cap 9 ley de ampere

•

9 J LEY DE AMPERE

9 1 LEY DE AMPERE ~

La relación cuantitat iva entre la corriente T y el campo magnético B es

Donde.

La integral es en trayectoria circular (ci rculación) ~

El vector di es siempre tangente a la trayectoria de integración con la m isma -, dirección de B

Po 8S la consta nte de permeab ilidad y su va lor es 4., 10 7 T mtA

i es la corriente total que pasa a través del área lim itada po r la t rayectoria circula,

~

9 2 Direcc ión de 8 , Para encontrar la direcc ión de B cerca de un alambre que lleva una corr iente " ¡" se coge el alambre con la mano derecha, co n el pulgar apuntando en la dirección de la comente, , entonces la curvatura de los otros dedos alrededo r del alambre Ind ica el sentido de B

93 La Ley de Bial y Savart

Es una general izac ión de la I~y de Ampere y es 'ap licab le a cualquier dist ribución de corrientes Esta ley se expresa as í

dB -= ~ 4,

diSenO , , 249

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En forma vectorial :

~

~ " I d ' · r dB ::: _ 0_

Donde: ~

4.

r . es el vector posición del punto ' P' -->

al elemento d r

o es el ángulo entre r ~

Yd / El campo resultante en ' P" es:

--> ~

B = J dB

•

... ~ ... x _ ••••• -

o _. ---~ .-

~

dB

x p



,

LEY DE AMPERE

Se tiene un arrollamiento plano, de modo que contiene un gran número de espiras por unidad de longitud a lo largo del radio ( ver figura ) Los radios son a y b, además la corriente que circula por el alambre es " j'; calcular la inducción magnética en el centro. Siendo "n" el número grande de espiras por unidad de longitud .

Solución

Sabemos que el campo magnético producido por una espira en su centro es

!lo . i B =--

2R

Para este caso, la espira será un diferencial de ancho ( dr ) del disco con hueco, luego:

R = r

-+ di ( la corriente que circula por dr es di )

.. dB = Il o · di 2,

(.1

Pero ' n' es el número de espiras por unidad de longitud . enlonces

di = indr

En donde ' ndr" es el número de vueltas que hay en la longitud ' dr"

luego reemplazando ( Il ) en ( a l'

dB = Ilo indr. 2,

• Il o in B =

2

B ".,n (b) • -- I n _ 2 a

• f~ . ,

(BI

251



• 2 SI una carga puntual de magnitud +q y rapidez V está localizada a una distancia d del eje

del alambre recto y largo que tra nsporta una cOrriente I y viaja perpendicularmente al eje del alambre. (.Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre la ca rga SI ésta se mueve

a) hacia él ó

b) alejándose del alambre

Solución

8

o • j . q al Cuando la carga 'q" se hacerca tenemos

Sabemos que F = qvB (1)

Además (2)

Reemplazando (2) en (1) tenemos

b) Cuando la carga "q" se aleja tenem os ~

F¿; •

• v

•

8

x

. ~ F

F =q V~ 1

3 Un alambre recto y largo transporta una corriente de SOA Un elect rón viaja a 1,0 101m/s. se encuentra a 50 cm del alambre (. Cual es la fuerza que actúa sobre el electrón SI su velocidad está dirig ida

a) haci a el alambre

b) paralela al alambre y

c) perpendicular a las dlrécclones definidas en (a) y en (b)?

Solución

Como datos tenemos

1 = 50A. V = 107m/s .

252



• Por definición sabemos que la fuerza ejercida por el cam po mag nét ico sobre una carga que se mueve es ~ ~ ~

F=qv - 8 (1 )

De esta fórmula lo único que nos falla saber es B que lo ca lcu lamos as í:

(4' 10-') (50)

',(5 10 ')

Luego para los diferentes casos tenemos

, ~

a) En este caso v y B son perpend iculares, lueg o de (1) tenemos

F ::: ( 1,610-19 ) ( 107 ) (21O-~) Sen 90°

I F:::3,210 16NI

La fuerza es para lela al alambre y en el sent ido de la corriente.

b) En este caso , la magn itud de la fuerza

es igual al del acáp lte (a), ésta fuerza

está diri gida ra dlalmente hacia afu era.

