

= > >

Tenemos que,

.24.2.2

limx→∞

1 pp x, q 1

p 1

(x ) lim (x−

→∞−−

= 11

1

, ( )pp q

p

x −−

−

)

2

( )1,

1

0lim( 1 .1 )

pq kq k pp

x kx x

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟+ −− ⎝ ⎠

→∞=

= ⊕∑

( ) ( )1,

1

0lim( 1 1 .1 )

pq kq k pp p

x kx x x

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠

→∞=

= ⊕ ⊕∑

( ) ( )1,

11

1lim( 1 (1 1 .1 )

pq kq k ppq p p

x kx x x

⎛ ⎞∞ −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠

→∞=

= ⊕ + ⊕∑

0 ,= puesto que 1pq >


170

2.24.3 Teorema.-

ddx

p qp ,q (x) (1 x ) , x 0−= − ⊕ >

Derivando directamente a partir de la Def. (2.24.1) se

.24.3.1)

Demostración.-

tiene,

ddx

p p qp ,q

1 p(q 1)(x) (1 x (1 x ) (1 p)x )pq 1 p 1

− − p q−= + ⊕ −

− − 2

.24.4.- Teorema.- Para cada trío de números reales q

(1 )p qx−= − ⊕

2 p, ,α tales que,

0, 1,pα > > 1.pq >

(1 )p q

dxxα

∞

=+∫ p ,q ( )α

Demostración.-

lim(1 ) (1 )

t

p q p qt

dx dxx xα α

∞

→∞=

+ +∫ ∫ 2.24.4.1)

lim(t→∞

= − tp ,q (x ) ) ,

α(Teor. 2.24.3)


171

lim(t→∞

= − p ,q ( t ) + p ,q ( ))α

= p ,q ( )α , (Teor. 2.24.2)

.24.5.- Corolario del Teor. (2.24.4).- Si y entonces,

2 1 0p r> + > 1,pq r> +

( )1

11

r

qp

x dxrxα

∞

=++

∫ r 1p ,q

r 1

( ) ,+

+

0α α >

Demostración.- Es suficiente hacer el cambio de variable y

aplicar el Teor. (2.24.4).

2.24.6.- Aplicaciones del Teor. (2.24.4) y del Corolario (2.24.5).

2.24.6.1)

1rt x +=

( )231 1

dx

x

∞

=+

∫ 3,2 (1) , (Teor. 2.24.2)

15

= 3 , 12

(1)

Pero 3 , 12

5(1) (3

= 32

1(1) )2

−

Luego


172

2.24.6.2) ( )23

1

1 (31

dx

x

∞

=+

∫ 32

1(1) )2

−

Por otra parte, 32

(1) está relacionado con 3 (1) , con arreglo a la Def.

(2.18.1).Así se obtiene,

2.24.6.3) 32

4 3(1) 29π

= − 3 (1)

Ahora bien,

2.24.6.4) 33 ln 2(1)

9 3π

= + , (2.14.3.16)

Entonces,

2.24.6.5) 32

2 3 2 ln 2(1)9 3π

= −

Para la integral se tiene,

2.24.6.6) ( )23

1

2 3 2 2 127 9 61

dx Ln

x

π∞

= − −+

∫

2.24.6.7) ( ) ( ) ( )

1

2 2 24 4 40 0 11 1 1

x x xdx dx dxx x x

∞ ∞

= −+ + +

∫ ∫ ∫


173

1 1 3 1,4 2 2 2β ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2,2 (1) , (2.24.5)

( )12

1 1 1 1, 1,14 2 2 6β τ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2,1 (1)

1 3 38 6 8 4π π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

216π +

=

2.24.6.8) ( )25

2

121

x dxx

∞

=+

∫ 5 ,22

(4)

18

= 5 , 13

1( )8

12

= 5 , 13

1( )8

51,

2 3

0

1 1(1 ) .12 32

kk

k

⎛ ⎞∞ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

=

= ⊕∑

220

1 1 32 ,2 33 5k

k

kτ∞

+=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑


174

220

1 1 13( , )2 33 5k

kkτ

∞

+=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1

1 5 ( 1)!(1 )2178 33 13.18. .(8 5 )

k

k

kk

∞

=

+⎛ ⎞= + ⎜ ⎟ +⎝ ⎠∑

L

0.0004701168975≈

Esto es,

2.24.6.9) ( )25

2

0.00047011689751

x dxx

∞

≈+

∫

2.24.6.10) ( )24

0 01y

dx dy

x

∞ ∞ ∞

=+

∫ ∫ ∫ 4 ,2 (y) dy

0

17

∞

= ∫ 34 ,13

(y ) dy−

0

17

y∞

= ∫ 34 ,13

(y ) dy−

41,

4 2 3

00

1 ( (1 ) .1 )7

kk

k

y y dy⎛ ⎞∞ ∞ ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠

=

= ⊕∑∫

24 20 0

1 3( ) 2 ,7 (1 ) 4k

k

y dy ky

τ∞∞

+=

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠∑ ∫


175

20

1 1 1 3 11( , ) ,7 4 2 2 4k

k kβ τ∞

=

⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( )3 20 2

1 1 3 11( , ) 2, , ,28 2 2 4k

k kβ τ τ∞

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (2.12.5)

30 2

1 1 3 11( , ) , ,28 2 2 4k

kβ τ∞

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (2.12.10)

74. ,11 356 1

4 2

π=

− −(2.12.15.6)

8π

=

Esto es,

2.24.6.11) ( )24

0 81y

dx dy

x

π∞ ∞

=+

∫ ∫


176

2.25.- Sobre la diversidad de formas que adopta la Función Contráctil

2.25.1.- 0, 1( ) , 02q q

xx x+= ≥

2.25.2.- 11, 1( ) , 0 , 0x x xα

α α−+ − = ≥ >

2.25.3.- 1, 1( ) , 0 , 0x x xαα α−+ − = ≥ >

2.25.4.- 1, 1( ) 1 , 0x x− = ≥

2.25.5.- , ( ) 1 , 0, 1, 0p q x p pq x= > = − ≥

2.25.6.- 1( ) (1 ) , 0x Ln x x= + ≥

2.25.7.- 11,2

( ) ( 1 ) , 0x Ln x x x−

= + + ≥

2.25.8.- 11,2

( ) 3( ( 1 ) 1 ) , 0x Ln x x x x= + + − ⊕ ≥

2.25.9.- 1 1,2 2

3( ) ( 1 1 ( 1 )) , 02

x x x x Ln x x x−

= ⊕ + ⊕ − + + ≥

2.25.10.- 22 ( ) 1 , 0x Arcsen x x= ⊕ ≥


177

2.25.11.- 2 ( ) , 0x ArcTan x x= ≥

2.25.12.- 1(2 ) (1 ) , 0x ArcTanh x x= ⊕ ≥

2.25.13.- 12

( ) 2 2 (1 ) , 0x x Ln x x= − + ≥

2.25.14.- 3 2 3 313

3( ) ( 2 2 (1 )) , 02

x x x Ln x x= − − + ≥

2.25.15.- 3 323

( ) 3 3 , 0x x ArcTan x x= − ≥

2.25.16.- 5 3 5 525

5( ) ( 3 3 ) , 03

x x x ArcTan x x= − + ≥

2.25.17.- 1( 1) , , 1xy Lnx Lny x y− = + ≥

2.25.18.- 31( )6

x = 1 2

3 3 2 1 3( ) ( ) , 01 3 183

x xArcTan xx x

π−+ + ≥

− +

2.25.19.-

2 3 41 1 5 5 55 5

15

( ) 5( (1 ) ) , 02 3 4x x xx Ln x x x= + − + − + ≥

2.25.20.-

3 51 17 77 7

27

( ) 7( ( )) , 03 5x xx x ArcTan x x= − − − ≥


178

2.25.21.- 2 ( )x + 2 ( )y π= − 2 ( ) , , 11

x y x yxy+

>−

2.25.22.- 21( )x+ 2

1( )y

= 2 ( ) , , 11

x y x yxy+

>−

2.25.23.- 2 21

1 4( ) ( , ) ( ) , 04 1

k

kk kα β α

α α

∞

=

= >+∑

2.25.24.- 11

( )k n

k

n=

=

= ∑ 11( ) , 1, 2,...nk

=

2.25.25.- 11

1 1 1 1( ) ( ... ) , 1, 2,...( 1) 1.2 2.3 .( 1)n k k k

kn H n

k k n n

∞

=

= − + + + =+ +∑

Donde nH es el número armónico, 1

1k n

nk

Hk

=

=

= ∑

2.25.26.- 11

1 1 1 1( 1) ( ... ) , 2,3,...2 3k k k

k

n nk n

∞

=

− = + + + =∑

2.25.27.- 1( ) (1p x x p−= − ( )1 p1 p ,1 x ) , p 0, x 0− −+ + > >

Donde ( )p,α es la función beta contractiva,

( ) ( )k

k 1

p,kp, , p, , p, 1

∞

=

βα = α∈ α ≥

α∑


179

Además, p y α no toman simultáneamente el valor 1.

