Clasificación de Secciones

Introducción

Las secciones estructurales, sean laminadas o armadas, se pueden considerar como un conjunto de chapas,algunas son internas (p.e. las almas de las vigas abiertas o las alas de las vigas cajón) y otras son externas (p.e.las alas de las secciones abiertas y las alas de los angulares) – figura 1. Dado que las chapas que constituyen lassecciones estructurales son relativamente delgadas comparadas con sus anchos, cuando están sometidas acompresión (consecuencia de cargas axiles aplicadas a la sección completa o como consecuencia de esfuerzosde flexión) pueden pandear localmente. La predisposición de cualquier elemento chapa que constituye lasección transversal a pandear, puede limitar la capacidad de dicha sección para soportar carga axil, o bienlimitar su resistencia a flexión al impedir que se alcance el limite elástico. Evitar que aparezca un falloprematuro debido a los efectos del pandeo local es posible limitando la relación ancho-espesor para cada chapaindividual que constituye la sección transversal. En esto se basa la idea de la clasificación de secciones.

Externo

InternoAlma

Ala

Alma

Interno

Ala(a) Sección I laminada (b) Sección hueca

Ala

(c) Sección cajón soldada

InternoExterno

InternoAlma

Figura 1 Elementos internos o externos

Clasificación

El EC3 define cuatro clases de secciones transversales. La clase en la que una sección particular alcanza elagotamiento depende de la esbeltez de cada elemento (definida mediante una relación ancho-espesor) y de ladistribución de tensiones de compresión: uniforme, linealmente variable... Las clases se definen en términos desus requerimientos de resistencia a los momentos flectores:

Clase 1 Las secciones transversales en las que se puede formar una rótula plástica con la capacidad de girorequerida para un análisis plástico.

Clase 2 Las secciones transversales en las que se puede alcanzar el momento plástico, pero con una capacidadde giro limitada. Por tanto no resultan indicadas para las estructuras diseñadas mediante un análisis plástico.

Clase 3 Las secciones transversales en las que la tensión en la fibra más comprimida de la pieza puede alcanzarel límite elástico pero en las que la abolladura local puede impedir alcanzar el momento plástico.

Clase 4 Las secciones transversales en las que para determinar su resistencia a momento flector o a lacompresión, es necesario tener en cuenta explícitamente los efectos locales de abolladura.

Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas

2

Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas

Máximas relaciones anchura espesor en piezas comprimidas

3

Piezas sometidas a Tracción

IntroducciónEl diseño básico de una pieza a tracción es muy simple – aportar la suficiente sección transversal para resistir elesfuerzo aplicado. Una vez que se ha obtenido la magnitud del esfuerzo a soportar y la resistencia del material hasido establecida, es posible calcular el área requerida de la sección transversal. Sin embargo, la unión de laspiezas traccionadas es, lo mismo que para otros tipos de piezas, una consideración muy importante a tener encuenta dado que en muchos casos puede gobernar el diseño de la pieza siendo un criterio básico en el diseño yselección de una sección.

Normalmente las piezas traccionadas se diseñan utilizando perfiles laminados (Angulares, IPs, HEs, UPN),barras o chapas. Esta lección se refiere al diseño de piezas traccionadas constituidas a partir de dichas seccionessometidas a cargas estáticas – no se consideran cables.

ConexionesEs habitual asumir que la distribución de tensiones de tracción en una pieza traccionada es uniforme. Noobstante las conexiones de la pieza pueden afectar la validez de esta suposición de dos modos. En primer lugar,si se emplean tornillos el área de la sección transversal se reduce debido a los agujeros practicados y lastensiones alrededor de los agujeros se incrementan localmente tal y como se muestra en la figura 1. En segundolugar, cierta excentricidad en las conexiones es a menudo inevitable y por lo tanto aparecen momentossecundarios. Estos problemas pueden ser tenidos en cuenta utilizando para el cálculo de la resistencia plástica dediseño, un área neta efectiva en lugar de la sección bruta.

x

T T T T

Fy

(a)

(b) Tensiones elásticas (c) Tensiones últimas

σ

σ0

4

Figura 1 Distribución de tensiones en una sección con agujeros

Resistencia de la Sección TransversalPara piezas no conectadas mediante tornillos, la resistencia a tracción de cálculo es la resistencia plástica decálculo de la sección transversal bruta. Dada por:

NAf

pl Rdy

M. =

γ 0 (1)

donde

A es el área bruta de la sección transversal

fy es el límite elástico del acero

γ M0 es el coeficiente parcial de seguridad del acero.

Para piezas atornilladas la resistencia de la sección se debilita debido a la reducción del área de la seccióntransversal por la presencia de agujeros y se requiere una comprobación adicional. A pesar de que los agujerosinducen concentraciones de tensiones (figura 1) la ductilidad del acero permite asumir una distribución detensiones uniforme a través de la sección neta en el estado límite último. De este modo la resistencia última decálculo de la sección neta se tomará como:

NA f

u Rdnet u

M

. ,= 0 92γ

(2)

donde

Anet es el área neta de la sección transversal

fu es la resistencia última de tracción del acero

γM2 es el coeficiente parcial de seguridad para la resistencia de la sección neta, el cual tendrá probablemente un

valor diferente de γ M0

El factor 0,9 es un coeficiente de reducción para tener en cuenta las excentricidades, concentración de tensiones,etc. La resistencia a tracción de cálculo (Nt.Rd) se toma entonces como el menor valor de los proporcionados

por las ecuaciones (1) y (2), y se debe comparar con el valor de cálculo del esfuerzo de tracción aplicado (Nsd).