~ ~

~ te -:: B~~

En este caso v y B son pa ralela s por lo que en (1) tenemos:

~ ~

F ::: q V

4. Un alambre largo de cobre está compuesto por un cil ind ro sólido de radio R y tra nsporta una COrriente "¡ ' distribuida de un modo unifo rme a t ravés de la sección t ransversal del

~

alamb re Hacer un dibujo del campo magnét iCO B en fu nción de la d istancia r al eje del alamb re cuando'

a) r <: R

b) r > R

253



254

Solución

a) Aplicando la ley de Am pere para r < R, tenemos:

~ ~

~B d t= lloi

Siendo i la corriente encerrad a po r la curva e , para nuestro caso defi nimos:

•

Curvas de AMPER

(uniforme)

Entonces: QBd f == ll o $J. ds

B ( 2.'Tr ) = 1-10 ( ¡¡~2 J . 01> ds

B(2..r)

De donde:

~

B en coordenad as cilfndricas es:

~ donde a ~ es el vecto r unitario tangente a la curva e en todo instante_

b) Aplicando la ley de Am pere pa ra r;:. R:

B(2 1tr) = ¡.to~ (ltR 2) nR

Como vector tenemos:

B = 11 0 i 2Jtr •



5 Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus SecCIOnes transversales forman un cuadrado de 20 cm de lado. Por ca da alambre circula una corriente de 20 A en el sentido mostrado en la figura. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección ..., de B en el centro del cu adrado?

Solución , D

,

a }-----{,

, ,

a

..., • , ..., ..., Los campos B producidos por cada alambre

Bo B,., se indican en la siguiente f igura:

~~ , , Bs Be

p Tomando cada alambre independ iente lene-

mas que:

• B , Además:

Donde' i ::: 20A . , =

, e

./2 , - "" O,1J2m

2

Luego reemplazando valores en (1) tenemos que

B = ( 4Jt 10-

7 )(20)

2'(0 . ./2)

Ahora en el punto ' p. tenemos que:

8, ::: Bs + Bo = 40/2 . 10-6 T

..., ..., Componiendo 8, con 8 2 ten emos que

B = B, = B, = B, =

.. (1)

-, )Jo = 41t , 10 T.m/A

/ ..., ( B, ,

/ /

/

, , , p

/ /

/

la dirección y sentido es como se indica en la figura

B,

255



6

256

,

Un alambre coaxial largo consta de dos con-ductores concéntriCos con las dimensiones mostradas en la figura Sobre estos conductores circulan cOrrientes iguales y opuestas "i"

a) Encontrar el campo magnético B pa ra puntos r contenidos dentro del conductor inlerno ( r < a )

b) Encontrar B para puntos entre los dos conductores ( a < r < b ),

c) Encontrar B dentro del conductor externo ( b < r < c )

d) Encontrar B fuera del conductor externo ( r :> C )

Solución

Partiendo de la ley de Ampere tenemos

~ ~

oBdf= J.l o lo

Luego B en cada caso será

a) Para r < a

(1 )

La IntenSidad de comente se distribuye proporcionalmente al área de la seCCión, as¡

--, ,. Reemplazando (2) en (1) tendremos

r---~

b) Para a < r < b

En este caso, de acuerdo al gráfico lo = I

Lu ego en (1)

8]'"' B : -2n:r

el Para b < r < c

(2)

En este caso tenemos dos cOrrientes, en el co nductor interior, circula una corriente i y en el extenor para .las condiciones dadas ( b < r < c ) tendremos una corriente fraCCionada dirigida en sentido contrario al mterior, luego la corriente neta lo es



,

Reemplazando esta comente en (1) obtenemos

d) Para r>c

[ ' '] ~o I c - [ S = - -,--,

2ftr c- b

En este caso la comente neta es la intern a mas la externa, pero por ser de sentidos opuestos y de Igual magn itud i, la com ente neta es nu la

B :: O

7 Dos alambres larg05, separados una distancia d transportan corrientes iguales y antlpa ralelas "'. , como se muestra en la figu ra

a) Demostrar que B en el punto P, que equidista de los dos alambres, está dada por"

S =

~

b) ¿Cuál es la dirección de B ?

Sofuc ión

21-10 Id

n I~

R ~ p

al Veamos lo que ocurre en P con los campos creados por los alambres y

f • ~

O S'y ---- -..; ~ ~

, 8', ' '

1 , , ~

R ' O I S'x , , O ~ , ' s, ~,

~ S ,

Sy ,

~O - - - - _ 001

, Observamos que las componentes verticales , se anulan y s610 las hOrizontales Contribuyen al campo •

Pero.

B :: 2B'x = 28'C050

S' = 11 0 ' ,,, 257



Luego: B = 2[~l Cos O 2"

En la figura tenemos que:

y

•

B = ~ Cos O

" d

Cas O :: -,--'-- ",

( 2,, ]"2 2 R + -

4

Luego reemplazamos estas exp resio nes en (1 j, tenernos

d

B

,

(1 )

b) Como podemos observar en la fig ura, B sigue la dirección de la perpendicular que pasa por el punto P y el punto mediO de la linea que une a los dos alambres

8 La figura muestra a un co nductor cil índrico hueco, cuyos rad ios son a y b, que t ransporta una cOrriente " j" distribuida un iformemente en toda su sección tra nsversa l

