Fraccin continua generalizadaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En anlisis complejo, una rama de las matemticas, una fraccin continua generalizada o fraccin fractal es una generalizacin de una fraccin continua en la cual los numeradores parciales y los denominadores parciales puedon tomar cualesquiera valores reales o complejos.Error en la cita: Error en la cita: existe un cdigo de apertura sin su cdigo de cierre [1] ) del n-simo convergente.Si la sucesin de convergentes {xn} tiene lmite, la fraccin continua es convergente y tiene un valore definido. Si la sucesin de convergentes no tiene lmite, la fraccin continua es divergente. La divergencia puede darse por oscilacin (por ejemplo, los convergentes pares e impares pueden tender a distinto lmite) o por tendencia a infinito o denominadores Bn iguales a cero.Contenido[ocultar] 1 Historia de las fracciones continuas 2 Notacin 3 Algunas consideraciones elementales 3.1 Numeradores y denominadores parciales 3.2 La frmula determinante 3.3 La transformacin de equivalencia 3.4 Conceptos de convergencia simple 3.5 Convergentes pares e impares 3.6 Condiciones para la irracionalidad 4 Transformaciones fraccionarias lineales 4.1 La fraccin continua como una composicin de TFL 4.2 Una interpretacin geomtrica 5 Vase tambin 6 Referencias

[editar] Historia de las fracciones continuasLa historia de las fracciones continuas comienza con el Algoritmo de Euclides,[2] un procedimiento para encontrar el mximo comn divisor de dos nmeros naturales m y n. Ese algoritmo introdujo la idea de dividir para extraer un nuevo resto y entonces dividir por el nuevo resto de nuevo y as, sucesivamente.Cerca de dos mil aos despus, Rafael Bombelli[3] encontr una tcnica para la aproximacin de las races de ecuaciones cuadrticas con fracciones continuas. A partir de ah, el ritmo de desarrollo se aceler. Justo 24 aos despus Pietro Cataldi present la primera notacin formal[4] para la fraccin continua generalizada. Cataldi representaba una fraccin continua como

donde los puntos indicaban dnde ira la siguiente fraccin y cada & representa al actual signo ms.Ms tarde, en el siglo XVII John Wallis[5] introdujo el trmino "fraccin continua" en la literatura matemtica. Nuevas tcnicas de anlisis mtematico haban sido presentadas por Newton y Leibniz y una generacin de contemporneos de Wallis se pusieron a usar el trmino inmediatamente.En 1748 Euler public un teorema muy importante mostrando que un tipo particular de fraccin continua es equivalente a cierta serie infinita muy general.[6] El teorema de fracciones continuas de Euler tiene todava una importancia crucial en los intentos actuales de reduccin en el problema de convergencia.Las fracciones continuas pueden aplicarse tambin a problemas de la teora de nmeros y son especialmente tiles en el estudio de ecuaciones diofnticas. A finales del siglo XVIII Lagrange us fracciones continuas para construir la solucin general de la ecuacin de Pell, dando as respuesta a una cuestin que haba fascinado a los matemticos durante ms de mil aos.[7] Sorprendentemente, el descubrimiento de Lagrange implicaba que la expansin de raz cuadrada de la fraccin continua cannica de cualquier entero no cuadrado perfecto es peridica y as, si el periodo es de longitud p > 1, contiene una sucesin palindrmica de longitud p - 1.En 1813 Gauss us un ingenioso truco con la funcin hipergeomtrica compleja para derivar una expresin en forma de fraccin continua que ha sido denominada en su honor.[8] Esa frmula puede usarse para expresar muchas funciones elementales (e incluso ms funciones avanzadas, como las funciones de Bessel como fracciones continuas rpidamente convergentes vlidas casi siempre en el plano complejo.[editar] NotacinLa gran expresin de fraccin continua mostrada en la introduccin es, probablemente, la forma ms intuitiva de fraccin continua para el lector. Desafortunadamente, ocupa un montn de espacio en un libro (y tampoco es fcil su escritura). As que los matemticos han encontrado algunas notaciones alternativas. Una forma apropiada de expresar una fraccin continua generalizada tiene el siguiente aspecto:

Pringsheim escribi una fraccin continua generalizada del siguiente modo:. Karl Friedrich Gauss evocaba el ms familiar producto infinito cuando ide esta notacin:

Aqu K significa Kettenbrche, la palabra alemana para "fraccin continua". Esta es probablemente la forma ms compacta y conveniente para expresar fracciones continuas.[editar] Algunas consideraciones elementalesAqu se muestran algunos resultados elementales que son de importancia fundamental en el posterior desarrollo de la teora analtica de fracciones continuas.[editar] Numeradores y denominadores parcialesSi uno de los numeradores parciales an+1 es cero, la fraccin continua infinita

es, precisamente, una fraccin continua finita con n trminos fraccionarios y, por consiguiente, una funcin racional de el primer n ais y el primer (n + 1) bis. Tal objeto es de poco interes desde el punto de vista adoptado en el anlisis matemtico, as que habitualmente se asume que ninguno de los ai = 0. No hay necesidad de aplicar esta restriccin a los denominadores parciales bi.[editar] La frmula determinanteCuando el n-simo convergente de una fraccin continua

se expresa como una fraccin simple xn = An/Bn podemos usar la frmula determinante

para relacionar los numeradores y denominadores de los convergentes sucesivos xn and xn-1 entre s. Especficamente, si ni Bn ni Bn-1 son cero, podemos expresar la diferencia entre el n-primero y el n-simo (n > 0) convergente como sigue:

[editar] La transformacin de equivalenciaSi {ci} = {c1, c2, c3, ...} es cualquier sucesin infinita de nmeros complejos no nulos, puede probarse por induccin que

donde la igualdad se entiende como una equivalencia, es decir, que los convergentes sucesivos de la fraccin continua de la izquierda son, exactamente, los mismos que los convergentes de la fraccin de la derecha.La transformacin de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mencin especial. En primer lugar, si uno de los ai es cero, se puede elegir una sucesin {ci} para hacer 1 cada numerador parcial:

donde c1 = 1/a1, c2 = a1/a2, c3 = a2/(a1a3) y, en general, cn+1 = 1/(an+1cn).En segundo lugar, si uno de los denominadores parciales bi es cero, podemos usar un procedimiento similar para elegir otra sucesin {di} que haga 1 cada denominador parcial:

donde d1 = 1/b1 y por otra parte dn+1 = 1/(bnbn+1).Estos dos casos especiales de transformaciones de equivalencia son enormemente tiles cuando se analiza el problema de convergencia general.[editar] Conceptos de convergencia simpleComo ya se ha dicho, la fraccin continua

converge si la sucesin de convergencia {xn} tiende a un lmite finito.La nocin de convergencia absoluta juega un papel central en la teora de series infinitas. No existe una nocin correspondiente en la teora analtica de fracciones continuas, en otras palabras, los matemticos no hablan de una fraccin continua absolutamente convergente. A veces la nocin de convergencia absoluta entra, no obstante, en la discusin, especialmente en el estudio de el problema de la convergencia. Por ejemplo, una fraccin continua en concreto

diverge por oscilacin si la serie b1 + b2 + b3 + ... es absolutamente convergente.[9]A veces los numeradores y denominadores parciales de una fraccin continua se expresan como funciones de variable compleja z. Por ejemplo, una funcin relativamente simple[10] podra estar definida como

Para una fraccin continua como esta, la nocin de convergencia uniforme surge de forma bastante natural. Una fraccin continua de una o ms variables complejas es uniformemente convergente en un entorno abierto si los convergentes de la fraccin convergen uniformemente en cada punto de . O, dicho de otro modo, si para cada > 0 puede encontrarse un entero M tal que el valor absoluto de la diferencia

