análisis numérico ii elementos de contorno problemas...

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ELEMENTOS DE CONTORNO

PROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico II

Elementos de Contorno – Problemas Elípticos

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ELEMENTOS DE CONTORNO

PROBLEMA ELIPTICOS

Análisis Numérico II

Elementos de Contorno – Problemas Elípticos

• Formulación Integral

• Función de Green

• Discretización

• Formulación Indirecta

• Discretización de Formulación con fuentes

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PROBLEMA BASE

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Integral

2 ( , , ) 0 u f u x y en

1( , ) u x y u sobre

2( , ) u

x y q sobren

Formulación diferencial:

u clase C2

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FORMULACION PONDERADA


1

2

2

0

u f wd u u wd

uq wd

n

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INTEGRACION POR PARTES


1

0

w

u u sobre Formulacion debil

w w

1 2

1 2

.

0

uu wd fwd w d

n

uu u wd q wd

n

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SEGUNDA INTEGRACION POR PARTES


ww

n

w w

1 2 1 2

1 2

2

0

w uu wd fwd u d w d

n n

uu u wd q wd

n

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SEGUNDA INTEGRACION POR PARTES


1 2

1 2

2

0

uu wd fwd w d wqd

n

w wu d u d

n n

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FORMULACION INTEGRAL


Caso particular: ( , , ) ( , )f u x y u g x y

2

2

u wd fwd

u w w d gwd

2 Operador:

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SOLUCION FUNDAMENTAL


(2)

* 0

1( , ; , ) ( )

4P Pu x y x y H r

i

2

* * ( , )P Pu u x x y y

2 2( ) ( )P Pr x x y y

* 0 u para r

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FUNCION DE PESO


*w u

2

* *

( , ) si interior a

1( , ) si sobre

2

0 si exterior a

P P

P P

u x y P

u u u d u x y P

P

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FORMULACION INTEGRAL DIRECTA


1 2

2 1

**

** *

1( , )

2P P

u uu x y u d u d

n n

ugu d u qd u d

n

Ecuación integral para u sobre 2

y u/n sobre 1

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** *( , )P P

u uu x y gu d u d u d

n n

Solución en el interior de :

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FUNCION DE GREEN

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFunción de Green

2 ( , )P PG G x x y y

1( , ) 0 G x y sobre

2( , ) 0 G

x y sobren

Resolver por formulación integral

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FUNCION DE GREEN


1 2

**

*

1( , )

2P P

uGG x y u d G d

n n

gu d

1 2

2 1

**

** *

1( , )

2P P

u uu x y u d u d

n n

ugu d u qd u d

n

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FUNCION DE GREEN


** *( , )P P

uGG x y gu d u d G d

n n

En el interior de :

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FUNCION DE GREEN


2 1

( , )P P

u Gu x y gGd G d u d

n n

P en el interior de

Uso de la Función de Green:

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Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización

1 2

2 1

**

** *

1( , )

2P P

u uu x y u d u d

n n

ugu d u qd u d

n

Ecuación integral para u sobre 2

y u/n sobre 1

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DISCRETIZACION DEL DOMINIO


Método panel:

• Elementos: segmentos de recta

• Valores de u y u/n constantes sobre cada

elemento

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DISCRETIZACION DE ECUACION


**

1 1

*

1

2

0,

j j

N N

i j j

j j

uu u d q d u

n

ugu d q

n

1 i N, N : cantidad de elementos

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ECUACIONES ALGEBRAICAS


1 1

0N N

ij j ij j i

j j

G q H u B

*

j

ij ijG u r d

* 1

2j

ij ij ij

uH r d

n

*i iB gu r d

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INCOGNITAS


1 1

0N N

ij j ij j i

j j

G q H u B

uj sobre 2 y qj sobre 1

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SOLUCION EN EL INTERIOR


1 1

N N

kjk kj j j i

j j

u G q H u B

*

j

kj kj

uH r d

n

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CALCULOS


0iiH

1 ln

:

iii i

i

dG d

d semi longitud de segmento i

*

1m

M

i i

m

B gu r d

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PROBLEMA EXTERIOR

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosFormulación Indirecta

2 ' ' 0u u ', en exterior a

2

'

'' ' 0

' '

u wu w w d w d u d

n n

2u u g en

*w u P sobre

**

1 ''( , ) ' 0

2 ' 'P P

u uu x y u d u d

n n

' 0 u para r

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FORMULACION CON FUENTES


Distribución de elementos sobre para

representar efecto de las condiciones de

borde en el problema original

u continuo a través de

u/n discontinuo a través de

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ECUACION INTEGRAL


**

1 ''( , ) ' 0

2 ' 'P P

u uu x y u d u d

n n

**

*

1( , )

2P P

uuu x y u d u d

n n

gu d

* *( , )P Pu x y u d gu d

'u u

n n

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SISTEMA DE ECUACIONES INTEGRALES


Incógnita: sobre


* *( , ) 1( , )

2

P PP P

P P P

u x y u ud x y g d

n n n

P sobre 1

P sobre 2

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** *( , )P P

u uu x y gu d u d u d

n n

**

'' 0

' '

u uu d u d

n n

* *( , )P Pu x y gu d u d

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FORMULACION CON FUENTES

Elementos de Contorno – Problemas ElípticosDiscretización de Formulación con Fuentes

Ecuación integral para sobre


* *( , ) 1( , )

2

P PP P

P P P

u x y u ud x y g d

n n n

P sobre 1

P sobre 2

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DISCRETIZACION DEL DOMINIO


Método panel:

• Elementos: segmentos de recta

• Valores de constantes sobre cada

elemento

Análogo que para formulación directa

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ECUCIONES ALGEBRAICAS


1

0N

ij j i i

j

G B u

*

j

ij ijG u r d

* 1

2j

ij ij ij

P

uF r d

n

*i i

P

uC g r d

n

1

0N

ij j i i

j

F C q

*i iB gu r d

i sobre 1

i sobre 2

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1

N

k kj j i

j

u G B

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