258

a) Demostrar que el ca mpo magnétiCO B en los puntos intern os al cuerpo del cond uctor ( esto es, en a < r < b ) está dada po r

B o

Comprobar está fórmula en el caso limite en el que a

b) Hacer una grá fica aproxi mada del comportam iento general de 8( r ) desde r :: O hasta r -4 ""

Soluc ión

o O

, ,

al Sea lo la corr iente en el Ci li ndro de radio r, entonces por la Ley de Ampere tenemos



b)

,

De donde (1 )

Para calcular lo lo haremos por proporciones, de acuerdo al área de sección que abarca De la figura tenemos

Reemplazando (2) en (1) tend remos

Acomodando

, , , - a

En el caso limite en el que a = O se tiene que

polr B - -

- 2nb2

(2)

y SI además r = b = B = ~ . que es la expresión del campo magnético 2nb

en la superficie de un conductor cilln drlCO de rad io b 4 B

a b

g Un cuerpo conductor consiste en un número infinito de alambres adyacentes. todos ellos 4

de longitud inflf1lta y qlle transportan una COrri ente '( Oemostrar que ta s líneas de B serán las represen tadas en la flg llra y que B en to l!!os los puntos enfrente de la 11O)a de corriente mflnlta estará aado por

B =

259



2f1

en donde n es el numero de

conductores por unidad de

IOfl9itud

~

dSSenO

dBCos8

"

Además tenemos que'

dB

• .. B .. B

Con el numero infinito de alambres co nductores, formamos una lámina ( ver la sigu iente fig ura) donde dx corresponde a un número de alambres

Tomamos un eje fict icio y observamos que para un dx, se prod uce un campo perpendicular a r, además las componentes vert ica les d8 SenO se anulan por compensación y la s componentes horizonta les dB,Cos () son las que se suman al campo.

b :.8 == I d B Cos O (1)

(2)

di = indx (3 )

Reemplazando (2) Y (3) en (1) tenemos'

B = b . d JPoln X . Cos O a 2n r

También en la figura vemos que

x = R Tg O dx = RSec2 O dO

Además en la figura tenemos que.

r = RSec O

Reemplazando (6) y (5) en (4) ten emos '

• 2 B = j~oi nR Sec O (Cos O) d9

a 21t(R Sec a)

b .

B=J lJolnd8

a 2TI

(4 )

(5)

(6)

(7)



• Ahora viendo los limites de integración establecemos que e va desde - lt 12 hasta 1t 12 ( lámina mfinlta )

Por lo tanto en (7) tenemos

B = JlI'l 1.1 in J -"-d9

- Jl12 211

10 Un conductor largo rectilíneo llene una sección transversal de radio R y transporta una comente I Dentro del conductor hay un onficlO cillndnco de radio "a" con su eje paralelo al eje del conductor y a una distanCia "b' de él Utilizando las Ideas de superposición

~

encontrar una expresión para el campo magnético B en el mterior del orificio

Solución

En primer lugar encontramos

la densidad superficial de corriente.

R

J = .'

SI no eXist iera el orifiCIO, el campo magnético en el interior del cilindro de radio R es

• El cam po magnético en un cllmdro de radio ' a" es

• Fmalmente el campo magnéltco en el mterior dE-! orificIO es, por superposición:

26 1



• 11 La figura muestra a un alambre largo que trans

porta una corriente de 30 A La espira rectangular transporta una cOrriente de 20A Calcular la fuerza resultante que actúa sobre la espir3 Suponer que a = 1,0 cm, b = 8,0 cm y l =30cm

Soluc ión

30A

a

b 20A

1

En forma general, dicho campo magnético será

12.

262

1 - , ~

F,

B =

donde

Para hallar la fuerza magnética sobre la espira aplicamos

F o-- ji B

(1)

aS r s a+b

Donde el sentido de las fuerzas magnéticas parciales sobre cada lado de la espi ra queda

indicado en la figura Además 1-; ~ )-<1 por lo que se equilibran, luego las úmcas

fuerzas magnéticas que actúan en la espira son ~ ~ Fr y F2 que lo determinamos asf

Luego reemplazando los valores de (1) en (2) para Fr tendremos

(4"0-')(30) [ 1 FT = (20) ( 0,3 ) -

2/t 0,01 o,~91 ,-------,

Como F, ;> F2 entonces FT esta dirigido hacia el alambre

Supóngase que, en la figura todas las COlri en-8

a tes están en el mismo sentido l,Cuál es la,

, fuerza por unidad de long itud ( N/m, en magni-tud y dirección) sobre uno o cualqUiera de los a a alambres? Es el caso análogo en el que las partículas cargadas en un plasma se mueven paralelamente el efecto se conoce como efec- , , to de tenaza a