es menor que para cada punto z en un entorno abierto cuando n > M, la fraccin continua definida por f(z) es uniformemente convergente en . (Aqu fn(z) denota el n-simo convergente de la fraccin continua, evaluado en el punto z del interior de , y f(z) es el valor de la fraccin continua infinita en el punto z.)[editar] Convergentes pares e imparesEs en ocasiones necesario separar una fraccin continua en sus partes pares e impares. Por ejemplo, si la fraccin continua diverge por oscilacin entre dos puntos lmite distintos p y q, entonces la sucesin {x0, x2, x4, ...} debe converger a uno de estos y {x1, x3, x5, ...} debe converger al otro. En tal situacin puede ser conveniente expresar la fraccin continua original como dos fracciones continuas diferentes, una de ellas convergiendo a p y la otra a q.Las frmulas para las partes pares e impares de una fraccin continua pueden escribirse de forma ms compacta si la fraccin ya se ha transformado, de este modo todos sus denominadores parciales son uno. Especficamente, si

es una fraccin continua, entonces la parte par xeven y la parte impar xodd vienen dadas por

y

respectivamente. Con ms precisin, si los sucesivos convergentes de la fraccin continua x son {x1, x2, x3, ...}, entonces los sucesivos convergentes de xeven como se escriban ms arriba son {x2, x4, x6, ...} y los convergentes sucesivos de xodd son {x1, x3, x5, ...}.[11][editar] Condiciones para la irracionalidadSi a1,a2, . . . y b1,b2, . . . son enteros positivos con ak bk para todo k suficientemente grande, entonces

converge a un lmite irracional.[12][editar] Transformaciones fraccionarias linealesUna transformacin fraccionaria lineal (TFL) es una funcin compleja de la forma

donde z es una variable compleja y a, b, c, d son constantes complejas arbitrarias. Suele imponerse una restriccin adicional que ad bc , para dejar fuera los casos en los cuales w = f(z) es una constante. La transformacin fraccionaria lineal, tambin conocida como transformacin de Mbius, tiene muchas propiedades fascinantes. Cuatro de ellas son de importancia primordial en el desarrollo de la teora analtica de fracciones continuas. Si d 0, la TFL tiene uno o dos puntos fijos. Esto puede verse si se considera la ecuacin

que es claramente una ecuacin cuadrtica en z. Las races de esta ecuacin son puntos fijos de f(z). Si el discriminante (c b)2 + 4ad es cero, la TFL da lugar a un punto fijo; en otro caso, tiene dos puntos fijos. Si ad bc, la TFL es una biyeccin del plano complejo extendido en s mismo . En otras palabras esta TFL tiene funcin inversa

tal que f(g(z)) = g(f(z)) = z para todo punto z en el plano complejo extendido y ambos, f y g preservan ngulos y formas a escalas muy pequeas. Desde la formulacin z = g(w) se comprueba que g es tambin una TFL. La composicin de dos TFL diferentes para las cuales ad bc es tambin una TFL para la cual ad bc. En otras palabras, el conjunto de todas las TFL para las cuales ad bc es cerrado para la composicin de funciones. El conjunto de tales TFL juntas con la operacin como grupo de composicin - se conoce como un grupo automrfico del plano complejo extendido. Si b = 0 la TFL se reduce a

lo cual es una funcin mermrfica muy simple de z con un polo simple (at c/d) y un resto igual a a/d. (Vase tambin Serie de Laurent). [editar] La fraccin continua como una composicin de TFLConsidrese una sucesin de transformaciones fraccionarias lineales simples

Aqu se usa la letra griega (tau) para representar cada TFL simple y se adopta la notacin habitual para la composiccin de funciones. Tambin se introduce un nuevo smbolo n para representar la composicin de n+1 - , es decir,

y as, sucesivamente. Por substitucin directa desde el primer conjunto de expreseiones en el segundo, se ve que

y, en general,

donde el ltimo denominador parcial en la fraccin continua finita K se entiende que es bn + z. Y, desde bn + 0 = bn, la imagen del punto z = 0 bajo la iteracin de la TFL n es de hecho el valor de la fraccin continua finita con n numeradores parciales:

[editar] Una interpretacin geomtricaLa intuicin no puede nunca reemplazar una prueba matemtica. No obstante, es una til herramienta que, a menudo, sugiere nuevas lneas de ataque que finalmente resuelven problemas inicialmente intratables. Si se define una fraccin continua finita como la imagen de un punto bajo la iteracin de una TFL n(z) se llega intuitivamente a una interpretacin geomtrica de la fracciones continuas infinitas. A continuacin se puede ver cmo funciona.La relacin

es probablemente mejor comprendida mediante la reescritura de las TFL n(z) y n+1(z) en trminos de frmulas fundamentales de recurrencia:

En la primera de estas ecuaciones la razn tiende a An/Bn as como z tiende a cero. En la segunda, la razn tiende a An/Bn como z tiende a infinito. Esto lleva a la primera interpretacin geomtrica. Si la fraccin continua converge, los convergentes sucesivos An/Bn estn eventualmente tan juntos como se desee. En virtud de que la transformacin fraccionaria lineal n(z) es una transformacin continua , debe haber un entorno de z = 0 que se transforma en un entorndo arbitrariamente pequeo de n(0) = An/Bn. De un modo similar, debe haber un entorno del punto en infinito que se transforma en un entorno arbitrariamente pequeo de n() = An-1/Bn-1. As, si la fraccin continua converge la transformacin n(z) convierten z muy pequeas y z muy grandes en un entorno arbitrariamente pequeo de x, el valor de la fraccin continua, cuando n se hace ms y ms grande.Y qu ocurre con los valores intermedios de z? Bien, en virtud de que los sucesivos convergentes se hacen ms cercanos entre s, se tiene

donde k es una constante, introducida por conveniencia. Pero entonces, sustituyendo en la expresin por n(z) se obtiene

as que incluso los valores intermedios de z (excepto cuando z k1) se transforman en entornos arbitrariamente pequeos de x, el valor de la fraccin continua, as como n se hace ms y ms grande. Intuitivamente es casi como si el convergente de la fraccin continua transformara por completo el plano complejo extendido en un simple punto.[13]Ntese que la sucesin {n} cae dentro del grupo de automorfismo del plano complejo extendido, en el momento en que cada n es una transformacin lineal fraccionaria para la cual ab cd. Y cada miembro del grupo de automorfismo se aplica desde el plano complejo extendido en s mismo no uno de los n puede posiblemente aplicar el plano en un solo punto. Todava en el lmite de la sucesin {n} define una fraccin continua infinita la cual (si converge) representa un solo punto en el plano complejo.Cmo es esto posible? Pinsese del siguiente modo: cuando una fraccin continua infinita converge, la sucesin correspondiente {n} de TFL se "enfoca" en el plano en la direccin de x, el valor de la fraccin continua. En cada etapa del proceso una regin ms y ms grande del plano se aplica en un entorno de x, y una regin ms y ms pequea del plano se va achicando hasta cubrir el borde de ese entorno.[14]Y qu hay de las fracciones continuas divergentes? Pueden tambin ser interpretadas geomtricamente? En una palabra, s. Se distinguen tres casos:1. Las dos sucesiones {2n-1} y {2n} podran definirse como dos fracciones continuas convergentes que tienen dos valores diferentes, xodd y xeven. En este caso, la fraccin continua definida por la sucesin {n} diverge por oscilacin entre dos distintos puntos lmite. Y de hecho esta idea puede generalizarse (pueden construirse sucesiones {n} que oscilan entre tres o cuatro o incluso cualquier nmero de puntos lmite. Se llega a interesantes instancias de este caso cuando la sucesin {n} constituye un subgrupo de orden finico en el grupo de automorfismos sobre el plano complejo extendido. 2. La sucesin {n} puede producir un nmero infinito de denominadores cero Bi mientras que tambin produce una subsucesin de convergentes finitos. Estos convergentes finitos podran no repetirse o caer en un patrn de oscilacin reconocible. O podran converger a un lmite finito o incluso oscilar entre mltiples lmites finitos. Sin importar como se comporten los convergentes finitos, la fraccin definida por la sucesin {n} diverge por oscilacin con el punto en infinito en este caso.[15] 3. La sucesin {n} podra producir no ms de un nmero finito de denominadores cero Bi, mientras que la subsucesin de convergentes finitos baila ampliamente alrededor de el plano en un patrn que nunca se repite y nunca alcanza un lmite finito tampoco. Se pueden construir interesantes ejemplos de los casos 1 y 3 mediante el estudio de la fraccin simple continua

donde z es cualquier nmero real tal que z < .Fraccin continuaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a: navegacin, bsqueda En matemticas, una fraccin continua es una expresin de la forma:

donde a0 es un entero y todos los dems nmeros an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podran ser funciones en algn contexto, la expresin resultante es una fraccin continua generalizada. Cuando fuera necesario distinguir la forma tpica de arriba de una generalizada aquella se denominar fraccin continua regular o simple.Contenido[ocultar] 1 Motivacin 2 Apuntes histricos 3 Clculo de una fraccin continua 4 Notacin 5 Formalizacin 5.1 Reducidas 5.2 Mejores aproximaciones racionales 6 Algunos desarrollos notables 6.1 Nmero 6.2 Raz cuadrada de 2 6.3 Nmero ureo 6.4 Nmero e 7 Aplicaciones 7.1 Irracionalidad del nmero e 7.2 La ecuacin de Pell 7.3 Nmeros cuadrticos 8 Referencias

[editar] MotivacinEl motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representacin matemticamente pura de los nmeros reales. Estamos familiarizados con la representacin decimal:

donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, , 9}. As el nmero , por ejemplo, se representa con la sucesin (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ).Esta representacin tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los clculos se hacen en el sistema decimal; bien podra usarse el octal o el binario. Otro problema es que muchos racionales no tienen representacin finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesin infinita (0, 3, 3, ).La representacin en fraccin continua de los nmeros reales evita ambos problemas. Por ejemplo, consideremos el nmero 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no es correcto; lo sera uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sera uno algo mayor, sobre 4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresin 4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notacin abreviada [4; 2, 6, 7].As, puede representarse en fraccin continua cualquier nmero real, y se cumplen estas cmodas propiedades: La representacin en fraccin continua de un nmero real es finita si y solo si ese nmero es racional. La representacin en fraccin continua de un racional simple es generalmente corta. La representacin en fraccin continua de un racional es nica siempre que no acabe en 1. (de hecho: [a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an+1].) Los trminos de una fraccin continua se repetirn si y solo si representa a un irracional cuadrtico, es decir, si es solucin de una ecuacin cuadrtica con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fraccin continua [1; 1, 1, ... ] representa al nmero ureo y [1; 2, 2, 2, ] a . El truncado de la representacin en fraccin continua de un nmero x da una aproximacin racional que es, en cierto sentido, la mejor posible (vanse los teoremas 6 y 7, ms abajo, para una formalizacin de este aserto). La ltima propiedad, falsa si empleramos la representacin convencional, es muy importante. Si truncamos una representacin decimal, obtenemos una aproximacin racional, pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857 en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representacin decimal de obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representacin en fraccin continua de comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representacin obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, Los denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximacin de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, as como la aproximacin a con [3; 7, 15, 1] es 100 veces ms precisa que 3.1416.[editar] Apuntes histricosLas fracciones continuas se utilizan desde antiguo. Aryabhata (476-550) las us para resolver ecuaciones diofnticas, as como para dar aproximaciones precisas de nmeros irracionales. Brahmagupta (598-668) profundiz en el estudio de las ecuaciones llamadas hoy de Pell. Desarroll los fundamentos del mtodo chakravala, usando clculos parecidos a los de las fracciones continuas. Investig la resolucin de la ecuacin x2 61y2 = 1 encontrando la menor solucin: x = 1 766 319 049, y = 226 153 980En el siglo XII, el mtodo fue mejorado por Bhaskara II. Un algoritmo, anlogo al de las fracciones continuas, permiti resolver un caso general. La diferencia ms notable era que admita nmeros negativos en la fraccin, acelerando la convergencia.La aparicin en Europa fue posterior e italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) us un antecesor de las fracciones continuas para calcular aproximaciones de la raz cuadrada de 13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) se dio cuenta de que el mtodo de Bombelli vala para todas la races cuadradas; lo utiliz para la de 18 y escribi un opsculo sobre este asunto. Remarc que las aproximaciones obtenidas son alternativamente superiores e inferiores a la raz cuadrada buscada.En Inglaterra hubo un progreso decisivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de Fermat desafi a los matemticos europeos con varios problemas, entre los que estaba la ecuacin ya resuelta por Brahmagupta. La respuesta inglesa fue rpida. William Brouncker (1620-1684) encontr la relacin entre la ecuacin y la fraccin continua, as como un mtodo algortmico equivalente al de los hindes para el clculo de la solucin. Utiliz una fraccin continua para construir una sucesin que converga a 4 / , y aproxim con 10 decimales significativos. Estos resultados fueron publicados por John Wallis, que aprovech para demostrar las relaciones de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II. Dio, adems, el nombre de fraccin continua en la frase: Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum. En esta poca, Christiaan Huygens (1629-1695) descubri que las fracciones continuas son la herramienta ideal para determinar el nmero de dientes que deben tener las ruedas de engranajes de un reloj. Las utiliz para la construccin de un autmata planetario.En el siglo siguiente se resuelven algunas cuestiones tericas. El uso mostr que el algoritmo de las fracciones continuas permita resolver la ecuacin de Pell utilizando el hecho de que la fraccin es peridica a partir de un punto. Leonhard Euler (1707-1783) demostr que, si un nmero tiene una fraccin continua peridica, entonces es solucin de una ecuacin de segundo grado con coeficientes enteros. El recproco, ms sutil, es obra de Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontr una nueva utilidad de las fracciones continuas: las us para demostrar la irracionalidad de .Esta utilizacin vino a ser frecuente durante el siglo XIX. variste Galois encontr una condicin necesaria y suficiente para que una fraccin continua sea inmediatamente peridica. Joseph Liouville (1809-1882) utiliz el desarrollo en fraccin continua generalizado para construir los primeros ejemplos de nmeros trascendentes: los nmeros de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) estableci nuevos mtodos para demostrar la trascendencia de e, base del logaritmo neperiano. Estos son retomados por Ferdinand von Lindemann que demostr en 1882 que es trascendente con el corolario de la imposibilidad de la cuadratura del crculo. Georg Cantor (1845-1918) demostr que los puntos de un segmento pueden ponerse en biseccin con los del interior de un cuadrado con la ayuda de fracciones continuas. El siglo XX vio la explosin de un gran nmero de publicaciones sobre este asunto. Ms de 1500 matemticos han encontrado elementos dignos de publicacin.[editar] Clculo de una fraccin continuaConsideremos un nmero real r. Sea e la parte entera y d la parte decimal de r; entonces la representacin en fraccin continua de r es [e; ] donde es la representacin en fraccin continua de 1/d. Es costumbre cambiar la primera , por ;.Para calcular la representacin en fraccin continua de un nmero r, se escribe en primer lugar la parte entera de r. Se resta esta parte entera a r. Si la diferencia es 0 se para; en otro caso se halla el inverso de la diferencia y se repite. Este proceso tendr fin si y solo si r es racional.Hallar la fraccin continua de 3.245 (3 49/200)

FIN

la fraccin continua de 3.245 (3 49/200) es [3; 4, 12, 4]

Tambin podra representarse con [3; 4, 12, 3, 1]

[editar] NotacinSe puede expresar una fraccin continua como

o, en la notacin de Pringsheim,

o esta otra notacin similar a la anterior

Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un lmite:

Este lmite existe para cualquier eleccin de enteros positivos a1, a2, a3 ...[editar] FormalizacinLlamaremos fraccin continua de orden n a toda expresin de la forma:

donde es un real no negativo y los dems son estrictamente positivos. Emplearemos tambin la notacin: [editar] ReducidasSea una fraccin continua: definimos la sucesin pk/qk por:

y la recurrencia, para k 2

La fraccin pk/qk se llama la k-sima reducida de la fraccin continua.

Teorema 1. Para todo k n se tiene:

Adems, para todo k, 1 k n,

Consideraremos a partir de ahora fracciones continuas enteras, esto es, aquellas para los que todo ai sea entero positivo.

