densidad de probabilidad

8/18/2019 Densidad de Probabilidad

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Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de

probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad,

entonces la probabilidad P (c X d ) se calcula como la área bajo el histograma entre X =c y X =d .Por otro lado, hemos también visto que puede ser dif í cil calcular probabilidades para rangos

de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema,vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:

Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado

Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche

alquilado:

Edad (Años) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

Probabilidad .10 .26 .28 .20 .11 .04 .01

El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más

abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas

que se sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una

situación especí fica es un tema que consideremos más abajo.)

x

x

La curva a la derecha es la gráfica de cualquier función f , que se llama una función de

densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el intervalo [0 + ), pues este

intervalo es el rango de los valores posibles que pueden tomar X (en principio). Además,usamos x para referir a valores particulares de X , así que no es coincidencia que aquellos

valores son mostrados en el eje- x. Por lo general, una función de densidad de probabilidadtendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo como su dominio.

Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la probabilidad de que un

coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la tabla,

P (0 X 4)= 10+ 26+ 28+ 20= 84

Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura, observamos que podemos obtener

los mismo resultado por sumar las áreas de las barras correspondientes, pues cada barratiene una anchura de 1 unidad.

x

P (0 x 4)= Área sombreada

x

P (0 x 4)= 04 f ( x) dx Idealmente (vea la gráfica en la figura más arriba), nuestra función de densidad de

probabilidad debe tener la propiedad que la área de abajo su curva para 0 X 4 es igual ala misma probabilidad; es decir,

P (0 X 4)= 04 f ( x) dx= 84


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¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P (2 X 3 5)? Lo estimamos en Sección 1 porusar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).

x

P (2 x 3 5)= Área sombreada

x

P (2 x 3 5)= 23 5 f ( x) dx

En cambio, podemos usar la integral definida

P (2 x 3 5)= 23 5 f ( x) dx

Antes de seguir... Aunque no le hemos dado una formula

para f ( x), desear í amos que f ( x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algomás que desearí amos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad

entre 0 y , requerimos

P (0 X + )= 0+ f ( x) dx=1Inicio de página

Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:

Función de densidad de probabilidad

Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es unintervalo (a b) y que tiene las siguientes propiedades:

(a) f ( x) 0 por toda x

(b) ab f ( x) dx=1

Permitimos que sea infinita a b o todos dos, como en el ejemplo más arriba, demodo que la integral in (b) serí a impropia.

Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de

probabilidad f si, por toda c y d ,

P (c X d )= cd f ( x) dx

Ejemplo Sea f ( x)=2 x2 en el intervalo [a b]=[1 2] Entonces propiedad (a) se

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html#tophttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html#top


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aplique, pues es positiva 2 x2 en en intervalo [1 2] Para propiedad (b),

ab f ( x) dx= 122 x2 dx= − x2 21=−1+2=1

Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces

Relaciones entre la función e istri!ución

" la función e ensia iscreta#

$ro!a!ilia e inter%alos#

&xiste una relación 'u" i'ortante entre las funciones e istri!ución F ( x)" e ensia f ( x) e una %aria!le aleatoria iscreta# a función eistri!ución en un unto se o!tiene acu'ulano el %alor e la función e

ensia ara toos los %alores el recorrio 'enores o i*uales al unto en

cuestión#

&n efecto suon*a'os ,ue el recorrio e una %aria!le iscreta X es

- x1 x2 ### xk ###. " ,ue esea'os conocer el %alor e la función eistri!ución en un unto x tal ,ue xi / x xi+1 entonces es in'eiato ,ue

F ( x) = P ( X / x) = P ( X = x1) + P ( X = x2) + ### + P ( X = xi) = f ( x1) + f ( x2) + f ( x3)+ ### + f ( xi)

$or ee'lo ara una %aria!le inicaora e un suceso A tene'os la relaciónsi*uiente

Valor de x f ( x ) F ( x )(− 0) 0

0 P ( Ac) P ( Ac)

(0 1) P ( Ac)

1 P ( A) P ( Ac) + P ( A) = 1

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t3.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t7.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t3.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t7.htm


