formulación de problemas

1

Formulación de problemas

Ejemplo sencillo de producción Fábrica de muebles

Dos productos: sillas modelo A y B Demanda estimada (máxima):

A: 100 B: 400 Beneficios por unidad:

A: 6000 B: 3000 Requisitos de producción:

A: 20 hh B: 15 hh Disponibilidad de trabajadores: 5000

hh/mes

2


Función objetivo: beneficiosmax 6000 xA + 3000 xB

Restricciones: Capacidad de fabricación

20 xA + 15 xB 5000 Límites de demanda

0 xA 100 , 0 xB 400

3


Planteamiento: max 6000 xA + 3000 xB

s.a 20 xA + 15 xB 5000

0 xA 100

0 xB 400

4


Estimación costes generación eléctrica Obtener función cuadrática de costes

c (x ) = a + b x + c x 2

Dados un conjunto de observaciones,( xi , yi )

Encontrar la mejor función cuadrática que se ajuste a ellas

Mínimo error en el ajuste

5


DatosPPootteenncciiaa CCoossttee

113300 55880066114400 66114422114455 77333366118800 1111225599220000 1133446644221100 1144993355223355 1166222200224400 1177888844225500 1199996688225555 1199660066

Cost es gener aci ón

0

5000

10000

15000

20000

25000

100 150 200 250 300

Pot enci a

Co

st

e

6


Planteamiento Función objetivo( 5806 - a - b 130 - c 1302 )2 + ( 6142 - a -

b 140- c 1402 )2 + ( 7336 - a - b 145 - c 1452 )2 +

... En formato compacto

min i ( yi - a - b xi - c xi 2 )2

Función cuadrática de a, b, c


Problema de transporte Descripción del problema:

Atender demanda de dos productos PR1 y PR2

Para cuatro clientes C1, C2, C3 y C4 Desde tres almacenes A1, A2 y A3

Se dispone de datos sobre demandas, capacidades y costes

77


Datos: Capacidades de almacenesAlmacén A1 Almacén A2 Almacén A3

8500 11500 10300Demandas de clientes

Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4Producto PR1 1700 1200 1100 1000Producto PR2 750 950 500 450

Coste de transporte PR1 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4Almacén A1 9 46 39 28Almacén A2 22 23 12 30Almacén A3 24 20 50 13

Coste de transporte PR2 Cliente C1 Cliente C2 Cliente C3 Cliente C4Almacén A1 12 55 40 32Almacén A2 25 27 15 35Almacén A3 28 70 56 18

88


Otros datos:Espacio ocupado por los productos

Producto PR1 Producto PR2 3 5

Costes fijos: Independientes de la cantidad Cada envío supone unos costes de 5000

¿Tiempos de entrega? Se ignoran

99


Planteamiento del problema: Variables:

Cantidades a transportar desde cada almacén i a cada cliente j de cada producto k, xijk

Función objetivo:Minimizar los costes de transporte totales

minx ijk cijk xijk

1010


Planteamiento del problema: Función objetivo:

9x111 + 12x112 + 46x121 + 55x122 + 39x131 + 40x132

+ 28x141 + 32x142 + 22x211 + 25x212 + 23x221

+ 27x222 + 12x231 + 15x232 + ...

Restricciones: Satisfacción de la demanda de cada cliente

i xijk = djk j,k

1111


Restricciones: Formulación de satisfacción de demandax111 + x211 + x311 = 1700, x112 + x212 + x312 = 750,

x121 + x221 + x321 = 1200, ...

Capacidad de los almacenesk ek j xijk vi i

Formulación3(x111+x121+x131+x141) + 5 (x112+x122+x132+x142) 8500,

3(x211+x221+x231+x241) + 5 (x212+x222+x232+x242) 11500,

...