Determinación del área netaEl área neta de la sección transversal se obtiene deduciendo de la sección bruta los agujeros de los tornillos yotras aberturas. (Para angulares conectados por un ala, y secciones en T y en U conectadas por las alas se aplicanreglas especiales). Por cada agujero, la deducción es el área de la sección bruta transversal del agujero - véasefigura 2. Cuando los tornillos están alineados, el área total a deducir de cualquier sección transversalperpendicular al eje de la pieza es la máxima suma de las áreas seccionales de los agujeros. Cuando los tornillosestán colocados al tresbolillo el área total a deducir es la mayor de las áreas obtenida para los agujeros cruzandouna sección transversal perpendicular o la suma de las áreas de todos los agujeros en cualquier línea diagonal oen zigzag que cruce la pieza menos s2t/4p por cada espacio transversal en la cadena de agujeros – ver figura 2.

5

Diámetro agujero, d

Espesor chapa, t

p

s s

1,2

2 1

Dirección dela tracción

B

En la sección 1-1,

Área neta = B·t – d·t - El área mínima se toma como Anet

En la sección 2-2,

Área neta = B·t – 2·d·t + s t

4p

2

- El área mínima se toma como Anet

donde s: es el paso entre agujeros paralelo al eje de la piezap: es el espacio entre líneas medido perpendicularmente al eje de la pieza (en piezas con agujeros en más de un plano, p se medirá a lo largo de la línea trazada por la mitad del espesor de la sección)

p

Figura 2 Área neta

6

Vigas lateralmente arriostradas

IntroducciónLas vigas son tal vez los elementos estructurales más básicos. Es posible utilizar una gran variedad de formas desección para las vigas dependiendo de la magnitud de las cargas y de la luz, como se muestra en la Tabla 1

Tipo de viga Rango de

luces (m)

Notas

0. Angulares 3 - 6 Empleadas para correas de cubierta,fachadas, etc. Allí donde se requierasoportar cargas ligeras.

1. Secciones conformadasen frío

4 - 8 Empleadas para correas de cubierta,fachadas, etc. Allí donde se requierasoportar cargas ligeras.

2. Perfiles laminados UB,IPE, UPN, HE

1 - 30 Resultan ser los tipos de sección másutilizados; las relaciones espesor/anchode sus elementos están pensadas paraeliminar diversos tipos de fallos

3. Viguetas de almaabierta

4 - 40 Se trata de vigas prefabricadas a partirde angulares o tubos como cordones yredondos para las diagonales del alma;usadas en lugar de perfiles laminados.

4. Vigas de alma aligerada 6 - 60 Utilizadas para luces importantes y/ocargas ligeras, la altura del perfil debase se incrementa en un 50%. Lasaberturas del alma se pueden emplearpara paso de servicios, etc.

5. Secciones compuestasp.e. IPE + UPN

5 - 15 Empleadas cuando un único perfillaminado no proporciona la suficientecapacidad resistente. A menudo sedisponen de modo que sean capaces dedesarrollar también, buena resistencia ala flexión horizontal.

6. Vigas armadas planas 10 - 100 Elaboradas soldando 3 chapas (típico:alas + alma). La altura del alma puedellegar hasta los 3-4m. Con frecuenciaprecisan ser rigidizadas.

7. Vigas en cajón 15 - 200 Fabricadas a partir de chapas casisiempre rigidizadas. Utilizadas parapuentes y mástiles de grúas dado subuen comportamiento a torsión y suelevada rigidez transversal.

Tabla 1 Típicas secciones de vigas para varias aplicaciones

A menudo las vigas de acero pueden diseñarse simplemente sobre la base de su resistencia al momento flector(asegurándonos de que el momento de agotamiento de la sección transversal seleccionada supera el máximomomento aplicado) y de su rigidez, esto es, que la viga no se deforme tanto que pueda afectar sus condiciones deservicio.

7

Las vigas que son incapaces de desplazarse lateralmente y salirse por tanto de su plano de flexión lasdenominamos “vigas arriostradas”, y debido a su restricción lateral no se encuentran afectadas por situaciones depandeo lateral.

Las vigas se pueden considerar arriostradas si:

• Un arriostramiento transversal completo lo proporciona por ejemplo un forjado acoplado al ala superior deuna viga simplemente apoyada que lo soporte (muchos diseñadores consideran la fricción generada entre losa dehormigón y viga de acero para constituir una sujeción efectiva).

• El adecuado arriostramiento transversal del ala comprimida lo proporciona, por ejemplo la chapa perfilada decubierta.

• Se disponen elementos de arriostramiento suficientemente próximos entre sí de modo que la esbeltez relativaal eje débil sea menor (véase vigas no arriostradas para detalles).

Adicionalmente, las secciones flectadas alrededor de su eje débil no fallan debido a inestabilidad por pandeolateral y es improbable que secciones con elevada rigidez torsional y lateral (p.e. secciones tubularesrectangulares) fallen por este motivo. El material presentado en este tema presupone un adecuado arriostramientolateral de las vigas. En la práctica es responsabilidad del diseñador asegurar que los detalles estructurales sonconsistentes con tal suposición.

Resistencia a momento flectorEn una viga simplemente apoyada de un solo vano, como se muestra en la figura 1, el fallo se produce cuando elvalor de cálculo del momento flector (Msd) supera la resistencia de cálculo a flexión de la sección transversal,cuya magnitud depende de la forma de la sección, la resistencia del material y de la clasificación de la sección.En situaciones en las que el esfuerzo cortante sobre la sección transversal sea suficientemente pequeño parapoder despreciar su influencia sobre la resistencia a flexión de la sección (EC3 establece un valor del cortante del50% de la resistencia plástica a cortante), la resistencia de cálculo a flexión de la sección (Mc,Rd) se puede tomarcomo:

• Para secciones de clases 1 y 2, el momento resistente plástico de cálculo de la sección bruta

Mc.Rd = Mpl.Rd = W fpl y

M

.