Solución ~

Primero determinemos el campo 8 en un conductor debido a los otros tres asr

El ca mpo total es

~ ~

8 _ J-loi , -

2rra

-, Pero (8~ + 8 3) // B, Y de módu lo

~ ~ 18, + 8,1

luego

8 = Po I 1-10 i.fi +---

2rta.fi ,,,

o ~ 2rr a

=

Por lo tanto la fuerza por unidad de long itud es

F, = iB ~

Reemp lazando va lores tenemos·

Diagrama vectorial

•

a

J2

B

4 rr a

N 84,6 -

m

a X l-------fX~

a

31-1 0 1.fi

4"

" 8

13 Dos alambres largos, pa ralelos, de radios insignificantes , se encuentran sepa rados una distancia "d" Sobre los alambres circulan corrientes Iguales i

a) en la misma direCCión

b) en direCC iones opuestas

Si r es la distanc ia perpendicular del centro de uno de los alambres, determina r la magnitud B del campo magnético en la región comp rend ida entre los alambres en ros puntos sobre el plano que los cont iene

2(j3



• Solución

al Debemos observa r que los campos creados po r cada alambre tienen sent idos opuestos lueg o el campo tolal es la diferencia de i ! ellos, luego:

B = ~ _ ~loi ,)------1

21lf 21t(d - r) - '-·~.¡-'I .. o--d - r

~I oi . (d - 2r) 211r(r - d)

B = , ! ...

, , --~

Nota: El sentido depende de r

b) Cuando las cOrrientes están en sentidos opuestos los campos tien en el mismo sentido, luego

21l(d-r)

B = _,~, ~o ~' ',----

2/tf (d - r)

14. Un toroide de 15 cm de ra dio interno y cuya sección t ransversal es de 5 )( 5 cm , t iene 500 vueltas de un alambre que transporta un a corriente de O,8A.

264

~

al ¿Cuál es el campo magnético B en el centro de este toroide (esto es, pa ra un ra dio de 17,5 cm )

b) ¿Cuál es el flujo magnético a t ravés de su sección transversal?

Solución

a) Sabemos que para un toroide'

8 = ).loiN

2rrc

r es el radio medio, es decir'

S ' ~ CURVADE ,. ___ .. ... AMPER

~ l~.~' · -'¡ ~ . , ® '. , '. .- ) " " 0 ---------,,-

, , ,

Reemplazando. i = 9,8A, N = 500 v1Jeltas, r = 17,5 cm = 17,5.1O-2m

4 < 10' (0,8)( 500) B = I B = 0,457,1O·3T



,

b) El fluJo magnético a travéz de su sección transversal es

:.1 (1) = 114310 7 weber I 15 Un alambre recto, de radiO a, transporta una corriente constante I

al ConS idérese un circulo hipotét ico de rad iO 2a, concéntrico con el alambre, cuyo plano

sea perpen dicular al mismo alambre ¿Cuál es el flujo magnético (I)B que pasa a través de este círculo?

b) SI se duplicase [a comente i, "qué ocurnrra con este flUJO?

Solución

Debemos recordar que el campo magnéltco para puntos !nleriores de un alambre es

B =

y para puntos exteriores es

Pero siempre su sentido es tangencial a la curva circular por 10 tanto

al Ninguna linea de fuerza atravleza al cIrculo de radio "2a", luego el flUJO es CERO

b) SI duplicamos la comente esto no mod ifi ca el sentido del campo, luego el fluJo es CERO

16 Se forma un Exágono de lado "a" con un alambre conductor, por dicho conductor circula una com enle " j" Encontra r la Inducción magnética en el cenlro del exágono

Solución

H-- a-M

• p

En primera Insta ncia, ha llamos el campo producido por un so lo lado en el punto P, luego multiplicamos por el numero de lados para hallar el campo lotal en P

Por la ley de Blol y Savart tenemos

11 I dx Sene dB = -'-

" (1)

265



• Como:

Sen8 = Sena = b /r y r , , , , n

En la ecuación (1) tenemos:

, L ______ ____ : 0

Por lo tanto'

luego.

dB = ~o i 4n

dX.b

"

B = 6Bi

.[3 Ahora sabiendo que: b =- ,

2

s "

J-Ioib dx dS " --""=c:,M

( ' ,)3/2 4 ft x + b

= 3~oi 'C-C-~'~7U' n b ( ' ' ) '" a + 4b

tenemos:

( ' ' )'" a + 4 b

17. Un alambre la rg o de cobre transporta una corriente de 10A Calcular el flujo magnético por metro de alambre en una superficie plana S dentro del alambre, tal como se muestra en la figura

Solución

-- - ~ --

s

o d,

Por defin ición del fl ujo magnético sabemos que:

(1 )



,

En la figura para r < a tenemos que:

(2)

.... .... Como B y ds , tienen la misma dirección en S, reemplazando (2) en (1) tenemos

"', = J ( "< lid, 2 ..