2.25.28.- 1( ) (1x x= − ( )12,1 x ) , x 0−+ >

2.25.29.- Si p 0, q 1,> > −

11 , ( ) (1 ( 1))p

p q x p q+⊕ = + + , 1( ) , 0p q x x+ ≥

2.25.30.- Si p 0, q 1,> > −

11 , ( ) (1 ( 1)) ( (1 )p p

p q x p q x x+⊕ = + + ⊕ − , ( )) , 0p q x x ≥

2.25.31.- Si p 0, p 1,> ≠

1 1,

1( ) (1 ) , 01

(1 )p ppp p p

px xp

x− −= − ≥

−+

2.25.32.- 1 22,2

1( ) 2(1 ) , 01

x xx

= − ≥+

2.25.33.- 231, 23

1( ) ((1 ) 1) , 02

x x x−

= + − ≥

2.25.34.- Si p 0, p 1,> ≠

11 ,1

1( ) ((1 ) 1) , 01

p p

pp

x x xp

−

−= + − ≥

−


180

2.25.35.- 11, 2 ( ) (1 ) , 0x x Ln x x−− = ⊕ − >

2.25.36.- 1 21, 3( ) 2(1 ) (1 ) 2 , 0x x x Ln x x− −− = ⊕ + ⊕ − >

2.25.37.-

41( ) (2

4 2x = 2 ( 2 1) 2 ( 2 1)x ArcTan x+ + − +

2

2

1 2( ))1 2

x xLnx x

+ +− +

2.25.38.-

61( )3

x = 21( )6

x + 21 3(2 3) (2 3)6 12

x ArcTan x+ + − + 1 2

2 3( )1 3

xx x− +

2.25.39.- Si p(q 1) 1, p 0,+ = − >

, ( ) (1 )p qp q x x x= ⊕ − 1, ( ) , 0p

q x x− >

2.25.40.- 3 2 11, 32

( ) (1 ) (1 ) 2(1 ) 2 , 0x x x x x Ln x x− − −

−= ⊕ + ⊕ − ⊕ + >

2.25.41.- 21, 2 ( ) (1 )x x x −− = ⊕ − 1

1, 2 ( ) , 0x x−− >

2.25.42.- 3

2 232,2

( ) (1 )x x x−

−= ⊕ − 2

31,2

( ) , 0x x−

−>


181

2.25.43.- 14,2

( ) 2x = 14,2

(1) − 114,2

( ) , 0x x− >

2.25.44.- Si p 1, p r 1 0,> > + >

,

( )rpp

x =,

1(1) (1rp

p

rp+

+− ,

( 1)

(1)p rp r p− +

− 1

,( 1)

( ))r pp r

p r p

x + −

− +

2.25.45.- 35,5

( ) 2x = 35,5

(1) − 135,5

( ) , 0x x− >

2.25.46.- 13,3

( ) 2x = 13,3

(1) − 113,3

( ) , 0x x− >

2.25.47.- Si p 0, q 1,> > −

, ( )p q x = ( ),( ), ( ) 1 q n pn

p q x + , ( ) , 0 , 1, 2,...p q n x x n+ > =

Donde, ( ) 1, ( )n p

p q x x −= ( ), ( )n

p q x y ( )1

,( ) 1,

0

( ) (1 ) .1k n

q k pn p q kp q

k

x x= −

+ +

=

= ⊕∑

2.25.48.- Si p 0, pq 1,> > −

( ), 10

( ) 1 , 0(1 )

x pq

p q p q

tx pq dt xt += + ≥

+∫

Nota: La fórmula (2.25.48) es una “Forma Integral” para la función contráctil

, ( ),p q x 0, 1p pq> > − .


182

2.25.49.-

1 6 22 , 3

1 1( ) 2 1[ 3,1 3,1 3, ], 02 2

x x Hypergeometric F x x+= + + + + − ≥

2.25.50.-

11 2 4213 3 3

1 15 1 15,3 7 3 7

3( ) ( 38280 81345 45617 1740 420490(1 )

xx x x x xx

= − − − − ++

1 15 13 7 31 1 838280(1 ) 2 1[ , , , ]) , 0

7 7 7x Hypergeometric F x x+ + − ≥

2.25.51.-1 1 13 3 3

1, 33

3 3( ) ( (2 3) 2 1[1 3, 3, 2 3, ]5 3 3

x x Hypergeometric F x++

= − + + + −+

13(2 3) 2 1[1 3,1 3,2 3, ]Hypergeometric F x+ + + + + − +

1 13 3(1 3) 2 1[2 3, 3,3 3, ]) , 0x Hypergeometric F x x+ + + − ≥

2.25.52.-

1(3 5 )6

1 5,2 3

6 5 5 5 5( ) ( 2 1[1 , , 2 , ])3 3 33 5

x x Hypergeometric F x++

= + + −+

, 0x ≥

2.25.53.-

1 2 10 22,1 5

1 1( ) ( 2 1[1 5,2 5,2 5, ])2 2

x x Hypergeometric F x+ ++

= + + + + + −

, 0x ≥


183

2.25.54.- 1 12 2 ,2 22 2

1( ) 2(1 ) , 0(1 )

x xx

++

= − >+

2.25.55.- 3 2, 3 2( ) 1 , 0x x

+ −= >

2.25.56.- Si p 0, q 0,> ≥

( )1, 1

1( ) 1(1 )

pq p q

x

x p q dtt t

∞−

+= ++∫

Nota: La fórmula (2.25.56) constituye una “Forma Integral” para la función

contráctil 1, ( ) ,pq x− 0, 1p pq> > − .

2.25.57.- 1(1) (2)Ln=

2.25.58.- 2 (1)4π

=

2.25.59.- 33 (2)(1)

9 3Lnπ

= +

2.25.60.- 42 (1 2)(1)

4 2Lnπ + +

=

2.25.61.- 51 1(1) (2 10(5 5) 5(4 (2) 5 ( (7 3 5)))

100 2Ln Lnπ= + + + +


184

2.25.62.- 62 3 (7 4 3)(1)

12Lnπ + +

=

2.25.63.- 32

2 3 18 (2)(1)27

Lnπ −=

2.25.64.- 31 3 3 (3)( )2 18

Lnπ −=

2.25.65.- 13,2

5 3 11(1) 2 1[ , , , 1]6 2 6

Hypergeometric F= −

2.25.66.- 2

2 2 1[0, ] [0, ]4 2 2(1)

2 2

PolyGama PolyGama+−

=

2.25.67.- 51 2,3 5

119 2 2 7(1) (12 2 1[ , , , 1] 7 8)100 5 5 5

Hypergeometric F= − −

2.25.68.- Si p 0,>

1 1[0, ] [0, ]2 2(1)

2p

pPolyGama PolyGamap p

p

+−

=

2.25.69.- 2 , 3

1 1(1) 2 1[ 3,1 3,1 3, 1]2 2

Hypergeometric F= + + + + −


185

2.25.70.-

3223,3

1 22(1) (1 )(3 4(17290420 9441561 3)97377280(3 3) 3

= + − −+

1 1 1 4 11104(83679 46130 3) 2 1[ , , , 1]3 3 33 3

Hypergeometric F+ + + −

2.25.71.- Si p 0, pq 1,> > −

,

1 12 1[1 , ,1 , 1](1)

1p q

Hypergeometric F q q qp p

pq

+ + + + −=

+

2.25.72.- 22

1 1(2) 2 2 1[ ,1,1 , 2 ]2 2

Hypergeometric F= + −

2.25.73.- 13,2

5 3 11(2) 4 2 2 1[ , , , 8]6 2 6

Hypergeometric F= −

2.25.74.-

3 33

23 5

1 2 15,3 5

2 2 7 42 12 2 5 417(42 2 1[ , , , 2] )5 5 5

(1 2)(2)25 8192

Hypergeometric F + +− −+=

2.25.75.- Si p 0,>

1 1(2) 2 2 1[1, ,1 , 2 ]pp Hypergeometric F

p p= + −


186

2.25.76.-

1 6 22 , 3

1 1(2) 2 2 1[ 3,1 3,1 3, 2 ]2 2

Hypergeometric F+= + + + + −

2.25.77.- Si p 0, pq 1,> > −

1,

1 12 1[1 , ,1 , 2 ](2) 2

1

p

pqp q

Hypergeometric F q q qp p

pq+

+ + + + −=

+

2.25.78.- 22

1 1 1 1( ) 2 1[ ,1,1 , 2 ]2 2 2 2

Hypergeometric F −= + −

2.25.79.-

1, 23

3 2(1) ( (2 2) 2 1[1 2, 2, 2 2, 1]4 3 2

Hypergeometric F+= − + + + −

+

(2 2) 2 1[1 2,1 2, 2 2, 1]Hypergeometric F+ + + + + −

(1 2) 2 1[2 2, 2,3 2, 1])Hypergeometric F+ + + + −

2.25.80.-1 26 3

6 31, 23

(2 2)(3 2) 2(2) ( 2 2 1[1 2, 2,2 2, 2]4 3 2

Hypergeometric F+

+ += + + −

+

6 32 2 1[1 2,1 2, 2 2, 2]Hypergeometric F− + + + −

32 1[2 2, 2,3 2, 2])Hypergeometric F− + + −

( ), ,n

p q rf

Capítulo III Solución del Primer Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )

, , ( )np q rf x

187

3.1.- Solución del Problema de Valor Inicial 1

( )( ) 1

1, , 0, 0, 0

1

lim 0

r

qp

x

q p xxy ry p r q x

x

y

+

→∞

⎧ +′ = − > ≥ >⎪⎪ +⎨

⎪ =⎪⎩

(3.1)

- Determinaremos primero la solución general de la ecuación diferencial 3.1

aplicando el método de variación de parámetros (Método de Lagrange).

Consideremos la ecuación diferencial homogénea.