γ 0

(1)

• Para secciones de clase 3, el momento resistente elástico de cálculo de la sección bruta

Mc.Rd = Mel.Rd = W fel y

Mγ 0

(2)

• Para secciones de clase 4, la resistencia a pandeo local de cálculo

Mc.Rd = Mo.Rd = W feff y

M

.

γ 1

(3)

8

A

B

F

F

F

L/2 L/2

Carga aplicada

Fp

Fy

Flecha en el centroδ

θ θ

2θ

PlásticoElastoplástico

Elástico

Figura 1 – Comportamiento de una viga simplemente apoyada

Si hubiera agujeros para tornillos en el ala traccionada de la sección transversal que se comprueba, se requiereadicionalmente chequear que la relación entre la sección neta y la bruta del ala no es tan pequeña como para quese produzca el fallo por tracción en la sección neta antes de que la sección bruta haya superado el límite elástico.

Esta verificación que es la misma que la dada para piezas dúctiles traccionadas, queda satisfecha probando que larelación Af.net/Af para el ala traccionada no es menor que 0,81 o 0,88 para aceros S275 y S355 respectivamentesiendo los espesores de ala menores de 40mm.

Cuando la relación Af.net/Af es inferior al límite dado, se puede tomar un área reducida del ala (Af) que satisfaga ellímite establecido. Es decir el área reducida del ala será el resultado de dividir Af.net por el valor límite. Losagujeros para los tornillos en la zona traccionada del alma deberían ser considerados de modo similar.

Conviene apuntar que para estructuras continuas (estáticamente indeterminadas) el momento resistente de cálculoen el punto de máximo momento obtenido a partir de un análisis elástico no conducirá normalmente al colapso(véase figura 2). En su lugar la sección transversal en dicho punto se comportará como una rótula (una vezprobado que cumple el requisito de la capacidad de rotación) y el modelo de momentos sobre la estructuravariará de la distribución elástica original a medida que las sucesivas rótulas se formen.

La redistribución de momentos permite a la estructura soportar cargas más allá de las que producen la primerarótula hasta que se hayan formado las rótulas suficientes para transformar la estructura en un mecanismo. Estosería un diseño plástico y requiere una sección transversal que pueda girar mientras soporta el momentoresistente plástico. Es decir se precisa una sección de clase 1.

9

Carga F Elasto-plásticoF F

F F

L/2 L/2 L/2 L/2

Plástico

Comportamientode acuerdo conla teoríaplástica simple

Comportamiento real

F F

Elástico

A B C

F F

L L

Fc

F1st hinge

Fyield

θ θ θ θ

2θ 2θ

Flecha bajo carga δ

Figura 2 - Curva carga flecha para una viga estáticamente indeterminada

Resistencia a cortanteEl momento flector gobierna el diseño de las vigas de acero pero la resistencia que se precisa a cortante puedeser significativa en el caso de vigas cortas con cargas concentradas elevadas. La figura 3 muestra la distribucciónde tensiones tangenciales en una sección I suponiendo un comportamiento elástico. Casi todo el esfuerzo cortantees soportado por el alma y dado que la variación de tensiones tangenciales a lo largo del alma es muy pequeña essuficientemente preciso suponer en el cálculo una tensión tangencial media uniforme sobre el alma.

10

τ max

V

ht=

3

2

h

Sección transversal

b

h

Sección transversal

τ τ

Variación de tensionestangenciales τ

τ

τ

Variación de tensionestangenciales τ

t f

tw

ττττ ====Vhb

4I

ττττmax

Vhb

2I

h

4b==== ++++

1

ττττ ====Vhb

2I

Figura 3 –Distribución de tensiones tangenciales en vigas

En un estado tensional de cortadura simple (solo tensiones tangenciales) el acero se agota al alcanzar una tensión

tangencial de yf3/1 . Por tanto, el valor de cálculo del esfuerzo cortante (Vs.d) en cada sección transversal se

compara con el valor de cálculo de la resistencia plástica a cortante Vpl.Rd del área de cortante (Av).

V Avf

pl Rdy

MO.

( / )=

3

γ(4)

Áreas de cortante para un rango de tipos de sección se muestran en la tabla 2.

La ecuación 4 es válida para almas que sean lo suficientemente robustas para que la abolladura por cortante nosea posible. La resistencia a abolladura por cortante deberá comprobarse si la esbeltez del alma (d/tw) supera los63,8 o 56,1 para aceros de grado S275 y S355 respectivamente.

11

Tabla 2 Areas de cortante Av para secciones típicas

Laminados Carga paralela alalma

1,04 h tw * htw

Perfiles I y H Armados

Carga paralela alalma

(h - 2tf) tw

htw

Carga paralela a lasalas

A- (h - 2tf) tw *d

tw

Perfiles laminados UPN Carga paralela alalma

1,04 h tw * htw

Perfiles laminados angulares Carga paralela allado mayor

h t ht

Perfiles laminados huecos

Carga paralela allado mayor

Ah/(b + h) **

h

brectangulares de espesor uniforme

Carga paralela allado menor

Ah/(b + h) **

h

b

Perfiles huecos circulares y tubos de espesor uniforme 0,6 A **

Chapas y piezas sólidas A **

* Se trata de una fómula aproximada. Valores más precisos de Av para perfiles laminados se pueden obtener a partir delas expresiones siguientes:

• Para perfiles I y H: Av = A - 2btf + (tw + 2r) tf• Para perfiles en U: Av = A - 2btf + (tw + 2r) tf Es conveniente tener en cuenta que 1,04/√3 = 0,60 y así para perfiles laminados en I, H o U:

Vpl.Rd = 0,60 h tw fy / γM0** A es el área total de la sección transversal

12

Resistencia a momento flector y esfuerzo cortanteCuando el esfuerzo cortante supere el 50% del valor de cálculo de la resistencia plástica a esfuerzo cortante, elmomento resistente de cálculo de la sección transversal se debe de reducir para tener en cuenta la interacciónflector+cortante. Se asume que bajo una combinación de tensiones normales y tangenciales el agotamiento vienedado por la fórmula de interacción.