Teorema 2. Las reducidas de una fraccin continua entera son fracciones irreducibles.Sea x un nmero real positivo, podemos ponerlo como a0+x0, donde a0 =[x] es la parte entera de x y 0 \le; x0 1, y (siempre que ). Tenemos:. La sucesin (ak) est determinada por x y se llama desarrollo en fraccin continua de x.

Teorema 3. El desarrollo en fraccin continua de x es finito si y solo si x es racional.

Teorema 4. Dada una sucesin infinita (an) de enteros positivos tales que ak > = 1 si k > = 1, la sucesin de reducidas

converge.Podemos as dar un sentido a una fraccin continua entera infinita y escribir:

donde .Teorema 5. Sea x un real representado por una fraccin continua entera infinita . Entonces (an) coincide con el desarrollo en fraccin continua de x.[editar] Mejores aproximaciones racionalesTeorema 6. La k-sima reducida pk / qk del desarrollo en fraccin continua de x es la mejor aproximacin de x por una fraccin de denominador menor o igual a qk :. Teorema 7. Sea x un nmero real positivo no nulo y p/q una fraccin irreducible tal que:

Entonces, p/q es una de las reducidas del desarrollo de x en fraccin continua.

Teorema 8. (Hurwitz) Sea x un irracional positivo. Existe una cantidad infinita de racionales tales que:.

Adems, la constante es la mejor posible.En este ltimo sentido el nmero ureo, , es uno de los irracionales que peor se aproxima con fracciones continuas; sus reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.), distan casi exactamente de .[editar] Algunos desarrollos notables[editar] Nmero = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ] o bien

Utilizando fracciones continuas generalizadas obtenemos desarrollos con estructuras ms regulares

[editar] Raz cuadrada de 2Sea r=, su parte entera vale 1, as que a0 = 1 y . Ahora bien, utilizando la identidad , tenemos que . Por tanto a1 = 2 y . Concluimos que todos los ak = 2 a partir de k=1 valen 2 y todos los xk valen . El desarrollo en fraccin continua es, por tanto:

[editar] Nmero ureo

[editar] Nmero e

[edit ar] Aplicaciones[editar] Irracionalidad del nmero eLas fracciones continuas ofrecen una manera de conocer la irracionalidad de un nmero. Si su desarrollo es infinito entonces el nmero es irracional. Esta tcnica fue utilizada por Euler, que determin la fraccin continua del nmero e.El desarrollo en fraccin continua de e,es:

La barra utilizada aqu es una notacin frecuente; indica una repeticin hasta el infinito de la sucesin de enteros que cubre.O estas otras:

Se concluye que ni e ni e son racionales.[editar] La ecuacin de PellLa ecuacin de Pell es una ecuacin diofntica, es decir, con coeficientes enteros y para la que las soluciones pedidas son enteras tambin. Tiene la forma:

Donde n es un entero que no es cuadrado perfecto y a es un entero no nulo. Aqu consideraremos que . Una solucin (h, k) verificar: h/k n son superiores a 1 y n lo es estrictamente, de ah:

En el teorema 7 se demostr que la fraccin debe ser una reducida de . Toda solucin de la ecuacin debe estar en la sucesin de reducidas de . Este hecho, demostrado por Lagrange, permite dar soluciones, si bien ms tericas que algortmicas, a la ecuacin de Pell.[editar] Nmeros cuadrticosA diferencia de la exponencial, la raz cuadrada de 2 es particularmente fcil de desarrollar en fraccin continua. Esta propiedad proviene del hecho de que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente completo ya aparecido. La fraccin continua es peridica a partir de cierto punto. La raz de 11 tiene la misma propiedad: Se deduce que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + 11) y x1 = 3 + 11. Calculamos la fraccin continua de x1:

Se ve que x2 es igual x0, lo que permite concluir:

La periodicidad a partir de un punto es propia de los nmeros de la forma , donde a y b son racionales, b no nulo, y n un entero que no es cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las races cuadradas. Por ejemplo:

Exceptuando el ltimo nmero del periodo, los anteriores forman un palndromo. Adems, el ltimo trmino del periodo es el doble del primero (en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).