0 , 0dy r y xdx x

− = > (3.2)

Luego,

, 0dy dxr xy x= > (3.3)

La solución general de la ecuación 3.3 es:

constante (3.4) ,rhy C x C= :

Reemplazaremos ahora la constante en (3.4) por una función , de

tal modo que la función obtenida sea una solución particular de la

ecuación diferencial (3.1).

C ( )u u x=

( ) rpy u x x=

Derivando respecto de la variable e introduciendo en la ecuación

(3.1) se obtiene:

py x ,py


, , ( )np q rf x

188

1

( 1) ,(1 )p q

du p q xdx x x + 0+

= −+

> (3.5)

Una solución particular para (3.5) es:

( )u x = 1, ( ) ,pq x x− > 0 (3.6)

Luego, la función

rpy x= 1, ( ) ,p

q x x− > 0 (3.7)

es una solución particular de la ecuación diferencial (3.1).

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial (3.1) puede

expresarse en la forma siguiente:

r ry C x x= + 1, ( ) , 0 ,pq :x x− > C constante (3.8)

Antes de determinar la solución particular que satisface la condición inicial

, es necesario demostrar previamente, algunas proposiciones. lim 0x

y→∞

=

3.2.- Proposición.- Si , entonces 0, 0p q> ≥

limx→∞ 1, ( )p

q x− 0=


, , ( )np q rf x

189

Demostración.-

limx→∞ 1, ( ) limp

q xx−

→∞= 1, ( p

q )x−

( ) ( )1 , 1

0lim 1 .1

q k q kp

x kx

∞ + +−

→∞=

= ⊕∑

0=

3.3.- Proposición.- Si entonces, , 0, 0p r q> ≥ ,

3.3.1.- ( 1) lim r

xr p q x

→∞< + ⇒ 1, ( )p

q x− 0=

3.3.2.- ( 1) lim r

xr p q x

→∞= + ⇒ 1, ( )p

q x− 1=

3.3.3.- ( 1) lim r

xr p q x

→∞> + ⇒ 1, ( )p

q x− = ∞

Demostración.-

3.3.4.- lim r

xx

→∞ 1, ( ) limpq x

x−

→∞= 1

rx− 1, ( pq )x−

( ) 1 1

1

1 (1 ) ( )lim

p p q

rx

q x x p xr x

− + − −

− −→∞

+ ⊕ −=

−

p


, , ( )np q rf x

190

( ) 11 (1 )lim

p q

rx

p q xr x

− +

−→∞

+ ⊕=

De donde,

3.3.5.- lim r

xx

→∞

( 1) 11,

( 1)( ) lim (1 )p r p qq x

p qx xr

− − +

→∞

p qx ++= ⊕

De la igualdad (3.3.5) se prueba la Prop. (3.3).

De la Prop. (3.3) se deduce que para ( 1r p q )< + la solución particular de la

ecuación diferencial (3.1), que tiene la forma rpy x= 1, ( )p

q x− ,

→∞ →∞> ⇒ = +

satisface la

condición inicial . lim 0x

y→∞

=

Probaremos que a partir de la solución general (3.8) no se obtienen otras

soluciones que satisfagan esta condición inicial.

En efecto, considerando la constante C en (3.8) se tienen las siguientes

relaciones:

3.3.6.- 0 lim lim( r r

x xC y Cx x 1, ( ))p

q x− = ∞

→∞ →∞< ⇒ = +

3.3.7.- 0 lim lim( r r


q x− = −∞

→∞ →∞= ⇒ = +

3.3.8.- 0 lim lim( r r


q x−

lim r

xx

→∞= 1, ( )p

q x− 0=

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial (3.1) tiene la forma


, , ( )np q rf x

191

3.3.9.- ry x= 1, ( ) , , 0, 0, ( 1)pq x p r q r p q− > ≥ < +

Las siguientes proposiciones están referidas a funciones que tienen la forma

(3.3.9 ).

3.4.- Proposición.- Si entonces, 0, 0,p q> ≥

0limx +→

1, ( )pq x− = ∞

Demostración.-

3.4.1.- 0

limx +→

1,0

( ) limpq

xx

+

−

→= 1, ( )p

q x−

( ), 11

0 0

lim (1 ) .1 q kp q k

x k

x+

∞− + +

→ =

= ⊕∑

( ), 1

0

1 q k

k

∞

=

=∑

= ∞

3.5.- Proposición.- Si entonces, , 0, 0p r q> ≥ ,

0

lim r

xx

+→1, ( )p

q x− 0=

Demostración.-

3.5.1.- 0

lim r

xx

+→1,

0

1( ) limpq rx

xx+

−−→

= 1, ( )pq x−

1 1

10

(1 ) (1 ) ( )limp p q

rx

q x x p xr x+

p− + −

− −→

+ ⊕ −=

−

−


, , ( )np q rf x

192

1

0

(1 )lim (1 )r p

x

p q x xr+

q− +

→

+= ⊕

0=

De la Prop. (1.5) se deduce que las funciones que tienen la forma 3.3.9 gozan

de la siguiente propiedad:

3.5.2.- 0

lim 0x

y+→

=

Luego, tales funciones admiten una extensión continua a , definiendo

.

0x =

(0) 0y =

Las siguientes funciones constituyen una extensión de las funciones de la

forma (3.3.9 ).

3.6.- Definición de las funciones ( , )r p qϕ

Para cada trío de números reales tales que,

se define la función

p, q, r , 0, 0, ( 1p r q r p q> ≥ < + )

( , ) :r p qϕ 0+ → , del siguiente modo:

Si 0x > , ( , )( ) rr p q x xϕ = 1, ( p

q )x− , y para x = 0, ( , )( ) 0r p q xϕ = . (3.9)

Las funciones ( , )r p qϕ tienen las siguientes propiedades:

3.6.1.- ( , )r p qϕ es una solución particular de la ecuación diferencial (3.1).


, , ( )np q rf x

193

3.6.2.- ( , )r p qϕ es continua en 0+ .

3.6.3.- ( , )( ) 0 , 0r p q x xϕ ≥ ≥

3.6.4.- lim ( , )( ) 0rxp q xϕ

→∞=

3.6.5.- 0

lim ( , )( ) 0rx

p q xϕ+→

=

3.6.6.- ( , )r p qϕ alcanza su valor máximo en 0+ .

Ejemplos de funciones ( , )r p qϕ para algunos valores de p, q, r:

3.6.7.- ( ,0)( ) rr p x xϕ = 1,0 ( ) ,px x− > 0

>

0

(1 ) , 0r px Ln x x−= +

De donde,

3.6.8.- Si ( (1 ) ) , 0

( ,0)( )0 ,

r p

rx Ln x p Lnx x

p xx

ϕ⎧ + − >

= ⎨=⎩

3.6.9.- 11(2, )( )2

x xϕ = 211,2

( ) ,x x− > 0

Pero, 2 21 21,2

1( ) 3( (1 1 ) ) ,1

x Ln x Lnx xx

− = + + − −+

0>

Luego,

3.6.10.- 21 2

1 1(2, )( ) 3 ( (1 1 ) ) , 02 1

x x Ln x Ln x xx

ϕ = + + − −+

>


, , ( )np q rf x

194

Las siguientes figuras representan las gráficas de algunas funciones

( , )r p qϕ para valores específicos de , , .p q r

Figura 3.1: Gráfica de 2 (1,3)ϕ

Fuente: Elaboración Propia.

Figura 3.2: Gráfica de 5 (1,5)ϕ



, , ( )np q rf x

195

Figura 3.3: Gráfica de 32

3( , 2)2

ϕ



1( 2 , )2

ϕ



, , ( )np q rf x

196

Figura 3.5: Gráfica de 2( 5, 3)ϕ



, , ( )np q rf x

197


( , )r p qϕ para valores específicos de ,p r cuando q varía desde hasta . 0q = 5q =

Figura 3.6: Gráfica de 2 (1, )qϕ


Figura 3.7: Gráfica de 1(1, )qϕ



, , ( )np q rf x

198






, , ( )np q rf x

199

Figura 3.10: Gráfica de 2 (2, )qϕ


3.7.- Teorema.- Si , ,p q r son números reales tales que,

entonces,

0,q ≥ , 0p r > ,

)1 ( 1r p q+ < +

0

1 1( , )( ) , 11r

q r rp q x dx qr p

ϕ β∞ ⎛ 1

p⎞+ +

= +⎜+ ⎝ ⎠∫

+− ⎟ (3.10)

Demostración.-

3.7.1.- 0 0

( , )( ) rr p q x dx xϕ

∞ ∞

=∫ ∫ 1, ( )pp x dx−

0

rx∞

= ∫ 1, ( )pq x dx−

( ), 11

00

( (1 ) .1 )q kr p q k

k

x x d∞ ∞

− + +

=

= ⊕∑∫ x


, , ( )np q rf x

200

( ), 11

0 0

( )(1 )

rq k

p q kk

x dxx

∞∞

+ +=

=+∑ ∫ 1

10

1 1 1( , 1 ) ( 1 ,qk

r rq k q kp p pβ τ

∞

+=

+ += + + − +∑ 1)+

1 110

1 1 1( , 1 ) ( 1, ) ( 2, )r qqk p

r rq q kp p p

β τ τ∞

+ ++ −=

+ += + − +∑ q k+

110

1 1 1( , 1 ) ( 2,rqk p

r rq qp p pβ τ

∞

++ −=

+ += + − +∑ )k

1 1 1 1( , 1 ) 12 ( 1 ) 1

r r qq rp p p q qp

β + + += + −

++ − + − −

1 1( , 11

q r rqr p

β 1)p

+ + += +

+−

Ejemplos.-

3.7.2.- 2 6 2 6

0 0

( (1 ) 6 ) (1 )x Ln x Ln x dx x Ln x dx∞ ∞

−+ − = +∫ ∫

2

0

x∞

= ∫ 61,0 ( )x dx− , (3.6.6)

