[ ]La ley de Ampere expresa la relación existente entre la intensidad I de una corriente eléctrica rectilínea y estacionaria (de valor constante) y el campo magnético B que dicha corriente crea a una cierta distancia r de la misma

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOSUniversidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

2015

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOSUniversidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA

CAPÍTULO N°9: LEY DE AMPERE

CURSO :

Fisica II

PROFESOR :

Lic. Victor Hugo Barinoto Call- Cardenas

INTEGRANTES :

Callupe Reátegui Jeffry Ignacio Minaya Gonzales, Angelo Rafael Villegas Huarcaya, Giosett Alejandro

Ciudad universitaria, Mayo del 2015

CAPITULO No 9:

LEY DE AMPERE

9.1 Flujo del campo magnético .

El flujo del campo magnético se define de manera análoga al flujo del campo eléctrico.

El flujo del campo magnético Φm a través de una superficie se define:

donde dS es un vector perpendicular a la superficie en cada punto.

Por tanto, al contrario de lo que ocurría con la ley de Gauss, el flujo del campo magnético no puede emplearse para calcular campos magnéticos.

9.2 Ley de Biot-Savart

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B=μ0 I

4 π∫ Id l⃗ x r̂

r 2

donde μ0es la permeabilidad magnética del vacío, y r̂ es un vector unitario con la

dirección del vector r⃗, es decir, .r̂=r⃗r

FIGURA 9.1 Flujo del campo magnético a través de una superficie S

9.3Ley de Ampère

La ley de Ampere relaciona la integral de línea de la componente tangencial B T alrededor de una curva cerrada C, con la corriente IC que atraviesa la superficie limitada por dicha curva. Esta relación puede utilizarse para obtener una expresión del campo magnético en situaciones con un alto grado de simetría. En forma matemática, la ley de Ampere es:

∮ B⃗ . d l⃗=μ0 I c

Donde IC es la corriente neta que penetra en el área S limitada por la curva C. El sentido positivo para el camino de integración viene dado por la dirección de la corriente IC de acuerdo con la regla de la mano derecha mostrada en la figura 9.3. La ley de Ampere se cumple para cualquier curva simétrica siempre y cuando las corrientes sean estacionarias y continuas. Esto significa que la corriente no varía con el tiempo y que no hay acumulación espacial de carga. La ley de Ampere es muy útil para calcular campos B⃗ en

situaciones de simetría tales que ∮ B⃗ . d l⃗ pueda ser igual a B∮dl(el producto de B por una distancia). La integral ∮ B⃗ . d l⃗ se

denomina circulación. Más concretamente, ∮ B⃗ . d l⃗ se denomina

circulación del campo B⃗ a lo largo de la curva C. La ley de Ampere y la ley de Gauss son ambas de considerable importancia teórica e igualmente válidas haya o no simetría; no obstante, si no hay simetría, no son útiles para el cálculo de campos magnéticos o eléctricos.

FIGURA 9.3. El sentido positivo para la curva cerrada C a la que se aplica la ley de Ampere integral es aquel que queda fijado por la regla de mano derecha con el dedo pulgar indicando el sentido de la corriente que atraviesa la superficie encerrada por dicha curva.

FIGURA 9.2. Ilustración de la ley de Biot -Savart

9.4 Aplicaciones de la ley de Ampere

9.4.1 Campo magnético creado por un hilo infinito

Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo. Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura.

Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda:

∮ B⃗ d l⃗=μ0 I c→∮Bdl=B∮dl=2 Bπr=μ0 I →B=μ0 I

2 πr

9.4.2 Campo en el interior y exterior de un conductor largo y cilíndrico

El conductor cilíndrico con radio “R” transporta una corriente “I”, la cual está distribuida de manera uniforme sobre la superficie de la sección transversal del conductor.

Entonces establecemos dos casos para hallar el campo magnético en este conductor.

Campo magnético dentro del conductor

Para encontrar el campo magnético, se tomó la trayectoria de integración como un circulo de radio

r < R, entonces:

• B⃗ tiene la misma magnitud en todo punto de la trayectoria circular de integración.

→∮ B⃗ . l⃗=B (2πr )

• Para calcular la corriente I enc dentro de la trayectoria, notamos que la densidad de corriente (por unidad de área) es J=I / π R2

•Para

calcular la corriente I enc dentro de la trayectoria, notamos que la densidad de corriente (por unidad de área) es: J=I / π R2

Por lo que: I enc=J (π r 2)= I r2

R2

• Por último: B (2πr )=μ0I r2

R2

Obteniéndose así:

B=μ0 Ir

2π R2

R

B⃗

r

I

Campo magnético fuera del conductor

Para r>R se aplican los mismos argumentos de simetría y la magnitud de ∮ B⃗ . l⃗ de nuevo resulta ser B (2πr ).