Considerando, los limites de r en (3) tendremos que

luego reemplazando va lores tendremos

. ' , = (" 10 ')(10)

"

4 ,

<1'8 --e Weber -=110 --, m

(3)

18 Dos alambres de cobre (diámetro = 0,127 cm) largos y paralelos. transportan cOrrientes de 10A en sentidos opuestos Si sus centros se encuentran separados 2,0 cm

al Calcular el flujo por metro de conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres

b) ¿Qué fracción del fluJo se encuentra dentro de los alambres?

el Repetir el cálculo de (a) para comentes del mismo sentido

Solución

al Sabemos que"

(1 )

Donde

).l o i $ 9 "' - Y ds =f dr

2"

Luego reemplazando en (1) tenemos pa ra un al ambre'

$ S1 ::: J ~oi f dr ,,, 267



2H8

,

donde r va desde 0,00127 m hasta 0,02 m enlonces

11 0il [ JO,02 (ll a 1 -- / n r 0.00127

Evaluando y reemplazando datos tenemos

5 5 1 0~ W. . 1

m

2,

(2)

Aplicando la regla de la mano derecha. vemos que los campos m ag nét icos producidos por los alambres. se suman, ( entrando a la página ) por lo que el l luJo total debe ser el doble del prodUCido por un s610 alambre, por lo tanto de (2)

r

~ - 11,02 10~ Wb

r m

b) Para hallar el nUJO entre las superficies de los alambres, reemplazamos en (1), temendo para un alambre

donde r va de 0,00127 m hasta 0,01873 m; entonces ~ [r J001&73 nr 000124 2, .

evaluando '1 reemplazando dalos tenemos (l l B1 W - = 5,38 10-{!-'

r m

Empleando el mismo racIOcinio del acápite (a), tendremos que el flUJO total por unidad de longitud es

Ahora para ha lla r el flUJO a t ravés de ,loS alambres , restand o el fl ujo entre las superficies de los alambres de el flujo entre los ejes de los alambres, así

(I)SAlAMB = ( 11 ,02 10-8 - 10,76 10.6 )

= 0,26 10.6 W b/m



Luego la fracción de fluJO será

- 6 0,26 .10 W¡,/ m

1\02.10-6 Wb 1m

,

= 0,024

cl SI aplicamos la regla de la mano derecha a cada alambre, vemos que los campos creados son opuestos y por ser del mismo valor, se anulan, por lo que el fluJo resultante se hace CERO

19 Un alambre se dobla para formar una "horquilla" larga como la mostrada en la figura Si por ella Circula una comente de 10A, ¿Cuá les son la dirección y la magnitud de ~

8 en el punto "a"?, ¿yen el punto "b"? ConSiderar que R = 0,50 cm

Solución

(--.---'-b-\ ,¿( • ~ - - - ..

al El campo magnético en el punto "a" es producido por la parte circular y las dos partes lineales ~

8 producido por la parte circular; segun la ley de 8101 y Savart tenemos

d8 =

Integrando tenemos

B = ~ f d f . donde di = Rd (!

4nR1

Luego

8 = ~jRda = ~[o: J~ 4 /t R o 4 nR

De donde B = ~ 4R

~

8 producido por la parte recta,

• donde' O = 90°

segun la ley de 810t y ·Savart tenemos: R

" ' d8 = _ 0 _ dr Sen a 4/tr

2 (1 ) , , , '.

di

I

da '-

o

a , ,

d, . -

269



270

, De la figura tenemos

Reemplazando va lores en (1) e integ rando tenemos

• B = ~ o iR f _:--d-;' "",-

(. , ,')" 4, _. R (2)

Haciendo, l = R TgB. luego resolviendo y evaluando

B = ~ 4r.:R

Luego el campo total en "a" será

~ .2J:L Ba = 4R 4 JtR

Ba '" ~ (212) 2R 2 It

Reemp lazando valores tenemos

_ (4' 10 ')(10) (.!.+.!.) Ba - 2 ( 0,510-2) 2 1I

:. I Ba '" 1,028 1O.3T I ~

Por la regla de la mano derecha, establecem os que la dirección de B~ es perpendicular a la hOJa y saliente

b) Para el punto "b" el ca r:npo total es producido por las partes rectilíneas solamente, luego



20

•

Reemplazando valores

IBb =8 10 4 T

--> Por la regla de la mano derecha Bb es perpendicular a la hOJa y sa liente de ella

En la figura uti lizar la ley de Blot y Savart para -->

calcular el campo magnético B en el punto C, q ue es el centro común de los arcos semicirculares AD y HJ, cuyos radiOS son. respectivamente, R2 y R" Y que forman parte del CirCUito AHJDA por el cual Circula una comente I