( )( )20

6,0 x dxϕ∞

= ∫ , (3.6)

1 1 1( ,1 )3 2 2β= − , Teor. 3.7

1 1 1( , )3 2 2β=

3π

=


, , ( )np q rf x

201

3.7.3.- 2 40 0(1 ) 8y

y ydx dyx x

∞ ∞ ∞

=+∫ ∫ ∫ 2

1,3 ( )y d− y

10

1 (2,3)( )8

y dyϕ∞

= ∫

( )1 .2 1,38

β= , Teor. 3.7

112

=

Nota: Si , entonces, ,p q > 0

3.7.4.- 1(1 )p q

dxx x pqα

∞

=+∫ 1, 1( p

q α−− ) , 0α > (3.11)

3.8.- Evaluación numérica de la Función Beta usando la Función Contráctil

3.8.1.- Teorema.- Para cada par de números reales tales que

,u v

0 1 , 0u v< < < <1,

( ) 1,u vu

β = 1 , 11

1(1)u v

v v+ −−

+ 1 , 11

(1)u v

u+ −

−

(3.12)

Demostración.-

3.8.1.1.- ( ) ( )1

11

0

, 1 vuu v t t dtβ −−= −∫

Haciendo el cambio de variable 1t x= ⊕ se tiene,

3.8.1.2.- ( ) ( )(1 )

0

, 1 u vvu v x x dxβ∞

+− += ⊕∫


, , ( )np q rf x

202

( ) ( )1

(1 ) (1 )

0 1

1 1u v u vv vx x dx x x d∞

+ +− + − += ⊕ + ⊕∫ ∫ x

( ) ( )( )

1 11

0 1

( 1 1 )1

uu v u vv

u vxx x x dx

x

∞ −+ − +−

+= ⊕ − ⊕ ++∫ ∫ dx

11 v

=− 1 , 1

1

1(1)1u v

v v+ −−

−− 1 ,

1

1(1)u v

v v+−

+ 1 , 11

(1)u v

u+ −

−

1 1. 11 11

u vvv

=+ −− +−

1 , 11

(1)u v

v+ −

−

1v

+ 1 , 11

(1)u v

u+ −

−

1u

= 1 , 11

(1)u v

v+ −

−

1v

+ 1 , 11

(1)u v

u+ −

−

Observación.- Si y , 0u v > 1u v+ = , entonces con arreglo al Teorema 3.8 se

tiene,

1( , )u vu

β = 1 (1)u

1v

+ 1 (1)v

(3.13)

3.8.2.- Teorema.- Si son números reales tales que 0 1,u v , 0 1u v< < < < ny es

un número entero positivo, entonces

( ) 1, (u v nu

β + = 1 , 11

1(1)u v

v v+ −−

+ 1 , 11

(1)) ( , )vu vu

u v nτ+ −

−

+ (3.14)

Demostración.-

3.8.2.1.- ( ) ( ) ( ), , vu v n u v u v nβ β τ+ = + , Teor. de factorización

1(u

= 1 , 11

(1)u v

v+ −

−

1v

+ 1 , 11

(1)) ( , )vu vu

u v nτ+ −

−

+ Teor.3.8


, , ( )np q rf x

203

3.8.3.- Teorema.- Si son números reales tales que, ,u v 0 1u< < y y

son números enteros positivos, entonces,

0 1v< < ,k n

( ) 1, (u k v nu

β + + = 1 , 11

1(1)u v

v v+ −−

+ 1 , 11

(1) ) ( , ) ( , )u vu vu

u v k u v k nτ τ+ −

−

+ + + (3.15)

Demostración.-

3.8.3.1.- ( ) ( ) ( ), , vu k v n u k v u v k nβ β τ+ + = + + + ,

( ) ( ) ( ), ,u vu v u v k u v k nβ τ τ= + + ,+

1(u

= 1 , 11

1(1)u v

v v+ −−

+ 1 , 11

(1) ) ( , ) ( , )u vu vu

u v k u v k nτ τ+ −

−

+ + +

Los Teoremas (3.8.1), (3.8.2) y (3.8.3) constituyen fórmulas de evaluación

para la función beta a través de la función contráctil, con alta precisión.

Ejemplos.-

3.8.4.- 1 1, 22 2

β ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2 (1) 2+ 2 (1) , Teor. 3.8

4= 2 (1)

π=

3.8.5.- 4 8 4 2, ,5 3 5 3

β β⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

2⎞⎟⎠

5(4

= 73,15

3(1)2

+ 7 25,15 3

22(1) ) ( , 2)15

τ , Teor. 3.9


, , ( )np q rf x

204

125 5(407 4

= 73,15

3(1)2

+ 75,15

(1) )

0.54 67 21663038260898157312031438≈

3.8.6 ( ) ( )71, 37 71 8 8, 37 6 6β β= − + − +

1(71 8

=− 1 , 37 71 15

7 37

1(1)37 6+ −

−

+− 1 , 37 71 15

9 71

(1) ) *+ −

−

71 8 37 6

( 37 71 14,8)* ( 37 71 6,6)τ τ− −

+ − + − Teor. 3.10

0.0000 70 423410 4324666549930542 236691≈

3.9.- Calculo de la constante K. para que ( ), , ( )n

p q rf x sea una función de densidad

de probabilidad.

Consideremos ahora la constante K, definida como sigue:

1 1 1 1, 11

q r rK qr p p

β− ⎛+ + += + −⎜+ ⎝ ⎠

,⎞⎟

)

(3.16)

, 0, 0, 1 ( 1p r q r p q> ≥ + < + .

La función ( , )( )r p q xϕ induce la función:

( ), , ( ) ( , )( )n

p q r rf x K p q xϕ= (3.17)

donde / 0, 1 ( 1)n máx k k r k p q= ∈ ≥ + + < + .


, , ( )np q rf x

205

Algunas propiedades de ( ), , ( )n

p q rf x son:

3.9.1.- ( ), , ( ) 0 , 0n

p q rf x x≥ ≥

3.9.2.- ( ), , (0) 0n

p q rf =

3.9.3.- ( ), ,

0 0

( ) ( , )( ) , 1 ( 1)np q r rf x dx K p q x dx r n p qϕ

∞ ∞

= + +∫ ∫ < +

0

( , )( )rK p q x dxϕ∞

= ∫

1 1, 11

q r rK qr p p

β⎛ ⎞+ + +

= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

1−

1K K −=

1=

Las propiedades (3.9.1), (3.9.2), y (3.9.3) muestran que ( ), , ( )n

p q rf x es una

función de densidad de probabilidad.

3.10.- Teorema.- La función de densidad de probabilidad ( ), , ( )n

p q rf x admite

momentos de orden para cada numero entero tal que, ,s ,s 0 s n.≤ ≤ Además,

1 1( ) , 11

s q s r s rE x K qs r p p

β⎛ 1⎞+ + + + +

= +⎜+ + ⎝ ⎠− ⎟ (3.18)

Demostración.-

( ), ,

0

( ) ( )s s np q rE x x f x

∞

= ∫ dx


, , ( )np q rf x

206

0

( ) ( , )( ) , 1 ( 1)s srE x x K p q x dx r n p qϕ

∞

= + + < +∫

0

s rK x x∞

= ∫ 1, ( )pq x dx−

0

r sK x∞

+= ∫ 1, ( )pq x dx−

0

( , )( ) , 1 ( 1)r sK p q x dx s r p qϕ∞

+= + + < +∫

1 1, 11

q s r s rK qs r p p

β⎛ ⎞1+ + + + +

= +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠− Teor. 3.7

3.10.1.- Evaluación de los cuatro primeros momentos ordinarios para ( ), , ( )n

p q rf x :

3.10.1.1.- Si , 2 ( 1r p q+ < + )

11 2( ) . , 12

q r rE x K qr p

µ β⎛ ⎞+ + +

= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

2p

2 2, 112 1 1, 1

r rqpr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=+ ⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

p ⎠ (3.19)


, , ( )np q rf x

207

3.10.1.2.- Si , 3 ( 1r p q+ < + )

22

1 3( ) . , 12

q r rE x K qr p

µ β⎛ ⎞+ + +

= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

3p

3 3, 11 .3 1 1, 1

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞⎠

+ ++ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3.20)

3.10.1.3.- Si , 4 ( 1r p q+ < + )

33

1 4( ) . , 14

q r rE x K qr p

µ β⎛ ⎞+ + +

= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

4p

4 4, 11 .4 1 1, 1

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎠

)

(3.21)

3.10.1.4.- Si , 5 ( 1r p q+ < +

44

1 5( ) . , 15

q r rE x K qr p

µ β⎛ ⎞+ + +

= = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

5p

5 5, 11 .5 1 1, 1

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=+ ⎛ ⎞+ +

+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎠ (3.22)


, , ( )np q rf x

208

3.10.2.- Cálculo de la varianza, coeficiente de asimetría y coeficiente de

kurtosis para ( ), , ( )n

p q rf x :

3.10.2.1.- La varianza se calcula aplicando el teorema citado en el libro “Estadística

Matemática con aplicaciones” de Freund-Walpole, página 152, Prentice Hall, 1987:

2 2( ) ( ) ( ( ))V x E x E xσ = = − 2

Luego, 2

2

3 3 2, 1 , 11 1( ) .3 21 1 1 1, 1 , 1

r r r rq qp p p pr rV x

r rr r r rq qp p p p

β βσ

β β

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟= = −

⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 ⎞⎟⎠

)

, (3.23)

3 ( 1r p q+ < +

3.10.2.2.- El coeficiente de asimetría se halla usando la definición:

33 3

µασ

= , (Freund-Walpole, 1987)

Luego,

3 32 2

4 4( 1) , 1

1 1( 4) , 1

3 3 2 2, 1 , 11 1.3 21 1 1 1, 1 , 1

r rr qp p

r rr qp p

r r r rq qp p p pr r


β

βα

β β

β β

⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞+ +

+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎞⎟⎠

)

, (3.24)

4 ( 1r p q+ < +


, , ( )np q rf x

209

3.10.2.3.- El coeficiente de kurtosis se calcula mediante la definición:

44 4

µασ


Por lo tanto,

4 22

5 5( 1) , 1

1 1( 5) , 1

3 3 2 2, 1 , 11 1.3 21 1 1 1, 1 , 1

r rr qp p

r rr qp p



β

βα

β β

β β

⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ +

+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎞⎟⎠

)

, (3.25)

5 ( 1r p q+ < +

3.11.- Cálculo del s-ésimo momento centrado para ( ), , ( )n

p q rf x , 1 (s r p q+ + < +1) :

( ), ,

0

( ) ( ) ( )s s ns p q rE x x fµ µ µ

∞

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ∫ x dx

( )

( ) ( ), ,

00

1i s

i s i i np q r

i

sx f x d

iµ

∞ =−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∑∫ x

( )

( ) ( ), ,

0 0

1i s

i i s i np q r

i

sx f x d

iµ

∞=−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ x

( )

( )0 0

1 ( , )i s

i i s ir

i

sx K p q x d

iµ ϕ

∞=−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ x

i

s

( )0 0

1i s

i i s i rK x xi

µ∞=

−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ 1, ( )p

q x dx−


, , ( )np q rf x

210

( )0 0

1i s

i i s r i

i

sK x

iµ

∞=+ −

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ 1, ( )p

q x dx−

( )0 0

1 ( , )( )i s

i ir s i

i

sK p q x dx

iµ ϕ

∞=

+ −=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ , 1 ( 1)s r p q+ + < +

( )0

1 11 , 11

i si i

i

s q r s i r s iK qi r s i p p

µ β=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + − += − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ 1 Teor. 3.7

3.12.- Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n

p q rf x

En el análisis de la Función de Distribución Acumulativa para ( ), , ( )n

p q rf x

distinguiremos tres casos:

1º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + <

2º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + >

3º) 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + =

Primer caso:

Evidentemente, . En tal caso para la función de

distribución acumulativa se tiene,

1 (r p p q+ < < +1)

( ), , ( )n

p q rF x

( ) ( ), , , ,

0 0

( ) ( ) ( , )( )x x

n np q r p q r rF x f t dt K p q tϕ= =∫ ∫ dt

)

0

( ( , )( ) ( , )( )r rx

K p q t dt p q t dtϕ ϕ∞ ∞

= −∫ ∫


, , ( )np q rf x

211

1( ( , )( )rx

)K K p q tϕ∞

−= − ∫ dt

)

1 ( , )( )rx

K p q t dtϕ∞

= − ∫

Integrando por partes la integral del segundo miembro queda,

( )( ), rr

x x

p q t dt tϕ∞ ∞

=∫ ∫ 1, ( )pq x dx−

1 1

1 ( 1)( , )( )1 1 (1

r

r p qx

p q tp q x dtr r

ϕ∞

+ +

+= − +

+ + +∫ )t

11 ( 1) 1

1)( , )( ) .

1 1 (rp qp q x

r r p qϕ + ( 1)r

+= − +

+ + + − +1

,( 1)

( )r pp q

p r

x + −

− +

, 1 (r p p q+ < < +1)

Luego, para la función de distribución acumulativa se tiene,

( ), , 1

( 1)( ) 1 ( ( , )( )1 ( 1) ( 1)r

np q r r

K p qF x p q xr p q

ϕ ++

= + ++ + − +

1

,( 1)

( r pp q

p r

x + −

− +

) ) (3.26)


, , ( )np q rf x

212

Segundo caso:

( ) ( ), , , ,

0 0 0

( ) ( ) ( , )( )x

n np q r p q r r

rF x f t dt K p q t dt K tϕ∞ ∞

= = =∫ ∫ ∫ 1, ( )pq t d− t

Integrando por partes la integral del segundo miembro:

0

rt∞

∫ 11, 1

0

1 ( 1)( ) ( , )( ) (1 )1 1

xp r

q rp qt dt p q x t t d

r rϕ− −

+

+= + ⊕

+ + ∫ p q t+

( 1) 11

0

1 ( 1)( , )( ) (1 )1 1

xr p q p q

rp qp q x t t dt

r rϕ − + +

+

+= + ⊕

+ + ∫

( 1) 11

0

1 ( 1)( , )( ) . (1 )1 1

xr p q mp mp p q

rp qp q x t t t dt

r rϕ − + + − +

+

+= + ⊕

+ + ∫

donde m es un número entero tal que , 0 1m q ε ε= + ≤ <

)

.

Obsérvese que ( 1) ( 1) (r p q mp r p q p q ε− + + = − + + +

r p pε= − +

1 pε> − +

1> −

Por otra parte,

0

xrt∫ ( 1) 1 ( )

1, 100

1 ( 1)( ) ( , )( ) ( ( 1) (1 ) )1 1

x i mp r p q mp i

q ri

mp qt dt p q x t t dir r

ϕ=

− − + ++

=

⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

∑∫ p q m i t+ − −

( ) ( 1) 1 ( )1

0 0

1 ( 1)( , )( ) 1 (1 )1 1

xi mi r p q mp p q m i

ri

mp qp q x t t dtir r

ϕ=

− + + + − −+

=

⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

∑ ∫

Nótese que para cada , 0 , 1 ( ) 0,i i m q m i≤ ≤ + − − ≥


, , ( )np q rf x

213

Luego,

0

xrt∫ 1, 1

0

1 ( 1) 1( ) ( , )( ) ( 1)1 1 ( ( 1) 1)

i mp i

q ri

mp qt dt p q xir r r p q

ϕ=

−+

=

⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠

∑ mp+ +

* ( 1) 1

0, 1 ( )( 1) 1

( )xr p q mp

p q m ir p q mp

t − + + +

+ − −− + + +

Pero, para cada , 0 ,i i m≤ ≤, 1 ( )

( 1) 1

(0) 0p q m ir p q mp

+ − −− + + +

=

Por lo tanto,

0

xrt∫ 1, 1

0

1 ( 1)( ) ( , )( ) ( 1)1 ( 1)( ( 1) 1)

i mp i

q ri

mp qt dt p q xir r r p q mp

ϕ=

−+

=

⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+ + − + + + ⎝ ⎠

∑ −

* ( 1) 1

, 1 ( )( 1) 1

( )r p q m pp q m i

r p q mp

x − + + +

+ − −− + + +

(3.27)

( ), , 1

0

( 1)( ) ( ( , )( ) ( 1)1 ( 1) 1

i mn i

p q r ri

mK p qF x p q xir r p q mp

ϕ=

+=

⎛ ⎞+= + ⎜ ⎟+ − + + + ⎝ ⎠

∑ −

* ( 1) 1

, 1 ( )( 1) 1

( r p q m pp q m i

r p q mp

x − + + +

+ − −− + + +

)) (3.28)


, , ( )np q rf x

214

Tercer caso:

Puesto que en este caso, 1r p+ = ,

1 1 1, 11

q r rK qr p

β− ⎛ ⎞1p

+ + += +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

−

( )1 1,q qp

β+=

1qpq+

=

De donde,

1pqK

q=

+

Luego,

( )( ) ( ), , , ,

0 0

( ) ( ) , ( )x x

n np q r p q r rF x f t dt K p q t dtϕ= =∫ ∫

0

xrK t= ∫ 1, ( )p

q t d− t

1

0

xpK t −= ∫ 1, ( )p

q t d− t

Aplicando integración por partes, tenemos:

1

0

xpt −∫ 1 1

1,0

1( ) ( , )( ) ( 1) (1 )x

p pq pt dt p q x q t t d

pϕ− −= + + +∫ p q t− −


, , ( )np q rf x

215

( )

1 1( , )( ) 11

p qp

qp q xp pq tϕ

⎛ ⎞+ ⎜ ⎟= − −⎜ ⎟+⎝ ⎠

1

Por lo tanto, si 1 ( 1) , 1r p q r p+ < + + = , la Función de Distribución

Acumulativa de ( ), , ( )n

p q rf t viene dada por:

( ), ,

1( ) ( , )( )1 (

np q r p p q

qF x p q xq xϕ= −

+ +1 ) (3.29)

( )

, ,n

p q rg

Capítulo IV Solución del Segundo Problema de Valor Inicial Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad ( )

, , ( )np q rg x

217

4.1.- Solución del Problema de Valor Inicial 2

( )( )

1

1

1, , , 0, 0

1

lim 0

r p

qp

x

pq xxy ry p q r x

x

y

+ −

+

→∞

⎧ +′ = − > >⎪⎪ +⎨

⎪ =⎪⎩

(4.1)

Para determinar la solución general de la ecuación diferencial (4.1) se aplicará

el método de variación de parámetros, (método de Lagrange).