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(1 +) 1

artir e las funciones e ensia " e istri!ución es osi!le exresar las ro!a!iliaes ara cual,uier osi!le inter%alo e %alores e la %aria!le# $oree'lo

Intervalo

P ( X / a) = F (a)

P ( X a) = F (a) − f (a) P ( X a) = 1 − F (a) = 1 − P ( X / a)

P ( X a) = 1 − F (a) + f (a) = 1 − P ( X a)

P (a X / b) = F (b) − F (a)

P (a X b) = F (b) − f (b) − F (a)

P (a / X / b) = F (b) − F (a) + f (a)

P (a / X b) = F (b) − f (b) − F (a) + f (a)

DISTRIBUCIONES DE ROB!BI"ID!DES#FUNCI$N DE ROB!BI"ID!D# FUNCI$N

DENSID!D DE ROB!BI"ID!D % FUNCI$NDISTRIBUCI$N !CU&U"!D!

7na istri!ución e ro!a!ilia e una %aria!le aleatoria es el conunto e ares orenaos (X , f(X)) one f(X) es la función de probabilidad de X (si X es discreta) o función densidad de probabilidadde X (si X es continua)# 7na istri!ución e ro!a!ilia uee estar aa or una ta!la una *r9fica ouna exresión 'ate'9tica (fór'ula) ,ue a las ro!a!iliaes con ,ue la %aria!le aleatoria to'aiferentes %alores#

Tabla 1 Probabilidad de la variable del ejemplo 3

S Valores de X :

x i


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(11) 2

(12) (21) 3

(13) (31) (22) 4

(14) (41) (23) (32) 5

(15) (51) (24) (42) (33) 6

(16) (61) (25) (52) (34) (43) :

(26) (62) (35) (53) (44) 8

(36) (63) (45) (54) ;

(46) (64) (55) 10


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(56) (65) 11

(66) 12


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Fig. " #istograa de la Distribución del eje!lo "

Ejemplo 4: @i lanAa'os una 'onea le*al " reresenta'os or el nB'ero e ensa"os realiAaos ?asta,ue aarece or ri'era %eA un 9*uila entonces el esacio 'uestra corresoniente es infinito "a ,ue?a" un nB'ero infinito e nu'era!le e resultaos a sa!er 1 2 2 3 C De ?ec?o =1 si*nifica ,ueaarece un 9*uila en el ri'er ensa"o =2 inica ,ue ri'ero se o!tiene sol " en el se*uno tiro un9*uila etc# $uesto ,ue las 9*uilas " los soles son i*ual'ente ro!a!les " los ensa"os son ineenientes

tene'os ,ue

De esta 'anera o!tene'os la función e ro!a!ilia

a istri!ución e ro!a!ilia e se uee exresar 'eiante una ta!la co'o se %e a continuación

X f(X)

1 1/2

2 1/4

3 1/


8/15

4 1/1!

" 1/32

Ejemplo 5: @e extraen os tornillos al aAar e un conunto e 10 tornillos cuatro e los cuales est9n

efectuosos# &ncontrar " i!uar la función e ro!a!ilia e la %aria!le aleatoria = nB'ero etornillos efectuosos extraos#

Solució: Eo'o ?a" 10 tornillos e los cuales 4 son efectuosos " se extraen 2 tornillos al aAar (sin

ree'laAo)F entonces el carinal el esacio 'uestra es " X to'a los %alores el 0al 2 "a ,ue al extraer os tornillos sólo uee ocurrir ,ue no sal*a nin*Bn efectuoso un efectuoso o os

efectuosos = -0 1 2.# as ro!a!iliaes resecti%as son

"

!is"ribució de

Probabilidad

#r$fica de l%eas &is"o'rama

f()

0 15G45

1 24G45

2 26G45

3 45G45


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Distribución de !robabilidad de la variable aleatoria del eje!lo ".$

Ejemplo (: a función densidad de probabilidad nor#al est$ndar se efine or

one

a continuación se resenta su *r9fica " oe'os %er ,ue es una cur%a sua%e " continua en lu*ar e una*r9fica e lneas

