fisica ii complemento de electromagnetismo … · como aplicación de la ley de ampere a un toroide...

1 UTN – FRRO Prof. Ing Marcelo Raúl Borgetto

FISICA II

COMPLEMENTO DE

ELECTROMAGNETISMO

CIRCUITOS MAGNETICOS

APLICACIONES EN EL AMBITO PROFESIONAL

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

Autor: Ing. Marcelo Raúl Borgetto


Objetivo:

El complemento amplía la información fundamentalmente con ilustraciones, sobre temas, que según la

experiencia han sido de difícil o errónea interpretación por parte del alumnado y presenta una visión dirigida

a las aplicaciones en el ámbito profesional de la ingeniería.

Las ilustraciones se encuentran sintetizadas, por lo que para la completa interpretación de los temas es

necesario participar en la clase.

Se presenta la ilustración de dipolos magnéticos básicos y el campo magnético terrestre con la ilustración de los

ángulos de inclinación y declinación magnéticas.

Se ilustra el funcionamiento del ciclotrón utilizado para acelerar cargas y hacerlas colisionar con un blanco.

Aplicación entre otras para producir isótopos emisores de positrones (bombardeando con núcleos de hidrógeno a

blancos especiales a los que se le modifica el núcleo atómico), en la Radiofarmacia se producen los radiofármacos

uniendo estos isótopos, a moléculas que se metabolizan en el órgano o tejido a estudiar, estas sustancias son los

marcadores radiactivos detectados por la emisión de rayos gama, con un tiempo de vida del orden de horas. Otra

aplicación de las cargas desviadas por campos magnéticos es el magnetrón, usado en el horno de microondas y

radares. El tubo de crookes permite visualizar la desviación de electrones en movimiento dentro de un campo

magnético

Se fundamenta la causa de que un dipolo magnético inducido de un material paramagnético o ferromagnético

dentro de un campo magnético uniforme no es atraído por el inductor. Si el campo fuera uniforme, los vectores

serían todos horizontales. Para el ejemplo, en el dipolo (espira rectangular) debe haber una componente de B

vertical, que producen las fuerzas de atracción (rojas-línea entera), el campo horizontal provoca dos fuerzas

antagónicas verticales (verdes – línea de trazos) que se anulan

Se muestra en una imagen la aplicación del efecto hall en la construcción de la pinza amperométrica de CC. La

corriente en el conductor genera el campo B que atraviesa la pinza cerrada y también la placa, produciendo la

diferencia de potencial de hall que es proporcional a esa corriente continua Ix, según la ley de ampere. La corriente

necesaria I de la fuente propia circula por la placa. La tensión medida queda registrada en un display transformada

en la Ix. Es de hacer notar que este instrumento fue posible disponerlo masivamente, debido a la miniaturización de

la electrónica, ya que hasta hace poco las pinzas solo eran de CA utilizando la ley de Faraday. Se presentan las

deducciones para calcular el campo de un conductor corto y de una bobina, sin la simplificación de considerar el

campo uniforme dentro de ella o que tenga longitud infinita.

Como aplicación de la ley de ampere a un toroide se demuestra la analogía del circuito eléctrico con el magnético.

Se presenta el cálculo para el núcleo de un transformador acorazado.

Para interpretar las causas del diamagnetismo, se fundamenta la orientación de los dipolos de estos materiales en

sentido contrario al de su inductor por lo que lo repelen en lugar de atraerlos. Esto se debe a que predomina a la

orientación por el campo externo de giro de los dipolos por el momento de torsión, otro fenómeno de alineación, tal

que el campo externo influye sobre cada dos orbitas opuestas variando la fuerza centrípeta de los electrones uno

en más y otro en menos, lo que resulta en un aumento de velocidad (de corriente equivalente) de uno y reducción

de la otra, tal que el momento de dipolo resultante y el campo es opuesto al inductor.

Se presenta la fundamentación física de la magnetización y la relación entre H (intensidad de campo), B

inducción magnética y M (magnetización). A través de la aplicación la ley de ampere a un toroide surge el

hecho de que omitir la magnetización en la fórmula reduce el B de su valor medido. La inclusión de este

efecto en la ley permite llegar a la relación entre los tres vectores y parámetros propios de cada material,

siendo extraordinaria la permeabilidad del material ferromagnético. Se hace notar que el valor de H no

depende de los materiales, solo de la intensidad de corriente.

Se analizan las pérdidas por histéresis de los materiales ferromagnéticos


Se muestra la generación de corrientes parásitas o de foucault en un núcleo ferromagnético bobinado y alimentado

por CA. La forma de reducirlas, usando núcleo de láminas de hierro silicio con sus caras aisladas

Se presentan las definiciones de L y M en función de las características de materiales y geometría, de la

aptitud para generar flujo magnético y de generar fem inducida. Se deducen las expresiones para

determinar la inductancia equivalente serie y paralelo.