Solución

Por la ley de Blol y Savart sabemos qu e'

dB == ~ df Sen G

411 (2

• A H e J D

donde ij '--> es el ángulo entre dl y ( , luego para hallar el cam po en el punto C. conSideramos que en el semicircu lo mayor y menor, Sen 9 = 1, para tos segmentos AH yJA, Sena=O

• Apl icando la ley de Biat y Savart en el semicirculo menor, tenemos

dB ,

Además' e

donde "((" va desde ,T hasta O en sentido horariO

=~ 4,

di ,

R' ,

dl, = R, da

( 11

(2)

Reemplazando (2) en (1) e Integran do con sus respectivos Ifmrtes para ((, tenemos

B = ,

"o' B, =-- 0 4 R,

2 71



21

272

• * Aplicando la ley de Bio! y Savart en

el semicírculo m

(3)

Además: d~ = R2 dP-. (4)

donde 13 va desde O hasta ."T en sentido antihorario.

Reemplazando (4) en (3) e mtegrando con sus respectivos límites para 11, tenemos'

B,

Como 81 > 8 2 en valor absoluto , predomina el campo 81

,

Por lo tanto el campo resultante en el punto e es:

Considérese el circuito mostrado en la figura. Los se g mentos curvos son pa rt e de circunsferencia cuyos radios son "a" y ' b" Los segmentos rectos están a lo largo de los radios

Determinar el campo magnético B en P, suponiendo que en el circuito c ircula una corriente i.

Soluc ión

di'

a

p

B

• En primer lugar AS y CD no contribuyen al - ~ ~

campo puesto que en AB, dl Y r forman 00 , •• , , , , A \

,

/ " D

b " , , , / , ,

r-~' , , \f--." , ,

yen CD en 1800 y así en la ecuación

dB == ~ dI Sena =) SenO = O

4 ¡¡ r2



• •• En el t ramo DA , aplicando la ley de Biol y Sava rt, tenemos

dB,

Luego:

Pero { :: (lb

[

dl Sen OI b ' J

8, = ~ f df 4 11: b"

notar que O = 90"

••• En el tramo Be, ap licando la ley de Biol y Savart , tene rn os

P ¡[diSenO] dB = -'- 2 , notar que

2 4rr, a o 90 °

luego:

Pero f = (l a

Finalmente el cam po total en el punto P es ( 81

- 8 2 ) sa liendo del plano de la hOJa, puesto que B\ > 8 2

~IO I O'.

4 rr

22. El alambre mostrado en la figura transporta ~n a comente i. ¿Cuál es el campo magnético

B en el centro e de la semicircunsfe rencla proveni ente de:

a ) cada uno de los segmentos rectos de longitud r,

b) del segmento semicircular de rad iO R y

e) del alambre com pleto?

---•

/

• . _ f •

273



, So/tlcíón

Por la ley de Bio! y Savart establecemos que-

dB = ~ 4,

di SenO

" (1) e , • , - f • -~ -~

donde () es el ángulo entre d! y r (distancia dirigida entre di y el punto donde se va hallar el campo magnét ico)

a) De la figura podemos deducir que O :: O rad para el segmento recto de la izqUler. da y O :: :1 rad para el segmento de la derecha en ambos casos tenemos que -, Sen O = O, por lo que al reemplazar en (1) obtenemos que B en e provocado por estos segmentos rectos es CERO

b) Para la semicircunsferencI3 de radio R, aplicando (1 l. tenemos

dI Sen 9

R' (2)

Donde 0= rr/2rad y d i Rdo.. o: va desde It hasta Orad

luego reemplazando estos valores en (2) e Integrando en los límites, tenemos

IJ i o B=_o-rda 4nR ro

B =-~ 4 R

IIB I =~ I e) Del alambre completo será equivalente al de la semlClrcunsferencia, por lo que

23 En el cirCUito cerrado que aparece en la figura y por el cual circula una corriente 1, en donde los rad ios de las secciones sem ici rculares son a y b

274

~

a) ¿Cuál es la magnitud y la dirección de B en el punto P?

b) Determinar el momento dlpolar del cirCUito

p



Solución

a) Aplica ndo la ley de 8101 y Savart para la

sern icircunsferencia de radio "b" tenemos'

dB, __ ~ [ dr s~nO l ' " pero 0=90" y 411 b

Entonces después de Integrar-

•

P = rtb p

B = ~ 4 b

( HACIA ADENTRO, perpendicular a la hoja)

Aplicando Biol y Savart para la semicircunsferencla de radio "a" te nemos

~9 _ 1 [ d f S~n e 1 dBl - • pero 0=90" y 4, ,

r = rr

Po i B = - (HACIA ADENTRO , perpendicu lar a la hoja)

2 4a

~ ~ Fina lmente como B, y 82 están en el m ismo sentido, el cam po en el punto P es

8p = B + B = ~ [2 + .2.] 1 2 4 a b

b) Sabemos que el momento dipolar en el circuito es.

donde ~ es el vector normal a la superficie cuyo módu lo es el area

Entonces para el semicirculo de rad io "b"

.( , ,) m, = I ;b

y pa ra el sem icirculo de radio "a"

m, . [, ,] 1;8 .