Fig. $ Función densidad noral estándar

F%&'I& DI*+I,%'I& (-'%%/-D-)

@i X es una %aria!le aleatoria entonces ara cual,uier nB'ero real x% existe la ro!a!ilia

el e%ento ( X to'a cual,uier %alor 'enor o i*ual a x%)#

a ro!a!ilia ,ue eene e la elección e x% es la ro!a!ilia acu'ulaa ?asta x% ,ue esla fució dis"ribució o dis"ribució acumulada " se enota or F(x% )&

F(x% ) =

Ejemplo ): &ncuentre los %alores e la función istri!ución acu'ulaa F(X) e la %aria!lealeatoria X escrita en el ee'lo 3#


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X f(X) F(X)

2 1G36 1G36

3 2G36 3G36

4 3G36 6G36

5 4G36 10G36

6 5G36 15G36

: 6G36 21G36

8 5G36 26G36

; 4G36 30G36

10 3G36 33G36

11 2G36 35G36

12 1G36 36G36

>!sHr%ese ,ue F(X'") ' f(X'2) f(X'3) f(X'4) f(X'") '


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a *r9fica e la función istri!ución acu'ulaa e una %aria!le iscreta es sie're una *r9ficaescalonaa#

Fig. 0 Función distribución !ara la variable aleatoria del eje!lo ".3

Ejemplo *: Ialle los %alores e la función istri!ución acu'ulaa F(X), e la %aria!le aleatoria X elee'lo 5#

f() J()

0 15G45 15G45

1 24G45 3;G45

2 6G45 45G45

?ora e'ostrare'os ,ue la ro!a!ilia e un e%ento se ueeexresar en tHr'inos e la función istri!ución acu'ulaa F(X), one x1 " x2 son os e los %alores

cuales,uiera #

>!sHr%ese ,ue " son e%entos 'utua'ente exclusi%os su unión es el

e%ento #

$or el axio'a 3 e ro!a!ilia o!tene'os

P ( ) = P ( ) + P ( )

Deseano P se tiene

P = P ( ) K P ( ) = F(x2 ) F(x1 )

&n consecuencia F(x) eter'ina en for'a Bnica la istri!ución e ro!a!iliaes e la %aria!le aleatoria corresoniente#


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F%&'I& DI*+I,%'I& P-+- V-+I-,/1 -/1-*2+I-'2&*I&%-

@i X es una %aria!le aleatoria continua entonces la re*la e la corresonencia ,ue efine la funciónistri!ución acu'ulaa F(X) es

Ie'os usao * ara reresentar la %aria!le e inte*ración "a ,ue x se usa ara reresentar al l'itesuerior e la inte*ración# &l inte*rano f es la función ensia e ro!a!ilia " al eri%ar la exresiónanterior (


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Fi'+ 4+) Fució dis"ribució

3# si X es continua#

4# @i X es continua

Ejemplo 4+,: Deter'inar el %alor e la constante c tal ,ue f(x) efina una función ensia en el inter%aloao " eter'inar la re*la e corresonencia e la función e istri!ución acu'ulaa corresoniente#

a#

!#

Solució: a inte*ral so!re too el inter%alo es la ro!a!ilia el esacio 'uestral ,ue es i*ual a 1# 7na

%eA e%aluaa la inte*ral efinia se esea la constante c lo cual *arantiAar9 ,ue la función o!tenia esuna función ensia e ro!a!ilia#

a#

!#

@ustitu"eno el %alor e c se o!tiene la función ensia

a función istri!ución es entonces la inte*ral e la función ensia ara cual,uier inter%alo

(0x) la cual er'itir9 calcular ro!a!iliaes ara cual,uier inter%alo#


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c# $ara el se*uno caso se ?ar9 lo 'is'o ,ue ara el anterior con la iferencia ,ue tene'os unainte*ral i'roia#

a función ensia es entonces

/as !ro!iedades de la función distribución acuulada son


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4. si X es iscreta

si X es continua#

3. si X es continua#

". @i X es continua

BIBLIOGRAFIA

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http://colpo!ez.galeon.com/et"#$/probabi/teo/cap%#2/cap%#2.htm

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