1212


Modelo resultante (un producto): min 9x11 + 22x21 + 24x31 + 46x12 + 23x22 + 20x32 + 39x13 + 12x23 +

50x33

+ 28x14 + 30x24 + 13x34

s.a x11 + x21 + x31 = 1700 x12 + x22 + x32 = 1200 x13 + x23 + x33 = 1100 x14 + x24 + x34 = 1000 x11 + x12 + x13 + x14 1500 x21 + x22 + x23 + x24 2500 x31 + x32 + x33 + x34 1500 xij 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3,4

Solución: x11 = 1500, x21 = 200, x22 = 700, x23 = 1100, x32 = 500, x34 = 1000

1 = -13, 2 = 0, 3 = -3, 1 = 22, 2 = 23, 3 = 12, 4 = 16 1313

14


Problema de transporte Formulación en AMPL

1414

set ORIG; # orígenesset DEST; # destinosparam supply {ORIG} >= 0; # cantidades disponibles en orígenesparam demand {DEST} >= 0; # cantidades a servir en destinos check: sum {i in ORIG} supply[i] >= sum {j in DEST} demand[j];param cost {ORIG,DEST} >= 0; # costes de transporte por unidadvar Trans {ORIG,DEST} >= 0; # número de unidades a transportarminimize total_cost: sum {i in ORIG, j in DEST} cost[i,j] * Trans[i,j];subject to Supply {i in ORIG}: sum {j in DEST} Trans[i,j] = supply[i];subject to Demand {j in DEST}: sum {i in ORIG} Trans[i,j] = demand[j];


Planteamiento del problema: Otras restricciones:

Variables no pueden tomar valores negativos,

xijk 0 Otras consideraciones:

Costes fijos de envío: Sumar 5000 a la función objetivo por cada

variable distinta de cero

1515


Planteamiento del problema: Costes fijos de envío:

Se introducen nuevas variables, zijk

Estas variables valen: 1 si se produce un envío (si xijk > 0) 0 si no se produce

Término adicional en la función objetivo:

...+5000 ijk xijk

1616


Planteamiento del problema: Relación entre las variables x y z :

xijk K zijk

donde K es constante suficientemente grande (mayor que cualquier valor razonable de x )

Condición sobre z :zijk {0,1} i,j,k

1717


Campaña de publicidad Se quiere llevar a cabo una campaña

de promoción de un nuevo producto Para ello se dispone de un

presupuesto a invertir en diferentes medios publicitarios

El objetivo es alcanzar la mayor audiencia posible de clientes potenciales

1818


Campaña de publicidad Medios disponibles:

televisión, revistas, radio, periódicos, buzoneo

Datos Audiencia Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo

3 2 1 1,5 2Costes

Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo 6 2,5 1 1,2 1

Recursos necesarios Televisión Revistas Radio Periódicos Buzoneo

MáximoEscritores 12 5 2 4 3 200Ilustradores 12 8 0 6 4 300Auxiliares 2 2 2 2 2 200

1919


Campaña de publicidad Otros datos:

Presupuesto: 100 millones de Pta Campaña debe utilizar al menos tres

medios Audiencia que se alcanza invirtiendo z

millones de Pta. en un medio:

a z 0,7

donde a constante indicada en la tabla

2020


Campaña de publicidad Variables:

unidades de publicidad compradas a cada medio, xi

Función objetivo: audiencia alcanzada,

i ai xi

o en el caso no lineal,

i ai xi0,7

2121


Campaña de publicidad Restricciones

Presupuesto: i ai xi P

Disponibilidad de recursos: i rij xi dj j

No negatividad: xi 0 Número mínimo de medios:

i zi 3, xi K zi , zi {0,1} i

zi k xi ¿ valor de k ?

