función cuadrática
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Función Cuadrática
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Profesora: Srta. Yanira Castro Lizana
Definición
• Se llama función cuadrática a una función polinómial real de variable real, que tiene grado dos. La función cuadrática tiene la forma:
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales, decir que :
D: f = IR • El dominio de esta función es el conjunto de los números
reales y su gráfico es siempre una parábola.
0
)( 2
a
cbxaxxfy
Función Cuadrática
Como vimos en Matemática diferenciada, ya sabemos que con la información que nos entrega los coeficientes de la función cuadrática, podemos graficar la curva.
0
)( 2
a
cbxaxxfy
Donde , y
son los coeficientes de la función
ba c
Siguiente
Función Cuadrática
1. Concavidad
2. Puntos de corte eje x. (discriminante)
3. Máximo y mínimo
4. Coordenadas del vértice
5. Intersección de la parábola con el eje y
6. Ejemplo
7. Ejercicios
Salir
Función Cuadrática
- Si , la parábola se abre hacia arriba.
0a
Para cbxaxxfy 2)(
- Si , la parábola se abre hacia abajo.
0a
1.Concavidad :
Volver
Función Cuadrática
2. Análisis de discriminante acbx 42
Si , la parábola corta en dos puntos al eje x
0x
Si , la parábola corta en un único punto al eje x
Si , la parábola no corta al eje x
0x
0x
Siguiente
Función Cuadrática
2. Análisis de discriminante acbx 42
Si , debemos encontrar las soluciones de la ecuación de segundo grado para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje x
0x
Volver
Observación importante:
Función Cuadrática
3. Máximo o Mínimo
- Si , la parábola se abre hacia arriba.Tiene valor mínimo
0a
- Si , la parábola se abre hacia abajo.Tiene valor máximo
0a
Volver
Función Cuadrática
4. Coordenadas de punto Máximo o Mínimo (Vértice de la parábola)
Para cbxaxxfy 2)(
a
bf
a
bV
2,
2
Ejemplo
Función Cuadrática
Ejemplo: Si 26)( 2 xxxfy
2;6;1 cba
a
bf
a
bV
2,
2Reemplazando:
12
)6(,
12
)6(fV 3,3 fV
7)3(
2363)3( 2
f
f 7,3 V
Siguiente
Función Cuadrática
Gráficamente:
Volver
Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Para cbxaxxfy 2)( , si 0x
cfy )0(
c,0
EjemploVolver
Función Cuadrática
Ejemplo: Si 25)( 2 xxxfy
si 0x
2)0( fy
El punto de intersección de la parábola con el eje y es:
2,0Volver
Función Cuadrática
Grafique 32)( 2 xxxfy
1. Concavidad: 01a
2. Análisis de discriminante:
3;2;1 cba
acbx 42 016 x
La parábola corta en dos puntos al eje x
0322 xx0)1)(3( xx
1
3
2
1
x
x Puntos de intersección de la parábola con el eje x
La parábola se abre hacia arriba.
Siguiente
Función Cuadrática
3. Máximo o mínimo: Si 01a La parábola se abre
hacia arriba. Tiene valor mínimo.
4. Coordenadas del vértice:
a
bf
a
bV
2,
2
Reemplazando:
12
)2(,
12
)2(fV
3;2;1 cba
1,1 fV
3121)1( 2 f 4 4,1 VSiguiente
Función Cuadrática
5. Punto de intersección de la parábola con el eje y
Si 0x
3020)0( 2 f
3)0( f
3,0
, en la función 32)( 2 xxxfy
Siguiente
Función Cuadrática
Gráficamente:
Volver
Función Cuadrática
- Grafica las siguientes parábolas.
84)(.7
32)(.6
12)(.5
32)(.4
232)(.3
12)(.2
32)(.1
2
2
2
2
2
2
2
xxfy
xxfy
xxxfy
xxxfy
xxxfy
xxxfy
xxxfy
Volver
EJE DE SIMETRÍA• Otro elemento importante de la parábola es
el eje de simetría, que como sabemos es una recta vertical que pasa por vértice. Su ecuación es:
• Este eje se llama de simetría debido a que si trazamos cualquier recta• perpendicular al mismo, vemos que la distancia desde un punto de la curva• al eje de simetría, es igual a la distancia desde dicho eje al punto ubicado
en• la otra rama. Así pues, la parábola es una curva con ramas simétricas.
Crecimiento y decrecimiento• Observando el gráfico de la función
cuadrática, vemos que:• 1 ) Si a > 0 , entonces: • a ) La función decrece en el intervalo:
• b ) Crece en el intervalo:
• c ) Su valor mínimo es:
• 2 ) Si a < 0 , entonces:• a ) La función crece en el intervalo:
• b ) Decrece en el intervalo:
• c ) Su valor máximo es:
Recorrido• A partir de lo dicho en "Crecimiento y
decrecimiento" , se concluye que:•
1 ) Si a > 0 , entonces el recorrido de la función cuadrática es:
• 2 ) Si a < 0 , entonces el recorrido de la función cuadrática es: