fórmulas y tablas de ingeniería térmica - (tecnun)

Tecnologa Energtica Frmulas, Tablas y Figuras de Intercambiadores

1

TEMA 1. INTERCAMBIADORES DE CALOR

FRMULAS

Resistencia trmica de conduccin para pared plana: kAL

R condt =, .

Resistencia trmica de conveccin: hA

R convt1

, = .

Coeficiente global de transferencia de calor, U: UA

RR ttot1 == .

Resistencia trmica de conduccin para una pared cilndrica: Lk

rrR condt p2

)/ln( 12, = .

Resistencia trmica de conveccin para una pared cilndrica: rLhAh

R convt p211

, == .

El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilndrica depende del rea en

funcin de la cual se exprese: ( ) 1332211 ... -===== tii RAUAUAUAU . Coeficiente global de transferencia de calor en un intercambiador:

hoho

hfw

co

cf

cohhcc hAA

RR

A

R

hAAUAUUA )(1

)()()(1111 ,,

hhhh+

++

+=== , donde los subndices c y

h indican el fluido fro y caliente (cold y hot), respectivamente, y Rw es la resistencia trmica

de conduccin.

Los trminos 1/(hohA) son las resistencias trmicas del dispositivo de aletas de cada fluido y

ho la eficiencia o rendimiento global de la superficie con aletas que es el cociente entre el

calor transmitido por el sistema con aletas y el que se transmitira si toda la superficie

estuviera a la temperatura de la base de las aletas: )( -

=TThA

q

btoh , siendo At el rea total

de transferencia de calor (superficie de la base ms aletas).

El rendimiento global se evala en funcin del rendimiento de una aleta:

)1(1 ft

fo A

NAhh --= , siendo Af el rea superficial de todas las aletas.

Para una aleta recta de longitud L y el extremo adiabtico la expresin del rendimiento es:

mLmL

f)tanh(

=h , siendo m = (2h/kt)1/2 y t el espesor de la aleta recta.

A-PDF MERGER DEMO


2

El nmero de Reynolds para flujo interno se define en funcin del dimetro interno del tubo y

de la velocidad media del fluido sobre la seccin transversal del tubo:

nmr intmintm

D

DuDuRe == . Como cm Aum r=& , para un tubo circular el nmero de Reynolds se

puede expresar: mp int

D Dm

Re&4

= .

El nmero de Reynolds para flujo externo cruzado sobre un cilindro se define en funcin del

dimetro externo del tubo y de la velocidad de flujo libre, u V: nn

extextD

VDDuRe == .

Nmero de Nusselt: fluido

D khD

Nu = .

Nmero de Prandtl: an

=Pr .

Difusividad trmica: pck / ra = .

Correlacin de Zhukauskas para flujo a travs de un banco de tubos:

4/1

36,0,

=

s

mmxDD Pr

PrPrCReNu . Con


3

La velocidad mxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condicin:

22)()(2

2/122 DSSSSDSDS TTLDTD

+D .

Si la capacidad trmica de flujo de uno de los fluidos es mucho mayor que la del otro o uno de

los fluidos experimenta un cambio de fase, C , la temperatura de ese fluido permanece

prcticamente constante a lo largo del intercambiador.

Para el caso de que las dos capacidades trmicas de flujo sean iguales, Ch Cc, la diferencia

de temperaturas promedio se mantiene a lo largo del intercambiador, DT1 = DT2 = DTm.

Transferencia total de calor de un intercambiador de pasos mltiples o de flujo cruzado:

CFmlTUAFq ,D= , siendo F el factor de correccin que se obtiene de las Figuras 11.10 a 11.13

del Incropera, en funcin de los factores P y R en los que la t minscula indica la temperatura

del fluido de los tubos, independientemente de si es el caliente o el fro.

entent

entsal

tTtt

P--

= ; entsal

salent

ttTT

R--

= . La t minscula indica la temperatura del fluido de los tubos,

independientemente de si es el caliente o el fro.

Si el cambio de temperatura de un fluido es despreciable (cambio de fase), P o R es cero y F

es 1, es decir, el comportamiento del intercambiador es independiente de su configuracin.

La transferencia de calor mxima de un intercambiador es el producto de la capacidad trmica

de flujo del fluido que la tiene menor por la mxima diferencia de temperaturas posible:

)( ,, entcenthmnmx TTCq -= .

La eficiencia o rendimiento de un intercambiador, e, es el cociente entre la transferencia real

de calor del intercambiador y la transferencia de calor mxima posible (0 e 1):

)(

)(

)(

)(

,,

,,

,,

,,

entcenthmn

entcsalcc

entcenthmn

salhenthh

mx TTC

TTC

TTC

TTC

qq

--

=-

-==e .

El nmero de unidades de transferencia de un intercambiador es un parmetro adimensional y

se define como: mnC

UA=NTU .

La relacin entre las capacidades trmicas de flujo de los fluidos es: Cr = Cmn/Cmx.

Las relaciones ( )rCf ,NTU=e para los distintos tipos de intercambiadores se obtienen analticamente de las Tablas 11.3 y 11.4 del Incropera y grficamente de las Figuras 11.14 a

11.19 del Incropera.

Casos particulares:


5

Para el caso de intercambiadores de carcasa y tubos con varios pasos por la carcasa se

supone que el NTU se distribuye de igual manera entre cada paso, NTU = n (NTU)1.

Por ello, en la expresin del rendimiento de un solo paso se emplea NTU/n.

Para los evaporadores y condensadores (Cr = 0) la expresin es nica e independiente

del sistema de flujo.

Para los intercambiadores de flujo cruzado con ambos fluidos sin mezclar la ecuacin

correspondiente slo es vlida para Cr = 1 aunque se puede emplear como una buena

aproximacin para valores menores.

La expresin explcita en NTU para el caso de intercambiadores de carcasa y tubos

proporciona el NTU por cada paso de carcasa, por lo que el de todo el intercambiador se

obtiene al multiplicar por el nmero de pasos, n.

Para NTU 0,25 todos los intercambiadores tiene aproximadamente la misma

eficiencia.

De manera general, para Cr > 0 y NTU 0,25, el intercambiador de contraflujo es el

ms eficiente.

Para cualquier intercambiador, los valores mximo y mnimo de la eficiencia se asocian

con Cr = 0 y Cr = 1, respectivamente.

Para los intercambiadores de calor compactos las caractersticas de transferencia de calor y

flujo se suelen dar en forma de figuras (Figuras 11.20 y 11.21 del Incropera).

Los resultados de transferencia de calor se correlacionan en funcin del factor j de Colburn, 3/2

H StPrj = y del nmero de Reynolds, donde los nmeros de Stanton ( pGchSt /= ) y de

Reynolds ( m/hGDRe = ) se basan en la velocidad de masa mxima (es un flujo msico,

velocidad msica por unidad de rea),

====

smkg

2

frffff

fr

Am

Am

AVA

VG mx sr

r&&

, siendo s la

relacin entre el rea de flujo libre mnima de los pasos entre aletas (rea de seccin

transversal perpendicular a la direccin del flujo), Aff, y el rea frontal del intercambiador, Afr.

Para cada configuracin se dan una serie de parmetros geomtricos, entre los que se

encuentran el dimetro hidrulico del paso del flujo, Dh, la razn entre el rea superficial de

transferencia de calor y el volumen total del intercambiador, a, y la razn entre el rea de las

aletas y el rea total de transferencia de calor, Af/A.


6

La cada de presin del flujo a travs del banco de tubos con aletas viene dada por:

+

-+=D

ent

m

ent

salent

vv

AA

fvvvG

pff

22

1)1(2

s , siendo vent y vsal los volmenes especficos de

entrada y de salida del fluido y vm =(vent + vsal)/2.

TABLAS Y FIGURAS

Tabla 7.4 del Incropera. Coeficientes de la correlacin de Zhukauskas para flujo de aire

cruzado sobre un cilindro.

ReD C m 1 - 40 0,75 0,4

40 - 1.000 0,51 0,5 103 - 2105 0,26 0,6 2105 - 106 0,076 0,7

Figura 7.11 del Incropera. Disposicin de los tubos en configuracin alineada y escalonada

en un banco de tubos.


7

Tabla 7.7 del Incropera. Coeficientes de la correlacin de Zhukauskas para el flujo cruzado

sobre un banco de tubos.

Configuracin ReD,mx C m Alineado 10 - 102 0,80 0,40

Escalonado 10 - 102 0,90 0,40 Alineado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro nico

Escalonado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro nico Alineado (ST / SL > 0,7) 103 - 2105 0,27 0,63 Escalonado (ST / SL < 2) 103 - 2105 0,35(ST / SL)1/5 0,60 Escalonado (ST / SL > 2) 103 - 2105 0,40 0,60

Alineado 2105 - 2106 0,021 0,84 Escalonado 2105 - 2106 0,022 0,84

Para ST / SL < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar.

Tabla 7.8 del Incropera. Coeficiente de correccin C2 de la correlacin de Zhukauskas para

el flujo cruzado sobre un banco de tubos para NL < 20 y ReD > 103.

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 Alineado 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Escalonado 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Tabla A5 del Incropera. Propiedades termofsicas del aceite de motor a presin

atmosfrica.

T (K)

r (kg/m3)

cp (J/kgK)

m102 (Ns/m2)

n106

(m2/s) k103

(W/mK) a107 (m2/s)

Pr b103 (K-1)

273 899,1 1.796 385 4.280 147 0,910 47.000 0,70 280 895,3 1.827 217 2.430 144 0,880 27.500 0,70 290 890,0 1.868 99,9 1.120 145 0,872 12.900 0,70 300 884,1 1.909 48,6 550 145 0,859 6.400 0,70 310 877,9 1.951 25,3 288 145 0,847 3.400 0,70 320 871,8 1.993 14,1 161 143 0,823 1.965 0,70 330 865,8 2.035 8,36 96,6 141 0,800 1.205 0,70 340 859,9 2.076 5,31 61,7 139 0,779 793 0,70 350 853,9 2.118 3,56 41,7 138 0,763 546 0,70 360 847,8 2.161 2,52 29,7 138 0,753 395 0,70 370 841,8 2.206 1,86 22,0 137 0,738 300 0,70 380 836,0 2.250 1,41 16,9 136 0,723 233 0,70 390 830,6 2.294 1,10 13,3 135 0,709 187 0,70 400 825,1 2.337 0,874 10,6 134 0,695 152 0,70 410 818,9 2.381 0,698 8,52 133 0,682 125 0,70 420 812,1 2.427 0,564 6,94 133 0,675 103 0,70 430 806,5 2.471 0,470 5,83 132 0,662 88 0,70


8

Tabla A4 del Incropera. Propiedades termofsicas del aire a presin atmosfrica.

T (K)

r (kg/m3)

cp (J/kgK)

m107 (Ns/m2)

n106

(m2/s) k103

(W/mK) a106 (m2/s)

Pr

100 3,5562 1.032 71,1 2,00 9,34 2,54 0,786 150 2,3364 1.012 103,4 4,426 13,8 5,84 0,758 200 1,7548 1.007 132,5 7,590 18,1 10,3 0,737 250 1,3947 1.006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,720 300 1,1614 1.007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707 350 0,9950 1.009 208,2 20,92 30,0 29,9 0,700 400 0,8711 1.014 230,1 26,41 33,8 38,3 0,690 450 0,7740 1.021 250,7 32,39 37,3 47,2 0,686 500 0,6964 1.030 270,1 38,79 40,7 56,7 0,684 550 0,6329 1.040 288,4 45,57 43,9 66,7 0,683 600 0,5804 1.051 305,8 52,69 46,9 76,9 0,685 650 0,5356 1.063 322,5 60,21 49,7 87,3 0,690 700 0,4975 1.075 338,8 68,10 52,4 98,0 0,695 750 0,4643 1.087 354,6 76,37 54,9 109 0,702 800 0,4354 1.099 369,8 84,93 57,3 120 0,709 850 0,4097 1.110 384,3 93,80 59,6 131 0,716 900 0,3868 1.121 398,1 102,9 62,0 143 0,720 950 0,3666 1.131 411,3 112,2 64,3 155 0,723

1.000 0,3482 1.141 424,4 121,9 66,7 168 0,726 1.100 0,3166 1.159 449,0 141,8 71,5 195 0,728 1.200 0,2902 1.175 473,0 162,9 76,3 224 0,728 1.300 0,2679 1.189 496,0 185,1 82 238 0,719 1.400 0,2488 1.207 530 213 91 303 0,703 1.500 0,2322 1.230 557 240 100 350 0,685


9

Tabla A6 del Incropera. Propiedades termofsicas del agua saturada.

T (K)

P (bar)

v103 (m3/kg)

hfg (kJ/kg)

cp (J/kgK)

m106 (Ns/m2)

k103 (W/mK)

Pr b106 (K-1)

273,15 0,00611 1,000 2.502 4.217 1.750 569 12,99 -68,05 275 0,00697 1,000 2.497 4.211 1.652 574 12,22 -32,74 280 0,00990 1,000 2.485 4.198 1.422 582 10,26 46,04 285 0,01387 1,000 2.473 4.189 1.225 590 8,81 114,1 290 0,01917 1,001 2.461 4.184 1.080 598 7,56 174,0 295 0,02617 1,002 2.449 4.181 959 606 6,62 227,5 300 0,03531 1,003 2.438 4.179 855 613 5,83 276,1 305 0,04712 1,005 2.426 4.178 769 620 5,20 320,6 310 0,06221 1,007 2.414 4.178 695 628 4,62 361,9 315 0,08132 1,009 2.402 4.179 631 634 4,16 400,4 320 0,1053 1,011 2.390 4.180 577 640 3,77 436,7 325 0,1351 1,013 2.378 4.182 528 645 3,42 471,2 330 0,1719 1,016 2.366 4.184 489 650 3,15 504,0 335 0,2167 1,018 2.354 4.186 453 656 2,88 535,5 340 0,2713 1,021 2.342 4.188 420 660 2,66 566,0 345 0,3372 1,024 2.329 4.191 389 668 2,45 595,4 350 0,4163 1,027 2.317 4.195 365 668 2,29 624,2 355 0,5100 1,030 2.304 4.199 343 671 2,14 652,3 360 0,6209 1,034 2.291 4.203 324 674 2,02 697,9 365 0,7514 1,038 2.278 4.209 306 677 1,91 707,1 370 0,9040 1,041 2.265 4.214 289 679 1,80 728,7

373,15 1,0133 1,044 2.257 4.217 279 680 1,76 750,1 375 1,0815 1,045 2.252 4.220 274 681 1,70 761 380 1,2869 1,049 2.239 4.226 260 683 1,61 788 385 1,5233 1,053 2.225 4.232 248 685 1,53 814 390 1,794 1,058 2.212 4.239 237 686 1,47 841 400 2,455 1,067 2.183 4.256 217 688 1,34 896 410 3,302 1,077 2.153 4.278 200 688 1,24 852 420 4,370 1,088 2.123 4.302 185 688 1,16 1.010 430 5,699 1,099 2.091 4.331 173 685 1,09 440 7,333 1,110 2.059 4.360 162 682 1,04 450 9,319 1,123 2.024 4.400 152 678 0,99 460 11,71 1,137 1.989 4.440 143 673 0,95 470 14,55 1,152 1.951 4.480 136 667 0,92 480 17,90 1,167 1.912 4.530 129 660 0,89 490 21,83 1,184 1.870 4.590 124 651 0,87 500 26,40 1,203 1.825 4.660 118 642 0,86


10

Figura 11.10. Factor de correccin para un intercambiador de calor con 1 carcasa y cualquier mltiplo de 2 pasos de los tubos.

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

P

F

R=0,1R=0,2R=0,4R=0,6R=0,8R=1R=1,2R=1,5R=2R=3R=4R=6R=10

entent

entsal

tTtt

P--

=

entsal

salent

ttTT

R--

=


11

Figura 11.11. Factor de correccin para un intercambiador con 2 pasos por la carcasa y cualquier mltiplo de 4 pasos de los tubos.

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

P

F

R=0,2R=0,4R=0,6R=0,8R=0,9R=1,2R=1,5R=2R=3R=4R=6R=10

entsal

salent

ttTT

R--

=

entent

entsal

tTtt

P--

=


12

Figura 11.12. Factor de correccin para un intercambiador de calor de un solo paso en flujo cruzado con ambos fluidos sin mezclar.

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

P

F

R=0,2R=0,4R=0,6R=0,8R=1,2R=1,5R=2R=3R=4

entent

entsal

tTtt

P--

=

entsal

salent

ttTT

R--

=


13

Figura 11.13. Factor de correccin para un intercambiador de un solo paso en flujo cruzado con un fluido mezclado y el otro sin mezclar.

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

P

F

R=0,1R=0,2R=0,4R=0,6R=0,8R=1,2R=1,5R=2R=3R=4R=6R=8

entent

entsal

tTtt

P--=

entsal

salent

ttTT

R--

=


14

Figura 11.14. Eficiencia de un intercambiador de flujo paralelo.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cr = 0Cr = 0,2Cr = 0,4Cr = 0,6Cr = 0,8Cr = 1


15

Figura 11.15. Eficiencia de un intercambiador de contraflujo.

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cr = 0Cr = 0,2Cr = 0,4Cr = 0,6Cr = 0,8Cr = 1


16

Figura 11.16. Eficiencia de un intercambiador de carcasa y tubos con 1 carcasa y cualquier mltiplo de 2 pasos por los tubos.

0,00

0,100,200,300,400,50

0,600,700,800,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cr = 0Cr = 0,2Cr = 0,4Cr = 0,6Cr = 0,8Cr = 1


17

Figura 11.17. Eficiencia de un intercambiador de carcasa y tubos con 2 pasos por la carcasa y cualquier mltiplo de 4 pasos por los tubos.

0,00

0,100,200,300,400,50

0,600,700,800,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cr = 0Cr = 0,2Cr = 0,4Cr = 0,6Cr = 0,8Cr = 1


18

Figura 11.18. Eficiencia de un intercambiador de flujo cruzado de un solo paso con ambos fluidos sin mezclar.

0,00

0,100,200,300,400,50

0,600,700,800,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cr = 0Cr = 0,2Cr = 0,4Cr = 0,6Cr = 0,8Cr = 1


19

Figura 11.19 A. Eficiencia de un intercambiador de flujo cruzado de un solo paso con un fluido mezclado (Cmn) y el otro sin mezclar (Cmx).

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cmez/Csin = 0Cmez/Csin = 0,2Cmez/Csin = 0,4Cmez/Csin = 0,6Cmez/Csin = 0,8Cmez/Csin = 1


20

Figura 11.19 B. Eficiencia de un intercambiador de flujo cruzado de un solo paso con un fluido mezclado (Cmx) y el otro sin mezclar (Cmn).

0,00

0,100,200,300,400,50

0,600,700,800,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6

NTU

E

Cmez/Csin = 100Cmez/Csin = 8Cmez/Csin = 4Cmez/Csin = 2Cmez/Csin = 1,5Cmez/Csin = 1


21

Figura 11.20. Transferencia de calor y factor de friccin para un intercambiador de calor de

tubo circular y aleta circular, superficie CF-7.0-5/8J de Kays y London.


22

Figura 11.21. Transferencia de calor y factor de friccin para un intercambiador de calor de

tubo circular y aleta continua, superficie 8.0-3/8T de Kays y London.

Un ive rs idad de Nava r ra Na fa r roako Un ibe r t s i t a tea

E scue la Super io r de Ingen ie ros Ingen ia r i en Go i Ma i l ako Esko la

CAMPUS TECNOLGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA Paseo de Manuel Lardizbal 13. 20018 Donostia-San Sebastin. SPAIN

Tel.: (34) 943 219 877 Fax: (34) 943 311 442 www.esi.unav.es [email protected]

FRMULAS, TABLAS Y FIGURAS DE

TRANSFERENCIA DE CALOR

Juan Carlos Ramos Gonzlez

Doctor Ingeniero Industrial

Febrero de 2005

Frmulas, Tablas y Figuras Transferencia de Calor

2

Transferencia de Calor Frmulas, Tablas y Figuras

1

TEMA 1. INTRODUCCIN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR Y A LA

CONDUCCIN

Calor o transferencia de calor o velocidad de transferencia de calor: q [J/s = W].

Flujo calorfico o de calor: q [W/m2].

Ley de Fourier: dxdT

kqx -= . Aqq xx = . En condiciones de rgimen estacionario y con una

distribucin lineal de temperaturas: LT

kL

TTk

LTT

kdxdT

kqxD

=-

=-

-=-= 2112 .

Conductividad trmica: k [W/mK].

Ley de enfriamiento de Newton: )( -= TThq sx .

Coeficiente de transferencia de calor por conveccin: h [W/m2K].

Potencia emisiva superficial: E [W/m2].

Ley de Stefan-Boltzmann para un cuerpo negro: 4sb TE s= .

Constante de Stefan-Boltzmann: s = 5,6710-8 W/m2K4.

El flujo de calor emitido por una superficie real a la misma temperatura que un cuerpo negro

siempre ser menor y viene dado por: 4sTE es= , donde e es la emisividad, que puede variar

entre 0 y 1.

Se llama irradiacin, G, a la velocidad con la que la radiacin incide sobre un rea unitaria.

La proporcin de la irradiacin total que es absorbida por la superficie viene dada por la

absortividad, a (0a1), segn la siguiente expresin: GGabs a= . Irradiacin de los

alrededores: 4alrTG s= .

Intercambio de radiacin para una superficie gris (a = e):

( )44)( alrssbrad TTGTEAq

q -=-== esae . Tambin se puede expresar como:

)( alrsradrad TThq -= , siendo hrad el coeficiente de transferencia de calor por radiacin:

( )22)( alrsalrsrad TTTTh ++= es . Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un instante de

tiempo (t): almalm

salgenent EdtdE

EEE &&&& ==-+ .

Principio de conservacin de la energa en un volumen de control formulado en un intervalo

de tiempo (Dt): almsalgenent EEEE D=-+ .


2

Principio de conservacin de la energa en una superficie de control: 0=- salent EE && .

Ley de Fourier vectorial: zyx qkqjqizT

kyT

jxT

ikTkq ++=

+

+

-=-=rrrrrrr

.

Capacidad trmica volumtrica: r cp [J/m3K]. Mide la capacidad de un material para

almacenar energa trmica.

Difusividad trmica: pc

kr

a = [m2/s]. Mide la capacidad de un material para conducir energa

trmica en relacin con su capacidad para almacenarla.

Ecuacin de difusin de calor en coordenadas cartesianas:

=+

+

+

3mW

tT

cqzT

kzy

Tk

yxT

kx p

r& .

Ecuacin de difusin de calor vectorial: tT

cqTk p

=+ r&)( .

En el caso de transmisin unidimensional en rgimen estacionario y sin generacin de

energa: 0=

dxdT

kdxd

. Teniendo en cuenta la ley de Fourier ( dxdTkqx -= ), esta ecuacin

implica que el flujo de calor en la direccin de transmisin es una constante

( cte.0/ == xx qdxqd ).

Ecuacin de difusin de calor en coordenadas cilndricas (r radial, f angular o longitud, z

axial, elemento diferencial de volumen: drrdfdz):

tT

cqzT

kz

Tk

rrT

krrr p

=+

+

+

rff

&2

11.

Ecuacin de difusin de calor en coordenadas esfricas (r radial, q polar, cenital o colatitud, f

azimutal o longitud, elemento diferencial de volumen: drrsenqdfdq):

tT

cqT

ksensenr

Tk

senrrT

krrr p

=+

+

+

rq

qqqffq

&2222

22

111.

Condicin de contorno de primera clase o de Dirichlet: superficie mantenida a temperatura

constante, T(0, t) = Ts.


3

Condicin de contorno de segunda clase o de Neumann: flujo de calor fijo o constante en la

superficie, 0

)0(=

-==

xs x

Tkxq . Un caso especial es la superficie perfectamente aislada o

adiabtica, 00

=

=xxT

.

Condicin de contorno de tercera clase o de Fourier: corresponde a la transferencia de calor

por conveccin en la superficie, [ ]),0(0

tTThxT

kx

-=

- =

.

TEMA 2. CONDUCCIN UNIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO

Resistencia trmica de conduccin para pared plana: kAL

qTT

Rx

sscondt =

-= 21, .

Resistencia trmica de conveccin: hAq

TTR sconvt

1, =

-= .

Resistencia trmica de radiacin. Ahq

TTR

rrad

alrsradt

1, =

-= .

Coeficiente global de transferencia de calor, U: TUAqx D= . UAqT

RR ttot1 =D== .

Ley de Fourier expresada en forma integral para un sistema general en condiciones de

rgimen estacionario sin generacin de calor y con conduccin unidimensional (en este caso,

la transferencia de calor, qx, es una constante independiente de x): -=x

x

T

TxdTTk

xAdx

q0 0

)()(

.

Resistencia trmica de conduccin para una pared cilndrica: Lk

rrq

TTR

r

sscondt p2

)/ln()( 1221, =

-= .

Resistencia trmica de conveccin para una pared cilndrica: rLhAh

R convt p211

, == .

Resistencia trmica de conduccin para una pared esfrica:

-=

-=

21

21,

114

1)(rrkq

TTR

r

sscondt p

.

Resistencia trmica de conveccin para una pared esfrica: hrAh

R convt 2, 411

p== .

El coeficiente global de transferencia de calor en una pared cilndrica o esfrica depende del

rea en funcin de la cual se exprese: ( ) 1332211 ... -===== tii RAUAUAUAU .


4

Generacin de energa trmica por unidad de volumen:

== 3m

WVol

Eeq gengen

&&& .

Ecuacin de calor para una aleta: 0)(11

2

2

=-

-

+ TTdx

dAkh

AdxdT

dxdA

AdxTd s

c

c

c

.

Distribucin de temperaturas y transferencia de calor para aletas de rea de seccin

transversal uniforme:

Caso A, con transferencia de calor por conveccin desde el extremo de la aleta

( [ ]Lx

cc dxdT

kATLThA=

-=-)( ):

mLmkhmLxLmmkhxLm

b senh )/(cosh)(senh )/()(cosh

+-+-

=qq

mLmkhmLmLmkhmL

Mq f senh )/(coshcosh)/(senh

++

=

siendo -= TxTx )()(q , -= TTbbq , ckA

hPm =2 , bchPkAM q= , P el permetro y Ac

el rea transversal.

Caso B, extremo adiabtico ( 0==Lxdx

dq):

mLxLm

b cosh)(cosh -

=qq

mLMq f tanh=

Caso C, extremo con temperatura establecida (q(x = L) = qL):

mLxLmmxbL

b senh )(senh senh )/( -+

=qq

qq

( )mL

mLMq bLf senh

/cosh qq-=

Caso D, aleta muy larga (L y qL 0, aplicable si mL > 2,65):

mxbex

-= qq )( bcf hPkAMq q==

La efectividad de una aleta se define como la razn entre la transferencia de calor de la aleta y

la transferencia de calor que existira sin la aleta: bbc

ff hA

q

qe

,

= , siendo Ac,b el rea de la

seccin transversal de la base de la aleta. El uso de aletas slo se justifica cuando ef 2.

Resistencia trmica de una aleta: f

bft q

Rq

=, .

Teniendo en cuenta la resistencia trmica de conveccin de la base de la aleta, Rt,b = 1/hAc,b,

se puede expresar la efectividad como: ft

btf R

R

,

,=e .


5

La eficiencia o rendimiento de una aleta se define como la razn entre el calor real transferido

por la aleta y el calor que transferira si estuviera toda ella a la temperatura de la base:

bf

f

mx

ff hA

q

q

q

qh == , siendo Af la superficie total de la aleta.

Teniendo en cuenta la ecuacin que define la resistencia trmica de una aleta, se puede

expresar sta en funcin de su eficiencia: ff

ft hAR

h1

, = .

Para el caso de una aleta recta de seccin transversal uniforme y con su extremo adiabtico se

tiene: mL

mLhPL

mLM

bf

tanhtanh==

qh .

Se puede emplear la expresin de la aleta con extremo adiabtico para una aleta con extremo

activo, empleando una longitud de aleta corregida de la forma Lc = L+(t/2) para aleta

rectangular y Lc = L+(D/4) para aleta de aguja. Esta aproximacin es vlida cuando (ht/k) o

(hD/2k) < 0,0625.

Aletas de seccin transversal no uniforme. Distribucin de temperaturas, transferencia de

calor y rendimiento de una aleta anular: )()()()()()()()(

21102110

210210

mrImrKmrKmrImrImrKmrKmrI

b ++

=qq

)()()()()()()()(

221102110

211121111 mrKmrImrImrK

mrKmrImrImrKmtkrq bf +

-= qp

)()()()()()()()(

)(2

21102110

211121112

12

2

1

mrKmrImrImrKmrKmrImrImrK

rrmr

f +-

-=h

Para otros casos consultar la Tabla 2.1 (Tabla 3.5 del Incropera). I0, I1, K0 y K1 son,

respectivamente, las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase de orden 0 y

orden 1, cuyos valores estn tabulados y pueden verse en la Tabla H (Tabla B.5 del

Incropera).

Dispositivo de varias aletas. Eficiencia global de la superficie: bt

t

mx

to hA

qqq

qh == , siendo qt

la transferencia total de calor de la superficie total, At, que es la asociada a la superficie de las

aletas, Af, ms la parte expuesta de la base, Ab. Es decir, bft ANAA += , siendo N el nmero

total de aletas.

Este rendimiento tambin se puede expresar en funcin del rendimiento de una sola aleta:

bbbffbft hAhANqNqq qqh +=+= btot hAq qh= )1(1 ft

fo A

NAhh --= .


6

Resistencia trmica efectiva del dispositivo de aletas: ott

bot hAq

Rh

q 1, == .

TEMA 3. CONDUCCIN BIDIMENSIONAL EN RGIMEN ESTACIONARIO

Mtodo de separacin de variables. Distribucin de temperaturas de una placa rectangular con

tres lados a temperatura constante T1 y el cuarto a temperatura constante T1 T2:

=

+ +-=

1

1

)/(senh)/(senh

sen1)1(2

),(n

n

LWnLyn

Lxn

nyx

ppp

pq .

Factor de forma de conduccin para sistemas bidimensionales, S: )( 21 TTSkq -= . Se obtiene

de la Tabla 3.1 (Tabla 4.1 del Incropera).

Resistencia de conduccin bidimensional: Sk

R condt1

)D2(, = .

MDF: Para obtener la ecuacin de diferencias finitas de un nodo aplicando el principio de

conservacin de la energa a un volumen de control alrededor del nodo se supone que todo el

flujo de calor es hacia el nodo. Como estamos en rgimen permanente la ecuacin a emplear

es: 0=+ genent EE && . El trmino de energa entrante puede incluir calores de conduccin o de

conveccin que se evalan con la ley de Fourier (x

TTykq nmnmnmnm D

-D= --

,,1),(),1( )1( ) o la ley

de enfriamiento de Newton ( ( ) )(1 ,),()( nmnm TTxhq -D= .

TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO

Nmero de Biot: convt

condtc

R

R

khL

Bi,

,== .

Longitud caracterstica: Lc = V/As. Para una pared plana de longitud 2L Lc = L, y para un

cilindro largo o una esfera de radio ro Lc = ro.

Nmero de Fourier: 2

cLt

Foa

= .

El mtodo de la resistencia interna despreciable es aplicable cuando 1,0


7

Distribucin de temperaturas temporal en un slido en el que se puede aplicar el mtodo de la

resistencia interna despreciable:

)exp(expexp)()(

FoBit

tVchA

TTTtTt

tp

s

iniini

-=

-=

-=

--

=

trqq

.

Constante de tiempo trmica: ttps

t CRVchA

1== rt , siendo Rt la resistencia a la

transferencia de calor por conveccin y Ct la capacidad trmica del slido.

La transferencia total de energa que tiene lugar desde un slido en el que se puede aplicar el

mtodo de la resistencia interna despreciable durante un tiempo t ser:

==t

s

tdtthAqdtQ

00)(q ( )[ ] almtinip EtVcQ D-=--= tqr exp1 .

Anlisis general del mtodo de la resistencia interna despreciable. Aplicacin a un slido

general sometido a conveccin, un flujo de calor aplicado a una superficie y generacin de

energa interna. En el instante inicial la temperatura del slido, Tini, difiere de la del fluido, T,

y los alrededores, Talr, y que se inician tanto el calentamiento superficial como el global

( qqs &y ). Ecuacin de conservacin de la energa: dtdT

VcATThEAq pscgensqs r=--+ )(& . Si

se introduce el cambio de variable q = T - T,se obtiene una ecuacin diferencial lineal de

primer orden no homognea: 0=-+ badtd

qq

. Al integrarla la solucin es de la forma:

[ ])exp(1/)exp( atTTab

atTTTT

ii

---

+-=--

, siendo pcs VchAa r,= y

( ) pgenqss VcEAqb r&+= , . Solucin analtica aproximada con el primer trmino (aplicable cuando Fo > 0,2) de la

distribucin de temperaturas en una pared plana de espesor 2L sometida a conveccin:

*)cos(**)cos()exp(),(

*)*,(* 112

11 xxFoCTTTtxT

tx oini

zqzzq =-=-

-=

, siendo

)exp(),0(

),0*(* 211 FoCTTTtxT

txini

o zq -=--=

==

la temperatura del plano medio (x* = x/L =

0). Los valores de C1 y z1 se obtienen de la Tabla 4.1 (Tabla 5.1 del Incropera).

Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde una pared plana de espesor 2L

sometida a conveccin: ),0(*sen

1)(

1

1 tU

tQo

o

qz

z-= , siendo Uo = Uini = rcpVol(Tini - T) la


8

energa interna inicial de la pared referida a la temperatura del fluido o la mxima cantidad de

energa que se podra transferir al fluido.

Solucin analtica aproximada con el primer trmino (aplicable cuando Fo > 0,2) de la

distribucin de temperaturas en un cilindro largo de radio ro sometido a conveccin:

*)(**)()exp(),(

*)*,(* 10102

11 rJrJFoCTTTtrT

tr oini

zqzzq =-=-

-=

, siendo

)exp(),0*(* 211 FoCTTTT

trini

oo zq -=-

-==

la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0) y J0

la funcin de Bessel de primera clase de orden cero cuyos valores se encuentran en la Tabla G

(Tabla B.4 del Incropera).

Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde un cilindro largo de radio ro

sometido a conveccin: )(),0(*2

1)(

111

zz

qJ

tU

tQ oo

-= , siendo J1 la funcin de Bessel de

primera clase de orden uno cuyos valores se encuentran en la Tabla G (Tabla B.4 del

Incropera) y Uo = Uini = rcpVol(Tini - T) la energa interna inicial del cilindro referida a la

temperatura del fluido o la mxima cantidad de energa que se podra transferir al fluido.

Solucin analtica aproximada con el primer trmino (aplicable cuando Fo > 0,2) de la

distribucin de temperaturas en una esfera de radio ro sometida a conveccin:

*)(sen*

1**)(sen

*1

)exp(),(

*)*,(* 11

11

211 rr

rr

FoCTT

TtrTtr o

ini

zz

qzz

zq =-=-

-=

, siendo

)exp(),0*(* 211 FoCTTTT

trini

oo zq -=-

-==

la temperatura del eje central (r* = r/ro = 0).

Transferencia total de energa en funcin del tiempo desde una esfera de radio ro sometida a

conveccin: [ ])cos()(*31)( 11131

zzzzq

--= senU

tQ oo

, siendo Uo = Uini = rcpVol(Tini - T) la

energa interna inicial de la esfera referida a la temperatura del fluido o la mxima cantidad de

energa que se podra transferir al fluido.

Conduccin multidimensional. Para las geometras multidimensionales de la Figura 4.2

(Figura 5.11 del Incropera), la solucin multidimensional se expresa como un producto de

soluciones unidimensionales que corresponden a un slido semiinfinito, una pared plana de


9

espesor 2L o un cilindro infinito de radio ro: tosemiinfini

Slido

),(),(

--

=TT

TtxTtxS

ini

;

planaPared

),(),(

--

=TT

TtxTtxP

ini

; infinitoCilindro

),(),(

--

=TT

TtrTtrC

ini

.

En un slido semiinfinito la condicin de frontera interior es T(x, t) = Tini y la condicin

inicial es T(x, 0) = Tini. Las soluciones analticas para tres condiciones de frontera exterior

son:

Condicin de frontera Distribucin de temperaturas

Temperatura superficial constante: T (0, t) = Ts

=

--

tx

TTTtxT

sini

s

a2erf

),(

2/10 )(

)(t

TTkxT

kq inisx

s pa-

=

-==

Flujo de calor superficial constante: os qq =

-

-

-

=

tx

kxq

tx

ktq

txT ooaa

pa

2 erfc

24

exp)/(2

),(22/1

Conveccin superficial:

[ ]),0(0

tTThxT

kx

-=

- =

+-

+-

-

-=

--

kth

t

xk

thkhx

t

xTT

TtxT

ini

ini

aa

a

a

2 erfcexp

2 erfc

),(

2

2

donde la funcin gaussiana de error, erf (h), y la funcin complementaria de error, erfc (w) =

1 erf (w), son funciones matemticas estndar cuyos valores se encuentran en la Tabla E

(Tabla B.2 del Incropera).

MDF en rgimen transitorio. Expresin en diferencias finitas de la velocidad de variacin de

la energa almacenada: t

TTVcE

pnm

pnm

palm D

-=

+,

1,r& .

Criterio de estabilidad en el MDF explcito: el coeficiente asociado con el nodo de inters en

el tiempo anterior (coeficiente de pnmT , ) debe ser mayor o igual que cero. As se obtiene un

valor lmite para 2)( x

tFo

DD

=a

, del que se obtiene el mximo valor permisible de Dt.

TEMA 5. INTRODUCCIN A LA CONVECCIN

Ley de enfriamiento de Newton: )( -= TThq s ; )( -= TThAq s .

Coeficiente de transferencia de calor por conveccin local, h o promedio, h [W/m2K].


10

Relacin entre los coeficientes de conveccin local y promedio:

)()( -=-== TTAhhdATTdAqq ssA ssA s ss = sA sshdA

Ah

1. Para flujo sobre una

placa plana: =Lhdx

Lh

0

1.

Espesor de la capa lmite de velocidad, d(x): la y para la que u(y) = 0,99u.

Coeficiente de friccin local: 2/2

=u

C sf rt

.

Para un fluido newtoniano se cumple que el esfuerzo cortante superficial es proporcional a la

rapidez de deformacin angular: 0=

=

ys y

umt .

Espesor de la capa lmite trmica, dt(x): la y para la que (Ts - T(y))/(Ts - T) = 0,99.

Relacin del coeficiente de conveccin en la capa lmite:

=

-

-=

TT

yTkh

s

yf 0/

.

Nmero de Reynolds: nm

r xuxuRex

== .

Nmero de Reynolds crtico para el inicio de la turbulencia en flujo externo: Rex,c = 5105.

Ecuacin de conservacin de la masa o de continuidad:

=

+

+

smkg

0)v()(

3yxu

trrr

.

Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal:

=+

+

+

+

-

+

-=

+

+

223 smkg

mN

vv

32

2v Xxy

uyyx

uxu

xxp

tu

yu

xu

u mmr

Yxy

uxyx

uyyy

ptyx

u +

+

+

+

-

+

-=

+

+ vv

32v

2vv

vv

mmr .

Ecuacin de conservacin de la energa:

++

+

++

+

++

=

-

-F+--+

+

3

222

mW

222

)v()(v

Vgye

tV

gyevy

Vgyeu

x

yp

xpu

YXuqyT

kyx

Tk

x

rrr

m&

, siendo V2 = u2 + v2.

Ecuacin de conservacin de la energa para fluido incompresible en flujo estacionario:

qyT

kyx

Tk

xyT

xT

uc p &+F+

+

=

+

mr v .


11

Disipacin viscosa:

+

-

+

+

+

=F2222 v

32v

2v

yxu

yxu

xyu

mm .

Aproximaciones de capa lmite: fluido incompresible (r constante), con propiedades

constantes (k, m, etc.), fuerzas de cuerpo insignificantes (X=Y=0) y sin generacin de energa

( 0=q& ).Adems: u >> v y xyx

uyu

>> v

,v

, en la capa lmite de velocidad y xT

yT

>>

en

la capa lmite trmica.

Ecuacin de conservacin de la masa o de continuidad en la capa lmite: 0v

=

+

yxu

.

Ecuaciones de balance de la cantidad de movimiento o del momento lineal en la capa lmite:

2

21v

yu

xp

yu

xu

u

+

-=

+

nr

y 0=yp

.

Ecuacin de conservacin de la energa en la capa lmite: 2

2

2

v

+

=

+

yu

cyT

yT

xT

up

na .

Nmero de Prandtl: an

=Pr .

Nmero de Nusselt: 0**

*

=

==yf y

TkhL

Nu .

Las formas adimensionales de las soluciones de la capa lmite adoptan la siguiente forma:

( )PrRexfNu L ,*,= y ( )PrRefkLh

Nu Lf

,== .

Relacin entre los espesores de las capas lmites hidrodinmica y trmica: 3/1Prt

dd

.

TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO

Temperatura de pelcula es la temperatura media entre la del fluido y la de la superficie:

2+=

TTT sf .

Espesor de la capa lmite laminar: xRe

xxu

5/

5==

nd .

Esfuerzo cortante en la pared en la capa lmite laminar: xuuyu

yxs /332,0

0,

=

=

= rmmt .


12

Coeficiente local de friccin en la capa lmite laminar: 2/12,

, 664,02/-

== xxs

xf ReuC

r

t.

Correlacin de conveccin local para el flujo laminar sobre una placa plana con temperatura

superficial constante: 3/12/1332,0 PrRek

xhNu x

xx == . Con propiedades a Tf y Pr 0,6.

Relacin entre los espesores de las capas lmites de velocidad y trmica: 3/1Prt

dd

.

Correlacin de conveccin promedio para el flujo laminar sobre una placa plana con

temperatura superficial constante: 3/12/1664,0 PrRekxh

Nu xx

x == . Con propiedades a Tf y Pr

0,6.

Correlacin de conveccin local para flujo laminar de un fluido con nmero de Prandtl

pequeo, como los metales lquidos, en los que dt >> d y se puede suponer velocidad

uniforme a travs de la capa lmite trmica: 2/1565,0 xx PeNu = , con propiedades a Tf, Pr

0,05 y Pex 100.

Nmero de Peclet: Pex = Rex Pr.

Coeficiente local de friccin en la capa lmite turbulenta: 5/1, 0592,0-= xxf ReC , con Rex 10

7.

Espesor de la capa lmite de velocidad turbulenta: 5/137,0 -= xxRed .

Correlacin de conveccin local para el flujo turbulento sobre una placa plana con Ts = cte: 3/15/40296,0 PrReNu xx = . Con propiedades a Tf y 0,6 < Pr < 60.

Para condiciones de capa lmite mezclada (laminar y turbulenta) se trabaja con el coeficiente

de conveccin promedio:

+=

L

x turb

x

lamLc

c dxhdxhL

h0

1.

Correlacin de conveccin promedio para capa lmite mezclada sobre una placa plana con Ts

= cte: 3/15/4 )871037,0( PrReNu LL -= . Con propiedades a Tf y

=


13

Correlacin de conveccin local para flujo turbulento sobre una placa plana con longitud

inicial no calentada (la capa lmite de velocidad comienza en x = 0 y la trmica en x = x):

[ ] 9/110/90

)/(1 x

NuNu

x

xx

x

-= = , donde

0=xxNu est dado por la expresin anterior para flujo

turbulento.

Correlacin de conveccin promedio entre x y L sobre una placa plana con longitud inicial no

calentada: [ ] )12/(2)22/()12(0

)/(1+++

=-

-=

ppppLL L

LL

NuNu xxx

, siendo p = 1 para flujo laminar

y p = 4 para turbulento.

Correlacin de conveccin local para flujo laminar sobre una placa plana que desprende un

flujo de calor superficial constante: 3/12/1453,0 PrReNu xx = , con Pr 0,6.

Correlacin de conveccin local para flujo turbulento sobre una placa plana que desprende un

flujo de calor superficial constante: 3/15/40308,0 PrReNu xx = , con 0,6 Pr 60.

Flujo sobre una placa plana que desprende un flujo de calor superficial constante. La

variacin de la temperatura superficial local se obtiene con: x

ss h

qTxT

+= )( .

Correlacin de conveccin promedio para flujo laminar sobre una placa plana que desprende

un flujo de calor superficial constante: 3/12/1680,0 PrReNu LL = .

Nmero de Reynolds para flujo cruzado sobre un cilindro: ReD = VD / n. El nmero de

Reynolds crtico vale: ReD,c = 2105.

Coeficiente de arrastre adimensional para el flujo cruzado sobre un cilindro o una esfera:

)2/( 2VAF

Cf

DD r

= , donde Af es el rea frontal del cilindro (rea proyectada perpendicular a la

velocidad de flujo libre). CD se expresa en funcin de ReD y se obtiene de la Figura 6.1

(Figura 7.8 del Incropera).

Correlacin de Hilpert para flujo cruzado sobre un cilindro: 3/1PrCReNu mDD = . Los valores

de las constantes C y m se dan en la Tabla 6.2 (Tabla 7.2 del Incropera) en funcin de ReD. La

Tabla 6.3 (Tabla 7.3 del Incropera) da los valores de las constantes para cilindros no

circulares. Las propiedades se evalan a Tf.


14

Correlacin de Zhukauskas para flujo cruzado sobre un cilindro: 4/1

=

s

nmDD Pr

PrPrCReNu .

Con

>==

10 si 36,010 si 37,0

PrnPrn

y


15

La velocidad mxima ocurre en el plano diagonal si se cumple la siguiente condicin:

22)()(2

2/122 DSSSSDSDS TTLDTD

+> )/2(cosh21 Dz

LS

-=

p 2.1.

Cilindro de longitud L enterrado

en un medio semiinfinito

z

D

T2

T1

L

DL >> 2/3Dz > )/4ln(

2Dz

LS

p=

2.2. Cilindro de

longitud infinita

enterrado en un medio semiinfinito (Kreith pg.

112)

z

D

T2

T1

Ninguna )/2(cosh

21 Dz

S-

=p

2.3. Cilindro

vertical de longitud L enterrado

en un medio semiinfinito

L

D

T2

T1

DL >> )/4ln(2

DLL

Sp

=

2.4. Conduccin

entre dos cilindros

paralelos de longitud L

en un medio infinito

w

D d

T2 T1

21 , DDL >> wL >>

--=

-

DddDw

LS

24

cosh

2222

1

p


31

Tabla 3.1. Factores de forma de conduccin para sistemas bidimensionales seleccionados [q

= Sk(T1 - T2)] (continuacin).

Descripcin del sistema Esquema Restricciones Factor de forma

2.5. Cilindro de longitud L en medio de

planos paralelos de

igual longitud y ancho infinito

z

D

T2

T1

L

z

T2

2/Dz >> zL >> )/8ln(

2Dz

LS

pp

=

2.6. Cilindro de longitud L

centrado en un slido de seccin

cuadrada de igual longitud

w

D

T2

T1

Dw > wL >> )/08,1ln(

2Dw

LS

p=

2.7. Cilindro excntrico de longitud L en el interior de un cilindro de igual longitud

d

D

T2

T1

z

dD > DL >>

-+=

-

DdzdD

LS

24

cosh

2222

1

p

3.1. Cubo enterrado en

un medio infinito

(Holman)

L

Ninguna LS 24,8=

4.1. Paraleleppedo inmerso en un

medio semiinfinito (Holman)

b

a

T2

T1

Lc

Ninguna 078,0

59,0

1log685,1

+

=

-

cb

ab

LS


32




5.1. Pared plana con superficies isotermas

(Bejan)

AT1

L

W

H

T2

5/LH > 5/LW > L

WHS =

5.2. Esquina de dos paredes contiguas

T2

T1

L

W

T2

5/LW > WS 54,0=

5.3. Esquina de tres paredes contiguas con diferencia de

temperaturas entre las superficies interior y

exterior (Bejan)

T2

T1

L

W

T2

T2

T2T2

Ninguna LS 15,0=

6.1. Disco delgado sobre medio semiinfinito

D

T2

T1

Ninguna DS 2=

6.2. Disco delgado semiinfinito enterrado en

un medio semiinfinito (Kreith) D

T2

T1

z

Ninguna )67,5/(1

45,4zD

DS

-=


33




6.3. Disco delgado horizontal

enterrado en un medio semiinfinito

(Bejan) D

T2

T1

z

Dz > )4/(tan)2/(2

1 zDD

S--

=p

p

6.4. Disco delgado horizontal

enterrado en un medio semiinfinito

con superficie aislada (Bejan)

D

T2

aislado

z T1T1

Dz > )4/(tan)2/(2

1 zDD

S-+

=p

p

6.5. Dos discos paralelos coaxiales

en un medio infinito (Bejan)

L

D

T1 T2

2/ >DL )2/(tan)2/(

21 LD

DS

--=

pp

Lz >> WL > )/4ln(

2WL

LS

p=

0=z WL > )/4ln( WL

LS

p=

7.1. Placa de anchura W

(dimensin ^ al dibujo) enterrada

en un medio semiinfinito (Bejan

y Holman)

L

T2

T1

z

WL >> Lz 2> )/2ln(

2Wz

LS

pp

=


34

TEMA 4. CONDUCCIN EN RGIMEN TRANSITORIO.

Tabla 4.1 (Tabla 5.1 del Incropera). Coeficientes de la aproximacin con un trmino de las

soluciones de conduccin transitoria unidimensional.

Pared plana Cilindro infinito Esfera Bi z1 (rad) C1 z1 (rad) C1 z1 (rad) C1

0,01 0,0998 1,0017 0,1412 1,0025 0,1730 1,0030 0,02 0,1410 1,0033 0,1995 1,0050 0,2445 1,0060 0,03 0,1732 1,0049 0,2439 1,0075 0,2989 1,0090 0,04 0,1987 1,0066 0,2814 1,0099 0,3450 1,0120 0,05 0,2217 1,0082 0,3142 1,0124 0,3852 1,0149 0,06 0,2425 1,0098 0,3438 1,0148 0,4217 1,0179 0,07 0,2615 1,0114 0,3708 1,0173 0,4550 1,0209 0,08 0,2791 1,0130 0,3960 1,0197 0,4860 1,0239 0,09 0,2956 1,0145 0,4195 1,0222 0,5150 1,0268 0,10 0,3111 1,0160 0,4417 1,0246 0,5423 1,0298 0,15 0,3779 1,0237 0,5376 1,0365 0,6608 1,0445 0,20 0,4328 1,0311 0,6170 1,0483 0,7593 1,0592 0,25 0,4801 1,0382 0,6856 1,0598 0,8448 1,0737 0,30 0,5218 1,0450 0,7465 1,0712 0,9208 1,0880 0,40 0,5932 1,0580 0,8516 1,0932 1,0528 1,1064 0,50 0,6533 1,0701 0,9408 1,1143 1,1656 1,1441 0,60 0,7051 1,0814 1,0185 1,1346 1,2644 1,1713 0,70 0,7506 1,0919 1,0873 1,1539 1,3225 1,1978 0,80 0,7910 1,1016 1,1490 1,1725 1,4320 1,2236 0,90 0,8274 1,1107 1,2048 1,1902 1,5044 1,2488 1,0 0,8603 1,1191 1,2558 1,2071 1,5708 1,2732 2,0 1,0769 1,1795 1,5995 1,3384 2,0288 1,4793 3,0 1,1925 1,2102 1,7887 1,4191 2,2889 1,6227 4,0 1,2646 1,2287 1,9081 1,4698 2,4556 1,7201 5,0 1,3138 1,2402 1,9898 1,5029 2,5704 1,7870 6,0 1,3496 1,2479 2,0490 1,5253 2,6537 1,8338 7,0 1,3766 1,2532 2,0937 1,5411 2,7165 1,8674 8,0 1,3978 1,2570 2,1286 1,5526 2,7654 1,8921 9,0 1,4149 1,2598 2,1566 1,5611 2,8044 1,9106

10,0 1,4289 1,2620 2,1795 1,5677 2,8363 1,9249 20,0 1,4961 1,2699 2,2881 1,5919 2,9857 1,9781 30,0 1,5202 1,2717 2,3261 1,5973 3,0372 1,9898 40,0 1,5325 1,2723 2,3455 1,5993 3,0632 1,9942 50,0 1,5400 1,2727 2,3572 1,6002 3,0788 1,9962 100,0 1,5552 1,2731 2,3809 1,6015 3,1102 1,9990

1,5707 1,2733 2,4050 1,6018 3,1415 2,0000 Bi = hL/k para la pared plana y Bi = hro/k para el cilindro infinito y la esfera.


35

Figura 4.2 (Figura 5.11 del Incropera). Soluciones de conduccin transitoria de sistemas

multidimensionales expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales.

Sistema Esquema Solucin

Slido semiinfinito x

S (x, t)

tosemiinfinislido

),(),(

--

=TT

TtxTtxS

ini

Pared plana x

P (x, t)

2L1

planapared

),(),(

--

=TT

TtxTtxP

ini

Cilindro infinito r

C (r, t)

ro

infinitocilindro

),(),(

--

=TT

TtrTtrC

ini

Placa semiinfinita x2

S (x1, t)P (x2, t)

2L2

x1

),(),( 21 txPtxS


36

Figura 4.2. Soluciones de conduccin transitoria de sistemas multidimensionales

expresadas como producto de soluciones de sistemas unidimensionales (continuacin).

Sistema Esquema Solucin

Barra rectangular

infinita x2

P (x1, t)P (x2, t)

2L2

x1

2L1

),(),( 21 txPtxP

Cilindro semiinfinito r

C (r, t)S (x, t)

ro

x

),(),( txStrC

Barra rectangular semiinfinita

x2

P (x1, t)P (x2, t)S (x3, t)

2L2

x1 2L1

x3

),(),(),( 213 txPtxPtxS

Paraleleppedo rectangular x2

P (x1, t)P (x2, t)P (x3, t)

2L2

x1

2L1

x3 2L3

),(),(),( 321 txPtxPtxP

Cilindro corto r

C (r, t)P (x, t)

ro

x2L1

),(),( txPtrC


37

TEMA 6. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO EXTERNO

Tabla 6.1 (Tabla 7.1 del Incropera). Funciones de capa lmite laminar para placa plana.

xu

yn

h = f

=uu

ddfh

2

2

hdfd

0 0 0 0,332 0,4 0,027 0,133 0,331 0,8 0,106 0,265 0,327 1,2 0,238 0,394 0,317 1,6 0,420 0,517 0,297 2,0 0,650 0,630 0,267 2,4 0,922 0,729 0,228 2,8 1,231 0,812 0,184 3,2 1,569 0,876 0,139 3,6 1,930 0,923 0,098 4,0 2,306 0,956 0,064 4,4 2,692 0,976 0,039 4,8 3,085 0,988 0,022 5,2 3,482 0,994 0,011 5,6 3,880 0,997 0,005 6,0 4,280 0,999 0,002 6,4 4,679 1,000 0,001 6,8 5,079 1,000 0,000

Tabla 6.2 (Tabla 7.2 del Incropera). Coeficientes de la correlacin de Hilpert para flujo de

aire cruzado sobre un cilindro.

ReD C m 0,4 - 4 0,989 0,330 4 - 40 0,911 0,385

40 - 4.000 0,683 0,466 4.000 - 40.000 0,193 0,618

40.000 - 400.000 0,027 0,805

Tabla 6.3 (Tabla 7.3 del Incropera). Coeficientes de la correlacin de Hilpert para flujo de

aire cruzado sobre un paraleleppedo.

Geometra ReD C m Cuadrado en

diagonal 5103 - 105 0,246 0,588

Cuadrado recto 5103 - 105 0,102 0,675 5103 - 1,95104 0,160 0,638 Hexgono recto 1,95104 - 105 0,0385 0,782

Hexgono en diagonal 510

3 - 105 0,153 0,638

Placa vertical 4103 - 1,5104 0,228 0,731


38

Tabla 6.4 (Tabla 7.4 del Incropera). Coeficientes de la correlacin de Zhukauskas para

flujo de aire cruzado sobre un cilindro.

ReD C m 1 - 40 0,75 0,4

40 - 1.000 0,51 0,5 103 - 2105 0,26 0,6 2105 - 106 0,076 0,7

Figura 6.1 (Figura 7.9 del Incropera). Nu local para flujo de aire cruzado sobre un cilindro.


39

Figura 6.2 (Figura 7.11 del Incropera). Disposicin de los tubos en configuracin alineada y

escalonada en un banco de tubos.

Tabla 6.5 (Tabla 7.7 del Incropera). Coeficientes de la correlacin de Zhukauskas para el

flujo cruzado sobre un banco de tubos.

Configuracin ReD,mx C m Alineado 10 - 102 0,80 0,40

Escalonado 10 - 102 0,90 0,40 Alineado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro nico

Escalonado 102 - 103 Se aproxima como un cilindro nico Alineado (ST / SL > 0,7) 103 - 2105 0,27 0,63 Escalonado (ST / SL < 2) 103 - 2105 0,35(ST / SL)1/5 0,60 Escalonado (ST / SL > 2) 103 - 2105 0,40 0,60

Alineado 2105 - 2106 0,021 0,84 Escalonado 2105 - 2106 0,022 0,84

Para ST / SL < 0,7, la transferencia de calor es ineficiente y los tubos alineados no se deben usar.

Tabla 6.6 (Tabla 7.8 del Incropera). Coeficiente de correccin C2 de la correlacin de

Zhukauskas para el flujo cruzado sobre un banco de tubos para NL < 20 y ReD > 103.

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16 Alineado 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Escalonado 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99


40

TEMA 7. CONVECCIN FORZADA EN FLUJO INTERNO

Figura 7.1 (Figura 8.9 del Incropera). Nmero de Nusselt local obtenido de soluciones de

longitud de entrada para flujo laminar en el interior de un tubo circular.

Tabla 7.1 (Tabla 8.1 del Incropera). Nmeros de Nusselt y factores de friccin para flujo

laminar completamente desarrollado en tubos de diferente seccin transversal.

khD

Nu hD =

Seccin transversal ab

sq uniforme Ts uniforme hDRef

Circular - 4,36 3,66 64 Rectangular

(a = altura, b =base) 1,0 3,61 2,98 57

Rectangular (a = altura, b =base) 1,43 3,73 3,08 59





Rectangular (a = altura, b =base) 8,23 7,54 96

Triangular - 3,11 2,47 53


41

TEMA 8. CONVECCIN LIBRE O NATURAL

Figura 8.1 (Figura 9.4 del Incropera). Perfiles de velocidad y de temperatura para la capa

lmite laminar de conveccin libre sobre una superficie vertical isoterma.

Figura 8.2 (Figura 9.6 del Incropera). Nmero de Nusselt promedio para transferencia de

calor por conveccin libre desde una placa vertical.

log10 NuL

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

LaminarC = 0,59n = 1/4

TurbulentoC = 0,10n = 1/3

log10 RaL


42

TEMA 9. RADIACIN: PROCESOS Y PROPIEDADES

Figura 9.1 (Figura 12.13 del Incropera). Distribucin de Planck. Potencia Emisiva espectral

del cuerpo negro.

Potencia emisiva espectral, Elb (W/m2mm)

0.1 0.2 0.4 0.6 1 2 4 6 10 20 40 60 10010

-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

T = 5.800 K

T = 2.000 K

T = 1.000 K

T = 800 K

T = 300 K

T = 100 K

T = 50 K

longitud de onda, l (mm)

Tabla 9.1 (Tabla 12.1 del Incropera). Funciones de radiacin de cuerpo negro.

lT (mmK) )0( l

F 5, ),(

T

TI bs

ll

(mmKsr)-1 ),(

),(

,

,

TI

TI

mxb

b

l

l

l

l

200 0,000000 0,375010-27 0,000000 400 0,000000 0,490310-13 0,000000 600 0,000000 0,104010-8 0,000014 800 0,000016 0,991110-7 0,001372

1.000 0,000321 0,118510-5 0,016406 1.200 0,002134 0,523910-5 0,072534 1.400 0,007790 0,134410-4 0,18608 1.600 0,019718 0,2491 0,3449 1.800 0,03934 0,3756 0,5199 2.000 0,06673 0,4934 0,6831 2.200 0,10089 0,589610-4 0,8163 2.400 0,14026 0,6589 0,9122 2.600 0,1831 0,7013 0,9709 2.800 0,2279 0,7202 0,9971 2.898 0,250108 0,722310-4 1,000000

lmxT = 2.898 mmK


43

Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro (continuacin).

lT (mmK) )0( l

F 5, ),(

T

TI bs

ll

(mmKsr)-1 ),(

),(

,

,

TI

TI

mxb

b

l

l

l

l

3.000 0,2732 0,720310-4 0,9971 3.200 0,3181 0,7060 0,9774 3.400 0,3617 0,6815 0,9436 3.600 0,4036 0,6504 0,9004 3.800 0,4434 0,615210-4 0,8517 4.000 0,4809 0,5781 0,8003 4.200 0,5160 0,5404 0,7481 4.400 0,5488 0,5033 0,6967 4.600 0,5793 0,4673 0,6470 4.800 0,6076 0,4331 0,5996 5.000 0,6337 0,4008 0,5549 5.200 0,6590 0,370610-4 0,5130 5.400 0,6804 0,3424 0,4741 5.600 0,7010 0,3164 0,4380 5.800 0,7202 0,2923 0,4047 6.000 0,7278 0,2701 0,3740 6.200 0,7541 0,249710-4 0,3457 6.400 0,7692 0,2310 0,3198 6.600 0,7832 0,2138 0,2960 6.800 0,7961 0,1980 0,2741 7.000 0,8081 0,1835 0,2541 7.200 0,8192 0,170310-4 0,2357 7.400 0,8295 0,1581 0,2188 7.600 0,8391 0,1469 0,2034 7.800 0,8480 0,1366 0,1891 8.000 0,8563 0,1272 0,1761 8.500 0,8746 0,106810-4 0,1478 9.000 0,8900 0,901510-5 0,1248 9.500 0,9031 0,7653 0,1060 10.000 0,9142 0,6533 0,09044 10.500 0,9237 0,5605 0,077600 11.000 0,9319 0,483310-5 0,066913 11.500 0,9400 0,4187 0,057970 12.000 0,9451 0,3644 0,050448 13.000 0,9551 0,2795 0,038689 14.000 0,9629 0,2176 0,030131 15.000 0,9700 0,171910-5 0,023794 16.000 0,9738 0,1374 0,019026 18.000 0,9809 0,908210-6 0,012574 20.000 0,9856 0,6233 0,008629 25.000 0,9922 0,2765 0,003828 30.000 0,9953 0,140510-6 0,001945


44

Tabla 9.1. Funciones de radiacin de cuerpo negro (continuacin).

lT (mmK) )0( l

F 5, ),(

T

TI bs

ll

(mmKsr)-1 ),(

),(

,

,

TI

TI

mxb

b

l

l

l

l

40.000 0,9980 0,473910-7 0,000656 50.000 0,9990 0,2016 0,000279 75.000 0,9997 0,418610-8 0,000058

100.000 0,999905 0,1358 0,000019

TEMA 10. INTERCAMBIO RADIATIVO ENTRE SUPERFICIES

Tabla 10.1 (Tabla 13.1 del Incropera). Factores de forma radiativos para geometras

bidimensionales.

Geometra Esquema Factor de forma

Placas paralelas centradas

wi

L

j

i

wj

[ ]

[ ]i

ij

i

jiij

W

WW

W

WWF

2

4)(

2

4)(

2/12

2/12

+--

-++

=

LwW ii /= LwW jj /=

Placas paralelas inclinadas de

igual anchura y una arista en

comn

j

iw

w

a

-=

21

asenFij

Placas perpendiculares con una arista en

comn

j

iwi

wj

[ ]2

)/(1)/(12/12

ijijij

wwwwF

+-+=

Recinto de tres lados

j

i

wi

wk wjk

i

kjiij w

wwwF

2

-+=


45

Tabla 10.1. Factores de forma radiativos para geometras bidimensionales (continuacin).

Geometra Esquema Factor de forma

Cilindros paralelos de radios diferentes

s

j

iri

rj

[ ]

[ ]

++-

-

--+

+---

-+-+

=

-

-

CCR

R

CCR

R

RC

RCFij

1cos)1(

1cos)1(

)1(

)1(21

1

1

2/122

2/122pp

ij rrR /= irsS /= SRC ++= 1

Cilindro y placa paralelos s1

j

i

L

r

s2

--

=--

Ls

Ls

ss

rFij

211121 tantan

Plano infinito y fila de cilindros

s j

i

D

2/1

2

221

2/12

tan180

11

-

+

+

--=

-

DDs

sD

sD

Fij

p


46

Figura 10.1 (Figura 13.4 del Incropera). Factor de forma radiativo para dos rectngulos

paralelos alineados.

j

iX

L

Y

0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 5 10 20 400.01

0.02

0.03

0.05

0.080.1

0.2

0.3

0.5

0.81

X / L

Fij

Y / L = 0,05

Y / L = 0,4

Y / L = 0,1

Y / L = 0,6

Y / L = 0,2

Y / L = 4

Y / L = 2

Y / L = 1

Y / L = 10 Y / L = inf.


47

Figura 10.2 (Figura 13.5 del Incropera). Factor de forma radiativo para dos discos

paralelos coaxiales.

j

i

L

ri

rj

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

L / ri

Fij

rj / L = 2

0,3

0,8

0,4

1,25

1

0,6

4 3

1,5

5 6 8


48

Figura 10.3 (Figura 13.6 del Incropera). Factor de forma radiativo para dos rectngulos

perpendiculares con una arista en comn.

j

iZX

Y

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Z / X

Fij

Y / X = 0,02

0,05 0,1

0,2

1

0,4

0,6

2

4

1,5

1020


49

Tabla 10.2 (Tabla 13.3 del Incropera). Intercambio neto de radiacin en recintos especiales

de dos superficies grises y difusas.

Geometra Esquema Condiciones Intercambio de radiacin

Planos paralelos grandes

(infinitos) A2, T2, e2 A1, T1, e1

plano 1

plano 2

AAA == 21 112 =F 1

11)(

21

42

41

12

-+

-=

ee

s TTAq

Cilindros concntricos

largos (infinitos)

r2r1

2

1

2

1

rr

AA

=

112 =F 21

2

2

1

42

411

12 11)(

rr

TTAq

ee

e

s-

+

-=

Esferas concntricas r2

r1

22

21

2

1

rr

AA

=

112 =F

2

2

1

2

2

1

42

411

1211

)(

-+

-=

rr

TTAq

ee

e

s

Objeto convexo pequeo en una cavidad grande

A2, T2, e2

A1, T1, e1

02

1 AA

112 =F )( 42

411112 TTAq -= se


50

TABLAS DE PROPIEDADES TERMOFSICAS Y DE FUNCIONES MATEMTICAS

Tabla A (Tabla A4 del Incropera). Propiedades termofsicas del aire a presin atmosfrica.

T (K)

r (kg/m3)

cp (J/kgK)

m107 (Ns/m2)

n106

(m2/s) k103

(W/mK) a106 (m2/s)

Pr

100 3,5562 1.032 71,1 2,00 9,34 2,54 0,786 150 2,3364 1.012 103,4 4,426 13,8 5,84 0,758 200 1,7548 1.007 132,5 7,590 18,1 10,3 0,737 250 1,3947 1.006 159,6 11,44 22,3 15,9 0,720 300 1,1614 1.007 184,6 15,89 26,3 22,5 0,707 350 0,9950 1.009 208,2 20,92 30,0 29,9 0,700 400 0,8711 1.014 230,1 26,41 33,8 38,3 0,690 450 0,7740 1.021 250,7 32,39 37,3 47,2 0,686 500 0,6964 1.030 270,1 38,79 40,7 56,7 0,684 550 0,6329 1.040 288,4 45,57 43,9 66,7 0,683 600 0,5804 1.051 305,8 52,69 46,9 76,9 0,685 650 0,5356 1.063 322,5 60,21 49,7 87,3 0,690 700 0,4975 1.075 338,8 68,10 52,4 98,0 0,695 750 0,4643 1.087 354,6 76,37 54,9 109 0,702 800 0,4354 1.099 369,8 84,93 57,3 120 0,709 850 0,4097 1.110 384,3 93,80 59,6 131 0,716 900 0,3868 1.121 398,1 102,9 62,0 143 0,720 950 0,3666 1.131 411,3 112,2 64,3 155 0,723

1.000 0,3482 1.141 424,4 121,9 66,7 168 0,726 1.100 0,3166 1.159 449,0 141,8 71,5 195 0,728 1.200 0,2902 1.175 473,0 162,9 76,3 224 0,728 1.300 0,2679 1.189 496,0 185,1 82 238 0,719 1.400 0,2488 1.207 530 213 91 303 0,703 1.500 0,2322 1.230 557 240 100 350 0,685


51

Tabla B (Tabla A5 del Incropera). Propiedades termofsicas del aceite de motor a presin

atmosfrica.