Para esta trayectoria, I enc=I , la corriente total en el conductor. La aplicación de la Ley de Ampere da la misma ecuación que en un conductor largo y recto, independiente del radio R sobre el que se distribuye la corriente. Por lo tanto:

→B=μ0 I

2 πr

9.4.3 Fuerza entre corrientes de sección no nula

En este apartado, vamos a considerar dos casos:

- Cuando una de las corrientes tiene sección rectangular- Cuando una de las corrientes tiene sección circular

Corriente de sección rectangular

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, para distancias mayores que el radio de la sección circular, es.

B=u0 i

2πr

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre una corriente rectilínea indefinida de sección rectangular de dimensiones 2l (largo) y 2w (ancho), distante d.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección rectangular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal (en color azul) es

idx . dy2 l .2w

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

dF ¿ idx .dy2 l .2w

(ut x B)L

cuyo módulo es: dF= i dx . dy2 l .2w

u0i

2 πrL

dirección es radial sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)

Las componentes de dicha fuerza son:

                dFx=dFcosθ                                                                dFy=dFsenθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

El término ente paréntesis corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble

La integral con respecto a x es inmediata

Ahora, tenemos que resolver la integral

Integramos por partes u=ln( a2+ y2

b2+ y2 )→du= 2 y (b2−a2 )(b2+ y2 ) (a2+ y2 )

dy=dv→ y=v

∫ ln( a2+ y2

b2+ y2 )dy=¿ y ln ( a2+ y2

b2+ y2 )−∫ 2 y (b2−a2 )(b2+ y2 ) (a2+ y2)

dy ¿

Descomponemos la integral racional en la suma de dos integrales, del siguiente modo

Resolvemos el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0, C=0, B=-2a2, D=2b2

Una vez que tenemos la función integrando calculamos el valor de la integral definida.

La fuerza resultante es

La fuerza de atracción entre dos corrientes rectilíneas indefinidas, se ve afectada por un factor multiplicativo f que depende de las dimensiones (w, l) de sección rectangular de la corriente y de su separación d de la corriente rectilínea que produce el campo magnético.

Corriente de sección circular

Calculamos ahora, la fuerza sobre una corriente indefinida de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea indefinida que produce el campo magnético, ambas conducen la misma intensidad i pero en sentidos contrarios.

El campo producido por una corriente rectilínea indefinida i, es: B=u0 i

2πr

Vamos a calcular la fuerza que ejerce dicho campo sobre la corriente de sección circular de radio R, que dista d de la corriente rectilínea.

Primero calculamos la fuerza que dicho campo ejerce sobre un elemento de corriente de dimensiones dx y dy.

Suponiendo que la intensidad i está uniformemente distribuida en toda la sección circular, la corriente que circula por dicha sección infinitesimal es

idx . dy

π R2

La fuerza sobre una porción de corriente rectilínea indefinida de longitud L

 dF ¿ idx . dy

π R2 (ut x B)L

cuyo módulo es  dF= i dx .dyπ R2 ( u0 i

2πr )L dirección es radial sentido, hacia fuera, si las corrientes tiene sentido contrario (se repelen)

Las componentes de dicha fuerza son:

dFx=dFcosθdFy=dFsenθ

Por simetría, las componentes dFy se anulan de dos en dos, la fuerza resultante tiene la dirección del eje X

El término ente paréntesis, corresponde a la fuerza entre dos corrientes rectilíneas indefinidas paralelas que distan d.

Para calcular la fuerza resultante Fx tendremos que calcular una integral doble

Manteniendo y constante, como en la figura, los límites de integración de x son x1 y x2

La integral con respecto a x es inmediata

Ahora tenemos que resolver la integral

Hacemos el cambio de variable y=Rsenθ, dy=Rcosθ·dθ

con a=d2+R2 y b=2dR

Los nuevos límites de integración son –π/2 y π/2 que emplearemos para calcular la integral definida una vez conocida la función integrando. Integramos por partes

El resultado es

Para calcular la segunda integral, empleamos las relaciones trigonométricas

Para calcular la segunda integral, hacemos el cambio de variable, tanθ=t, dθ=dt/(1+t2)

Es una integral racional que descomponemos en la suma de dos integrales, del siguiente modo

En este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

A=0, C=0, B=-2a(a2-b2)/b, D=2a/b

Deshacemos los cambios

Finalmente, la integral queda

Teniendo en cuenta que  a=d2+R2 y b=2dR. La integral vale

La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por la corriente rectilínea sobre los elementos diferenciales de la corriente de sección R es

La fuerza de atracción es la misma que la deducida para conductores rectilíneos indefinidos de pequeña sección comparada con la separación d entre las corrientes paralelas.