Consideremos la ecuación diferencial homogénea,

, 0 , 0ry y xx

− = > (4.2)

Luego,

, 0dy dxr xy x= > (4.3)

La solución general de 4.3 es,

constante (4.4) ,rhy C x C= :

Reemplazaremos ahora la constante en (4.4) por una función , de

tal modo que la función obtenida sea una solución particular de la

ecuación diferencial (4.1).

C ( )u u x=

( ) rpy u x x=

Derivando respecto de la variable e introduciendo en la ecuación

(4.1) se obtiene:

py x ,py

2

1

(1 ) , 0(1 )

p

p q

du pq x xdx x

−

+

+= −

+> (4.5)


, , ( )np q rg x

218

Una solución particular para la ecuación diferencial (4.1) es:

4.1.5 ( )u x = 1, ( ) , 0p q x x− > (4.6)

Luego, la función

4.1.6 rpy x= 1

, ( ) , 0p q x x− > (4.7)

es una solución particular de la ecuación diferencial (4.1).

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial 4.1 puede

expresarse en la forma siguiente:

4.1.7 r ry C x x= + 1, ( ) , 0,p q :x x C− > constante (4.8)

Antes de determinar la solución particular que satisface la condición inicial

, es necesario demostrar una proposición. lim 0x

y→∞

=

4.2.- Proposición.- Si , entonces, , , 0,p q r >

4.2.1.- 1 lim r

xr pq x

→∞< + ⇒ 1

, ( ) 0p q x− =

4.2.2.- 1 lim r

xr pq x

→∞= + ⇒ 1

, ( )p q x− 1=

4.2.3.- 1 lim r

xr pq x

→∞> + ⇒ 1

, ( )p q x− = ∞


, , ( )np q rg x

219

Demostración.-

4.2.4.- lim r

xx

→∞

1, ( ) limp q x

x−

→∞= 1.r px x − 1

, ( )p q x−

( ),1 1

0lim (1 ) .1 q k pr p p q k

x kx x

∞+ − − + +

→∞=

= ⊕∑

( ),1 1

1

lim (1 ) (1 (1 ) .1 )q k pr p p q p k

x k

x x x∞

+ − − + −

→∞=

= ⊕ + ⊕∑

0 11 1

1

si r pqsi r pqsi r pq

< +⎧⎪= =⎨⎪∞ > +⎩

+

De la Prop. 4.2 se deduce que para 1r pq< + la solución particular de la

ecuación diferencial 4.1, que tiene la forma rpy x= 1

, ( )p q x− , satisface la

condición inicial . lim 0x

y→∞

=

Probaremos que bajo la hipótesis 1r pq< + , no se obtienen otras soluciones

particulares que satisfagan esta condición inicial; a partir de la solución general (4.8).

En efecto, considerando la constante C en (4.8) se tienen las siguientes

relaciones:

4.2.5.- 0 lim lim( r r

x xC y Cx x

→∞ →∞> ⇒ = + 1

, ( ))p q x− = ∞

→∞ →∞< ⇒ = +

4.2.6.- 0 lim lim( r r

x xC y Cx x 1

, ( ))p q x− = −∞

→∞ →∞= ⇒ = +

4.2.7.- 0 lim lim( r r

x xC y Cx x 1

, ( ))p q x−


, , ( )np q rg x

220

lim r

xx

→∞= 1

, ( ) 0p q x− =

Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial (4.1) tiene la forma

4.2.8.- ry x= 1, ( ) , , , 0, 1p q x p q r r pq− > < +

Las siguientes proposiciones están referidas a funciones que tienen la forma

4.2.8.

4.3.- Proposición.- Si entonces, , , 0p q r >

4.3.1.- 0

1 lim r

xr p x

+→+ > ⇒ 1

, ( ) 0p q x− =

4.3.2.- 0

1 lim r

xr p x

+→+ = ⇒ 1

,1( )p q

pqxr

− +=

4.3.3.- 0

1 lim r

xr p x

+→+ < ⇒ 1

, ( )p q x− = ∞

Demostración.-

Distinguiremos dos casos:

4.3.4.- 0

limx +→

1, ( ) ,p q x l l− = ∈

En este caso, es evidente que,


, , ( )np q rg x

221

4.3.5.- 0

lim r

xx

→

1, ( ) 0p q x− =

4.3.6.- Si 0

limx +→

1, ( )p q x− = ∞ , entonces,

4.3.7.- 0

lim r

xx

+→

1,

0

1( ) limp q rxx

x+

−−→

= 1, ( )p q x−

1 2

10

(1 ) (1 ) ( 1 )limp p q

rx

pq x x xr x+

− + −

− −→

+ ⊕ −=

−

1 1

0

1lim (1 )r p p q

x

pq x xr+

+ − −

→

++= ⊕

0 , 11 , 1

, 1

r ppq r p

rr p

+ >⎧⎪ +⎪= +⎨⎪

∞ + <⎪⎩

=

Consideremos nuevamente la solución del problema de valor inicial 4.1 que tiene la

forma:

ry x= 1, ( ) , , , 0, 1p q x p q r r pq− > < + (4.9)

Obsérvese que si 1r p+ > , con arreglo a la proposición (4.3) debe tenerse, que

0lim 0x

y+→

= permitiendo la extensión continua de ry x= 1, (p q )x− a los números

reales no negativos, definiendo (0) 0y = .


, , ( )np q rg x

222

4.4.- Definición de la función ( , )r p qψ

Introduciremos ahora, la siguiente función:

( , ) : , , , 0, 1 , 1r p q p q r r pq r pψ + → > < + + > , definida como sigue:

Si 0x > , ( , )( ) rr p q x xψ = 1

, (p q )x− , y para x = 0, ( , )( ) 0r p q xψ = . (4.10)

Las funciones ( , )r p qψ tienen las siguientes propiedades:

4.4.1.- ( , )r p qψ es una solución particular de la ecuación diferencial (4.1).

4.4.2.- ( , )( )r p q xψ es continua en 0+ .

4.4.3.- ( , )( ) 0 , 0r p q x xψ ≥ ≥

4.4.4.- lim ( , )( ) 0rxp q xψ

→∞=

4.4.5.- 0

lim ( , )( ) 0rx

p q xψ+→

=

4.4.6.- ( , )( )r p q xψ alcanza su valor máximo en 0+ .

Ejemplos de funciones ( , )( )r p q xψ para algunos valores de p, q, r:

4.4.7.- 1(2,1)( )x xψ = 12,1( ) , 0x x− >

1 23 ( ( ) (1 )) ,2

x ArcTan x x x−= − ⊕ 0>


, , ( )np q rg x

223

De donde,

4.4.8.- Si 1 2

1

3 ( ( ) (1 ))(2,1)( ) 2

0 0

x ArcTan x x si xx

si x

0ψ

−⎧ − ⊕ >⎪= ⎨⎪ =⎩

4.4.9.- 13

13

1(2, )( )2

x xψ = 112,2

( ) ,x x− > 0

232 (1 1 ) ,x x x= − ⊕ 0>

Luego,

4.4.10.- 2313

1(2, )( ) 2 (1 1 ) , 02

x x x xψ = − ⊕ ≥


, , ( )np q rg x

224


( , )( )r p q xψ para valores específicos de , , .p q r

Figura 4.1: Gráfica de 1(2,1)ψ



, , ( )np q rg x

225


1(2, )2

ψ


Figura 4.3: Gráfica de 517 3( ,3 2

)ψ



, , ( )np q rg x

226


(5, 11)ψ



( , )( )r p q xψ para valores específicos de ,p r cuando varía desde hasta q 0q = 5q = .

Figura 4.5: Gráfica de 1(2, )qψ



, , ( )np q rg x

227


(2, )qψ


Figura 4.7: Gráfica de 517( ,3

q)ψ



, , ( )np q rg x

228


(5, )qψ


4.5.- Teorema.- Si , ,p q r son números reales positivos, tales que ,

entonces,

r pq<

0

1( , )( ) (1 , )( 1)r

pq r rp q x dx qp r p p

ψ β∞ +

= ++∫ − (4.11)

Demostración:

4.5.1.- 0 0

( , )( ) rr p q x dx xψ

∞ ∞

=∫ ∫ 1, ( )p q x−

1

0

r px x∞

−= ∫ 1, ( )p q x dx−


, , ( )np q rg x

229

( ),1 1

00

(1 ) .1 q k pr p p q k

k

x x∞ ∞

+ − − + +

=

= ⊕∑∫

( )1

,1

0 0

( )(1 )

r pq k p

p q kk

x dxx

∞ + −∞

+ +=

=+∑ ∫ 1

Ahora bien, la integral impropia

4.5.2.- 1

10 (1 )

r p

p q k

x dxx

∞ + −

+ ++∫

converge para cada valor 0,1, 2,...k = si r pq< . En tal caso, se tiene,

4.5.3.- 100

1 1( , )( ) , 1 (1 , )r qk

r p r pp q x dx q k q kp p p

ψ β τ∞ ∞

+=

⎛ ⎞+ += + + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∫ p

10

1 11, (1 , )qk

r rq k qp p p p

β τ∞

+=

⎛ ⎞= + − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ k

10

1 11, ( 1, ) (1 , )r qqk p

r rq q k qp p p p

β τ τ∞

+−=

⎛ ⎞= + − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ k

0

1 11, (1 , )rqk p

r rq qp p p pβ τ

∞

−=

⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ k

11 1 , 11 (

qr r pq rp p p q q

p p

β+

⎛ ⎞= + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ ) 1+ + − − −

1 1 ,( 1)

pq r q rp r p

β⎛ ⎞+

= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠p−


, , ( )np q rg x

230

4.6.- Calculo de la constante K. para que sea una función de densidad

de probabilidad

( ), , ( )n

p q rg x

Consideremos ahora la constante K, definida como sigue:

1 1 1 ,( 1)

pq r rKp r p p

β− ⎛ ⎞+= + −⎜+ ⎝ ⎠

q ⎟ (4.12)

, , 0, 1,p q r r p r pq> + > < .