T (K)

r (kg/m3)

cp (J/kgK)

m102 (Ns/m2)

n106

(m2/s) k103

(W/mK) a107 (m2/s)

Pr b103 (K-1)

273 899,1 1.796 385 4.280 147 0,910 47.000 0,70 280 895,3 1.827 217 2.430 144 0,880 27.500 0,70 290 890,0 1.868 99,9 1.120 145 0,872 12.900 0,70 300 884,1 1.909 48,6 550 145 0,859 6.400 0,70 310 877,9 1.951 25,3 288 145 0,847 3.400 0,70 320 871,8 1.993 14,1 161 143 0,823 1.965 0,70 330 865,8 2.035 8,36 96,6 141 0,800 1.205 0,70 340 859,9 2.076 5,31 61,7 139 0,779 793 0,70 350 853,9 2.118 3,56 41,7 138 0,763 546 0,70 360 847,8 2.161 2,52 29,7 138 0,753 395 0,70 370 841,8 2.206 1,86 22,0 137 0,738 300 0,70 380 836,0 2.250 1,41 16,9 136 0,723 233 0,70 390 830,6 2.294 1,10 13,3 135 0,709 187 0,70 400 825,1 2.337 0,874 10,6 134 0,695 152 0,70 410 818,9 2.381 0,698 8,52 133 0,682 125 0,70 420 812,1 2.427 0,564 6,94 133 0,675 103 0,70 430 806,5 2.471 0,470 5,83 132 0,662 88 0,70


52

Tabla C (Tabla A6 del Incropera). Propiedades termofsicas del agua saturada.

T (K)

P (bar)

1/r103 (m3/kg)

hfg (kJ/kg)

cp (J/kgK)

m106 (Ns/m2)

k103 (W/mK)

Pr b106 (K-1)

273,15 0,00611 1,000 2.502 4.217 1.750 569 12,99 -68,05 275 0,00697 1,000 2.497 4.211 1.652 574 12,22 -32,74 280 0,00990 1,000 2.485 4.198 1.422 582 10,26 46,04 285 0,01387 1,000 2.473 4.189 1.225 590 8,81 114,1 290 0,01917 1,001 2.461 4.184 1.080 598 7,56 174,0 295 0,02617 1,002 2.449 4.181 959 606 6,62 227,5 300 0,03531 1,003 2.438 4.179 855 613 5,83 276,1 305 0,04712 1,005 2.426 4.178 769 620 5,20 320,6 310 0,06221 1,007 2.414 4.178 695 628 4,62 361,9 315 0,08132 1,009 2.402 4.179 631 634 4,16 400,4 320 0,1053 1,011 2.390 4.180 577 640 3,77 436,7 325 0,1351 1,013 2.378 4.182 528 645 3,42 471,2 330 0,1719 1,016 2.366 4.184 489 650 3,15 504,0 335 0,2167 1,018 2.354 4.186 453 656 2,88 535,5 340 0,2713 1,021 2.342 4.188 420 660 2,66 566,0 345 0,3372 1,024 2.329 4.191 389 668 2,45 595,4 350 0,4163 1,027 2.317 4.195 365 668 2,29 624,2 355 0,5100 1,030 2.304 4.199 343 671 2,14 652,3 360 0,6209 1,034 2.291 4.203 324 674 2,02 697,9 365 0,7514 1,038 2.278 4.209 306 677 1,91 707,1 370 0,9040 1,041 2.265 4.214 289 679 1,80 728,7

373,15 1,0133 1,044 2.257 4.217 279 680 1,76 750,1 375 1,0815 1,045 2.252 4.220 274 681 1,70 761 380 1,2869 1,049 2.239 4.226 260 683 1,61 788 385 1,5233 1,053 2.225 4.232 248 685 1,53 814 390 1,794 1,058 2.212 4.239 237 686 1,47 841 400 2,455 1,067 2.183 4.256 217 688 1,34 896 410 3,302 1,077 2.153 4.278 200 688 1,24 852 420 4,370 1,088 2.123 4.302 185 688 1,16 1.010 430 5,699 1,099 2.091 4.331 173 685 1,09 440 7,333 1,110 2.059 4.360 162 682 1,04 450 9,319 1,123 2.024 4.400 152 678 0,99 460 11,71 1,137 1.989 4.440 143 673 0,95 470 14,55 1,152 1.951 4.480 136 667 0,92 480 17,90 1,167 1.912 4.530 129 660 0,89 490 21,83 1,184 1.870 4.590 124 651 0,87 500 26,40 1,203 1.825 4.660 118 642 0,86


53

Tabla D (Tabla B.1 del Incropera). Funciones hiperblicas.

x senh x cosh x tanh x x senh x cosh x tanh x 0,00 0,0000 1,0000 0,00000 2,00 3,6269 3,7622 0,96403 0,10 0,1002 1,0050 0,09967 2,10 4,0219 4,1443 0,97045 0,20 0,2013 1,0201 0,19738 2,20 4,4571 4,5679 0,97574 0,30 0,3045 1,0453 0,29131 2,30 4,9370 5,0372 0,98010 0,40 0,4108 1,0811 0,37995 2,40 5,4662 5,5569 0,98367 0,50 0,5211 1,1276 0,46212 2,50 6,0502 6,1323 0,98661 0,60 0,6367 1,1855 0,53705 2,60 6,6947 6,7690 0,98903 0,70 0,7586 1,2552 0,60437 2,70 7,4063 7,4735 0,99101 0,80 0,8881 1,3374 0,66404 2,80 8,1919 8,2527 0,99263 0,90 1,0265 1,4331 0,71630 2,90 9,0596 9,1146 0,99396 1,00 1,1752 1,5431 0,76159 3,00 10,018 10,068 0,99505 1,10 1,3356 1,6685 0,80050 3,50 16,543 16,573 0,99818 1,20 1,5095 1,8107 0,83365 4,00 27,290 27,308 0,99933 1,30 1,6984 1,9709 0,86172 4,50 45,003 45,014 0,99975 1,40 1,9043 2,1509 0,88535 5,00 74,203 74,210 0,99991 1,50 2,1293 2,3524 0,90515 6,00 201,71 201,72 0,99999 1,60 2,3756 2,5775 0,92167 7,00 548,32 548,32 1,0000 1,70 2,6456 2,8283 0,93541 8,00 1.490,5 1.490,5 1,0000 1,80 2,9422 3,1075 0,94681 9,00 4.051,5 4.051,5 1,0000 1,90 3,2682 3,4177 0,95624 10,00 11.013 11.013 1,0000

Tabla E (Tabla B.2 del Incropera). Funcin gaussiana de error.

x erf (x) x erf (x) x erf (x) 0,00 0,00000 0,36 0,38933 1,04 0,85865 0,02 0,02256 0,38 0,40901 1,08 0,87333 0,04 0,04511 0,40 0,42839 1,12 0,88679 0,06 0,06762 0,44 0,46623 1,16 0,89910 0,08 0,09008 0,48 0,50275 1,20 0,91031 0,10 0,11246 0,52 0,53790 1,30 0,93401 0,12 0,13476 0,56 0,57162 1,40 0,95229 0,14 0,15695 0,60 0,60386 1,50 0,96611 0,16 0,17901 0,64 0,63459 1,60 0,97635 0,18 0,20094 0,68 0,66378 1,70 0,98379 0,20 0,22270 0,72 0,69143 1,80 0,98909 0,22 0,24430 0,76 0,71754 1,90 0,99279 0,24 0,26570 0,80 0,74210 2,00 0,99532 0,26 0,28690 0,84 0,76514 2,20 0,99814 0,28 0,30788 0,88 0,78669 2,40 0,99931 0,30 0,32863 0,92 0,80677 2,60 0,99976 0,32 0,34913 0,96 0,82542 2,80 0,99992 0,34 0,36936 1,00 0,84270 3,00 0,99998

-=w u duew

0

22 erf

p ww erf1 erfc -=


54

Tabla F (Tabla B.3 del Incropera). Primeras cuatro races de la ecuacin trascendental,

xntan(xn) = Bi, para conduccin transitoria en una pared plana.

khL

Bi = x1 x2 x3 x4

0 0,0000 3,1416 6,2832 9,4248 0,001 0,0316 3,1419 6,2833 9,4249 0,002 0,0447 3,1422 6,2835 9,4250 0,004 0,0632 3,1429 6,2838 9,4252 0,006 0,0774 3,1435 6,2841 9,4254 0,008 0,0893 3,1441 6,2845 9,4256 0,01 0,0998 3,1448 6,2848 9,4258 0,02 0,1410 3,1479 6,2864 9,4269 0,04 0,1987 3,1543 6,2895 9,4290 0,06 0,2425 3,1606 6,2927 9,4311 0,08 0,2791 3,1668 6,2959 9,4333 0,1 0,3111 3,1731 6,2991 9,4354 0,2 0,4328 3,2039 6,3148 9,4459 0,3 0,5218 3,2341 6,3305 9,4565 0,4 0,5932 3,2636 6,3461 9,4670 0,5 0,6533 3,2923 6,3616 9,4775 0,6 0,7051 3,3204 6,3770 9,4879 0,7 0,7506 3,3477 6,3923 9,4983 0,8 0,7910 3,3744 6,4074 9,5087 0,9 0,8274 3,4003 6,4224 9,5190 1,0 0,8603 3,4256 6,4373 9,5293 1,5 0,9882 3,5422 6,5097 9,5801 2,0 1,0769 3,6436 6,5783 9,6296 3,0 1,1925 3,8088 6,7040 9,7240 4,0 1,2646 3,9352 6,8140 9,8119 5,0 1,3138 4,0336 6,9096 9,8928 6,0 1,3496 4,1116 6,9924 9,9667 7,0 1,3766 4,1746 7,0640 10,0339 8,0 1,3978 4,2264 7,1263 10,0949 9,0 1,4149 4,2694 7,1806 10,1502

10,0 1,4289 4,3058 7,2281 10,2003 15,0 1,4729 4,4255 7,3959 10,3898 20,0 1,4961 4,4915 7,4954 10,5117 30,0 1,5202 4,5615 7,6057 10,6543 40,0 1,5325 4,5979 7,6647 10,7334 50,0 1,5400 4,6202 7,7012 10,7832 60,0 1,5451 4,6353 7,7259 10,8172 80,0 1,5514 4,6543 7,7573 10,8606 100,0 1,5552 4,6658 7,7764 10,8871

1,5708 4,7124 7,8540 10,9956


55

Tabla G (Tabla B.4 del Incropera). Funciones de Bessel de primera clase.

x J0(x) J1(x) 0,0 1,0000 0,0000 0,1 0,9975 0,0499 0,2 0,9900 0,0995 0,3 0,9776 0,1483 0,4 0,9604 0,1960 0,5 0,9385 0,2423 0,6 0,9120 0,2867 0,7 0,8812 0,3290 0,8 0,8463 0,3688 0,9 0,8075 0,4059 1,0 0,7652 0,4401 1,1 0,7196 0,4709 1,2 0,6711 0,4983 1,3 0,6201 0,5220 1,4 0,5669 0,5419 1,5 0,5118 0,5579 1,6 0,4554 0,5699 1,7 0,3980 0,5778 1,8 0,3400 0,5815 1,9 0,2818 0,5812 2,0 0,2239 0,5767 2,1 0,1666 0,5683 2,2 0,1104 0,5560 2,3 0,0555 0,5399 2,4 0,0025 0,5202


56

Tabla H (Tabla B.5 del Incropera). Funciones de Bessel modificadas de primera y segunda

clase.