9.4.4 Empleando la ley de Ampère puede calcularse el campo creado por distintos tipos de corriente.

Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y el del solenoide ideal (*), cuyos campos se muestran en la siguiente tabla.

Toroide circular Solenoide ideal*

r<a yr>b→B=0

a<r<b→B=μ0∋¿

2 πr¿

B=μ0∋¿

(*) Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud.

Sea d = radio medio= a+b

2, la circunferencia media c =2πd=π (a+b ), n= número de vueltas por

unidad de longitud = N/c .Por lo tanto la ecuación B=μ0∋¿

2πr¿ , también se puede escribir

como:

B=μ0n (a+b ) I

2 r=μ0∋

dr

Por lo tanto, en el propio centro de la bobina, donde r=d, el campo B estará dado por:

Bc=μ0∋¿

Problemas aplicativos

1) Se tiene un alambre infinitamente largo, de radio R=2.0mm, por el cual circula una corriente I=80A. Hallar la magnitud del campo magnético a una distancia r1=1.5mm y a una distancia r2=3.0mm (figura 9.4)Solución:

∮ B⃗ . d l⃗=μ0 I enc

B∮ dl=¿ μ0 I enc

B2π r1=μ0 I enc…(1)

Donde I enc=r1

2

R2 I ..(2)

Reemplazando (2) en (1):

B2π r1=μ0

r12

R2 I →B=μ0

r1

2π R2 I=¿

4 πx10−7 x 1.5x 1 0−3 x80

2 π ( 2x 10−3 )2=¿6x10-3T= 6,0 mT

∮ B⃗ . d l⃗=∮Bdlcos 0=B∮ dl=B2π r2

∮ B⃗ . d l⃗=μ0 I enc→2π r2B=μ0 I enc , pero I enc=I→B=μ0 I

2π r2

=4 πx1 0−7 x 802πx 3 x1 0−3

¿5,33x10-3T = 5,33 mT

2) Una bobina toroidal tiene un diámetro interno a = 5cm, un diámetro externo b = 10cm, 1500 vueltas de alambre y conduce una corriente de 5 A. Encontrar (a) el campo magnético en el centro de la sección transversal circular, (b) el campo interior justamente después del radio interno y (c) el campo interno justo antes del radio externo. (d) Indicar qué campo habrá dentro de un solenoide infinito de que tuviera precisamente el mismo número de vueltas por unidad de longitud.

Solución:

En este caso, el radio interno es de 0.05m, el radio externo de 0.1m y el radio medio o central d está dado por:

d =a+b

2=0.15

2=0.075m

Por tanto, la circunferencia media es:

Figura 9.5. Configuración del campo magnético de un solenoide largo y finito.

FIGURA 9.4.

c=2 πd=2π (0.075 )=0.4712 m

El número de vueltas por longitud unitaria es:

n=Nc

= 15000.4712

=3183vueltas/m

a) El campo central Bc será:

Bc ¿ μ0∋¿4 π (10−7 ) (3183 ) (5 )       ¿0.02Wb/m2

b) Justo después del radio interno, la distancia r al origen es de 0.05 m. El campo ahí es

B=μ0∋dr=

( 0.02 ) (0.075 )0.05

=0.03 Wb/m2

c) Justo antes del radio externo, r = 0.1 m y B estará dado por:

B=μ0∋dr=

( 0.02 ) (0.075 )0.1

=0.015 Wb/m2

d) Para un selenoide de longitud infinita con el mismo número de vueltas por unidad de longitud, el campo en todas partes del interior es

B ¿ μ0∋¿4 π (10−7 ) (3183 ) (5 )=0.02Wb/m2

3) Se tiene un cilindro hueco infinitamente largo de radio interno a y radio externo b, por donde circula una corriente I. Hallar el campo magnético B a una distancia r tal que a<r<b (Figura 9.6)

∮ B⃗ . d l⃗=μ0 I enc

B∮ dl=¿ μ0 I enc

B2πr=μ0 I enc

B=μ0 I enc2πr

…(1)

FIGURA 9.6

Asumimos que la densidad de corriente es constante,

así tenemos: I encAenc

= IA→I enc=

AencAI=π (r2−a2 )π (b2−a2 )

I… (2)

Reemplazando (2) en (1):

B=μ0

2πr(r2−a2 )(b2−a2)

I