INDUCTANCIA, LEY DE FARADAY y LEY DE AMPERE

AntecedentesAndr Marie Ampre (1775-1836), cientfico francs, conocido por sus importantes aportaciones al estudio de la electrodinmica. Ampre naci en Polmieux-au-Mont-d'Or, cerca de Lyon. El amperio (A), la unidad de intensidad de corriente elctrica, toma su nombre de l. Su teora electrodinmica y sus interpretaciones sobre la relacin entre electricidad y magnetismo se publicaron en su Coleccin de observaciones sobre electrodinmica (1822) y en su Teora de los fenmenos electrodinmicos (1826). Ampre invent la aguja asttica, que hizo posible el moderno galvanmetro (vase Medidores elctricos). Fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos por los que circula una corriente en el mismo sentido, se atraen el uno al otro, mientras que si los sentidos de la corriente son opuestos, se repelen. Michael Faraday (1791-1867), fsico y qumico britnico, conocido principalmente por sus descubrimientos de la induccin electromagntica y de las leyes de la electrlisis. Naci el 22 de septiembre de 1791 en Newington (Surrey). Era hijo de un herrero y recibi poca formacin acadmica. Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, ley libros de temas cientficos y realiz experimentos en el campo de la electricidad. En 1812 asisti a una serie de conferencias impartidas por el qumico Humphry Davy y envi a ste las notas que tom en esas conferencias junto con una peticin de empleo. Davy le contrat como ayudante en su laboratorio qumico de la Institucin Real y en 1813 le llev con l a un largo viaje por Europa. Faraday entr en la Sociedad Real en 1824 y al ao siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institucin Real. En 1833 sucedi a Davy como profesor de qumica en esta Institucin. Dos aos ms tarde le fue concedida una pensin vitalicia de 300 libras anuales. Faraday recibi numerosos galardones cientficos. Realiz sus primeras investigaciones en el campo de la qumica bajo la direccin de Davy. Un estudio sobre el cloro le llev al descubrimiento de dos nuevos cloruros de carbono. Tambin descubri el benceno. Faraday investig nuevas variedades de vidrio ptico y llev a cabo con xito una serie de experimentos de licuefaccin de gases comunes (vase Criogenia). Sin embargo, las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer cientfico experimental de su poca las realiz en los campos de la electricidad y el magnetismo.

En 1821 traz el campo magntico alrededor de un conductor por el que circula una corriente elctrica (la existencia del campo magntico haba sido observada por vez primera por el fsico dans Hans Christian Oersted en 1819). En 1831 Faraday descubri la induccin electromagntica, y el mismo ao demostr la induccin de una corriente elctrica por otra. Durante este mismo periodo investig los fenmenos de la electrlisis (vase Electroqumica) y descubri dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente elctrica en una electrlisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrlito, y que las cantidades de sustancias electrolticas depositadas por la accin de una misma cantidad de electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias. Tambin demostr que un recinto metlico (caja o jaula de Faraday) forma una pantalla elctrica. Sus experimentos en magnetismo le llevaron a dos descubrimientos de gran importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo magntico tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada (vase ptica) que pasa a travs de ciertos tipos de cristal

InductanciaEn un Inductor o bobina, se denomina inductancia, L, a la relacin entre el flujo magntico, y la intensidad de corriente elctrica, I:

El flujo que aparece en esta definicin es el flujo producido por la corriente I exclusivamente. No deben incluirse flujos producidos por otras corrientes ni por imanes situados cerca ni por ondas electromagnticas. Desgraciadamente, esta definicin es de poca utilidad porque es difcil medir el flujo abrazado por un conductor. En cambio se pueden medir las variaciones del flujo y eso slo a travs del voltaje V inducido en el conductor por la variacin del flujo. Con ello llegamos a una definicin de inductancia equivalente pero hecha a base de cantidades que se pueden medir, esto es, la corriente, el tiempo y la tensin:

El signo de la tensin y de la corriente son los siguientes: si la corriente que entra por la extremidad A del conductor, y que va hacia la otra extremidad, aumenta, la extremidad A es positiva con respecto a la opuesta. Esta frase tambin puede escribirse al revs: si la extremidad A es positiva, la corriente que entra por A aumenta con el tiempo. La inductancia siempre es positiva, salvo en ciertos circuitos electrnicos especialmente concebidos para simular inductancias negativas. De acuerdo con el Sistema Internacional de Medidas, si el flujo se expresa en weber y la intensidad en amperio, el valor de la inductancia vendr en henrio (H). Los valores de inductancia prcticos van de unos dcimos de nH para un conductor de 1 milmetro de largo hasta varias decenas de miles de Henrios para bobinas hechas de miles de vueltas alrededor de ncleos ferromagnticos. El trmino "inductancia" fue empleado por primera vez por Oliver Heaviside en febrero de 1886, mientras que el smbolo L se utiliza en honor al fsico Heinrich Lenz.

Formalismo GeneralInductancia Mutua Como se ver a continuacin, la inductancia (mutua y autoinductancia) es un caracterstica de los circuitos que depende de la geometra de los mismos. Sean dos circuitos arbitrarios descritos por las curva 1 y 2 por donde circulan corrientes I1 y I2, respectivamente. De ahora en ms el subndice 1 representa magnitudes correspondientes circuito 1 y anlogamente para el circuito 2. En virtud de la Ley de Faraday se tiene

donde es el campo elctrico y es el campo mangtico en el circuito 1. Si ahora se toma el flujo a travs del rea encerrada S1 por el circuito 1,

y usando el Teorema de Stokes para la integral del lado izquierdo se obtiene la fem 1 para el circuito 1:

Es conveniente usar que vectorial para reescribir lo anterior como

, donde

es el potencial

En este punto se debe hacer una simplificacin: se supondr que el circuito no cambia en el tiempo, con lo cual la derivada parcial puede salir fuera de la integral. Esto permite entonces aplicar nuevamente el Teorema de Stokes. Matemticamente:

Dado que

en el gauge

donde

es la densidad de corriente que genera el campo magntico . En este caso la densidad de corriente corresponde a la del circuito 2, por lo que

. En caso que la densidad de corriente corresponda a una curva y no a un volumen en el espacio es lcito reescribir el potencial vectorial como . Luego, reemplazando esta ltima igualdad en la expresin anterior se tiene

Dado que se ha supuesto que los circuitos no se modifican en el tiempo slo I2 se ve afectada por la derivada temporal, con lo que

El anterior razonamiento se puede repetir para el circuito 2 dando como resultado

Claramente las constantes que acompaan a las derivadas temporales en ambos casos son coeficientes que slo dependen de la geometra de los circuitos y adems son iguales. Luego se llama inductancia mutua, M a dicha constante

AutoinductanciaPara calcular la autoinductancia se puede proceder con el razonamiento anterior. A pesar de esto surge un problema: la doble integral no se hace sobre circuitos distintos sino sobre el mismo dando lugar a divergencia cuando . Dicho problema puede ser resuelto si en la integral se usa la expresin general para

para puntos muy cercanos entre s. Esta proximidad entre puntos permite hacer aproximacin con las cuales se puede resolver la integral. No obstante existen casos donde la auto inductancia se calcula trivialmente como por ejemplo el solenoide ideal: si M es el flujo magntico, por Ley de Faraday se tiene

Dado que el campo constante en el solenoide es constante y dado por , con N el nmero de vueltas, l el largo del solenoide e I la corriente que pasa el mismo, se tiene

donde es la auto inductancia. El valor de la inductancia viene determinado exclusivamente por las caractersticas geomtricas de la bobina y por la permeabilidad magntica del espacio donde se encuentra. Si el solenoide tiene un ncleo de permeabilidad distinta de vaco, la inductancia, de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, viene determinada por:

donde es la permeabilidad absoluta del ncleo (el producto entre la permeabilidad del aire y la permeabilidad relativa del material) N es el nmero de espiras, A es el area de la seccin transversal del bobinado y l la longitud de las lneas de flujo. El clculo de l es bastante complicado a no ser que la bobina sea toroidal y an as, resulta difcil si el ncleo presenta distintas permeabilidades en funcin de la intensidad que circule por la misma. En este caso, la determinacin de l se realiza a partir de las curvas de imantacin.