Ambos entrando a la pág ina

Luego 2 ("+ b' ll hac ia adentro.

275



, 24 Un disco metálico de radio R gira con una

velocidad angular úl en una reglón donde eXiste ~

un campo magnético uniforme B paraleJo al eje del disco Demostrar que la diferenCia de potencial entre el centro del disco y su borde es:

Solución

1 V :: - wBR2

2

~

~

B <--.,

Determinarnos el campo eléctnco E generado por el mOVimiento de rolaclón de las cargas eléctricas del disco baJo la Influencia del campo magnét ico

Este campo eléctrico estará dado por la relación

Pero

Entonces

~~

, )-~

E '" v 8 -) ~ ---}

v = ú l T

• E

~ ~

(rn r) ~

B -+ -+---} -t-+ .....

(r,) B)r -( r BlI')

Pero r y B son perpendiculares entre si , entonces

) -+ -'f

E ", III Br

Luego podemos concluir que E tiene una dirección radial, y su magnitud es

E :: !llBr

También sabemos que

dV E = :: (llBr

d'

dV :: (o) Br dr

v :: f UJBrdr

V=úlBJrdr 1 ,

V", -{,.SR 2

25 Un segmento rectllineo de alambre de longitud ( transporta una corriente i ~

a) Demostrar que el campo magnético B asociado con este segmento, a distanci a R del segmento y a lo larg~ de la bisectriz perp1=:ndicular ( veáse la figura), está dado en magnitud por



b) ¿Se reduce está exp resión a alguna

expresión esperada cuando ( ---) ""?

Solución

• t i

, R T ~ 1 ... t i

t

a) De acuerdo a la ley de 8iol y Sava rt, tomamos un d ( y r, éste d i aporta un dB cuya exp resión es

il2

t '12

R I----'-'--~~ p

~ t ()

Luego de (1) tenemos

8

donde:

!l e l. dP Sen O d8 ::

SenO ::: R

Haciendo la su st itución f ::: 2R Tg 0, desarrollamos la integral, obteniendo:

b) Si hacemos ( indeterm inado )

Levantando la IndetermmaClón ( diVidiendo entre r ) tenemos:

B " 2 '1'2

2rrR r 1+ 4~- 1 \ '"

ahora SI, reemplazamos f:: 00 , tenemos q u ~

(1)

2 77



,

26 Una espira cuadrada de alam bre, de lado ' a", transporta una comente I Demostrar que el valor de B en el centro de la espira está dado por

278

B =

Solución

De acuerdo a la ley de Blol y Savart, tenemos que:

(1 )

De donde (2)

Además (3)

Reemp lazando (2) Y (3) en (1) tenemos

dB, - (' ,)92 4n t + R

a a Integrando entre y tenemos

2 2

8, = f dB,

d1 f f 1

HaCiendo la sustitución 1= R T9 O Y evaluando, considerando Que R = al2, obtenemos

Este ultimo resultado es s610 para un lado, de manera de que pa ra los 4 lados tendremos que

B = 48, '" 4(,fiPO IJ ,,,



,

27 Una espira cuadrada de alambre, de lado "a" tra nsporta una cOrriente i

a) Demostrar que B en puntos sobre el eje de la espira, y colocados a una distanCia x de su extremo, está dado por

b) ¿Se comporta la esp ira cua drada como un dipo lo para puntos tales que x » a? De ser asi , ¿cuál es el momento di polar?

Solució"

a) El campo magnético provocado por un alambre de longitud ( que transporta una corriente 1. a una distanCia R, a lo largo de la blsectr[z perpendicular, es

B =~ 2,R

x B.

para nuestro caso, reemplazando valores pa ra un lado de la espira cuadrada, tenemos

(1)

De la figu ra podemos deducir que

(2)

También tenemos que el campo lotal de la espira es 4 veces el campo hallado para un lado. además las únicas componentes que colaboran con el campo son las hOrizontales, por lo que

ST = 4 9 Sen a (3)

Reemplazando (1) Y (2) en ,(3), tenemos:

( , ' )(' ,)"2 n 4)( + a 4x + 2a

279



28

280

• b) Si x » a, la exp resión hallada en el acá pite (a) se t ransforma en:

",(li , ' ) . , =~ B, B,

Pero en una espira'

Luego, si , se comporta como un dipolo y su momento di pola r es'

I .ll - 182 I

al Oemostra r que en el centro de un rectángu lo de longitud "(' y ancho "d ' , que t ransporta una corriente T , el valor de B queda determinado po r

B = 2.ll o i ,

( ' ' )" i + d

id

b) ¿A qué va lor se reduce B cuando 1» d? ¿Se tra ta de un resultado esperado?