x e-xI0(x) e-xI1(x) exK0(x) exK1(x) 0,0 1,0000 0,0000 0,2 0,8269 0,0823 2,1408 5,8334 0,4 0,6974 0,1368 1,6627 3,2587 0,6 0,5993 0,1722 1,4167 2,3739 0,8 0,5241 0,1945 1,2582 1,9179 1,0 0,4658 0,2079 1,1445 1,6362 1,2 0,4198 0,2153 1,0575 1,4429 1,4 0,3831 0,2185 0,9881 1,3011 1,6 0,3533 0,2190 0,9309 1,1919 1,8 0,3289 0,2177 0,8828 1,1048 2,0 0,3085 0,2153 0,8416 1,0335 2,2 0,2913 0,2121 0,8057 0,9738 2,4 0,2766 0,2085 0,7740 0,9229 2,6 0,2639 0,2047 0,7459 0,8790 2,8 0,2528 0,2007 0,7206 0,8405 3,0 0,2430 0,1968 0,6978 0,8066 3,2 0,2343 0,1930 0,6770 0,7763 3,4 0,2264 0,1892 0,6580 0,7491 3,6 0,2193 0,1856 0,6405 0,7245 3,8 0,2129 0,1821 0,6243 0,7021 4,0 0,2070 0,1788 0,6093 0,6816 4,2 0,2016 0,1755 0,5953 0,6627 4,4 0,1966 0,1725 0,5823 0,6454 4,6 0,1919 0,1695 0,5701 0,6292 4,8 0,1876 0,1667 0,5586 0,6143 5,0 0,1835 0,1640 0,5478 0,6003 5,2 0,1797 0,1614 0,5376 0,5872 5,4 0,1762 0,1589 0,5280 0,5749 5,6 0,1728 0,1565 0,5188 0,5634 5,8 0,1697 0,1542 0,5101 0,5525 6,0 0,1667 0,1521 0,5019 0,5422 6,4 0,1611 0,1479 0,4865 0,5232 6,8 0,1561 0,1441 0,4724 0,5060 7,2 0,1515 0,1405 0,4595 0,4905 7,6 0,1473 0,1372 0,4476 0,4762 8,0 0,1434 0,1341 0,4366 0,4631 8,4 0,1399 0,1312 0,4264 0,4511 8,8 0,1365 0,1285 0,4168 0,4399 9,2 0,1334 0,1260 0,4079 0,4295 9,4 0,1305 0,1235 0,3995 0,4198 9,6 0,1278 0,1213 0,3916 0,4108

10,0 1,0000 0,0000 )()/()()( xIxnxIxI nnn 211 -= -+


57

ALFABETO GRIEGO

Maysculas Minsculas Nombre

A a alfa

B b beta

G g gamma

D d delta

E e psilon

Z z seta o zeta

H h eta

Q q zeta o theta

I i iota

K k kappa o cappa

L l lambda

M m my o mu

N n ny o nu

X x xi

O o micron

P p pi

R r ro o rho

S s, V sigma

T t tau

U u psilon

F j fi o phi

C c ji

Y y psi

W w omega

Tecnologa Energtica Frmulas de Energa Solar Fotovoltaica

1

TEMA 6. ENERGA SOLAR FOTOVOLTAICA

FRMULAS

Ecuacin caracterstica de una clula fotovoltaica:

shmKT

IRVq

DLshdL IeIIIiIIs

-

--=--=

+

1)(

.

Tensin de circuito abierto:

=

=

D

LT

D

Loc I

ImV

II

qmKT

V lnln , siendo q

KTVT = .

Intensidad de cortocircuito: Isc IL.

Intensidad y tensin en el punto de mxima potencia: )1( dLmp cII--= y

-@

cc

VV ocmpln

1 ,

siendo D

L

II

c ln1+= y 1+

=c

cd .

Potencia de una clula fotovoltaica: P = VI.

Factor de forma de una clula fotovoltaica: scoc

mpmp

IV

IVSF

= .

Rendimiento de una clula fotovoltaica: GAP

=h .

Eficiencia de una clula comercial: [ ])(1 cellrefref TT -+= bhh .

Ecuacin caracterstica de un mdulo o panel fotovoltaico: sh

saIRV

DL RIRV

eIIIs +

-

--=

+

1 ,

siendo sNqmKT

a = , donde m es el coeficiente de recombinacin de la clula (1 < m < 3); K

es la constante de Boltzmann (1,3810-23 J/K); q es la carga del electrn (1,610-19 C); T es la

temperatura en K y Ns es el nmero de clulas del mdulo.

Intensidad de corriente de polarizacin inversa: aV

LD

oc

eII-

= .

Resistencia en serie: mp

ocmpL

mp

s I

VVI

Ia

R

+-

-

=

1ln

.

Tecnologa Energtica Frmulas de Energa Solar Fotovoltaica

2

Ecuaciones de Townsend para tener en cuenta el efecto de la temperatura:

refref TT

aa

= ; [ ])(,, refscirefLref

L TTIGG

I -+= m ;

-

=

T

T

aN

TT

II ref

ref

s

refrefD

D 1exp3

,

e.

Coeficiente de variacin de la intensidad de cortocircuito con la temperatura:

12

1,2,, TT

II

dTdI TscTscsc

sci -

-@=m .

Coeficiente de variacin de la tensin de circuito abierto con la temperatura

12

1,2,, TT

VV

dTdV TocTococ

ocv -

-@=m

=

KA

CA

.

3

,

,

,,

-

+-=

refL

refsci

srefocrefocvref

I

TNVT

am

em

=

KV

CV

(En esta frmula la temperatura va en K).

Mtodo simplificado para sistemas aislados:

1) [ ]TH ; 2) [ ]D ; 3) [A], Ajk = jkTH , / kD ; 4) Ap,min = mnimo de los mximos de cada

inclinacin (Ajk); 5) [ ]

[ ] kW/msun standard 1kWh/m days ofn.

2

2, jkT

h

HN = ; 6)

[ ][ ] h

kWh days ofn.

h

k

ND

P = ; 7)

m

ns V

Vnp = ; 8)

smp npP

Pnp

= .

Clculo del sistema de almacenamiento:

1) [Nau]; 2) Au = max [Nauk kD ]; 3) 100

100 PDAu

CB = , con PD100 = 40-70%; 4)

[ ] [ ][ ]VWh

Ah 100100nV

CBCB = ; 5)

1010 PD

DFCB = , con PD10 > 20%.

Tecnologa Energtica Frmulas de Energa Solar Trmica

1

TEMA 5. ENERGA SOLAR TRMICA

FRMULAS

Constante solar: Gc = 1.367 W/m2.

Da medio del mes: n = 17, 47, 75, 105, 135, 162, 198, 228, 258, 288, 318, 344.

Constante solar del da n:

+=

365360

cos034,01n

GG ccn .

Declinacin solar del da n:

+=

365)284(

360sin45,23n

d .

Relacin entre coordenadas ecuatoriales y horizontales:

wdda coscoscossinsinsincos LLz +== y wad

g sincoscos

sin = .

ngulo del ocaso o semingulo horario del da n: )tantancos( arc dw Ls -= .

Irradiancia solar extraterrestre sobre superficie horizontal:

+== 2m

W)coscoscossin(sinsin wdda LLGGG cncno .

Irradiacin horaria solar extraterrestre sobre superficie horizontal:

++=

hmJ

24coscoscossinsin3600 2

pwdd LLGI cno .

Irradiacin diaria solar extraterrestre sobre superficie horizontal:

+=

daymJ

sincoscossinsin360

23600242s

scno LLGH wdd

pwp

.

Irradiacin diaria solar extraterrestre sobre superficie horizontal promedio de un mes:

=

daymJ

)daymean month theof( 2oo HH .

Irradiacin horaria (de una hora concreta) solar extraterrestre sobre superficie horizontal

promedio de un mes:

=

hmJ

)daymean month theofhour theof( 2oo II .

Irradiancia extraterrestre sobre superficie inclinada: iGG cnoi cos= .

ndice de claridad horario promedio del mes: oT IIk = .


2

ndice de claridad diario promedio del mes: o

T HH

K = .

Relacin entre la irradiacin difusa y la irradiacin global para valores diarios promedios del

mes sobre superficie horizontal terrestre: 32 11,353,503,439,1 TTTd KKK

HH

-+-= , con

75,017,0


3

Relacin entre la irradiacin directa sobre una superficie inclinada y otra horizontal para

valores diarios promedios del mes (con g = 0):

ss

ss

b

LL

sLsLR

wddpw

wddwp

sincoscossinsin180

)sincos(cos)sin(sin180

+

-+-

= .

ngulo del ocaso o semingulo horario del da n para superficie inclinada:

[ ]{ }ddw )tantan(cos arc ; )tantancos( arc sLLMINs ---= .

Grados-da: +-=yearmonth

outin TTDD,

)( .

Clculo de la carga trmica anual requerida por un edificio en funcin de los grados-da:

DDUATTUAQi

ioutin )(365

1, =-=

=

+ .

Producto de la transmisividad por la absortividad de un colector solar: b

sc rata

ta)1(1

)(--

= .

Radiacin absorbida por un colector solar durante una hora promedio de un mes:

gdbddbbbscTs

IIs

IRIIS )(2cos1

)()(2cos1

)()( tartatata

-++

++==

hmJ2 .

Radiacin absorbida por un colector solar durante un da promedio de un mes:

gddbbbscTs

Hs

HRHHS )(2cos1

)(2cos1

)()( tartatata

-+

++==

daymJ

2.

Calor til diario u horario obtenido en un colector solar promedio de un mes en funcin de la

temperatura media de la placa absorbedora, Tp:

-

-

= )(Km

WdaymJ

or hm

J222

TTUSAQ pLpu

--

= h

Jhm

J)(3600

hmJ

22 TTUSAQ pLpu

-

-

= day

JdaymJ

)(152

3600daymJ

22TTUSAQ p

sLpu

w.


4

Factor de eficiencia de un colector solar:

[ ]

+

+-

=

infifL

L

DhDDdUd

UF

ph1

)(1

/1, siendo

( )[ ]( ) 2/

2/tanhDdm

Ddmf -

-=h y m = (UL/kpt)1/2.


temperatura media del fluido, Tf, por unidad de longitud del colector solar:

-

-= )(15

23600 TTUSFdQ f

sLu

w

daymJ

or hm

J.

Factor de evacuacin del calor de un colector solar:

--=

p

Lp

Lp

pR cm

FUA

UA

cmF

&

&exp1 .


temperatura media del fluido a la entrada del colector, Tf,in:

-

-= )(15

23600 , TTUSFAQ inf

sLRpu

w

day

Jor

hJ

.

Ecuacin fundamental de un colector solar:

[ ])()( ,,, --=-= TTUSFATTcmQ infLRpinfoutfpu & con valores de S en J/m2h en J/m2da.

Eficiencia o rendimiento de un colector solar: Tp

u

Tp

u

Tp

u

IAQ

HAQ

dtGA

dtqor ==

h

T

infLRR

Tp

infoutfp

Tp

u

H

TTUFF

HA

TTcm

HAQ --=

-== ,,, )(

)(tah

&

T

infLRR

Tp

infoutfp

Tp

u

I

TTUFF

IA

TTcm

IAQ --=

-== ,,, )(

)(tah

&.

Eficiencia o rendimiento normalizado de un colector solar:

*10

)( TU

F LR -= tah , siendo TT

infR I H

TTFT

or 10 ,*

-= .

Rango de valores de aplicacin del mtodo f-Chart: 0,6 < (ta)b < 0,9; 5 cAF 120 m2; 2,1

UL 8,3 W/m2K; 30 s 90; 83 ULAc 667 W/K.

Clculo de la carga trmica:

fórmulas y tablas de ingeniería térmica - (tecnun)

Documents