2222


Asignación de tripulaciones Determinar:

Número de tripulaciones a tener disponibles durante los próximos meses

Las tripulaciones pueden tomarse de una reserva, o devolverse a dicha reserva

Se desea emplear el número mínimo de tripulaciones necesario

2323


Asignación de tripulaciones Condiciones:

Se deben cubrir las horas de vuelo:Noviembre 440Diciembre 580Enero 600Febrero 420

Cada tripulación puede hacer un máximo de 40 h. de vuelo al mes

2424


Asignación de tripulaciones Otras condiciones:

Cada nueva tripulación debe ser entrenada

Durante el primer mes, entrenamiento cuesta 10 h. a nueva tripulación y a una tripulación ya veterana

Como máximo pueden tomarse de la reserva tres tripulaciones en un mes

2525


Asignación de tripulaciones Variables:

Tripulaciones asignadas cada mes, xt

Var. auxiliares para facilitar la formulación Número de tripulaciones a añadir at y a

devolver a la reserva dt en cada mes Función objetivo:

t xt

2626


Asignación de tripulaciones Restricciones:

Cumplimiento de las horas: 40xt - 10at ht

Límite nuevas tripulaciones: at 3

Necesidades de entrenamiento: xt at

Relación entre variables: xt+1 = xt + at - dt

No negatividad: xt , at , dt 0

Integralidad: xt , at , dt enteras

2727

28


Problema resultantemin t xt

s.a 40xt - 10at ht

xt+1 = xt + at - dt

xt at

at 3

xt , at , dt 0

xt , at , dt enteras


Optimización de carteras Dada una cantidad de dinero a

invertir Determinar proporciones a invertir en

distintos activos Criterios para seleccionar activos:

Rentabilidad Riesgo

2929


Optimización de carteras Datos rentabilidades/riesgos:

aaaccctttiiivvvooo---111 aaaccctttiiivvvooo---222 aaaccctttiiivvvooo---333 aaaccctttiiivvvooo---444 aaaccctttiiivvvooo---555 aaaccctttiiivvvooo---666888555000444 555,,,555333 333,,,111999 111444,,,666666 888,,,555999 000,,,888888 ---111555,,,999333888555000555 444,,,888000 000,,,444111 ---222,,,111111 ---111,,,000888 777,,,444666 ---222,,,111111888555000666 ---333,,,111333 ---555,,,777555 111555,,,888222 111666,,,000000 ---888,,,111666 ---555,,,999111888555000777 666,,,888888 222000,,,000444 999,,,999555 111333,,,444888 111777,,,777888 444,,,000000888555000888 777,,,444444 222444,,,666888 222111,,,888333 333222,,,888777 ---777,,,555555 ---555,,,222222888555000999 ---111,,,666999 ---111000,,,777777 ---111000,,,888999 ---111777,,,000555 000,,,000000 111222,,,444666888555111000 ---555,,,777111 ---111666,,,444888 ---111,,,000000 ---444,,,222666 ---333,,,222777 333,,,000999888555111111 ---111,,,000111 222111,,,444888 111,,,000111 ---333,,,444000 ---111,,,666999 666,,,222555

activo-1 activo-2 activo-3 activo-4 activo-5 activo-6Media 1,64 4,60 6,16 5,64 0,68 -0,42Desv.típica 5,09 15,74 11,10 15,39 8,50 8,77

3030


Optimización de carteras: Datos para la formulación

Rentabilidades medias y objetivo:r = ( 1.6 4.6 6.2 5.6 0.7 -0.4 ) , = 5

Riesgos: matriz de covarianzas, 26 56 28 45 21 -19 56 248 89 141 31 -15 R = 28 89 223 63 -22 -63 45 141 63 137 -22 -82 21 31 -22 -22 72 16 -19 -15 -63 -82 16 77

3131


Optimización de carteras Variables:

Proporción de la cartera en activo i , xi

Función objetivo: Riesgo de la cartera, medido por la

varianza

xTR x Restricciones: rentabilidad objetivo

3232


Optimización de carteras Restricciones

Rentabilidad, rTx Normalización,

eTx = 1 No negatividad, x 0

3333

34


Optimización de carteras En formato menos compacto

Rentabilidad, i ri xi Normalización,

i xi = 1 No negatividad, xi 0 Función objetivo, i rij xi xj

35


Modelo resultante min xTR x s. a rTx eTx = 1 x 0 Solución:

x = ( 0 0 0.32 0.55 0 0.13 )T

36


Problema de producción Una empresa fabrica 3 productos: A, B y C

empleando 5 equipos: I, II, III, IV y V El producto C requiere una unidad de A y 2 de B Los beneficios por unidad son: A: 20 B: 8 C:

38 Los tiempos necesarios por unidad son I II III IV V A 0.8 0.5 0.1 0.3 B 0.25 0.1 0.15 C 0.15 El número de equipos disponibles es I: 20 II: 5 III: 10 IV: 4 V: 6 Cada equipo se puede operar 200 horas en un

mes

37


Problema de producciónmax 20 xA + 8 xB + (38 - 20 - 16) xC

s.a 0.8 xA + 0.25 xB 4000

0.1 xB 1000

0.5 xA + 0.15 xB 2000

0.1 xA + 0.15 xC 800

0.3 xA 1200

- xA + xC 0

- xB + 2 xC 0

xA , xB , xC 0

38


Problema en forma estándarmax 20 xA + 8 xB + (38 - 20 - 16) xC

s.a 0.8 xA + 0.25 xB + sI = 4000

0.1 xB + sII = 1000

0.5 xA + 0.15 xB + sIII = 2000

0.1 xA + 0.15 xC + sIV = 800

0.3 xA + sV = 1200

- xA + xC + sA = 0

- xB + 2 xC + sB = 0

x , s 0

39


Posibles soluciones ¿Puede ser solución fabricar las cantidadesxA = 2500 , xB = 5000 , xC = 2000 ?

(sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 205, sV = 450, sA = 200, sB = 400)

¿Puede ser solución fabricar solo C?xA = 2500 , xB = 5000 , xC = 2500 (z = 95000)

(sI = 750, sII = 500, sIII = 0, sIV = 175, sV = 450, sA = 0, sB = 0) III = -47.5, A = -3.75, B = 0.875

La solución es:xA = 1000 , xB = 10000 , xC = 1000 (z = 102000)

(sI = 700, sII = 0, sIII = 0, sIV = 550, sV = 900, sA = 0, sB = 8000)

40


Problema dualmin 40 yI + 10 yII + 20 yIII + 8 yIV + 12 yV

s.a 0.8 yI + + 0.5 yIII + 0.1 yIV + 0.3 yV - zA - w1 = 20 0.25 yI + 0.1 yII + 0.15 yIII + - zB - w2 = 8 0.15 yIV + zA + 2zB - w3 = 2

y , z , w 0


Planificación de generación eléctrica Se dispone de una central de generación

Determinar niveles óptimos de generación Para una estimación de precios Correspondiente a 24 horas del día siguiente

Beneficios Ingresos basados en precios de mercado Costes asociados a la tecnología

4141


Planificación de generación eléctrica Restricciones tecnológicas

Límites a la generación 0 gt 400 Mínimos técnicos gt { 0 , [100,400] } Límites en los cambios de nivel de

generaciónDe un periodo al siguiente, cambio máximo de 50

MWh

4242


Planificación de generación eléctrica Costes de generación

Costes variables 55 + 6.4 g + 0.001 g 2

Costes fijos Arranque: 720 , Parada: 260

Precios estimados 3.47 3.67 6.17 6.36 6.36 8.68 8.78 8.70 7.50 6.32 6.38

6.37

4343


Planificación de generación eléctrica Variables: niveles de generación gt

Función objetivo: beneficios totales t ( pt gt - 55 - 6.4 gt - 0.001 gt

2 )

Restricciones: Límites a los cambios de nivel -50 gt - gt -1 50

¿Arranques y paradas?