4.7.- La función ( , )( )r p q xψ induce la función:

(4.13) ( ), , ( ) ( , )( )n

p q r rg x K p q xψ= 0x ≥

donde / 0,n máx k k r k pq= ∈ ≥ + < .

Algunas propiedades de son: ( ), , ( )n

p q rg x

4.7.1.- ( ), , ( ) 0 , 0n

p q rg x x≥ ≥

4.7.2.- ( ), , (0) 0n

p q rg =

4.7.3.- ( ), ,

0 0

( ) ( , )( ) ,np q r rg x dx K p q x dx r n pqψ

∞ ∞

= +∫ ∫ <

0

( , )( )rK p q x dxψ∞

= ∫

1 1 ,( 1)

pq rK q rp r p

β⎛ ⎞+

= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠p−

1K K −=

1=


, , ( )np q rg x

231

Las propiedades 4.7.1, 4.7.2, y 4.7.3, muestran que es una función de

densidad de probabilidad.

( ), , ( )n

p q rg x

4.8.- Teorema.- La función de densidad de probabilidad admite

momentos de orden para cada numero entero tal que,

( ), , ( )n

p q rg x

,s ,s 0 s n.≤ ≤ Además,

1( ) 1 ,( 1)

s pq r s rE x K q sp r s p p

β⎛ ⎞+ + +

= +⎜+ + ⎝ ⎠− ⎟ (4.14)

Demostración.-

( ), ,

0

( ) ( ) ,s s np q rE x x g x dx r n pq

∞

= ∫ + <

0

( ) ( , )( )s srE x x K p q xψ

∞

= ∫ dx

0

r sK x∞

+= ∫ 1, ( )p q x dx−

0

( , )( ) ,r sK p q x dx r s pqψ∞

+= +∫ <

1 1 ,( 1)

pq r s rK q sp s r p p

β⎛ ⎞+ + +

= +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠−


, , ( )np q rg x

232

4.8.1.-Evaluación de los cuatro primeros momentos ordinarios para : ( ), , ( )n

p q rg x

4.8.1.1.- Si 1r pq+ < ,

11 1( ) . 1 ,

2pq r rE x K q

r pµ β

⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

1p+

1 11 ,12

1 ,

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎠ (4.15)

4.8.1.2.- Si 2r pq+ < ,

22

1 2( ) . 1 ,3pq r rE x K q

r pµ β

⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

2p+

2 21 ,1 .3

1 ,

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎠ (4.16)

4.8.1.3.- Si 3r pq+ < ,

33

1 3( ) . 1 ,4pq r rE x K q

r pµ β

⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

3p+

3 31 ,1 .4

1 ,

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎠ (4.17)


, , ( )np q rg x

233

4.8.1.4.- Si 4r pq+ < ,

44

1 4( ) . 1 ,5pq r rE x K q

r pµ β

⎛ ⎞+ += = + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

4p+

4 41 ,1 .5

1 ,

r rqp pr

r r rqp p

β

β

⎛ ⎞+ ++ −⎜ ⎟+ ⎝=

+ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎠

2

(4.18)

4.8.2.- Cálculo de la varianza, coeficiente de asimetría y coeficiente de kurtosis para

: ( ), , ( )n

p q rg x

4.8.2.1.- Varianza:

, (Freund-Walpole, 1987) 2 2( ) ( ) ( ( ))V x E x E xσ = = −

Luego,

2

2

2 2 1 11 , 1 ,1 1( ) .3 2

1 , 1 ,

r r r rq qp p p pr rV x


β βσ

β β

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + ++ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟= = −⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎞⎟⎠ , (4.19)

2r pq+ <


, , ( )np q rg x

234

4.8.2.2.- El coeficiente de asimetría se halla usando la definición:

33 3

µασ


Luego,

3 32 2

3 3( 1) 1 ,

( 4) 1 ,

2 2 1 11 , 1 ,1 1.3 21 , 1 ,

r rr qp p

r rr qp p



β

βα

β β

β β

⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

+ + −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎞⎟⎠

, (4.20)

3r pq+ <

4.8.2.3.- El coeficiente de kurtosis se calcula mediante la definición:

44 4

µασ


Por lo tanto,

4 22

4 4( 1) 1 ,

( 5) 1 ,

2 2 1 11 , 1 ,1 1.3 21 , 1 ,

r rr qp p

r rr qp p



β

βα

β β

β β

⎛ ⎞+ ++ + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛+ + + +⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎟−⎢ ⎥⎜ ⎟+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎞⎟⎠

)

, (4.21)

5 ( 1r p q+ < +


, , ( )np q rg x

235

4.9.- Cálculo del s-ésimo momento centrado para : ( ), , ( )n

p q rg x , s r pq+ <

( ), ,

0

( ) ( ) ( )s s ns p q rE x x gµ µ µ

∞

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ∫ x dx

( )

( ) ( ), ,

00

1i s

i s i i np q r

i

sx g x d

iµ

∞ =−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠∑∫ x

( )

( ) ( ), ,

0 0

1i s

i i s i np q r

i

sx g x d

iµ

∞=−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ x

( )

( )0 0

1 ( , )i s

i i s ir

i

sx K p q x d

iµ ψ

∞=−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ x

i

s

( )0 0

1i s

i i s i rK x xi

µ∞=

−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ 1

, ( )p q x dx−

( )0 0

1i s

i i s r i

i

sK x

iµ

∞=+ −

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ 1

, ( )p q x dx−

( )0 0

1 ( , )( )i s

i ir s i

i

sK p q x dx

iµ ψ

∞=

+ −=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∫ , s r pq+ <

( )0

11 1 ,1

i si i

i

s pq r s i r sK qi r s i p p

µ β=

=

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − += − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ i−

> <

t

4.10.- Función de Distribución Acumulativa ( ), , ( )n

p q rG x

Por definición se tiene,

( ) ( ), , , ,

0

( ) ( ) , , , 0, 1,x

n np q r p q rG x g t dt p q r r p r pq= > +∫

Luego,

( ), ,

0

( ) ( , )( )x

np q r rG x K p q t dψ= ∫

0

xrK t= ∫ 1

, ( )p q t d− t


, , ( )np q rg x

236

Integrando por partes la integral del segundo miembro se tiene,

0

xrt∫ ( ) 11 1

, 10

1 1( ) ( , )( ) 11 1

xqr p p

p q rpqt dt p q x t t d

r rψ

+− ++

+= + ⊕

+ + ∫ t− −

( ) 111

0

1 1( , )( ) 11 1

xqr pq p

rpqp q x t t dt

r rψ

+− −+

+= + ⊕

+ + ∫

( ) 111

0

1 1( , )( ) 11 1

xqr pq mp mp p

rpqp q x t t dt

r rψ

+− − + −+

+= + ⊕

+ + ∫

donde m es un número entero tal que m q ε= + , 0 1ε≤ < .

Luego,

0

xrt∫ ( ) ( ) 1 ( )1 1

, 100

1 1( ) ( , )( ) ( 1 1 )1 1

x i m q m iir pq mp pp q r

i

mpqt dt p q x t t dir r

ψ= + − −− − − +

+=

⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

∑∫ t

( ) ( ) 1 ( )11

0 0

1 1( , )( ) 1 ( 1 )1 1

xi m q m ii r pq mp pr

i

mpqp q x t t dtir r

ψ= + − −− − +

+=

⎛ ⎞+= + − ⊕⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

∑ ∫

( )10

1 1 1( , )( ) 11 1 (

i mi

ri

mpqp q xir r r p

ψ=

+=

⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

∑ )m q−( )

, 1 ( )( )

( )r p m qp q m i

r p m q

x − −

+ − −− −

( )10

1 1( , )( ) 11 ( 1)( ( ))

i mi

ri

mpqp q xir r r p m q

ψ=

+=

⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + + − ⎝ ⎠

∑ ( )

, 1 ( )( )

( )r p m qp q m i

r p m q

x − −

+ − −− −

Para la función de distribución acumulativa se tiene,

( )( ), , 1

0

1( ) ( ( , )( ) 11 ( )

i min

p q r ri

mK pqG x p q xir r p m q

ψ=

+=

⎛ ⎞+= + −⎜ ⎟+ + − ⎝ ⎠

∑ ( )

, 1 ( )( )

( ) )r p m qp q m i

r p m q

x − −

+ − −− −

(4.22)

Capítulo V Generación de Funciones de Densidad de Probabilidad Omega-r

239

5.- La Familia de Funciones de Probabilidad Omega-r ( rΩ )

5.1.-Definición

La siguiente definición constituye una síntesis de los resultados obtenidos a partir la

solución de los problemas de valor inicial 1 y 2.

Definición.- Sea r un número real positivo.

Se dice que una función de densidad de probabilidad , es de tipo

Omega-r, si satisface a lo menos una de las siguientes condiciones:

0:f + →

5.1.1.- Existen números reales tales que, ,p q ( ), ,0, 0, 1 ( 1), n

p q rp q r p q f f> ≥ + < + = .