DIPOLOS MAGNETICOS

ORBITA ELECTRONICA ESPIRA DE IMAN

DEL ÁTOMO CORRIENTE

i ω I

-e B

S N S N µ

B µ B µ NS

CAMPO MAGNETICO TERRESTRE CAMPO EQUIVALENTE DE UN IMAN

S

N

NG

SG

NM

SM

INCLINACION 90

INCLINACION 0

DECLINACION

NG: NORTE GEOGRAFICO INCLINACION MAGNETICA: ángulo de la brújula

SG: SUR GEOGRAFICO respecto de la horizontal paralela al suelo, 0° en el

ecuador y 90° en los polos

NM: NORTE MAGNETICO

CORRESPONDE AL SUR DEL IMAN EQUIVALENTE

SM: SUR MAGNETICO DECLINACION MAGNETICA: ángulo entre la brújula

CORRESPONDE AL NORTE DEL IMAN EQUIVALENTE y la dirección al polo norte geográfico


CICLOTRON

MAGNETRON


VISUALIZACION DE LA DESVIACIÓN DE UN HAZ DE ELECTRONES

DENTRO DE UN CAMPO MAGNETICO

MOMENTO DE TORSION SOBRE UNA ESPIRA

B B

τ i F sen φ i a

F

µ B

φ τ

B τ B

F sen φ b

a

τ = F . sen φ . b = i. a x B . sen φ . b = i.a.b. B. sen φ = µ . B sen φ

τ = µ X B

F

F

a


B = V hall . A. n. e

d. l

Ix = B . 2π R = V hall.A.n.e . 2π.R = K . V hall

µo I.d µo


CAMPO MAGNETICO GENERADO POR UN CONDUCTOR DE LONGITUD FINITA

dB = µo. i . dl . sen α sen α = dS dS = dl sen α = r . dφ

4 π . r2

dl

dB = µo. i . r . dφ = µo. i . dφ r = x

4 π. r2 4 π . r cos φ

B = µo. i . ∫ cos 𝜑 𝑑𝜑𝜑2

𝜑1. = µo. i . ( sen φ2 – sen φ1 ) con φ lado punto y φ1<0)

4 π x 4 π x

Si a y b infinito φ1 - π/2 y φ2 π/2 conductor largo

B = µo. i . .( sen π/2 – sen (-π/2)) = µo. i . ( 1 - (-1)) = 2. µo. i = µo. i

4 π x 4 π x 4 .π x 2 .π x

Se puede usar el ángulo α (lado conductor)

φ1 = π/2 – α1 como φ1 < 0 sen ( -φ1) = sen (α1 – π/2) = - cos α1 con α1>0

φ2 = π/2 – α2 como φ2 > 0 sen ( φ2) = sen (π/2 - α2) = cos α2 con α2> 0

B = µo. i ..( cos α2 - (- cos α1) ) = µo. i . ( cos α2 + cos α1) con α lado conductor

4 π x 4 π x

Si a y b infinito α1 0 y α2 0 conductor largo

B = µo. i . ( cos 0 + cos 0) = µo. i . ( 1 + 1)) = 2. µo. i = µo. i

4 π x 4 π x 4 .π x 2 .π x

Si b= a cos α1 = cos α2 = a B = µo. i . 2 . a

(x2

+ a2)

1/2 4 π x (x

2 + a

2)

1/2

α2

b

iϕ2 dB

X ϕ

ϕ1

a dl rdϕ

dS dl

α

α1

α

P


B = Bx + By

Bx = ʃ dB senα = B By = ʃ dB cosα = 0 dB = µo . i. dl .sen θ / 4π r

B = ʃ µo . i. dl. senα / 4π r = ( µo . i. senα / 4π r ). ʃ dl = ( µo . i. R.senα) / 2 r

senα =R / (x + R ) B = ( µo . i. R) /2 (x + R )

CAMPO MAGNETICO FUERA DEL CENTRO DE UNA BOBINA O DE LONGITUD FINITA

2

2 2 2

2 2 2 2 21/2 3/2

dB = ( ( µo . i. R.senα) / 2 r ). dN dN = N.dx / l , tg α = R/x, x = R cotg α

dx = - R cosec α d α sen α = R/r r= R cosec α

dB = - ( µo . i. R.N . senα / 2l). (R. cosec α dα /R. cosec α) = - ( µo . i. N.senα dα) / 2l α2

B = - ʃ ( µo . i.N senα dα) / 2l = (µo . i.N/2l) (cosα2 - cosα1) α1

si l infinito α2 0 α1 π

B = (µo . i.N/2l) (cos 0 - cos π) = µo . i.N/l el mismo valor al hallado con la ley de ampere