4444


Restricciones planificación generación

Valores permitidos de las variables gt = 100 zt + wt , 0 wt 300zt , zt {0,1} Cambios en nivel de generación

-50 wt - wt -1 50 Costes de arranque

Cuándo se produce un arranque: yt {0,1}

Costes totales de arranque: 720 t yt

Relación con otras variables: zt - zt -1 yt

4545

46


Generación central ciclo combinado Central eléctrica: dos modos de operación

Ciclo de gas Ciclo combinado (gas + carbón)

Características diferentes en ambos ciclos Costes Capacidad

Restricciones que ligan los ciclos

47


Datos Costes operación:

gas: cg + agx + bgx2

combinado: cc + acx + bcx2

Costes arranque:gas: sg combinado: sc

Capacidades:gas: ug combinado: uc (mínimo:

lc )

48


Datos Tiempos mínimos:

Entre arranque gas y arranque combinado: tc

Entre apagado y arranque: ta

Otros datos: Precios de mercado conocidos: pt

Objetivo: Beneficios

49


Variables Generación de energía en cada periodo: xt

Ciclo de gas funcionando: yt

Ciclo combinado funcionando: zt

Arranque del ciclo de gas: vt

Arranque del ciclo combinado: wt

Función objetivot [ pt xt - yt (cg + agx + bgx2 ) - zt (cc + acx +

bcx2 - cg - agx - bgx2 ) - vt cg - wt cc ]

50


Restriccioneszt lc xt yt ug + zt (uc - ug )

wt yt-t’ t’ = 0,...,tc

vt 1 - yt-t’ t’ = 1,...,ta

vt yt - yt -1

wt zt - zt -1

zt yt

yt , zt , vt , wt { 0,1 }

51


Ampliación de la red de transporte Estudiar la instalación de nuevas

líneas para transmisión de energía eléctrica

Se dispone de una red de transmisión Se estudian alternativas de líneas entre

diferentes puntos (nodos) del sistema Se conocen a priori las características de

las líneas a construir (y su coste)

52


Datos Capacidades de generación, gi

Capacidades máximas de las líneas, kij

Coste de cada nueva línea, vij

Conductancia de líneas, cij

Susceptancia de líneas, ij

Existencia de líneas, sij

Vale 1 si la línea existe y 0 si no

Límites para los ángulos de voltaje, dij

53


Variables Energía transportada en cada línea, xij

Generación en cada central, yi

Construcción (o no) de una línea, zij

Pérdidas en cada línea, wij

Diferencia de ángulos de voltaje, ij

54


Función objetivo: Coste de operación y construcción

jj vij zij + j yi Restricciones

Balance de energía- j sij xij + yi = di

Pérdidas en las líneaswij = 2 cij zij (1 - cos ij )

Relación entre flujos y ángulosxij = ij zij sin ij

55


Otras restricciones Restricciones de cota

0 xij kij

0 yi gi

-dij ij dij

Otras restriccioneszij [0,1]

56


Ejercicio formulación Frutos secos: almendras, cacahuetes, nueces Dispone de 150 Kg, 100 Kg y 50 Kg respect. Tres productos, con porcentajes A 20 80 0 B 30 50 20 C 50 20 30 Beneficios esperados: 90 (A), 120 (B), 160 (C) ¿Cantidad de cada producto?

57


Ejercicio formulación Dispones de 5 Mpta para invertir Alternativas

Bonos a 1 año: 5,5 % Letras a 2 años: 12,5 % (total) Inicio del segundo año: oblig. a 3 años,

19 % Inversiones al comienzo de cada año

Durante los próximos 5 años

58

Indice

Ejemplo sencillo de producciónEstimación costes generación eléctricaProblema de transporteCampaña de publicidadAsignación de tripulacionesOptimización de carterasProblema de producciónPlanificación de generación eléctricaGeneración central ciclo combinado

formulación de problemas

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