Fuerza de AmpereUn conductor con corriente en presencia de un campo magntico externo experimenta una fuerza magntica. La expresin de esta fuerza, en el caso de un conductor recto de longitud L por el que circula una intensidad de corriente I en presencia de un campo magntico uniforme B, viene dada por la siguiente expresin:

Esta fuerza se conoce con el nombre de Fuerza de Ampere, y es mxima cuando el conductor forma un ngulo de 90o con el vector induccin magntica, como es el caso representado en la figura. Si en las cercanas de un alambre largo con corriente I1 situamos otro tambin muy largo con corriente I2, dispuestos ambos paralelamente, entonces dichos alambres experimentarn la accin del campo magntico inherente al otro conductor ejercindose sobre los mismos una fuerza magntica igual en magnitud y direccin:

Las fuerzas (en rojo) son de atraccin si las corrientes son paralelas y de repulsin si son antiparalelas. La fuerza por unidad de longitud se determina a travs de la expresin: F / L = ( o / 2 pi ) ( I1 I2 ) / d donde d es la distancia entre los alambres. En el experimento se se tienen dos corrientes de igual magnitud, de forma que la fuerza magntica entre ambos conductores se expresa como:F / L = ( o / 2 pi ) ( I ) / d2

El applet que utilizaremos nos permite determinar el producto oI , siendo I desconocida. Multiplicando y dividiendo por o se obtiene: F / L = [ ( o I ) 2 / ( 2 pi o ) ] 1/d (1) que representa la ecuacin del modelo. El valor numrico del numerador de esta expresin se puede conocer explcitamente del applet. Si podemos determinar experimentalmente de forma directa los valores de F / L; de la distancia d y de o I, entonces ploteando F / L vs 1/d debemos obtener una lnea recta,con pendiente:

A = ( o I ) 2 / (2 pi o ) , (2) con lo cual estamos comprobando las leyes utilizadas para obtener la ecuacin del modelo. De la pendiente A de la recta podemos determinar el valor de la permeabilidadmagntica del vaco:

o = ( o I ) 2 / (2 pi A)

(3)

Ley de AmpereLa ley de Ampere establece que la circulacin del vector induccin magntica a lo largo de un contorno cerrado C es igual al producto de la permeabilidad magntica por la intensidad de corriente neta ( o I ) que atraviesa perpendicularmente la superficie delimitadapor el contorno cerrado:

Ejemplo:

Pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampre Dada la distribucin de corrientes deducir la direccin y sentido del campo magntico Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulacin del campo magntico. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado Aplicar la ley de Ampre y despejar el mdulo del campo magntico. Campo magntico producido por una corriente rectilnea

determinado por la corriente y el punto. centrada en la corriente rectilnea, y situada en una plano perpendicular ala misma. El campo magntico B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El campo magntico B tiene el mismo mdulo en todos los puntos de dicha circunferencia. La circulacin (el primer miembro de la ley de Ampre) vale

Llegamos a la expresin obtenida aplicando la ley de Biot. Campo magntico producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco. Cuando el nmero de corrientes equidistantes es grande, se anula el campo magntico en el interior, (para ra. Vamos a ver cmo en esta situacin es aplicable la ley de Ampre. Apliquemos la ley de Ampre a una corriente rectilnea indefinida uniformemente distribuida en su seccin y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b. la corriente cilndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. la distribucin de cargas nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulacin del campo magntico B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresin que para la corriente rectilnea B2 r tres casos siguientes. r