5.1.2.- Existen números reales tales que, . ,p q ( ), ,, 0, 1, , n

p q rp q r p r pq f g> + > < =

Nota: Si una función de densidad de probabilidad es de tipo Omega-r, se escribirá:

rf ∈Ω

5.2.- Ejemplos de funciones Omega-r

5.2.1.- Primer ejemplo: Sea una función tal que, 0:h + →

63 ( (1 ) 6 ) , 0( )

0 ,

x Ln x Ln x xh xx

π⎧

+ − >⎪= ⎨⎪ =⎩ 0

Probaremos que h es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.

En efecto,

( )h x = 63 (1 ) , 0x Ln x xπ

−+ >

3 xπ

= 61,0 ( ) , 0x x− >


240

Tomando ahora, se tiene: 1, 6, 0r p q= = =

1 1 1( , 11

q r rK qr p

β− + + += +

+1)

p−

Es decir,

1 1 1 2( , )2 3 3

K β− =

( )2 3

Cscπ π=

3π

=

De donde, 3Kπ

=

Luego, la función tiene la forma: h

( ) rh x K x= 1, ( )pq x−

( , )( )rK p q xϕ=

con 3Kπ

= , 1, 6, 0, 1 ( 1)r p q r p q= = = + < +

Esto es, (4)6,0,1( ) ( )h x f x=

donde 4 / 1 (máx k r k p q= ∈ + + < +1)


241

Luego, h es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para 1r = .

Esto es, . 1h∈Ω

Figura 5.1: Gráfica de ( )h x


5.2.2.- Segundo ejemplo: Sea una función tal que, 0:i + →

2

12 2 2 2 3 2 4

315 2 8 16( )( ) 16 1 3(1 ) 15(1 ) 35(1 )

0 ,

x x x x xArcTan x xi x x x x x

x

−⎧− − − − >⎪= + + + +⎨

⎪

, 0

0=⎩

Probaremos que i es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.

Tenemos:

1 12,4 2 2 2 2 3

315 2 8 16( ) (128 1 3(1 ) 15(1 ) 35(1 )

x x x xx ArcTan xx x x x

− −= − − − −+ + + + 2 4 )

Luego,

2( ) 8i x x= 12,4 ( )x−


242

Esto es,

( ) ( , )( )ri x K p q xψ=

donde, 8, 2, 2, 4, 1,K r p q r p r pq= = = = + > <

Por lo tanto, (5)2,4,2( ) ( )i x g x=

Obsérvese que, 5 /máx k r k pq= ∈ + <

Por lo anterior, es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para

. Esto es,

i

2r = 2i∈Ω

Figura 5.2: Gráfica de ( )i x


5.2.3.- Tercer ejemplo: Sea una función tal que, 0:j + →

4 4 4

44 9 14

5 5 55 5 5

5 5 9( ) 10 ( ) , 04 4(1 ) (1 ) 10(1 )

x x xj x x xx x x

= − − −+ + +

≥

Probaremos que j es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.

Tenemos que,


243

4 4 4

114 4 95, 5 5 55 5 5

25 5 5 9( ) (21 4 4(1 ) (1 ) 10(1 )

x x xxx x x

− = − − −+ + +

145

)

luego,

442( )5

j x x= 1145,5

( ) , 0x x− >

(0) 0j =

Por lo tanto, la función ( )j x tiene la forma

( ) ( , )( )rj x k p q xψ=

donde, 42 14, 4, 5, , 1,5 5

k r p q r p r= = = = + > < pq

Otra forma para la función j .es

( ) (9)145, ,45

( )j x g x=

donde 9 /máx k r k pq= ∈ + <

Mostrando que la función j es una función de densidad de probabilidad de

tipo Omega-r, para . Esto es, 4r = 4j∈Ω .

Figura 5.3: Gráfica de ( )j x



244

5.2.4.- Cuarto ejemplo: Sea una función tal que, 0:l + →

16 1 1 2 3 2 3( ) ( [ ] ( [ ] [ ])3 6

x xl x x ArcTan x ArcTan ArcTanx xπ

− + −= + + +

2 5

52

3 3 1[ ] ) ,12 13 1

x x xLog xxx x

+ + 0− >+− +

(0) 0l =

Probaremos que l es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r.

Tenemos que,

1 16,1

7 1 1 2 3 2 3( ) ( [ ] ( [ ] [ ])6 3 6

x xx ArcTan x ArcTan ArcTanx x

− − + −= + + +

2 5

52

3 3 1[ ]12 13 1

x x xLog )xx x

+ +−

+− +

luego,

( )l x Kx= 16,1( ) , 0x x− ≥

donde,

367

Kπ

=

Esto es,

( ) 136 (6,1)( )7

l x xψπ

=

Por lo tanto,

( ) (4)1,6,1( )l x g x=

donde 4 /máx k r k= ∈ + < 6

Lo anterior muestra que es una función de densidad de probabilidad de tipo

Omega-r, para . Esto es,

l

1r = 1( )l x ∈Ω .


245

Figura 5.4: Gráfica de ( )l x


5.2.5.- Quinto ejemplo: Sea una función tal que, 0:m + →

10

222

1

1( , )6 235 515 1 2( ) (2 ( ) ) , 0131072 (1 )1

k

kk

km x x ArcSen x x

xx

β=

=

= −++

∑ ≥

La función m(x) puede escribirse en la forma siguiente:

2180( )7

m x x= 12,10 ( ) ,x x− > 0

(0) 0m =

Esto es,

2180( ) (2,10)( ) , 0

7m x x xψ= ≥

Por lo tanto,

donde (17)2,10,2( ) ( )m x g x= 17 / 2 20máx k k= ∈ + <


246

luego, m es una función de densidad de probabilidad de tipo Omega-r, para . 2r =

Es decir, . 2m∈Ω

Figura 5.5: Gráfica de ( )m x

Fuente: Elaboración Propia. La función mostrada en el quinto ejemplo, constituye un caso particular,

en la familia de funciones de densidad de probabilidad de tipo Omega-r que tienen la

forma siguiente:

( )m x

2

221

1( , )6 ( 1) 1 2( ) (2 )1 (1 )1(1 2 ) ( , 1)2

k q

q kk

kq q xm x ArcSen xxxq q

β

β

=

=

⎛ ⎞−= −⎜ ⎟ ++⎝ ⎠+ +

∑

2,3,... , 0q x= ≥

Obsérvese que la función del quinto ejemplo es: ( )m x

10( ) ( )m x m x=

La función puede escribirse en la forma que sigue: qm


247

26 ( 1)( )(1 2 )qq qm x x

q−

=+

12, ( ) , 2,3,... , 0q x q x− = >

(0) 0qm =

Esto es, 2, ,26 ( 1)( ) ( ) , 2,3,... , 0(1 2 )q qq qm x x q x

qψ−

= =+

≥

≥

Por lo tanto,

( )2, ,2( ) ( ) , 2,3,... , 0n

q qm x g x q x= =

donde / 2 2n máx k k q= ∈ + <

mostrando que , es en efecto una f.d.p. de tipo Omega-r,

para .

( ), 2,3,... , 0qm x q x= ≥

2r =

Es decir, 2 , 2,3,...qm q∈Ω =

La Familia de funciones 2q q

m∞

= proporciona un conjunto infinito contable de

f.d.p. de tipo Omega-r, para 2.r =

Observación:

Los cinco ejemplos anteriores ilustran las variadas formas que pueden adoptar

las funciones de densidad de probabilidad Omega-r.

Las gráficas mostradas a continuación ilustran dos ejemplos de la subfamilia

de f.d.p. .para los casos qm 2q = y 3q = .


248

Figura 5.6: Gráfica de 2 ( )m x


Figura 5.7: Gráfica de 3( )m x



252

6.1- CONCLUSIONES

• El Cálculo Contractivo aportó conceptos, operadores y métodos que

permitieron la solución de las ecuaciones diferenciales planteadas en los

problemas de valor inicial 1 y 2.

• Los métodos del Cálculo Contractivo permitieron realizar el análisis de las

condiciones que debían satisfacer los parámetros de las ecuaciones

diferenciales, planteadas en los problemas de valor inicial 1 y 2, para generar,

a partir de ellas, soluciones que fueran funciones de densidad de probabilidad.

• La Familia de Funciones Omega-r constituye un conjunto infinito, no contable

de funciones de densidad de probabilidad que pueden adoptar una diversidad

de formas expresable en términos de combinaciones no lineales de funciones

elementales y/o de funciones especiales.

• Cada una de las diversas formas que adoptan las funciones de densidad de

probabilidad Omega-r puede ser analizada mediante el Cálculo Contractivo.


253

6.2-RECOMENDACIONES

• Considerando que el Cálculo Contractivo proporciona conceptos, operadores

y métodos matemáticos que posibilitan el análisis y la evaluación de

combinaciones no lineales de funciones elementales y/o funciones

trascendentales superiores, recomendamos promover el estudio del material,

contenido en esta tesis, a nivel de estudiantes de pregrado, especialmente, a

aquellos que estudian Licenciatura en Estadística.

• Considerando que la Familia de funciones Omega-r constituye un conjunto

infinito, no contable, de funciones de densidad de probabilidad, se recomienda

promover su aplicación al modelado de datos en áreas de la estadística

aplicada, tales como: Estadística Computacional, Estadística Bayesiana,

Econometría , Biometría y otras .

Bibliografía

255

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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1

1

3 n k

k

kk x

k

−∞−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

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Bibliografía

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