σ τ

τfy y

+

=

2 2

1 (5)

El momento plástico de cálculo de una sección que debe de soportar un esfuerzo cortante significativocoexistente con el momento flector se calcula empleando un límite elástico reducido para el área de cortante.Este límite elástico reducido depende de la relación entre el esfuerzo cortante solicitante y el correspondientevalor de agotamiento y viene dado por la expresión.

pV

Vsd

pl Rd

= −

21

2

.

(6)

Siendo (1-p)fy el límite elástico reducido para el área de cortante. Así, para una viga con sección en I o H,flectada alrededor de su eje de mayor inercia, lo anterior conduce a una resistencia plástica de cálculo a flexiónreducida (Mv.Rd) en presencia de cortante significativo.

M WpA f

v Rd plv

tw

y

Mo. = −

2

4 γ(7)

Flexión esviadaLas vigas flectadas respecto de ambos ejes de la sección transversal poseen un eje neutro plástico inclinadorespecto de los anteriores una magnitud que depende de la relación entre los momentos aplicados y de la formaprecisa de la sección. La figura 4 (ESDEP 7.8.2. Fig11) muestra la curva de interacción para total plasticidad deuna sección en I bajo carga biaxial. La forma de la interacción puede expresarse mediante

M

Mc

M

My Sd

yRd

z Sd

czRd

. .

.

+

α β

(8)

Comprobaciones de servicioAdemás de las comprobaciones de resistencia mencionadas anteriormente, es necesario verificar elcomportamiento de las vigas frente a los estados límites de servicio. Las flechas y vibraciones de las vigas debende limitarse para evitar situaciones indeseables que afecten a la apariencia o al uso eficaz de la estructura,provocando problemas a sus usuarios o dañando otros elementos del edificio. Los límites admisibles para lasflechas deberían ser acordados entre el cliente de la estructura, su diseñador y las autoridades competentes. Comoguía la tabla 3 da unos valores límites recomendados para flechas verticales.

Límites

Condiciones δmax δ2

Techos en general L/200 L/250Techos con utilización frecuente por personasdistintas de las encargadas del mantenimiento

L/250 L/300

13

Suelos en general L/250 L/300Suelos y techos que soporten escayola u otrosacabados frágiles, o tabiques no flexibles.

L/250 L/350

Suelos que soporten pilares (a no ser que laflecha haya sido incluida en el análisis globalpara el estado limite último)

L/400 L/500

Donde δmax pueda empeorar la apariencia deledificio

L/250 -

Tabla 3 Valores límite recomendados para flechas verticales

Para estructuras abiertas al público es importante asegurar que las oscilaciones y vibraciones no son tan grandescomo para causar molestias a sus usuarios. La verificación de la conveniencia de un diseño puede realizarsemediante un análisis dinámico pero en muchos casos con limitar la flecha es suficiente. Por ejemplo, lafrecuencia natural más baja para los forjados de piso en viviendas y oficinas debería ser superior a 3ciclos/segundo. Esta condición será satisfecha si la flecha total instantánea (véase tabla 3) es menor de 28mm.Para pisos en gimnasios o salas de baile, la frecuencia natural más baja no debería ser inferior a 5 ciclos/segundo.En este caso una flecha límite de 10mm permitiría satisfacer la condición.

Las cubiertas planas (pendientes menores de 5º) son vulnerables a las goteras si la cubierta se deforma de modoque pueda embalsarse agua. Es por tanto necesario controlar cuidadosamente las deformaciones incluyendo lastolerancias de ejecución, asientos de cimentaciones, deformaciones de los materiales de cubierta, etc.

14

Vigas no arriostradas

IntroducciónCuando un elemento estructural esbelto es cargado en su plano de mayor rigidez surge una tendencia de dichoelemento a agotarse por pandeo en un plano más flexible. En el caso de una viga sometida a flexión alrededor desu eje de mayor inercia, el fallo puede sobrevenir debido a un modo de pandeo que incluye tanto la deformaciónlateral como el alabeo de la viga y que denominamos pandeo lateral. La figura 1 ilustra el fenómeno sobre unaménsula solicitada por una carga puntual vertical en su extremo libre.

Peso muerto

carga aplicada

verticalmente

Posición

deformada

Posición

descargada

Extremo

empotrado

Figura 1 Pandeo lateral de una ménsula esbelta

Si la ménsula fuera perfectamente recta y su sección transversal fuera perfectamente elástica y estuvierainicialmente libre de tensiones, el extremo de la ménsula se deformaría solamente según el plano vertical sindeformación fuera de dicho plano hasta que el momento aplicado alcanzase un valor crítico a partir del cual laviga pandease lateralmente. Un procedimiento de diseño para vigas susceptibles de fallar por pandeo lateralprecisa tener en cuenta un gran número de factores – incluyendo la forma de la sección, el grado dearriostramiento lateral, el tipo de carga, la distribución de tensiones residuales, las imperfecciones iniciales – ypor lo tanto es bastante complejo. Es conveniente en un principio considerar un modelo básico queposteriormente pueda desarrollarse para incluir casos más generales.

Pandeo elástico de una viga simplemente apoyadaLa figura 2 muestra una viga en I inicialmente recta y perfectamente elástica, solicitada por dos momentosiguales y de sentido contrario aplicados en los extremos respecto del eje de mayor inercia (en el plano del alma).La viga no se encuentra arriostrada a lo largo de su longitud salvo en las secciones extremas donde tienenimpedidos mediante un apoyo de horquilla, el desplazamiento lateral y el alabeo pero tienen libertad para girartanto en el plano del alma como en el plano horizontal. La forma de la viga alabeada y las deformacionesresultantes se muestran también en la figura (nótese que sólo se muestra media viga, y las deformacionesacotadas se refieren a la mitad de la luz).