2

2 2 2

2


CIRCUITOS MAGNETICOS

NUCLEO DE TRANSFORMADOR ACORAZADO

Si el material no es vacío o aire usar µ del material en lugar de µo

ƒ B.dl = µo .i encerrada => ƒ m= B.A = N.i.µo.A = N.i

2πR longcircuito

µo.A

ƒ m = FMM f. magnetomotriz

R reluctancia


MATERIALES DIAMAGNETICOS

Para materiales como el bismuto, mercurio, plata, predomina sobre la orientación de los dipolos

por un campo externo, otro fenómeno que afecta las velocidades de giro en las órbitas, se analiza

este fenómeno sobre dos órbitas que tienen los μ compensados cuando el B exterior es cero

B externo = 0

μ1

μ2

Análisis de fuerzas y μ μ2 = μ1

FE = e / 4π.εo.R FE: fuerza electrostática entre protón y electrón

Fc= m. (ωo) . R Fc: fuerza centrípeta

μ = A.i =A.e / T = A.e.ωo / 2π T = 2π / ωo A: área de la órbita

APARECE UN B EXTERNO

El campo externo acelera una de las órbitas y retarda la otra

resultando en un aumento de μ opuesto a B

B externo = 0

B externa

B

μ2

μ2 > μ1

Análisis con las fuerzas Análisis con FARADAY

Aparece sobre e, la fuerza FB= e.v x B Al aparecer B

Fc= FE +/- FB Se genera una fem

de sentido antihorario

Fc= m(ωo +/- ∆ ω) . R en (1) se opone a i

en (2) coincide con i

∆ ω ≈ e.B / 2m i1 en (1) baja y μ1 = A.i1 baja

ORBITA IZQUIERDA (1) ORBITA DERECHA (2) i2 en (2) sube y μ2 = A.i2 sube

Fc = ( FB - FE) baja Fc = (FB + FE) aumenta

R es constante, Fc = m ω R baja R es constante, Fc = m ω R aumenta

luego ωo baja ∆ω luego ωo sube ∆ω

μ1 = A.e.(ωo - ∆ω) / 2π baja μ2 = A.e.(ωo + ∆ω) / 2π aumenta

μ2 > μ1 con sentido contrario al B inductor

INDUCTOR

Magnetismo inducido con μ de sentido contrario

Aparece una fuerza de repulsión en lugar de atracción

io io ωoωo

ωo + ∆ωωo - ∆ω io-∆i io+∆i

FE FE

FB

FB

μ1 μ2

μ1 μ2

FEFE

NS N Sμ

2

(2)

2

2

2 2

2

(1)

μ1


TRES VECTORES DE CAMPO MAGNETICO

ʃ B. dl = µo (I encerrada + iM encerrada ) = µo . N.i + µo N . i M

dµ = M . A. dl = N . dl . iM .A / 2π. R

M . 2πR = N. iM

B . 2πR = µo . N. I + µo . M. 2π R generalizando a otras trayectorias

ʃ B. dl = µo.i + µo . ʃ M.dl ʃ B - µo. M . dl = i

µo

Bo BM H (intensidad de campo magnético)

ʃ H. dl = i , B = µo.H + µo. M , B = µo.H + µo. M ( tres vectores de campo)

B = µo.H ( 1+ M ) = µo. Km.H = Km. Bo , Km: permeabilidad relativa

H

Km µ

ᵪ = M susceptibilidad magnética , ᵪ = Km - 1 , M = (km - 1)) . H H

= 1 AMAGNETICO ᵪ = 0

> 1 PARAMAGNETICO (1,00001 A 1,0003) ᵪ > 0 (ALUMINIO, CROMO, PLATINO)

Km< 1 DIAMAGNETICO (0,99990 A 0,99999) ᵪ < 0 (BISMUTO, ZINC, MERCURIO, COBRE)

600 a 10000 con casos de 100000 FERROMAGNETICO ( HIERRO, HIERRO - SILICIO)


PERDIDAS POR HISTERESIS EN MATERIALES FERROMAGNETICOS

A la bobina de la figura se le aplica una tensión senoidal en el tiempo, por lo que el flujo

magnético también deberá ser senoidal, si se considera solo el efecto magnetizante:

𝑣(𝑡) = −𝑒(𝑡) = 𝑁𝑑∅

𝑑𝑡= 𝐴. 𝑁

𝑑𝐵

𝑑𝑡 = 𝐴. 𝑁.

𝑑

𝑑𝑥(𝐵𝑚𝑎𝑥. sin 𝜔𝑡) = 𝐴. 𝑁. 𝜔. 𝐵𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔𝑡 + 𝜋/2)

Dada la alineadidad entre B y H= N. im / L, la im(t) se alejará apreciablemente de una senoide

según la gráfica, de tal forma de producir el campo B senoidal.