Soluc ión

'1 El campo magnético provocado por un 1-,

' 1

alambre de long itud ( que transporta

r ~

una corr iente i, a una distancia R, a lo d /2

largo de la bi sectriz perpend icu lar, " ji ' / 2 d

'" , 1 il B = -"- i • 2,R ( (2 +4R 2f 2 --

para nuestro caso , podemos establecer que el campo crea do en e por un lado de lon gitud f es:

_-"""OCi_ B =

Entonces el campo cr.eado por los dos lados de longi tud f tenemos:

(1 I



29

, Haciendo un anahsls Similar para los lados de longitud d tenemos:

2p. id

n:1(d7 'f~

Luego el campo lolal en el pu nto e es

De (1) Y (2) ten emos que

B

v' (, 'd')· 211 I

, d

bJ Cuando »d B se red uce a

,.,

Que es un resu ltado es perado, ya que viene a ser el cC:lI"npo creado en el centro de dos conductores largos y rectos y que t ransportan com entes Iguales y ant ipara lelas

al Un alambre que tiene ta forma de un pol igono reg ular de n lados. se encuentra InSCrito en una Clrcunsferencla de radiO "a· SI por el alambre Circula una comente I

demostrar que la magnitud del campo magnét iCO B en el centro de la clrcu nsferenCla queda determin ada po r

s 11 ni -'- T9(I1 / n) 2"

b) Demostrar que este resultado se apróxlma al de una espira circular conforme n

Solución

a) Sabemos que por la ley de Biol y Savart que

dS ,uoidx SenO ~-,-

4 ;¡ r

Don de Sen O ::: Sen (:1" - O)

También

(1 )

R

- I 2 2 -,x tR

d , O

1. )

r '" n ,

* "---

R -- .. 2M I



,

Reemplazando e integrando en (1 l, tenemos:

B _ dB _ 110 l· R dx

- I - - I ( ' ')'"

Del gráfico. tenemos

411:~. )( +R

, Clga =

R

'" ).l o IX

2nRr

Reemplazando (3) en (2) y r = a, tenemos

Pero CtgO = Tga

Reemplazando (5) en (4), tenemos·

8 = j.l oi Tga

2"

También: Tga = T9 ( ~: ) = T9(~), entonces

B = !J o ' T9[-"-] 2n: 8 n

Luego pa ra n lados tendremos: ,------;--cC"l

B = -""-'-" TO[-"-] 2n 8 n

b) Si n, _, aplicando la reg la de LH'Hospita l, tenemos que:

11mB

. lim ).I oi n [,) lloi --T9 - =

n --+_ 2n:a n 2a

Que es semejante al de una espira circular.

(2)

(3)

(4)



~

3D. Calcular el campo magnét ico B aproxi-

mado en el punto P de la figura Suponer

que i = 10A Y que a = 8,0 cm.

Solución

,

• , ,

, p í , •

1 El campo magnético en el punto P es la sumatoria de los cam pos prod ucidos por cada lado del cuadrado.

(1 )

Haremos el an álisis para un alambre cualquiera que va desde x, hasta x2-

" -----.-di o

1 1-'-----,,----------"0 P

" Reemplaza ndo estos valores en (2):

dB = ~ 4 ,

Rd'

( ' ')'" , +R

Resolviendo esta integral tenemos:

Ahora usando la ecuación (3 ) tenemos:

• B .... e en el punto ' P"

r ]'"

¡l o j X

4 rr{a /4) (i + R2

f 2 -33/4

Por ley de Bi c! y Savart

=~ dx Sen e dB 2 4, , Donde

Sen O = Sen (.T - O) =

" = X2 + R 2

(2)

R

J x2 + R2

(3)

-33/ 4 1 .[10. a 14

y

283



,

Bec en el punto ·P·

4;t/~: l f4)[íx'.:,)" r 33 / 4

",-,'( 1+./5 ] 3;:8 \ J10

8.:0 en el punto 'p.

,33/4

BCD = 4rc~I~"";'-'1-4-) l (X2 ! :2(2 j ) -3/4

B __ .,' ['-./5] CD - 3:ra J10

BOA en el punto · P"

BD, • --,-,,--",' [ , l'·" 4)'( a 14 ,, _ I I ) (

. 2 _ R2 \ 112

) • 314

Luego reemplazando en (1), tenemos que

B:: '&": ( 20+8.[5 ] .'la \ 3{10

Reemplazando los valores numéricos conocido s:

(4' 10.7

)110) B· - 2)

\ 810 [20-• ./5]

3J1fi

18=1,99_10-4

T

l ,H

/ 103/ 4 -38 14 1

3,{ia/4

. , 14 j ,J1Oa/4



cap 9 ley de ampere

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