15

Planta

M M

L

Alzado Perfil

u

y

φ

z

x

Figura 2 Pandeo lateral de una viga I simplemente apoyada solicitada pormomento flector uniforme

El momento necesario para provocar el pandeo lateral puede obtenerse teniendo en cuenta el efecto perturbadorde los momentos aplicados en los extremos, actuando a través de la viga deformada, sobre la resistencia internade la sección (torsional y a flexión). El valor crítico de los momentos aplicados en los extremos, el denominadomomento crítico elástico (Mcr), vale

Mcr = π

π

2

2

2

2

0 5EI

L

I

I

L GI

EIz w

z

t

z

+

.

(1)

donde

It es el módulo de torsión; Iw es el módulo de alabeoIz es el momento de inercia respecto del eje débil; L es la longitud sin arriostrar de la viga.

La presencia de rigidez a flexión (EIz) y rigidez torsional (GIt y EIw) en la ecuación es una consecuenciadirecta de los componentes laterales y torsionales en las deformaciones. La importancia relativa de estos itemsdependerá del tipo de sección transversal considerada. La figura 3 ilustra este punto comparando el momentocrítico elástico de una sección en cajón (la cual posee elevadas rigideces torsional y de flexión) con seccionesabiertas de diversas formas.

16

0 10 20 30 40 50 60 70

0.001

0.01

0.1

1.0

Relación longitud altura

Relación entre M

y el M para una

sección en cajón

cr

cr

Figura 3 Efecto de la forma de la sección transversal sobre el momentocrítico elástico teórico

La figura 4 compara valores del momento crítico elástico (Mcr) para una viga en I y otra en H con capacidadessimilares de momento plástico en el plano de flexión. El pandeo lateral es una consideración de diseñopotencialmente más significativa para la sección de viga que presenta una rigidez lateral y torsional muchomenor.

2 4 6 8 10 12 14 160

2

4

6

8

10

12

14

254x254 UC 89

457x152 UB 60

L

254x254 UC 89457x152 UB 60

W (cm )pl

y

J (cm )

w

1284

25464

794

386700

1228

14307

4849

716400

Sección - H

M M

18 20

L (m)

M

M

31,5 97,6

z

(cm )

(cm )

(cm )

Sección -

4

4

4

4

3

Ι

Ι

Ι

Ιcr

p

Figura 4 Comparación de momentos críticos elásticos para secciones en Iy H

Desarrollo de un procedimiento de diseño

17

En la realidad las vigas no son perfectamente rectas ni el material es elástico. La Figura 5 muestra los efectosde las tensiones residuales y del endurecimiento por deformación sobre la resistencia a pandeo lateral. Nóteseque para valores de esbeltez elevada el comportamiento está bien representado por la teoría de pandeoelástico pero en las vigas robustas hay una interacción compleja a medida que el comportamiento anelásticoprovoca una reducción de la capacidad, y para vigas muy robustas la capacidad esta limitada por la resistenciaplástica de la sección. La aplicación de un tratamiento teórico del problema sería demasiado complejo para eldiseño habitual de modo que se precisa combinar la teoría con los resultados de ensayos para disponer de unmétodo de diseño fiable (seguro).

Figura 5 Resistencias de pandeo lateral de vigas I biapoyadas

La Figura 6 compara un conjunto típico de datos obtenidos de ensayos de pandeo lateral con los momentoscríticos elásticos teóricos dados por la ecuación 1. Se ha usado un gráfico adimensional dado que permiterepresentar los resultados de diferentes series de ensayos (que presentan diferentes secciones transversales y

resistencias del material) para ser comparados directamente por medio de una esbeltez adimensional, λ LT.

Para vigas robustas ( λ LT < 0.4) la capacidad resistente no se encuentra afectada por el pandeo lateral y esta

gobernada por el momento resistente plástico de la sección transversal. Las vigas esbeltas ( λ LT > 1.2) tienen

capacidades resistentes próximas al momento crítico elástico teórico, Mcr. Sin embargo, las vigas con unaesbeltez intermedia, que representan muchas vigas en la práctica, están afectadas negativamente y de modosignificativo por la inelasticidad y por las imperfecciones geométricas y por ello la teoría elástica proporcionauna envolvente superior de la solución. Se requiere una expresión de cálculo que permita ligar la capacidadplástica de las vigas robustas con el comportamiento elástico de vigas esbeltas. El EC3 proporciona en estesentido una solución mediante el empleo de un coeficiente de reducción por pandeo lateral, χ LT.

18

Pandeo elástico

Plasticidad total M=Mp

Vigas sin tensiones residuales

Vigas soldadas con tensiones residuales

Vigas laminadas con tensiones residuales

M

Relación de esbeltez L/ry

Momento crítico adimensional M/M

y

Endurecimientopor deformación

M

M

Mpl

0L

i z

Stocky Intermediate Slender

M

M

cr

pl

0

Robusta Intermedia Esbelta

cr

pl

(a) Comparison of test data w ith

M

pl

pl

cr

0,2

0,8

0,6

0,4

0,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,2

0,4 0,6 0,8 1,2 1,41,0

0,4 0,6 0,8 1,2 1,41,0

1,0

M

M

M

M

M

λ =LT

cr

Figura 6 Comparación de datos de ensayos con los momentos críticoselásticos teóricos

La resistencia de cálculo al pandeo lateral (Mb.Rd) de una viga sin arriostramiento lateral viene dado entoncescomo :

Mb.Rd = χ LT βw Wpl.y fy/γm1 (2)

dicho valor es de hecho la resistencia plástica de la sección multiplicada por el coeficiente de reducción ( χ

LT). La Figura 7 muestra la relación entre χ LT y la esbeltez adimensional, λLT

Las curvas mostradas están expresadas por

χ LT = [ ]12 2 0 5

φ φ λLT LT LT+ −. (3)

donde

+−+= 2)2.0(15.0 LTLTLTLT λλαφ (4)

en la cual αLT es un coeficiente de imperfección, tomado como 0,34 para perfiles laminados y 0.49 parasecciones armadas, con sus tensiones residuales más severas.