La curva B(H) (histéresis) se puede obtener trasladando punto a punto los valores de H(t) y B(t)

a la gráfica B(H) según la ilustración ejemplificada con el punto 1.

L a energía destinada al giro de los dominios del material es:

𝑑𝑤 = 𝑣. 𝑖𝑚. 𝑑𝑡 = 𝐴. 𝑁.𝑑𝐵

𝑑𝑡𝑖𝑚 𝑑𝑡 = 𝐴. 𝑁. 𝑖𝑚. 𝑑𝐵 𝑁. 𝑖𝑚 = 𝐻. 𝐿

𝑑𝑤 = A.L.H dB 𝑤𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝐴. 𝐿 ∫ 𝐻 𝑑𝐵 = 𝑉𝑜𝑙. ∫ 𝐻 𝑑𝐵𝐵𝑚𝑎𝑥

−𝐵𝑚𝑎𝑥

𝐵𝑚𝑎𝑥

−𝐵𝑚𝑎𝑥

v(t)

11

1

Bmax

- Bmax

1

im, H

dB


La energía eléctrica transfromada en el giro de los dominios (para cada dipolo el giro de 180 o

demanda U= 2. µ. B), es proporcional al área del ciclo de histéresis.

Notar que si la relación entre B y H es lineal, im y H son también senoides en fase con B, y la

curva obtenida trasladando puntos desde H(t) y B(t) es una recta, el área es cero, no tiene

pérdidas, se comporta como una inductancia (L) ideal

PERDIDAS POR CORRIENTES DE FOUCOLT O PARASITAS


AUTOINDUCCION - INDUCTANCIA

l Ф

N. Ф = μ. N. A. i = L . i

l

ε L es el coeficiente de autoinducción

∆i/ ∆t o inductancia su unidad es el Henrio

L = N.Ф =[ Wb] = [Hy] La inductancia es la aptitud para generar

i [ A ] flujo para una dada intensidad

L = μ. N. A. La inductancia depende de las características

l mecánicas y del material (μ)

ε = -N . dФ = - μ. N . A. di

dt l dt

L = - ε La inductancia es la aptitud para generar fem autoinducida

di para una dada velocidad de cambio de la intensidad

dt

INDUCTANCIA MUTUA

l

K = Ф12 ; Ф12 = K . Ф11

Ф11

N2. Ф12 = K. N2. μ. N1. A. i1 = M . i1

∆i l

∆t

M es el coeficiente de inducción mutua o inductancia mutua, su unidad es el Henrio

M = N2.Ф12 = [ Wb] = [Hy] La inductancia mutua es la aptitud para generar flujo

i1 [ A ] en la bobina 2 para una dada intensidad en la bobina 1

M = K. N2. μ. N1. A. La inductancia mutua depende de las características

l mecánicas y del material (μ)

ε 2 = -N2 . dФ12 = - K. μ. N1 . N2. A. di1

dt l dt

M = ε 2 La inductancia mutua es la aptitud para generar fem inducida

di1 en la bobina 2 para una dada velocidad de cambio de la intensidad

dt de la bobina 1

M = k . μ. N1 . A . μ. N2 .A M = K √ L1 . L2

l l

N

BA

L

L

BA

Ф12Ф11

N1 N2

ε1 ε2

K

M

M

L 1 L 2

2

2 222

2

2


INDUCTANCIA EQUIVALENTE DE UN CONJUNTO SERIE

SIN ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO

será Lequiv al conjunto , si visto desde afuera del dipolo, para la misma di/dt le

corresponde la misma u

di/dt L1 L2 di/dt Lequiv serie

u1 u2

u u

u = u1 + u2 = L1 . di/dt + L2 . di/dt u = Lequiv s . di/dt (1)

u = (L1 + L2) . di/dt de (1) L1 + L2 se correspone con Lequiv serie

L1 + L2 = Lequiv serie Lequiv serie = Σ Li

INDUCTANCIA EQUIVALENTE DE UN CONJUNTO PARALELO

SIN ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO

di1/dt L1

di/dt di/dt Lequiv paralelo

di1/dt L2

u u

di/dt = di1/ dt + di2/dt = u/L1 + u / L2 di/dt = u / Lequiv paralelo

di/dt = u ( 1/L1 + 1/L2) u = Lequiv paralelo . di/dt (2)

u 1 . di/dt de (2) 1 se corresponde con Lequiv paralelo

1 + 1 1 + 1

L1 L2 L1 L2

Lequiv paralelo 1 Lequiv paralelo 1

1 + 1 Σ 1

L1 L2 Li

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