19

0

Vigas armadas

Perfiles laminados

Esbeltez λLT

χ LT

Coeficiente de reducción

0,5 1,0 1,5 2,0

0,2

0,4

0,6

1,0

1,0

Figure 11 Lateral-torsional buckling

Figura 7 Coeficiente de reducción de pandeo lateral

La esbeltez adimensional λLT , definida como M MbRd cr/ , puede obtenerse bien calculando el

momento resistente plástico y el momento crítico elástico (véase Appendix F.1) o más convenientemente pormedio de la relación:

λLT =λ

λβLTw

1

0 5

. (5)

donde

5.0

y1 f

E

= πλ (6)

y λLT puede calcularse utilizando las expresiones apropiadas para una variedad de formas de sección (véaseApendice F.2.2.). Por ejemplo, para una viga lisa (sin rebordes) en I o H con alas iguales, y sometida amomento uniforme con apoyos extremos simples,

0.252

f

z

zLT

h/t

L/i

20

11

L/i

+

=λ (7)

20

Extensión a otros casos

1. Tipo de cargaUn momento uniforme aplicado a una viga no arriostrada es la situación más severa que podemos considerarpara el pandeo lateral. Un análisis elástico de casos de carga alternativos proporciona valores más altos paralos correspondientes momentos críticos. Por ejemplo, el momento crítico elástico para una momentouniforme es (reorganizando la ec. (1))

t2

w2

tzcr GIL

EI1GIEI

LM

ππ+= (8)

Pero para una viga con una carga puntual en el centro el momento crítico de pandeo lateral es:

t2

w2

tzcr GIL

EI1GIEI

L

4.24M

π+= (9)

lo que significa un valor 4.24/π veces mayor que el caso de partida. El EC3 emplea un factor C1, Figura 8(dependiente del aspecto del diagrama de momentos.) para permitir que en otras situaciones de carga, elmomento crítico se pueda incrementar adecuadamente. El coeficiente C1 aparece como un simplemultiplicador en las expresiones del Mcr (véase EC3 ec. F.2) o bien como 1 1/ C en las expresiones quepermiten obtener λLT.

Viga

y cargas

Momento

flectorM C

max 1

M M

M

M -M

F

F

FF

F

M

M

M

FL

4

FL

8

FL

4

3FL

16

1,00

1,879

2,752

1,365

1,132

1,046

0,68

π 21+ EIw

L2 GJM = C π

LEI GJcr 1

= = = =

= =

Figure 9 Equivalent uniform moment factors

,m, for simply supported beams

Nota: Los valores corresponden a un factor de longitud efectiva k de 1,0

Figura 8 Coeficientes C1 de momento uniforme equivalente

21

.2. Punto de aplicación de la cargaLa estabilidad lateral de una viga no solo depende de la disposición de las cargas a lo largo de su luz sinotambién de la posición en donde se aplica la carga relativa al centro de gravedad de la sección. La Figura 9ilustra el efecto que tendría el posicionar la carga por encima o por debajo del centroide para una viga de unsolo vano con una carga puntual en el centro del vano

F

F

F

10 100 10001

a= d/2

a= 0

a= d/2

F

L GIEI

2t

w

Factor de m

omento uniform

e equivalente m

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

Figure 10 Effect of level of loading on beam

Figura 9 Efecto de posición de la carga en la estabilidad de la viga

Las cargas aplicadas sobre el ala superior aumentan el efecto desestabilizador como consecuencia delmomento de alabeo adicional provocado por la acción de la carga que no pasa por el c.d.g. de la sección. Lainfluencia de este comportamiento se hace más significativa a medida que el canto de la viga aumenta y/o laluz se reduce dado que L2GIt/EIw se hace menor. De nuevo el EC3 tiene en cuenta esta situaciónintroduciendo un factor C2 en la ecuación general del momento crítico elástico y en las expresiones para λLT

(véase EC3 ec. F.27 - F.31).

3. Condiciones de vinculación en los extremosEn todo el planteamiento anterior se han supuesto condiciones de vinculación en los extremos que nopermiten el movimiento lateral ni el alabeo de dichas secciones pero si permiten su giro en el plano de la viga.Las vinculaciones extremas que restringen el giro en el plano, aumentan la resistencia a pandeo elástico (en elmismo sentido que las capacidades resistentes de los pilares se ven incrementadas mediante las restriciones algiro de sus extremos). Un modo apropiado de incluir el efecto de diversas condiciones de vinculación esredefinir la longitud sin arriostrar de la viga como un longitud efectiva, o bien de forma más precisa mediantedos coeficientes de longitud efectiva., K y Kw. Los coeficientes reflejan los dos tipos posibles de restricciónen los extremos, coacción a la flexión y coacción al alabeo. Sin embargo debe tenerse en cuenta que resultarecomendable que Kw valga 1,0 a no ser que se hayan tomado medidas especiales para evitar el alabeo de losextremos. El EC3 recomienda valores para K de 0.5 en extremos empotrados, 0.7 para piezas con un extremoarticulado y el otro empotrado y por supuesto 1.0 para piezas con sus dos extremos articulados. La elecciónde K se deja al criterio del diseñador.

4. Vigas con arriostramientos laterales intermediosCuando las vigas dispongan de puntos de arriostramiento lateral intermedios a lo largo de su luz, cada

22

segmento de viga entre arriostramientos puede estudiarse por separado. En este caso el diseño de la vigaestará basado en el segmento más crítico. Para las longitudes de las vigas entre arriostramientos deberemosemplear un coeficiente de longitud efectiva K de 1.0 no 0.7, dado que en la forma pandeada la longitud sinarriostrar adyacente pandeara en sintonía.

5. Vigas contínuasLas vigas contínuas por encima de un número de vanos pueden tratarse como vanos individuales teniendo encuenta la forma del diagrama de momentos flectores en cada uno de los vano como un resultado de lacontinuidad y empleando el coeficiente C1.

23

Pilares

IntroducciónEl término “pieza comprimida” generalmente se utiliza para describir elementos estructurales sometidossolamente a cargas axiles de compresión; este término puede describir pilares (bajo condiciones especiales decarga) pero generalmente se refiere a barras comprimidas con los extremos articulados pertenecientes acelosías, vigas de celosía o elementos de arriostramiento. Si estas piezas están sometidas a momentosimportantes añadidos a las cargas axiales son denominados vigas-pilares.

Esta lección se refiere a las piezas comprimidas y, por lo tanto, concierne a muy pocos pilares reales dado quelas excentricidades de las cargas axiales y las fuerzas transversales normalmente no son despreciables. Noobstante los elementos comprimidos representan un caso elemental que conduce al entendimiento de losefectos de la compresión en el estudio de las vigas-pilar. Dado que la mayoría de las piezas de acerocomprimidas son mas bien esbeltas es fácil que puedan pandear. La lección describe brevemente lasdiferentes clases de piezas comprimidas y explica el comportamiento de los pilares esbeltos y los pilaresrobustos. También se dan las curvas de pandeo utilizadas para el diseño de pilares esbeltos.

Pilares poco esbeltosLos pilares robustos tienen una esbeltez muy baja de manera que no se ven afectados por el pandeo global dela pieza. En tales casos la capacidad de la pieza a compresión viene dada por la resistencia a compresión de lasección transversal, que es función de la clasificación de la sección. Las secciones transversales de clases 1, 2,3 no están afectadas por pandeo local y de ahí que la resistencia de cálculo a compresión se tome como laresistencia plástica,

Nc.Rd = Np Rd = Afy /γΜ0 (1)Para secciones transversales de clase 4, el pandeo local en uno o mas elementos de la sección transversalimpide alcanzar la carga de agotamiento por compresión y así la resistencia a compresión de la pieza estálimitada a la resistencia a pandeo local,

Nc.Rd = No Rd = Aefffy /γΜ1

Donde Aeff es el área de la sección transversal efectiva determinada de acuerdo con el apartado 5.3.5. (ver

también lección de Pandeo Local).

Pilares esbeltos de aceroDependiendo de su esbeltez, los pilares presentan dos tipos diferentes de comportamiento: los que tienen unaesbeltez alta, que presentan un comportamiento a pandeo cuasi elástico mientras que los que tienen unaesbeltez media son muy sensibles a los efectos de las imperfecciones.

Si ℓcr es la longitud crítica, la carga crítica de Euler Ncr es igual a:

NEI

crcr

=π2

2ℓ

(3)

y es posible definir la tensión crítica de Euler σcr como:

σπ

crcr

cr

N

A

EI

A= =

2

2ℓ

(4)

Introduciendo el radio de giro, i= I A/ , y la esbeltez, λ = ℓcr i/ , para el modo significativo de pandeo, la

24

ecuación(4) se transforma en:

σπ

λcrE

=2

2 (5)

Trazando la curva σcr en función de λ en un gráfico (Figura 1), de modo que la línea horizontal represente la

plasticidad perfecta, σ = fy , es interesante observar las zonas idealizadas que representan el fallo por pandeo,

el fallo por rebasar el límite elástico y la zona de seguridad.

Fallo por haber rebasado

el límite elástico

Fallo porpandeo

Curva de pandeo

de Euler

Pf

σ

λ λ

y

1

Figura 1Curva de pandeo de Euler y modos de fallo

El punto de intersección P, de las dos curvas representa el valor teórico máximo de la esbeltez de un pilarcomprimido para que falle al rebasar el límite elástico. Esta limitación de la esbeltez cuando σcr es igual allímite elástico del acero viene dada por:

λ π ε10 5 93 9= =[ / ] ,,E f

y (6)

donde:

ε = [ / ] ,235 0 5f y (7)

Por lo tanto λ1 es igual a 93,9 para un acero tipo Fe430 y 76,4 para un acero tipo Fe510.

25

La figura 1 debe ser redibujada ahora de modo adimensional, ver figura 2, dividiendo la tensión crítica de

Euler por el límite elástico ( / )σcr yf y la esbeltez por la esbeltez límite ( / )λ λ1 . Esto es útil dado que el

mismo gráfico puede aplicarse entonces a barras de diferentes esbelteces y resistencias.

σ/ fy

1P

1λ/λ

1

Figura 2Curva de pandeo adimensional

El comportamiento real de los pilares de acero es bastante diferente del comportamiento ideal que acabamosde describir. Los pilares fallan generalmente por pandeo anelástico antes de alcanzar la carga de pandeo deEuler debido a diversas imperfecciones en el elemento “real”: falta de rectitud inicial, tensiones residuales,excentricidad de cargas axiales aplicadas y endurecimiento por deformación. Las imperfecciones afectan alpandeo y, por lo tanto, a la resistencia última del pilar. Estudios experimentales de pilares reales proporcionanlos resultados que se muestran en la figura 3

26

σ

fy

P

Esbeltez media Esbeltez elevada

Punto de

inflexión

λλ 1

Figura 3 – Resultados de ensayos en pilares reales y curvas de pandeoComparado con las curvas teóricas, el comportamiento real muestra mayores dispersiones en el intervalo deesbelteces medias que en el intervalo de esbelteces elevadas. En la zona de esbelteces medias (que representaa la mayoría de los pilares), el efecto de las imperfecciones estructurales es significativo y debe serconsiderado cuidadosamente. La mayor reducción en el valor teórico se produce en la región de la esbeltezlímite λ1. La curva límite inferior se ha obtenido de un análisis estadístico de los resultados de ensayos yrepresenta el límite seguro para la carga.

Un pilar puede ser considerado esbelto si su esbeltez es mayor que la correspondiente al punto de inflexión dela curva límite inferior, mostrada en la figura 3. La carga última para dichos pilares esbeltos es similar a lacarga crítica de Euler (Ncr) y es por tanto independiente del límite elástico.

Los pilares de esbelteces medias son aquellos cuyo comportamiento se desvía mas de la teoría de Euler.Cuando se produce el pandeo, algunas fibras ya han alcanzado el límite elástico y la carga última no sólo esuna función de la esbeltez; cuanto más numerosas son las imperfecciones, mayor es la diferencia entre elcomportamiento real y el teórico. La falta de rectitud y la presencia de tensiones residuales son lasimperfecciones que presentan un efecto más significativo en el comportamiento de este tipo de pilares. Lastensiones residuales pueden distribuirse de forma variada a través de la sección tal y como se observa en lafigura 4. Las tensiones residuales combinadas con las tensiones debidas a las cargas axiales hacen que sealcance el límite elástico en la sección transversal y por lo tanto el área efectiva capaz de resistir las cargasaxiles se reduce.

27

≈ 0,3 f

compresióny

≈ 0,2 fytracción

≈ 0,2 fcompresión

y

Ejemplo de tensiones residualesdebidas a laminación en caliente

Ejemplo de tensiones residuales por soldadura

(a)

N/A

+ = o

fyσR

σn < fy

σnalcanzando f yCombinación con tensiones axiales

(b)

Figura 4 Muestra de distribución de tensiones residuales

Una falta inicial de rectitud eo, produce un momento flector provocando una tensión máxima de flexión σB

(ver Figura 5a), que añadida a la tensión residual, σR da la distribución de tensiones mostrada en la Figura

5b. Si σmax supera el límite elástico la distribución final será parcialmente plástica y ciertas secciones de lapieza se habrán agotado en compresión tal como se observa en la Figura 5c.

28

N

N

e

N/A

P

P

Zonaagotada

(a)

(b)

(c)

e0

σB

σBσR σmax

+ + =

Figura 5 Pieza a compresión parcialmente agotada

Esbeltez adimensional λ

El Eurocódigo EC3 define la esbeltez adimensional λ de la manera siguiente:

5,0

=

cr

y

AN

Afβλ (8)

Dicha expresión puede ser escrita y usada de forma más conveniente como sigue:

[ ] 5,0

1Aβ

λλ

λ

= (9)

Curvas de pandeo ECCS

29

Las curvas de pandeo ECCS están basadas en los resultados de más de 1000 ensayos sobre varios tipos depiezas (I H T [ ⊥ ) Ο), con diferentes valores de esbeltez (entre 55 y 160). Un método probabilista,utilizando la resistencia experimental, asociada con un análisis teórico, permite el dibujo de las curvas querepresentan la resistencia del pilar como una función de la esbeltez de referencia. Se han tenido en cuenta unaimperfección geométrica semisinusoidal de magnitud igual a 1/1000 de la longitud del pilar y los efectos detensiones residuales relativas a cada tipo de sección transversal.

Las curvas de pandeo ECCS (a, b, c o d) se muestran en la Figura 6. Estas proporcionan el valor para elcoeficiente de reducción χ de la resistencia del pilar como una función de la esbeltez de referencia paradiferentes tipos de secciones transversales (referidas a diferentes valores del coeficiente de imperfección α ).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3

a

b

c

d

λ

Figura 6 – Curvas Europeas de pandeo

El EC3 expresa las curvas por medio de la expresión matemática para χ :

χφ φ λ

=+ −

≤1

12 2 0 5[ ] ,

(10)

donde:

φ α λ λ= + − +0 5 1 0 22

, [ ( , ) ] (11)

La tabla 5.5.2 del EC3 proporciona los valores del coeficiente de reducción χ como una función de laesbeltez de referencia λ .El coeficiente de imperfección α depende de la forma de la sección transversal del pilar considerado, de ladirección en la que puede ocurrir el pandeo (eje y o eje z ) y del proceso de fabricación utilizado en la piezacomprimida (laminación en caliente, soldado o conformado en frío); los valores para α , que se incrementancon las imperfecciones, se dan en la Tabla 1.

Curva de pandeo a0 a b c dCoeficiente de imperfecciónα 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

Tabla 1 Coeficientes de imperfección

La Tabla 2 ayuda a seleccionar la curva de pandeo apropiada en función del tipo de seccióntransversal, de sus límites dimensionales y de los ejes sobre los que la pieza pueda pandear.

5.5.3

30

31

Tabla 2 Selección de la curva de pandeo apropiada para una sección

32

Etapas para el diseño de piezas a compresiónPara diseñar una pieza a compresión simple es necesario primeramente evaluar sus dos longitudes efectivas,en relación a sus dos ejes principales, teniendo presente las vinculaciones en sus extremos. El procedimientode comprobación debería realizarse de la manera siguiente:

• Las características geométricas de la forma y su límite elástico dan la esbeltez de referencia λ .

• χ se calcula teniendo en cuenta el proceso de fabricación y los espesores, utilizando una de las curvas de

pandeo y λ .

La resistencia a pandeo de una pieza a compresión se realiza mediante la siguiente expresión:

1

.M

y

ARdb

AfN

γχβ= (12)

.

donde βA = 1 para secciones transversales de clase 1, 2, 3 y βA = A Aeff / para secciones transversales declase 4.

Si éste valor es mayor que la carga axial de cálculo el pilar resulta aceptable; si no es así, deberemos probarcon otra sección mayor.

33